Verificaci´on experimental de la hip´otesis de De Broglie mediante el an´alisis de la Difracci´on de electrones en un policristal de grafito por el m´etodo de Debye-Scherrer A. Agredoα , E.Gal´ındezβ , D. Ospinaγ , W.Estacio. Rδ Universidad Nacional de Colombia. Departamento de F´ısica. 26 de Agosto de 2016
Resumen En 1924, Luis de Broglie, basado en el postulado de Plank y la explicaci´ on del efecto fotoel´ectrico de Einstein, propuso en su tesis Trait´e de la lumiere, que las part´ıculas pod´ıan tener propiedades ondulatorias. Mediante la exposici´ on de un haz de electrones mono energ´eticos a un objeto difractante, en este caso una red policristalina de grafito con distancias interplanares reticulares previamente conocidas, se comprob´ o experimentalmente que los electrones sufren un efecto de difracci´ on; permitiendo obtener las longitudes de onda experimentales de los electrones acelerados con cierta diferencia de potencial y compararlas con las te´ oricas. Para finalmente, comprobar la hip´ otesis de de Broglie. Palabras Clave: Dualidad Onda-part´ıcula, de Broglie, difracci´ on, Debye-Scherrer, rayos cat´ odicos. Abstract Louis de Broglie in 1924, based in Planck and Einstein researches, postulated on his thesis Trait´e de la lumiere that the particles could have wave properties. The electrons emitted by the cathode pass through a diffracting grating, in this case a polycrystalline graphite foil, showed a diffraction pattern. Therefore, the experiment also allows us to find out the experimental wavelength of electrons and compare it with the theoretical values, proving de Broglie’s postulate. Keywords: Wave-particle duality, de Broglie, diffraction, Debye-Scherrer, cathode rays.
1.
Introducci´ on
m´as importante sobre ´optica Opticks enuncia que la luz est´a formada por corp´ usculos y se propaga en l´ınea recta [2, p´ag 1], aunque su trabajo permit´ıa explicar algunos fen´omenos importantes, fue Huygens en su Trait´e de la lumiere quien le dio mayor claridad al asunto, pero desde otro punto de vista. A medida que la F´ısica experimenal corroboraba ambas hip´otesis, ambos modelos fallaban al intentar explicar en su totalidad experimentos como el efecto Compton, el efecto fotoel´ectrico y la producci´on de pares. No fue sino hasta el a˜ no 1905 en
Desde el siglo XV II, la comunidad cient´ıfica comenz´ o a requerir un formalismo objetivo que pudiese explicar los fen´ omenos f´ısicos, que hasta la ´epoca eran tratados mediante una l´ ogica emp´ırica. La luz fue el objeto de estudio de innumerables cient´ıficos a lo largo de la historia: a partir del siglo XV II con el desarrollo de la mec´ anica cl´ asica surgieron las primeras teor´ıas que buscaban explicar la luz de diversas maneras. Newton en su tratado α
[email protected], β
[email protected], γ
[email protected], δ
[email protected]
Naturaleza dual de la materia.
