Variación de la Velocidad de la Luz en el Vacio: Experimento VAVEL

Variación de la Velocidad de la Luz en el Vacio: Experimento VAVEL. Sánchez, Juan Mª Ingeniero Industrial

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Para citar este experimento y estudio: Sánchez, Juan M. “Variación de la Velocidad de la Luz en el Vacío: Experimento VAVEL”. Madrid (Spain), Febrero de 2016

Resumen: Tras analizar aquellos experimentos que parecen sustentar la constancia de la velocidad de la luz en el vacío, como son el Experimento de Michelson-Morley y el Experimento de Fizeau y ver que se pueden explicar, y en algún caso mejor, por la Mecánica clásica. Así como al constatar que las ecuaciones de Maxwell tampoco son determinantes de dicha constancia, se realiza un experimento (Experimento VAVEL) consistente en una variante del experimento de Michelson-Morley cuyos resultados discrepan con que la velocidad de la luz sea independiente de la velocidad del foco, entrando en contradicción con la teoría de la Relatividad. Ante esa disyuntiva se inicia y propone un desarrollo teórico de la física que permite encontrar una ecuación equivalente a la de Einstein (E = mc2), sin necesidad de obligar a que la velocidad de la luz sea constante en el vacío e independiente de la velocidad del foco.

Palabras clave: Michelson-Morley, Maxwell, Fizeau, Relatividad Especial, Velocidad de la luz, Reflexión de la luz en un espejo, Experimento VAVEL, Realidad, Dinámica Celeste, Frontera de las visiones, Dinámica.

ÍNDICE

1.

PRECISIONES SOBRE LAS EXPERIENCIAS QUE SUSTENTAN LA CONSTANCIA DE LA VELOCIDAD DE LA LUZ. NECESIDAD DE UN NUEVO EXPERIMENTO ......................................................................................... 4

1.1.

INTRODUCCIÓN

4

1.2.

ESTUDIO DEL EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY

5

1.2.1.

EXPLICACIÓN DEL EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY EN MECÁNICA CLÁSICA PARA EL OBSERVADOR “O” FUERA DE LA TIERRA.

1.2.2.

EXPLICACIÓN DEL EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY EN MECÁNICA RELATIVISTA PARA EL OBSERVADOR “O” FUERA DE LA TIERRA.

1.3.

11

ECUACIONES DE MAXWELL DESARROLLADAS PARA UN OBSERVADOR EN MOVIMIENTO RELATIVO

1.4.

6

13

EXPLICACIÓN DEL EXPERIMENTO DE FIZEAU DE ARRASTRE DE LA LUZ POR EL MEDIO, EN MECÁNICA CLÁSICA

16

1.5.

CONCLUSIONES

19

2.

MODELIZACIÓN DEL CHOQUE DE DOS MASAS .......................................... 19

2.1.

INTRODUCCIÓN

19

2.2.

MODELO CLÁSICO

20

2.2.1.

ECUACIONES DEL CHOQUE

20

2.2.2.

REFLEXIÓN EN UNA PARED EN MOVIMIENTO

24

2.3.

MODELO RELATIVISTA: ANÁLISIS DE LA REFLEXIÓN DE LA LUZ

27

3.

EXPERIMENTO VAVEL (VARIACIÓN DE LA VELOCIDAD DE LA LUZ) ........... 30

3.1.

CARACTERÍSTICAS TÉCNICAS DEL EQUIPO

31

3.2.

RESULTADOS DEL EXPERIMENTO

32

3.2.1.

METODOLOGÍA SEGUIDA EN LA INVESTIGACIÓN

32

3.2.2.

DESARROLLO DEL EXPERIMENTO

33

3.3.

ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS

37

3.3.1.

APLICACIÓN DEL MODELO CLÁSICO

39

4.

NUEVO PLANTEAMIENTO COSMOLÓGICO ................................................. 43

4.1.

DEFINICIÓN DE “REALIDAD”

43

4.2.

NUEVO MODELO DEL MUNDO

45

4.3.

DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA REALIDAD

49

4.4.

ECUACIONES DE LA REALIDAD

52

4.4.1.

ANÁLISIS DE LA PERCEPCIÓN DE LA REALIDAD

55

4.5.

CÁLCULO DE LA VELOCIDAD RELATIVA DE SEPARACIÓN DE DOS CUERPOS CELESTES

61

4.6.

ECUACIONES DE LA DINÁMICA

64

4.7.

VISIÓN DE LOS CUERPOS CELESTES

67

4.7.1.

FRONTERA DE LAS VISIONES: CASO PARTICULAR

70

4.7.2.

FRONTERA DE LAS VISIONES: CASO GENERAL

72

1. Precisiones sobre las Experiencias que Sustentan la Constancia de la Velocidad de la Luz. Necesidad de un Nuevo Experimento 1.1. Introducción Erróneamente se atribuye al experimento de Michelson-Morley la demostración de que la velocidad de la luz es constante. Nada más lejos de la realidad ya que, como se demostrará en los puntos siguientes, dicho experimento encuentra en la Mecánica clásica su perfecta explicación, sin tener que recurrir a las contracciones del espacio y del tiempo que propone la Mecánica relativista. Una primera objeción a la aplicación de las ecuaciones de la Mecánica relativista al experimento de Michelson-Morley es que, en dicho experimento, no hay movimiento relativo entre los elementos que lo conforman, todos ellos (foco de luz, espejos y observador) están dentro del mismo “sistema inercial”, la Tierra, por tanto no hay velocidad relativa y, en consecuencia, difícilmente serán de aplicación las ecuaciones de la Mecánica relativista. El experimento de Michelson-Morley prueba justamente lo contrario de lo que intentaba demostrar, es decir, “la no-existencia del éter” como fluido necesario para la transmisión de la luz en el vacío. La aplicación de la teoría relativista a este experimento supone, en realidad, la aceptación implícita de que el éter existe, pues solo en el caso de que existiese tendría sentido ya que entonces si es cierto que el sistema inercial “Tierra” se mueve en el éter, que está fijo y la luz se desplaza por el éter por lo que si habría movimiento relativo y sería de aplicación las ecuaciones de Lorentz. Pero si el éter no existe, entonces todo el conjunto está en el mismo sistema inercial y no habría ningún elemento en movimiento relativo. Tampoco otros experimentos del mismo estilo, como es el de Kennedy-Torndike, demuestran dicha constancia de la velocidad de la luz en el vacío, pues la explicación es semejante a la del primer experimento: ninguno de los elementos del experimento está en movimiento relativo unos respecto de otros, no habiendo por tanto, velocidad relativa entre ellos. Otro de los pilares de la constancia de la velocidad de la luz son las ecuaciones de Maxwell para las ondas electromagnéticas. Como también se demostrará, si se plantean las ecuaciones para campos magnético y eléctrico en movimiento relativo respecto al observador, la aparente constancia de la velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacío desaparece. Otro tanto ocurre con el experimento de Fizeau de arrastre de la luz por el medio, ya que la diferencia encontrada entre el cálculo teórico y el valor experimental es debida

solamente a un análisis teórico erróneo de los fundamentos del experimento, como demostraremos luego. La única postura realmente válida en relación con la constancia de la velocidad de la luz es la de los que mantienen que dicha constancia está establecida como un principio y que, por tanto, es la capacidad de la teoría, (que se desarrolla a partir de él), para explicar los fenómenos físicos que ocurren en la naturaleza, la que establece la validez o no de la misma y, como consecuencia, la validez de los principios en los que se apoya. A este argumento no tengo nada que objetar ya que es irrefutable y es el principio de toda teoría física. No obstante, dada la importancia de dicho principio, y que no deja de ser una excepción en la naturaleza (establece que la velocidad de la luz en el vacío es la máxima que puede alcanzar un objeto y que es independiente de la velocidad del foco) creo que es de suma importancia para el mundo de la física teórica poder demostrar si esto es así o no. ¿Cómo se puede demostrar o experimentar? Con un experimento del tipo de Michelson-Morley modificado, de forma que estén en movimiento relativo los elementos del experimento entre sí, observando si se mantienen fijas o no las rayas del espectro de interferencia en esas condiciones. Este es el Experimento VAVEL que hemos realizado y cuyos resultados se muestran en el apartado 3

1.2. Estudio del Experimento de Michelson-Morley En primer lugar vamos a establecer los diferentes observadores del experimento, debiendo todos ellos observar cosas similares. Un primer observador será el que se encuentra en el mismo sistema inercial que el experimento (la Tierra) al que llamaremos Oe, y un segundo observador será el que se encuentra fuera de la Tierra, digamos el Sol, respecto del cual

la Tierra se mueve con velocidad V y al que

llamaremos O. Ver Figura-1 en el apartado siguiente. El primer observador Oe no puede aplicar las ecuaciones del Movimiento relativo, pues como comentábamos en el apartado anterior, no hay velocidad relativa entre los elementos que configuran el experimento (Foco, espejos y observador). Por tanto, lo único que puede hacer el observador es medir las distancias, que son iguales para ambos espejos, medir la velocidad de la luz que es igual en todos los casos, medir el número de ondas que hay en cada rayo incidente y reflejado, que serán siempre las mismas, y concluir que para él todo el experimento es lógico y no representa ningún problema su explicación. Todo es igual, el tiempo que tarda el rayo incidente en alcanzar el espejo A, el rayo reflejado en el espejo A hasta que él lo observa, el tiempo que tarda el rayo incidente en alcanzar el espejo B y el tiempo que tarda el rayo reflejado en B hasta que lo vuelve a observar. En consecuencia, el espectro de

interferencia permanece constante e inmutable todo el tiempo, sea cual sea la dirección en la que situemos los espejos. El segundo observador, el observador O que se encuentra en el Sol, ve que existe un desplazamiento de los elementos del experimento mientras este tiene lugar, por lo que las distancias y los tiempos que él puede medir serán diferentes que los del observador Oe. Vamos a plantear las observaciones de este observador O, desde el punto de vista de la Mecánica clásica y desde el punto de vista de la Mecánica relativista y comparemos las conclusiones a las que el observador O llegaría en cada caso.

1.2.1. Explicación del Experimento de Michelson-Morley En Mecánica Clásica para el Observador “O” Fuera de la Tierra. Supongo que el lector conoce perfectamente como es el experimento de MichelsonMorley, por lo que omito su descripción. Si nos fijamos en la Figura-1, el espejo A está en

la

dirección

desplazamiento

V

F

de

del la

Tierra y el espejo B en la

Desplazamiento de la Tierra

dirección

perpendicular.

Según se establece en el

A

experimento, la distancia a la que se encuentran ambos espejos del foco (F) es la misma, es decir las distancias FA y FB son iguales y de valor igual

a

L,

para

el

observador Oe.

B Figura 1.- Experimento de Michelson-Morley

En el instante que el rayo de luz sale del foco F, el espejo A se encuentra a

una distancia L de F, pero la distancia que debe recorrer el rayo de luz hasta alcanzar el espejo A es mayor, ya que cuando la luz llega al punto espacial donde estaba A, este se ha desplazado debido al movimiento de la Tierra y ya no se encuentra allí. Vamos a calcular cual es la distancia recorrida por el rayo hasta alcanzar el espejo A. Partiendo del principio de que la velocidad de la luz está afectada por la velocidad del foco y, por tanto, por la velocidad de desplazamiento de la Tierra, tendremos como datos de partida:



Velocidad de la luz = c + V



Distancia FA = L

Para el observador O, mientras que el rayo recorre la distancia L, el espejo se desplaza una distancia de valor: V 

L , y cuando el rayo recorre este nuevo c V

incremento, el espejo se ha vuelto a desplazar otra distancia menor, de valor:

V

L 2 c V = L V , siguiendo este desarrollo en serie, la distancia “da1” c V (c  V ) 2

V

finalmente recorrida por el rayo antes de alcanzar el espejo A será:

d a1  L  L 

V V2 V3  L  L   .............  L  c V (c  V ) 2 (c  V ) 3

1 V ; 1 c V

ya que da1 es la suma de los términos de una progresión geométrica indefinida y decreciente de razón V/(c+V), por lo que finalmente tendremos que: da1 = L  1 

V  [1-1] c

Para el observador O, en el viaje de vuelta del rayo de luz desde el espejo A hacia el detector F, el rayo recorrerá una distancia menor que L, pues el detector F se irá acercando al rayo conforme este avanza hacia él, debido al movimiento de la Tierra. Por otra parte la velocidad del rayo de luz será también diferente a la que llevaba en el viaje de ida, los datos de partida para este nuevo cálculo son: 

Velocidad de la luz = c-V



Distancia AF = L

Mientras el rayo recorre la distancia AF, el detector F se ha acercado al rayo una distancia de valor: L 

V por lo que se habrían encontrado antes, pero mientras el c V

rayo recorre la distancia L menos el segmento calculado anteriormente, el punto F se habrá acercado al rayo una distancia:

V 2 c  V V  L  V  L  V , por lo que la distancia que habría c V c V c  V  2

L L

recorrido el rayo antes de alcanzar al punto F habrá sido:

L  L

V V2  L , y entre tanto el punto F se habrá acercado una distancia: c V c  V 2

 V V2  V V V2 V3 L  L   L    L   L   L   c V c V c  V 2  c  V c  V 2 c  V 3 

si seguimos haciendo aproximaciones, la nueva distancia recorrida por el rayo para encontrar el detector será:

d a2  L  L 

V V2 V3  L  L   ............... c V c  V  2 c  V  3

lo que representa la suma de los términos de una progresión geométrica indefinida y decreciente de razón –V/(c-V) cuyo valor es: da2 = L 

1 c V V  L  L  1   [1-2] V c c 1 c V

de la ecuación [1-1] y de la ecuación [1-2] obtendremos los tiempos que tarda el rayo de luz en recorrer las distancias siendo estos tiempos los siguientes:

ta1 

V  c  L ; y el tiempo de vuelta: c V c

L  1 

ta 2 

V  c  L; c V c

L  1 

es decir, a efectos del observador O, ambos tiempos son iguales y con un valor tal como si la velocidad de la luz no estuviese afectada por la velocidad de desplazamiento de la Tierra. Vamos a analizar que le ocurre al rayo que sale perpendicular al movimiento de la Tierra hacia el espejo B (Ver Figura 2). Cuando el rayo sale de F, le afecta la

F

F

velocidad de la Tierra al igual que al espejo B, por lo que el rayo de luz

c

Vluz

recorre en realidad la hipotenusa del triángulo FBB’ de la Figura-2 y el espejo

V

B pasa a ocupar la posición B’. Si al rayo de luz no le afectase la velocidad de la Tierra seguiría una trayectoria perpendicular, la FB, y cuando llegase al punto espacial B el espejo ya no

B

B'

Figura 2

estaría allí, no pudiendo reflejarse en él y el experimento no tendría lugar. La

distancia recorrida por el rayo de luz para llegar al espejo B’ será:

db1  L2   BB' 2 ; pero por otra parte:

BB ' 

L  V (por semejanza de triángulos) y sustituyendo en la raíz cuadrada, c

tendremos que:

V V db1  L2  L2    2  L  1    2 c c La velocidad del rayo de luz, se verá influenciada por la velocidad de desplazamiento de la Tierra, por lo que el módulo de la velocidad será igual al módulo del vector

   c  V  Vluz , luego valdrá:  Vluz  c 2  V 2 ; los valores de la distancia recorrida por el rayo de luz, así como el valor del módulo de la velocidad, son iguales tanto para el rayo de luz incidente en el espejo B, como para el rayo reflejado yendo hacia el detector F. El tiempo que tardan ambos rayos en su recorrido será:

tb1  tb 2 

db1 Vluz

V2 L  1 2 c L  2 c c V 2

es decir, el tiempo que tarda el rayo de luz que se mueve perpendicularmente a la trayectoria de la Tierra, es el mismo en la ida que en la vuelta y es el mismo que para el otro rayo que se mueve en dirección de la trayectoria de la Tierra. Coincidiendo todos con un valor equivalente a ser constante la velocidad de la luz y coincidiendo con los resultados del experimento. Vamos a terminar este estudio con el análisis del número de ondas que hay en cada rayo de luz, tanto en el rayo que sale del foco, como en el rayo reflejado en los respectivos espejos. Esto nos dará una idea de la coherencia de los rayos de luz y el espectro de interferencia que forman. Partimos del principio que una variación en la velocidad de la luz, lo que produce en el rayo es un cambio en la longitud de onda, pero no en la frecuencia que es una propiedad del rayo en su origen y por tanto inalterable. Obligamos que sea así porque, en caso contrario, el experimento no habría tenido lugar al perder la coherencia los rayos de luz y dar lugar a un espectro de interferencia no estático, luego es una hipótesis plausible dentro de la experiencia. Comencemos con el rayo de luz que se dirige al espejo A. En su ida hacia el espejo la longitud de onda del rayo incidente será:

a1 

c V

0

; siendo 0 la frecuencia del rayo de luz.

