VIBRACIONES

Se supone la siguiente configuración de un sistema mecánico sometido a una vibración forzada amortiguada. Para este tipo de casos las magnitudes de las fuerzas que se analizan pasan a un segundo plano y se entra a analizar la frecuencia con que la fuerza se repite. Es por tal razón que es un sistema propio de análisis de vibraciones. Hay que tener en cuenta que para este tipo de sistema mecánico donde se someten a una vibración forzada ocurren por fuerzas dependiente del tiempo.

En el siguiente ejercicio se muestra una configuración de tres sistemas mecánicos el cual cada uno dependerá directamente del siguiente, y se realizara por medio de ecuaciones diferenciales en notación matricial el análisis del diagrama de cuerpo libre de cada sistema.


Ilustración 1 SISTEMA MECANICO VIBRACION FORZADA AMORTIGUADA 2 MASAS









Para la anterior configuración se analiza su diagrama de cuerpo libre de la siguiente forma


Ilustración 2 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

Para el análisis de este sistema se debe encontrar la ecuación diferencial de cada cuerpo en notación matricial, de la siguiente forma:

Ecuacion Diferencial
M1*X''-K1*X-C1*X'+KoX2-X1-CoX'2-X'1=0
M2*X'-KoX2-X1+CoX'2-X'1+K2*X+C2*X'=0

teniendo estas ecuaciones a partir de los cuerpos podemos definir que:

M1*X''=K1*X+C1*X'-Ko*X'2+Ko*X'1+Co*X2'-(Co*X1')

a partir de esta ecuación diferencial podemos desarrollarlo de forma matricial
en primera parte para la masa teneos que:


M=X''1 X''2[ M100M2 ]
para el amortiguamiento

C=X' X'1 X'2-C1Co-CoC2-CoCo

y para la constante de resorte
K=X X1 X2-K1-KoKoC2Ko-Ko

teniendo en cuenta la notación matricial anterior desarrollamos las matrices reemplazando cada elemento para encontrar las amplitudes

para el primer termino en este caso la Masa 1

M1Ao ω2senωt+φ-KAo senωt+φ -C1Ao ωcosωt+φ+KoA2senωt+φ-KoA1senωt+φ-CoA2ωcosωt+φ+CoA1ωcosωt+φ=0

aplicando distributiva para organizar los términos

[M1Aoω2-KAo+KA2-KoA1senωt+φ+-C1Aoω-CoA2ω+CoA1ωcosωt+φ=0


M1ω2-KAo+KA2-KoA1senωt+φ+{-C1A2ω-CoA2ω+CoA1ωcosωt+φ=0
esta seria la primera ecuación para desarrollar la matriz para la masa 1

para el segundo termino en este caso la Masa 2

M2A2 ω2senωt+φ-KoA2 senωt+φ+KoA1 senωt+φ+CoA2ωcosωt+φ-CoA1ωcosωt+φ+K2Aosenωt+φ+C2Aoωcosωt+φ=0

aplicando distributiva para organizar los términos

[M2A2ω2-KoA2+KoA1+K2Aosenωt+φ+CoA2ω-CoA1+C2Aocosωt+φ=0


M12-KoA2+KoA1+K2Aosenωt+φ+{CoA2ω-CoA1+C2Aocosωt+φ=0
esta seria la segunda ecuación para desarrollar la matriz para la masa 2

teniendo en cuenta las dos ecuaciones anteriores se tiene que:

M1ω2-KAo+KA2-KoA1+-C1A2ω-CoA2ω+CoA1ω=0 primera EC
M2ω2-KoA2+KoA1+K2Ao+CoA2ω-CoA1+C2Ao=0 segunda EC






en notación matricial las amplitudes se resolverían de la siguiente forma:
Ao A1 A2M1ω2-K1Ko+CoωKo-C1ω-CoωK2+C2Ko-CoM2ω2-Ko+Coω=


de este análisis se deben encontrar los valores propios de la ecuación característica del sistema vibratorio. Parte del siguiente análisis

r1=X2X1=-M1ω12+K1+K2K1

r2=X2X1=-M2ω22+K1+K2K2

para conocer los modos de vibración del sistema se debe tener en cuenta que:

modo1 X't=X1'tX2't=X1'cosω1t+ϕr1X1'cosω1+ϕ
modo2 X''t=X1''tX2''t=X1''cosω2t+ϕr2X1''cosω2+ϕ