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P

Algunos Métodos de Estimación para Viscosidad ÍNDICE INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 1 NOTACIÓN................................................................................................... 1 VISCOSIDAD DE GASES PUROS A BAJA PRESIÓN ............................................. 1 Teoría cinética de Chapman-Enskog ........................................................... 1 Método de Stiel y Thodos ......................................................................... 2 VISCOSIDAD DE GASES PUROS A ALTA PRESIÓN ............................................. 3 Diagrama de viscosidad reducida ............................................................... 3 VISCOSIDAD DE MEZCLAS DE GASES A BAJA PRESIÓN ..................................... 3 Método de Wilke...................................................................................... 3 VISCOSIDAD DE MEZCLAS DE GASES A ALTA PRESIÓN ..................................... 3 VISCOSIDAD DE LÍQUIDOS PUROS ................................................................. 3 Introducción ........................................................................................... 3 Método de van Velzen .............................................................................. 3 Extrapolación de Lewis-Squires ................................................................. 3 Efecto de la presión ................................................................................. 4 VISCOSIDAD DE MEZCLAS DE LÍQUIDOS ......................................................... 4 Reglas de mezclado ................................................................................. 4 VISCOSIDAD DE SUSPENSIONES Y EMULSIONES.............................................. 4 Ecuación de Einstein ................................................................................ 4 Ecuación de TAylor .................................................................................. 4 FUENTES CONSULTADAS ............................................................................... 4

INTRODUCCIÓN La viscosidad es la constante de proporcionalidad que aparece en la ley de Newton de la viscosidad, relacionando el esfuerzo cortante (o densidad de flujo de momentum) con el gradiente de velocidad (o rapidez de deformación). En su forma más simple, la ley de Newton de la viscosidad se puede expresar como:

W xy

P

wv y wx

Los fluidos que se comportan de acuerdo a esta ley se denominan “fluidos newtonianos”, e incluyen a la mayoría de los fluidos simples. La viscosidad es una propiedad del fluido que depende de la temperatura y, en algunos casos, también depende de la presión. Las unidades SI de la viscosidad son Pa·s, que equivalen a kg/m·s. Sin embargo, la viscosidad se expresa frecuentemente en submúltiplos del poise (1 P = 1 g/cm·s = 0.1 kg/m·s) tales como el centipoise (cP) para líquidos y el micropoise (NjP) para gases. La viscosidad cinemática es el cociente de la viscosidad entre la densidad ( Q P / U ). Cuando la viscosidad está dada en Pa·s y la densidad en kg/m³, la viscosidad cinemática estará dada en m²/s. La viscosidad de un gas aumenta con la temperatura, y varía muy poco con la presión (a baja presión, menos de 10 bar, aproximadamente), por lo que normalmente se le considera independiente de la presión. La viscosidad de un líquido disminuye con la temperatura y es poco afectada por la presión excepto a presiones muy elevadas. Algunos valores representativos de viscosidad se presentan en la Tabla 1. Tabla 1. Algunos valores representativos de viscosidad.

(aproximadamente a temperatura ambiente excepto donde se indica otra temperatura)

GASES (µP) H2 He O2 N2 Aire CO2 NH 3 H 2O (100°C)

REVISIÓN 5 72409.32

88 196 175 203 181 146 103 125

LÍQUIDOS (cP) N2 (–196°C) 0.158 Acetona 0.324 H 2O (0°C) 1.792 H 2O (20°C) 1.005 H 2O (100°C) 0.284 Hg 1.5 Sangre (37°C) 3-4 H 2SO4 26.7 Glicerina 1200 Jarabe de maíz 1400 Miel 2000-10000

NOTACIÓN Emplear las unidades especificadas en esta lista a menos que se indique lo contrario en el texto. Algunos símbolos que se emplean solamente en un método no se incluyen en esta tabla pero se definen en el texto. SÍMBOLO DESCRIPCIÓN

UNIDADES

M P

Peso molecular Presión

g/mol bar

Pc

Presión crítica

bar

Pr

Presión reducida

-

Pvap

Presión de vapor

bar

T

Temperatura

K

Tb

Punto de ebullición normal (1 atm)

K

Tc

Temperatura crítica

K

Tr

Temperatura reducida

-

Vb

Volumen molar de líquido saturado en el punto de ebullición normal

cm³/mol

Vc

Volumen molar de líquido en el punto crítico

cm³/mol

w x y H

Fracción peso

-

Fracción mol (en fase líquida)

-

Fracción mol (en fase gaseosa)

