Vibraciones forzadas sin amortiguamiento utilizando el método integral de Duhamel (método de Simpson) Oscar Ivan Gómez E-mail:
[email protected] Zuleidy Hernandez Lopez E-mail:
[email protected] Fabio Ramirez E-mail:
[email protected] 2014
Resumen: Para lograr estudiar y comprender en su totalidad el comportamiento de una estructura en todo momento, es necesario conocer y aplicar las nociones de la dinámica en el análisis de la estructura resultante. La dinámica es la parte de la física mecánica que nos permite estudiar el comportamiento de un objeto que se encuentra en movimiento, y para el caso de muchas estructuras, este "movimiento" del que hablamos se trata por lo general de un sismo. En la presente investigación se propone un modelo por el método dinámico para el diseño sísmico de edificios, el cual considera las deformaciones por cortante, que es una innovación al método tradicional, el cual se utiliza para analizar toda clase de estructuras que están sujetas a movimientos del suelo. Esta metodología toma en cuenta las deformaciones por cortante y se hace una comparación con el método tradicional.
Abstract In mathematics, and more specifically in partial differential equations, Duhamel's principle is a general method for obtaining
solutions to inhomogeneous linear evolution equations like the heat equation, wave equation, and vibrating plate equation. It is named after Jean-Marie Duhamel who first applied the principle to the inhomogeneous heat equation that models, for instance, the distribution of heat in a thin plate which is heated from beneath. For linear evolution equations without spatial dependency, such as a harmonic oscillator, Duhamel's principle reduces to the method of variation of parameters technique for solving linear inhomogeneous ordinary differential equations. 1. INTRODUCCIÓN En muchas situaciones las estructuras se encuentran ante fuerzas de excitación que no son armónicas. Sino que podrían adoptar formas diversas. Por esta razón veremos la respuesta que una estructura puede tener ante la acción de fuerzas excitadoras de tipo general. Para esto se hace uso de procedimientos numéricos de integración, fuerza de excitación o impulso, esta última no es más que una fuerza aplicada durante un corto intervalo de tiempo, se define como el
producto de la fuerza por el tiempo de su duración.
3. Planteamiento del problema La respuesta a la excitación impulsiva aplicando la identidad de Duhamel, en las estructuras ocurre diversos sucesos que alteran su permanencia entre ellos las fuerzas exteriores producidas natural o artificialmente para hallar el desplazamiento de estas vibraciones aplicando la identidad de Duhamel, dando el origen del mismo y cómo influye realmente estas vibraciones en las estructuras, para esto se mencionaran dos fases importantes para poder hallar dicho desplazamiento; que son el sistema con amortiguamiento que consiste en mitigar una fuerza tratando de minimizar la energía de la carga inicial y para ello usamos la integral de duhamel en función a este sistema obteniendo una nueva ecuación; en el caso del sistema sin amortiguamiento es todo lo contrario, no puede disminuir una fuerza o mitigarla, ya que tenemos una función desconocida y por tal usamos los métodos numéricos, usando identidades trigonométricas obtenemos dos integrales que luego agrupándolas, nos genera una nueva ecuación en función a la integral de Duhamel y con ella nuestra solución. Finalmente en una posible gráfica, introduciendo los datos iniciales en nuestro programa podemos observar el desplazamiento de estas vibraciones ya sea por diferentes métodos del punto medio, método del trapecio o método de Simpson; en este caso usaremos el método de Simpson 1/3 para nuestros cálculos posteriores.
Para el análisis sísmico de estructuras pueden emplearse como métodos dinámicos el análisis modal espectral y el análisis paso a paso o cálculo de respuestas ante registros de aceleración, en este caso encontraremos el desplazamiento producido por dichas vibraciones. Para calcular el desplazamiento fue necesario desarrollar métodos numéricos en este caso se usó la regla de Simpson 1/3.
Y Yo * Cos( wt )
vo Sen( wt ) w
2. OBJETIVOS 2.1 General: Hallar el desplazamiento de una estructura sometida a un impacto utilizando el método de Duhamel (Simpson 1/3) 2.2 Específicos: Implementar el uso de un aplicativo (geogebra) para facilitar el análisis del método a aplicar Elaborar estrategias y métodos utilizando formulas y ecuaciones matemáticas para poder determinar el movimiento du una estructura dependiendo del material. Analizar el comportamiento de una estructura utilizando la integral de Duhamel y argumentando la ejecución con el método de Simpson 1/3.
Una excitación aplicada durante un corto intervalo de tiempo es una excitación impulsiva, correspondiendo el impulso al producto de la fuerza por el tiempo de su duración. Cuando este impulso actúa sobre 2
un cuerpo de masa m produce un cambio de velocidad dv que, expresado mediante la ley de newton es: Esta integral es conocida como la integral de Duhamel Resolviendo:
De esta manera obtenemos el desplazamiento total a lo largo del tiempo de un sistema de un grado de libertad sin amortiguamiento producido por una fuerza arbitraria. Si la expresión analítica de esta fuerza arbitraria no es conocida, la integral puede ser calculada aproximadamente usando un método numérico apropiado.
este incremento de velocidad dv, a su vez puede ser considerado como la velocidad inicial de la masa m en el instante t experimentara un cambio de velocidad dv, introduciéndose este cambio de velocidad vo y el desplazamiento inicial uo como cero en la ecuación de respuesta al movimiento.
