vibraciones mecanicas, Singuiresu Rao, 5ta edicion

Q U I N T A

E D I C I Ó N

VIBRACIONES MECÁNICAS S I N G I R E S U

ALWAYS LEARNING

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S.

RAO

PEARSON

M a s a s e q u iv a le n te s , r e s o r te s y a m o r tig u a d o r e s M asas equivalentes M .'X M IM IM

<

=

M asa (M ) fija en e l extrem o d e un resorte d e m asa m

-

Viga e n voladizo d e m asa m c o n una carga

D •

t

M e n su extrem o libre

= M + j

m ,v = M + 0.23 m

> i

Viga sim plem ente apoyada d e m asa m con una c a rg a M a la mitad

m ,q = M + 0 . 5 m

M asas translacionalcs y rotacionales

R' Jrq = Jq + m R 7

m, m2 "!l □ ______□ _______ □ ■*- / | -*1

M asas sobre u n a ba rra co nectada a la bisagra

m«*i = mi +

V arilla som etida a una carga axial z *0. * ( 0 )

coordenadas cartesianas, desplazam ientos valor d e x cu an d o / ■ 0

pulg pulg

•to. ¿ ( 0 )

valor d e x cu an d o / ■ 0

pulg/s

XJ

desplazam iento d e la m asa j-é s im a

pulg

m/s m

XJ xí U

valor d e x cu an d o i = valor d e x cu an d o i = ij

pulg pulg/s

m/s

porte hom ogénea d e x (i)

pulg

xj x

porte p articular d e x ( i)

pulg

v ector de desplazam ientos

pulg

m

valor d e

pulg

m

pulg/s pulg/s3

m/s

IV IV

II %

J

una función d e x

cu an d o / =

valor d e * cu an d o t = /, valor d e x cu an d o i = it

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m /s 2

Lista d e s ím b o lo s

«Símbolo

Significado

S iste m a inglés

S iste m a In tern acio n al

m odo i-csim o X

am plitud d e *(/) am plitud d e x / í)

Hg F*>'g

m ni

\c c to r m odal /-¿sim o

pu'g

m

com ponente /-¿sim o de m odo /'-¿sim o m atriz m odal

pulg PU'g

m in

desplazam iento d e base

F u 'g

m

am plitud d e > *il7 + *rn

E je m p lo 1.7

k e q u iv a le n te d e u n

_

(25.5255 X 106)(8 .9 0 I2 X 106)

= 6 5 9 9 1 X K ^ N -m /ra d

(25.5255 X I06 + a9 0 l2 X 105)

p o lip a s to

U n polipasto, q u e funciona con un c ab le d e acero, está m ontado e n e l extrem o d e u n a viga en voladizo como se m uestra e n la fig u ra l.3 i< a). Determ ine la constante d e resorte equivalente d e l sistem a cuando la longitud suspendida d e l cable e s /, S uponga q u e e l diám etro d e la sección transversal n eta d e l c ab le es d y q u e e l m ódulo de Y oung d e la viga y el cable es E . S olución: La constante d e resorte d e la viga en voladizo está d a d a por 3E l * * =

t

3F .í l

E a l3

,\

=

■

*

( e i >

La rigidez del c ab le som etido a una carga axial es

Com o tanto e l c ab le c o m o la viga e n voladizo experim entan la m ism a carga VV, com o se m uestra e n la figura 1.3 l(b ). se m odelan c o m o resortes e n serie, c o m o s e ve e n la figura 1.31(c). La constante d e resorte equivafcnte está dada por I

I

*eq

**

|

1

4Ó3 | E al*

4/ v d 2E

o bien

i — a

W Figura 1.31 Polipasto.

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1 .7

E le m e n to s d e resorte

33

w

Viga

Cable

IV

d m d e A e s e l área d e la p lac a m óvil. E xpresando F com o F = cv

(E .3)

b c o n stan te c d e am ortiguam iento se encuentra com o _fiA



U tilizando los datos, la ecuación (E.2) d a p o r resultado

(0 .3 4 4 5 )(0 .l) c = 4 0 — ---------

E je m p lo 1. 15

or

h = 086125 mm

(E.3)

C o n s ta n te d e a m o rtig u a m ie n to d e u n a c h u m a c e ra Se utiliza una ch um acera com o soporte lateral d e u n a flecha rotatoria c o m o se m uestra e n la figura l .43. S i el radio d e la flecha e s R. su velocidad a n g u la r e s o*, la ho lg u ra radial entre la flecha y e l co jinete es d, la visco­ sidad d e l fluido (lubricante) e s n , y la longitud d e l cojinete es /, o btenga una expresión p ara la constante de am ortiguam iento rotacional d e la chum acera. S uponga q u e la fuga d e fluido es insignificante. S o lu c ió n : La constante d e am ortiguam iento l a fuerza requerida para cortar la película de fluido e s igual a l esfuerzo p o r el área. H p a r de torsión en la flecha ( f ) e s igual a la fuerza por e l brazo d e palanca, d e m odo que

T = ( r A )R

(E .3)

r b n d c A = 2 ttR I c s e l área d e la flecha expuesta a l lubricante. P o r lo tanto la ecuación (F„3) s e rccscribc como

2 w fiR 3lta (2 ir R I)R =

H t acuerdo con la definición d e la constante de am ortiguam iento rotacional del co jinete (c,):

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(E .4)

1.9 E le m e n to s d e a m o r tig u a m ie n to

47

o btenem os la expresión d eseada p ara la constante d e am ortiguam iento rotacional com o 2 ir n R ¡l c‘ =

d

« >

No¡a. l a ecu ació n (E .4) se conoce c o m o ley de P e tro ff y originalm ente s e publicó e n 1883.Esta ecuación se utiliza am pliam ente e n e l d ise ñ o de chum aceras 11.43).

E je m p lo 1. 16

A m o rt ig u a d o r h id rá u lico d e p is tó n -c ilin d ro D esarrolle una ex p resió n p ara la constante d e am ortiguam iento d e l am ortiguador hidráulico d e la figura 1.44(0). S o lu c ió n : La constante d e am ortiguam iento d e l cilindro se d eterm ina aplicando la ecu ació n d e l esfuerzo cortante d e un fluido viscoso y la ecuación d e velocidad d e flujo d e l fluido. C om o se m uestra e n la figura 1.44s N i= I N

2n n t i T

(1 .9 8 )

2nirl¡ (1 .9 9 )

E je m p lo 1. 19

E x p a n s ió n d e la se rle d e F o u rie r C tte n n in e la e x p a n s ió n d e la s e r ie d e F o u r ie r d e l m o v im ie n to d e la v á lv u la e n e l s is te m a d e le v a y s e g u id o r , ir o s tr a c k e n la f ig u ra l . 6 l .

'P a r a l a r e g l a d e S im p s o n , N t i e n e q u e s e r u n n ú m e r o p a r p e r o n o p a r a l a r e g la t r a p e z o i d a l . L a s e c u a c io n e s ( 1 .9 7 ) a ( 1 .9 9 ) s ip o n e n q u e la c o n d ic ió n d e p e r io d ic id a d , j „ = x H s e m a n tie n e c ie rta .

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1.11 S olución:

A n á lis is a r m ó n ico

69

S i > < /) i n d i c a e l m o v i m i e n t o v e r ti c a l d e l a v a r i l l a d e e m p u j e , e l m o v i m i e n t o d e la v á l v u l a . x ( / ) , s e

p u e d e d e te r m in a r c o n la r e la c ió n :

>(’ ) ta n 0 =

* ( ')

—

=

•\ °

h

/, * < 0 -

j j

(0

(E .D

d onde y (t )

y e l p e r io d o e s tá d a d o p o r r

=

—

=

Y~",

0 * 1

A -j

O

*

r

( E .2 )

s

t

(F ..3 )

. D e fin ie n d o

í( f ) s e p u ed e ex p resar co m o

x (i)

L a e c u a c ió n

(E .3 ) s e

m u e s tra e n

=

s

i

la fig u ra l.5 4 ( a ) . P a ra c a lc u la r lo s c o e fic ie n te s a „ y

b H, u t i l i z a m o s d e l a s

e c u a c io n e s

a

A

•

t

/

tau

aln(w *t(i))

/

p i ;

/

pi

-

A

•

ain (2 *W t ( i ) )

/

(2*pi>;

/

pi

-

A •

ain(2*w *t(i))

/

(2*pi)

* - p ij tau fo r

-

i

2 -

¡ l i

t(i) x(l)

101 -

tau

•

-

A •

t(i)

(1 - 1 ) /1001

/

tau,

and aubplot(231) ;

p lo t( t.x ) ; y l a b a l ( * x ( t ) •) i x l a b a l ( 't ') ; t l t l a ( ax ( t ) ■

for

i

a

A * t / t a u 1) ¡

10 1

l i

x l (1)

.

A /

2,

and aubplot(232) ;

p lo t(t,x l); x la b a l( 't ') r t l t l a fo r

1

( ‘ Un a

tó rm in o *)i

li

x2(i)

101

.

A/2

-

A •

and aubplot(233) ;

p l o t (t , x 2 ) , xlabal C f ) ;

t l t l a fo r

I ’ Do í

t ó r a l n o a ')*

i - li 101 x 3 (1 ) - A/2

-

A

•

a l n ( v * t ( l) )

and aubplot(234)i

p lo t(t.x l) , y l a b a l J * x ( t ) ■); x l a b a l (■t * ) j

t l t l a fo r

('T ra a

1 - l i t ( l ) a

x«(l) -

A

té r a ln o a ') ;

101 tau

a

•

A/2

•

( 1 - 1 1 /1 0 0 ;

-

A •

aln(w *t«l)»

a in (3 « W t(i)J

/

13*pi)i

and a u b p lo t (23 S ) ;

p lo t(t,x 4 ) , xlabal C f ) ; t i t l a

E je m p lo 1.12

('C u a tr o

t ó r a ln o a ') ;

R e p re s e n ta c ió n g rá fica d e p u ls a c io n e s S e som ete u n a m asa a d o s m ovim ientos a rm ónicos d a d o s p o rX |(/) ■ X e o s un y x 2(t) *- X e o s (o» + 8)1 con X = I c m , w = 2 0 rad/s. y 5 = I rad/s. T race e l m ovim iento resultante d e la m asa con M A TL A B c identifique la frecuencia de pulsación. S o lu c ió n : El m ovim iento resultante d e la m asa. M i) está d a d o por

j ( f ) = x,(f) + x 2(l) = X eos ou + X cos(ü> + 8 )t = 2 X eos — c o s| (■»+• — )/

!)

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(E l)

74

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n Se ve q u e e l m ovim iento presenta e l fenóm eno d e pulsación c o n u n a frecuencia wb = (ai + 8) — (at) = 5 = 1 rad/s. La ecuación ( E I ) se traza c o n M A TLAB com o se m uestra a continuación. % • ■ 1 2 2 .0 % T razar a l A - li « . JO; d a lta -

fo r

t(l) x (i)

p u l s a d ana»

1/

- li

1

fan&aano d o

• -

10 0 1

1S • (1 -1 1 /1 0 0 0 ; a • A • c o a ( d a l t a * e (1) / 2)

•

coa

( (w *

d a lta /2 )

• t( l) ) i

and plot

(t . x) ;

xlab al ylab al C ltla

( 't ') i ( 'x ( t ) ') l ( ‘F ondaoco

d a p u l a a c i o n a a ’ )»

Fenóm eno d e pulsaciones

—

f

E je m p lo 1 .2 3

A n á lis is d e F o u rie r n u m é ric o re a liz a d o u tiliz a n d o M A T L A B Realice un análisis arm ónico d e las fluctuaciones de presión d a d as e n la tabla l . I d e la p á g ira 7 1 y determ ine b s prim eros cinco arm ónicos d e la expansión de la serie d e Fourier. Solución: Para hallar los prim eros cinco arm ónicos d e las fluctuaciones de presión (es decir. Oo- o t......ay b ,....... t 5X se desarrolla un program a M A TL A B d e uso general para e l análisis arm ónico d e una función j ( / ) utilizando tas e cu a c io n e s(l.9 7 ) a (1.99). H program a, denom inado P rogram l.m , requiere los siguientes datos de entrada: n = can tid ad d e puntos equidistantes e n los cuales se conocen los valores d e x (i) m - cantidad r + o ) c o n x ,(/) = 15 eos un y x2(/) = 2 0 eos (an + I ). El ángulo d e fase o e s de 1.57 rad. 9.

13

Llene e l espacio e n blanco con la palabra co necta: 1. Los sistem as experim entan peligrosam ente grandes oscilaciones e n _________ . 2. l o vibración no am ortiguada se caracterizada p o r no tener pérdida d e ____________ . 3. Un sistem a vibratorio se com pone d e un resorte, am ortiguador y . 4.

Si un m ovim iento se repite después d e intervalos d e tiem po iguales, se llam a m ovim iento

5. Q ia n d o la aceleración es proporcional al desplazam iento y dirigida b a cía la posición m edia, el m ovim iento s e llama a rm ó n ic o _________ . 6 . El tiem po requerido para co m pletar un ciclo d e m ovim iento se llam a_________ d e vibración. 7. La cantidad d e ciclos por u n id ad d e tiem po s e llam a d e vibración. 8. Se d ice que d o s m ovim ientos a rm ónicos que tienen la m ism a frecuencia s o n ________ . 9. La diferencia angular entre la ocurrencia de puntos sem ejantes d e d o s m ovim ientos a rm ónicos se lla m a ________. 10. Se puede considerar q u e los sistem as continuos o distribuidos tie n e n ________ grados d e libertad. 11. Los sistem as c o n u n a can tid ad finita de grados d e libertad se conocen c o m o s is te m a s _________ . 12. La cantidad de grados d e libertad d e un sistem a indica e l m ínim o d e ___________ independientes recesarías para describir las posiciones d e todas las partes d e l sistem a en cu alq u ier instante. 13. Si un sistem a v ib ra debido sólo a u n a perturbación inicial, s e llam a v ib ra c ió n ________. 14. Si un sistem a vibra debido a una excitación ex tem a se llam a v ib rac ió n ________. 15. l a re so n an cia indica la coincidencia d e la frecuencia d e la excitación ex tem a con una frecuencia _________ d e l sistem a. 16. Una fu n c ió n /(í) se denom ina función im par s i ___________________. 17. l a s e x p a n s io n a d e ________ intervalo se pueden u sa r p ara representar funciones d efinidas sólo en d intervalo 0 a t . 18. El a n á lisis_________ se ocupa d e la representación d e serie d e F o u rie r d e funciones periódicas. 19. l a velocidad d e rotación d e 1 000 rpm (revoluciones por m in u to )c o rrc sp o n d c a ________ radianes/s. 20. O ra n d o la velocidad d e una turbina es d e 6 0 0 0 rpm . s e re q u ie re n ________se g u n d o s p ara q u e la turbina co m plete u n a revolución. 1.4

Seleccione la respuesta m ás apropiada d e entre la s op cio n es m últiples dadas a continuación: 1. El prim er sism ógrafo d e l m undo s e inventó en (a ) Japón (b ) C hina (c ) Egipto 2. Los prim eros experim entos c o n p é n d u lo s sim ples fueron realizados por (a )G alile o (b ) P itág o ras (c ) A ristóteles 3. l a o b ra P hilosophiae N atu ralis P rincipia M athem arica fue publicada por (a )G alile o (b )P itá g o ra s (c )N ew to n 4 . Las form as de m o d j d e placas, colocando arena sobre placas vibratorias, fueron observados po r prim era v e z por (a ) G ilad n i (b ) D 'A lem bcrt (c )G alile o 5. l a teoría d e vigas gruesas fue presentada por prim era v e z por (a ) Mindlin (b ) Einstein (c ) Tim oshenko 6 . l a cantidad d e grados d e libertad de un pén d u lo sim ple es: (a ) 0 (b ) I (c )2 7 . La vibración p u ed e clasificarse de (a ) u ta aranera ( b ) d o s m aneras (c ) varias m aneras 8. n fenóm eno d e G ibbs indica un com portam iento anóm alo en la representación de la serie d e fo u rier efe una (a ) función arm ónica ( b ) función periódica ( c ) función aleatoria

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80

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n 9 . L a representación gráfica d e la s am plitudes y án g u lo s de fase d e varios com ponentes d e frecuencia de u n a función periódica se conoce como (a ) diagram a espectral (b) diagram a d e frecuencia (c ) diagram a arm ónico 10. O rando un sistem a vibra en un m edio fluido, e l am ortiguam iento es (a ) viscoso (b ) C o u lo m b (c) sólido 11. O rando partes d e un sistem a vibratorio se deslizan sobre una superficie seca, el am ortiguam iento es (a ) viscoso (b ) C oulom b (c) sólido 12. O ta n d o la cu rv a d e esfuerzo-deform ación d e l m aterial d e un sistem a vibratorio presenta un bucle de histércsis. el am ortiguam iento es (a ) viscoso (b ) C oulom b (c) sólido 1 3. La constante equivalente d e d o s resortes en paralelo c o n rigideces A, y Aj es (a ) A, + k2



l 1 *1

(c)r +r

I +

*1

*2

*2

14. La constante d e resorte equivalente de d o s resortes e n serie c o n rigideces Ai y A2 es ( a ) A, + k2

(b>

l

(C> fA, + fk 2

1 1 — + — A,

Aj

15. La constante d e resorte d e u n a viga en voladizo c o n una m asa m en e l extrem o es

(,) T

w r

16. S i/ ( - / ) = /( r X se d ice q u e la fu n ció n es (b ) im par ( a l par L 5.

(O

3E l

3E l

(c) continua

C orrelacione lo siguiente: 1. Pitágoras (582-507 a .C )

a . publicó un libro so b re la teoría del sonido

2 . E uclides »•> = constante en un proceso adiabático, d o n d e y e s la relación d e calores específicos. Para aire, y = 1.4. 1.30

F ncuentre la constante d e resorte equivalente d e l sistem a q u e s e m uestra e n la figura 1.85 en la d irecd ó n d e la carga/*.

1.31

Derive la expresión para la constante de resorte equivalente que relaciona la fuerza ap licada F c o n el desplazam iento resultante x d e l sistem a q u e se m uestra e n la fig u ra 1.86. S uponga q u e el desplazam ien­ to d e l eslabón es pequeño.

13 2

La constante d e resorte d e un resorte helicoidal som etido a u n a carga axial está d ad a por Cid*

k

8N D y

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P r o b le m a s

91

F igura 1.85

- / TO 35V- | k , = 2k

A

A, = 3A

F

x

F igura 1.86 B arra rígida c o n ec ta d a p o r resortes.

d o n d e G e s e l m ódulo d e co rtan te, d e s e l diám etro del alam bre. D e s e l diám etro d e la esp ira y .V e s la cantidad d e vueltas. E n cu en tre la constante d e resorte y el peso d e u n resorte helicoidal d e acero para tos siguientes datos: D - 0 .2 m , d = 0.005 m . N = 10. 133

D os resortes helicoidales, uno d e acero y e l o tro d e alum inio, tienen v alo res idénticos d e d y D. (a) Si la cantidad de v u e lta s en e l resorte de acero e s d e 10. d eterm ine la cantidad d e v ueltas requerida en d resorte d e alum inio c u y o peso será igual a l d e l resorte d e a c e ro , (b). E ncuentre las c onstantes d e los d o s resortes.

134

La figura 1.87 m uestra tres resortes, uno con rigidez A, = k y cada uno d e los otros itos c o n rigidez A¡ = k. El resorte c o n rigidez A( tiene una longitud / y cada uno d e los resortes c o n rigidez Aj tiene una longitud I - a . E ncuentre la característica d e deflexión d e l sistem a.

135* Diseñe un resorte neum ático c o n un recipiente cilindrico y u n pistón para lo g rar una constante d e resorte d : 75 Ib/pulg. Suponga q u e la presión d e l aire disponible es de 2 0 0 Ib/pulg?.

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C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n

X■

T

k, = k

kj~ k '

r7 7 7 ~ 7 7 7 ?

J r

XL

7 7 7 7 7 7 7 7 7 -7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 P 7 7 7 T 7 7 7 7 7

Figura 1 .8 7 C om p o rtam ien to n o lineal de re so rte s lineales.

1J 6* l a relación fuerza-deflexión ( x) d e un resorte no lineal está ctada por F = a x + ¿>x3 donde a y ¿>son constantes. E ncuentre la constante d e resorte lineal equivalente cu an d o l a deflexión sea dcO.Ol m con a = 2 0 0 0 0 N /m y b = 4 0 X 10* N/m* L 37

D os resortes no lineales, S , y S2 están conectados e n d o s form as diferentes com o se indica en la figura 1.88. l a fuerza, Fr e n e l resorte Sje s tá relacionada c o n su deflexión {x,)com o

F¡ = a¡Xi + b¡xf,

i - 1 .2

d o n d e a¡ y b¡ so n constantes. S i IF = k ^ , d o n d e x es la deflexión total d e l sistem a, d efine una constante de resorte lineal equivalente k ^ encuentre una expresión p ara i ^ e n cada caso.

W

(b)

F ig u ra 1.88

L38* Diseñe un resorte helicoidal de acero som etida a com presión pura satisfacer los siguientes requerimientos: Rigidez del resorte (A) 2 8000 N/m m F recuencia de vibración natural fundam ental f ) ^ 0.4 Hz. ín d ic e d e resorte -desplazam iento (x) d e l resorte, cu an d o e l rodillo se m ueve una distancia horizontal x a la posición B. A nalice la relación fuerza-desplazam iento resultante e identifique la constante de rigidez * a lo largo d : la dirección d e x.

O

F igura 1.90 U n ex tre m o del reso rte c o n m o v im ien to lateral.

1.41

Un extrem o d e l resorte helicoidal está fijo y el otro está som etido a cinco fuerzas cfc ten sió n diferentes. Las longitudes d e l resorte m edidas con varios valores d e las fuerzas d e tensión se d a n a continuación.

Fuerza d e ten sió n F(W) lo n g itu d total del resorte (m m)

0

100

250

330

480

570

150

163

183

194

214

226

D eterm ine la relación fuerza-deflexión d e l resorte helicoidal. 1.42

Rn la figura 1.91 s e m uestra una flecha ahusada de hélice de acero sólido. D eterm ine la constante de resorte torsión al d e la flecha.