El número de ondas que habrá será igual a: na1 

d a1

a1



V  c  L   L 0 c V c 0

L  1 

0

Siendo 0 la longitud de onda del rayo de luz para velocidad constante e igual a “c”. Es decir, el número de ondas en el rayo de ida, es el mismo que en un rayo cuya velocidad no hubiera sido alterada por la velocidad de la Tierra. Veamos que ocurre con el rayo reflejado. La longitud de onda de este rayo será:

a 2 

c V

0

y el número de ondas es: na 2 

da2

a 2



V  c  L   L 0 c V c 0

L  1 

0

Luego el número de ondas para el rayo de vuelta, es igual que el número de ondas a la ida e igual a las que tendría un rayo de luz cuya velocidad no hubiese sido afectada (condiciones estáticas). Veamos que ocurre con el rayo incidente y reflejado en el espejo B. Según se ha visto antes, al tener la misma velocidad y ser iguales las distancias recorridas por ambos rayos, la longitud de onda y el número de ondas en el rayo incidente y en el reflejado serán iguales. Vamos a calcular su valor:

b1  b 2 

nb1  nb 2 

c2  V 2

0 d b1

b1

y el número de ondas será:

L  1 

V2 c2

c V 2

2



L c

0 

L

0

0 Luego el número de ondas es independiente de que la trayectoria del rayo sea perpendicular o paralela a la de la Tierra y de igual valor que para condiciones estáticas de la velocidad, manteniéndose el espectro de interferencia estático en todo momento. Toda la demostración anterior es fácil de repetir con idénticos resultados cuando los rayos A y B, manteniendo su perpendicularidad, formen un ángulo cualesquiera con la trayectoria de la Tierra. Según se desprende de lo visto hasta ahora, la Mecánica clásica puede dar explicación coherente al experimento de Michelson-Morley sin necesidad de acudir a velocidades de la luz constantes y, por tanto, a contracciones del espacio y del tiempo. Coincidiendo las mediciones del observador O con las mediciones realizadas por el observador estático Oe y ambos con los resultados del experimento.

1.2.2. Explicación del Experimento de Michelson-Morley en Mecánica Relativista para el Observador “O” Fuera de la Tierra. La única diferencia con lo expuesto para la Mecánica clásica es que la velocidad de la luz es constante en cualquier sistema inercial, por tanto, volviendo a la Figura-1 y planteando de nuevo las ecuaciones de las distancias recorridas por el rayo incidente y reflejado en cada uno de los espejos, que mediría el observador O tendremos lo siguiente:

d a1

L V L V V2 V3 c  L  V   V  .....  L  L   L  2  L  3  ......  L  c c c c c

1 c  L V c V 1 c

y para el rayo reflejado la distancia que deberá recorrer el rayo hasta alcanzar el detector será:

da2

L V L V V2 V3 1 c c  L  V   V  ....  L  L   L  2  L  3  .....  L   L V c c c c c c V 1 c

El tiempo que tardará cada rayo en recorrer las distancias anteriores será:

ta1 

d a1 L para el rayo incidente y para el rayo reflejado valdrá:  c c V

t a 2 

d a2 L con lo que el tiempo total entre la ida y la vuelta valdrá:  c c V

L L 2c t a    L 2  c V c V c V 2

L 1 c  [1-3] V2 V2 1 2 1 2 c c 2

Lo primero que se observa es que el tiempo de la ida (rayo incidente) es superior al tiempo de la vuelta (rayo reflejado). Vamos a analizar ahora lo que le ocurre al rayo que se mueve perpendicular a la trayectoria de la Tierra dirigiéndose al espejo B, si nos fijamos en la Figura-2 del apartado anterior, lo primero que se observa es que si el rayo de luz que parte de F no está afectado por el movimiento de la Tierra, nunca encontraría al espejo B, ya que cuando llegue al punto donde se encontraba, este se habrá movido al punto B’. Pasando por alto este inconveniente, lo que sí es lógico pensar es que el rayo incidente tiene que recorrer la distancia FB’ para incidir en el espejo, y que el rayo reflejado, pasando por alto el mismo inconveniente ya mencionado, recorrerá la distancia B’F para llegar al detector. Las distancias y los tiempos serán los siguientes:

d b1  d b 2  FB '  L2   BB ') 2 ;

pero

BB ' 

FB ' V c

ya que la condición es que la

velocidad del rayo de luz sea constante e igual a “c”, por tanto el tiempo que tarda en recorrer la distancia FB’ es el tiempo que tarda el espejo de ir desde B a B’. Sustituyendo y despejando, tendremos:

L

db1  db 2 

tb1  tb 2

V2 1 2 c

y los tiempos que tardará en recorrer dichas distancias será:

L d c y el tiempo total de ida (rayo incidente) y vuelta (rayo  b1  c V2 1 2 c L c [1-4] tb  V2 1 2 c 2

reflejado), valdrá:

Si comparamos la ecuación [1-3] con la [1-4] lo primero que vemos es que ambos tiempos son diferentes, pero como el experimento nos dice que son iguales, si sustituimos en la [1-3] la expresión de la [1-4], tendremos:

t a 

tb V2 1 2 c

[1-5]

que es la ecuación relativista de la contracción del tiempo en la dirección del movimiento relativo. Si multiplicamos ambos miembros de la igualdad [1-5] por la velocidad de la luz en el vacío, tendremos:

da 

db V2 1 2 c

[1-6]; ya que c  ta  da

y

c  tb  db es decir las distancias

recorridas por el rayo incidente y reflejado en el espejo A y B respectivamente. Como se puede observar la ecuación [1-6] es la ecuación relativista de la contracción del espacio en la dirección del movimiento relativo. Vamos a estudiar ahora la condición necesaria para que el número de ondas en cada rayo sea el mismo, de forma que el espectro de interferencia se mantenga inalterable. Supongamos que el número de ondas es N, la longitud de ondas de cada rayo será la distancia recorrida dividida por N, por tanto aplicándolo a la ecuación [1-6], tendremos:

db da b N y como la velocidad de la luz se considera constante,  a   2 N V V2 1 2 1 2 c c la frecuencia de cada rayo será:

c

a

 a 

c

b

 1

V2 V2    1  b c2 c2

que es la frecuencia de un rayo de luz reflejado en un espejo, que se mueve con velocidad V en la misma dirección del rayo, cuando la frecuencia del rayo incidente es b. Esto último introduce una contradicción, ya que si el rayo reflejado en el espejo A y el rayo reflejado en el espejo B no tienen la misma frecuencia, no podrían producir espectro de interferencia estático, ya que los rayos no serían coherentes. No obstante, el espectro si es estático. Como se ve la condición impuesta de la constancia de la velocidad de la luz en todo sistema inercial, viene a complicar las mediciones del observador O, que debe introducir unas correcciones a los tiempos medidos, pasar por alto algunas objeciones, como poder encontrar al espejo B, o bien no salir perpendicular a la trayectoria de la Tierra (cambio en los ángulos) y por último tener dificultades con la frecuencia de los rayos. Todo ello para hacer coincidir sus mediciones con las mediciones del observador estático y con los resultados del experimento.

1.3. Ecuaciones de Maxwell Desarrolladas para un Observador en Movimiento relativo

Las ecuaciones de las ondas electromagnéticas desarrolladas por Maxwell no pueden utilizarse sin más como demostración matemática de la constancia de la velocidad de la luz en el vacío. El motivo de esta afirmación es que las ecuaciones de Maxwell están desarrolladas para cuando los campos eléctrico y magnético están fijos respecto al observador, es decir, sin haber movimiento relativo entre el observador y los campos, por tanto, es lógico que la velocidad de las ondas electromagnéticas sea la de la luz en el vacío y constante. Vamos a desarrollar dichas ecuaciones del campo electromagnético para un observador respecto del cual se mueve la fuente de campo eléctrico y magnético. Sea un observador O estático respecto al campo magnético y eléctrico ξ y β respectivamente. Este observador si aplica las ecuaciones de Maxwell tendrá: ξx = 0; ξy = ξ; ξz = 0; βx = 0; βy = 0; βz = β Si los campos están en el vacío y no hay cargas eléctricas, ni magnéticas, es decir, ρ = 0 y j = 0, queda:

     0;  0;  0; 0 y z z y

[1-7]

     ;   0 0 x t x t Ahora tenemos otro observador O’ respecto al cual el sistema inercial del observador O se mueve con velocidad constante V, en la dirección del eje positivo de las X/X’, tal y como se indica en la Figura-3. Para este observador O’ las ecuaciones de Maxwell serán las mismas de antes efectuando el cambio de variables independientes, ya que para él X es X’ y t es t’ , ligados mediante las siguientes ecuaciones de transformación: X’ = X + V x t ; Z’ = Z Y’ = Y ; t’ = t Que es una transformación Galileana de cambio de ejes. Efectuando el cambio de variables en las ecuaciones diferenciales [1-7] anteriores, tendremos:

 x  t  x  t

 x'  t '      1  0  x' x t ' x x' t ' x'  x'  t '      V  x' t t ' t x' t '  x'  t '       1  0  x' x t ' x x' t ' x'  x'  t '      V  x' t t ' t x' t ' 

Con lo que finalmente las ecuaciones de Maxwell para este observador O’ se quedan en:

     0;  0;  0; 0 y ' z ' z ' y'          V  ;    0 0   V   x' x' t ' x' x' t '

[1-8]

Para resolver estas ecuaciones diferenciales, vamos a derivar las dos últimas respecto de x’ y t’ :  2 2 2 1  9    V  x' t ' x' 2 x' 2  2 2 2   V  2 1  10 x' t ' x' t ' t '   2 2  2         V  0 0  x' 2   x '  t ' x' 2  

1  11

  2   2    0 0    V  2  [1-12] x' t ' ' t '   x' t ' Sustituyendo en [1-9] la [1-11] y la [1-12], quedará: 2  2  2  2  2 2   ; o bien:    V    V    V    0 0 0 0 0 0 0 0 x'2 x'2 x' t ' x' t ' t '2

 2 1   2  2  2 V   2  2V  2  0 ; empleando otra notación:  0 0  x' x' t ' t '   2 1 V   0 0 

  2  Dx '  2VD x ' Dt '  Dt2'   0 ; resolviendo esta ecuación diferencial:  

 1    2V  4V 2  4V 2    0 0   D ; cuyas soluciones son: 2 D1  V 

1

 0 0

y D2  V 

  1  Dt '    V    0 0   

  

  1  x'V  

1

 0 0

; con lo que la ecuación diferencial queda:

    Dx '   Dt '    V  1     0 0   

   Dx '   0 ; y cuya solución es:    

    t '   2  x'V  1  0 0    0 0   1

  t ' que es la ecuación de dos ondas    

desplazándose por el eje X/X’ cada una en un sentido de dicho eje y cuyas

velocidades de desplazamiento para el observador O’ son V+c y V-c, la primera para las ondas que se desplazan en el sentido positivo de las X y la segunda para las ondas que se desplazan en el sentido de las X negativas. Por tanto, las ecuaciones de Maxwell planteadas para un observador respecto del cual las fuentes de los campos

magnéticos

y

eléctricos

se

mueven,

dan

como

resultado

ondas

electromagnéticas con velocidades de desplazamiento afectadas por la velocidad de las fuentes.

1.4. Explicación del Experimento de Fizeau de Arrastre de la Luz por el Medio, en Mecánica Clásica Otro de los experimentos que ha tomado la Teoría de la Relatividad como ejemplo y base de su corrección, es el experimento de Fizeau realizado en 1851 del arrastre de la luz por el medio en el que se mueve. Vamos a demostrar que no es necesaria la Relatividad para explicar lo que se observó con este experimento y que, solo con la teoría Clásica tiene explicación. En primer lugar vamos a describir el experimento realizado por Fizeau y el esquema del equipo utilizado para realizarlo. El esquema del equipo utilizado, es el que se muestra en la Figura 4.

Figura 4.- Esquema del interferómetro de Fizeau

Descripción del aparato y del experimento: Un rayo de luz procedente de la fuente S’ es reflejado por un divisor de haz (Beam Splitter) G y es colimado en un rayo paralelo por la lente L. Después de pasar por las rendijas O1 y O2, dos rayos de luz viajan a través de los tubos A1 y A2 por los cuales circula agua en dos direcciones contrarias, tal y como indican las flechas. Los rayos son reflejados en el espejo m situado en el foco de la lente L’, de forma que cada rayo siempre se propaga por la rama del tubo por la que circula el agua en la misma dirección. Así el rayo que viaja por la rama superior en el camino de ida, se refleja en m y viaja por la rama inferior en el camino de vuelta y a la inversa. Después de efectuar el recorrido de ida y vuelta en los tubos con agua, los rayos se unen en S donde se producen franjas de interferencia que pueden ser visualizadas por medio del visor que aparece en la imagen. Haciendo variar la velocidad del agua circulando por

las ramas, el patrón de interferencia puede ser analizado para determinar la velocidad de la luz que viaja en cada rama del tubo y analizar cómo influye la velocidad del agua (medio de propagación) en la velocidad de la Luz. Los datos y resultados del experimento son los siguientes:  Longitud de onda de la luz utilizada (λ):

5,3 x 10-7 m.

 Velocidad de la luz en el vacío (c):

299.792.458 m/s

 Índice de refracción del agua (n):

1,33

 Velocidad del agua en cada rama (v):

7 m/s

 Longitud de cada rama (L):

1,5 m

En estas condiciones Fizeau observó que el desplazamiento correspondía a 0,23 ondas. Si se efectúan los cálculos teóricos del desplazamiento que debería ocurrir en el espectro de interferencia según la Mecánica clásica, tendremos que: Frecuencia de la luz utilizada (ω) =

c



 565.646.147.169.811ondas/s.