-

Energía característica

J

Parámetro de interacción (método de Wilke)

-

I

Fracción volumen

-

N

Constante de Boltzmann N = 1.38066×10–23 J/K

) ij

P

J/K

Viscosidad

Pa·s

Pc

Viscosidad en el punto crítico

Pa·s

P ef

Viscosidad efectiva

Pa·s

Pm

Viscosidad de la mezcla

Pa·s

Pr

Viscosidad reducida

Q

Viscosidad cinemática

V

Diámetro de colisión

Å

Factor acéntrico

-

Integral de colisión para viscosidad

-

Z :P

m²/s

Q PU

VISCOSIDAD DE GASES PUROS A BAJA PRESIÓN TEORÍA CINÉTICA DE CHAPMAN-ENSKOG

P

2.6693 u 106

 MT

0.5

V 2 :P

Se basa en el modelo de Lennard-Jones para la energía potencial de interacción ( M ) entre dos moléculas del mismo gas:

Mr

ª§ V ·12 § V ·6 º 4H«¨ ¸ ¨ ¸ » ¬© r ¹ © r ¹ ¼

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donde H (energía característica, que se suele usar dividida entre la constante de Boltzmann N ) y V (diámetro de colisión) son parámetros específicos del gas (Tabla 2). Tabla 2. Parámetros de Lennard-Jones y otras propiedades Sustancia H2 He Ne Ar Kr Xe Aire N2 O2 H2O CO CO2 COS CS2 C2N 2 NH3 NO N 2O SO2 F2 Cl2 Br2 I2 HF HCl HBr HI HCN H2S SF6 UF6 Hg CH4 C2H 6 C2H 4 C2H 2 C3H 8 CH3–CH=CH2 CH3–Cิ CH n-C4H10 iso-C4H10 n-C5H12 C(CH3)4 n-C6H14 ciclopropano ciclohexano benceno CH3–OH C2H5–OH CH3–CO–CH3 CH3–O–CH3 C2H5–O–C2H5 CH3Cl CH2Cl2 CHCl3 CCl4 CCl2F2 SiH4 SiF4

REVISIÓN 5 72409.32

M

V

H/N

Tc

Pc

Vc

(g/mol)

(Å)

(K)

(K)

(bar)

(cm³/mol)

2.016 4.003 20.183 39.948 83.800 131.300 28.964 28.013 31.999 18.015 28.010 44.010 60.070 76.131 52.035 17.031 30.006 44.013 64.063 37.997 70.906 159.808 253.82 20.006 36.461 80.912 127.912 27.026 34.080 146.054 352.018 200.61 16.043 30.070 28.054 26.038 44.094 42.081 40.065 58.124 58.124 72.151 72.151 86.178 42.081 84.162 78.114 32.042 46.069 58.080 46.069 74.123 50.488 84.933 119.378 153.823 120.914 32.122 104.09

2.827 2.551 2.820 3.542 3.655 4.047 3.711 3.798 3.467 2.649 3.690 3.941 4.130 4.483 4.361 2.900 3.492 3.828 4.112 3.357 4.217 4.296 5.160 3.148 3.339 3.353 4.211 3.630 3.623 5.128 5.967 2.969 3.758 4.443 4.163 4.033 5.118 4.678 4.761 4.687 5.278 5.784 6.464 5.949 4.807 6.182 5.349 3.626 4.530 4.600 4.307 5.678 4.182 4.898 5.389 5.947 5.116 4.084 4.880

59.7 10.22 32.8 93.3 178.9 231.0 78.6 71.4 106.7 356 91.7 195.2 336.0 467.0 348.6 558.3 116.7 232.4 335.4 112.6 316.0 507.9 474.2 330.0 344.7 449.0 288.7 569.1 301.1 222.1 236.8 750.0 148.6 215.7 224.7 231.8 237.1 298.9 251.8 531.4 330.1 341.1 193.4 399.3 248.9 297.1 412.3 481.8 362.6 560.2 395.0 313.8 350.0 356.3 340.2 322.7 280.0 207.6 171.9

33.2 5.19 44.4 150.8 209.4 289.7 132.4 126.2 154.6 647.3 132.9 304.1 378.8 552 400 405.5 180 309.6 430.8 144.3 416.9 588 819 461 324.7 363.2 424.0 456.7 373.2 318.7 505.8 1765 190.4 305.4 282.4 308.3 369.8 364.9 402.4 425.2 408.2 469.7 433.8 507.5 397.8 553.5 562.2 512.6 513.9 508.1 400.0 466.7 416.3 510 536.4 556.4 385.0 269.7 259.0