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94

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n

F ig u ra 1.91

1.43

En la tigura 1.92 s e m uestra una (lecha d e hélice com puesta, h echa d e acero y alum inio. a . D eterm ine la constante d e resorte torsional de la flecha. b . D eterm ine la constante de resorte torsional de la flecha com puesta cuando el diám etro interno del tubo d e alum inio e s d e 5 c m e n lugar d e 10 cm .

Aluminio Sección A A

F ig u ra 1.92

1.44

Cbnsidcrc d o s resortes helicoidales c o n las siguientes características: R esorte I: m aterial, acero; can tid ad d e vueltas, 10; diám etro m edio, 12 p u lg ; diám etro del alam bre, 2 p u lg ; longitud libre. 15 p u lg ; m ódulo de cortante. 12 X 10* Ib/pulg7. R esorte 2: m aterial, alum inio; cantidad d e vueltas. 10; diám etro m edio d e la espira. 10 p u lg ; diám etro del alam bre, I pulg; longitud libre. 15 p u lg ; m ódulo d e cortante, 4 X 10* lb/pulg7. Determ ine la constante d e resorte equivalente cu an d o (a ) e l reso rte 2 se c o lo c a d en tro d e l resorte 1, y (b) si e l resorte 2 se c o lo c a sobre e l resorte 1.

1.45

Resuelva e l problem a 1.44 suponiendo que los diám etros d e los resortes 1 y 2 so n d e 1.0 pulg y 0.5 pulg. en v e z de 2.0 pulg y 1.0 pulg. respectivam ente.

1.46

n brazo d e la excavadora q u e s e m uestra e n la figura 1.93 se p u ed e representar d e form a aproxim ada com o un tubo d e acero d e 10 pulg d e diám etro externo. 9 .5 pulg d e diám etro interno y 100 pulg d e lon­ gitud, con un coeficiente d e am ortiguam iento viscoso d e 0 .4 . □ brazo D E s e p u ed e representar d e form a aproxim ada com o un tu b o d e acero d e 7 pulg d e diám etro externo. 6.5 pulg d e diám etro interno, y 75 pulg d e longitud, c o n un coeficiente d e am ortiguam iento viscoso d e 0.3. Estim e la constante d e resorte equivalente y e l coeficiente d e am ortiguam iento equivalente d e la excavadora suponiendo q u e la base A C esté fija.

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P r o b le m a s

95

F ig u ra 1.93 Excavadora.

1.47

Un intercam biador d e calor se com pone d e seis tubos d e acero inoxidable idénticos c o n ectad o s en paralelo c o m o s e m uestra en la figura 1.94. S i cada tubo tiene un diám etro externo de 0 .3 0 pulg, un diám etro interno de 0 .2 9 pulg y 50 pulg, determ ine la rigidez axial y la rigidez torsional c o n respecto al g e longitudinal d e l intercam biador d e calor.

F ig u ra 1.94 Intercam b iad o r d e calor.

Sección 1.8 Elementos de masa o Inercia 1.48

Dos engranes, colocados e n los extrem os d e los eslabones 1 y 2. s e engranan entre s í y g iran alrededor de O , y 0 2,c o m o se m uestra e n la figura 1.95. S i los eslabones 1 y 2 e stán conectados a los resortes. k , a *4 y *,i y k n c o m o se m uestra, encuentre la rigidez d e resorte torsional equivalente y el m om ento de inercia dispuestos en paralelo c o m o se m uestra e n la figura 1.104. l a barra rígida a la cual están c o n ectad o s los d o s am orti& iadores perm anece horizontal c u a n d ) la fuerza F e s c ero . D eterm ine la constante d e am ortiguam iento equivalente del sistem a ( c ,) q u c relaciona la fuerza ap licada ( F ) c o n la velo cid ad resultante (v) com o F = c,v. Sugerencia: Gam o las constantes cfc am ortiguam iento d e los d o s a irorti girad ores son diferentes y las d sta n cias /, y l2 no son iguales, la ba rra rígida no perm anecerá horizontal cuando se aplique la fuerza F.

1.57* Diseñe un am ortiguador viscoso d e tipo pistón-cilindro p ara o btener una constante de am ortiguam iento de I Ib-s/pulg. c o n un (luido con viscosidad d e 4 /xrcyn (1 reyn = 1 lb-s/pulg?). 1.58* Diseñe un am ortiguador (de pistón-cilindro tip o cilindro hidráulico) p ara o btener u n a constante de am ortiguam iento d e 105 Ib-s/pulg utilizando aceite S A E 3 0 a 7 0 F . H diám etro d e l pistón tiene q u e ser m enor q u e 2.5 pulg.

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100

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n

'/ // / // / // / / // 7 / / / / // / // 'S / // / 7 // / ~ .

1.59

F ig u ra 1.104 A m ortiguadores en paralelo so m etid o s a u n a carga.

D e sa n o lle una e x p re sió n para la c o n stan te d e am o rtiguam iento d e l a m o rtig u ad o r rotacional que se m uestra e n la figura 1.105 e n fu n ció n d e D , d, /, h ,ta y p , d o n d e cu indica la velocidad a n g u la r cons­ tante d e l cilindro interno, y d y h representan la s holguras radial y axial entre los cilindros interno y externo.

F ig u ra 1.105

1.60

Considere d o s am ortiguadores no lineales c o n la m ism a relación fuerza-velocidad d ad a por F = 1000» + 400o2 + 2 0 » ' c o n F e n new tons y v e n m etros/segundo. Encuentre la constante d e am ortiguam iento linealizada d e los am ortiguadores a una velocidad de o p e rac ió n d e 10 in/s.

1.61

Si los am ortiguadores lincalizados d e l problem a 1.60 se conectan e n paralelo, determ ine la constante de am ortiguam iento equivalente resultante.

1.62

Si los am ortiguadores lincalizados d e l problem a 1.60 e stán conectados e n serie, determ ine la constante de am ortiguam iento equivalente resultante.

1.63

La relación fuerza-velocidad d e un am ortiguador no lineal está d ad a p o r F = 5 0 0 » + 100o2 + 5 0 » ',donde F c s tá e n new tons y v está en m etros/segundo. Encuentre la constante d e am ortiguam iento linealizada del am ortiguador a u n a velocidad d e operación de 5 m/s. S i se utiliza la constante d e am ortiguam iento linealizada resultante a u n a velocidad d e operación de 10 m/s, determ ine e l e rro r implicado.

1.64

La determ inación d e la fuerza de am ortiguam iento correspondiente a varios valores de la velocidad del am ortiguador arro jó los siguientes resultados:

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P r o b le m a s

F u e rz a d e a m o rtig u a m ie n to (N e w to n s)

Velocidad d e l am ortig u ad o r (m etros/segundo)

0.025

101

150

250

350

500

600

0.045

0.075

0 .1 1 0

0.155

0.185

D eterm ine la constante d e am ortiguam iento del am ortiguador. 1.65

Una p lac a p lana de 0.25 m J de área s e m ueve sobre una superficie plana paralela c o n u n a película de lubricantc d e 1.5 m m de esp esor entre las dos superficies paralelas. S i la viscosidad d e l lubricante es v e lo c id a d ( ¿ ) d e un am ortiguador no lineal está d ad a por F = a x + bx~ d o n d e a y b so n constantes. E ncuentre la constante d e resorte linealizada equivalente cu an d o la veloci­ dad relativa es de 5 m /s con a = 5 N -s/m y b = 0 .2 N -sJ/m 2.

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102

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n L70

La constante d e am ortiguam iento ( c ) p roducida por la resistencia por fricción d e una placa rectangular que s e m ueve e n un fluido d e viscosidad m está d ad a por (v ea la flgura 1.107): c = 100i t l 2d D iseñe un am ortiguador tipo p lac a (m ostrado e n la figura 1.42) q u e p roduzca una constante d e am orti­ guam iento idéntica p o r el m ism o fluido.

F ig u ra 1.107

1.71

l a constante d e am ortiguam iento (c ) d e l am ortiguador hidráulico q u e se m uestra en la figura 1.108 está dada p o r 11.27):

Determ ine la constante d e am ortiguam iento d e l am ortiguador hidráulico p o r los siguientes datos: ¡ i “ 0.3445 P a-s, I = 10 c m . h - 0 . 1 c m . a ■ 2 cm , r ■ 0.5 cm.

J

-

1 + ---------- i--------------

-------- 1 ------- 0'

V 2z U -/-J

1.72

F ig u ra 1.108

D i el problem a 1.71. tom ando los datos d a d o s c o m o referencia, d eterm ine la variación d e la constante „

(2.13)

donde i ■ ( - ! ) ' « y = I-

) ,/2

(2.14)

fe )' La ecuación (2.12) se conoce como ecuación a u x ilia r o c a ra cte rístic a correspondiente a la ecuación diferencial (2.3). Ix s dos valores de s dados por la ecuación (2.13) son las raíces de la ecuación ca­ racterística. también conocidas como »wlo r e s e ig e n o \a lo re s c a ra c te rís tic o s del problema. Como ambos valores de s satisfacen la ecuación (2.12). la solución general de la ecuación (2.3) puede expresarse como x { t ) = C xe im¿ + Cye-1" '1

(2.15)

donde C , y C2son constantes. Utilizando identidades e*»at = eos a t ± i x n a t

La ecuación (2 .15) se puede volver a escribir como

x(t) =

A , eos

to„t +

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A 2 sen«ü„r

(2 .1 6 )

124

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d

(bndc A, y A 2 son constantes nuevas. Las constantes C¡ y C2 o A , y A2 se determinan a partir de hs condiciones iniciales del sistema. Se tienen que especificar dos condiciones para evaluar estas constantes de forma única. Observemos que el número de condiciones que se tiene que especificar es igual al orden de ecuación diferencial regente. En este caso, si los valores de desplazamiento x(/)y velocidad i ( / ) = (dx/dr)(t) se especifican como xq y .r0 en t = 0. tenemos, de acuerdo con k» ecuación (2.16), x { l = 0) = A , = x 0 x ( l = 0 ) = (onA 2 = X q

(2.17)

R )r consiguiente. A, = x Q y A2 = Xq/ üí„. Por lo tanto la solución de la ecuación (2.3) sujeta a las condiciones iniciales de la ecuación (2.17) está dada por Xn

x l i ) = xq e o s aint + —

2 2

5

M o v im ie n t o a r m ó n ic o

senu)Hi

(2.18)

^as ecuaciones (2.15). (2.16) y (2.18) son funciones de tiempo armónicas. El movimiento es simftrico con respecto a la posición de equilibrio de la masa m. La velocidad es un máximo y la aceleración es cero cada vez que la masa pasa por esta posición. En los desplazamientos extremos, 13 velocidad es cero y la aceleración es un máximo. Como esto representa movimiento armónico ampie (vea la sección 1.10). el sistema de resorte-masa se conoce como o sc ila d o r a rm ó n ic o . La cantidad con dada por la ecuación (2.14) representa la frecuencia natural de vibración del sistema. La ecuación (2.16) se puede expresar en una forma diferente si introducimos la notación A | = A eos A 2 = Ascntf>

(2.19)

(bndc A y «£son las constantes nuevas, las cuales se pueden expresar en función de A , y A 2 como

A = (A* + A ¡ ) ' ' 2 = |^Xo +

= tan

J

= amplitud

= lanH( ^ - ) = ^S o 'o dcfa se

(2.20)

Si introducimos la ecuación (2.19) en la ecuación (2.16), la solución puede escribirse como x (f ) = A eos (u>nt - >f>)

(2.21)

Utilizando las relaciones A | = A o sen < ¿o

A 2 = A q eos d>a

(2.22)

La ecuación (2.16) también puede expresarse como * (/ ) = A0 sen(cun/ + o)

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(2.23)

22

V ib ración lib re d e u n siste m a traslacion aJ n o a m o r tig u a d o

125

donde 1/2

M i ) ’]

(2 .2 4 )

tan

(2 .2 5 )

L a n a tu ra le z a d e l a o s c ila c ió n a r m ó n ic a se p u e d e r e p re s e n ta r g rá fic a m e n te c o m o e n l a fig u ra 2 .8 (a ). S i A im p lic a u n v e c to r d e m a g n itu d A , e l c u a l f o r m a u n á n g u lo a > j - c o n r e s p e c to a l e je v e rtic a l (x ). e n to n c e s se v e q u e la s o lu c ió n , la e c u a c ió n (2.21 ) .e s la p ro y e c c ió n d e l v e c to r A s o b re e l e j e x . L a s c o n s ta n te s A , y A2 d e la e c u a c ió n ( 2 . 16 ) , d a d a s p o r l a e c u a c ió n ( 2 .19 ) , s o n s im p le m e n te los c o m p o ­ n e n te s re c ta n g u la r e s d e A a lo la r g o d e d o s e je s o r to g o n a le s q u e fo rm a n lo s á n g u lo s

y - ( f - también puede inter­ pretarse como el ángulo entre el origen y el primer pico. Cb servemos los siguientes aspectos del sistema de resorte-masa. 1.

Si el sistema de resorte-masa está en una posirión vertical, como se muestra en la figura 2.7(a), la frecucnda circular natural puede expresarse como '/ 2

(2.26)

-fe )

La constante de resorte k puede expresarse en función de la masa m de acuerdo con la ecuación (2.9) como W

mg

* =

0 .2 7 ,

La sustitución de la ecuación (2.27) en la ecuación (2.14) da

=

(Ü

(2-28)

De aquí que la frecuencia natural en dclos por segundo y el periodo natural los den

(229) t'/2

- i - » ®

(2.30)

'

R>r lo tanto, cuando la masa vibra en una direcdón vertical, podemos calcular la frecucnda na­ tural y d periodo de vibración con sólo medir la deflexión estática 6^,. No tenemos que conocer la rigidez k del resorte ni la masa m. 2. Según la ecuación (2.21) la velocidad i ( r ) y la aceleración x (/) de la masa m en el instante / puede obtenerse como

¿ (0 “ ^ ( 0

"

sen ( a y -) = a y 4 c o s ^ a y - J> + |

x ( t ) = ~ y ( 0 = ~ ) = u>2nA e o s (velocidad. conocido como espacio de estado o plano de fase. Para esto consideramos el desplazamiento dado por la ecuación (2.21) y la velocidad correspondiente: x(/) = A eos ( o j j - ) o < o s(a y

- < t> ) =

^

x(/) =

-A ta ,

sen (tu,/ - )

( 2 34)

“

(2.35)

o s e n K / ~ 4>) =

) + s e n 2(to„r - d») = 1 o X2

y2

+



La gráfica de la ecuación (2.36) en el plano (x. y ) es un círculo, como se muestra en la figura Z9a, y constituye la representación en el plano de fase o espacio de estado del sistema no amor­ tiguado. El radio del círculo. A. se determina a partir de las condiciones iniciales de movimiento. Observemos que la gráfica de la ecuación (2.36) en el plano (x. x ) seráuna elipse, como se muestra en la figura 2.9(b).

(a)

(b)

F ig u ra 2 .9 Representación del plano de fase de un sistema no amortiguado.

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128

C a p ítu lo 2

E je m p lo 2.1

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d

R e sp ue sta a rm ó n ic a d e u n t a n q u e d e a g u a La colum na d e l tanque t'j|

(2.70)

d o n d e ( C j , C'2 ) , (X,) y ( X 0 ,4>o) s o n c o a s ta n te s a r b itra r ia s q u e s e tie n e n q u e d e te r m in a r a p a rtir d e la s c o n d i d o n e s in ic ia le s . E n l a s c o n d ic io n e s in ic ia le s * ( / = 0 ) = x 0 y x ( t = 0 ) =

xq , C

\ y C 2. s e d e te r m in a n c o m o

sig u e:

c i— y p o r c o n s ig u ie n te la s o lu c ió n es

* ( , ) = e - ( ^ { XQc o s V i -

+

? a > nt

sen V i V i -

( 2 üj„i |

(2.72)

£*„

L a s c o n s ta n te s (X . tfi) y (X0, r lo ta n to , l a s lín e a s r a d ia le s q u e p a s a n p o r e l o r ig e n c o r re s p o n d e n a re la c io n e s d e a m o r ti­ g u a m ie n to d if e r e n te s , c o m o s e m u e s tra e n l a fig u ra 2 .3 6 . P o r c o n s ig u ie n te , c u a n d o £ * 0 , no h a y a m o r tig u a m ie n to ( 6 = 0 ) y la f r e c u e n c ia n a tu ra l a m o r tig u a d a s e r e d u d r á a la fre c u e n c ia n a tu ra l

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2 .8

V a r ia cio n e s d e p a r á m e tr o s y r e p r e se n ta c io n e s d e l lu g a r g e o m é tr ic o d e las r a íc e s Im

------------------ ►Re

tud y

Figura 2 .3 3 Interpretación»» d e

Im

Figura 2 .3 4 t*>„ e n e l p la n o

s.

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V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d Im

“A =

'

1-

“A “ “.V I - i 22

O

F igura 2 .3 5 tod en e l plano s.

Im t

r o a m o r tig u a d a . A s im is m o , c u a n d o £ = 1. te n e m o s a m o r tig u a m ie n to c r ít i c o y l a lín e a ra d ia l q u e d a a l o la r g o d e l e je re a l n e g a tiv o . l a c o n s ta n te d e t ie m p o . T .d e l s is te m a , s e d e f in e c o m o r = j -

y . p o r c o n s ig u ie n te , l a d is ta n c ia D O o A B re p re s e n ta e l re c íp ro c o d e l a c o n s ta n te d e tie m p o

(2 ,1 1 4 )

=

P ü r c o n sig u ie n te , lín e a s d ife re n te s p a ra le la s a l e je im a g in a rio in d ic a n lo s re c íp ro c o s d e c o n s ta n te tie m p o d ife re n te s ( f ig u r a 2.37).

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fr*\l

C a p ítu lo 2

2 .8

V a r ia cio n e s d e p a r á m e tr o s y r e p r e se n ta c io n e s d e l lu g a r g e o m é tr ic o d e las r a íc e s

167

Im

Figura 2 .3 7 r e n e l p la n o s .

Lugar g e o m é tr ic o d e la s ra íc e s y v a r ia c io n e s de p a rá m e tro

Una gráfica que muestra cómo los cambios en uno de los parámetros del sistema modificarán las raíces de la ecuación característica del sistema se conoce como gráfica del lugar geométrico de las raíces. E l método del lugar geométrico de las raíces es un poderoso método de análisis y diseño para determinar la estabilidad y respuesta transitoria de un sistema, ftira un sistema vibratorio, el lugar geométrico de las raíces se puede usar para describir cualitativamente el desempeño del sistema a medida que cambian varios parámetros, como la masa, la constante de amortiguamiento o la constante de resorte. En el método del lugar geométrico de las raíces, la trayectoria o el lugar geométrico de las raíces de la ecuación característica se traza sin encontrar en realidad las raíces mismas. Esto se logra con un conjunto de reglas que conducen a una gráfica razonablemente pre­ cisa en un tiempo relativamente corto [2.8J. Estudiamos el comportamiento del sistema variando un parámetro, entre la relación de amortiguamiento, la constante de resorte y la masa, a la vez en lunción de las ubicaciones de sus raíces características en el plano s. V a ria ció n d e la r e la c ió n d e a m o rtig u a m ie n to : Variamos la constante de amortiguamiento desde cero hasta infinito y estudiamos la migración de las raíces características en el plano s . Para esto, utilizamos la ecuación (2.109). Observamos que no es necesario considerar los valores negativos de la constante de amortiguamiento (c < 0), porque producen raíces situadas en el semiplano real positivo que corresponden a un sistema inestable. Por lo tanto, iniciamos con c ■ 0 para obtener, a partir de la ecuación (2.109),

V - 4 mk *1,2

±ÍO)„

2m

(2 .1 1 5 )

Por lo tanto, las ubicaciones de las raíces características se inician en el eje imaginario. Como las raíces aparecen en pares conjugados complejos, nos concentramos en el semiplano imaginario superior y luego localizamos las raíces en el semiplano imaginario inferior como imágenes de es­ pejo. Manteniendo constante la frecuencia natural no amortiguada (tu„), variamos la constante de amortiguamiento c. Se nota que las partes real e imaginaria de las raíces de la ecuación (2.109) se pueden expresar como -

V W a

~

2m =

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2m

- c2

2 = ± 3 i. E stas raíces se m uestran c o m o puntos en d eje im aginario de la figura 2.39. Al u tilizar una secuencia creciente d e valores de c . la ecuación ( E 2 ) d a las raíces c o m o se indica e n la tabla 2. 1.

lm

F ig u ra 2 .3 9 Gráfica d e l lu ¿£ r g eom étrico de las raíces c o n variación de la c o n stan te de a m o rtig u am ie n to (c).

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170

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d Se v e q u e las raíces perm anecen com o conjugadas com plejos a m edida q u e c se increm enta h asta u n vab r d e c = 18. F n c = 18. las des raíces se vuelven reales c idénticas con un v a lo r d e -3 .0 . A m edida q u e c se increm enta m ás allá d e un valor de 18. las raíces perm anecen distintas con valores reales negativos. U na raíz ye vuelve m á s y m ás negativa y la o tra s e vuelve m enos y m ero s negativa. P o r lo tanto, a m edida q u e c - * oo, una raíz tiende a - o o c n tanto q u e la otra tiende a 0 . E stas tendencias d e la s raíces s e m uestran en la figura 2.39.