Velocidad de la luz a favor del agua:

(c1) =

c  v  225.407.870,157895 m/s n

Velocidad de la luz en contra del agua:

(c2) =

c  v  225.407.856,157895 m/s n

Tiempo del rayo a favor en recorrer las ramas (t1) =

2L  13.309,206985x10-12 s. c1

Tiempo del rayo en contra en recorrer las ramas (t2)=

2L  13.309,2078117x10-12 s c2

La diferencia de tiempos es (t2-t1) = 8,2663 x 10-16 segundos El número de ondas desplazadas será = (t2 – t1) x ω = 0,46758 ondas Aquí es donde aparece el problema ya que, como podemos ver, el cálculo teórico nos da un desplazamiento doble del observado. Por este motivo se introduce el factor de Fresnel que después explica la teoría de la Relatividad y cuya formulación es F= 1 

1 n2

que corrige la velocidad del agua, produciendo un arrastre menor y reducido por dicho factor F, aunque no con total exactitud, pero con una aproximación aceptable, ya que el valor del factor de corrección es F = 0,4346 y no de 0,5 como debiera haber sido. Vamos a demostrar que esto no es necesario y que la diferencia entre el resultado teórico y el experimental obedece a una falta de profundización del estudio de la interferencia de la luz. Para simplificar vamos a partir de dos Movimientos Armónicos

Simples (MAS) con las siguientes ecuaciones y que interfieren en un punto del espacio: 1  A1 sen( K1 r1  t ) 2  A2 sen( K 2 r2  t )

En ellas tenemos dos ondas de igual frecuencia pero con una fase de K1r1 = φ1 para la primera y K2r2 = φ2 para la segunda. Si tomamos φ1 como base de referencia, el desfase entre las ondas vale:

   2  1  K 2 r2  K1r1 ; de donde obtenemos que:  2  1    1  K 2 r2  K1r1  La ecuación de la onda de interferencia sale de resolver el siguiente sistema de ecuaciones: A cos  A1 cos1  A2 cos 2 A sen   A1 sen  1  A2 sen  2

Vamos a resolver el sistema y a calcular el valor de la fase φ de la onda de interferencia. Para ello hacemos A1 = A2, puesto que en el experimento de Fizeau la amplitud de ambas ondas era la misma al igual que la frecuencia ω. Si dividimos la segunda ecuación entre la primera obtenemos:

tg  

A1 sen1  A2 sen 2 sen 1  sen  2  ; ya que A1 = A2 , si aplicamos los Teoremas A1 cos1  A2 cos 2 cos1  cos 2

de Adición de Funciones Trigonométricas, tenemos:

    2   1   2     2 2sen  1  cos  sen  1 sen 1  sen  2  2   2   2 tg    cos1  cos 2     2   1   2     2 2 cos  1  cos  cos  1  2   2   2 o lo que es lo mismo:  

    tg  1   2      2   

1   2 2

Donde φ es la fase de la onda de interferencia resultante y φ1 + φ2 es la suma de las dos fases correspondientes a las dos ondas, por lo que el desfase de esta onda de interferencia será δi = φ - φ1 y cuyo valor es:

 i    1 

1   2 2

 1 

 2  1 2

  K 2 r2  K1 r1   r2 r1   t 2  t1       c  2 2 2c 2 v  v n n 



de donde se ve que el desfase real de la onda de interferencia es la mitad del desfase de las ondas que interfieren. Por tanto, la velocidad de un rayo de luz que se desplaza en un medio en movimiento, tiene un arrastre igual a la velocidad del medio (del agua en el caso de Fizeau) y no es necesario el factor de Fresnel.

1.5. Conclusiones De lo expuesto hasta aquí se saca la conclusión de que el experimento de MichelsonMorley tiene una explicación perfecta dentro de la Mecánica clásica, incluso diría que mejor explicación que dentro de la Mecánica relativista. Por lo que, de dicho experimento, no se deduce la necesidad de que la velocidad de la luz sea constante en cualquier sistema inercial y para cualquier observador e independiente de la velocidad del foco. Las ecuaciones de Maxwell tampoco condicionan que la velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacío sea constante e independiente del observador y/o de la velocidad del foco. Igualmente el experimento de Fizeau también puede explicarse por la Mecánica Clásica sin necesidad de recurrir a la Relativista. Teniendo en cuenta que la constancia de la velocidad de la luz es una fuerte restricción impuesta dentro de la teoría, que muchos físicos se encontrarían más cómodos sin esa imposición (Mecánica cuántica versus Mecánica relativista) y que en cualquier caso la constancia de la velocidad de la luz es la “piedra angular” sobre la que se sustenta todo el edificio teórico de la física actual, parece lógico plantear y realizar un experimento que pueda probar de manera directa dicha constancia con el fin de desechar las dudas al respecto y sentar de forma definitiva la base más importante de la Física. Mi propuesta es realizar un experimento del tipo de MichelsonMorley modificado, con el fin de que, al menos, un espejo esté en movimiento con relación a los demás. Los resultados de un experimento de esta naturaleza serían el veredicto sobre la constancia o no de la velocidad de la luz, ya que las predicciones son totalmente diferentes realizadas según la Mecánica clásica y la Mecánica relativista, con lo que no podría haber dudas sobre cuál de ellas tiene o no razón.

2. Modelización del Choque de Dos Masas 2.1. Introducción El modelo simplificado del experimento, es el de la reflexión de un rayo de luz en un espejo móvil con respecto al observador y con respecto al foco de luz. Para poder diseñar el experimento y analizar los resultados, fue necesario desarrollar un modelo matemático que predijera cuales serían los ángulos de incidencia y reflexión, como afectaba al rayo reflejado el movimiento del espejo y cuáles serían los parámetros geométricos del experimento.

Con el fin de disponer de diversos puntos de vista que nos ayudasen a interpretar el experimento, se desarrollaron dos modelos, uno basado en la Mecánica clásica y otro en la Mecánica relativista. A continuación exponemos los dos Modelos matemáticos, los resultados del experimento y los interrogantes que se abren en su interpretación.

2.2. Modelo Clásico 2.2.1. Ecuaciones del Choque Vamos a analizar el choque de dos masas desde el punto de vista de la mecánica clásica, es decir para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. Estudiamos un caso general de choque oblicuo y semielástico de dos masas desiguales. Para ello fijémonos en la Figura-5. En ella vemos que para que pueda tener lugar el choque entre las dos masas, es necesario que la componente de la velocidad en la dirección perpendicular a la recta que une ambas masas, debe ser la misma en ambos casos, ya que si no fuera así, no tendría lugar el choque, cruzándose las masas pero sin llegar a chocar en el punto O de la figura.

Aplicando los principios del choque, la cantidad de movimiento total del sistema antes y después de este, ha de ser la misma. La cantidad de movimiento antes del choque vale:

   P  Pa  Pb  Cte      o bien : P = ( P ax + P ay ) + ( P bx + P by ) y agrupando las componentes de cada eje tendremos:

     P = ( P ax + Pbx ) + ( Pay + Pby )     pero como P ax = ma  V ax y P ay = ma  V ay y para la otra masa,tendremos :     Pbx = mb  V bx y Pby = mb  V by Considerando que la condición impuesta para que tenga lugar el choque entre los cuerpos, es que las componentes de la velocidad en la dirección del eje "Y" tenga el mismo valor para ambas masas, podemos escribir la cantidad de movimiento antes del choque como:

  V ay = V by por tanto :     P = ( m a  V ax + m b  V bx ) + ( m a + m b )  V ay Después del choque las componentes de la velocidad y, por tanto, las componentes de la cantidad de movimiento, en la dirección del eje "Y" no varían, ya que no intervienen en el mismo. Las componentes en el eje "X" son las únicas que si intervienen en el choque. Por otra parte, al considerar un choque semielástico, la relación entre las velocidades antes y después es la siguiente: , - V , = -K  ( V - V ) 2  1 V ax ax bx bx

Después de tener lugar el choque, la cantidad de movimiento del sistema valdrá:

 ,   P = ( m a  V ax + m b  V , ) + ( m a + m b )  V ay bx   ,  y por tanto : m a  V ax + m b  V bx = m a  V ax + mb  V , bx si despejamos V'ax en la ecuación [2-1] y la sustituimos en la anterior y simplificamos llegamos al siguiente resultado:

, = V ax

m a  V ax + m b  V bx - m b  ( V ax - V bx )  K m a + mb

, = V bx

m a  V ax + m b  V bx + m a  ( V ax - V bx )  K m a + mb

Para el caso de choque perfectamente inelástico, será K=0, con lo que queda:

, = V ax

m a  V ax + m b  V bx m a + mb

, = V bx

m a  V ax + m b  V bx m a + mb

como en el choque inelástico ambas masas quedan incrustadas una en la otra, la velocidad que llevarán será la misma, tal y como observamos en las ecuaciones anteriores. Para el caso de choque perfectamente elástico, será K=1, con lo que queda: , = V ax , = V bx

2  m b  V bx + ( m a - m b )  V ax m a + mb 2  m a  V ax - ( m a - m b )  V bx m a + mb

2  2 2  2

que son las ecuaciones clásicas del choque elástico. Vamos a estudiar ahora un caso especial, que es el de un choque perfectamente elástico entre dos masas "a" y "b" de las cuales la masa de "b" es mucho mayor que la masa de "a" y, por tanto, la masa de “a” es despreciable frente a la masa de “b”. Además en la masa "b" el ángulo αb de la figura-5, es de 90º. Esto significa que la masa "b" no tiene componente de velocidad en el eje de las "X" y toda su velocidad es la componente en el eje de las "Y" y debe cumplirse, para que haya choque, que: Vay = Vby. Aplicando todas estas condiciones a las ecuaciones [2-2], lo que significa que K=1, Vbx=0 y ma0, con lo que nos queda: V'ax = -Vax y V'bx = 0 es decir, todo ocurre como si la masa "a" hubiese rebotado elásticamente contra una pared rígida formada por la trayectoria de la masa "b". Es el caso de las bolas de billar al rebotar en las bandas de la mesa. Ver figura-6.

en la figura vemos que el ángulo de incidencia y reflexión son iguales y la velocidad de la masa "a" antes y después del choque se conserva. Por tanto, podemos utilizar este modelo matemático para el caso de la reflexión de la luz en un espejo plano estático respecto al observador.

2.2.2. Reflexión en una Pared en Movimiento Utilizando el modelo matemático del punto anterior, vamos a ver cómo sería la reflexión de la luz, en el caso de que el espejo plano estuviera dotado de una velocidad respecto al observador y en la dirección paralela al espejo. Empecemos como antes por simular el choque entre una masa "a" con una pared rígida que se mueve. Para simular estas condiciones será necesario incrementar o disminuir, depende del sentido de la velocidad de la pared, la velocidad de la masa "b", ver figura-7

En la figura-7 hemos representado el fenómeno del choque de una masa "A", en una superficie plana P que se mueve, con respecto al observador, en la dirección paralela a la superficie con una velocidad Vp. La superficie P está simulada por el desplazamiento de la masa "B". La masa "A", que en un instante determinado chocará con la masa "B", es despreciable con respecto a la masa "B". La recta de unión de ambas masas, el eje "X" del punto anterior, ya no será perpendicular a la superficie P, tal y como ocurría antes en el modelo estático, pues de si fuese perpendicular no ocurrirían las condiciones del choque, que recordamos que eran "que la componente de la velocidad de ambas masas, en la dirección perpendicular a la recta que las unía, debía ser la misma". Llamando ß al ángulo formado por la recta de unión de ambas masas y la trayectoria de la masa "B", ver figura-7, vamos a desarrollar las ecuaciones que relacionan las diferentes variables del problema.

Adoptamos un convenio de signos tal que las velocidades dirigidas en sentido hacia abajo son negativas y las dirigidas hacia arriba son positivas; igualmente las velocidades de la pared en el sentido del avance de la masa "A" son positivas, y negativas las de sentido contrario. Para que tenga lugar el choque debe cumplirse que V1a = V1b; siendo:

π π - β ) ; V2a = -Va  cos( α i + - β ) 2 2 Vb = Vax + VP ; Vax = Va  sin α i

V1a = Va  sin( α i +

V1b = Vb  sin β = (Va  sin α i + VP )  sin β V2b = Vb  cos β = (Va  sin α i + VP )  cos β por tanto tendremos que igualando y simplificando: Va  sin (  i + Va  [ sin  i  cos(

 2

 2

-  ) = (Va  sin  i + V P )  sin 

-  ) + cos i  sin (



-  )] = Va  sin  i  sin  + V P  sin  2 Va  cos i  cos  = V P  sin  tan  =

Va  cos i VP

2  3

Aplicando las ecuaciones [2-2] del choque elástico con la condición de que la masa "a" es despreciable frente a la masa de la pared "b", tendremos:

V2' a = V2' b =

2  mb  V2b + (ma - mb )  V2a = 2  V2b - V2 a ma + mb

2  ma  V2a - (ma - mb )  V2b mb  V2b = = V2b ma + mb mb

Según estos resultados la masa "b" continua su trayectoria sin variar la velocidad, y la masa "a" rebota contra la pared, pero teniendo en cuenta que V'2a tiene distinto valor que V2a, el ángulo de reflexión y de incidencia van a ser diferentes. Para poder calcular el valor del ángulo de reflexión, debemos determinar, en primer lugar, el valor del ángulo δ. Fijándonos en la trayectoria de la masa "a", tras el choque con la pared de la Figura-7, tendremos:

V2' a 2  V2b - V2a tan δ = = V1a V1a y sustituy endo por sus valores,tenemos : tan δ =

2  (Va  sin α i + V P )  cos β + Va  cos( α i + π -β) 2 desarrollando y simplifi cando llegamos a :

π -β) 2

Va  sin( α i +

2 π π tan β ; α r = - ( δ - ( - β )) = π - δ - β tan α i * tan β + 1 2 2

tan α i + tan β + tan δ =

Por otra parte el módulo de la velocidad de la masa "a" tras el choque valdrá:

Va' = (V2' a )2 + (V1'a )2 = (2  V2b - V2a )2 + (V1a )2 = (Va )2 + 4  V2b  (V2b - V2a ) por otra parte se puede demostrar que : (Va )2 + 4  V2b  (V2b - V2a ) = (2  VP + Va  sin α i )2 + (Va  cos α i )2 por tanto : Va' = (2  VP + Va  sin α i )2 + (Va  cos α i )2 Este valor del módulo de la velocidad de "a" después del choque, equivale a haber aplicado las ecuaciones del choque elástico a cada una de las componentes de la velocidad de las masas "a" y "b", descompuestas en las direcciones perpendicular y paralela a la pared. Si llamamos Vax a la componente de la velocidad de la masa "a" en la dirección paralela a la pared y Vay a la componente perpendicular a la pared y, por último Vp+Vbx a la única componente de velocidad de la pared y aplicamos las ecuaciones de choque perfectamente elástico, con la condición de que la masa de "a" es despreciable frente a la de "b", tendremos:

Vax = Va  sin α i ; Vay = Va  cos α i ' Vax =

2  m b  (VP + Vax ) - m b  Vax mb ' Vbx =

' Vay =

= 2  VP + 2  Vax - Vax = 2  V P + Vax

2  0  Vax + m b  (VP + Vax ) mb

2  m b  0 - m b  Vay mb

=  Vay ; Vby =

= VP + Vax  Vbx 2  0  Vay + m b  0

=0

mb

Es decir, la masa "a" cambia el sentido de la componente vertical de la velocidad e incrementa la componente horizontal con el doble de la velocidad de desplazamiento de

la pared con respecto al observador. La pared en cambio no sufre ninguna

variación en las componentes de su velocidad. Según esto el valor del ángulo de reflexión será:

cos α r =

' Vay

Va'

=

Va  cos α i (2  VP + Va  sin α i )2 + (Va  cos α i )2

Analizando la ecuación anterior tenemos que cuando Vp = 0, el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia. Si Vp >0 es decir la pared se desplaza en el sentido del avance de la masa "a", entonces el denominador de la ecuación es mayor que Va por tanto el coseno del ángulo de reflexión es menor que el coseno del ángulo incidente, o lo que es lo mismo, el ángulo de reflexión es mayor que el ángulo incidente. Igualmente, cuando Vp < 0 es decir la pared se desplaza en sentido contrario que la masa "a", el denominador de la ecuación es menor que Va, siendo por tanto el coseno del ángulo de reflexión mayor que el coseno del ángulo de incidencia, lo que significa que el ángulo de reflexión es menor que el de incidencia. Si aplicamos todo lo visto hasta ahora a un rayo de luz reflejándose en un espejo, tendremos que, desde el punto de vista de la mecánica clásica, el rayo reflejado cambiaría su velocidad respecto a la que llevaba al incidir en el espejo, lo que llevaría a un cambio de longitud de onda. También se debía producir un cambio en el ángulo de reflexión en función directa del módulo de la velocidad del espejo y del sentido de dicha velocidad.