13.0 2.27 27.6 48.7 55.0 58.4 37.0 33.9 50.4 221.2 35.0 73.8 63.5 79.0 59.8 113.5 64.8 72.4 78.8 52.2 79.8 103 64.8 83.1 85.5 83.1 53.9 89.4 37.6 46.6 1510 46.0 48.8 50.4 61.4 42.5 46.0 56.3 38.0 36.5 33.7 32.0 30.1 54.9 40.7 48.9 80.9 61.4 47.0 52.4 36.4 67.0 63.0 53.7 45.6 41.4 48.4 37.2

65.1 57.4 41.6 74.9 91.2 118.4 86.7 89.8 73.4 57.1 93.2 93.9 136.3 160 72.5 57.7 97.4 122.2 66.3 123.8 127.2 69.2 80.9 138.8 98.6 198.8 250.0 42.7 99.2 148.3 130.4 112.7 203 181 164 255 263 304 303 370 163 308 259 118.0 167.1 209 178 280 138.9 238.9 275.9 216.7 -

Cuando no se tienen los valores de V y H / N , se pueden estimar a partir de datos del punto crítico o del punto de ebullición normal: en base al punto crítico

0.841Vc1/3 o bien V

V

en base al punto de ebullición

§ T ·1/3 2.43¨ c ¸ © Pc ¹

H N

0.77Tc

H N

1.15Tb

V 1.166Vb1/ 3

La integral de colisión :P (Tabla 3) se puede consultar tabulada en función de la temperatura adimensional T * , definida como:

T*{

NT H

o bien

T*

T H/N

Tabla 3. Integral de colisión (Lennard-Jones)

T*

:P

T*

:P

T*

:P

T*

:P

0.25 0.30 0.35

3.0353 2.8458 2.6791

1.30 1.35 1.40

1.4000 1.3760 1.3538

2.7 2.8 2.9

1.0700 1.0591 1.0489

4.8 4.9 5.0

0.9326 0.9288 0.9252

0.40 0.45 0.50

2.5316 2.4003 2.2831

1.45 1.50 1.55

1.3331 1.3139 1.2959

3.0 3.1 3.2

1.0394 1.0304 1.0220

6.0 7.0 8.0

0.8948 0.8719 0.8535

0.55 0.60 0.65

2.1781 2.0839 1.9991

1.60 1.65 1.70

1.2791 1.2633 1.2486

3.3 3.4 3.5

1.0141 1.0066 0.9995

9.0 10 12

0.8382 0.8249 0.8026

0.70 0.75 0.80

1.9226 1.8535 1.7909

1.75 1.80 1.85

1.2347 1.2216 1.2092

3.6 3.7 3.8

0.9927 0.9864 0.9803

14 16 18

0.7844 0.7690 0.7556

0.85 0.90 0.95

1.7341 1.6825 1.6354

1.90 1.95 2.00

1.1975 1.1865 1.1760

3.9 4.0 4.1

0.9745 0.9690 0.9637

20 25 30

0.7439 0.7196 0.7003

1.00 1.05 1.10

1.5925 1.5533 1.5173

2.1 2.2 2.3

1.1565 1.1388 1.1227

4.2 4.3 4.4

0.9587 0.9539 0.9493

35 40 50

0.6844 0.6710 0.6491

1.15 1.20 1.25

1.4843 1.4539 1.4259

2.4 2.5 2.6

1.1079 1.0943 1.0817

4.5 4.6 4.7

0.9448 0.9406 0.9365

75 100 150

0.6111 0.5855 0.5512

Valores calculados con las correlaciones de Neufeld citadas en Reid et al., 1987. NOTA: Las integrales de colisión para viscosidad (: P ) y para conductividad térmica (: k ) son iguales, la empleada para difusividad (: D ) es diferente.

VISCOSIDAD DE GASES PUROS A BAJA PRESIÓN MÉTODO DE STIEL Y THODOS

P

9.91 u 108

NM 1/2 Pc 2/3 Tc1/6

N es aquí una función de la temperatura reducida:

N

­°3.4Tr 0.94 ® 0.625 °¯1.778  4.58Tr  1.67

para Tr d 1.5 para Tr ! 1.5

Este método fue originalmente desarrollado para hidrocarburos puros, pero se puede emplear para otros gases no hidrocarburos excepto el hidrógeno.