T a b l a 2.1 V a lo r d e e

V a lo r d e s 2

V a lo r d e s ,

0

+ 3i

-3 /

2

- 0 .3 3 3 3 + 2 .9 8 14¿

- 0 .3 3 3 - 2 .9 8 1 4 /

4

- 0 .6 6 6 7 + 2.9721/

- 0 .6 6 6 7 - 2.9721/

6

- 1 .0 0 0 0 + 2.8284/

- 1 .0 0 0 0 - 2.8284/

8

- 1 .3 3 3 3 + Z 6874/

- 1 .3 3 3 3 - 2.6874/

10

- 1 .6 6 6 7 + 2.4944/

- 1 .6 6 6 7 - 2 .4 9 4 4 /

12

- 2 .0 0 0 0 + 2.2361/

-ZOOOO - 2.2361/

14

- Z 3 3 3 3 + 1.8856/

- Z 3 3 3 3 - 1.8856/

16

- Z 6 6 6 7 + 1.3744/

—Z 6 6 6 7 - 1.3744/

18

- 3 .0 0 0 0

- 3 .0 0 0 0

20

-1 .8 8 0 3

- 4 .7 8 6 3

30

-1 .0 0 0 0

- 9 .0 0 0 0

40

-0 .7 1 3 1

- 1 2 .6 2 0 2

50

-5 5 8 7

- 1 6 .1 0 7 9

100

-0 .2 7 2 2

-3 3 .0 6 1 1

1000

- 0 .0 2 7

-3 3 3 .3 0 6 3

V a r i a c ió n d e l a c o n s t a n t e d e r e s o r t e : C b m o la c o n s ta n te d e r e s o r te no a p a r e c e e x p líc ita m e n te e n la e c u a c ió n ( 2 .1 0 8 ) , c o n s id e r a m o s u n a f o r m a e s p e c í f ic a d e l a e c u a c ió n c a ra c te rís tic a ( 1 1 0 7 ) c o m o : s 2 + 16* + * -

0

(2 . 1 2 1 )

L a s ra íc e s d e l a e c u a c ió n ( 2 .1 2 1 ) s o n -1 6 ± V 256 -

4*

SU

= -8 ± V ó4 -

k

(2 .1 2 2 )

C b m o la rig id e z d e re s o rte n o p u e d e s e r n e g a tiv a p a ra s is te m a s v ib r a to r io s re a le s , c o n s id e ra m o s la v a ria c ió n d e lo s v a lo re s d e k d e s d e c e r o h a s ta in fin ito . I-a e c u a c ió n ( 2 .1 2 2 ) m u e s tra q u e p a r a

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2 .8 0 s

V a r ia cio n e s d e p a r á m e tr o s y r e p r e se n ta c io n e s d e l lu g a r g e o m é tr ic o d e las r a íc e s

k

< 6 4 . l a s d o s r a íc e s s o n r e a le s e id é n tic a s . A m e d id a q u e

k

171

s e h a c e m a y o r q u e 6 4 . la s ra íc e s

se v u e lv e n c o n ju g a d o s c o m p le jo s . L a s r a íc e s c o r re s p o n d ie n te s a v a lo re s d if e r e n te s d e A se m u e s tra n e n la t a b la 2 .2 . L a s v a r ia c io n e s d e l a s d o s r a íc e s s e t r a / a n ( c o m o p u n to s ) c o m o s e m u e s tra e n la f ig u r a 2 .4 0 .

V a r i a c ió n d e l a m a s a : P a ra h a lla r la m ig ra c ió n d e la s ra íc e s c o n u n a v a ria c ió n d e l a m a s a / « . c o n ­ s id e ra m o s u n a f o r m a e s p e c íf ic a d e l a e c u a c ió n c a ra c te rís tic a . l a e c u a c ió n ( 2 .1 0 7 ) , c o m o

m s 2 + 1 4 s + 20 = 0

(2 .1 2 3 )

c u y a s ra íc e s s o n -1 4 ± V l9 6 -

80m

=

e o s

('d fu n e l'.

tapan,

xO ),

1)) ,

(« x (l) ') j

(*IJa a p lo

2 . 1 9 'J »

% d fu n e l.b fu n etio n f ■ d fu n el f - a a r o a (2 . 1) , f(l)

- x < 2>,

f (2)

-

-0 .S

•

9.11

< t,

•

x)

eign„

i o c. —

4 . 0 efecto d e la m asa d e l resorte se puede te n e r e n cuenta agregando la siguiente fracción d e su m asa a la m asa vibratoria:

5 . Rira un am ortiguador viscoso con constante de am ortiguam iento c . la fuerza de am ortiguam iento es: a ex

b. e x

c. ex

6 . 0 deslizam iento relativo de los com ponentes e n un sistem a m ecánico ocasiona: a . am ortiguam iento d e fricción seca

b.am ortiguam iento viscoso

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c.am ortiguam iento de histé resis

P re g u n ta s d e rep aso

199

7 . En vibración torsional. e l desplazam iento se mide e n función de: a . coordenada lineal

b . coordenada a n g u la r

c . coordenada d e fuerza

8. La relación d e am ortiguam iento, en función d e la c o n stan te d e am ortiguam iento c y la constante de am ortiguam iento crítico (cf ). es: Cc a. — i

. c b. —

9. l a am plitud d e un sistem a subam ortiguado sujeto a un desplazam iento inicial x0 y una velocidad inicial 0 está d a la por: a. x0

c . xtfo„

b. 2*o

10. H ángulo d e fase d e un sistem a subam ortiguado sujeto a un desplazam iento inicial * „ y a una vcb e id a d inicial 0 está dado p o r a.

xq

b. 2*0

c. 0

11. l a energía d isipada d ebida a am ortiguam iento viscoso es proporcional a la siguiente potencia de b am plitud de m ovim iento: a. 1

b. 2

c. 3

12. R ú a un sistem a críticam ente am ortiguado, e l m ovim iento será: a . periódico

b . aperiódico

c . arm ónico

13. l a en erg ía d isipada p o r ciclo en am ortiguam iento viscoso con constante d e am ortiguam iento c {bram e el m ovim iento arm ónico sim ple *

=

0,

b. 100¿ + 20»

=

10, i-(O) = i>(r = 0) = 10

a

c. I00Í- - 20.= *

R e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a . L a e c u a c ió n (3 .4 9 ) s e rc e s c rib e c o m o kX

TF =11 q

1 r

+ i2 (r

=

H {iü > )

(3-54)

2 La determinación de los parámetros del sislema (m. c y k) basada en punios de mediana potencia y otras características de respuesta del sistema se considera en la sección 10,8 en el sitio web. 1 La ecuación (3.49) se puede escribir como ZJi'o»)* - F& donde W m ) - -m o r + ¿cur + * es la denominada impedancia mecánica del siacma I3.8J.

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258

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a i b n d e H(ia>) s e c o n o c e c o m o l a re s p u e s ta d e fr e c u e n c ia c o m p le ja d e l s is te m a . H v a lo r a b s o lu to d e //(«*>) e s t á d a d a p o r

(3 3 5 ) [(1 -

r 2) 2 + ( 2 ¿ r ) 2] ' / 2

in d ic a e l f a c to r d e a m p lific a c ió n d e f in id o e n l a e c u a c ió n ( 3 .3 0 ) . R e c o rd a n d o q u e é * = e o s lo d a l a e c u a c ió n ( 3 .5 2 ) , l a c u a l ta m b ié n s e p u e d e e x p r e s a r c o m o

= t a n ' 1

( 3 -5 7 )

R j r lo ta n to , l a e c u a c ió n ( 3 .5 3 ) se e x p r e s a c o m o

*,(') - j l W t H k " " '* 1 S e v e q u e l a f u n d ó n d e re s p u e s ta d e fre c u e n c ia c o m p l e ja ,

0-S8) c o n tie n e ta n to l a m a g n itu d c o m o

la fa se d e l a re s p u e s ta d e e s ta d o e s ta b le . El u s o d e e s t a f u n c ió n e n la d e t e m i i n a d ó n e x p e rim e n ta l d e b s p a rá m e tro s d e l s is te m a (m . c y k ) s e a b o r d a e n l a s c c d ó n 1 0 .8 . S i F ( t) = F 0 e o s cfc la e c u a c ió n ( 3 .5 3 ) p ro p o rc io n a l a s o lu c ió n d e e s ta d o e s ta b le c o rre s p o n d ie n te :

= R e £ j//(m > )e “ 'J

= R e ^ i / / ( i ü > ) k i(“ ' " * ) J

io i .

l a p a r te re a l

039)

h c u a l e s ig u a l a la c c u a d ó n ( 3 .2 5 ) . A s im is m o , s i F (i) = F0 s e n io i, l a p a rte im a g in a ria d e l a c c u a d ó n ( 3 ,5 3 ) d a l a s o lu c ió n d e e s ta d o e s ta b le c o r re s p o n d ie n te :

= Im

(3 .6 0 )

R e p r e s e n t a d ó n d e l m o v im ie n to a r m ó n i c o c o m o u n v e c t o r c o m p l e j o . L a e x c ita c ió n a r m ó n ic a y la re s p u e s ta d e l s is te m a a m o rtig u a d o a d ic h a e x d l a d ó n s e p u e d e n re p re s e n ia r g r á fic a m e n te e n d p l a n o c o m p le jo , y a l d ia g r a m a re s u lta n te s e le p u e d e d a r u n a in te re s a n te in te r p r e ta c ió n . P rim e ro d ife re n c ia m o s l a e c u a d ó n ( 3 3 8 ) c o n re s p e c to a l tie m p o p a ra o b te n e r

V e lo c id a d -

A c e le r a c ió n

x p ( l ) => r a > y | / / ( i f t > ) | ^ * - = i u x p( t )

= x p( t ) = (¡to)2 j \ H ( i a > ) \ e ^ ' ' ♦ > =

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~a>2x p ( t )

( 3 .6 1 )

3 .6

R e sp u e sta d e u n s is t e m a a m o r tig u a d o s o m e tid o a l m o v im ie n to a r m ó n ic o de la b a se

259

P o rq u e i se e x p resa co m o i = eos y

+ / sen y

= e '*

( 3 .6 2 )

p o d e m o s c o n c lu ir q u e la v e lo c id a d s e a d e la m a a l d e s p la z a m ie n to p o r el á n g u lo d e f a s e

tt /

2 y que

e s t á m u ltip lic a d a p o r tu. A s im is m o , - 1 s e p u e d e e s c rib ir c o m o -1

= e o s w + / sen

tt

-

(3 .6 3 )

P o r c o n s ig u ie n te , l a a c e le r a c ió n s e a d e la n ta a l d e s p la z a m ie n to e n e l á n g u lo d e f a s e

tt ,

y e s tá m u l­

tip lic a d a p o r to1. D e e s e m o d o , lo s d iv e r s o s té rm in o s d e la e c u a c ió n d e m o v im ie n to ( 3 .4 7 ) se p u e d e n re p re s e n ta r e n e l p la n o c o m p le jo , c o m o s e m u e s tr a e n l a fig u ra 3 .1 3 . L a in te r p r e ta c ió n d e e s t a f ig u r a e s q u e la s u m a d e l o s v e c to re s c o m p le jo s m x ( i ) . c x { i ) . y k x ( t) b a la n c e a F \t) , q u e e s p re c is a m e n te lo q u e se re q u ie re p a r a s a tis f a c e r l a e c u a c ió n ( 3 .4 7 ) . T a m b i é n e s d e n o ta r s e q u e e l d ia g r a m a c o m p le to g ira c o n u n a v e lo c id a d a n g u la r tu e n e l p la n o c o m p le jo . S i s ó lo s e t ie n e q u e c o n s id e r a r l a p a rte re a l d e la re s p u e s ta , e n to n c e s e l d ia g r a m a c o m p le to d e b e p ro y e c ta rs e s o b r e e l e je r e a l. A s im is m o , s i s ó lo se t ie n e q u e c o n s id e r a r l a p a rte im a g in a ria d e la r e s p u e s ta , e n to n c e s e l d ia g r a m a d e b e p ro y e c ta rs e so b re e l e j e im a g in a rio . E n la fig u ra 3 .1 3 . o b s e r v e q u e l a f u e rz a F {i) = F ^ " * a p a r e c e re p re se n ta d a c o m o u n v e c to r lo c a liz a d o a u n á n g u lo tur c o n r e s p e c to al e je re a l. E s to im p lic a q u e F 0 e s re a l. S i F 0 ta m b ié n e s c o m p le ja , e n to n c e s e l v e c to r fu e rz a F (t) e s ta rá lo c a liz a d o a u n á n g u lo d e (tu + i/» )d o n d e i¡i e s a lg ú n á n g u lo d e fa se in tr o d u c id o p o r F 0. E n e s e c a s o , to d o s lo s d e m á s v e c to r e s , e s d e c i r , m x , e x , y k x . s e d e s p la z a rá n e l m is m o á n g u lo t\i. E s to e q u iv a le a m u ltip lic a r a m b o s la d o s d e la e c u a c ió n (3 .4 7 ) p o r e ‘*.

F igura 3 .1 3 R epresentación de la ecu ació n (3.47) e n un plano com plejo.

3.6

R e s p u e s ta d e u n s is te m a a m o rtig u a d o s o m e tid o ai m o v im ie n to a r m ó n ic o d e la b a s e E n o c a s io n e s l a b a s e o s o p o r te d e u n s is te m a d e re s o rte -m a s a -a m o rtig u a d o r e x p e r im e n ta m o v i­ m ie n to a rm ó n ic o , c o m o s e m u e s tra e n l a f ig u ra 3 .1 4 (a ) . S e a >•(/) e l d e s p la z a m ie n to d e l a b a s e y * ( /) e l d e s p la z a m ie n to d e l a m a s a c o n re s p e c to a su p o s ic ió n d e e q u ilib r io e s tá tic o e n e l tie m p o /. y , y l a v e lo c id a d r e la tiv a e n tre lo s d o s e x tre m o s d e l E n to n c e s e l a la rg a m ie n to n e to d e l r e s o rte e s x a m o r tig u a d o r e s x - y . D el d ia g r a m a d e c u e rp o lib re q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 3 . 1 4 (b ), o b te n e m o s la e c u a c ió n d e m o v im ie n to :

mx

+ c (x

-y)

+

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k(x - y)

= 0

(3 .6 4 )

260

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a

+í

+x

+x

J

m

* í3

+y * y (l)= y s c n i

Lt J C

J

m

k {x - y )

c(x - y )

K (b)

(a)

F ig u ra 3 .1 4 E xcitación de la base.

S i y ( /) = Y s e n to t. l a e c u a c ió n ( 3 .6 4 ) s e e s c rib e c o m o m x + e x + k x = k y + c y = k Y s e n u>t + c a tY e o s t + a )

( 3 .6 5 )

ito n d e A = Y V k 2 + ( c u ,) 2 y cr = tan 1 [ ~ t ] - Es*0 d e m u e s tr a q u e e x c ita r l a b a s e e q u iv a le a a p lic a r u n a f u e r z a a r m ó n ic a d e m a g n itu d A a l a m a s a . U tiliz a n d o l a s o lu c ió n in d ic a d a p o r la e c u a ­ c ió n ( 3 .6 0 ) , la re s p u e s ta d e e s ta d o e s ta b le d e l a m a s a . x p(r), s e p u e d e e x p r e s a r c o m o Y V k 2 + (cu>)2 (3 .6 6 )

s e n (« tí - s e e x p r e s a n c o m o X

k 2 + ( c m )2

Y

_ ( k - mu>2 ) 2 + ( c m ) 2

~|»/2 _ i

J

1 -f ( 2 £ r ) 2

1 1 /2

Lo- r1)1+Wrf\

m ea?

tan -1 _ k (k -

m u ? ) + (m c )2 _

t a n - 'T ^ L> + < « * -

(3 .6 8 )

(3 .6 9 ) \)r 2]

L a r e la c ió n d e la a m p litu d d e l a re s p u e s ta x p(t) a la d e l m o v im ie n to d e l a b a s e >*(/), y . s e l la m a tra n sr i s i b i l i d a d d e l d e s p la z a m ie n to .4 L a s v a ria c io n e s d e y = Td y 4> d a d a s p o r l a s e c u a c io n e s ( 3 .6 8 ) y ( 3 .6 9 ) s e m u e s tra n e n la s fig u ra s 3 . l 5 ( a ) y ( b ) . re s p e c tiv a m e n te , p a ra d ife re n te s v a lo re s d e r y f .

4l a expresión para la trunsmisibilidad del desplazamiento también se puede obtener siguiendo el método de función de transferencia que se describe en la sección 3.14.

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3 .6

R e sp u e sta d e u n s is t e m a a m o r tig u a d o s o m e tid o a l m o v im ie n to a r m ó n ic o de la b a se

261

ii

i

(b)

(-) F ig u ra 3 .1 5 V ariaciones d e 7rfy ¿ c o n r.

O b s e rv e q u e si l a e x c ita c ió n a r m ó n ic a d e la b a s e s e e x p r e s a e n f o r m a c o m p le ja c o m o >’(/) R c ( Y é * ) . l a re s p u e s ta d e l s is te m a s e e x p r e s a , b a s a d a e n e l a n á lis is d e l a s e c c ió n 3 . 5 . c o m o

(3 .7 0 )

y l a tra n s m is ib ilid a d d e d e s p la z a m ie n to c o m o

j

= Td = [ l + ( « r j ’ p l H t t o ) !

d o n d e la e c u a c ió n ( 3 .5 5 ) d a p o r re s u lta d o \H (ia> ) |. L o s s ig u ie n te s a s p e c to s d e l a tr a n s m is ib ilid a d d e l d e s p la z a m ie n to , Td =

(3 .7 1 )

se o b s e rv a n e n la

f ig u r a 3 .1 5 (a ): 1.

E l v a lo r d e T d c s u n ita r io e n r = 0 y s e a p r o x im a a l a u n id a d c o n v a lo r e s p e q u e ñ o s d e r.

2.

P a ra u n s is te m a n o a m o r tig u a d o ( £ = 0 ) , Td - * oo e n r e s o n a n c ia ( r - 1).

3.

El v a lo r d e T d c s m e n o r q u e la u n id a d V 2 ( p a ra c u a lq u ie r c a n tid a d d e a m o r tig u a m ie n to f ) .

4. 5.

El v a lo r d e Td c s u n ita rio p a r a t o d o s lo s v a lo r e s d e £ y c o n r = V i . P a r a r < > / 2 . l a s re la c io n e s d e a m o rtig u a m ie n to p e q u e ñ a s c o n d u c e n a v a lo re s g r a n d e s d e Td ftw o t r a p a r te , p a r a r > y / 2 , lo s v a lo re s p e q u e ñ o s d e la r e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to c o n d u c e n a v a lo re s p e q u e ñ o s d e T+

6.

L a tra n s m is ib ilid a d d e l d e s p la z a m ie n to . T d. a lc a n z a u n v a lo r m á x im o c o n 0 < f < 1 a l a r e l a ­ c ió n d e fre c u e n c ia r = r m < 1 d a d a p o r (v e a e l p ro b le m a 3 .6 0 ): 1/2

V i + 8£2 - 1

rm

-* [ 1 . 1

E n la f ig u r a 3 .1 4 . u n a fu e rz a . F , s e tra n s m ite a la b a s e o s o p o rte d e b id o a l a s re a c c io n e s d e l re s o rte y e l a m o r tig u a d o r h id rá u lic o . E s ta f u e r z a s e d e te r m in a c o m o

F u e rza tr a n s m it id a

F = k(x - y)

+

c(x - y) = - mx

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(3 .7 2 )

262

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a

I 3 ■s

*íí í F ig u ra 3 .1 6 T ransm isibilidad d e fuerza.

S e g ú n l a e c u a c ió n ( 3 .6 7 ) , l a e c u a c ió n (3 .7 2 ) s e p u e d e e s c rib ir c o m o ( 3 .7 3 )

F - m tit2 X s e n (tur - é ) a F r s e n (tu / - é ) tto n d e Fr c s l a a m p litu d o v a lo r m á x im o d e l a f u e rz a tr a n s m itid a a l a b a s e d a d a p o r

— = r2 kY

» + (2 fr)2

l*/2 1

( 3 .7 4 )

L(1 - r2)2+ (2£r)2J

L a r e la c ió n (F T/ k Y ) s e c o n o c e c o m o tr a n s m is ib ilid a d d e f u e r z a ,5 O b s e rv e q u e l a f u e r z a tr a n s m itid a e s tá e n f a s e c o n e l m o v im ie n to d e l a m a s a x (f). L a v a r ia c ió n d e l a fu e rz a tra n s m itid a a l a b a s e c o n h r e la c ió n d e fre c u e n c ia r s c m u e s tra e n la f ig u r a 3 .1 6 p a r a v a lo r e s d if e r e n te s d e £.

.2

S i z ■ x - y in d ic a e l m o v im ie n to d e l a m a s a c o n re s p e c to a l a b a s e , l a e c u a c ió n ( 3 .6 4 ) d e m o v i­ m ie n to s e p u e d e v o lv e r a e s c r ib ir c o m o

M o v im ie n t o re la tiv o

m 'z + c z + k z = - m y = m to 'Y s e n tu/

( 3 .7 5 )

l a s o lu c ió n d e e s ta d o e s ta b le d e l a e c u a c ió n ( 3 .7 5 ) es m o r Y s e n (tu / -

) = Z se n (tu / -

2 (0 "

[(* -

] '/ >

c b n d e Z. la a m p litu d d e z (/). s e e x p r e s a c o m o m to 2Y V (A -

50

mtu2) 2 + (c tu )2

( 3 .7 7 ) V ( l - r 2 )2 + ( 2 ¿ r ) 2

u s o d e l c o n c e p to d e tr a n s m is ib ilid a d e n e l d is e rto d e s is te m a s a is la n te s d e l a v ib r a c ió n s e a b o r d a e n e l c a p ítu lo 8 . L a

o p r e s i ó n p a r a l a t r a n s m i s i b i l i d a d t a m b i é n s e p u e d e o b t e n e r p o r m e d i o d e l m é to tk > d e f u n c ió n d e t r a n s f e r e n c i a q u e s e d e s ­ c r ib e e n l a s e c c i ó n 3 .1 4 .

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3 .6

R e sp u e sta d e u n s is t e m a a m o r tig u a d o s o m e tid o a l m o v im ie n to a r m ó n ic o de la b a se

263

F ig u ra 3 .1 7 Variación d e IZ/Y) o IMX/me) con relació n d e frec u e n cia r = (tu/aiü.

y «A, p o r

L a r e la c ió n ZJX s e m u e s tra g r á fic a m e n te e n la f ig u r a 3 .1 7 . L a v a r ia c ió n d e t e s l a m is m a q u e se m u e s tr a p a r a en la fig u r a 3.1 l ( b ) .