1
donde se introdujo el concepto de la luz constituida por cuantos de energ´ıa, cambiando el paradigma de la energ´ıa distribuida de manera uniforme sobre un frente de onda cl´ asico, por una idea de concentraci´ on en regiones discretas, denominados cuantos, con energ´ıas hν. Esto es: E = hν,
como rejilla de difracci´on. Cabe notar que el simple hecho de que los electrones se difracten, el haz de electrones est´a teniendo propiedades ondulatorias. Debido a la diferencia de potencial, los electrones alcanzan una energ´ıa E tal que[6, p´ag 115]: 2
E =e·V =
(1)
E . c
(px ) mvx = . 2 2m
(4)
Donde V es la tensi´on de aceleraci´on, e, la carga del electr´on, m, la masa de la part´ıcula y vx , la velocidad lineal. De (4), el momento lineal tiene la forma:
donde h es la constante de Plank con un valor de h = 6, 62607004(81)×10−34 J · s.[4], ν la frecuencia E asociada al cuanto, con momento lineal : c P =
´ INTRODUCCION
√ P =
(2)
2emV
(5)
Remplazando la ecuaci´on 5 en 3 puede encontrarCon E la energ´ıa relativista y c la velocidad de la se una relaci´on para la longitud de onda λ (6) en luz en el vaci´ o. t´erminos de la masa y la diferencia de potencial. Bas´ andose en la teor´ıa ondulatoria, y en los estudios de la energ´ıa cuantificada, en 1924, Luis de Broglie sugiri´ o que las part´ıculas de luz podr´ıan tener propiedades ondulatorias adem´ as de las propiedades caracter´ısticas de las part´ıculas. Este enunciado, marca el inicio de lo que conocemos como la dualidad onda-part´ıcula. Una vez presentada su hip´ otesis como una relaci´ on de proporcionalidad inversa entre la longitud de onda de las part´ıculas y su cantidad de movimiento: λ=
h h = , p mv
λ= √
h 2meV
(6)
(3)
Es decir, s´ı p es el momento lineal de la part´ıcula y v su velocidad, considerando la velocidad de la part´ıcula desde el r´egimen relativista, p = γm0 ν, (con ν la frecuencia, γ el factor de lorentz entre dos observadores y m0 su masa propia), hasta el l´ımite newtoniano, en donde con tener en cuenta, en la igualaci´ on de 1 y 2, la m´ as simple relaci´on c de dispersi´ on, ν = , se llega a la ecuaci´on 3. γ Es claro de la anterior ecuaci´ on, como a medida que la masa del cuerpo o su velocidad aumenta, disminuye considerablemente la longitud de onda.
Figura 1: Esquema de los electrones acelerados por una diferencia de potencian entre los puntos A y C incidentes en un blanco. Logrando un haz de electrones monoenergeticos, y adem´as, suponiendo su una naturaleza ondulatoria, se puede hacer uso de la ley de Bragg en una red cristalina: considerando dos planos de ´atomos consecutivos (figura 2), los ´atomos adyacentes en un solo plano, se dispersan de forma reconstructiva si el ´angulo de incidencia, θi , es igual al ´angulo de reflexi´on, θr . En dos planos consecutivos, A y B, los ´atomos se dispersan de manera constructiva y a un ´angulo θ si la diferencia de longitud de onda en la trayectoria de dos rayos incidentes, 1 y 2, es un numero entero de longitud de onda, nλ. En una forma
En aras de comprobar la hip´ otesis planteada, este fen´ omeno puede ser medido utilizando un tubo de rayos cat´ odicos, en donde electrones de baja energ´ıa emitidos por filamento caliente, son acelerados por una diferencia de potencial (Ver figura 1), incidiendo en una lamina policristalina de grafito, que act´ ua 2
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2
ARREGLO EXPERIMENTAL
m´ as gr´ afica, en la figura 2 podemos ver de una ma- tan(2θ) ' sin(2θ) ' 2sin(θ): nera sencilla como ocurre interferencia constructiva en los frentes de onda cuando AB +BC = nλ (para D 2sin(θ) = . n = 1, 2, 3...). Como AB = BC = d sin(θ) se puede 2L expresar la ley de Bragg de la siguiente forma: nλ = 2d sin(θ).
(9)
Reduciendo los resultados 9 y 7, se tiene una forma de la longitud de onda asociada al electr´on, en t´erminos de el di´ametro del anillo, D, la distancia entre la l´amina de grafito y la pantalla, L, y la distancia reticular interplanar, d. Tomando el primer pico constructivo,n = 12 :
(7)
Con d es la distancia interplanar y θ el ´angulo m´ aximo de intensidad medido desde el plano A. Debido a la naturaleza policristalina del material utilizado, es de esperarse que al menos un cristal cumpla con la relaci´ on 7 para una direcci´ on de incidencia dada y que las reflexiones producidas por estos cristales se den en una fracci´ on del ´angulo s´ olido. De ah´ı, que se espere la aparici´ on de c´ırculos conc´entricos[8, p´ ag 155]. 1 .