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VISCOSIDAD DE GASES PUROS A ALTA PRESIÓN DIAGRAMA DE VISCOSIDAD REDUCIDA No existe un valor específico de presión a partir del cual se considere "alta". Normalmente los métodos para gases a baja presión comienzan a mostrar desviaciones significativas a presiones de 10 atm o mayores. En base al principio de estados correspondientes, es posible relacionar la viscosidad reducida P r P / P c con la temperatura y presión reducidas: DIAGRAMA DE VISCOSIDAD REDUCIDA

y para una mezcla multicomponentes se generaliza a: n

¦

Pm

i 1

yi P i n

¦ y j ) ij j 1

) ij es un parámetro de interacción dado por: 2

) ij

1/2 1/2 1/4 º ª M i · « § Pi · § M j · » 1§ ¨ ¸ ¨ ¸   1 1 ¨ ¸ ¸ ¨ ¸ 8¨ © Mj¹ « ¬ ©P j ¹ © Mi ¹ » ¼

y el correspondiente parámetro ) ji se puede encontrar con la fórmula simplificada:

P j Mi ) Pi M j ij

) ji

VISCOSIDAD DE MEZCLAS DE GASES A ALTA PRESIÓN Se puede recomendar el método de Lucas (consultar Reid et al., “The Properties of Gases and Liquids”). Ya que este método es capaz de predecir correctamente la viscosidad de mezclas de gases a baja presión, se recomienda como método de uso general en programas de computadora.

VISCOSIDAD DE LÍQUIDOS PUROS INTRODUCCIÓN La viscosidad de un líquido disminuye al aumentar la temperatura. Son pocos los modelos que permitan predecir la viscosidad de un líquido a partir de otra información conocida, por lo que generalmente se necesitan datos experimentales, que se suelen correlacionar en la forma de la ecuación de Andrade:

ln P

A

B T

o la ecuación de Vogel: Pr =

ln P

A

Límite de baja presión donde los parámetros A , B y experimentales. (Adaptado de Bird et al.)

Es muy raro contar con datos experimentales de la viscosidad en el punto crítico. Si se tiene un dato de viscosidad a otra temperatura y presión, entonces la viscosidad crítica se puede estimar con P c P / P r . En caso contrario se puede estimar como:

 MTc

1/2

Pc

6.16 u106

Vc2/3

o bien

Pc

7.7 u107

M 1/2 Pc 2/3 Tc1/6

VISCOSIDAD DE MEZCLAS DE GASES A BAJA PRESIÓN MÉTODO DE WILKE Este método se basa en las fracciones mol y de las viscosidades de los componentes puros a la misma temperatura. Para una mezcla binaria, este método se expresa como:

Pm

REVISIÓN 5 72409.32

y1P1 y2P 2  y1  y2 )12 y2  y1) 21

B T C

C deben estimarse a partir de datos

El libro “The Properties of Gases and Liquids” incluye, en el capítulo sobre viscosidad, una tabla de coeficientes para viscosidad de líquido para un gran número de sustancias.

VISCOSIDAD DE LÍQUIDOS PUROS MÉTODO DE VAN VELZEN Este es un método de contribución de grupos bastante exacto para compuestos orgánicos. Consultar los detalles en Perry, 7ª edición.

VISCOSIDAD DE LÍQUIDOS PUROS EXTRAPOLACIÓN DE LEWIS-SQUIRES Si sólo se tiene un dato de viscosidad, es posible obtener una estimación de la viscosidad a otra temperatura empleando la ecuación de Lewis-Squires, aunque los errores pueden estar entre 5 a 15% o mayores:

P 0.2661

P 10.2661 

T  T1 37.073 VISCOSIDAD - Página 3 de 4

donde las viscosidades están en Pa·s y las temperaturas pueden estar en °C o K, ya que sólo se usa su diferencia, y P 1 es el valor conocido de la viscosidad a la temperatura T1 . Este método no debe emplearse para temperaturas muy por encima del punto de ebullición normal. VISCOSIDAD DE LÍQUIDOS PUROS EFECTO DE LA PRESIÓN Para presiones relativamente bajas, la presión tiene un efecto pequeño sobre la viscosidad. A presiones moderadas o altas, la viscosidad de líquido aumenta con la presión. En este caso se puede usar la ecuación de Lucas:

P P sat

1  D  'Pr / 2.118 1  C Z'Pr

y los parámetros A , reducida:

A 0.9991  C

P ef P0 donde

5 § · 2I exp ¨ ¸  I I 1 / 0 ¹ © 

I0 es una constante empírica entre 0.52 y 0.74.