En el instante T se producirá desplazamiento en el tiempo t.
Calculo numérico de la integral de Duhamel. En algunos casos la integral de Duhamel no es fácil de resolver analíticamente, por lo cual es aconsejable tomar la opción de la solución numérica.
un Sistema sin amortiguación: la respuesta para excitaciones cuyas funciones no permiten una solución numérica de la integral de Duhamel debe ser calculada mediante métodos numéricos. Es por esto que se introducirá en la integral la identidad trigonométrica.
Esto será lo que produce un solo impulso, pero si deseamos ver qué sucede ante la excitación total, debemos entonces considerar la función de la oscilación como una serie de impulsos cortos, los cuales se presentan a incrementos de tiempo dt, cada uno de los cuales produce una respuesta diferencial en el tiempo t.
A demás suponiendo ecuaciones iniciales iguales a 0 tenemos
De lo anterior podemos concluir que el desplazamiento total en el instante t debido a la acción continua, está dada por la suma o la integral de los desplazamientos diferenciales desde el instante t=0 al instante t=1 esto es:
El cálculo de la integral de Duhamel por consiguiente, requiere el cálculo numérico de A(t) y B(t). Existen varios métodos de integración numérica, y entre los más
3
populares están el método de la regla del trapecio y la regla de Simpson 1/3
Donde: m= masa t=tiempo w=s*q*r*t (k/m)= frecuencia circular del sistema k= constante de elasticidad
EXCITACIÓN IMPULSIVA E INTEGRAL DE DUHAMEL P(t)
Y(t) = Desplazamiento ocasionado .F(t) = Fuerza en función del tiempo, lo único que hará la diferencia será el exponencial (en el caso del sistema con amortiguamiento), siendo esta una integral con mayor grado de dificultad. Para ambos casos se usara la regla de Simpson con un cierto número de intervalos de tiempo, para la cual a más intervalos usemos más precisa será la respuesta.
t dt Fuente: Paz Mario (2013, pág. 267)
3.1 INTEGRAL DE DUHAMEL
Una excitación impulsiva es una excitación aplicada durante un corto intervalo de tiempo. El impulso correspondiente a este tipo de excitación se define como el producto de la fuerza por el tiempo de su duración. En la figura anterior el impulso de la fuerza F (t) en el instante t durante el intervalo está representado por el área sombreada y es igual a F(t) dt. Cuando este impulso actúa sobre un cuerpo de masa m produce un cambio de velocidad dv que está dado por la ley de movimiento de Newton.
La integral de Duhamel es una de las técnicas más usadas para análisis dinámico lineal de estructuras sujetas a cargas variables en el tiempo. Como dicho procedimiento se basa en el principio de superposición, es válido únicamente para estructuras lineales, es decir para sistemas cuyas propiedades permanecen constantes durante todo el proceso dinámico (masa, rigidez, etc.)
3.1.1 Sistema sin amortiguamiento Donde F (t) es el impulso y dv el incremento de velocidad. Este incremento puede ser considerado como la velocidad inicial de la masa en el instante consideremos ahora a este impulso F (t) dt actuando en la estructura representada por el oscilador simple sin amortiguación, obteniendo la función de excitación puede entonces considerarse como una serie de impulsos cortos que se presenta a incrementos de tiempo dt. Por lo tanto se puede concluir que el desplazamiento total en el instante t debido a la acción continua de la fuerza F(t) está dado por la integral delos desplazamientos diferenciales dy (t) desde el instante t=0 al instante t=t, esto es: Para el caso sin amortiguación: Y para el caso con amortiguación.
Una estructura sin amortiguamiento viene a ser aquella que no puede absorber, mitigar, ni dispersar una fuerza, de forma que la carga inicial disminuya. En muchos casos la función excitadora se conoce sólo por datos experimentales, como es el caso de los registros de movimientos sísmicos. En tales situaciones la respuesta debe ser calculada por un método numérico y uno de los métodos de cálculo numérico es la integral de Duhamel. Introduciendo la identidad trigonométrica, usando esta identidad y suponiendo condiciones iniciales iguales a cero. En este caso para desarrollar dichas integrales aplicaremos la regla de simpson1/3 .Considerando 4
la integral de una función la operación elemental en la regla de Simpson.
Hallar el desplazamiento x(t) del siguiente pórtico x(t)
Un método alternativo es obtener la solución analítica exacta de la integral de Duhamel, suponiendo que la función está compuesta por segmentos lineal sucesivos. Este método no introduce aproximaciones numéricas en la integración, aparte de las inherentes al error de redondeo, por lo que se considera un método exacto. Se supone que la función de la fuerza excitadora F puede ser representada aproximadamente por una función de segmentos lineales.
