1 Sigchos Columba Henry D. *;
Efectos Internos Y Externos En Vigas. Sigchos Columba Henry D. *; Escuela Politécnica Nacional, Facultad de Ingeniería Mecánica, Quito, Ecuador Tel: 0987465883; e-mail:
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Resumen: En el presente artículo se dará a conocer los efectos que pueden causar fuerzas externas en una viga así como también las reacciones internas que sufre sin considerar el material del que esta hecho a partir de las ecuaciones de equilibrio estudiadas anteriormente; esto es muy importante en la elaboración de vigas para conocer cuanta carga puede soportar; para determinar estas cargas se utilizará el método de secciones y se obtendrá una relación entre las fuerzas externas y cortante con el momento flector, a partir de estos resultados se podrá diseñar los diagramas de dichos efectos para poder hacer un estudio grafico del comportamiento de la viga. Palabras clave: Fuerza, Momento, cortante, Flector, Viga.
1. INTRODUCCION Se ha estudiado los efectos de cargas concentradas en un cuerpo, no obstante estas son solo una idealización de las verdaderas fuerzas que actúan sobre un área finita de este ya que en la vida real no existe tal carga concentrada pero puede ser vista así, si el área en la que esta aplicada es muy pequeña con relación a las dimensiones del cuerpo; para el estudio general de fuerzas internas en un sólido, se necesitara saber el comportamiento real de las fuerzas distribuidas a través de este, esto se podrá obtener mediante la suma infinitesimal de la fuerza a lo largo de la sección en la que está distribuida integrando; existen 3 tipos de distribución de fuerzas: Distribución Lineal: la fuerza está distribuida a los largo de una línea, como es el caso de un cable b) Distribución superficial: la fuerza actúa sobre una determinada superficie, en el caso de fluidos esta se llama presión mientras que para solidos se lo denomina esfuerzo. c) Distribución cubica: también conocida como fuerza másica es decir una fuerza que actúa sobre todos los elementos que poseen masa, un ejemplo es la fuerza gravitatoria.
Aplicar los conocimientos de equilibrio para determinar las fuerzas externas e internas que actúan sobre vigas isostáticas, a través del método de secciones. Objetivos específicos: 1) Aplicar las ecuaciones de equilibrio para determinar los efectos internos y externos sobre una viga 2) Analizar dichas para graficar los diagramas de fuerza cortante y momento flector. 3) Comprender la relación entre fuerza distribuida (externa), fuerza cortante y momento flector (interno).
a)
2. OBJETIVOS Objetivo General:
3. MARCO TEÓRICO Antes del análisis de una viga, es muy importante tener en cuenta las condiciones de equilibrio, diagramas de solido libre que representa cada apoyo y también conocimientos de cálculo para comprender las relaciones de las cargas que existen interna y externamente en una viga. La viga como cualquier estructura mecánica puede estar soportada por diferentes apoyos y sometidas a varias cargas.
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Figura 2. Esquema de las cargas internas que se presentan en una seccion de la viga (Para estudios generals no se considera la fuerza normal) Figura 1 Esquema de los diferentes apoyos que puede tener una viga
3.1 Definición. a)
Viga: Elemento estructural en la cual una de sus dimensiones es mucho mayor que sus otras dos, soportan cargas transversales es decir perpendiculares a su eje. b) Vigas simples: Solo actúan fuerzas perpendiculares a sus ejes y tiene soportes en sus extremos c) Viga en voladizo: Solo tiene un soporte (empotramiento, soldadura) d) Viga compuesta: Es una viga que tiene varias piezas salientes en cualquier dirección. La fuerza externa que actúan sobre la viga se las denomina según su naturaleza como: a) Fuerza concentrada: Si la fuerza actúa sobre un punto especifico b) Fuerza distribuida: Si la fuerza actuante está distribuida a los largo de una sección finita del elemento Con el estudio de estas fuerzas se puede determinar los efectos que se producen internamente en la viga dando así nuevas fuerzas y momentos: a) Fuerza cortante (V): Si se realiza un corte a la viga la fuerza tangente a la sección transversal de esta se denomina fuerza cortante b) Fuerza normal (N): Es una fuerza perpendicular a la sección transversal c) Momento flector (M): Es el momento total producido por fuerzas externas.
3.2 Convención de signos Como es de costumbre en la estática se puede utilizar los signos de una manera arbitraria y al final si los resultados nos da valores positivos aceptar dicha suposición o si son negativos cambiar el sentido de esta carga, a pesar de ello para el análisis de vigas se ha dado una manera de manera con mucha aceptación de imponer los signos a las cargas intensa N, V, M: a)
si la fuerza normal N crea tensión entonces esta es positiva b) Si la fuerza cortante V crea una tendencia a la rotación del tramo de la viga estudiada en sentido horario se la considerara positiva para el estudio c) Si el momento flector M que se aplica sobre el segmento de viga crea una flexión cóncava hacia arriba se los puedo asumir como positivo.