λ=
d·D . 2L
(10)
Figura 3: Bosquejo de un esquema de como se determina el angulo de difracci´on de los electrones. Figura 2: Diagrama de la disperci´ on de Bragg por dos planos consecutivos de ´ atomos, con interferencia constructiva para ABC = nλ.
2.
Arreglo Experimental
Siguiendo con el planteamiento, es posible enconBajo las notas de seguridad de los instrumentos, trar una relaci´ on geom´etrica entre el ´ angulo de dis- y la instrucci´on adecuada, se realiz´o el montaje propersi´ on y el di´ ametro del circulo (Figura 3): puesto en la gu´ıa Difracci´ on de electrones en una red policiristalina[5]; adem´as, el voltaje suminstraD tan(2θ) = . (8) do no fue mayor a 5kV (Para evitar emisi´on de 2L rayos X). Una vez revisado el estado del tubo de En una aproximaci´ on de ´ angulos peque˜ nos, es decir, difracci´on, se procedi´o a calentar el filamento. (Ver Figura 4) 1 Un mayor y profundo estudio sobre como determinar el tipo de estructura cristalina de un material, y los correspondientes a ´ngulos y aristas de la celda, puede ser consultado en Debye-Scherrer Method [7]
2 Esquemas
y Figuras tomados de gu´ıa de difracci´ on de electrones en red Policristalina [5]
3
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Naturaleza dual de la materia.
3
´ ANALISIS Y RESULTADOS
Figura 5: Representaci´on esquem´atica del patr´on de anillos observado debido a la difracci´on de electrones en el grafito
Figura 4: Esquema del diagrama de cableado del tubo utilizado para observar la difracci´ on de los electrones en la l´ amina policristalina de grafito
Comenzando con el m´ınimo valor para el cual los c´ırculos eran visibles y distinguibles, es decir 2,0 ± 0,1kV, los voltajes fueron variados en intervalos de 0, 2 ± 0,1kV. 3 Por cada variaci´ on de voltaje aparec´ıan dos anillos conc´entricos (Figura 5) con una tendencia tal que al aumentar el voltaje de la fuente, el radio de los c´ırculos era menor, como era de esperarse. Para llevar a cabo la recolecci´ on de medidas, y minimizar el error humano en este proceso, cada para de anillos, fueron fotografiados, mediante una c´ amara Canon EOS 7D MARK II EF-S 18-135 IS STM, y procesados mediante un programa de c´ omputo de tal manera que el error asociado en los di´ ametros fuera el correspondiente en la escala tomada (±1mm).
3.