E je m p lo 3 .4

V eh ícu lo q u e v ia ja s o b re u n a c a rre te ra d esig ua l La figura 3.18 m uestra un m odelo sim ple d e un autom otor q u e v ib ra e n la dirección vertical a l viajar p o r una carretera desigual. H vehículo tiene una m asa d e 1200 kg. 13 sistem a d e suspensión tiene u n a constante de resoitc d e 4 0 0 kN/m y una relación d e am ortiguam iento d e £ = 0.5. Si la velocidad d e l vehículo es d e 20 km /h, determ ine la am plitud d e desplazam iento d e l vehículo. L a superficie d e la carretera varía senoidalm ente con una am plitud de Y = 0.05 m y longitud d e o n d a d e 6 m. S o lu c ió n : La frecuencia a» d e la excitación de la base s e determ ina dividiendo la velocidad d e l vehículo, v k m /h . entre la longitud d e un ciclo de asp e re z a de ondulación de la carretera: to =

2i r f = 2 i r ( V \

J6

3600

= Q290889v rad/s

P ara v = 20 km /h. a t= 5.81778 rad/s. l a frecuencia natural d e l vehículo es IT

( 400 x 10*

- V; “r i » - ; y p o r consiguiente la relación d e frecuencia r e s n < I y un valor negativo para o / o i n > 1. Por lo tanto, la ecuación 3.95 también se puede expresar como 4 ti N = tan 1

ttFq

(3.96)

La ecuación (3.93) muestra que la fricción sirve para limitar la amplitud de vibración forzada para o)/o¡n 1. Sin embargo, en resonancia (tü/u>n * 1). la amplitud se vuelve infinita. Fsto se

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272

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a p u e d e e x p lic a r c o m o s i g u e . L a e n e r g ía d irig id a h a c ia e l s is te m a d u r a n te u n c ic lo c u a n d o e s e x c ita d o a rm ó n ic a m e n te e n re s o n a n c ia es

AW

F -d x =

- i

■L

F —

/

Fq s e n a it • [ iü X e o s ( o n

) ] d i

(3 .9 7 )

C o m o l a e c u a c ió n (3 .9 4 ) d a ó = 9 0 ° e n re s o n a n c ia , l a e c u a c ió n ( 3 .9 7 ) s e e s c rib e c o m o • 2w /u A W " = FqX oj

í.

senz un d i =

ttF qX

(3 .9 8 ) > 4 /x N X p a r a q u e X te n g a

L a e c u a c ió n ( 3 .8 6 ) d a l a e n e r g ía d is ip a d a p o r e l s is te m a . C o m o

un v a lo r r e a l , A W ’ > A W e n r e s o n a n c ia (v e a l a f ig u ra 3 .2 3 ). P a r lo ta n to , m á s e n e r g ía s e d ir ig e al á s t e m a p o r c ic lo q u e la q u e s e d is ip a p o r c ic lo . E s ta e n e r g ía e x tr a s e u tiliz a p a ra in c re m e n ta r la a m p íitu d d e v ib ra c ió n . P a r a la c o n d ic ió n no re s o n a n te (io/u>n

1 ). la e n e r g ía a lim e n ta d a s e d e te r m in a

c o n la e c u a c ió n (3 .9 7 ):

A W ’ = r la p r e s e n c ia d e s e n e n l a e c u a c ió n ( 3 .9 9 ) . s e h a c e q u e l a c u r v a d e l a e n e r g ía a lim e n ta d a e n la fig u ra 3 .2 3 c o in c id a c o n l a c u r v a d e l a e n e r g ía d is ip a d a , a s í q u e l a a m p litu d s e lim ita . P o r lo ta n to , se v e q u e l a fa se d e l m o v im ie n to « ^ lim ita la a m p litu d d e m o v im ie n to . L a re s p u e s ta p e r ió d ic a d e u n s is te m a d e r e s o r te - m a s a c o n a m o r tig u a m ie n to d e C o u lo m b s o m e ­ tid o a e x c ita c ió n d e l a b a s e s e d a e n la s re fe re n c ia s [ 3 .1 0 . 3 .1 1 J.

MV

F igura 3 .2 3 E n erg ía a lim en tad a y e n e rg ía disipada con a m o rtig u am ie n to de C oulom b.

E je m p lo 3.8

S is te m a d e re s o rte -m a s a con a m o rtig u a m ie n to d e C o u lo m b U n sistem a d e resorte d e 4 0 0 0 N /m rigidez y m asa d e 10 kg v ib ra sobre una superficie horizontal. B co eficien­ te d e fricción e s d e 0 . 12. Cuando se som ete a u n a fuerza arm ó n ica d e 2 Hz d e frecuencia, la m asa vibra c o n una am plitud d e 4 0 mm. D eterm ine la am plitud de la fuerza arm ónica ap licada a la masa. S olución: La fuerza vertical (peso) de la m asa e s JV = m g = 10 X 9.81 = 9.81 N. L a frecuencia natural es

a m - f ; = f

10

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= 20 rad /s

3 .9

V ib ración fo r za d a c o n a m o r tig u a m ie n to d e h is t é r e s is

273

y la re la c ió n d e fre c u e n c ia e s

oí

2 X 2 jt 20

= 0.6283

La ecuación (3.93) d a la am plitud d e vibración X : 1/2

-fe )’ H s)í _ [ 4 < 0 .I2 )(9 8 .I)| 0 .0 4 =

4000

1 /2

(1 - 0 6 2 8 3 2)3

La solución d e esta ecu ació n es Fn = 97.9874 N.

3.9

v ib r a c ió n fo rz a d a c o n a m o rtig u a m ie n to d e h is té re s is Considere un sistema de un solo grado de libertad con amortiguamiento de histéresis sometido a una fuerza armónica F(/) = F0sen «/.como se indica en la figura 3.24. l a ecuación de movimiento de la masa se deriva con la ecuación (2.157). como m x + ^— x + k x = F n s e n o ii O)

( 3 .1 0 0 )

d o n d e ( p k / o i ) x = ( h / o i ) x in d ic a l a f u e r z a d e a m o r tig u a m ie n to .6 A u n c u a n d o l a s o lu c ió n d e la e c u a c ió n 3 100 e s b a s ta n te c o m p lic a d a e n e l c a s o d e u n a f u n c ió n fo rz a d a g e n e r a l F ( t) , n o s in te re s a e n c o n tr a r la re s p u e s ta b a jo u n a fu e rz a a rm ó n ic a .

F ig u ra 3J24 S istem a c o n a m o rtig u a m ie n to de histéresis.

6 Fn contraste con el amortiguamiento viscoso, la fuerza de amortiguamiento en este caso se puede considerar que es una función de la frecuencia forzada (vea la sección 2.10).

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C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a La s o lu c ió n d e e s ta d o e sta b le d e la e cu a c ió n (3 .1 0 0 ) s e puede su p o n e r c o m o : xp(t) = X s e n (tor - )

(3 .1 0 1 )

Sustituyendo la ecuación (3.101) en la ecuación (3.100), obtenemos F0

X =

(3.102) 1 /2

.M M P

= tan 1

-s)

(3.103)

Las gráficas de las ecuaciones (3.102) y (3.103) se muestran en la figura 3.25 para varios valores de p . Una comparación de la figura 3.25 con la figura 3.11 para amortiguamiento riscoso revela b siguiente: 1.

La relación de amplitud

(F0 / k )

0

1

2

3

(¿ r) — ♦

4

5 F ig u ra 3 .2 5 Respuesta de e sta d o estable.

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3 .1 0

M o v im ie n to fo r za d o c o n o tr o s t ip o s d e a m o r tig u a m ie n to

a lc a n z a s u v a lo r m á x im o d e Fo/ k 0 a l a fre c u e n c ia (a¡ =

oj„)

275

e n e l c a s o d e a m o rtig u a m ie n to d e

h is té re s is . e n t a n t o q u e o c u r r e a u n a f r e c u e n d a p o r d e b a jo d e l a d e re s o n a n c ia ( = 0 e n e l c a s o d e a m o r tig u a m ie n to d e h is té re s i s . e n ta n to tie n e u n v a lo r d e c e r o e n ot = 0 e n e l c a s o d e a m o rtig u a m ie n to v is c o s o . E s t o in d ic a q u e la re s p u e s ta n u n c a p u e d e e s t a r e n f a s e c o n l a f u n c ió n fo rz a d a e n e l c a s o d e a m o r tig u a m ie n to d e h is té re s is .

O b s e rv e q u e s i s u p o n e q u e l a e x c ita c ió n a r m ó n ic a e s F (t) = F ^e** e n l a f ig u r a 3 .2 4 . l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to s e e s c rib e e n to n c e s c o m o m x + — x + k x = F o t* lü

( 3 .1 0 4 )

E n e s te c a s o , l a re s p u e s ta x ( t ) ta m b ié n e s u n a fu n c ió n a r m ó n ic a q u e im p lic a e l f a c to r e m l. P o r c o n ­ s ig u ie n te . iü¡x(t) d a p o r re s u lta d o x ( t ) , y la e c u a c ió n ( 3 .1 0 4 ) s e e s c rib e c o m o m x + k { \ + i p ) x = Focio*

(3 .1 0 5 )

d o n d e la c a n tid a d * ( I + 10) s e c o n o c e c o m o rig id e z c o m p le ja o a m o r tig u a m ie n to c o m p le jo 1 3 .7 |. L a p a rte re a l d e l a s ig u ie n te e c u a c ió n p ro p o r c io n a l a s o lu c ió n d e e s ta d o e s ta b le d e l a e c u a c ió n ( 3 .1 0 5 ) F0e * ' (3 .1 0 6 )

x (0 =

.]

3. 10

M o v im ie n to f o rz a d o c o n o tro s tip o s d e a m o r tig u a m ie n to El a m o rtig u a m ie n to v is c o s o e s la fo rm a m á s s im p le d e a m o rtig u a m ie n to u tiliz a d o e n la p r á c tic a , y a q u e c o n d u c e a e c u a c io n e s lin e a le s d e m o v im ie n to . E n lo s c a s o s d e a m o r tig u a m ie n to d e C o u lo m b e h is te r é tic o . d e f in im o s c o e f ic ie n te s d e a m o r tig u a m ie n to v is c o s o e q u iv a le n te s p a ra s im p lif ic a r e l a n á lisis. I n c lu s o , p a ra u n a f o r m a m á s c o m p le ja d e a m o r tig u a m ie n to d e fin im o s u n c o e f ic ie n te d e a m o rtig u a m ie n to v is c o s o e q u iv a le n te , c o m o s e ilu s tra e n lo s s ig u ie n te s e je m p lo s . E l u s o p ra c tic o d e a m o rtig u a m ie n to e q u iv a le n te s e a n a liz a e n la r e fe r e n c ia [3 .1 2 ].

E je m p lo 3.9

A m o rtig u a m ie n to c u a d rá tic o D eterm ine e l coeficiente d e am ortiguam iento viscoso correspondiente a am ortiguam iento cuadrático o de w lo c id a d a l cuadrado que se presenta cuando un cuerpo se m ueve e n un flujo d e fluido turbulento. S o lu c ió n : Se supone q u e la fuerza d e am ortiguam iento es Fé =

( E .l )

d o n d e a e s una c o n stan te, x es la velocidad relativa a trav és del am ortiguador, y cu an d o x e s positiva (negati­ va) se d eb e u tilizar e l signo negativo (positivo) e n la ecu ació n ( E I ). L a energía disipada p o r ciclo d urante el m ovim iento arm ónico x (l) = X sen u t está dada por

8

/2

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ato1 eos3 a* d (ta t) = - a¡2a X i 3

(E.2)

276

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a S i ig u a la m o s e s ta e n e rg ía a la e n e rg ía d isip a d a e n u n a m o r tig u a d o r v isc o so e q u iv a le n te ( v e a la e c u a c ió n 2 .9 4 »

AVV = ffCjqtuX7

(E .3 )

(titcnem os e l coeficiente d e am ortiguam iento viscoso equivalente (c,^) Ce, =

(E .4)

Se observa q u e c^, no es una constante sino que v aría c o n w y X. La am plitud d e la respuesta d e e stad o estable se determ ina con la ecuación (3.30): I

(E 3 )

\ / ( l - r 2)2 + ( H ^ r ) 2 dande r = to/at y Cf«

^

t

“ ss;

,e s tá d e f in id a p o r su m a g n itu d M M

M 0( w ) = -T 7 T T M M

( 3 .1 2 D

y la fase p o r

•$>M = oM - M

(3 .1 2 2 )

l a f u n c ió n d e l s i s t e m a , M .( to y * * " * , s e lla m a f u n c ió n d e r e s p u e s ta d e f r e c u e n c i a y 4 > M c o n M t (tú) D a n tad a re s p u e s ta d e f r e c u e n c i a d e a m p l i tu d o m a g n itu d . l a m a g n itu d d e re s p u e s ta d e f r e c u c n d a la d a l a r d a c i ó n e n tr e l a m a g n itu d d e la s in u s o id e d e s a lid a c o n l a m a g n itu d d e l a s in u o s id e d e e n tr a d a . L a d if e r e n c ia d e lo s á n g u lo s d e f a s e e n tre las s in u s o id e s d e s a lid a y e n tra d a d a la re s p u e s ta d e fa s e . C a d a u n a d e e s ta s re s p u e s ta s e s u n a f u n ­ d ó n d e fre c u e n c ia y s e a p lic a rá s ó lo a la s re s p u e s ta s s e n o id a le s d e e s ta d o e s ta b le d e l s is te m a . P o r

Ffl. m

I r x (t) - M 0 eos («Oí + c ) -

->

/W - M, eos {wt + * ,) = Af,(«)«*. ( a ) S is te m a fís ic o

(b ) D iagram a d e b lo q u e s

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F ig u ra 3 3 6

3 .1 4

F u n c io n e s d e tr a n sfe r e n c ia d e fr e c u e n c ia

293

c o n v e n ie n c ia d e n o ta c ió n , e n o c a s io n e s la fu n c ió n d e re s p u e s ta d e fre c u e n c ia s e lla m a f u n d ó n d e tra n s f e re n c ia d e f re c u e n c ia , i n d ic a d a c o m o 7\¡) = ----------- \ ---------* - m a r + to e

(E -2 )

E sta función de transferencia d e frecuencia se puede v o lv er a escribir com o

(E 3 )

donde Al() =

(E.4)

4>0( u ) = O

/— L r - - y V (* - n u J y + (u c y

5 ) \ k - mto )

(E.5)

S e ve q u e la am plitud o m agnitud d e T\io))esiá d ad a por M ,( s ) = | r ( i » ) | =

(E.6) [ ( * - m*T)3 + (ruc)3]j

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294

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a

y e l á n g u lo d e fa s e p o r

(E -7> Se observa q u e la ecu ació n (E 5 ) e s idéntica a las ecu acio n es (3.30) y (3 .3 1). P o r lo tanto, la función d e trans­ ferencia d e frecuencia d e l sistem a. 1 \Uo), se p u ed e determ inar a p artir d e la función d e transferencia general, 1\s), sustituyendo iu> en lu g ar d e s. A u n cu an d o esta o bservación se h ace sólo p ara un sistem a d e un solo grado de libertad (ecuación diferencial d e segundo o rd e n ), se puede com probar para cu alq u ier ecu ació n diferencial lineal invariable c o n el tiem po d e o rd e n enésim o.

■ l a re s p u e s ta d e f r e c u e n c ia d e u n s is te m a d e s e g u n d o g ra d o , c o m o e l s is te m a d e re s o rte -m a s a a m o r tig u a d o r, i n d ic a la re s p u e s ta d e e s ta d o e s ta b le d e l s is te m a a u n a e n tr a d a s e n o id a l p a r a p o s i-

R e p re se n ta ció n d e la s c a ra c te r ís tic a s d e re s p u e s ta d e f re c u e n c ia

N e s fre c u e n c ia s d ife re n te s d e la e n tr a d a s e n o id a l. S e p u e d e d e m o s tr a r g rá fic a m e n te d e d ife re n te s m a n e ra s . E n l a s e c c ió n 3 .4 , la s v a ria c io n e s d e la r e la c ió n d e m a g n itu d o a m p litu d (M ) y e l á n g u lo efe f a s e (< £ )c o n la fre c u e n c ia (to ) s e tra z a ro n c o m o d o s g rá fic a s d is tin ta s . P a ra a lg u n o s s i s t e m a s , la fre c u e n c ia ot v a ria rá d e n tro d e u n ra n g o c o n s id e ra b le m e n te g ra n d e . E n e s o s c a s o s e s c o n v e n ie n te u tiliz a r e s c a la s lo g a r ítm ic a s p a ra a c o m o d a r e l ra n g o c o m p le to d e u> e n g rá fic a s tr a z a d a s e n p a p e l efe ta m a ñ o e stá n d a r. D i a g r a m a s d e B o d e . U n d ia g r a m a d e B o d e s e c o m p o n e d e d o s g r á f ic a s , u n a g r á fic a d d lo g a ritm o efe la m a g n itu d d e la f u n d ó n d e tr a n s f e r e n c ia d e f r e c u e n c ia (A f)c o n tra e l lo g a ritm o d e l a fre c u e n c ia (eu) y u n a g r á f i c a d e l á n g u lo d e f a s e ( (t| •), c í e l a C B x 3 .ll')

E je m p lo 3 .2 0

R e sp ue sta fo rz a d a d e u n sis te m a c o n a m o rtig u a m ie n to d e C o u lo m b U tilizando M A T IA B , trace la respuesta forzada d e un sistem a d e resorte-m asa c o n am ortiguam iento de Coulomb p ara los siguientes datos: m — 5 k g . * = 2000 N /m . p —0 .5 . F (t) —100 sen 30f N. x 0= 0.1 m. x 0 = 0.1 m/s.

S olución: L a ecu ació n de m ovim iento d e l sistem a se expresa como m x + k x + ¿ v n g s g n ( x ) = F0 scnaM

(E .1)

la cual s e p u ed e v o lv er a escribir c o m o un sistem a d e d o s ecu acio n es diferenciales d e prim er orden (utilizando x , - « y i . - i ) com o

¿i = x2 x 2 = — sen un - — x , - p g sg n (x 2) Fft m

(E .2)

con las condiciones iniciales x , (0) «• 0.1 y x j(0 ) ™0 . 1. A co ntinuación se da la solución de la ecuación (E.2). cbtenida c o n M A T L A B utilizando o d « 2 3 . % Kx3

20 .a

% Este

programa

% a a Car tapan xO [ t , x]

an

C

dlap p lo t

( [ t (t.

g ta x t t l t l a

u tllla a r á

a laaa

la

12',

t x l), X (l,

función

dfunc3_20.m ,

daban

carpata

[Oí O . O l i 4 ) , [0 .1 , 0.11, ■ oda23 ('d fu nc3

diap

xlabal

la

x (t)

tapan.

xO ),

x d ( t ) ' ) ,

1 )),

(*t'> , ( ' x ( t ) •) , ( 'Ex3.1 2 '),

% dfunc3 íunctloo

12.a f - dfunc3_12

f . aaroa (2. 1), f«l> - x (2) , f (2) - 1 0 0 * a i n ( 3 0 * t ) / 5

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(t .

-

x)

9 .81«0.S-aig n(x< 2))

-

(2000/51 • * ( ! ) ,

3 .1 5 »

Uc3

E je m p lo s r e s u e l t o s u t il i z a n d o M A T L A B

299

12

e

x(t) 0.1000 0.0991

xd(t) 0.1000 -0.2427

0.0200

0.0954

-0.4968

0.0300 0.0400 0.0500

0.0B94 0.0819 0.0735

-0.6818 -0.8028 -0.8704

3.9500

0.0196 0.0095

-0.9302 -1.0726

0 0 0 0

-1.1226 -1.0709 -0.9171

0 0.0100

3.9600 3.9700 3.9800 3.9900

-

4.0000

. . . .

0 0 0 0

0 1 2 3

1 2 2 0

6 6 6 7

-0.6704

Fjem plo 320 1---------------1---------------1---------------T

_ n i l _________ I__________ I__________ 1__________ I__________ I__________ 1___________ I_________

' 0

E je m p lo 3.21

05

I

2 t

15

25

3

35

4

R e sp u e sta d e u n sis te m a s o m e tid o a e x c ita c ió n d e base U tilizando M A TL A B . encuentre y trace la respuesta de un sistem a d e resorte-m asa viscosam ente am ortiguado som etido a la excitación d e b a se >t con los siguientes datos: m = I 200 kg. k = 4 x 105 N/m . i = 0 .5 . Y = 0.05 m . tu - 29.0887 rad/s. ^ = 0. i 0 = 0.1 m/s. S o lu c ió n : La ecuación d e m ovim iento, ecu ació n (3.64): n x + ex + kx

= ky

+ cy

(E .I )

s e puede ex p resar c o m o un sistem a d e d o s ecu acio n es diferenciales o rd in arias d e p rim er orden (utilizando X| = x y Xj = x ) como

¿i =

x2

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300

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a

con c = ( c c = 2i V f r n = 2(0.5)V < 4 X i(^ K 1200), y = 0 .5 w n 29.0887/. y >• = (29.0887X 0.05) eos 29.0887/. A continuación s e da la solución de la ecu ació n (E .2 )o b ten id a utilizando o d a 2 3 . % B ata programa u t i l l i a r l % a n l a mioma c a r p e t a tapan . [Oí O . O l i 2 ) ,

la

(unción dfunc!

2 1 . m,

daban aparacar

>0 . (0 , 0.11, tt.

xl

diap dlap p lo t xlaba gtaxt t i t í a

■ oda23

( 'dfun el

(• t (tt x l), (t. x 1 )), l t 't * ) » ('x (t )* ) , ( 'C x3.1 3 * ) I

% dfunel

xO),

xd(t) '),

(t .

x)

- x(2 ), ■ 400000*0.05*aln(29.0887*t)/ 1200 . . . . a q r t (4 0 0 0 0 0 *1 2 0 0 )*2 9 .0 8 8 7 *0 -0 5 *co a (2 9 .08B7*t) /1200 -

»

tapan,

2 0 .m

fu n ctio n f - dfunc3_20 f . raro s (2, 1 ), f t l ) f (2)

13•, x(t)

a q r t (400000*1200)*x (2) /1200

BxJ t

13 x (t)

xd(t>

0

0

0 .1 0 0 0

0 .0 1 0 0

0 .0 0 2 2

0 .3 4 2 2

0 .0 2 0 0

0 .0 0 6 7

0 .5 5 5 3

0 .0 3 0 0

0 .0 1 3 1

0 .7 1 3 8

0 .0 4 0 0 o .o so o

0 .0 2 0 8

0.7984

0 .0 2 8 8

0 .7 9 7 6

1 .9 5 0 0

- 0 .0 3 8 8

0 .4 9 9 7

1 .9 4 0 0

- 0 .0 3 2 2

0 .8 0 2 6

1 .9 7 0 0

- 0 .0 2 3 0

1 .0 3 8 0

1 .9 8 0 0

- 0 .0 1 1 8

1 .1 8 6 2

1 .9 9 0 0

0 .0 0 0 4

1 .2 3 4 8

2 .0 0 0 0

0 .0 1 2 4

1 .1 7 9 6

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-

(400000/1200)* x (l) ,

. . .