2.3. Modelo Relativista: Análisis de la Reflexión de la Luz El modelo que podemos plantear es de un foco de luz situado en la tierra y en reposo con respecto al observador O. Se envía un rayo de luz formando un ángulo α con el eje de las X, hacia un espejo situado en un avión que se mueve con velocidad relativa al suelo de Vp y en el que viaja otro observador O', el rayo incide en el espejo reflejándose en él. Queremos calcular el ángulo de incidencia, de reflexión, la frecuencia del rayo de incidente y del rayo reflejado para cada uno de los dos observadores. Ver figura-8 Para el observador O respecto al cual no hay movimiento relativo de la fuente, la frecuencia de la fuente y del rayo de luz es ω0 el ángulo de incidencia es ϑ =

  y 2

el ángulo de reflexión es φ, cuyo cálculo lo haremos siguiendo lo establecido en el punto 2.2.2 anterior y que es: cos r =

Va  cos i (2  VP + Va  sin  i )2 + (Va  cos i )2

Sustituyendo Va = c (velocidad de la luz), queda: cos 

2  V

c  cos p

 c  sin 

  c  cos  2

2



cos Vp  4    sin    1 c  c 

;

según

esta

Vp

ecuación si el espejo se aleja de la fuente, el coseno del ángulo de reflexión es menor que el coseno del ángulo de incidencia, o lo que es lo mismo, el ángulo de reflexión es mayor que el ángulo de incidencia. Para el observador O', el que está situado en el avión, el ángulo formado por el rayo de luz incidente con el semieje positivo de las X es α’, y su coseno valdrá:

cos α , =

cos α - β 1 - β * cos α

donde ß es la tangente hiperbólica del ángulo de rotación (  x ) entre ambos sistemas inerciales, o lo que es igual ß = Vp / c.

Como para el observador O', el espejo es estático respecto de él, el ángulo de reflexión será igual que el ángulo de incidencia, por lo que: ϑ’ =

 2

  ' , lo que a su vez

significa que: sen ϑ’ = sen (π/2 - α’) = cos α’. El ángulo de reflexión para el observador O’ es φ’ = ϑ’ Vamos a plantear a continuación las ecuaciones de la frecuencia del rayo de luz, para el observador O’, que es un observador del que se aleja la fuente de luz a una velocidad Vp. Sea ω0 la frecuencia de la luz a la salida del foco para el observador O, la frecuencia que percibe el observador O' de la luz incidente en el espejo será: 1

   0 1

V p2

1

2

c  0 V p cos  c

1

Vp c



V p2 c

2

cos  1

Vp c

Vp c

cos

 0

1

Vp c

cos

Vp 1    c

   

2

y la frecuencia del rayo de luz reflejado para el observador O' será la misma que la del rayo incidente. Para el observador O la frecuencia del rayo reflejado vendrá dada por la ecuación: 1

r  0 1

V p2

c2 V p cos c

Por tanto el observador O percibe el rayo reflejado de frecuencia distinta de la del rayo incidente, por lo cual existe el efecto Doppler, dejando de ser coherentes ambos rayos incidentes y reflejados. Si suponemos un espejo de longitud infinita en la dirección del eje X, la imagen del foco permanecerá fija, no variando su posición respecto del foco ni del observador O, pero a pesar de ello tendrá lugar el efecto Doppler si el espejo está dotado de velocidad respecto al foco y al observador O. Al ser de frecuencia distinta el rayo incidente y reflejado, para el observador O y como el rayo incidente y reflejado tienen la misma velocidad, implica que la longitud de ondas del rayo incidente y reflejado será, así mismo, distinta. Si hiciéramos interferir ambos rayos la imagen del espectro de interferencia no sería estática, dado que ambos rayos han perdido la coherencia. El experimento propuesto se basa en estas diferencias de predicción entre la Mecánica Clásica y la Mecánica Relativista, de forma que si reflejamos un rayo en un espejo en movimiento y lo hacemos interferir con otro rayo que no ha sido reflejado, el tipo de espectro de interferencia nos diría cual es la predicción más certera. Si

además, cambios en la velocidad del espejo suponen modificación en el espectro, todavía nos daría más detalles.

3. Experimento VAVEL (Variación de la Velocidad de la LUZ) Tal y como concluimos en el punto anterior, la idea es diseñar un experimento cuya interpretación teórica sea totalmente diferente en el Modelo de Mecánica Clásica con velocidad de la luz variable y en el Modelo Relativista con velocidad de la luz constante. Al analizar los resultados del experimento se verá cual Modelo responde mejor a los mismos. Para ello vamos a intentar diseñar un experimento cuyos resultados no admitan "interpretaciones"

en

uno y otro modelo, sino

ESPEJO 2

que, en lo posible, los resultados excluyan a uno u otro de ellos. Observador

El experimento consiste básicamente espejos

ESPEJO 1

en

dos

cilíndricos

enfrentados, tal y como se indica en Figura-9. Un

rayo

de

luz

monocroma se refleja en Figura 9.- Esquema del experimento VAVEL

el espejo nº 2 y una parte del rayo reflejado incide en el espejo nº 1

reflejándose a su vez. El haz reflejado en este último espejo nº 1 y la parte de rayo reflejada únicamente en el espejo nº 2, interfieren entre si en una zona del espacio, que en la Figura-9 se ha rayado, dando lugar a un espectro de interferencia en dicha zona. A continuación dotamos al espejo nº 1 de movimiento de giro, y analizaremos que le ocurre al espectro de interferencia. El modelo simplificado del experimento, es el de la reflexión de un rayo de luz en un espejo móvil, cuya velocidad de desplazamiento tiene su dirección paralela al espejo. Para poder diseñar el experimento y analizar los resultados del mismo, fue necesario desarrollar un modelo matemático que, en función de los parámetros geométricos del

experimento, predijeran cuales serían los ángulos de incidencia y reflexión y como afectaba al rayo reflejado el movimiento del espejo.

3.1. Características Técnicas del Equipo El equipo del experimento está formado por un espejo cilíndrico móvil, que consiste en un disco metálico de 10 mm. de espesor y 250 mm. de radio cuya superficie externa está pulida de forma que funcione como un espejo. El espejo fijo está formado por un sector de disco del mismo radio que el móvil y de igual espesor y características. La fuente de luz es un láser de He-Ne de 5 mw de potencia y una longitud de coherencia de 1 metro.

Fotografía 1.- Equipo VAVEL El detector del espectro está formado por una lente cilíndrica de distancia focal 12,7 mm., por un detector lineal de silicio de 1024 pixels, con una resolución de 25 micras y software de salida para osciloscopio y un osciloscopio analógico de 20 Mhz. El giro del espejo móvil se realiza mediante un motor que tiene la posibilidad de girar a derecha e izquierda. La velocidad de giro es regulable en ambos sentidos. El conjunto se completa con los elementos de seguridad, regulación y control necesarios. (Ver fotografía 1). Para el diseño del equipo fue necesario desarrollar un programa de ordenador que calculase el espectro de interferencia esperado para distintas hipótesis de trabajo. Dicho programa funciona como el modelo de la Mecánica Clásica. Se introducen los datos de

las características del equipo, del rayo de luz, de las distancias entre

espejos, detector, fuente de luz, etc. y calcula cual es el espectro de interferencia. Este programa servirá, así mismo, para comprobar el ajuste del modelo teórico del programa, a los resultados prácticos. La velocidad periférica del espejo móvil puede llegar a un valor máximo de 157 m/seg. La velocidad de lectura del detector del espectro es de 8 microsegundos por pixel, lo cual equivale a leer todo el espectro en 8,2 milisegundos. Al girar el espejo móvil, se produce un incremento del radio del mismo debido a las tensiones generadas por el giro, esto hace que el radio aumente en algunas micras en relación con el espejo parado, e igualmente aparecen ciertas variaciones en el espectro debido a que el espejo móvil no es una circunferencia perfecta, habiendo una diferencia máxima entre radios de 28 micras y también debido a las vibraciones al girar el espejo. Por todo ello, se ha buscado que el espejo pueda cambiar el sentido de giro, ya que la deformación del espejo, el incremento del radio por las tensiones al girar y el efecto de las vibraciones, son las mismas independientemente de cual sea el sentido de giro. Si se observa alguna variación entre los espectros girando en un sentido y en el contrario, esto será motivado por la velocidad del espejo y no por otros factores del problema.

3.2. Resultados del Experimento 3.2.1. Metodología Seguida en la Investigación El experimento se planteó de la forma siguiente: a)

Obtener en primer lugar un espectro de referencia con ambos espejos parados al que posteriormente referir el resto de los espectros de interferencia.

b)

Girar, manual y lentamente, el espejo móvil una vuelta completa y ver cuál es la variación sufrida por el espectro. Esta variación está motivada exclusivamente por el defecto de construcción del espejo móvil al no ser este una circunferencia perfecta. Poner a girar al espejo durante un tiempo mínimo de 30 minutos a una velocidad próxima a las 3000 rpm., con el fin de que se calienten los cojinetes, el motor, el espejo y en general todo el equipo y que las temperaturas lleguen a estabilizarse.

c)

Parar el espejo móvil y posicionarlo en el mismo sitio para el que tomamos el espectro en el punto a) y tomar el espectro nuevo. Analizar las diferencias entre ambos espectros, las diferencias estarán motivadas por el incremento

del radio del espejo debido al aumento de temperaturas por el calor generado al girar. d)

El espectro obtenido en estas condiciones de velocidad cero y espejo caliente, será el que nos sirva como espectro de referencia en el resto del experimento.

e)

Llevaremos la velocidad de giro del espejo a un valor determinado y tomaremos el espectro de interferencia para esa velocidad.

f)

Pararemos el espejo y comprobaremos que el espectro es el mismo que el obtenido en el punto d) y que estamos utilizando como de referencia.

g)

A continuación hacemos girar el espejo en sentido contrario, obteniendo el espectro de interferencia para la misma velocidad de giro que anteriormente habíamos utilizado en el punto e).

h)

Comprobaremos las diferencias existentes entre los espectros para igual velocidad de giro y sentido contrario. Igualmente analizaremos las diferencias motivadas por el incremento de velocidad de giro.

i)

Continuaremos realizando los pasos e), f), g) y h) para velocidades de giro cada vez mayores, hasta llegar a la máxima admisible del espejo.

3.2.2. Desarrollo del Experimento El experimento se ha realizado separando los espejos una distancia de 2,1 mm., la distancia del orificio de salida del tubo de rayos láser con respecto al eje Y que une los centros de los espejos, fue de 447 mm. El haz de rayos láser incide en el espejo fijo con ángulos de incidencia comprendidos entre 85,54 y 90 grados. El ángulo de incidencia

de

los

rayos

incidentes en el espejo móvil varía grados.

entre

81,72 La

y

90 lente

amplificadora de imagen, de 12,7 mm. de distancia focal, la tenemos situada a 243 mm. del eje de las Y antes mencionado. El detector está colocado detrás de la lente y a una distancia de ella de 476 mm., lo cual supone una Fotografía 2.- Espectro en frío

magnificación de imagen de

36,48 veces. Teniendo en cuenta que la separación de los pixels en el detector de silicio es de 25 micras, la resolución final de la imagen del espectro será de 25/36,48 = 0,685 micras. En estas condiciones se obtuvo el espectro de interferencia para velocidad cero y equipo en frío, cuyo resultado se muestra en la fotografía-2, en ella se puede ver un espectro formado por cinco ondas completas, cuya longitud de onda es aproximadamente de 140 micras. Se calcula de la forma siguiente: - Longitud detector de silicio:

25x1024=25600 micras

- Longitud del espectro detectado: 25600/36,48=701,75 micras. - Número de ondas en el espectro: 5 - Longitud de onda:

701,75/5 ≈ 140 micras. Se giró manual y lentamente el espejo móvil, viendo lo que ocurría al espectro con

este

giro.

Se

observó

un

desplazamiento del espectro de casi una onda completa, tal y como se indica

en

la

desplazamiento

Figura-10. es

debido

Este a

las

imperfecciones de construcción del Figura 10.- Desplazamiento del Espectro

espejo móvil y el valor del defecto, obtenido por cálculo, corresponde a

una diferencia entre el radio mayor y el menor del espejo de 28 micras. Este defecto de construcción es el causante de que en las fotografías posteriores del espectro, con el espejo girando, aparezcan varios espectros de interferencia. A continuación se hizo girar el espejo móvil a una velocidad de

3000

r.p.m.

aproximadamente, observándose que el espectro de

interferencia

continuaba

existiendo y con una onda de características similares a la obtenida

en

condiciones

estáticas. Se dejó el espejo móvil girando a una velocidad próxima a las Fotografía 3.- Espectro en caliente

3000 rpm. durante 30 minutos, con el fin de que se calentara el equipo y que se estabilizasen las temperaturas. Transcurrido este tiempo se paró el espejo y se obtuvo el espectro de interferencia en condiciones de espejo parado y caliente. Ver fotografía3. Este espectro, como se puede apreciar, a sufrido un desplazamiento respecto al obtenido en condiciones estáticas y equipo frío (Fotografía-2). Este desplazamiento equivale a haber incrementado el radio del espejo en 87 micras, o bien en haber sufrido un incremento medio de temperatura de 20,37ºC sobre la temperatura ambiente. Como se puede apreciar en la fotografía, la longitud de onda de este espectro

ha

pasando

aumentado, a

valer

aproximadamente 152 micras. Este espectro de interferencia se adoptó como "espectro de referencia". A continuación se hizo girar el espejo a una velocidad de +1607 rpm., entendiendo el signo más cuando el espejo gira en el mismo sentido del Fotografía 4.- Espectro a V = 1.607 rpm

desplazamiento del haz de luz. Obteniéndose el espectro de la Fotografía-4. Posteriormente el espejo giró a-1611 rpm. de velocidad, significando el signo menos

el

giro

en

sentido

contrario al anterior. Se tuvo el espectro que aparece en la Fotografía-5. Considerando velocidades

que de

prácticamente incremento efecto Fotografía 5.- Espectro a V = -1.611 rpm

generadas

giro

el

radio,

por

las al

son

iguales,

del

de

las

tensiones

girar,

es

el

mismo y como la temperatura

de la rueda es la misma por estar estabilizadas, ambos espectros deberían ser iguales. No obstante podemos observar que si bien la forma de la onda

es

igual

ambas

están

desplazadas una con respecto a la otra. Se fue obteniendo de la misma manera

el

espectro

interferencia

para

de

distintas

velocidades de valores iguales y sentido de giro contrario, con el objeto de eliminar el efecto del incremento de radio a causa del Fotografía 6.- Espectro a V = 2.766 rpm

giro. En la fotografía-6 tenemos el espectro de interferencia para el

espejo girando a +2766 rpm. En la fotografía-7 tenemos el espectro para el espejo girando a la velocidad de -2764 rpm. que es sensiblemente igual a la anterior,

pero

los

espectros

de

interferencia no coinciden, estando desplazados el uno respecto del otro. Igualmente se hizo girar al espejo con velocidades de +3378 rpm y 3372

rpm,

cuyos

espectros

de

interferencia se puede ver en la fotografía-8

para

el

caso

de

velocidad positiva y en la fotografía-9 para el caso de velocidad negativa. Tampoco existe coincidencia entre ambos espectros aun y cuando Fotografía 7.- Espectro a V = -2.764 rpm

ambos están obtenidos para las

mismas condiciones geométricas del experimento, variando únicamente el sentido de giro del espejo.