An´ alisis y Resultados
Como se esperaba de la teor´ıa, el patr´on observado corresponde a dos anillos conc´entricos, similares al esquema de la figura 5, de los cuales se midi´o su di´ametro para los diferentes valores de voltaje. Los valores medidos mediante un proceso computacional de an´alisis pueden encontrarse en el Anexo 5.1.1 (Tabla 3), una vez realizada la tabulaci´on correspondiente, se calcul´o el promedio del di´ametro interior y el exterior para cada anillo(Ver Anexo Cada medici´ on fue repetida dos veces, con el fin 5.1.1, tabla 4) y finalmente el di´ametro promedio de obtener fluctuaciones estad´ısticas en el procesadel anillo 1, D1 , y del anillo 2, D2 (Ver Anexo miento de las im´ agenes. Mediante la binarizaci´on 5.1.1 tabla 5), algunos de estos datos pueden ser de estas, se pudo encontrar de una manera bastanapreciados en la tabla 1. te precisa el centro de los anillos y sus di´ametros En la tabla 1 se puede evidenciar una relaci´on correspondientes. inversa que existe entre el di´ametro de los anillos observados y la diferencia de potencial, como se 3 El error asociado al instrumento fue considerado de esperaba de acuerdo a las ecuaciones (6) y (10). ±0, 1kV
4
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V (±0, 1 kV) 2,0 3,0 4,0 5,0
D1 (mm) 36 ± 31 ± 26 ± 24 ±
4 5 5 4
4
D2 (mm) 61 ± 53 ± 46 ± 42 ±
CONCLUSIONES
7 6 5 5
Tabla 1: Medidas Promedio de los Di´ ametros interior y exterior
La longitud de onda experimental λ, ecuaci´on (10), y la longitud de onda te´ orica λteorica , ecuaci´ on (6), para cada valor de la diferencia de potencial (Ver Anexo 5.1.2 tablas 6 y 7), est´ an resumidos en la tabla 2, en donde se puede observar los valores obtenidos para algunos voltajes. En promedio, se obtuvo un error relativo porcentual del 6,6 %, Figura 6: Longitud de onda encontrada λ1 y longicon una desviaci´ on est´ andar, σ, del 0,02 tud de onda te´orica λteorica de los electrones difractados vs. el voltaje de aceleraci´on V para el anillo 1 V λ λ λ teorica
(±0, 1 kV) 2,0 3,0 4,0 5,0
(±1 pm) 27 22 19 17
1
(pm) 28 ± 3 24 ± 4 21 ± 4 19 ± 3
2
(pm) 28 ± 3 24 ± 3 21 ± 2 19 ± 2
Tabla 2: Algunos valores de longitud de onda te´orica y longitud de onda experimental para cada anillo
Las figuras 6 y 7 ilustran los valores experimentales para la longitud de onda de los electrones que difractados, medidas en el anillo 1 (λ1 ) y en el anillo 2 (λ2 ), respectivamente; adem´ as, se muestra la longitud de onda que corresponde a cada valor del potencial seg´ un la ecuaci´ on (6). La tendencia observada de los valores obtenidos en el laboratorio para λ1 y λ2 es similar al valor te´ orico, exhibiendo una relaci´ on de proporcionalidad inversa a la ra´ız del voltaje aplicado, V . La mayor´ıa de los valores encontrados contienen en el intervalo de confianza el valor esperado de forma te´ orica. Se observa tambi´en que los valores obtenidos para λ1 fueron mas exactos que los obtenidos para λ2 (con error relativo promedio de 5,7 % y 7,4 % respectivamente), esto puede ser debido a que, aunque las im´agenes fueron binarizadas se observ´ o mayor dispersi´on de la luz en el anillo exterior haciendo mas dif´ıcil la determinaci´ on de su di´ ametro.
Figura 7: Longitud de onda encontrada λ2 y longitud de onda te´orica λteorica de los electrones difractados vs. el voltaje de aceleraci´on V para el anillo 2
4.