3 .1 5

E je m p lo 3 .2 2

R e sp u e sta d e e s ta d o e s ta b le d e u n sis te m a v is c o s a m e n te a m o rtig u a d o D esarrolle un program a M A T L A B d e u so general, llam ado P r o g r a m 3 . m para e n co n trar la respuesta d e esta ­ d o estable d e u n sistem a d e un solo g ra d o de libertad viscosam ente am ortiguado som etido a la fuerza arm ónica F 0c o s wr o F „scn un. U se e l program a para h a lla r y graficar la respuesta d e un sistem a con los siguientes datos: m - 5 kg.

c «- 2 0 N -s/m .

F0 - 2 5 0 N .

A = 5 0 0 N /m .

n - 40.

o> = 4 0 rad/s.

ic - 0

.Solución: Se desarrolla P r o g r a m 3 .m pora q u e a cep te los siguientes datos de entrada: xm = masa i c - constante de am ortiguam iento x k “ constante d e resorte / o »- am plitud d e la función forzada o m = frecuencia forzada n = cantidad de pasos en un ciclo e n e l cual s e va a calcular la respuesta ic = 1 para función fo rrad a tip o co sen o ; 0 para función forzada tipo seno El program a da los siguientes resultados: cantidad d e p aso s r '. i ( i ) . i ( i ) . i ( i ) El program a tam bién traza las variaciones d e i . i , y i c o n el tiem po.

»> program a R aap u asta d a da

lib a rta d

a lta d o no

a a ta b la

am o rtig u ad o

d a

un

a ia ta m a

so m atId o

a

una

da

un

fu a ria

a o lo

grado

arm ó n ica

D a to » d a d o s XI» ■ S .0 0 0 0 0 0 0 0 a , 000 xc a 2 .00000000a , 001 xk

a

5 .00 0 00000a, 002

10

■

2 . S0000000a«002

om

a a

4 .0 0 0 0 0 0 0 0 e ,0 0 1 0

■

20

le n

R a a p u a ita i i

x (i>

x d (i>

x d d (l)

1 .3 5 2 8 2 0 2 4 a -0 0 2

1 .2 1 0 3 5 4 7 2 0 ,0 0 0 9 .8 3 8 9 7 3 1 5 0 -0 0 1

-3 .5 5 4 6 5 7 2 1 0 ,0 0 1

3

2 .2 2 1 6 6 0 7 5 0 -0 0 2 2 .B 7 3 0 2 8 6 3 a-0 0 2

4

3 .2 4 3 1 6 3 1 4 a -0 0 2

6 .6 1 1 2 8 7 3 8 0 -0 0 1 2 .7 3 6 4 3 9 7 2 a-0 0 1

-4 .5 9 6 8 4 5 8 1 0 ,0 0 1 -5 .1 8 9 0 6 1 0 2 0 ,0 0 1

s 6

3.29583277a-002 3 .0 2 5 8 8 1 8 4 0 -0 0 2

-1 .4 0 6 2 7 0 9 6 0 -0 0 1 - 5 . 4113 254 00-0 0 1

-5 .2 7 3 3 3 2 4 4 0 ,0 0 1 -4 .8 4 1 4 1 0 9 4 0 ,0 0 1

7

2 .4 5 9 7 3 5 1 3 0 -0 0 2

-8 .8 8 6 6 7 9 1 6 0 -0 0 1

- 3 .9 3 5S762 0 a ,0 01

8 10

1 .6 5 2 8 1 1 2 9 0 -0 0 2 6 .8 4 0 9 8 0 1 8 0 -0 0 3 -3 .5 1 5 7 9 8 4 6 0 -0 0 3

-2 .6 4 4 4 9 8 0 6 0 ,0 0 1 -1 .0 9 4 5 5 6 8 3 0 ,0 0 1 5 .6 2 5 2 7 7 5 4 0 ,0 0 0

11 13

-1 .3 5 2 8 4 2 4 7 0 -0 0 2 -2 .2 2 1 6 7 8 8 2 0 -0 0 2

-l.1 4 9 2 1 3 8 8 a .0 0 0 -1 .2 9 7 2 6 6 2 6 0 ,0 0 0 -1 .3 1 8 3 3 2 5 9 0 ,0 0 0 -1 .2 1 0 3 5 0 7 5 0 ,0 0 0

13 14 1S

-6 .6 1 1 2 0 2 9 5 0 -0 0 1 -2 .7 3 6 3 4 4 4 2 0 -0 0 1 1 .4 0 6 3 6 7 8 1 0 -0 0 1

4 .5 9 6 8 6 5 2 3 0 ,0 0 1 5 .1 8 9 0 6 9 0 7 0 ,0 0 1

-3 .2 9 5 8 3 0 1 9 0 -0 0 2

16 17

-3 .0 2 5 8 7 1 9 0 0 -0 0 2 -2 .4 5 9 7 1 8 8 1 0 -0 0 2

5 .4 1 1 4 1 4 3 2 0 -0 0 1 8 .8 8 6 7 5 1 4 4 0 -0 0 1

4 .8 4 1 3 9 5 0 4 0 ,0 0 1 3 .9 3 5 5 5 0 0 9 0 ,0 0 1

18 19

-1 .6 5 2 7 9 0 1 8 0 -0 0 2 -6 .8 4 0 7 4 1 9 2 0 -0 0 3 3 .5 1 6 0 4 0 5 9 0 -0 0 3

1 .1 4 9 2 1 8 7 4 0 ,0 0 0 1 .2 9 7 2 6 8 2 7 0 ,0 0 0 1 .3 1 8 3 3 1 5 6 0 ,0 0 0

2 .6 4 4 4 6 4 2 9 0 ,0 0 1 1 .0 9 4 5 1 8 7 1 0 ,0 0 1

1 2

9

20

-2 .8 7 3 0 4 0 7 7 0 -0 0 2 -3 .2 4 3 1 6 8 1 7 0 -0 0 2

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-9 .8 3 8 9 0 7 8 7 0 -0 0 1

-2 .1 6 4 5 1 2 3 8 0 ,0 0 1

2 .1 6 4 5 4 7 9 4 0 ,0 0 1 3 .5 5 4 6 8 6 1 2 0 ,0 0 1

5 .2 7 3 3 2 8 3 1 0 ,0 0 1

-5 .6 2 5 6 6 4 9 4 0 ,0 0 0

302

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a

? l_________ I_________ I__________I__________!__________I__________I_________ !__________ 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 016

Resumen del capítulo Consideram os las respuestas d e vibración fo rra d a d e sistem as no am ortiguados y viscosam ente am ortiguados to jo excitaciones arm ónicas. L as excitaciones arm ónicas lo so n en la form a d e fuerza aplicada a la m asa, m o­ vim iento d e la base y fuerza ejercida e n la m asa d e l sistem a por una m asa dcsbalanceada rotatoria. Tam bién analizam os los aspectos d e resonancia, batidos, relación d e am plificación o am plitud, ángulo d e fase, vibración transitoria y vibración d e e stad o estable. F inalm ente, estudiam os la aplicación d e l m étodo d e función d e trans­ ferencia. las transform adas d e L aplace y la función d e transferencia d e frecuencia p ara d eterm inar la respuesta de sistem as arm ónicam ente excitados. A hora q u e y a h a term inado este capítulo, d eberá s e r c ap a z d e responder las preguntas d e repaso y resolver b s p roblem as que se d a n a continuación.

Referencias 3.1

G. B. T hom as y R. L. Finncy, C alculas a n d A nalytic C.eometry = 1000 rpm .

325

O btenga la ecuación d e m ovim iento y en cu en tre la solución de e stad o estable d e l sistem a q u e se m ues­ tra en la fig u ra 3.45 para m ovim iento rotatorio en to m o a la bisagra O p a ra los d a to s siguientes: * = 5 0 0 0 N/m . / - 1 in . m - 10 k g. A/0 - 100 N-m . o* - 1 0 0 0 rpm .

* El asterisco indica un problema de tipo diserto, o un problema sin respuesta única. 7El uso de vigas en voladizo como medidores de frecuencia se analiza en detalle en la sección 10.4 en el sitio web.

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P r o b le m a s

313

S e c c ió n 3 . 4 R e s p u e s t a d e u n s i s t e m a a m o r t ig u a d o s o m e t i d o a f u e r z a a r m ó n ic a 3.26

Considere un sislcm a de rcsottc-m asa-am ortiguador c o n k = 4 0 0 0 N /m , m = 10 kg y c = 4 0 N-s/m . D eterm ine las respuestas de e stad o estable y total d e l sistem a som etido a la fuerza arm ónica F (i) - 200 eos 10/ N y la s condiciones iniciales x0 = 0. i m y ¿ 0 = 0.

3.27

Considere un sistem a d e resorte-m asa-am ortiguador c o n k — 4 0 0 0 N /m . m - 10 kg y c - 4 0 N-s/m . D eterm ine las respuestas de e stad o estable y total d e l sistem a som etida a la fuerza arm ó n ica F (i) = 200 eos 10/ N y la s condiciones iniciales -r0 = 0 y i 0 = 10 m/s.

3.2X

Considere un sistem a d e resoitc-m asa-am ortiguador c o n * = 4 0 0 0 N /m , m = 10 kg y t ap licada a la m itad d e la b arra, com o se m uestra en la figura.

Figura 3 .5 6

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319

Sección 3.5 Respuesta de un sistema amortiguado sometido a H t) - F0e'*'f 330

O btenga la expresión para la respuesta d e frecuencia com pleja d e un sistem a torsional n o am ortiguado.

3.51

U n sistem a de un solo grado d e libertad am ortiguado, c o n parám etros m = 150 kg, * = 25 kN /m y c = 2 0 0 0 N-s/m . se som ete a la fuerza a r m ó n i c a / /) = 100 e o s 2 0 /N. E ncuentre la am plitud y el án g u lo de fese de la resp u esta d e e stad o estable d e l sistem a m ediante un m étodo gráfico.

Sección 3.6 Respuesta de un sistema amortiguado sometido al movimiento armónico de la base 3 .5 2

La estructura d e un edificio de un piso se som ete a una aceleración arm ónica d e l su e lo com o s e m uestra o í la figura 3.57. Encuentre e l m ovim iento d e estado estable d e l suelo (m asa m i ) .

3 .5 3

Encuentre e l desplazam iento horizontal del piso (m asa m i ) d e la estructura d e l edificio q u e s e m uestra en la figura 3.57 cuando la aceleración d e l suelo la d a Sg “ 100 sen un mm/s: suponga q u e m i ■ 2 0 0 0 kg. * = 0.1 M N /m , w = 25 rad/s y xf (/ = 0) = xf (/ = 0 ) = x7

X55

Un autom óvil se m odela c o m o un sistem a d e un solo grado d e libertad q u e v ib ra e n la dirección vertical. Se conduce a lo larg o d e una carretera c u y a elevación varía scnoidalm cntc. l a distancia d e u n a eleva­ ción a u n a dep resió n e s d e 0.2 m y la distan cia a lo largo d e la carretera e n tre las elevaciones e s d e 35 m. Si la frecuencia d e l auto m ó v il e s d e 2 H z y la relación d e am ortiguam iento d e los am ortiguadores es de (115, determ ine la am plitud de vibración d e l autom óvil a una velocidad d e 60 km /hora. S i se varía la velocidad d e l autom óvil, encuentre la velocidad m ás desfavorable para los pasajeros.

3.56 Derive la ecuación (3.74). X51

La estructura cfc un edificio d e un piso s e m odela c o m o un piso rígido de m asa m i y las colum nas d e rigi­ d e z L .com o se m uestra e n la figura 3 5 8 . S e propone q u e e l am ortig u ad o r m ostrado e n la figura s e utilice pira absorber las vibraciones producidas por e l m ovim iento horizontal d e l suelo y " - *J>

o) = X o t~ ' e o s (19.975/ - 0)

(E .3)

d m d c X0 y ifo so n c onstantes desconocidas. La so lu ció n total s e puede ex p resar c o m o la superposición de * * ('> y

xp(i)c o m o

x (l) = X oe-‘ cos(19.975/ - ) +

‘ 7 7 ^ i c o s ( 5' “ sc n !9 .9 7 5 (/ - 0.2); i > 0 .2 ¡

Nota, l a gráfica de la ecuación (E 3 ) s e m uestra e n e l ejem plo 4.33.

R e s p u e s ta a u n a c o n d ic ió n fo rza d a g e n e ra l

Ahora consideramos la respuesta del sistema sometido a una fuerza externa arbitraria F (t), mostra­ da en la figura 4.9. Se puede suponer que esta fuerza se compone de una serie de impulsos de Mag­ nitud variable. Suponiendo que en el tiempo t , la fuerza F ( t ) actúa en el sistema durante un corto periodo de tiempo A r, el impulso que actúa en el tiempo / = r es F ( t ) A t. En cualquier tiempo /, el tiempo transcurrido a partir del impulso es t - r . de modo que la ecuación (4.27) da la respuesta del sistema en el tiempo /debido a este impulso solo con F - F \ t ) A r: A * (/) = F ( r ) A r g ( t -

r)

(4 .2 8 )

La respuesta total en el tiempo t se encuentra sumando todas las respuestas producidas por los im ­ pulsos elementales que actúan en todos los tiempos t :

*(0 “ 2 F ( T)s(' - T ) At

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(4.29)

352

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as

Figura 4 .9 F u n c ió n fó rz a th a rb itra ria (n o periódica).

S i A t —►0 y r e e m p la z a m o s la s u m a p o r l a in te g ra c ió n , o b te n e m o s

*(/) = Jo

" T) dT

(4,30)

Sustituyendo la ecuación (4.25) en la ecuación (4.30), obtenemos

x (t) = — — f

m ío d J o

F ( r ) e - Í " ^ ' _T) x n o > j ( t -

t

)

J

J

(E .8)

4 .6

E sp ec tr o d e r esp u e sta

359

Respuesta d u ra n te t > t0: E n este caso tam bién ú til i/a m o s la ecu ació n ( E 1) p ara FXr). pero e l límite superior de integración e n la ecuación ( E 3 ) se rá i * d a d o q u e F( t ) = 0 d urante r > P o r lo tam o, la respuesta s e en­ cu en tra a p a rtir d e la ecuación ( E 7 ) estableciendo t = t0 dentro d e los p aréntesis rectangulares. I>c esto resulta

x (t)

4.6

(1 -

eos (wn/0 ) s e n w „ / -

((■>„/ -

senaV o) c o s u ij

(E.9)

E s p e c tro d e re s p u e s ta L a g r á fic a q u e m u e s tra l a v a r ia c ió n d e l a re s p u e s ta m á x im a ( d e s p la z a m ie n to , v e lo c id a d , a c e le r a ­ c ió n o c u a lq u ie r o t r a c a n tid a d m á x im a ) c o n la fr e c u e n c ia n a tu r a l ( o p e rio d o n a tu ra l) d e u n s is te m a d e u n s o lo g ra d o d e lib e r ta d a u n a f u n c ió n fo rz a d a e s p e c if ic a d a s e c o n o c e c o m o e s p e c tr o d e r e s ­ p u e s ta . D a d o q u e l a re s p u e s ta m á x im a s e t r a z a c o n tr a la fre c u e n c ia n a tu ra l ( o p e r io d o n a tu r a l) , el e s p e c tr o d e r e s p u e s ta d a l a re s p u e s ta m á x im a d e t o d o s lo s p o s ib le s s is te m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib e rta d . El e s p e c t r o d e fre c u e n c ia s e u tiliz a a m p lia m e n te e n e l d is e ñ o d e in g e n ie ría s ís m ic a |4 .2 , 4 .5 J . U n re p a s o d e lite ra tu ra re c ie n te s o b re e s p e c tro s d e re s p u e s ta d e c h o q u e y s ís m ic a s e d a e n la re fe re n c ia [4.7). U na v e z d is p o n ib le e l e s p e c tro d e re s p u e s ta c o r re s p o n d ie n te a u n a fu n c ió n fo rz a d a e s p e c i f ic a ­ d a . s im p le m e n te te n e m o s q u e c o n o c e r l a fre c u e n c ia n a tu ra l d e l s is te m a p a r a d e te r m in a r s u r e s p u e s ­ ta m á x im a . E l e je m p lo 4 .1 4 ilu s tr a la c o n s tr u c c ió n d e u n e s p e c tr o d e re s p u e s ta .

E je m p lo 4 .1 4

E s p e c tro d e re s p u e s ta d e un p u lso se n oid al Encuentre el espectro d e respuesta no am ortiguada para la fuerza pulsante senoidal m ostrada e n la figura 4 . 15(a) utilizando las c o n d icio n es in ic iales*(0) - ¿ (0 ) - 0.

«L

F ig u ra 4 .1 5 E s p e c tr o d e r e s p u e s ta d e b id o a u n p u ls o s e n o id a l.

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360

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as Solución: M étodo: E ncuentre la respuesta y ex p rese su v a lo r m áxim o e n función d e su periodo natural. La ecuación de m ovim iento d e u n sistem a no am o rtig u ad ) s e expresa com o

m x + k x = F ( t) = i A"

(a

(E .I )

t >t0

(bndc

-5 La solución d e la ecu ació n Jo + B 's e n a v o

(E .11 )

2 jt/0 1 eos ------- > r„ J

= - t o aA ' ten tó J + iunI f eos _ 2{ , -

irj^f

(E.15)

"I

l a s ecu acio n es ( E 8 ) y ( E 1 5 ) d a n la respuesta d e l sistem a e n form a no dim ensional; es decir, x / S ^ s e expresa e n función de i ¡ r K P o r lo tanto, p ara cu alq u ier valor especificado d e / q / t , . se p u ed e d eterm inar e l v a lo r m áxi­ m o de x / 8 ^ , . C u a n d o e s te valor m áxim o d e x/8a , s e traza contra / „ / t„ . d a el espectro d e resp u esta m ostrado en la figura 4,15(b). S e observa q u e e l v a lo r m áxim o d e ( x S ^ W , 011.75 o cu rre e n un v a lo r d e Iq/ t h 0.75.

E n e l e je m p lo 4 .1 4 , l a f u e r z a d e e n tr a d a e s s im p le y p o r c o n s ig u ie n te s e o b tu v o u n a s o lu c ió n d e fo rm a c e r r a d a p a r a e l e s p e c tr o d e re s p u e s ta . S in e m b a r g o , s i l a f u e rz a d e e n tr a d a e s a r b itr a r ia , p o ­ d e m o s d e te r m in a r e l e s p e c tr o d e re s p u e s ta s ó lo n u m é ric a m e n te . E n e se c a s o , s e u t il i z a la e c u a c ió n (4 .3 1 ) p a ra e x p r e s a r la re s p u e s ta p ic o d e u n s is te m a n o a m o rtig u a d o d e u n s o l o g r a d o d e lib e rta d p ro d u c id a p o r u n a f u e rz a d e e n tr a d a a rb itr a ria f t y ) c o m o

x(l) m ix

— m úi*

[ JO

F ( t ) senn> „(r

-

t

) J

(4 .3 5 )

t

E n e l d is e ñ o d e m a q u in a ria o e s tr u c tu r a s s o m e tid a s a u n s a c u d im ie n to d e l s u e l o .c o m o e l p r o v o c a d o p o r u n s is m o , e s ú til e l e s p e c tr o d e re s p u e s ta c o r re s p o n d ie n te a l a e x c ita c ió n d e l a b a s e . S i l a b a s e

E s p e c tro de r e s p u e s t a p a ra e x c it a c ió n de la b a s e

d e u n s is te m a a m o rtig u a d o d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d s e s o m e te a u n a a c e le r a c ió n y (/), l a e c u a ­ c ió n ( 4 .3 2 ) d a la e c u a c ió n d e m o v im ie n to e n fu n c ió n d e l d e s p la z a m ie n to re la tiv o z

■

x - y , y la

e c u a c ió n ( 4 .3 4 ) d a la re s p u e s ta z ( t \ E n e l c a s o d e u n s a c u d im ie n to d e l s u e lo , s e s u e le u tiliz a r e l e s p e c tr o d e re s p u e s ta d e v e lo c id a d . L o s e s p e c tr o s d e d e s p la z a m ie n to y a c e le r a c ió n s e e x p r e s a n

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362

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as a ito n c c s e n fu n c ió n d e i e s p e c tr o d e v e lo c id a d . P a r a u n o s c ila d o r a rm ó n ic o (u n s is te m a n o a m o r ti­ g u a d o s o b re la v ib ra c ió n U bre), n o s p e rc a ta m o s q u e x \ n ú x = - “ 'iU ln ú *

( 4 .3 6 )

X \n * x = ” mX I™ .

( 4 .3 7 )

P > r lo ta n to , lo s e s p e c tr o s d e a c e le r a c ió n y d e s p la z a m ie n to Sü y S d s e o b tie n e n e n fu n c ió n d e l e s ­ p e c tro d e v e lo c id a d (S,.):

Sd = ~

= *>„S,

( 4 .3 8 )

f ó r a c o n s id e r a r a m o r tig u a m ie n to e n e l s is te m a , s i s u p o n e m o s q u e e l d e s p la z a m ie n to

m á x im o

re la tiv o o c u r r e d e s p u é s d e q u e h a p a s a d o e l p u ls o d e s a c u d im ie n to o c h o q u e , e l m o v im ie n to s u b ­ s ig u ie n te d e b e s e r a r m ó n ic o . E n e se c a s o p o d e m o s u tiliz a r l a e c u a c ió n ( 4 .3 8 ) , L a v e lo c id a d f i c t i ­ c ia a s o c ia d a c o n e s t e m o v im ie n to a r m ó n i c o a p a r e n te s e lla m a p s e u d o w l o c i d a d y su e s p e c t r o d e r e s p u e s ta . S v, s e lla m a p s e u d o e s p e c lr o . L o s e s p e c tr o s d e v e lo c id a d s e u tiliz a n e x te n s a m e n te e n a n á lisis d e sis m o s . P a ra e n c o n t r a r e l e s p e c t r o d e v e lo c id a d r e la ti v a , d if e r e n c ia m o s l a e c u a c i ó n ( 4 .3 4 ) y o b t e nem os2

f

¿ (0 = “ 77 y (r)e~ M °>d Jo +

iü¿

e o s u>d ( t -

~ r ) [ - ( ( o n sen a d ( t -

t

t)J d r

)

( 4 .3 9 )

La ecuación (4 3 9 ) se reescribe com o

Z (t) = - ^ =

=

, V F T

q

1 s e n (u>dt -

)

( 4 .4 0 )

dande P =

J

y ( r ) e l0 ,J e o s

dr

(4 .4 1 )

Q =

lo

^ T )í< “ *í s e n t u ‘/ T á T

(4 4 2 )

(ú d T

= ton

l (í’í - e V i - ( ! ) I

J L a s ig u ie n te r e la c ió n s e u tiliz a p a r a d e r iv a r l a e c u a c ió n ( 4 3 9 ) a p a r ti r d e l a e c u a c ió n ( 4 3 4 ) :

¿ j f / ( ' * T ) r f r - j T ^ ( / . r ) 4 r + / ( / , T ) |T. (

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4 .6

E sp ec tr o d e r esp u esta

363

El e sp e c tr o d e r esp u esta d e v e lo c id a d . S , . s c o b tie n e d e la e c u a c ió n (4 .4 0 ):

(4 .4 4 ) na»

P o r lo ta n to , l o s e s p e c tro s d e p s e u d o rrc s p u c s ta e s tá n d a d o s p o r

Id máx

E je m p lo 4 .1 5

Sv ~

1^1 náxi

Sa

2/0

(E-2)

( - o

x(r)

I -

Tanque de agua

Columna, k

(a)

Figura 4 .1 6 Tanque de agua som etido a m ovim iento de la base.

