VIBRACIONES EN MEDIOS CONTINUOS

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA ANTONIO JOSE DE SUCRE “UNEXPO”. VICE RECTORADO “LUIS CABALLERO MEJIAS” CATEDRA: LAB DE DINAMICA DE MAQUINAS

PRACTICA N°4 VIBRACION EN MEDIOS CONTINUOS

INTEGRANTES: HARINZON RENTERIA EXP: 2008203036 FREYNEL SUAREZ EXP: 2008203016 CARACAS, DICIEMBRE DE 2014

INTRODUCCIÓN Es preciso hacer un estudio de vibraciones siempre que se quiera ser riguroso en el diseño, instalación, transporte, mantenimiento, de cualquier equipo o piezas en específico, aunque muy silenciosas y en algunos casos desapercibidas las vibraciones siempre están presentes, y muchas veces son la causa de innumerables daños a equipos, estructuras, o piezas, es por ello que entenderlas y saber cómo actúan y se comportan ante diferentes situaciones es un tópico de alto interés para cualquier estudiante de ingeniería, sin tener que mencionar que para los ingenieros también lo es. A continuación se muestra el análisis de vibraciones en medios continuos, este informe parte de una barra cilíndrica en voladizo a la cual se le hace un estudio de vibraciones tanto teórica como prácticamente con la finalidad además de comparar los métodos y establecer las causas de error, de conocer el comportamiento de esta, y poder tener una idea amplia de sus aplicaciones.

OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL 

Estudiar el cálculo de la frecuencia natural en medios continuos, partiendo de la vibración de una viga empotrada-libre (voladizo) sometida a vibración.

OBJETIVOS ESPECIFICOS 1. Tomar mediciones de diámetro longitud frecuencia con los instrumentos específicos para cada uno de estos. 2. Construir tanto la gráfica teórica como la experimenta y compararlas. 3. Calcular los errores y exponer las posibles causas de ellos.

MARCO TEORICO

La mecánica de medios continuos (MMC) es una rama de la física (específicamente de la mecánica) que propone un modelo unificado para sólidos deformables, sólidos rígidos y fluidos. Físicamente los fluidos se clasifican en líquidos y gases. El término medio continuo se usa tanto para designar un modelo matemático, como cualquier porción de material cuyo comportamiento se puede describir adecuadamente por ese modelo. Aunque la mecánica de medios continuos es un modelo que permite investigar las propiedades de sólidos deformables y fluidos con gran precisión, hay que recordar que a escalas muy pequeñas la materia está hecha de átomos. Y esa naturaleza atómica de la materia da lugar a cierto tipo de microestructura heterogénea que viola alguno de los principios de la mecánica de medios continuos. Sin embargo, pese a esta dificultad, la mecánica de medios continuos es una aproximación válida en la mayoría de situaciones macroscópicas en las que la microestructura asociada a la naturaleza atómica de la materia puede ser ignorada Medios Continuos Los sistemas mecánicos tales como cables, varillas, placas, etc, que tienen sus masas y fuerzas elásticas distribuidas, en lugar de tener masas concentradas separadas por resortes son susceptibles a tener las llamadas vibraciones en medios continuos. Estos sistemas están compuestos por un número tan grande de partículas que vibran de forma acoplada, que sería irracional intentar determinar el comportamiento de una sola de las partículas del sistema; al nivel microscópico es visible la irregularidad de la estructura de los materiales; irregularidad que desaparece muchas veces a niveles macroscópicos donde el promedio del sistema de partícula predomina sobre los casos individuales Una ecuación diferencial parcial involucra dos o más variables y muchas funciones diferentes pueden ser solución; por ello para determinar su solución no se puede proceder como una ecuación diferencial de una sola variable y existirán varios tipos de condiciones, iniciales si dependen del tiempo o condiciones de fronteras si dependen de la posición; condiciones que permitirán determinar las distintas frecuencias normales de vibración y los modos de vibración correspondientes.

Además para el análisis de estas ecuaciones diferenciales se supone que todos los materiales son homogéneos e isotrópicos y que obedecen a la Ley de Hooke. Vibración Longitudinal en Barras. Las vibraciones longitudinales en una barra se producen cuando una fuerza externa actúa sobre la barra de forma que cambia su longitud y volumen, sin alterar su forma. Si consideramos que no hay rozamiento, la variación de longitud en cada diferencial de volumen de la barra se propagará según la ecuación de ondas. El estudio de estas vibraciones nos permite entender mejor la propagación de ondas acústicas en medios confinados, de lo que constituirían un ejemplo. Además, tienen aplicaciones prácticas como son la utilización de la frecuencia fundamental de barras circulares de diferentes longitudes para construir normas de frecuencia de tonos definidos, o el uso de la frecuencia de vibración longitudinal de un cristal piezoeléctrico para controlar la frecuencia de una corriente eléctrica o para excitar un transductor electroacústico. También tiene aplicaciones en el análisis de la respuesta de estructuras formadas por barras, o que se puedan modelar como barras con cargas másicas en los extremos, a fuerzas externas La ecuación general del movimiento de vibración longitudinal en barras viene dada por la ecuación diferencial parcial de onda, dada como:

dónde: u, desplazamiento de una sección transversal cualquiera x, coordenada a lo largo del eje longitudinal “x” t, cualquier instante de tiempo “t” Y siendo además: E, módulo de elasticidad del material del cual está hecha la barra ρ, peso específico de la barra