Figura 3.Esquema de una porcion infinitesimal de la viga para determiner la convencion de signos
3.3 Fuerzas y momentos resultantes sobre el sólido Los efectos externos que actúan sobre un cuerpo ya se los ha estudiado anteriormente cuando se trata de fuerzas concentradas, sin embargo, cuando se tiene fuerzas distribuidas a los largo de una parte del
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cuerpo, es importante convertir esta en una fuerza concentrada es decir sobre un punto, para esto se realiza una integración matemática de la función ‘fuerza distribuida’ y adicional se determina el centro de masa del elemento estudiado (si este tiene una densidad uniforme a lo largo de toda su sección, al centro de masa se lo denomina centro de) para conocer la posición de esta fuerza, una vez realizado esto con la elaboración de un DCL de todo el elemento se podrá determinar las reacciones que se presentan en la viga, posteriormente se realiza un corte a través de la viga para determinar las fuerzas internas y el momento flector.
Figura 5.Esquema de un area arbitraria y ubicacion de su centroides.
Figura 4 Esquema de una fuerza concentrada
3.3.1 Pasos para determinar fuerzas y momentos resultantes Para poder obtener una función que nos describa la relación entre longitud (x) de la viga y su fuerza cortante y momento flector, hay que conocer todas las fuerzas externas que actúan en todo su conjunto 1) Cargas distribuidas: para tener una visión más clara de cómo esta aplicada una carga distribuida sobre una viga a esta se la debe convertir en una concentrada por medio de integración matemática, es así que la carga distribuida se la puede considerar puntual, sin embargo, es necesario saber la posición de esta, para ello utilizamos otra herramienta matemática que es hallar el centroide de esta fuerza. 𝑥
𝑃 = ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑥0
P: carga total en un punto P(x): Fuerza distribuida en función de x 𝑥
𝑃𝑥̅ = ∫ 𝑥𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑥0 𝑥
𝑃𝑦̅ = ∫ 𝑦𝑃(𝑦)𝑑𝑦 𝑥0
𝑥̅ : La posición en el eje x del centroide 𝑦̅: La posición en el eje y del centroide
Figura 6 Esquema de una fuerza distribuida
2) Determinación de las reacciones debido a sus apoyos: Una vez obtenidas todas las fuerzas externas concentradas, se realiza un DCL de toda la viga y aplicando las ecuaciones de equilibrio ∑ 𝐹 = 0 y ∑ 𝑀 = 0 se encuentra las incognitass de los apoyos de la viga 3) Seccionar la viga: Pase una línea imaginaria perpendicular al eje, en el punto en el que debe determinarse la carga interna. 4) Análisis de la sección: Realizar un DCL de la sección con el menor número de cargas, indicando las fuerzas y momentos en la sección transversal del corte según la convención de signos. 3.4 Diagramas de fuerza cortante y momento flector El diseño real de una viga requiere un conocimiento detallado de la variación de la fuerza cortante interna V y del momento flector M que actúan en cada punto a lo largo del eje de la viga. Fuerza cortante: Es una gráfica que nos muestra el comportamiento de la fuerza interna de la viga
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producidas por los efectos de las externas en toda su extensión. Momento flector: En esta grafica se representa el momento que se produce debido a las cargas externas de la viga, en toda su extensión.