El hecho de que los espectros para velocidades de giro casi iguales en un sentido y en el contrario no coincidan no tiene una explicación inmediata

en

el

Modelo

de

la

Mecánica Relativista, ya que como vimos en el punto 4.2, el espectro debía ser prácticamente el mismo en Fotografía 8.- Espectro a V = 3378 rpm

ambos casos. El que los espectros de

diferentes

velocidades

estén

desplazados unos respecto de otros, es

posible

explicarlo

por

el

incremento diferente del radio al girar a diferentes velocidades. A continuación vamos a tratar de aplicar

los

diferentes

modelos

matemáticos al experimento para ver como lo explican.

Fotografía 9.- Espectro a V = -3372 rpm

3.3. Análisis de los resultados obtenidos Tal y como se indicaba en el objeto del experimento, vamos a analizar los resultados obtenidos a la luz de los diferentes modelos disponibles. Vamos a comenzar por hacer una serie de determinaciones que son independientes del modelo matemático elegido y son válidas para todos ellos. El incremento del radio del espejo debido al calentamiento, se determina mediante cálculo, ya que no se disponía de equipo adecuado para medirlo. Para ello se comprobaron los parámetros geométricos del experimento medidos en campo, verificando que el espectro calculado en condiciones estáticas y frías correspondía al espectro obtenido experimentalmente. Partiendo de estas condiciones se fue variando el radio del espejo móvil hasta que el espectro calculado coincidió con el espectro obtenido para condiciones estáticas y

espejo caliente. Este método dio como resultado que el incremento del radio fue de 87 micras, como anteriormente se ha mencionado. El incremento del radio debido al giro se obtienen aplicando las ecuaciones correspondientes de resistencia de materiales para el caso de un disco girando. Estas ecuaciones son: 1  * 2 R R = * * * [(3 + ) * R02 + (1 -  ) * R 2 ] 4 g E donde:

 = densidad del material (Kg/ cm3 )  = velocidad de giro (rad/seg)  = modulode Poisson E = moduloel stico (Kg/ cm2 ) R = radio exterior (cm) R0 = radio orificio central (cm) g = aceleraci n de la gravedad (cm/ seg 2 )

Sustituyendo los valores correspondientes al material utilizado y haciendo un cambio de unidades, llegamos a la ecuación:

R = 8,411329349 * 10-17 * R3 *  2 donde: R = incrementode radio (mm) R = radio exterior (mm)  = velocidad de giro (r.p.m.) Esta ecuación nos da como incremento del radio para las velocidades de giro utilizadas en el experimento, las siguientes: TABLA-I VELOCIDAD

INCREMENTO

DE GIRO

DEL RADIO

1607

0,003394

1611

0,0034109

2764

0,0100406

2766

0,0100552

3372

0,0149438

3378

0,0149970

Podemos observar que el incremento del radio debido al calentamiento es más de cinco veces el del máximo incremento debido al giro.

En las fotografías se puede observar, y en el punto 5.2 lo hemos mencionado, que la longitud de onda del espectro aumenta tras el calentamiento, en cambio apenas es perceptible ninguna nueva variación para las diferentes velocidades de giro. Esto es debido a que el mayor aumento del radio procede del aumento de temperatura, que llega a ser más de cinco veces que el mayor aumento esperado por giro. Por tanto la "ventana" del espectro se cierra al calentarse, variando poco más con el giro, con lo que la longitud de onda del espectro, que es mayor cuanto menor es la separación de los espejos, permanece constante tras el calentamiento y a lo largo del experimento.

3.3.1. Aplicación del Modelo Clásico Vamos a aplicar el Modelo desarrollado en el punto 3.1, en el que el giro del espejo afecta al rayo de luz reflejado de dos maneras, una variando los ángulos de reflexión y otra variando la velocidad del rayo de luz. El hecho de que la velocidad del rayo de luz varíe podría tener tres consecuencias a su vez, y son que dicha variación afecte a la frecuencia ó que afecte a la longitud de onda o a ambas. Según los resultados del experimento, es evidente que la frecuencia no puede quedar afectada, ya que los rayos reflejados en el espejo móvil no serían coherentes con los rayos reflejados en el espejo fijo y por tanto no podría existir espectro de interferencia, dado que dicho espectro existe, lo único que puede quedar afectado por el cambio de velocidad es la longitud de onda. Aplicando el modelo obtuvimos los espectros de interferencia que se pueden ver en las hojas adjuntas. Comparando dichos espectros con las fotografías del experimento, podemos observar una coincidencia grande entre los resultados del Modelo y lo obtenido en el experimento. Con el fin de descartar que la variación de los espectros a iguales velocidades pero con sentidos de giro contrario fuesen debidos al efecto del giro sobre los ángulos de reflexión, pero no a la variación de la longitud de onda, se efectuaron otros cálculos en los que se suprimió el efecto sobre la longitud de onda, o lo que es lo mismo, se hizo que la velocidad del rayo reflejado fuese la misma que la del rayo incidente. Los espectros calculados con este Modelo, están representados en otras hojas adjuntas, en ellos se puede ver que el efecto de la variación de los ángulos de reflexión es tan pequeño que no se puede apreciar en la representación gráfica de los espectros, siendo únicamente apreciable en los valores numéricos del cálculo. Por tanto, lo único que puede explicar la variación de los espectros de interferencia cuando el espejo gira a velocidades iguales pero de sentido contrario, es que el giro afecte a la longitud de onda del rayo reflejado y dado que la frecuencia permanece constante por seguir existiendo el espectro, es necesario que la velocidad del rayo reflejado sea diferente que la del rayo incidente.

Por último, partiendo de los pares de fotografías de igual velocidad, se han realizado medidas sobre las mismas que nos permitan hacer un cálculo, simplemente aproximado, de cuánto vale el desplazamiento del espectro por cambio del sentido de giro, obteniendo los siguientes resultados: Dado que el espectro ocupa 8,4 divisiones de la pantalla del osciloscopio, esto supone que cada división de la pantalla equivale a 83,54 micras del espectro real medido, ya que la longitud sensible del detector es de 25600 micras y la magnificación debida a la lente es de 36,48 veces, por tanto la longitud real del espectro medido es de 701,75 micras. Tomando siempre como referencia el espectro correspondiente a velocidad positiva, tenemos que: 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 15,8

15,9

16

16,1

16,2

16,3

16,4

16,5

16,6

16,7

16,6

16,7

Figura 11.- Espectro teórico según Modelo Clásico para v = +1.607 rpm

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 15,8

15,9

16

16,1

16,2

16,3

16,4

16,5

Figura 12.- Espectro teórico según Modelo Clásico para v = -1.611 rpm  Espectros de +1607 rpm. y -1611 rpm

o

Desplazamiento hacia la derecha del espectro correspondiente a -1611 respecto del +1607 es de 0,3 divisiones.

o

Longitud equivalente de espectro real: 25,06 micras

o

Desplazamiento medido en el Modelo matemático a través de los valores numéricos: 32 micras

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 15,8

15,9

16

16,1

16,2

16,3

16,4

16,5

16,6

16,7

16,6

16,7

Figura 13.- Espectro teórico según Modelo Clásico para v = +2.766 rpm

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 15,8

15,9

16

16,1

16,2

16,3

16,4

16,5

Figura 14.- Espectro teórico según Modelo Clásico para v = -2.764 rpm  Espectros de +2766 rpm. y -2764 rpm

o

Desplazamiento hacia la derecha del espectro correspondiente a -2764 respecto del +2766 es de 0,6 divisiones.

o

Longitud equivalente de espectro real: 50,12 micras

o

Desplazamiento medido en el Modelo matemático a través de los valores numéricos: 54 micras.

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 15,8

15,9

16

16,1

16,2

16,3

16,4

16,5

Figura 15.- Espectro teórico según Modelo Clásico para v = +3.378 rpm

16,6

16,7

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 15,8

15,9

16

16,1

16,2

16,3

16,4

16,5

16,6

16,7

Figura 16.- Espectro teórico según Modelo Clásico para v = -3.372 rpm  Espectros de +3378 rpm. y -3372 rpm

o

Desplazamiento hacia la derecha del espectro correspondiente a -3372 respecto del +3378 es de 0,8 divisiones.

o

Longitud equivalente de espectro real: 66,83 micras

o

Desplazamiento medido en el Modelo matemático a través de los valores numéricos: 67 micras

Considerando que los errores cometidos en la medición sobre las fotografías pueden ser importantes, hay que hacer notar la gran coincidencia entre los valores teóricos y los experimentales.

4. Nuevo Planteamiento cosmológico Uno de los resultados más importantes de la teoría de la Relatividad fue dar respuesta a la conversión de masa y energía, facilitando la famosa ecuación E = m x c2, este hecho y la “imposibilidad” de explicarlo por la mecánica clásica hace que muchos físicos no puedan aceptar que la velocidad de la luz no sea constante e independiente de la velocidad del foco, pues entonces se vendría abajo el marco teórico que sustenta la ecuación anterior, creándose un problema de difícil solución. Es decir, son los resultados obtenidos y la capacidad de explicar aspectos de la realidad, que el establecimiento del principio de la constancia de la velocidad de la Luz, ha dado lugar a que este principio se considere “intocable” por muchos de los físicos actuales. En los apartados siguientes apunto un nuevo modelo físico que, sin necesidad de que la velocidad de la luz sea constante, explica y obtiene una ecuación similar entre energía y masa. No es un Modelo terminado y, por supuesto, es mejorable y ampliable en muchos aspectos, pero puede servir para ver que no todo está escrito y que es posible otra visión de la realidad.

4.1. Definición de “Realidad” Vamos a empezar definiendo que entiendo por “realidad”. Llamo “Realidad” o “Real” a todo aquello que de alguna forma se puede experimentar, o de lo que podemos tener conocimiento de su existencia. A todo este conjunto lo llamo “Nuestra realidad ó Nuestro mundo”. De esta definición se deduce que para poder tener conocimiento de la existencia de algo, ese algo debe tener con nosotros, con el observador, un punto espacio-temporal común. Lo único que nos permite tener conocimiento de la realidad son nuestros sentidos, entendidos de forma amplia, es decir, se incluye en la palabra sentidos todos aquellos equipos y elementos que nos permiten adquirir señales de la presencia o existencia de algo y que lo traducen, finalmente, en algo detectable por los sentidos humanos. No entro a valorar que estamos limitados a nuestros cinco sentidos (vista, oído, olfato, gusto y tacto) para detectar nuestra realidad y lo que de simplificación de la misma lleva consigo. Tampoco entro a valorar la capacidad de “traducción” de las señales recibidas por los equipos y máquinas y de la deformación que dicha “traducción” puede introducir. De la limitación de nuestros sentidos solo voy a poner un ejemplo que trata de explicar la profundidad de lo que pienso. Supongamos un ser inteligente que solo dispone de cuatro sentidos, faltándole el de la vista. Es claro que este ser será capaz de percibir la realidad y capaz de “modelizar” esa realidad percibida, Dará explicaciones más o menos complejas de porque hay zonas donde se siente calor y

otras en las que se siente frío, porque determinadas zonas son malas para el crecimiento de plantas y otras no, etc.…De pronto se le abren los ojos y es capaz de ver. Verá que existe el Sol, que da luz, que existen los colores cuya existencia no habría sido capaz de detectarla siquiera, que la explicación de las zonas de frío y calor es más sencilla de lo supuesto, lo mismo que para el crecimiento de las plantas, pero a su vez la realidad es mucho más compleja. Esto es lo que quiero decir. No podemos suponer que tenemos todos los sentidos capaces de detectar la realidad en toda su complejidad, por lo que nuestra percepción está limitada por esos cinco sentidos, pero la explicaciones complejas que podemos desarrollar, tal vez sean mucho más sencillas y la Realidad mucho más compleja. Con esto quiero poner de manifiesto nuestras limitaciones intrínsecas y lo pretencioso por parte del hombre de creerse el “centro del universo”. Hemos pasado del Geocentrismo al Heliocentrismo y ahora estamos en el Homocentrismo y nada más lejos de ser así. No obstante, a pesar de nuestras limitaciones, somos como somos, y tratamos de entender el Mundo lo mejor que podemos, por eso este trabajo. Por tanto, solo aquello que puede interactuar con nosotros por medio de nuestros sentidos ó equipos podemos detectarlo y darle el valor de “Real”. Para eso es necesario que exista un punto espacio-temporal común entre la realidad o la señal emitida por la realidad y el observador, en el sentido más amplio del término. Si no existe ese punto espacio-temporal común, no se puede detectar su existencia y en consecuencia NO EXISTE para nosotros, NO ES REAL. El concepto anterior es muy importante ya que, como demostraré posteriormente, solo puede ser detectado, es decir, tener un punto espacio-temporal común, aquello que se mueva en el eje de los tiempos a la misma velocidad que el observador. Entre las limitaciones humanas está el que somos seres espaciales tridimensionales, somos capaces de detectar las dimensiones y las distancias, para ello solo necesitamos que exista un hombre. Supongamos que en el Universo no existe nada absolutamente, solo un hombre que es el observador. Al no existir nada no puede haber conceptos de arriba, abajo, lejos cerca, grande, pequeño,…., pero si tendrá idea de las tres dimensiones, pues su mismo cuerpo le sirve como referencial. Pero no podrá percibir el Tiempo, ya que este solo somos capaces de percibirlo como “Cambio”, solo si se produce un cambio, envejecer, aparece el concepto de tiempo. Es decir, nuestro cerebro es capaz de entender inmediatamente las dimensiones espaciales con la información proporcionada por nuestros sentidos, pero solo cuando acontece un cambio somos capaces de percibir la cuarta dimensión: el tiempo.