La solución general para la ecuación diferencial parcial dada es: (

)

[

(

)

(

)] [

(

)

(

)]

Donde Ai, Bi, Ci y Di son constantes que deben determinarse de las condiciones iniciales y de contorno, y además, π son las frecuencias naturales del sistema.

Modos de Vibración. Un modo de vibración es un patrón o forma característica en el que vibrará un sistema mecánico. La mayoría de los sistemas tienen muchos modos de vibración y es la tarea del análisis modal determinar la forma de esos modos. La vibración de una estructura es siempre una combinación o una mezcla de todos los modos de vibración. Pero no todos están excitados al mismo grado. El analisis modal es una tecnica utilizada para determinar las caracteristicas vibratorias de una estructura con comportamiento elastico y lineal, nos suministra las frecuencias y formas naturales con las que vibra una estructura. Es el tipo de analisis dinamico mas importante y debe hacerse siempre antes de cualquier otro analisis, pues las caracteristicas vibratorias de una estructura determina como responde ante las cargas dinamicas. (fundamental para evitar la resonancia). Teóricamente se puede hallar la frecuencia natural para una viga en un medio continuo por la ecuación siguiente:

Wn  B

EI g w l 4

Donde E es el módulo de Young, I es la inercia de la viga, g la gravedad, w es el peso de la viga, l la longitud de la viga y B una constante que depende de las condiciones de borde, y que tiene distintos valores para cada modo de vibración, los cuales se muestran a continuación:

Tabla N°1 Valores de B según las condiciones de borde. B1

B2

B3

Modo 1

Modo 2

Modo 3

Simplemente Apoyada

9,87

39,5

88,9

Voladizo

3,52

22,0

61,7

Libre

22,4

61,7

121,0

Empotrada libre

22,4

61,7

121,0

Empotrada Articulada

15,4

50,0

104,0

0

15,4

50,0

Configuración de la carga

Articulada Libre

ANÁLISIS DIMENSIONAL ECUACION N°1 Volumen de la barra

ECUACION N°3 Momento de inercia de la barra

ECUACION N°4 Frecuencia natural ECUACION N°2 Peso por unidad de teorica longitud √

√

PROCEDIMIENTO 1. 2. 3. 4. 5.

Se introdujo al estudiante al banco de pruebas de medios continuos. Se colocó la barra a ensayar en la mordaza por uno de sus extremos. Se midió el diámetro “d” de la barra de acero a utilizar Se midió la longitud existente entre la mordaza y el final de la barra. Haciéndole un desplazamiento inicial y con el uso del estroboscopio se midió la frecuencia natural (practica) 6. La longitud de la barra de acero se acortó 4cm y se repitió el paso 5. Luego se volvió a repetir este paso 3 veces para completar un total de 4 ejecuciones. 7. Se construyó la gráfica teórica vs Fnt y sobre esta la curva experimental vs Fnp 8. Se calcularon los errores absolutos y porcentuales en cada caso

CÁLCULOS Y RESULTADOS El valor de la longitud inicial de la barra (L) es de 58cm y el diametro de la barra (d) es de 0,7cm Para hallar el volumen de la barra se procedera a calcular el volumen con la ecuacion N°1

(

)

Para calcular el peso por unidad de longitud, se utilizara la ecuacion N°2.

Sabiendo que el módulo de Young para el acero es

resta hallar el

momento de inercia de una barra circular el cual se hará con la ecuación N° 3

(

)

Y para calcular la frecuencia teórica se utiliza la ecuación N°4 Por ser viga en voladizo y como se calculara el primer modo de vibración: √

Para las demás frecuencias se hizo el mismo calculo solo que variando la longitud. A continuación se muestra en la tabla los valores de frecuencia tanto practica como teórica obtenidos según la longitud. Tabla N°2 frecuencia natural practica (Fnp), frecuencia natural teórica (Fnt) y longitud al cuadrado Longitud al cuadrado 0,3364 0,2916 0,25 0,2116

practica 740 860 1040 1200

teorica 688,7870596 794,6089398 926,8318673 1095,028199

Grafico N°1 longitud al cuadrado versus frecuencia natural practica (Fnp), y frecuencia natural teórica (Fnt)