Conclusiones
Con la hip´otesis de de Broglie, se crea una nueva visi´on del universo y con ella una revo5
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CONCLUSIONES
luci´ on cient´ıfica que podr´ıa traer inimaginables progresos tecnol´ ogicos. El primer acercamiento a la comprobaci´ on experimental de que cualquier part´ıcula podr´ıa poseer propiedades ondulatorias se introdujo en este laboratorio, donde se comprob´ o que un haz de electrones generaba un patr´on de difracci´ on. Adem´ as, como la teor´ıa afirma, este patr´ on de difracci´ on son c´ırculos conc´entricos cuyo di´ ametro var´ıa inversamente proporcional a la diferencia de potencial. De Broglie adem´as asegura que existe una u ´nica longitud de onda asociada a una part´ıcula con un momento lineal dado, es decir, en t´erminos de nuestro montaje experimental, que todos los anillos generados por un potencial dado deb´ıan determinar la misma longitud de onda para los electrones del haz, efecto que claramente podemos observar en la tabla 2. No obstante, pese a los esfuerzos en la binarizaci´ on de las im´ agenes, la ayuda del an´alisis computacional, y el apelo a las fluctuaciones estad´ısticas, el error en la medici´ on de los di´ametros de los anillos conc´entricos persisti´ o, propag´andose a la longitud de onda, en donde el anillo exterior obtuvo en promedio un error relativo aproximado de 7, 4 % a comparaci´ on de un 5, 7 % para el anillo interior; Tras un breve an´ alisis de las tablas 6 y 7 y las gr´ aficas 6 y 7, podemos observar que cada longitud de onda experimental con su respectivo error contiene el intervalo te´ orico en casi su totalidad, error que es posible disminuir utilizando una escala m´ as precisa en nuestra medici´ on directa, con esta salvedad, podemos concluir que: La hip´ otesis de de Broglie se cumple para part´ıculas tales como los electrones y es de esperar que toda part´ıcula que posea momento lineal tenga propiedades ondulatorias y una longitud de onda asociada. Se espera que para investigaciones futuras puedan observarse y comprobarse los fen´omenos ondulatorios asociados a part´ıculas cada vez m´as grandes , obteniendo su longitud de onda asociada, y en especial buscando aplicaciones en donde pueda aprovecharse el comprotamiento dual de la materia.
6
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5. 5.1. 5.1.1.
5
ANEXOS
Anexos Tablas de Datos Mediciones experimentales de los di´ ametros de los anillos exteriores e interiores.
V (±0, 1 kV) 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0
Medidas Interior 1 (±1 mm) 33 33 31 32 30 31 28 29 28 27 27 27 27 25 25 24 24 24 24 24 23 23 22 22 22 21 22 21 21 21 21 21
Medidas Exterior 1 (±1 mm) 39 39 38 39 37 36 36 35 34 33 34 34 33 33 31 32 31 31 30 30 30 29 29 29 28 27 27 27 27 25 26 26
Medidas Interior 2 (±1 mm) 57 56 55 56 54 54 52 52 52 49 49 48 49 46 46 45 44 44 44 43 42 42 41 41 41 39 40 40 40 38 39 38
Medidas Exterior 2 (±1 mm) 65 66 63 64 62 63 61 61 60 59 57 56 56 55 55 53 53 52 52 49 49 49 50 48 48 47 50 46 50 44 46 45
Tabla 3: Mediciones experimentales de los di´ametros de los anillos conc´entricos exteriores e interiores para cada voltaje.
V (±0, 1 kV) 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0
Interno 1 (mm) 33 ± 1 32 ± 1 31 ± 1 29 ± 1 28 ± 1 27 ± 1 26 ± 2 25 ± 1 24 ± 1 24 ± 1 23 ± 1 22 ± 1 22 ± 1 22 ± 1 21 ± 1 21 ± 1
Externo (mm) 39 ± 39 ± 37 ± 36 ± 34 ± 34 ± 33 ± 32 ± 31 ± 30 ± 30 ± 29 ± 28 ± 27 ± 26 ± 26 ±
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
Interno 2 (mm) 57 ± 1 56 ± 1 54 ± 1 52 ± 1 51 ± 2 49 ± 1 48 ± 2 46 ± 1 44 ± 1 44 ± 1 42 ± 1 41 ± 1 40 ± 2 40 ± 1 39 ± 2 39 ± 1
Externo (mm) 66 ± 64 ± 63 ± 61 ± 60 ± 57 ± 56 ± 54 ± 53 ± 51 ± 49 ± 49 ± 48 ± 48 ± 47 ± 46 ±
2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 4 1
Tabla 4: Promedio de las medidas de los di´ametros de los anillos interiores y exteriores(Ver Tabla 3 7
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5
V (±0, 1 kV) 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0
D1 (mm) 36 ± 35 ± 34 ± 32 ± 31 ± 31 ± 30 ± 28 ± 28 ± 27 ± 26 ± 26 ± 25 ± 24 ± 24 ± 24 ±
4 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 4 4 4
61 60 58 57 55 53 52 50 48 47 46 45 44 44 43 42
D2 (mm) ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±
ANEXOS
7 6 6 6 7 6 7 6 6 6 5 6 6 8 12 5
Tabla 5: Medidas Promedio de los Di´ ametros interior y exterior(Tabla 4) de cada anillo conc´entrico, D1 y D2.