4.2. Nuevo Modelo del Mundo En primer lugar defino el término MUNDO o UNIVERSO en un sentido muy amplio. “Es todo aquello que está contenido en el espacio y el tiempo”. Partiendo del principio de que todo, incluso el espacio y el tiempo surgen de una explosión inicial, el Big Bang, y que esta explosión no tiene direcciones preferenciales, es decir, se trató de una explosión isótropa y tuvo lugar en los cuatro ejes de coordenadas, las tres espaciales (X1, X2, X3) y la coordenada temporal (X4), que es una coordenada más con igual realidad que las otras tres. En lo que sigue vamos a considerar el cuarto eje, eje de los tiempos, como si fuera un eje más. Al concebir de esta forma el UNIVERSO, se explica que el tiempo siempre transcurra en la misma dirección, en la dirección de nuestro desplazamiento en dicho eje y no es posible volver al pasado, ni viajar el futuro. El que seamos incapaces de movernos en el eje de los tiempos, tal y como si podemos hacer en los otros tres ejes, está relacionado con que nosotros pertenecemos a una REALIDAD. Luego se explicará.

Debido a nuestra incapacidad para ver cuatro dimensiones, voy a hacer una simplificación gráfica para representar la explosión en todos los ejes. Para eso voy a

prescindir de uno de los ejes espaciales, el X3 concretamente, dejando un Mundo Plano y dar cabida al eje X4 de los tiempos. Voy a explicar la Figura 17. En esta figura tenemos dos ejes espaciales el X1 y el X2, he suprimido el eje espacial X3, tal y como se ha explicado arriba. También tenemos el eje temporal X4, que representa el tiempo. En el origen tiene lugar la explosión inicial el Big Bang. Esta explosión será esférica con la hipótesis de no haber direcciones privilegiadas. Así en el tiempo, como una dirección más, también la explosión se expande por él. La velocidad de expansión es la misma en todas direcciones. En el comienzo de todo hay un punto donde se inicia la explosión y en la medida que la Materia/energía, es decir la realidad física, se expande, van creándose las dimensiones, fuera de la explosión no hay nada, ni espacio, ni tiempo, ni energía. En esta explosión (tridimensional, en la figura, tetradimensional en la realidad) hay infinitas realidades simultáneamente. Si nos fijamos en la realidad que forma el ángulo α con el eje de los tiempos X4, cuando el MUNDO se encuentra en el estadio de expansión que denominamos M1 esta realidad está en el tiempo T1 y se representa por el circulo C1. Cuando transcurre la expansión y el MUNDO está en el estadio M2 esta realidad está en el tiempo T2 y es el circulo C2. Para cualquier observador que pertenezca a esta realidad ha habido una expansión en el sentido espacial, pero no ha percibido el desplazamiento en el eje X4 de los tiempos, salvo por el “cambio” es decir, por la expansión y por los cambios y movimientos internos de su realidad. Fijémonos ahora en otra realidad, la B que forma un ángulo β, mucho más pequeño con el eje de los tiempos X4. Cuando el MUNDO está en el estadio M1, esta realidad es el circulo B1 que es más pequeño en tamaño que la C1, pero va adelantado en el eje temporal respecto a ella. En esta realidad B los procesos ocurren de forma más lenta pues para la misma cantidad de espacio transcurre más tiempo. Cuando el MUNDO está en el estadio M2, esta realidad está en el circulo B2, y en el tiempo T3 con lo que ha aumentado su distancia temporal con relación a la realidad C, es decir se mueve más rápidamente en el eje X4 de los tiempos. Por lo mismo podría haber dibujado otra realidad por debajo de C que iría siempre retrasada respecto de ella. Esta realidad formaría un ángulo mayor que α con el eje X4. También podríamos considerar la realidad que no se desplaza en el eje de los tiempos y que sería el círculo situado en el “ecuador” del MUNDO. La existencia de esta realidad es dudosa ya que al no transcurrir el tiempo, todo ocurre “Simultáneamente” e “instantáneamente”, lo que significa que TODO ha ocurrido ya y, en consecuencia, es de suponer que su desaparición también. Por tanto, no parece posible una realidad cuya dirección de la expansión forme un ángulo de 90º con el eje de los tiempos X4. Es probable que haya que considerar que exista un ángulo máximo a partir del cual no

existe ninguna realidad y que, incluso, este ángulo esté disminuyendo al expandirse el MUNDO, “tragándose” realidades existentes, es decir, realidades que por ser en ellas más veloces los procesos, han llegado al final de sus tiempos de existencia. Por tanto, habría un cono máximo cuyo ángulo se iría estrechando con la expansión del MUNDO tragándose realidades. Todo lo dicho hasta aquí tiene su imagen y reflejo en el eje negativo de los tiempos (X4), aunque ni el signo negativo tiene ningún significado, ni significa que el tiempo transcurre a la inversa, ni nada extraño, ya que en el MUNDO no existe el arriba, ni abajo, ni el signo positivo, ni el signo negativo en los ejes. Para observadores situados en esta parte del eje de los tiempos, su eje es positivo y se desplazan en el tiempo igual que en el otro hemisferio del MUNDO. Tampoco significa que sean realidades especulares y que lo que ocurre en un hemisferio se repita exactamente en el otro. Son realidades simétricas en el MUNDO, pero totalmente diferentes en cuanto lo que ocurra en cada una de ellas. Otra posibilidad a considerar es que el MUNDO esté rotando alrededor del eje X 4. No hay nada que lo impida y, en principio, esto es más general que lo contrario, de forma que hasta que se demuestre lo contrario supondremos dicha rotación. Ahora bien para que se mantengan los momentos cinéticos nulos en el MUNDO, sería necesario que una semiesfera girase en un sentido y la otra en el sentido contrario. Esto también iría en la línea de que no haya ninguna realidad en el plano ecuatorial, pues sería de fricción entre dos giros contrarios. Este giro diferente de las dos semiesferas podría explicar, en algún momento, porqué en nuestra realidad no hay positrones, ni antiprotones cuando debieron formarse en iguales cantidades en un principio, posiblemente el giro diferente los haya clasificado y conducido unos a una semiesfera y los otros a la otra, por lo que una sería de materia y la otra de antimateria. No considero una rotación más general cuyo eje esté inclinado y que, por tanto, haya componentes de la rotación en el eje de los tiempos y en el espacio. El motivo es porque, en ese caso, habría realidades que estarían pasando por tiempos diferentes según el estado de la rotación, pasando de tiempos mayores a menores moviéndose en el eje de los tiempos hacia arriba y hacía abajo, lo cual parece complejo y no hay nada que justifique considerar este tipo de giro, salvo que en futuros desarrollos se vea que debe ser así. Otra reflexión es que si la explosión hubiera sido instantánea en un punto y en un instante, las realidades en un Sistema de dos dimensiones espaciales (2D) como el dibujado en la Figura 17, serían circunferencias solamente y no el círculo. Y en un sistema de tres dimensiones espaciales serían las superficies de esferas huecas.

Dado que esto parece no ser así, la Explosión → Creación debió durar un tiempo y, hasta es posible, que aún continúe como una fuente. Supongamos la

Explosión

Aportación

que → de

energía/Materia continuó

durante

un tiempo T con origen el eje de los tiempos.

La “fuente”,

espacialmente

se

sitúa en un punto, pero

nada

iniciarse

más la

explosión se crea el tiempo, por lo que empieza a existir y a desplazarse la “fuente” en dicho eje tanto hacia arriba como hacia abajo, es decir, hacia ambos extremos del eje X 4. En esta situación en un sistema 2D cualquier realidad sería un anillo plano y en un sistema 3D las realidades serían el espacio comprendido entre dos esferas concéntricas. Esto también explicaría la existencia en cada realidad de zonas con distinto estadio de evolución de las estrellas. En cualquier caso un observador situado en el límite de su realidad, círculos en el sistema 2D o superficie esférica en el sistema 3D, no vería nunca el vacío externo, ya que no existe, no hay nada, ni espacio, ni tiempo, ni vacío. El observador pertenece a su realidad y su visión de los acontecimientos y de las señales enviadas será continua, no podrá apreciar que se “acaba” la realidad, no percibe una frontera, ya que todas las señales emitidas por objetos de su realidad, sea luz o cualquier otra se moverán por la superficie de la esfera que es el único sitio por donde puede trasmitirse pues es donde hay dimensiones. Para poner un ejemplo que intente ilustrar este fenómeno, es como si un hombre sobre la superficie de la Tierra estuviera siempre obligado a mirar al suelo, por mucho que ande y mire, siempre verá la superficie de la Tierra como un continuo, no podrá ver el cielo. Igual ocurre en los casos mencionados ya que fuera de la realidad no hay dimensiones ni espaciales ni temporales.

Otra consecuencia de lo expuesto hasta ahora es que cada realidad se caracteriza porque sus líneas de expansión forman siempre un único ángulo con el eje de los tiempos. Este ángulo es diferente para cada realidad, pero es el mismo siempre en cada realidad.

4.3. Definición matemática de la realidad Hasta ahora hemos definido el término “realidad” en el punto 4.1 y hemos dado como condición, sin demostrar, que

solo

puede

ser

detectado aquello que se desplaza

a

velocidad

la que

misma el

observador en el eje de los tiempos. Esto no significa que TODO aquello que se mueva

con

la

misma

velocidad en el eje de los tiempos,

que

el

observador, este lo haya detectado, puede que aún ninguna señal emitida haya coincidido con el observador en un punto espacio-temporal común, por lo que permanece indetectado, pero podremos detectarlo si se cumple la mencionada condición. En la Figura 19 vemos una estrella E y un observador O, en el instante X4 = A, la estrella ocupa la posición espacio-temporal E1 y el observador la posición espaciotemporal O1, en ese momento la estrella emite un rayo de luz en dirección al observador, que la recibe en el instante X4 = B. Esto solo puede ocurrir, que coincidan en el punto espacio-temporal O2 común el rayo emitido y el observador, si la estrella y, por tanto el rayo, se ha desplazado en el eje de los tiempos a la misma velocidad que el observador. La percepción de la estrella y del observador es que el rayo de luz se ha ido desplazando desde E1 hasta O1 en el espacio, pero la línea real seguida por el rayo ha sido la línea E1-O2, debido a que el espacio ha seguido expandiéndose y desplazándose por tanto en el eje de los tiempos. Si la estrella y, en consecuencia el rayo, tuvieran una velocidad de desplazamiento en el eje de los tiempos superior a la del observador, el rayo no habría seguido “ligado al espacio del observador y habría llegado a la posición futura espacio-temporal del observador, la O2, antes que él y por tanto no podría haberla detectado. Igualmente si la estrella y el rayo de luz tuviesen

una velocidad de desplazamiento en el eje de los tiempos inferior a la del observador, cuando este llegase a la posición espacio-temporal O2, la luz aún no habría llegado y no la podrá detectar. En resumen la condición necesaria para poder detectar un observable por un observador, es que tanto la señal emitida por el observable, como el observador tengan la misma velocidad de desplazamiento en el eje de los tiempos. La pregunta que nos hacemos ahora es ¿puede un observable ir a distinta velocidad en el eje de los tiempos que la señal que emite? Si la respuesta es SI, supondría que existen observables que no podemos detectar, pero que pueden interactuar con nosotros, caso de una estrella o galaxia que viajando en el eje de los tiempos a la misma velocidad que nosotros, pero la luz emitida no, no podríamos verla, pero podría chocar contra nosotros. O podría ser al contrario, que detectásemos observables con los que no podemos interactuar. Todo esto es extraño y la experiencia no parece confirmarlo, además supondría que cada experimento podría dar resultados diferentes, no existiría la lógica capaz de explicar la realidad y todo sería aleatorio. Otra opción es que el observable emita señales en todas las velocidades posibles en el eje de los tiempos., es decir, en forma de explosiones en todas las direcciones, seguirían planteándose problemas como los mencionados anteriormente, además los balances de energía no cerrarían ya que cualquier señal supone emitir energía y detectarla recibir esa energía. Si se emitieran infinitas señales en todas las direcciones la cantidad de energía necesaria sería muy grande y no podrían existir balances energéticos. Por tanto parece que las señales emitidas por un observable tienen todas las mismas velocidades en el eje de los tiempos e igual que la del observable. Nuestra Realidad, la que podemos percibir, está formada por todos aquellos observables que se mueven con nosotros a la misma velocidad en el eje de los tiempos. Esta definición no implica, como ya anteriormente he señalado, que hayamos detectado a TODOS los observables que forman parte de nuestra realidad. Pueden y deben existir otras Realidades diferentes a la nuestra y que van una fracción de tiempo por delante o por detrás de nosotros y de las cuales no tenemos posibilidad de observar ningún fenómeno o señal emitida por ellas. No obstante lo anterior hay una pregunta sin responder y es ¿Qué ocurre con la gravedad? ¿Podremos sentir sus efectos aún y cuando no pertenezcan los objetos a la misma realidad y no podamos “verlos”? ¿Podría esto corresponder a la materia oscura, que no vemos, pero cuyos efectos gravitatorios si notamos? Si las respuestas fuesen afirmativas habría que corregir la ecuación de la gravedad de Newton con la distancia espacio-temporal de las masas y no considerar únicamente la distancia espacial que las separa.

Lo que se desprende es que si el viaje en el tiempo es posible realizarlo, significaría ir más rápido o más despacio, desplazándonos en el eje de los tiempos, que nuestra realidad, con lo cual a donde viajaríamos sería a otras realidades que van o por delante de nosotros o por detrás de nosotros respectivamente. Lo que no es posible es viajar a nuestro pasado o a nuestro futuro, el pasado es pasado y no se puede modificar ni volver a él y el futuro aún no ha ocurrido y no está predeterminado. Vamos a establecer unas ecuaciones que nos ayuden. Si llamamos VEX a la velocidad con que se expande en Mundo y que es la misma para todas las realidades ya que hemos supuesto una explosión esférica en todas las dimensiones, esta Velocidad de Expansión lo que representa es cuanto incrementa el radio del Mundo por unidad de tiempo, es decir: V EX 

d ; Para una realidad que forma un ángulo α con el eje de los dt

tiempos, como la dibujada en la Figura 19, su velocidad de expansión espacial, será la   VEX  sin  y la componente espacial de la VEX en esa realidad, es decir: Vesp

velocidad de traslación en el eje de los tiempos será la otra componente de la VEX y que valdrá: f   VEX  cos ; esta f es el factor de conversión de unidades temporales, pasando de las unidades de longitud X4 a las unidades de tiempo t, mediante la ecuación: X 4  f   t [4-1]; siendo:

ΔX4 = al valor en unidades de longitud del incremento recorrido en el eje de los tiempos. fα = es la velocidad de desplazamiento en el eje de los tiempos de la realidad que forma un ángulo α con el eje de los tiempos. Δt = es el valor en unidades temporales (horas, minutos, segundos…) del incremento recorrido en el eje de los tiempos, Como es lógico cada realidad tendrá una velocidad de desplazamiento diferente.