VISCOSIDAD DE SUSPENSIONES Y EMULSIONES ECUACIÓN DE TAYLOR Para emulsiones o suspensiones de pequeñas gotas de un líquido en otro, la viscosidad efectiva suele ser mucho menor que en el caso de suspensiones de partículas sólidas. En este caso puede emplearse la ecuación de Taylor:

P  Pvap

P ef

Pc

P0

C y D son funciones de la temperatura

4.674 u 104 1.0523Tr0.03877  1.0513

0.07921  2.1616Tr  13.4040Tr2  44.1706Tr3  84.8291Tr4

 96.1209Tr5  59.8127Tr6  15.6719Tr7 0.3257 D  0.2086 0.2906 1.0039  Tr2.573

VISCOSIDAD DE MEZCLAS DE LÍQUIDOS REGLAS DE MEZCLADO Para una mezcla líquida de hidrocarburos se puede emplear la regla de mezclado propuesta por Kendall y Monroe:

P1/3 m

Para suspensiones concentradas de esferas ( I >0.05), puede emplearse la ecuación de Mooney:

A

donde P es la viscosidad del líquido a alta presión y P sat es la viscosidad del líquido saturado a la misma temperatura. 'Pr es la diferencia entre la presión reducida y la presión de vapor reducida:

'Pr

Para suspensiones diluidas de partículas de forma diferente a la esférica, la constante 5/2 cambia por un coeficiente que depende de la forma de las partículas.

§P  5P · 1 ¨ 0 2 1 ¸I © P 0  P1 ¹

En la que P 0 es la viscosidad de la fase continua y viscosidad de la fase dispersa.

P1 es la

FUENTES CONSULTADAS

Bird, Stewart y Lightfoot (2002). “Transport Phenomena” . 2ª edición, Wiley. Reid, Prausnitz y O'Connell (2000). “The Properties of Gases and Liquids” . 5ª Edición, McGraw-Hill Reid, Prausnitz y Poling (1987). “The Properties of Gases and Liquids” . 4ª edición, McGraw-Hill. Perry (2004). “Manual del Ingeniero Químico” . 7ª edición, McGraw-Hill. Welty, Wicks y Wilson (1997). “Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa” , Limusa.

LA LETRA PEQUEÑA

EL ÚNICO PROPÓSITO DE ESTE DOCUMENTO ES SERVIR COMO RECURSO DIDÁCTICO AUXILIAR, POR LO QUE SU USO DEBE SER EXCLUSIVAMENTE ACADÉMICO. PARTES DE ESTE DOCUMENTO PUEDEN ESTAR SUJETAS A RESTRICCIONES POR DERECHOS DE AUTOR EN ALGUNOS PAÍSES. ALGUNOS DE LOS MÉTODOS INCLUIDOS PUEDEN HABER SIDO ADAPTADOS PARA MANEJAR UNA SIMBOLOGÍA Y/O UN SISTEMA DE UNIDADES CONSISTENTE, O PARA FACILITAR SU APLICACIÓN, O EN LOS CASOS EN LOS QUE DOS O MÁS REFERENCIAS PROPORCIONEN INFORMACIÓN INCOMPATIBLE O CONTRADICTORIA. NO SE DA NINGUNA GARANTÍA, EXPLÍCITA O IMPLÍCITA, SOBRE LA EXACTITUD DE LA INFORMACIÓN CONTENIDA EN ESTE DOCUMENTO, POR LO QUE NO SE RECOMIENDA USARLO EN LA PREPARACIÓN DE DISEÑOS FINALES DE EQUIPOS INDUSTRIALES, PROCESOS QUÍMICOS, O SISTEMAS DE VIAJE A TRAVÉS DEL TIEMPO. EN ESTOS CASOS, SE RECOMIENDA CONSULTAR LAS FUENTES BIBLIOGRÁFICAS PERTINENTES.

n

¦ xiP1/3i i 1

Para una mezcla líquida definida de no hidrocarburos, la regla de mezclado propuesta en el Technical Data Manual es:

ln P m

n

¦ x ln P i

i

i 1

En estas dos correlaciones, las unidades de que las de Pi .

P m serán las mismas

VISCOSIDAD DE SUSPENSIONES Y EMULSIONES ECUACIÓN DE EINSTEIN Para el caso de suspensiones de partículas sólidas en líquidos es posible en la mayoría de los casos tratar este sistema de dos fases como si fuera una sola fase homogénea que tiene una viscosidad efectiva P ef . El primer modelo que se desarrolló fue la ecuación de Einstein, que aplica para suspensiones diluidas de esferas:

P ef P0

REVISIÓN 5 72409.32

5 1 I 2

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