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364

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as Respuesta d u ra n te O s i í 2/qI Sustituyendo la ecu ació n (E.1) e n la ecu ació n (4.34), la respuesta s e expresa, p ira un sistem a no am ortiguado, com o

(sena»,/ e o s i u

„t

-

eos a»„r s e n a v ) t«t/r /T J

(E .3)

Esta ecuación es la m ism a que la ecuación (F..4) del ejem plo 4.13 excepto q u e aparece e n lu g ar de F0/ m . R>r c onsiguiente. z{t) s e escribe, utilizan te la ecu ació n (E.8) d e l ejem plo 4.13. com o

e o s t o j + ------- senoi^r

1 - — -

z (t) =

oí‘ L

‘o

°Vo

(E .4)

J

Para e n co n trar la resp u esta m áxim a z ^ . establecem os

- 1 + to jn s e n + c o s to ,/ I = 0

(E 5 )

* » ~ 3 Esta ecuación d a e l tiem po /„ , a l cual o cu rre z ^ , :

d<

*7 = -£ * > , “ i u j

(E .6)

d in d e O Jj

=

« ,V l -

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i2

(E 7 )

4 .7

T r a n sfo r m a d a d e L aplace

375

es la frecuencia am ortiguada d e l sistem a. L a sustitución d e la ecuación ( E 6 ) e n la ecuación (E .4) d a p o r re ­ sultado C ,( j ~ s2 ) + C 2( s - í i ) = ^ m

(Ci + C 2) s -

- ia ij) + C 2( - ( ( ü H + Itüj)} = ( 0 ) j + — ftl

(E.8)

Igualando los coeficientes e n am bos lados d e la ecuación (E .8). obtenem os

C, + Cj = 0

o

C, = - C 2

- ¡uá ) + C2( - i r u n + ¡tod ) = - -

C2((U „ +

- &>n + 'Wrf) =

(E .9)

(E l° )

l a s ecuaciones ( E 9 ) y ( E 10) dan

c’ “

= " C|

“ £ ? ■

'< '> -

* * *

~

2im tü j = — e - * - 1 sin ^ maid

r.

/ fc 0

(E I3 )

Notas: 1. La respuesta .»

- V 2) = V2 - v 2

ví

(E 5 )

l a solución d e las ecu acio n es (F..4) y ( R 5 ) d a p o r resultado m - M 15 = ^ T T

m

.. 1'1'

2m

v’ ■

m

V|



H cam bio en la can tid ad d e m ovim iento de la m asa m está d a d o por

-

é

r

2- ' ) * ' - ( £ ? ) '



ft»r lo tanto, e l im pulso aplicado a la m asa m d urante e l im pacto lo da

=

(E8>

Efc acuerdo con la tercera ley d e l m ovim iento d e N ew ton. e l im pulso aplicado a la m asa M d urante e l impacto será el m ism o q u e . pero de signo opuesto, e l im pulso aplicado a la m asa m. D ebido a l im pulso aplicad o , la ecuación de m ovim iento de la m asa M s e expresa como

Í

2m M F ( r ) d r = F = -------- — V |5(r) m + Af

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(E . 9 )

4 .7

T r a n sfo r m a d a d e L aplace

379

U tilizando las condiciones iniciales d e M c o m o « (/ & 0 ) ■ i 0 a 0 y j ( / - 0 ) a ¿0 & 0. la solución de ecuación (E .8) s e ex p resa, utilizando la ecu ació n (4.26), com o

sen turf

I (,) = - s í 7 sc" “j' =

(E IO )

R e s p u e s ta a u n a f u e rz a g ra d u a l

E je m p lo 4 .2 4

R e sp u e sta e s c a lo n a d a d e u n sis te m a s u b a m o rtig u a d o Encuentre b respuesta d e un sistem a subam ortiguado d e un solo g ra d o d e libertad a una función escalonada unitaria. S o lu c ió n : La ecuación d e m ovim iento está d ad a por m x + ex + k x = f ( t ) = I

(F..I)

T om ando la tran sfó rm a la d e L aplace d e am bos b d a s d e la ecu ació n (E. I ) y suponiendo condiciones iniciales cero (xo = x o = 0). obtenem os (E.2)

(m i2 + ex + k ) X ( s ) - ÍCÍ1] = b cual se reescribe como I

X (s) =

(E.3)

m s ( ? + 2 £ « v + a»í) M e m o s ex p resar el lado derecho de la ecu ació n (E .3) en fracciones parciales com o i

x(s)

m s (s2 + 2 ¿ « irf + u 2) donde j (,

C' - + ^ x “ *i x “

+

« s -

(E.4)

y í , so n las raíces d e b ecuación polinom ial s f s 2 + 2¿]

Linde

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(EI4)

4 .7

T r a n sfo r m a d a d e L aplace

381

Se ve q u e la ecuación ( E 16) es la m ism a q u e la respuesta escalonada un itaria (c o n F 0 - 0 ) derivada por medio d e l m étodo tradicional, ecu ació n ( E l ) d e l ejem plo 4 .9 . L a respuesta d ad a p o r la ecuación ( E l 6) s e m uestra en la figura 4.27.

V a lo r d e e s ta d o e s ta b le =

1

F ig u ra 4 .2 7 Itespucsta de u n sistem a sub am o rtig u ad o so m e tid o a u n a f u e r a gradual.

E je m p lo 4 .2 5

V a lo re s final e Inicial d e re s p u e s ta e s c a lo n a d a d e u n sis te m a s u b a m o rtig u a d o E ncuentre los valores inicial y d e estada estable d e la respuesta escalonada unitaria d e un sistem a subam ortiguado a partir d e la s respuestas indicadas p o r las ecu acio n es (E 1 6 ) y ( E 3 ) d e l ejem plo 4.24. S o lu c ió n : La respuesta del sistem a e n el dom inio d e l tiem po, ecuación ( E l 6 ) d e l ejem plo 4.24, se escribe com o 1 í 1 x ( t ) = - < I ------------ [¿id* x n i o j t + to j eos cuy] >

(E .l)

C on i = 0 e n la ecuación ( E 1). hallam os e l valor inicial c o m o 0. T om ando e l límite a m edida q u e t - * o o , el térm ino e {">ml —* 0 y por consiguiente el \ak> r d e estado estable d e x (t) está dado p o r 1 /k. l a respuesta d e l sis­ tem a e n e l dom inio d e L aplace se obtiene c o n la ecuación ( E 3 ) d e l ejem plo 4 2 4 . Utilizando e l teorem a d e l valor inicial, encontram os d v a lo r inicial com o

x (l = 0 + ) =

lím [ r X ( j ) l *-•00

lím oc _ m (s 2 4 2 f » ms

x „ = l í m [ j * ( j ) ] = Lím _ m ( r + 2&ons + cu;

E je m p lo 4 .2 6

m iol

R e sp u e sta d e u n a m á q u in a c o m p a c ta d o ra E ncuentre la respuesta d e la m áquina com pactadora d e l ejem plo 4.9 suponiendo q u e el sistem a es subam orti­ guado (e s d e c ir. ¿ < 1). M étodo: Use un m odelo d e resorte-m asa-am ortiguador de la m áquina com pactadora y la técnica d e la trans­ form ada d e Laplace.

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382

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as S olución: La función forzada está d ad a por

n o

F0

durante

0 £ i < r0

0

durante

/ > /0

(H.1)

Tom ando la transform ada d e Laplace d e la ecu ació n diferencial rectora, ecuación (4.51). y utilizando e l apéncfice D , q u e se en cu en tra e n e l sitio web de este libro, obtenem os la siguiente ecuación: F (s)

X (S ) = m (s2 +

2 {< o¿ + cu2)

z2 + 2 C * V + o>l

•*o

1

(E .2)

í 2 + 2¿; -*0

r

—

«.

£_______ +

“■ ( i i * «£ + ,)

1________

^

)

^ f 4 W m

(E .4)

+ « i +1) «

J

La transform ada in v ersa de la ecu ació n ( E 4 ) se ex p resa utilizando los resultados dados e n el ap én d ice D (vea d sitio w eb d e este libro) como

* (/) =

Fo mcu2

' ™

■

j [ " 7 = 7 K ” ^ ' / r T í 3 ]

í [ ^

S

se" , “ - v n r 7 ' ‘ *‘ |] (E .5)

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4 .7

T r a n sfo r m a d a d e L aplace

383

donde *1 = e o s '( £ )

(E 6 )

F\>r lo tanto, la respuesta d e la m áquina com pactadora s e ex p resa como

- ¡ ..( .- ..i

( / - - „ ) + * ,!]

^ = f - ^ s e n K

V l - í ’ < - * ,)

(E 7 ) • » ,v l - ( '

Aun cu an d o s e e sp era q u e la prim era parte d e la ecu ació n ( E 7 ) se a la m ism a q u e la ecuación ( E 1) del ejem plo 4.11, e s difícil v e r la equivalencia e n la presente form a d e la ecu ació n (E.7). Sin em bargo, para e l sistem a no am ortiguado, la ecu ació n (E .7) se reduce a

* ( ') =

|^ - s c n ^ +

( - x 0 sen I iu„f - -

=

—

[eos

te tie m p o , p o r d e f in ic ió n , e s a q u e l d u r a n te e l c u a l * ( /) e n l a e c u a ­ c ió n (4 .5 5 ) l le g a y s e m a n tie n e d e n tr o d e ± 2 % d e l v a lo r d e e s ta d o e s t a b l e , S u p o n ie n ­ d o q u e e l té rm in o c o s e n o e n l a e c u a c ió n ( 4 .5 5 ) e s a p r o x im a d a m e n te ig u a l a u n o , e l tie m p o re q u e rid o p a r a q u e e l f a c to r d e m u ltip lic a c ió n d e l té r m in o c o s e n o a lc a n c e un v a lo r d e 0 .0 2 d a e l tie m p o d e a s e n ta m ie n to :

e ~ t

“ " '«

y

j

1

+

( ^

) 2

1 =

,

*

- I n ( 0 .0 2 V I -----------------------

í 2)

-

=

0 .0 2

la c u a l n o s d a

(4 -6 8 )

A m e d id a q u e £ v a r ía d e 0 a 0 .9 , e l n u m e r a d o r e n l a e c u a c ió n ( 4 .6 8 ) v a r ía d e 3.01 a 4 .7 4 . P o r lo ta n to , e l tie m p o d e a s e n ta m ie n to , v á lid o a p r o x im a d a m e n te p a ra t o d o s lo s v a lo r e s d e £ , se p u e d e c o n s id e r a r c o m o

( 4 .6 9 )

5.

T ie m p o d e d e m o r a (/¿X1 É s te e s e l tie m p o re q u e rid o p a r a q u e l a re s p u e s ta a lc a n c e e l 5 0 % d e l v a lo r f in a l o d e e s ta d o e s ta b le p o r p r im e r a v e z .

R e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to . £

Figura O I Variación de sobrepaso e n porcentaje con la relación d e am ortiguam iento.

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390

C a p ítu lo 4

E je m p lo 4 .2 8

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as

C a ra c te rís tic a s d e re s p u e s ta d e riv a d a s d e la fu n c ió n d e tra n s fe re n c ia Encuentre e l tiem po pico (fpX porcentaje d e sobrepaso La sustitución d e les v alo res de cu, y £ e n la s ecuaciones (4.59), (4.66), (4.69) y (4.62) d a por resultado ir ir T iem po p ico = t„ = — = ------, P «4 c^V l -

ir a = -------,■ - = 0.2418 s 15V i - 0.5

R»rcentaje de sobrepaso = % M p = lO O c -í^ T = l O O e ^ í S ) = 100(0.1231) = 12.31

T iem po d e asentam iento = i, =

¿cu,

= ■ ■* - = 0.5333 s 0.5(15)

ir -

(E .5)

(E .6)

t a n '1

f

a

T iem po d e subida = i r =

(E .4)

e

„ = 1 2 =

Cj

(E 5 )

l.a s ecuaciones ( E 2 ) y ( E 4 ) dan p o r resultado

(E.6)

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392

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as Utilizando e l porcentaje de sobrepaso conocido, la relación d e am ortiguam iento s e d eterm ina p o r la ecuación (4.67) com o ln (* M ,/!0 0 ) In (2 5 /1 0 0 ) = = £ = = = = ----- = = = = = = = = = 0.4037 V n 2 + ln2 ( f t M / 1 0 0 ) V i r 2 + ln} (2 5 /1 0 0 )

i = ----- =

(E .7)

La ecu ació n ( E 4 ) da

“■ “ 7

= 5 ^

= 39633 ^

(E'S»

l a ecuación ( R 2 ) d a por resultado

La constante d e am ortiguam iento torsional c , se en cu en tra a p artir d e la ecu ació n (E .5) com o

= 3.2 J = 3.2(0.6366) = 2.0372 N -m -s/rad

4 .8

(E .I0 )

M é to d o s n u m é ric o s L a d e te r m in a c ió n d e l a re s p u e s ta d e u n s is te m a s o m e tid o a f u n c io n e s f o rz a d a s a rb itra ria s m e d ia n te m é to d o s n u m é ric o s s e l la m a s im u la c ió n n u m é ric a . L o s m é to d o s a n a lític a s c o m e n ta d o s h a s ta a h o ra D cgan a s e r te d io s o s y e n o c a s io n e s in c lu s o im p o s ib le s d e u tiliz a r p a ra h a lla r l a re s p u e s ta d e un á s t e m a s i l a fu n c ió n fo rz a d a o e x c ita c ió n n o s e p u e d e d e s c rib ir e n u n a fo r m a a n a lític a s im p le o si x tie n e n q u e u tiliz a r d a to s d e f u e r z a c x p c r iin e n ta lm e n lc d e te r m in a d o s ( c o m o l a re s e ñ a d e l a a c e le ­ ra c ió n d e l s u e lo m e d id a d u ra n te u n s ism o ). S e p u e d e n u tiliz a r m é to d o s n u m é r ic o s p a ra v e rif ic a r la e x a c titu d d e la s s o lu c io n e s a n a lític a s , s o b r e to d o s i e l s is te m a e s c o m p le jo . D e l m is m o m o d o , l a s s o ­ lu c io n e s n u m é ric a s s e tie n e n q u e v e r if ic a r p o r m e d io d e m é to d o s a n a lític o s sie m p re q u e se a p o s i ­ b le. E n e s t a s e c c ió n s e c o n s id e r a n lo s m é to d o s n u m é ric o s d e r e s o lv e r s is te m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib e rta d s o m e tid o s a fu n c io n e s fo rz a d a s a rb itra r ia s , l a s s o lu c io n e s a n a lític a s s o n s u m a m e n te ú tile s p a r a c o m p r e n d e r e l c o m p o r ta m ie n to d e un s iste m a c o n re s p e c to a c a m b io s e n s u s p a r á m e tr o s . l a s s o lu c io n e s a n a lític a s c o n s titu y e n u n a a y u d a d ire c ta a l d i s e ñ a r s is te m a s q u e s a tis fa g a n c u a lq u ie r c a ra c te rís tic a d e re s p u e s ta e s p e c ific a d a c o n la se le c c ió n a p r o p ia d a d e v a lo re s d e p a r á m e tr o s . S i la s o lu c ió n a n a lític a se d if ic u lta , l a re s p u e s ta d e l s is te m a s e p u e d e h a lla r p o r m e d io d e u n p r o c e d im ie n to d e in te g ra c ió n n u m é ric a . S e c u e n ta c o n v a ­ rio s m é to d o s p a r a l a in te g ra c ió n n u m é ric a d e e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s o r d in a ria s . L o s m é to d o s d e R u n g c -K u tta s o n u n lu g a r c o m ú n p a r a l a s o lu c ió n n u m é ric a d e e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s . C b n s id c rc la e c u a c ió n d e m o v im ie n to d e un s is te m a a m o r tig u a d o d e u n so lo g r a d o d e lib e rta d 33m e tid o a u n a fu e rz a a r b itr a r ia / ( / ) :

m i{ t) + c ¿ (/) + k x ( t) = f ( t )

( 4 .7 0 )

c o n la s c o n d ic io n e s in ic ia le s x ( l = 0 ) = x 0 y x ( t = 0 ) = X q. L a m a y o ría d e l o s m é to d o s n u m é ric o s a s u m e n q u e l a e c u a c ió n d ife r e n c ia l a p a r e c e e n l a f o r m a d e u n a e c u a c ió n d ife r e n c ia l d e p r im e r o rd e n

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4 .8

M éto d o s n u m é r ic o s

393

(o u n c o n ju n to d e e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s d e p r im e r o r d e n ). C o m o t a l . te n e m o s q u e c o n v e r tir la e c u a c ió n d ife re n c ia l d e s e g u n d o o r d e n , e c u a c ió n ( 4 .7 0 ) . e n u n c o n ju n to e q u iv a le n te d e d o s e c u a c io ­ n e s d if e r e n c ia le s d e p r i m e r o rd e n . P a r a e s to , in tro d u c im o s l a s f u n c io n e s d e s c o n o c id a s

* ,( f ) = x ( i ) ,

x 2( t ) = x ( r ) =

= ¿ ,( i)

(4.71)

y rcescribim os la ecuación (4 .7 0 ) com o

m x (l) = - c x ( r ) - k x ( r ) + / (/ )

(4.72)

o, considerando las funcionesx,(i) y x?(f) introducidas en la ecuación (4.71), m x 2 = ~ c x 2( t ) -

k x }( t ) + / ( / )

(4 .7 3 )

La ecuación (4.73) ju n to c o n la segunda relación d a d a e n la ecuación (4.71) s e puede ex p resar com o

X t(t) = x 2 ( t )

(4.74)

¿ 2 (0 = ¿ * ( 0 " £ * i < l ) + ¿ / ( / )

(4.75)

l a s ecuaciones (4 .7 4 ) y (4.75) representan d o s ecuaciones diferenciales de p rim er orden y juntas indican la ecuación (4.70). L as ecuaciones (4.74) y (4.75) se pueden e x p re sa re n form a vectorial com o

X(t) -

F(X,t)

(4.76)

donde

* -

f e »

)

*■> -

{ « '. ! } •

En la mayoría de los métodos numéricos se obtienen soluciones mejoradas con la presente solución (comenzando con un valor inicial conocido en el tiempo cero) de acuetdo con la fórmula

M é to d o s de R u n g e -K u t t a

•*j+i = x ¡ + ^ x ¡

(4 -7 8 >

donde xl+ , es el valor d e xe n i = i(+l,x( esel valor dexen/ = t ,,y Axesel mejoramiento i ncremental agregado a x¡. Si la solución. x(l), se va a determinar durante el intervalo O s / S T.el tiempo total se divide en n partes iguales con A l =» 77n.de modo que r0 “ O .i, ■ Ar,r2 ■ 2 A/.... t , - i A i. ...,i„ = n Ai-7.

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394

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as B i lo s m é to d o s d e R u n g c - K u tta s e h a c e q u e l a f ó r m u la a p r o x im a d a u tiliz a d a p a r a o b te n e r la s o lu c ió n Xj* | a p a r tir d e x , c o in c id a c o n l a e x p a n s ió n e n s e r i e d e T a y l o r d c . r e n x

4 .9

R e sp u e sta a c o n d ic io n e s fo r za d a s ir r e g u la r e s o b te n id a a p lic a n d o m é to d o s n u m é r ic o s

399

\ F ¡ - F , - F , ~ 08436 - 1.0000

0

í

Ü

S

S

S

S

Í

S

Í

i

•

000000

F ig u ra 4 .3 6 A proxim ación lineal p o r p artes.

T a b l a 4 .2 R e s p u e s ta d e l s is te m a t¡

i

x(fj) O b te n id a d e a c u e rd o c o n la fig u ra 4 .3 6 (Id e a liz a c ió n 4)

1

0

0.00000

2

0 .1 7T

0.04541

3

0.2w

0.16377

4

0.3 tt

0.32499

5

0.4 tt

0.49746

6

0.5 jt

0.65151

7

O.ÓTT

0.76238

8

0 .7 ÍT

0.81255

9

0 .8 tt

0.79323

10

0 .9 jt

0.70482

11

IT

0.55647

E n l a fig u r a 4 .3 6 s e u tiliz a n im p u ls o s lin e a le s p o r p a rte s ( tr a p e z o id a le s ) p a ra a p r o x im a r la fu n c ió n fo r z a d a F {t). Ix»s re s u lta d o s n u m é ric o s s e d a n e n l a t a b la 4 . 1 . 1-os re s u lta d o s s e p u e d e n m e jo ra r p o r m e d io d e u n p o lin o m io d e m a y o r g r a d o p a r a in te rp o la c ió n e n lu g a r d e l a f u n c ió n lin e a l.