4.4. Ecuaciones de la Realidad

En la Figura 20 se ha representado lo que quiero poner en ecuaciones. Considero que en el instante X1 = 0, X2 = 0, y X4 =0, comienza el Big Bang, que no es más que el surgimiento en un punto de energía, a este punto le llamo O y es la “fuente” y hago coincidir con el origen de todas las coordenadas, lo que no es una arbitrariedad, pues hasta que no ocurre no hay dimensiones, luego estas se originan en ese punto. A partir de ese instante comienza a haber dimensiones espaciales y temporales, pero este inicio no se para si no que continua un tiempo T. Como ya existe el tiempo, aunque espacialmente el punto no varíe, si hay un desplazamiento temporal de la “Fuente” de energía en ambos sentidos del eje temporal X4 ya que la expansión es en ambos sentidos, como antes se ha explicado, al no haber direcciones privilegiadas. Suponemos que esta emisión de energía se detiene tras transcurrir el tiempo T. El Mundo tendrá dos fronteras con la NADA, una creada por la esfera inicial que surge en el instante cero y otra la creada al finalizar tras la detención de la “fuente”. La primera son las esferas M1, M2,….. y la segunda las esferas C1, C2, ……

En la Figura 20 se ha representado la Realidad Rα, que es la que forma un ángulo α con el eje de los tiempos en el sentido creciente. Cuando la realidad se encuentra en el estadio de desarrollo correspondiente al tiempo X4 = A, la esfera inicial de expansión del Mundo es la M1 y la esfera frontera final tras el tiempo de surgencia T, es la C1. Cuando el estadio de desarrollo pasa a ser X4 = B, las esferas se han expandido, la esfera inicial es la M2 y la esfera final es la C2. Cualquier realidad es la intersección del Mundo con un hiperplano perpendicular al eje X4 y, por tanto paralelo a las tres dimensiones espaciales. La ecuación de dicho hiperplano es X4 = K, con la condición de que K es igual o inferior al radio de la expansión. La ecuación correspondiente a la esfera inicial M, es la siguiente:

x12  x22  x32  x42  ρM2 y, por tanto, la ecuación que representa tanto cualquier punto de la superficie esférica, como del interior a la esfera, será:

x12  x22  x32  x42  ρM2 ; donde: Xi son las coordenadas espaciales y temporales del punto ρM es el radio alcanzado por la expansión del Mundo M. Para la realidad Rα el radio de la expansión se puede escribir como:

ρM 

x4 , si sustituimos esta expresión en la ecuación anterior queda: cos α

x42 x x x x  , simplificando queda: x12  x22  x32  x42 tg 2 α [4-2] 2 cos α 2 1

2 2

2 3

2 4

La ecuación correspondiente a la esfera final C, es la siguiente:

x12  x22  x32  x4  T   ρc2 y por tanto la ecuación que representa tanto a cualquier 2

punto de la superficie esférica, como del exterior a la esfera, será:

x12  x22  x32  x4  T   ρC2 ; donde: 2

Xi son las coordenadas espaciales y temporales del punto ρC es el radio alcanzado por la expansión del Mundo C. T es el tiempo que ha durado la surgencia o la explosión Para la realidad Rα el radio de la expansión se puede escribir como:

ρC 

x4  T , si sustituimos esta expresión en la ecuación anterior queda: cos α

x  x  x  x4  T   2 1

2 2

2 3

2

x4  T 2 cos 2 α

2 2 2 2 simplificando queda: x1  x2  x3  x4  T  tg α [4-3] 2

Las ecuaciones [4-2] y [4-3] representan las ecuaciones espacio temporales de la realidad Rα De ambas ecuaciones podemos deducir lo siguiente, desarrollando el segundo miembro de la ecuación [4-3], tenemos:





x12  x22  x32  x42  2 x4T  T 2 tg 2 o bien x12  x22  x32  x42tg 2  T T  2 x4 tg 2 [4-4] Si a ambas desigualdades [4-2] y [4-4] les restamos, a ambos miembros, el término

x42 tg 2 α , queda: [4-5] x12  x22  x32  x42tg 2  0 [4-6] x12  x22  x32  x42tg 2  T T  2 x4 tg 2 De donde se deduce que T T  2 x4 tg 2 α  0 , ahora bien la tangente de alfa no puede ser negativa pues de serlo al estar elevada al cuadrado daría un número positivo. Por tanto debe ser negativo o cero el paréntesis, ya que T tampoco puede ser negativo por definición. Luego debe cumplirse siempre que:

x4 

T , es decir no hay realidades para valores de la expansión menores de T/2. 2

¿Explicaría esto el proceso inflacionario de la teoría de Big Bang? Pues de pronto con poco tiempo el Mundo ha crecido de forma muy rápida, ¿No será que al llegar al tiempo X4 = T/2 de pronto aparecen las realidades con un tamaño ya establecido por la expansión? Ver Figura 19. En todo lo hasta aquí expuesto hay una hipótesis no enunciada y es que la expansión del Mundo es simétrica e igual en todas las direcciones, si esto no fuera así la expansión no tendría forma de una híper esfera de cuatro dimensiones. Ahora bien esto puede expresarse de varias formas, que son las siguientes:

dρ  Cte o bien que d 2 ρ  0 ; esto supone un Universo en constante y uniforme expansión sin fin.

d 2 ρ  k ; esto supone que hay una aceleración uniforme y constante en la expansión que no tendría fin.

d 2 ρ  k ; esto supone que hay una deceleración uniforme y constante que llevaría a un Big Crunch al cabo de cierto tiempo. No hay nada que nos indique cual debe ser la forma y final del Mundo, al menos por ahora. Vamos a plantear las diferentes ecuaciones: Partimos de la ecuación de la híper esfera M:

ρ 2  x12  x22  x32  x42 ; diferenciando, queda:

2d  2 x1dx1  2 x2 dx2  2 x3dx3  2 x4 dx4 ; o bien:

dρ 

x1dx1  x2 dx2  x3 dx3  x 4 dx4

d ρ 2

x12  x22  x32  x42



, volviendo a diferenciar:

x12  x22  x32  x42 dx1   x1 d 2 x1  dx2   x 2 d 2 x2  dx3   x3 d 2 x3  dx4   x4 d 2 x 4 2

2

x

2 1

 x 22  x32  x42

2

2



2

3  x 4 dx 4 x1dx1  x2 dx2  x3 dx3  x 4 dx4  x1dx1  x22 dx22 x3 dx 2 2



x

2 1

x1  x 2  x3  x 4

 x 22  x32  x 42



2

4.4.1. Análisis de la percepción de la realidad Para explicar esto vamos a referirnos a la Figura 21.

Sea un observador O y una estrella E que se aleja del observador a una velocidad espacial v, tal como se indica en la Figura 21. Ambos pertenecen a la misma Realidad y por tanto ambos se desplazan en el eje de los tiempos a la misma velocidad, esto significa que el tiempo de ambos es el mismo, es decir, cuando para el observador O transcurre un tiempo T2 – T1, transcurre el mismo tiempo para la estrella E, posiciones por pares O1/E1, O2/E2, O3/E3,…. Cuando ambos, observador y estrella, se encuentran en el tiempo T1, la estrella comienza a emitir rayos luminosos R1. El observador y la estrella están separados en



ese instante una distancia S0 – S1

y el observador “no tiene constancia” de la

existencia de la estrella, pues el primer rayo luminoso enviado por ella (R1) aún no ha llegado al observador. La estrella sigue emitiendo rayos luminosos hasta llegar al tiempo T2 en el que envía el último rayo el R2. Durante este tiempo la estrella ha pasado desde la posición espacial S1 a la posición espacial S2, o lo que es lo mismo desde la posición espacio-temporal E1 a la posición espacio-temporal E2. Mientras, el observador, ha pasado desde la posición espacio-temporal O1 a la posición espaciotemporal O2, sin que vea la estrella aún. Cuando le llega al observador el primer rayo de luz y puede detectar la existencia de la estrella, el observador se encuentra en la posición espacio-temporal O3 y la posición espacio-temporal real de la estrella es la E3. Cuando el observador ve el último rayo de luz enviado por la estrella se encuentra en la posición espacio-temporal O4 y la estrella en la posición real espacio-temporal E4. Descrito el experimento veamos que conclusiones se sacan de él. En primer lugar lo que ya venimos diciendo, que solo se pueden detectar objetos que emiten señales de algún tipo y que se desplacen en el eje de los tiempos a la misma velocidad que el observador. Así vemos que si la estrella, y en consecuencia el rayo de luz, no viajan en el eje de los tiempos X4 a la misma velocidad que el observador, no habrá un punto espacio-temporal común y, por tanto, no podrá detectar la señal. Si la estrella viaja en el eje de los tiempos a mayor velocidad que el observador el rayo también lo hará y llegará a la posición espacio-temporal O3 antes que haya llegado el observador, con lo cual este no podrá detectar su presencia. Si en cambio viajan en el eje de los tiempos a menor velocidad, el observador pasará por la posición espacio-temporal O3 antes que llegue el rayo y tampoco podrá detectarlo. Otro problema que se ve gráficamente en la Figura 21 es la diferencia entre las posiciones detectadas o “aparentes” para el observador y las posiciones reales. Así tenemos que cuando llega el primer rayo de luz al observador en la posición O3 y efectúe las medidas de distancias, para él la estrella se encuentra a una distancia S0 – S1, la misma que tenían cuando la estrella emitió su rayo de luz y para el observador la estrella se encuentra en la posición espacio-temporal E’3. Cuando recibe el último rayo de luz el observador mide la distancia a la estrella y para él esta vale S0 – S2, la misma que tenían cuando el rayo R2 salió de la estrella y para él la posición espaciotemporal de la estrella es la E’4 Vamos a realizar algunos cálculos, para ello vamos a distinguir entre dos situaciones la REAL y la APARENTE. La situación REAL es la que corresponde a las posiciones reales de los objetos en el espacio-tiempo y la APARENTE es la medida por el Observador.

La velocidad a la que se acercan los rayos de luz al observador es c – v, ya que nuestro Modelo considera que la velocidad de la luz no es constante y está afectada por la velocidad del foco.

SITUACIÓN REAL: Para la Estrella E:

T2  T1 

S  S3 S1  S 2 ; T3  T2  2 v v

T4  T3 

S3  S 4 v ;

Para el Observador O:

T3  T1 

S 0  S1 S  S2 ; T4  T2  0 cv cv

De estas ecuaciones deducimos que:

T3  T1 

S1  S 3 S 0  S1  ; v cv

Por otra parte podemos escribir para el observador: S 0  S 2  (c  v)  (T4  T2 ) S 0  S1  (c  v)  (T3  T1 );

y restando miembro a miembro, queda:

S1  S 2  (c  v)  T4  T3   T2  T1   c  T4  T3   T2  T1   v  T4  T3   v  T2  T1 ;

Pero de la 1ª ecuación de la Estrella tenemos que: v  T2  T1   S1  S 2 ; sustituyendo nos queda: S1  S 2  c  T4  T3   T2  T1   v  T4  T3   S1  S 2 ; y operando y despejando T4-T3

queda finalmente:

T4 T 3

T2  T1 [4-7]; esta ecuación recuerda a alguna de la teoría de la relatividad, la v 1 c

diferencia es que aquí no hay límite para las velocidades y además se cumple para todo tipo de señales, no solo las luminosas, pues el significado general de cada término es el siguiente: T4 – T3 = al tiempo medido por el observador del intervalo de tiempo en el que ocurre el fenómeno observado. T2 – T1 = intervalo de tiempo en el que ocurre el fenómeno para un observador estático respecto al objeto observado v = velocidad relativa del movimiento del objeto respecto al observador, siendo (+) cuando se aleja y (–) cuando se acerca al observador. c = es la velocidad de la señal emitida, sea cual sea esta, en el medio. Estas ecuaciones se cumplen siempre ya que están basadas en la situación REAL. Sería interesante hacer un experimento con señales muy lentas comparadas con las

del movimiento del objeto, es decir en las que v/c sea significativo para ver como se cumplen las diferencias de tiempos entre el del objeto y el observado.

SITUACIÓN APARENTE: Esta situación solo puede plantearse para el Observador O, puesto que es el único que hace las observaciones y la situación puede ser diferente dependiendo de las circunstancias del experimento u observación. Vamos a considerar varias a)

Situación de un experimento de laboratorio, donde de antemano, el observador, conocemos las distancias, las velocidades por ser controladas por él y el resto de parámetros que intervienen en el experimento. En este caso estamos ante un experimento en el que la situación corresponde a la REAL y no hay nada de mediciones APARENTES.

b)

Situación en las que el observador no puede medir distancias ni velocidades, sino otros parámetros a través de los cuales intenta determinar, de forma indirecta, el resto. Esta situación se presenta en la observación del Universo, Galaxias, agujeros negros, etc. Esta situación puede presentar diversas formas, como por ejemplo:  Que el observador pueda determinar de forma precisa cual es la velocidad real relativa, por ejemplo usando el efecto Doppler. En este caso estaríamos ante una Situación REAL, como después demostraremos.  Que el observador no pueda determinar la velocidad real relativa, pero determine las distancias entre el objeto y el observador, por ejemplo midiendo el paralaje en dos posiciones simétricas de la orbita terrestre. En este caso estaríamos ante una situación Aparente, y de para determinar el valor REAL de los parámetros habrá que recurrir a ecuaciones establecidas para el experimento específico.

Para demostrar lo que he comentado, voy a comenzar planteando la situación dos de las mencionadas dentro del punto b). Es decir, el observador no puede medir la velocidad y lo que determina son las distancias. En este caso al determinar la distancia a la Estrella, solo puede hacerlo cuando le llegue el primer rayo R1, pues hasta entonces no tiene noticia de la existencia de la estrella. Cuando le llega el rayo este ha sido enviado desde la posición espacio-temporal E1, cuya distancia espacial es S0S1 por eso al determinar la distancia a que se encuentra determina que la estrella se encuentra en la posición espacio-temporal E’3, que corresponde a una distancia espacial S0S1 pero en el tiempo T3, que es cuando recibe la luz. Igualmente al

determinar la distancia a la que se encuentra la estrella cuando envía el último rayo, el observador determina que se encuentra en la posición espacio-temporal E’4, que corresponde a una distancia espacial S0S2, la misma a la que se encontraba del observador cuando envió el último rayo, pero en el tiempo T4, que es cuando recibe esta señal. Por tanto con toda esta información el Observador determina

los

siguientes valores: Velocidad aparente de desplazamiento de la Estrella: v a 

S1  S 2 T4  T3

Instante aparente en el que la Estrella lanzó el primer rayo R1: T1a  T3 

S 0  S1 [4-8] c  va

Instante aparente en el que la Estrella lanzó el último rayo R2: T2a  T4 

S0  S2 [4-9] c  va

Aplicando la ecuación [4-7] obtenida antes en este punto y que dice: T4 T 3

T2  T1 ;y v 1 c

sustituimos el valor de T4 – T3 en la ecuación de la velocidad aparente, nos queda: va 