5.1.2.
Comparaci´ on de los valores experimentales
Para la comparaci´ on con los valores te´ oricos, fueron utilizados las siguientes constantes[4]:
La constante de Planck: h = 6, 62607004(81) × 10−34 J · s.
La carga del electr´ on: e = 1, 6021766208(98) × 10−19 C.
La masa del electr´ on: m = 9, 10938356(11) × 10−31 kg.
La distancia entre la lamina policristalina de grafito y la pantalla L = 0, 135 ± 0, 001 m.[5]
La distancia reticular interplanar para el anillo 1 d = (2, 13 ± 0, 01) × 10−13 m.[5]
La distancia reticular interplanar para el anillo 2 d = (1, 23 ± 0, 01) × 10−13 m.[5] 8
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V kV (±0, 1) 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0
5
D1 (mm) 36 ± 35 ± 34 ± 32 ± 31 ± 31 ± 30 ± 28 ± 28 ± 27 ± 26 ± 26 ± 25 ± 24 ± 24 ± 24 ±
4 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 4 4 4
λ1 (pm) 28 ± 28 ± 26 ± 25 ± 24 ± 24 ± 23 ± 22 ± 22 ± 21 ± 21 ± 20 ± 19 ± 19 ± 19 ± 19 ±
3 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 3 3 3
λ1,teorica (pm) 27 ± 1 26 ± 1 25 ± 1 24 ± 1 23 ± 1 22 ± 1 21 ± 1 21 ± 1 20 ± 1 19 ± 1 19 ± 1 18 ± 1 18 ± 1 18 ± 1 17 ± 1 17 ± 1
ANEXOS
Error Relativo 3,6 % 5,6 % 5,6 % 5,0 % 3,8 % 7,5 % 7,3 % 5,0 % 6,1 % 7,1 % 6,8 % 6,3 % 4,5 % 5,8 % 4,7 % 6,9 %
Tabla 6: Comparaci´ on entre las longitudes de Onda te´orica (Ecuaci´on 6) y experimental (Ecuaci´on 10) para cada tensi´ on de Aceleraci´ on con los di´ametros del Anillo 1
V (±0, 1 kV) 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0
61 60 58 57 55 53 52 50 48 47 46 45 44 44 43 42
D2 (mm) ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±
7 6 6 6 7 6 7 6 6 6 5 6 6 8 12 5
λ2 (pm) 28 ± 27 ± 27 ± 26 ± 25 ± 24 ± 23 ± 23 ± 22 ± 21 ± 21 ± 21 ± 20 ± 20 ± 20 ± 19 ±
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 6 2
λ2,teorica (pm) 27 ± 1 26 ± 1 25 ± 1 24 ± 1 23 ± 1 22 ± 1 21 ± 1 21 ± 1 20 ± 1 19 ± 1 19 ± 1 18 ± 1 18 ± 1 18 ± 1 17 ± 1 17 ± 1
Error Relativo 1,3 % 3,7 % 6,0 % 7,0 % 8,1 % 6,8 % 8,2 % 7,8 % 7,5 % 7,6 % 6,9 % 8,3 % 7,8 % 10,8 % 10,7 % 10,3 %
Tabla 7: Comparaci´ on entre las longitudes de Onda te´orica (Ecuaci´on 6) y experimental (Ecuaci´on 10) para cada tensi´ on de Aceleraci´ on con los di´ametros del Anillo 2
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REFERENCIAS
Referencias
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