Fuente: propia
Solución de la estructura está en el Anexo 1. 4. CONCLUSIONES Fuente: Paz Mario (2013, pág. 267) t
Se pudo conocer el funcionamiento de la integral de duhamel y básicamente su uso, el cual nos permitió hallar el desplazamiento a las excitaciones impulsivas.
F (t ) * COSwt * dt A(t)= 0
t
B(t)=
F (t ) * SENwt * dt 0
Al concluir el informe se obtuvo el cálculo del desplazamiento producido por fuerzas impulsivas utilizando la regla de Simpson 1/3.
3.1.2 Ejemplo de una estructura con un grado de libertad que se somete a un impulso
Se demostró que efectivamente el método numérico (Duhamel) es mucho más fácil de utilizar para hallar el desplazamiento de una placa luego de ser afectada por una fuerza cualquiera.
P(t) 96,6 Kips
t 0,025
0,050
5. GLOSARIO
Fuente: propia
5
producción, Ing civil respectivamente, Área de interés métodos numéricos.
Amortiguamiento: se define como la capacidad de un sistema o cuerpo para disipar energía cinética en otro tipo de energía. Típicamente los amortiguados disipan la energía cinética en energía térmica y/o en energía plástica (e.g. atenuador de impactos). Cargas o excitaciones: son fuerzas cuya magnitud, dirección o punto de aplicación puede variar en función del tiempo, Existen 2 tipos de excitaciones: Excitaciones periódicas: son aquellas que se repiten por ciclos a lo largo del tiempo. Excitaciones no periódicas: se identifican según su duración como cortas medianas y de larga duración. Cargas de corta duración, se aplican en periodo de tiempos pequeños que se denominan impulsos. Impulso: una excitación de impulso es una fuerza aplicada durante un corto intervalo de tiempo. Se define como el producto de la fuerza por el tiempo de su duración.
6. REFERENCIAS [1] Paz Mario, estructural"25/09/2013.
dinámica
[2] Reyes García Luis Enrique, dinámica aplicada al diseño sísmico, 30/11/1991.
7. AUTORES Oscar Iván Gómez Gantiva, Zuleidy Alejandra Hernandez Lopez, Fabio Ramirez, Estudiantes de Ing, mecánica, Ing de 6
Anexos 1. Integral de duhamel sin amortiguamiento solucionada por el método de Simpson.
M1 M2 K F W
4 1 2700 2,00E-05 30
Kips/pie
1
2
INTEGRAL DE DUHAMEL SIN AMORTIGUAMIENTO
r/s
N
tn
PN
Sen(Wtn)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,00 0,01 0,01 0,02 0,02 0,03 0,03 0,04 0,04 0,05 0,05
0,00 19,32 38,64 57,96 77,28 96,60 77,28 57,96 38,64 19,32 0,00
0,0000 0,1494 0,2955 0,4350 0,5646 0,6816 0,7833 0,8674 0,9320 0,9757 0,9975
3
4
Cos(Wtn) YN=PN(CosWtn) 1,0000 0,9888 0,9553 0,9004 0,8253 0,7317 0,6216 0,4976 0,3624 0,2190 0,0707
0,000 19,103 36,914 52,190 63,782 70,681 48,038 28,839 14,002 4,231 0,000
5
6
YN-1
YN-2
0,000 19,103 36,914 52,190 63,782 70,681 48,038 28,839 14,002 4,231
0,000 19,103 36,914 52,190 63,782 70,681 48,038 28,839 14,002
7
8
9
(YN-1)*M1 ((YN-2)+(AN-2/F))*M2 AN-2/F
10
11
12
13
AN/F
YN
YN-1
YN-2
0,000
0,000 2,887 11,419 25,211 43,636 65,846 60,536 50,276 36,014 18,851 0,000
0,000 2,887 11,419 25,211 43,636 65,846 60,536 50,276 36,014 18,851
76,4122289
0
0
113,326
208,759656
150,2406328
113,326
422,782
282,724579
486,5641616
422,782
817,327
115,356872
865,3647773
817,327
994,723
16,9248368
1008,724656
994,723
1025,649
0,000 2,887 11,419 25,211 43,636 65,846 60,536 50,276 36,014
14
15
16
PN*Sen(Wtn)*M1 ((YN-2)+(BN-2/F))*M2 BN-2/F
11,549 45,676 100,842 174,542 263,385 242,142 201,103 144,056 75,404
17 BN/F
18
19
(AN/F)Senwt (BN/F)Senwt
20
21
(AN/F)Senwt X(t)=F*20 (BN/F)Senwt
22 F=K*X(t)
0
0
0
0,000
0,000
0,000
0,000
0
22,967
33,490
21,942
11,549
0,000
0,624
34,386
22,967
178,864
238,721
147,623
91,098
0,002
4,919
222,500
178,864
546,421
640,234
339,661
300,574
0,006
16,231
606,956
546,421
844,074
927,121
305,857
621,264
0,012
33,548
880,088
844,074
955,491
1023,080
67,589
955,491
0,019
51,597
X(t)=
0,019