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400

C a p ítu lo 4

4 .1 0 E je m p lo 4 .3 2

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as

E je m p lo s re s u e lt o s u t iliz a n d o m a t l a b R e sp ue sta to ta l d e un s is te m a s o m e tid o a e xcita ció n d e la base U tilizando M A TL A B . trac e la resp u esta total d e l sistem a viscosam ente am ortiguado som etido a excitación arm ónica d e la base q u e se considera e n e l ejem p lo 4.5. S olución: La ecu ació n (E .8 ) d e l ejem plo 4.5 d a la respuesta total d e l sistema: x ( l ) = 0.4 8 8 6 9 5 c " 'c o s ( l9.9751 -

1.529683)

+ O.OOI333 c o s(5 r - 0 .0 2 6 6 6 ) + 0.053314 s e n (5 í - 0 0 2 6 6 6 )

A continuación se proporciona e l program a M A T L A B p ara traz ar esta ecuación % Rx4

3 2 .n

f o r i - l i 1001 t ( l ) - (1 - 11*10/1000, x ( l ) . 0 . 4 8 8 6 9 5 • a x p ( - t ( i » ) • c o a ( 1 9 .9 7 5 * e ( l ) - l. 529*83) . . . . 0.001333*c o a ( S * e ( i ) - 0 .02666) « 0.053314 • e in ( 5 * t ( i ) - 0 .0 2 6 6 6 ), p lo t(t.x ), x la b a l(’ t * ), y l a b a l ( 'x < t ) ' ) ,

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4.10

E je m p lo 4 .3 3

Ejemplos resueltos utilizando M A TLA B

401

R e s p u e s ta a u n Im p u ls o d e u n a e s tr u c tu r a Utilizando M A TL A B . trace la resp u esta a un im pulso de la estructura de un solo grado d e libertad d eb id o a (a) un im pacto sim ple y (b) un im pacto d o b le, que se considera en los ejem plos 4.7 y 4.8. S o lu c ió n : Las ecuaciones (E .I ) y (E.3) d e los ejem plos 4.7 y 4.8. respectivam ente, d a n las respuestas de la estructura a un im pulso d eb id o a im pactos sencillo y doble: x (/)

=

(E.1)

0 . 2 0 0 2 5 e ” ' s e n 1 9 .9 7 5 /

í0 .2 0 0 2 5 c ’ ' s e n 19.975f; 0 < / S 0 2 X (,}

(E.2)

\ 0 .2 0 0 2 5 e - ' s e n 19.975/ + 0.10012 5 e -< '‘ a íJ sen 19.975(f - 0 .2 ); / a 0.2

0.2

Q15

0.1

Ü05

0

k

-0 0 5

-

0.1

-0 1 5

OS

° 20

I

1.5

2

25 I

3

35

4

A co ntinuación s e d a e l p rogram a M A TLAB para trazar las ecu acio n es (E .1) y (E.2). % Rx4 33.o f o r 1 ■ l i 1001 t (1) - (1 -1)*5/1000; x l ( i ) - 0.20025 • a x p l - t ( i ) ) • a ln (1 9 .9 7 S * tC l)), i f t ( l ) > 0.2 • - 0.100125) •Is a • and

.,

■0 0

x 2 (1) - 0.20025 • a x p ( - t ( l ) ) • a l n (1 9 .9 7 S * t( i) ) « . . . • • o x p ( - ( t ( i ) - 0 .2 ) ) • a i n (19.975*( t ( 1 ) - 0 .2 ) ) ,

and p lo t( t.x l) , g t a x t l 'B q . ( 8 .1 ) i a o l l d l i n a ’ )j h o ld oni p l o e ( t , x 2, • - • ) , g t a x t l ’Bq. (B.2) i d a ah U n a ’ ) i x la b a l(’ t ' ) ,

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4.5

5

402

C a p ítu lo 4

E je m p lo 4 .3 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as

R e s p u e s ta b a jo u n a f u e r z a p e rió d ic a Ltesarrolle un program a M A TL A B de uso general, llam ado P r o g r a m 4 .m . p ara hallar la respuesta d e estado estable d e un sistem a viscosam ente am ortiguado d e un solo grado de libertad bajo u n a fuerza periódica. Use el program a p ara encontrar la respuesta d e un sistem a som etido a la fu e r/a q u e se m uestra e n la figura adjunta con los siguientes datos: m = 100 kg. * = 105 N /m . ( = 0.1.

Solución: E l p rogram a

P r o g r a m 4 . m se desarrolla para q u e acepte los v alo res d e valores discretos d e tiem po. L os cbtos d e entrada d e l program a so n los siguientes:

la fuerza periódica a n

n n = m asa d e l sistem a x k = rigidez, d e l sistema x a i - relación d e am ortiguam iento (£) n = núm ero d e puntos equidistantes en los c u a le s se conocen los v alo res d e la fuerza F\¡) m - núm ero de coeficientes d e F ourier que se considerarán en la solución tiem po = d uración de la fu n ció n F(r) / = m atriz de dim ensión n q u e contiene lo s valores conocidos d e F \i)-,f{i) = F[t¡), i = 1, 2 , . . . . n i = m atriz de dim ensión n q u e contiene los valores discretos con o cid o s d e tiem po r, i< í)= i,, i = 1 .2

n

El p rogram a proporciona los siguientes d a to s d e salida: n ú m e ro d e e s c a lo n e s / , / ( i ) . / ( / ) , * ( i )

ib n d e x (i) = x ( i = t¡) e s la respuesta e n e l escalón d e tiem po i. H program a tam bión traza la variación d e x con e l tiempo.

F(D Program 4.m: x(t)

0.6

120.000

96.000

72.000

48.000

24.000

0

l 0.025

0.05

0.075

0.100

0.120

0 0

0.05

0.1

x

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0 .1 5

02

R e su m e n d e l c a p ítu lo

E je m p lo 4 .3 5

403

R e s p u e s ta b a jo u n a f u n c ió n f o r z a d a a r b itr a ria D esarrolle un program a M A TLAB de u so general, llam ado P r o g r a m S .m . para d eterm inar la respuesta de un sistem a de resorte-m asa viscosam ente am ortiguado som etido a u n a función forzada arbitraria m ediante los m étodos tfc la sección 4.9. U se e l program a para determ inar la solución d e l ejem plo 4 .3 1. S olución: El program a P r o g r a m S . m se desarrolla para q u e a cep te los v alo res d e la fuerza ap licada a n v a ­ lores discretos d e tiem po. El program a requiere los siguientes datos de entrada: n = núm ero d e estaciones d e tiem po e n las c u a le s se conocen los v alo res d e la función forzada / - m atriz d e tam a ñ o o q u e contiene los v alo res d e l tiem po e n los cuales s e conoce la función forzada / = m atriz d e tam año n q u e con tien e los valores de la función forzada e n varias estaciones de tiem po de acuerdo c o n la idealización d e la fig u ra 4.34 (figura 4.36 pura e l ejem plo 4 .3 1) f f - m atriz d e tam año n q u e con tien e los valores d e la función forzada e n varias estac io n e s de tiem po de ¿cuerdo c o n la idealización d e la figura 4 .3 4 (figura 4.36 para e l ejem plo 4.31) x a i = factor d e am ortiguam iento (£) om n ■ frecuencia natural no am ortiguada d e l sistem a deU = tiem po incrcm cntal entre estaciones d e tiem po consecutivas x k — rigidez d e resorte El program a d i los valores d e x (i) obtenidos por e l m étoda num érico en las diversas estaciones d e tiem po i. EJ program a tam bién traza las variaciones d e * c o n e l tiempo.

Resumen del capítulo C onsideram os la vibración forzada d e sistem as d e un solo grado d e libertad som etidos a fu erzas periódicas generales m ediante la serie d e Fouricr. P a ra sistem as som etidas a funciones fo rza Ja s arbitrarias, analizam os los m étodos d e integral de convolución y la transform ada d e Laplace para h a lla r la resp u esta d e sistem as no am ortiguados y am ortiguados. E studiam os e l concepto d e espectros de resp u esta y su uso p ara d eterm inar la respuesta d e sistem as so m etid o s a excitaciones sísm icas. P o r últim o, consideram os m étodos num éricos, com o e l d e R unge-K utta d e cuarto orden, piara encontrar la respuesta d e sistem as som etidos a fuerzas arbitrarias, incluidas los num éricam ente descritos. A hora que y a term inó este capítulo, usted deberé ser capaz d e responder las preguntas sc, D. K. Frcdcrick y J. C . New ell. M odeling a n d A n a lysis o f D ynam ic System s lSj

5 . H pscudocspcctro está asociado con a . la pscudoaceleración

b. la pseudovelocidad

c . e l pscudodesplazam iento

6 . Los coeficientes d e F o u rie r se tienen que d eterm inar num éricam ente cuando los v alo res d e la fun­ ció n / ( / ) están disponibles

a. en form a analítica b. en valores discreto s d e / c . en la form a d e u n a ecuación com pleja 7 . L a respuesta d e u n sistem a d e un solo grado d e libertad som etido a excitación d e la base. y(/>, se puede d eterm inar utilizando la fuerza ex te rn a com o

a. - « y 8.

b . m y c. m y + c y + ky

□ espectro d e respuesta s e utiliza am pliam ente en

a. e l diserto de edificios som etidos a grandes c arg as vivas b . e l diserto sísm ico c . e l diserto de m aquinaria som etida a fatiga 9 . l a ecuación d e m ovim iento d e un sistem a som etido a excitación d e la base. y ( t \ está dado por a. m x + ex + kx =

-m y

b . m'z + c z + k z = - m y ; z = x c mx + ex *

kx =

y

-m 'z ; Z

= x - y

10. La función e utilizada en la transform ada d e L aplace se conoce com o

a. núcleo

b. integrando c . tírm ino subsidiario

11. L a transform ada d e L apla:c está definida por

*-~X (s) = l b. x (s) =

J

e ~ '" x ( l ) d l

c. x (s ) = j f 12. En e l d om inio de L aplace. e l l í m [ j X ( j ) ] da:

a. e l v a lo r in icial

b. e l v a lo r transitorio

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c . e l v a lo r d e e stad o estable

P r o b le m a s

407

13. F \l) ■ a l corresponde a

a. un im pulso 14.

b. f u e r a g radual

c . f u e r a ram pa

/ ( / ) = fHi — t ) corresponde a u n a f u e r a ap licada en

a. / - r = 0

b. r —r < 0

c. / - r > 0

15. Fu una colisión elástica perfecta d e d o s m asas m , y m : , la cantidad conservada es: a . energía

b. cantidad d e m ovim iento

c . velocidad

16. l a respuesta escalonada d e un sistem a so bream oitiguado presenta a . nada d e oscilaciones 17.

b. oscilaciones

c . sobre paso

-El— es llama:

□ m étodo utilizado p ara e x p re s a r--- + 4----------c o m o - C l - + (í + 1 )(j + 2) s + I

a. separación

b . fracciones parciales

j

+ 2

c.descom posición

18. La m ayoría d e los m étodos num éricos d e resolver ecu acio n es diferenciales suponen q u e e l orden > ;/7 .> . '7 / 9 , 7 7 T r ~ '7 >

4.11

F ig u ra 4.41

E n c u e n tre l a re s p u e s ta to ta l d e u n s is te m a v is c o s a m e n te a m o rtig u a d o d e un 90I0 g r a d o d e lib e rta d s o m e tid o a u n a e x c ita c ió n a r m ó n ic a d e la b a s e c o n lo s s ig u ie n te s d a to s : m = 10 k g . c ■* 2 0 N - s /m . k * 4 0 0 0 N /m . y(/), está d a d a por 1

1

„

2 i c o s 477/

COS8íT/

COSI27TÍ

Figura 4.42

Sección 4.3 Respuesta bajo una fuerza periódica de forma irregular 4.13

Determ ine la respuesta d e un sistem a am ortiguado c o n m = I kg, * = 15 kN /m y £ = 0 .1 bajo la acción t k una fu n ció n forzada periódica, c o m o se m uestra e n la fig u ra 1.119.

414

D eterm ine la respuesta de un sistem a viscosam ente am ortiguado som etido a la fuerza periódica cuyos valores se d a n e n el problem a 1.116. Suponga q u e M , indica e l v a lo r d e la tu e rz a e n new ions e n el ins­ tan te /, segundos. U se m - 0.5 k g . k » 8 0 0 0 N /m . y £ - 0.06.

415

Encuentre e l desplazam iento del tanque d e agua d e la figura 4 .4 3 (a ) som etida a la fuerza periódica m ostrada e n la figura 4 .4 3 (b ) tratándolo c o m o un sistem a no am ortiguado Í0

\o .

E ncuentre la respuesta d e la m asa ubicada e n la punta d e l a la si la rigidez d e é s ta e s A(v ea la fig u ra 4 ,5 1).

Figura 4.51

428

Derive la ecuación (E . I ) d e l ejem plo 4 . 12.

429

f ii u n a prueba d e encendido estática, un cohete se ancla a un m uro rígido p o r m edio d e un sistem a de resorte-am ortiguador, c o m o se m uestra e n la figura 4.52(a). E l em puje q u e actúa en e l cohete alcanza su valor m áx im o F c n un tiem po m uy c o rto y perm anece constante hasta el tiem po del q uem ado total del com bustible r0. c o m o se indica en la figura 4.52(b), E l em p u je q u e actúa e n el c o h ete e s F = m,,»-. donde /rioes la tasa constante a la cual s e q uem a e l com busuble y ves la velocidad d e l chorro. La m asa inicial del c o h ete e s A/, de m odo q u e su m asa e n cu alq u ier tiem po tes m = M — m rf, 0 < / < r0. ( I ) Derive h ecuación de m ovim iento d e l co h ete, y (2) encuentre e l desplazam iento m áxim o d e e stad o estable del cohete, suponiendo u n a m asa prom edio (constante) d e (M - jm o fo ). si los d a to s son k = 7.5 X 10* N/m , c = 0.1 X K K 'N -s/m .m o = 10 k g /s. v = 2000 m /s. A / = 2 0 0 0 k g . y r0 = 100 s.

F ig u ra 4.52

4J0

D em uestre q u e la respuesta a u n a función escalo n ad a un itaria = 1 e n la figura 4 .1 0 (b )) está relacionad! c o n la función de respuesta a un im pulso g ( t \ ecuación (4.25). c o m o sigue: d h { i)

8 (0 =

di

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P r o b le m a s 431

415

Dem uestre q u e la integral de convolución, ecu ació n (4.31). tam bién se puede ex p resar en fu n ció n d e la respuesta a u r a función escalonada unitaria /i(r)c o m o f 'd F ( r ) * ( / ) = F (0 )A (f) + j f - / . ( / - r ) d T

432

Encuentre la respuesta de la ba rra rígida q u e s e m uestra en la figura 4.53 p o r m edio d e la integral d e conw lu ció n c o n los datos siguientes: A, = k , = 5 0 0 0 N /m . a = 0.25 m . b = 0.5 m , / = 1.0 m . M = 50 kg, m = 10 kg. F0 = 5 0 0 N.

F ig u ra 4 .5 3

433

fiicucntre la respuesta d e la barra rígida que se m uestra e n la figura 4.54 por m edio de la integral de « involución c o n los d a to s siguientes: A **5000 N /m . / « I m , m ■ 10 k g . M 0 ■ 100 N-m.

F ig u ra 4 J> 4

434

R icucntrc la respuesta d e la ba rra ríg id i que s e m uestra e n la figura 4.55 p o r m edio d e la integral de «involución cu an d o e l extrem o P d e l resorte P Q s e som ete a l desplazam iento x (t) D atos: A = 5 0 0 0 N /m . / = 1 m , m = 10 k g . xo = 1 cm .

1

Figura 4.55

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416

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as 435

Encuentre la respuesta d e la m asa q u e se m uestra e n la figura 4.56 som etida a la fuerza F (f) = F qc • m ediante la integral d e convolución. D atos: A, = 10 0 0 N /m . A, = 500 N /m . r = 5 c m . m = 10 k g . JQ = 1 kg-m ?. F0 = 5 0 N.

x(i)

F igura 4 .5 6

436

B icu e n to : las funciones d e respuesta a im pulso de u n sistem a d e resorte-m asa viscosam ente am ortigua­ do e n los siguientes casos: a . N o am ortiguado (c = 0 )

c . Críticam ente am ortiguado (c = cf )

b. Subam ortiguado (c < cr )

d.

S obrcam ortiguado (c > cr )

4J7

E ncuentre la respuesta d e un sistem a d e un solo grado d e libertad som etido a un im pulso F c o n los siguientes datos: m = 2 kg, c = 4 N -s/m . A = 3 2 N/m . F = 4 fi(r). Xq = 0.01 m . i 0 = 1 m/s.

4J8

El ala d e un a v ió n d e com bate, que lleva un misil en su punta, com o se m uestra e n la figura 4 .5 7 . se puede representar com o una viga e n voladizo equivalente c o n E l = 15 X 1CP N -m 3 con respecto a l eje vertical y longitud I = 10 m . S i la m asa equivalente d e l a la es m = 2 5 0 0 k g . determ ine la respuesta de vibración d e l a la (de m ) d eb id o al lanzam iento del m isil. S uponga q u e la fuerza e n m provocada por d lanzam iento d e l m isil se puede representar com o una función d e im pulso d e m agnitud F = 50 N-s.

(a ) S istem a real F ig u ra 4 .5 7

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P r o b le m a s

417

— - ___

T x(l)

( b ) M odelo d e viga

(c) M odelo d e vibradón F ig u ra 4 .5 7 (C o ntinuación)

4J9

0 m arco, e l yunque y la base d e l m artillo d e forja q u e se m uestran e n la figura 4 .5 8 (a ) tienen una masa total d e m . L a alm ohadilla d e so p o rte elástica tiene u n a rigidez d e *. S i la fuerza ap licada p o r e l m artillo se d a en la figura 4.58(b), determ ine la respuesta d e l yunque.

— Martillo

no no

— Marco Yunque

m

I

Almohadilla elástica, k

(b)

(a) F ig u ra 4 .5 8

440

La en tra d a a la válvula d e un m otor d e com bustión interna e s u n a fuerza d e F = 15000 N aplicada A ra n te un period» d e 0.001 s p o r u n a leva c o m o se m uestra en la figura 4.59 (vea la figura 1.39 para la disposición d e la válvula). L a válvula tiene una m asa de 15 kg. una rigidez de 1 0 0 0 0 N/m y una c o n s­ tante d e am ortiguam iento d e 20 N-s/m . L a leva aplica la fuerza F cada 0.5 s. (a ) Encuentre la respuesta del desplazam iento A la válvula a p artir d e su posición d e reposo cuando la leva ap lica la fuerza F p o r primera vez. ( b ) D eterm ine e l desplazam iento de la válvula a partir d e su posición d e reposo cuando la leva ap lica la fuerza F p o r segunda vez.

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C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as

m

O

4.41

0.05

F igura 4 .5 9

F1 ch o q u e d e un pájaro contra e l m otor de un a v ió n se puede considerar com o un im pulso (figura 4.60(a)). S i la rigidez y el coeficiente d e am ortiguam iento d e l so p o rte d e l m otor so n k - 5 0 0 0 0 N /m y 1000 N -s/m . y la m asa d e l m o to r e s m = 500 kg, obtenga la respuesta d e l m otor. Suponga la m asa del pájaro c o m o 4 k g y la velocidad d e l avión c o m o 250 km /h.

F (impulso) (b) Modelo F ig u ra 4.60

4.42

E l c arro de ferrocarril q u e se m uestra e n la figura 4.61 está inicialm ente e n reposo y u n im pulso 56(r) lo p o n e e n m ovim iento, (a) D eterm ine e l m ovim iento d e l carro . x(f). (b) S i se d esea detener e l carro aplicando otro im pulso, determ ine e l im pulso que s e tiene q u e ap licar a l carro.

' y / / / / / / / / / / / / / Figura 4.61

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P r o b le m a s 4.43

419

U n sistem a d e resorte-am ortiguador está conectado a una p alan ca rígida sin m asa c o m o se m uestra en la figura 4.62. S i se aplica una fuerza gradual de m agnitud F0 e n e l instante i = 0. determ ine el d esp la­ zam iento. x ( r \ del p u n to A d e la palanca.

n o - f0 t

h F ig u ra 4 .6 2

4.44

En e l transbordador espacial hay un paquete experim ental espacial de m asa m soportado por una sus­ pensión elástica d e rigidez k. D urante e l lanzam iento, e l transbordador espacial (base d e l paquete e lá s­ ticam ente soportado) experim enta u n a aceleración 'y(t) = « . d o n d e a es una constante. Encuentre la variación d e l tiem po d e l desplazam iento, x(i), y e l desplazam iento relativo, x {t) — > T suponiendo que la rigidez de la persona q u e está d e pie es *, determ ine la variación d e l desplazam iento del instrum ento d e precisión, x(t).

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420

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as 4.46

0 tanque d e a g u a que se m ucslra e n la figura 4.43(a) s e som ete a una fuerza huracanada repentina la cual cam bia con e l tiempo com o se m uestra en la figura 4.64. C onsiderando condiciones iniciales cero, determ ine la respuesta d e desplazam iento. x(i), d e l tanque d e agua.

M

O

\

F ig u ra 4.64

T

Sección 4.6 Espectro de respuesta 4.47

D erive e l espectro d e respuesta d e un sistem a no am ortiguado c o n el pulso rectangular q u e se m uestra en la figura 4 .46(a). T rac e (x/6a ,)ni¿ ,c o n respecto a (»o/rB).

4.48

E ncuentre e l espectro d e respuesta d e desplazam iento d e un sistem a no am ortiguado c o n e l pulso q u e se m uestra e n la figura 4.46(c).

4.49

l a base de un sistem a d e resoitc-m asa no am ortiguado s e som ete a u n a excitación d e aceleración dada por o0[ 1 - se n (w í/2 f0]. E ncuentre el desplazam iento relativo de la m asa z.

4^0

Encuentre el espectro d e respuesta d e l sistem a considerado en e l ejem p lo 4 .1 3 . T rac e . lo s c u a le s in d ic a n lo s m o d o s n o r m a le s d e v ib ra c ió n , s e c o n o c e n c o m o v e c to r e s m o d a le s d e l s is te m a . L a s o lu c ió n d e v i b r a c ió n lib re o e l m o v im ie n to e n e l tie m p o s e p u e d e e x p re s a r, u tiliz a n d o la e c u a c ió n ( 5 .6 ) . c o m o

* " « -

$ : !

-

-

c b n d e la s c o n d ic io n e s in ic ia le s d e te r m in a n l a s c o n s ta n te s

xf' K

-

-

-

X ,( ? ) .2.