3.4.1 Procedimiento para obtener las funciones de fuerza cortante y momento flector 1) Determinar las fuerzas externas 2) Especificar un eje de referencia: Lo más común es asignar el extremo izquierdo como el origen, dando coordenadas x hasta un punto donde haya una carga conectada o la carga distribuida sea discontinua. 3) Secciones: Seccionar en cada distancia x de la viga y realizar el DCL considerando la convención de signos 4) Realizar el equilibrio de fuerzas y momentos. De esta manera se obtendrá la fuerza cortante y el momento flector en función de x: V(x), M(x)
Por equilibrio de solidos: ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑉 − 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 − (𝑉 + 𝑑𝑉) = 0 𝑑𝑉 𝑝(𝑥) = − 𝑑𝑥 Si a esta ecuación la mostramos en su forma integral Notamos que la variación de la fuerza cortante es el área bajo la curva de la carga concentrada: 𝑥
∆𝑉 = − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑥0
3.6.2 Relación entre fuerza cortante y momento flector Ahora se aplica la otra condición de equilibrio sobre el elemento diferencial: ∑ 𝑀0 = 0 𝑀 + 𝑑𝑀 − 𝑀 − 𝑉𝑑𝑥 = 0 𝑉=
3.6 Relación entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector 3.6.1 Carga distribuida y fuerza cortante Como ya se explicó en la vida real no existe cargas concentradas, entonces en el estudio de vigas sometidas a cargas distribuidas, momentos de par y reacciones de apoyos el uso de las secciones no es suficiente para determinar los diagramas, o en su defecto este método se volverá muy tedioso. Carga distribuida: Consideramos una viga sometida a una arbitraria p=p(x), posteriormente seccionamos un pedazo infinitesimal de esta, realizamos el DCL y las ecuaciones de equilibrio de este elemento considerando la convención de signos y reemplazando la carga distribuida por la carga puntual p(x) dx
Figura 7.Esquema de una porcion infinitesimal de la viga para determiner los fuerzas y momentos infinitesimales a lo largo de la viga
𝑑𝑀 𝑑𝑥
𝑥
∆𝑀 = ∫ 𝑉(𝑥)𝑑𝑥 𝑥0
Si combinamos las dos relaciones obtendremos una entre carga y momento flector: 𝑑 𝑑𝑀 𝑝(𝑥) = ( ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑝(𝑥) =
𝑑2 𝑀 𝑑𝑥 2
Con estas ecuaciones se puede observar que el momento flector máximo es donde la fuerza cortante se anula ya que esta es la pendiente de la función M(x) Si existen cargas concentradas como fuerzas o momentos de par no se podrá aplicar estas ecuaciones debido a que se presentaran discontinuidades.
Figura 8 Diagrama de fuerza cortante
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Finalmente se sabe que en un proceso de integración la función sube de grado, es decir si se tiene una carga distribuida de grado n, la fuerza cortante será de n+1 y el momento flector de n + 2 5. Figura 9 Diagrama de momento flector
3.7 Resolución de los problemas: Realizar el diagrama de fuerza cortante: Se procede a determinar la fuerza cortante en el extremo donde la viga tiende a 0 para luego determinar el área bajo la curva de la carga p(x) desde o hasta una distancia x antes de una discontinuidad. Diagrama de momento flector: De igual manera se determina el momento flector inicial que en la mayoría de casos es 0 con la excepción de vigas en voladizo o que tienen momentos de par en el extremo izquierdo. Determinar la ubicación y valor del 𝑀𝑚𝑎𝑥 : como se explicó el momento flector es la derivada de la fuerza cortante es decir el momento máximo se encuentra donde V=0 reemplazando este valor de x en la función M(x), se obtendrá el momento flector máximo. Determinar los cambios de signos: El salto en el diagrama V vs X se da donde hay una carga concentrada, de igual manera en M vs X donde hay un momento de par. 4. CONCLUSIONES Después de analizar las relaciones entre las fuerzas internas de una viga se llega a la conclusión que la pendiente de la función V(x) en un punto es la intensidad de la carga distribuida en ese punto análogamente la derivada de M(x) es la intensidad de la fuerza cortante. Si se presentan cargas concentradas en la viga, está en el diagrama de fuerza cortante ocasionara un salto. El cambio de fuerza cortante ∆𝑉 es el área bajo la curva de la función p(x) entre dichos puntos de igual manera la variación de momento flector ∆𝑀 es el área bajo la curva de la función V(x) entre dichos puntos estos, apartados son importantes ya que simplificara cálculos en el caso que la carga p(x) sea constante. Si se presenta un momento de par en una distancia x de la viga, en el diagrama de momento flector se presentara un salto de esta intensidad. Observado las relaciones de entre cargas se determina que el momento flector máximo es donde la fuerza cortante es 0.
RECOMENDACIONES
Antes de realizar las gráficas de los diagramas es importante un uso correcto de las condiciones de equilibrio, determinar las fuerzas concentradas en los puntos correctos ya que si no se realiza esto existirá errores en la sumatoria de momentos. Una correcta convención de signos facilitara cálculos ya que de esta manera no se tendrá que lidiar con cantidades negativas. Cuando una fuerza concentrada este dentro de una distribuida se debe considerar esta en el seccionamiento de la viga ya que esta producirá un salto en la gráfica V vs X de igual manera si se presenta un momento de par.
6. BIBLIOGRAFIA J.L. Meriam, L.G. Kraige. (1998). “Engineering Mechanics. Statics”.. Estados Unidos: Reverté, S.A.. R.C. Hibbeler. (2010). “Engineering mechanics: Statics”. Estados Unidos: Prentice Hall, Inc. Beer, Johnson, Mazurek, S. y Eisenberg (2006). Mecanica vectorial para ingenieros: Estatica (9nd Ed.). USA: Prentice Hall.