L^2 vs Fnt y Fnp Longitud al cuadrado

0,36 0,34 0,32

740

688,787

0,3

794,609

0,28

860

0,26

926,832

0,24 0,22

1040 1.095,028

0,2 600

700

800

900

1000

1200 1100

Frcuencia natural

1200 Teorica Practica

Calculo de errores: Tabla N°3 practica 740 860 1040 1200

teorica 688,7870596 794,6089398 926,8318673 1095,028199

Error absoluto 51,2129404 65,3910602 113,1681327 104,971801

Error relativo (Er)

0,074352356 0,082293386 0,122102117 0,09586219

(Er)x100 7% 8% 12% 10%

ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

Una vez culminada la sección de cálculos y resultados se dice que: Tabla N°4 Resumen de módulo de elasticidad momento de inercia y peso por unidad de longitud. E (módulo de elasticidad)

I (momento de inercia)

W (peso por unidad de longitud)

Analisis de la tabla N°4.  



El valor del módulo de elasticidad no presenta margen de error ya que es extraído de una tabla, se asume este como certero y preciso. El momento de inercia es un valor que se obtiene a partir de las dimensiones, Se asume la fórmula para calcular el mismo como verdadera ya que fue consultada en distintas bibliografías, ahora haciendo mención a los errores en los datos introducidos a la formula, se dice que pueden haber errores debido al uso del vernier en la medición del diámetro, este es un instrumento de medición que a pesar de que posee una precisión de ±0,05mm puede dar márgenes de error debido al paralaje, además de esto, en este cálculo la barra poseía una pequeña porción en donde el diámetro era distinto lo cual puede afectar el valor del momento de inercia, sin embargo se asumió como despreciable, el equipo de trabajo que realizo el presente informe considera que sería posible bajar en un pequeño porcentaje el margen de error si se tomase en cuenta esta parte de la barra donde el diámetro es menor. El valor del peso por unidad de longitud está afectado además de por el error del vernier y el diámetro anteriormente expuesto, presenta errores producto del uso de la cinta métrica, debido a que posee poca precisión. El factor que resta en la formula se refiere a la densidad del material y este es extraido de una tabla y consultado en varias fuentes, por lo cual este no presenta errores importantes.

Análisis de la tabla N° 3 





El valor de la frecuencia natural practica fue tomado gracias al uso del estroboscopio, una vez que se veía la barra como si estuviera estática (justo en el momento en el cual los flashes por minuto eran igual a la vibración de la barra) se detenía el experimento y se tomaba el valor del estroboscopio, los valores obtenidos fueron bastante consistentes sin embargo es preciso mencionar que la excitación de la barra en ningún momento fue la misma, el valor que se obtenía en el estroboscopio posee cierto margen de error ya que se lograba ver la barra estática a distintos flashes por minutos (todos bastante cercanos por supuesto) por lo cual no hay un valor exacto de estos sino uno aproximado. El valor de la frecuencia natural teórica arrastra todos los errores mencionados en el análisis de la tabla N°4 sin embargo como se pudo apreciar en la misma tabla los porcentajes de error se pueden considerar ligeramente altos, pero bastante cercanos a los de la práctica y por ende los de la práctica a estos. Los errores obtenidos pudiesen disminuirse en algunos puntos porcentuales haciendo al menos 5 mediciones para cada ítem, es decir 5 mediciones de diámetro, de longitud, de ciclos etc, y así sacar un promedio de cada uno de ellos, consiguiendo tener valores experimentales mas precisos.

CONCLUSION Una vez elaborados todos los requerimientos de la práctica se dice que las mediciones del diámetro longitud y frecuencia con cada uno de los instrumentos correspondientes se hicieron de forma satisfactoria, además de que con ellos y la aplicación de las formulas expresadas en la sección de análisis dimensional se logró realizar el grafico N°1 utilizando la herramienta de gráficos de Excel, permitiendo así apreciar la gráfica de forma detallada y poder establecer una comparación entre la gráfica teórica y la experimental, además de visualizar más allá del valor porcentual la consecuencia de los errores cometidos durante la ejecución de esta práctica. Por último se logró estudiar el cálculo de la frecuencia natural en medios continuos, partiendo de la vibración de una viga empotrada-libre (voladizo) sometida a vibración, calcular los errores y exponer sus posibles causas completando de esta forma tanto los objetivos específicos como el objetivo general de la presente practica.

BIBLIOGRAFÍA http://fisica3udobolivar.files.wordpress.com/2008/05/tema_07-vibraciones_ensistemas-continuos.pdf http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/vibracion_barra/vibracion_barra.htm http://azimadli.com/vibman-spanish/mododevibracin1.htm http://www.engineeringtoolbox.com/area-moment-inertia-d_1328.html