C o n d ic io n e s i n ic i a l e s . C o m o s e m e n c io n ó a n te s , c a d a u n a d e la s d o s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to , e c u a c io n e s ( 5 . 1) y ( 5 .2 ) , im p lic a d e r iv a d a s d e s e g u n d o o r d e n ; p o r c o n s ig u ie n te , s e re q u ie re e s p e c i­ fic a r d o s c o n d ic io n e s in ic ia le s p a r a c a s a m a s a . C o m o s e e s ta b le c ió e n l a s e c c ió n 5 .1 . s e p u e d e h a c e r q u e e l s is te m a v ib re e n s u m o d o n o rm a l ié s im o ( i = 1,2 ) s o m e tié n d o lo a la s c o n d ic io n e s in ic ia le s e sp e c ífic a s * i ( ' = 0 ) = x f ^ = a lg u n a c o n s t a n t e « (1 = 0 ) = r ¡ x f í

. t |( f = 0 ) = 0 . ¿ 2( f = 0 ) = 0

S in e m b a r g o , p a ra c u a le s q u ie r o tr a s c o n d ic io n e s ¡ n i d a l e s , a m b o s m o d o s s e e x r it a r a n . E l m o v i­ m ie n to re s u lta n te , d a d o p o r la s o lu c ió n g e n e ra l d e la s e c u a c io n e s ( 5 .4 ) y ( 5 .5 ) . s e o b tie n e m e d ia n te u n a s u p e r p o s i d ó n lin e a l d e lo s d o s m o d o s n o rm a le s , e c u a d ó n (5 .1 3 ): 7 (/) =

+

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c2 7

(2> ( 0

(5 .1 4 )

5 .3

A n á lisis d e v ib r a ció n lib r e d e u n siste m a n o a m o r tig u a d o

439

donde c x y c2son constantes. Dado que * *''(/) y x ,2>( l ) ya implican las constantes desconocidas X / 1) y x/2) (vea la ecuación (5.13)). podemos escoger c x = c2 = I , sin pérdida de generali­ dad. Por tanto, los componentes del vector ?(/) se expresan, utilizando la ecuación(5.14) con C! = c2 = 1 y la ecuación (5.13), como *,(/) =

+ x ¡2 \ t ) = X ¡ ^ c o s(tü xt + 2/ + ¿ 2)

x2(t) = x i ' \ t ) + x ? H » = r xX ( l ) cos( , «¿, y 2: * ,(/ = 0 ) = x ,(0 ).

*,(/ = 0) = ¿ ,(0 ).

x i ( t = 0 ) = x2(0 ),

¿2(/ = 0 ) = ¿2(0 )

(5.16)

La sustitudón de la ecuadón (5.16) en la ecuación (5.15) conduce a x i ( 0 ) = x /^c o s < ^i + x / 2' eos «fe ¿ ,( 0 ) = - « j X p * s e n ^ , -

t ^ X p 1s e n ^

x2(0 ) = ^ x / 1' eos «ó, + r2x j 2 ) cos2 ¿2(0) = -t u ir iX p 's e n ^ i - «u2/2x P ) sentfc

(5.17)

la ecuación (5.17) se puede considerar como cuatro ecuaciones algebraicas en las incógnitas X p ) eos , y X / 2) sen 2. La soludón de la ecuación (5.17) se expresa como m

,

X f )e 0 ,+ y ll)

ÍV | (0 )-« (0 )1 = 1

.

^

- r,

í - r , X | ( 0 ) + x 2( 0 ) l X l >C° S ^

/•

í “ r 2 ¿ l( 0 ) + ¿ 2 ( 0 ) 1

Xf

= i

^

- 0

)

p.

}'

*' C

---------- ]

= \ ----------^

í n ¿ l ( 0 ) - ¿ 2 (0 )1 >

- „ )

■ 1

a p a r tir d e l a s c u a le s o b te n e m o s l a s o lu c ió n d e s e a d a :

*, c o s < M í X,scn¿2 1

- r ? ¿ i ( 0 ) + ¿ 2 (0 ) 1

l w ^ i ( 0 ) - -»2(0)]J ,í

lx P > c o s * J

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ri¿,(0 ) - ¿2(0)

1

l « 2 [ - n * i ( 0 ) + x2(0 )]J

}

440

C a p ítu lo 5

E j e m p l o 5 .1

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d

F r e c u e n c ia s d e u n s is te m a d e r e s o r t e -m a s a Encuentre las frecuencias naturales y form as d e m odo d e un sistem a d e resorte-m asa que se m uestra e n la figura 5 .6 , e l c u a l está restringido p ara m overse sólo e n la dirección vertical. C onsidere n = I. S olución: S i m edim os x , y respecto a las posicio n es d e equ ilib rio estático d e la s m asas m l y m j, respecti­ vam ente. las ecuaciones d e m ovim iento y la solución obtenida p ara e l sistem a d e la figura 5 .5 (a ) tam bién son aplicables a este caso si sustituim os m , = 42 = 4 , “ 4. P o r lo tanto, la s ecuaciones d e m o v i­ m iento. ecuaciones (5 .4 ) y (5.5). son resultado de m i ) + 2k x \ ~ k x ¡ = 0

m x 2 - kx i + 24*2 = 0

( E l)

•*i(0 = *iC os(a»f + « » ; / = 1 .2

(E .2)

Suponiendo u n a solución arm ónica com o

h ecuación tfc frecuencia se o b tie n e sustituyendo la ecu ació n (E 2 ) e n la ecu ació n ( E 1): < - m a ,? + 2 4 ) (“ *)

(-4 ) ( - m a , J + 24)

o m V - 4 4 m o r + 34^ = 0

(E .3)

La solución d e la ecuación (E .3 ) proporciona las frecuencias naturales Í4 4 m - [164V

-

-

= { ------------------- £ ? ------------------- }

¡T

= V=

T * t( 0

T xAO

4,-4 m

m

Figura 5 .6 Sistem a d e dos grados d e libertad.

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(E 4 )

5 .3

A n á lisis d e v ib r a ció n lib r e d e un siste m a n o a m o r tig u a d o

441

!>: acuerdo c o n la ecu ació n (5.11) las relaciones d e am plitud resultan de -n u o } + 2k

_ r'

*

*

x fl}

*

-itia>? + 2 *

X ?>

-m a A + 2k

k

x p

*

= 1

(E.6)

= - 1

(E.7)

m a ¿ + 2k

L os m o d o s naturales resultan d e la ecuación (5.13):

Prim er m odo

= x1' 1 ( l ) =

(E.8)

X 1(2)C0S(

+ ti

Segundo m odo = x(2) ( / ) =

■)

(E.9)

E n la ecuación (E .8 ) se ve que cuando el sistem a v ib ra e n su prim er m odo, las am plitudes d e las d o s m asas no cam b ian . Esto im plica que la longitud d e resorte m edio perm anezca constante. P o r lo tanto, los m ovim ientos d e m , y m , e stán en fase (vea la figura 5.7(a)). Cuando e l sistema vibra e n su segundo m odo, la ecuación (E 9 ) m uestra q u e los desplazam ientos de la s d o s m asas tienen la m isma m agnitud con signos opuestos. P o r lo tan ­ to. los m ovim ientos d e m , y m 3 e stán desfasados 180° (v ea la figura 5.7(b)). E n este caso e l p u n to m edio del resorte m edio perm anece estacionario todo e l tiem po t. Tal punto se d e n o m in a nado. Utilizando la ecuación (5.15) e l m ovim iento (solución g e n era l) del sistem a se expresa com o

*J(0 =

+

x 2( l ) = X / ' J e o s ^ ^ / + ^

F ig u ra 5 . 7 Modo d e vibración.

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+ * ^ >C08( V n i r + -

x \ 2' c o s ( ^ ^ i +

(E .I0 )

442

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d Nota: S e ve que e l cálculo d e las frecuencias naturales y form as de m odo e s laborioso y tedioso. S e pueden utilizar program as de com p u tad o ra d e form a co nveniente para e l cálculo num érico d e las frecuencias naturales y form as de m odo d e sistem as de varios grados d e libertad ( v e a la sección 5.12).

E je m p lo 5.2

C o n d ic io n e s inicia le s p a ra e x c ita r un m o d o e sp e cífico B icuentrc las condiciones iniciales q u e necesitan aplicarse al sistem a q u e s e m uestra e n la figura 5 .6 para que vibre (a ) e n e l p rim er m odo, y (b ) e n e l segundo m odo. Solución: M étodo; E specifique la solución q u e se o btendrá p ara e l prim er o segunda m odo a p artir d e la solución general cu c o n d icio n es iniciales arbitrarias y resuelva las ecuaciones resultantes. Rira c o n d icio n es iniciales arbitrarias, la ecuación (5.15) d escribe e l m ovim iento d e las m asas. E n este caso, r , ~ l , r 2 “ - 1 d e m odo q u e la ecu ació n (5 .1 5 ) se reduce a la ecu ació n ( E 10) d e l ejem plo 5.1:

* l(0 =

+

* 2 (0 = X ^ c o s ^ * / +

+

X|!2lcos( V ? í + *2)

-

X, 2sc o btiervn p o r la ecu ació n (5,18), aplicando r , " 1 y r2 m —1: 1/2

*> < ”

=

+

* 2 | = 1.5811.

= 6.0

a>2 = 2.4495

La sustitución d e o ? = tof = 2 .5 e n la e c u a c ió n ( E .l) c o « iu c c a X2(l) = 2 * i(! ).m ien tra s q u e ai2 =

(E 3 )

= 6.0

en la ecu ació n ( E l ) resulta X ¿ 21 = - 5 X | + l2 .2 4 7 5 X |2>sen2

(E.10) (E.11)

l a solución d e las ecu acio n es (E .8) y < E 9) produce

X / *^ eos 4*i= zj,

x / 2^ e o s 4>!

= zj

( E l 2)

=0

( E l 3)

o í tanto la so lu ció n d e las ecuaciones (E . 10) y ( E 1 1) conduce a X,*1^scn J2 ■ 2J0 y *,1 - kn = kr S o lu c ió n : La ecu ació n diferencial d e m ovim iento, ecu ació n (5.20). se reduce a (con k ¿ - 0. J , = J i)y J 2 = 2 J 0 ).

■ Af, ■- kr

V . + 2*/>, - k fi2 = 0 2J0é 2 - k fi , + A A = 0

(E l)

R eordenando y sustituyendo la solución arm ónica 0 ,(0 = 0 , c o s H

+ ¿ );

,=

1 .2

(E.2)

re su lta la ecu a c ió n d e fre c u e n c ia 2 a> *Jl

- 5 a rJo k,

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+ A? = 0

(E 3 )

446

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d

F ig u ra 5 .9 S iste m a torsional.

La solución d e la ecuación (E .3 ) proporciona las frecuencias naturales

" i = N/ ^ ( 5 - V '¡ 7 )

y

«, - ^

( * +

)

= O 0 k g -* n 2

(■M «, = ( 2 ) 2(2 0 0 0 ) = 8 0 0 0 k g V Ya q u e la distancia entre e l m otar y la unidad tfc engranes es pequeña, e l m otor y los d o s engranes pueden ser reem plazados p o r un solo rotor con un m om ento d e inercia d e m asa de = JE + JG1 + {Jc2)cq = 1000 + 250 + 600 =

1850 kg-m ?

Suponiendo un m ódulo de cortante d e 8 0 X 109 N/m: para acero, la rigidez torsional d e las flechas I y 2 se determ ina com o

M o to r

Engrane 1,40 dientes H é lic e

Flecha de acero 2 de 0.15 m de diám etro

7^1 :

-Ü

M

-

M M • 1 .0 m -

V b la n te

Engranc 2,20 d ientes

(a)

(b) Figura 5 .1 0 S iste m a d e h é lic e d e m o t o r m a r in o .

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'

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d

C / 01 *-■ = —

G Ív d \\

(80 x lC P )(ir)(0 .1 0 )4 --------- ( 5 5 ) ( 5 ) ------------- 981.750.0 N -m /rad

G l02

G ( T T d \\

(80 X 109)(w )(0 .1 5 )4

* - = I T

= ---------- (T 5 h 5 ) -------- -= l w

=

, 7 i “

Ltodo q u e la longitud d e la flecha 2 no es insignificante, se supone que la hc'licc es un rotor conectado a l extrem o tfc la flecha 2. P o r lo tanto, e l sistem a s e puede representar c o m o un sistem a torsional d e (tos grados d e liber­ tad. c o m o se indica e n la figura 5 . 10t = 85.3117

o

w , = 9.2364 rad/s

a>l = 3091.6083

o

a>, = 55.6022 rad/s

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= 7 , en la

5 .5

A c o p la m ie n to d e c o o r d e n a d a s y c o o r d e n a d a s p r in c ip a le s

k 2 = ka , * , - 0 . m¡ = 7, y m 2 “ A e n la ecuación ( 5 .1 1)

Para la s form as d e m odo, se establece q u e *, = para o btener - 7 , cu? +

(* „

+

449

* ,2 )

H = -----*f2 - ( 1 8 5 0 ) (85.3117) + (495.7837 X 104) = 1.2072 397.6087

X 104

+ ( * , i + * ,2 )

5 ------------ ( 1 8 5 0 ) (3091.6083) + (495.7837 X I 0 4) =

= - 0 .1 9 1 6 397.6087

X 104

Por lo tanto, las form as d e mock) s e determ inan a p artir de una ecu ació n sem ejante a la ecuación (5 .1 2 ) com o

( — V o - { - 1 = - L l« !j

(0 2 Í

5.5

W

1.2072

\n í

-0 .1 9 1 6

A c o p l a m ie n t o d e c o o r d e n a d a s y c o o r d e n a d a s p rin c ip a le s C o m o p r e v ia m e n te s e m e n c io n ó , un s is te m a d e n g ra d o s d e lib e r ta d r e q u ie r e n c o o r d e n a d a s i n d e ­ p e n d ie n te s p a r a d e s c r ib ir s u c o n f ig u r a c ió n . P b r lo c o m ú n , e s ta s c o o rd e n a d a s s o n c a n tid a d e s g e o m é ­ tr ic a s in d e p e n d ie n te s m e d id a s c o n r e s p e c to a la p o s ic ió n d e e q u ilib r io d e l c u e r p o v ib ra to rio . S in e m b a r g o , e s p o s i b l e s e le c c io n a r a lg ú n o tr o c o n ju n to d e n c o o rd e n a d a s p a ra d e s c rib ir l a c o n f ig u r a ­ c ió n d e l s is te m a . E l s e g u n d o c o n ju n to p u e d e s e r , p o r e je m p lo , d if e r e n te d e l p rim e ro e n q u e l a s c o ­ o rd e n a d a s p u e d e n t e n e r s u o r ig e n a le ja d o d e l a p o s ic ió n d e e q u ilib rio d e l c u e r p o . P ó d r ia h a b e r o tro s c o n ju n to s d e c o o r d e n a d a s p a ra d e s c rib ir l a c o n f ig u r a c ió n d e l s is te m a . C a d a u n o d e e s t o s c o n ju n ­ to s d e n c o o r d e n a d a s s e c o n o c e c o m o c o o r d e n a d a s n e n e m l i z a d a s . C o m o u n e je m p lo , c o n s id e r e e l to m o q u e s e m u e s tra e n la f ig u r a 5.11 ( a ) . P o r s e n c ille z , e l t o r ­ no p u e d e s e r r e e m p la z a d o p o r u n a v ig a e lá s tic a s o p o r ta d a p o r c o lu m n a s e lá s tic a s c o i l a s , y t a n t o e l c a b e z a l f i jo c o m o e l m ó v il p u e d e n s e r re e m p la z a d o s p o r d o s m a s a s c o n c e n tra d a s c o m o s e m u e s tra e n l a fig u ra 5.11 ( b ) . E l m o d e la d o d e l to m o c o m o u n s is te m a d e d o s g r a d o s d e lib e r ta d s e in d ic ó e n la s e c c ió n 5 .1 . C o m o s e m u e s tra e n l a s f ig u ra s 5 .1 2 (a ) y ( b ) , c u a lq u ie r a d e l o s s ig u ie n te s c o n ju n to s d e c o o r d e n a d a s s e p u e d e u tiliz a r p a r a d e s c rib ir e l m o v im ie n to d e e s t e s is te m a d e d o s g r a d o s d e lib e rta d :

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C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d

C abezal

P u n ta

F ig u ra 5 .1 1 T o m o . (F otografía co rte sía d e S o u th Betxl L athe Corp.).

1. D e f le x io n e s * |( / ) y x ¿ t ) d e los d o s e x ir e m o s d e l t o r n o A fí. 2 . D e fle x ió n x ( t) d e l C .G . y r o ta c ió n ff(r). 3 . D e fle x ió n x ,( / ) d e l e x tr e m o A y ro ta c ió n 0(r). 4 . D e fle x ió n y( / ) d e l p u n to P lo c a liz a d o a u n a d is ta n c ia c a l a iz q u ie rd a d e l C .G . y ro ta c ió n 0{i). ft> r lo ta n to , c u a lq u ie r c o n ju n to d e c o o r d e n a d a s c o m o ( x , , x2) . (* . 0 ) . ( * i. ®) y (y . # ) r e p re s e n ta las c o o rd e n a d a s g e n e ra liz a d a s d e l s is te m a . A h o r a d e riv a r e m o s la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e l to m o p o r m e d io d e d o s c o n ju n to s d e c o o id c n a d a s d if e r e n te s p a r a ilu s tr a r e l c o n c e p to d e a c o p la m ie n to d e c o o rd e n a d a s .

(a) A

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B

5 .5

A c o p la m ie n to d e c o o r d e n a d a s y c o o r d e n a d a s p r in c ip a le s

451

E cu a cio n es d e m o vim ien to utilizando>x ( t ) y 0 (t). De acuerdo con el diagrama que se muestra en la figura 5.12(a). con los valores positivos de las variables de movimiento indicados, la ecuación de equilibrio de fuer/as en la dirección vertical se escribe como

(5.21)

m x = - * i ( * “ W ) ~ ki( * + h e )

y la ecuación de momento con respecto al C .G . se expresa como

V

= k t( x - /,«)/, -

k 2( x + M ) l 2

(5.22)

Las ecuaciones (5.21) y (5.22) se reordenan y escriben en forma matricial como - * 2/2 ) 1 M

+M§)J \*J (5.23)

Se ve que cada una de estas ecuaciones contiene x y 6 . Si el termino de acoplamiento (*|/, k 2l2) e s igual acero, es decir, si A|/, = k 2l 2,se vuelven independientes entre sí. Si *,/, # k 2l 2,el movi­ miento resultante del tomo A B es tanto traslacional como rotacional cuando se aplica o un desplazamientoo un par de torsión a través del C.G.dclcucrpocomocondicióninicial. En otras palabras.el tomo gira en el plano vertical y también tiene movimiento vertical a menos que k {lx = k 2l2. Esto se conoce como a c o p la m ien to e lá s tic o o está tico . E cu a cio n es de m o v im ie n to u tiliza n d o y{¡) y 0 (t). De acuerdo con la figura 5.l2(b), donde y(f) y 0{t)

se utilizan como las coordenadas generalizadas del sistema, las ecuaciones de movimiento para traslación y rotación se escriben como my = - * , ( > - l[ 6 ) - k 2( y + /tf) - m e é

JP'Ó =

* t(> -

l\e )l\

- *2(y +

IW i ~

m y

(5.24)

Estas ecuaciones se reordenan y escriben en forma matricial co n »

r *

« e ] M

\m e

Jp ] [ Ó ¡

. r

(*. + *2 )

L (-M ; + M 2)

fo" .0

(* ¿ 2

- mí) 1 w

(M i2 + M 22) J W

(5.25)

Las dos ecuaciones de movimiento representadas por la ecuación (5.25) contienen y y 0. de modo que son ecuaciones acopladas. Contienen términos de acoplamiento tanto estáticos (o elásticos) como dinámicos (o masa). Si k ¡ l\ = k ^ 2,c \ sistema tendrá a co p la m ie n to d in á m ic o o de inercia únicamente. En este caso, si el tomo se sube y baja en la dirección y . la fuerza de inercia m y ,1a cual actúa a través del centro de gravedad del cuerpo, induce un movimiento en la dirección 0 , gracias al momento m 'y e . Asimismo, un movimiento en la dirección 0 induce un movimiento en el tomo en la dirección y debido a la fuerza m eO . Observe las siguientes características de estos sistemas:

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452

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d 1 . E n l a m a y o ría d e lo s c a s o s , u n s is te m a v is c o s a m e n te a m o rtig u a d o d e d o s g r a d o s d e lib e rta d tie n e e c u a c io n e s d e m o v im ie n to e n l a s ig u ie n te fo rm a :

« u

« 12

«12

«22

{y *f c . } {y *[i: d {y ■w •»

E s ta e c u a c ió n re v e la e l t ip o d e a c o p la m ie n to a c tu a l. S i l a m a tr iz d e r ig id e z n o e s d ia g o n a l, e l siste m a tie n e a c o p la m ie n to c lá s tic o o e s tá tic o . S i l a m a triz d e a m o rtig u a m ie n to n o es d ia g o n a l e l s is te m a tie n e a c o p la m ie n to d e a m o rtig u a m ie n to o d e v e lo c id a d . F in a lm e n te , si l a m a triz d e m a s a n o e s d ia g o n a l, e l s is te m a tie n e a c o p la m ie n to d e m a s a o in c r c ia l. T a n to e l a c o p la m ie n to d e v e lo c id a d c o m o d e m a s a q u e d a n b a jo e l e n c a b e z a d o d e a c o p la m ie n to d in á m ic o . 2 . E l s is te m a v ib r a d e fo rm a n a tu ra l in d e p e n d ie n te m e n te d e l a s c o o r d e n a d a s q u e s e u tilic e n . L a s e le c c ió n d e l a s c o o rd e n a d a s e s u n a m e ra c o n v e n ie n c ia . 3 . D e a c u e r d o c o n l a s e c u a c io n e s ( 5 .2 3 ) y ( 5 .2 5 ) . e s t á c la r o q u e la n a tu r a le z a d e l a c o p la m ie n to d e p e n d e d e l a s c o o r d e n a d a s u tiliz a d a s y n o e s u n a p ro p ie d a d in h e r e n te d e l s is te m a . E s p o s ib le s e le c c io n a r un s is te m a d e c o o r d e n a d a s