S1  S 2  v  v  1   [4-10]; es decir la velocidad aparente es menor que la T2  T1  c v 1 c

velocidad real. De esta ecuación podremos determinar el valor de la velocidad real en función de la aparente. Para ello despejando y ordenando la ecuación anterior, queda: v 2  cv  cva  0 ; cuya solución es: v 

c  c 2  4cva 2

; en este caso será la solución obtenida con el signo

menos antes de la raíz, ya que el signo más sería para una velocidad relativa de desplazamiento del objeto respecto al observador superior a la velocidad de desplazamiento de la señal en el medio. De la fórmula [4-10] anterior podemos sacar algunas conclusiones como es que si la velocidad de alejamiento del objeto respecto al observador es igual a la velocidad de la señal en el medio, es decir, v = c, entonces la velocidad aparente es cero, esto viene a decir que si la velocidad relativa del objeto respecto al observador es la de la señal en el medio, el observador no podrá detectar nunca la señal emitida, o lo que es lo mismo, no habrá un punto espacio-temporal común entre el observador y la señal emitida. En cambio si el objeto se acerca al observador, la velocidad relativa puede adquirir cualquier valor, no existiendo límites al valor de la misma. Así si la velocidad del objeto es –c, el signo menos indica que se acerca al observador, ver convenio de

signos establecido más arriba, en este caso la velocidad aparente para el observador valdrá -2c y si v = -5c, la velocidad aparente será -30c, siempre existe. Es importante no confundir la velocidad aparente del objeto con la velocidad relativa de la señal, ya que esta, tal y como establecimos al principio de este punto, es la velocidad de la señal en el medio afectada por la velocidad relativa del objeto. Las velocidades que forman parte de este experimento son: v = velocidad relativa real del objeto respecto del observador va = velocidad aparente del objeto medida por el observador c = velocidad de la señal en el medio c – v = velocidad relativa de la señal respecto del observador Una vez que podemos determinar cual es la velocidad relativa real del objeto, bien por que la podemos medir por medio del efecto Doppler, tal y como se decía en el punto primero del apartado b), o bien porque podemos calcularla con la ecuación [4], ya si podemos calcular con exactitud los tiempos en los que ha ocurrido el fenómeno de envío del primer rayo y del último rayo. Para ello utilizando las ecuaciones [2] y [3], y sustituyendo la velocidad relativa aparente (va) por la velocidad relativa real (v), tendremos:

T1a  T3 

S0  S1 S S  T3  0 1  T3  (T3  T1 )  T1 ; y c  va cv

T2a  T4 

S0  S 2 S  S2  T4  0  T4  T4  T2   T2 c  va cv

Que son los tiempos REALES en los que ocurre el fenómeno. Con estos tiempos REALES el observador puede deducir cuales son las posiciones REALES del objeto cuando ha ocurrido el fenómeno y proyectar cual es la posición REAL estimada para el objeto en cada momento, como si pudiera tomar una fotografía fija. Así tendremos: Distancia entre el observador y el objeto cuando este envió el primer rayo es la distancia medida por el observador y es S0 – S1 Distancia entre el observador y el objeto cuando este envió el último rayo, es la distancia medida por el observador y es S0 – S2 Como los tiempos son también los correctos, el observador tiene los valores espaciotemporales de las posiciones de E1 y E2 Como también conoce la velocidad REAL relativa de la estrella, puede calcular cual debe ser la posición espacio-temporal de la estrella.

Con esto tenemos dos Fotos, una es la “Aparente” que es la de nuestra visión de la realidad y otra que es deducida pero es la “Real”, las ecuaciones de paso de una a otra son las que hemos establecido anteriormente. Salvo que se trate de un experimento de laboratorio en donde se controlan todos los parámetros con lo que se tiene una visión REAL de los acontecimientos, el resto de nuestras percepciones son APARENTES, por lo que sacar conclusiones sobre las mismas puede inducir a error.

4.5. Cálculo de la Velocidad Relativa de Separación de Dos Cuerpos Celestes Supongamos una Realidad M1, que se encuentra en un estadio de desarrollo de tiempo t1, en ella tenemos dos cuerpos celestes el A y el B que están separados una distancia AB, pero cada uno de ellos se encuentra a su vez a diferente distancia del centro O, que es el centro de las dimensiones espaciales de esa Realidad. Ver Figura 22.

Con el fin de que los cálculos que realicemos sean lo más genéricos posibles, no hemos tomado la posición de los cuerpos A y B en ninguna posición privilegiada

especial, por eso AO # BO y distinto a su vez del radio máximo de la expansión en esa Realidad. Entre los cuerpos A y B y el centro O definen un plano por el que efectuamos un corte, que proporciona la circunferencia C1, de centro el punto O de radio OA y la circunferencia C2 de centro O y de radio OB. Los vectores de la expansión espacial que pasan por le centro O y por cada uno de los cuerpos A y B forman un ángulo en el plano de corte que llamamos β. Si transcurre un tiempo t2 – t1, los cuerpos celestes se habrán desplazado por efecto de la expansión espacial dentro de la realidad M1, pasando a otras posiciones que llamaremos A’ y B’ respectivamente, pero el incremento de la distancia OA’ – OA y el incremento OB’ – OB es el mismo puesto que la velocidad de expansión espacial es la misma y el incremento de tiempo es también el mismo. Ver Figura 23, donde además se ha simplificado la representación y así poder poner en el plano del papel, el plano de corte antes mencionado.

En la Figura 23, tenemos representado lo que ha ocurrido respecto con las posiciones de los cuerpos celestes tras un lapso de tiempo de t2 – t1 En negro tenemos las posiciones de los cuerpos en el instante t1 y en rojo las posiciones de los cuerpos en el instante t2.

AB   AB ; que sería la velocidad REAL de separación t 2  t1

Lo que queremos calcular es: de ambos cuerpos.

Para calcular esta velocidad vamos a resolver los triángulos AOB y A’OB’, de los que conocemos dos lados y el ángulo formado por ellos.

 AB 2   AO 2  ( BO)2  2   AO  ( BO)  cos  ; [4-11]  AB2   AO2  BO2  2   AO  BO  cos  ; pero por otra parte tenemos que: AO  AO  Vesp  t 2  t1  y

B O  BO  Vesp  t 2  t1 

Si hacemos t2 = t1 + Δt y sustituimos este valor en la ecuación queda:

 AB 2  AO  Vesp t 2  BO  Vesp t 2  2  AO  Vesp t  BO  Vesp t  cos  ;  AB 2   AO2  BO2  2Vesp t 2 1  cos    2Vesp t  AO  BO1  cos    2 AO  BO  cos  O lo que es lo mismo:

 A' B'2   AB2  2Vesp t 2 1  cos    2Vesp t OA  OB1  cos   ; de donde:

 A' B'2   AB2   A' B' AB A' B' AB  2Vesp t 2 1  cos    2Vesp t OA  OB1  cos   Si dividimos ambos miembros entre Δt, queda:

AB   AB  A' B' AB  2Vesp2 t 1  cos    2Vesp OA  OB1  cos   t Si tomamos el límite cuando Δt → 0, queda, por definición que:

lim

AB   AB d  AB   V AB ; t dt

y

A' B'  AB; por lo que sustituyendo y simplificando

queda:

d  AB  2  AB   2Vesp OA  OB1  cos   ; o bien: dt VAB  Vesp

OA  OB 1 cos   ; [4-12] AB

De la ecuación [4-11] tenemos que:

 AB2   AO2  ( BO) 2  2   AO  ( BO)  cos  ; o bien aquí tendremos que: 1  cos   1 



cos  

AO 2  BO 2  AB 2 2OAOB 



y de

AO 2  BO 2  AB AB 2  AO 2  BO 2  2 AOBO AB 2  OA  OB    ; 2OAOB  2 AOOB  2OAOB 

sustituyendo este valor en la ecuación [4-12] queda:

2

V AB  Vesp

AB 2   AO  OB  1  2OAOB  AB OA  OB 2

ahora bien si llamamos Δt al tiempo

trascurrido desde que nace la estrella A, hasta que nace la estrella B, tendremos que: 𝑂𝐴 = 𝑉𝑒𝑠𝑝 × 𝑡1 𝑂𝐵 = 𝑉𝑒𝑠𝑝 × (𝑡1 − ∆𝑡); sustituyendo estas ecuaciones en la anterior y simplificando queda: 𝑉𝑒𝑠𝑝 ∆𝑡 2 2𝑉𝑒𝑠𝑝 𝑡1 − 𝑉𝑒𝑠𝑝 ∆𝑡 𝑉𝐴𝐵 = 𝑉𝑒𝑠𝑝 × (𝐴𝐵) × [1 − ( ) ]× 2 𝐴𝐵 2𝑉𝑒𝑠𝑝 𝑡1 (𝑡1 − ∆𝑡) De donde la constante de Hubble vale: 𝑉𝑒𝑠𝑝 ∆𝑡 2 2𝑡1 − ∆𝑡 𝐻 = [1 − ( ) ]× 𝐴𝐵 2𝑡1 (𝑡1 − ∆𝑡) Como se puede ver esta constante no es realmente constante, dependiendo de la distancia y de la edad de los objetos que se separan. Podemos simplificar haciendo que Δt = 0, es decir, que la edad de los objetos de los que medimos su velocidad de separación sea la misma, las ecuaciones anteriores quedarán así:

V AB 

AB Vesp   AB ; es decir, la velocidad relativa de separación de dos cuerpos t1 OA

celestes es proporcional a su distancia de separación y la constante de Hubble valdrá

H

Vesp AO

que si es constante para el observador que siempre tiene la misma edad:

OA, pero en cualquier caso la constante de Hubble es función de AO, es decir, de la edad del objeto y del observador.

4.6. Ecuaciones de la Dinámica En la Figura 24 tenemos una masa m, que sigue una trayectoria espacio temporal t. Esta masa m pertenece a una Realidad α, es decir, a una realidad cuya trayectoria de desplazamiento forma con el eje de los tiempos un ángulo α. Ver la definición dada en el punto 4.3.- Definición matemática de la Realidad. La representación gráfica de la Figura 24, así como las ecuaciones que vamos a desarrollar a continuación corresponden al punto de vista de un observador O, perteneciente a la misma Realidad α que la masa m. En consecuencia, el único movimiento que puede apreciar es el movimiento relativo de la masa respecto a él. No percibe, ni tiene en cuenta, la velocidad de desplazamiento espacial propia de la Realidad, de tenerlo en cuenta estaríamos estableciendo las ecuaciones ABSOLUTAS

y deberían ser para un observador O situado en un punto tal como el origen de espacios y tiempos del MUNDO y no es eso lo que pretendo ahora. La trayectoria espacio-temporal t de la Figura 24, se compone de un desplazamiento espacial S, pasando de A a B’, y un desplazamiento temporal pasando desde X 40 a X42. En el espacio-tiempo pasa del punto A al B. Sea S   X 4  la ecuación que

representa la trayectoria t en unas coordenadas espaciotemporales del observador O, donde:  S = espacio recorrido  X4

=

tiempo

transcurrido Por definición de velocidad espacial: v e 

dS ; pero de la dt

ecuación [4-1] del punto 4.3 anterior

tenemos

X 4  f   t ; o lo que es lo

dt 

mismo

sustituyendo este valor en la ecuación anterior, queda:

ve  f 

dX 4 ; f

dS ; ahora bien dX 4

dS    X 4   tg ; por lo que finalmente queda: dX 4

ve  f  tg [4-13] Es decir, para un observador perteneciente a la misma Realidad, la velocidad espacial relativa de un objeto es igual a la velocidad de desplazamiento en el eje de los tiempos de esa Realidad, multiplicado por la tangente trigonométrica del ángulo formado por la tangente geométrica a la trayectoria en el punto y el eje positivo de los tiempos, medido por el observador.    La velocidad absoluta para el observador O es: V  f  i  f  tg j [4-14]

La cantidad de movimiento de la masa m valdrá en valores absolutos:

    P  m  V  mf i  mf tg j de donde podemos obtener el modulo del vector cantidad

de movimiento:  P  mf 1  tg 2 ; de donde se puede considerar como masa dinámica a:

md 

 P f

 m 1  tg 2 [4-15] en esta ecuación tenemos que la masa dinámica varia

con la velocidad sin necesidad de establecer condicionantes a la velocidad de la luz. Hemos considerado una trayectoria curva, lo cual significa que la velocidad es variable o bien que existe una aceleración y, por tanto, una fuerza. El valor de dicha fuerza vendrá dado por:   dP d (mf )  d mf tg   d (mf )  d mf tg   F  i  j  f i  f j dt dt dt dX 4 dX 4

desarrollando

esta

ecuación:

  df    df dm dm d tg    j F   f2  f  m   i   f2  tg  f  m  tg   f2 m dX 4   dX 4 dX 4 dX 4   dX 4

[4-

16] Esta es la expresión más genérica de la fuerza que puede actuar sobre un cuerpo. Incluye términos para el caso de variación de fα lo que significaría un cambio de Realidad, es decir, un viaje en el tiempo. También se tiene en cuenta las fuerzas que se generan por variación de la masa. Si consideramos el caso en el que m = cte. y f α = cte., la expresión de la fuerza se reduce a:

  d  f  tg   dv  d tg   F  0 i  f 2  m j m j  m e j ; es decir, fuerza igual a masa por dX 4 dX 4 dt f aceleración espacial relativa al observador, como ya sabíamos por mecánica clásica. Voy a determinar la expresión del incremento de energía por la acción de una fuerza. Si consideramos la expresión más general del desplazamiento como:    dS  dX 4 i  ds j ; el trabajo realizado = energía incrementada, será: 1  1   ds ds ds E1  E0  F  dS   f 2 dm  f   m  df  f 2  tg dm  f   m  tg  f 2  m d tg  dX 4 dX 4 dX 4  0 0 ds  tg ; y que en el instante inicial 0 corresponden los valores de considerando que dX 4





m,  y fα sin ningún subíndice adicional; sustituyendo e integrando queda:











1 1 E1  E0  f2 1  tg 2  m1  m  m 1  tg 2   f 1  f   m  f2 tg 21  tg 2 2 2 17]



[4-

Esta es la expresión más general del incremento de energía entre dos estados 0 y 1 relativos al observador O. Vamos a ver algunas simplificaciones. Si en el sistema no hay variación de velocidad de desplazamiento en el eje de los tiempos, ya que entre otras cosas esto supondría viajar entre Realidades y el observador no podría detectar el objeto en cuanto cambiase de Realidad, tendremos que fα1 = fα, por lo que quedaría:





E1  E0  f 2 1  tg 2  m1  m 





1 m  f 2 tg 21  tg 2 ; que es una ecuación muy 2

conocida, ya que puede expresarse como:









1 1     E1  E0   f 2 1  tg 2  m1  m  f 2 tg 21    f 2 1  tg 2  m  m  f 2 tg 2  ; lo que 2 2     podemos poner en general como:





1   E   f 2 1  tg 2  m  m  f 2 tg 2  ; en donde el primer sumando representa la 2   conversión de masa en energía y el segundo sumando es la energía cinética del cuerpo. Hemos llegado a ecuaciones parecidas a las de la teoría de la Relatividad, pero sin tener que limitar la velocidad de la luz en el vacío, además esta ecuación de conversión de la masa y energía, establece que la velocidad del cuerpo también incrementa la energía, ya que la formula sería: E  m  f 2  m   f  tg  ; donde el primer sumando es el equivalente relativista de 2

mc2, solo que en este caso es m x fα2, y el segundo sumando es m x ve2 . Este segundo sumando lo que nos dice es que una masa m, al convertirse en energía no solo es la energía correspondiente a la masa en reposo, sino que si tiene una velocidad ve, su transformación en energía es superior a la correspondiente a la masa en reposo, y adicional a la energía cinética. Esto debería ser considerado en los cálculos a realizar en los aceleradores de partículas. Es importante volver a señalar que, todo lo hasta aquí indicado, es lo que percibe el observador O de la Realidad, pero cualquier otro observador de la misma Realidad, puede medir y cuantificar los mismos fenómenos con parámetros diferentes.

4.7. Visión de los Cuerpos Celestes Vamos a analizar y a establecer las ecuaciones que gobiernan la visión de cuerpos celestes para un observador. Los principios de los que partimos son:

 Solo pueden ser susceptibles de ser vistos aquellos cuerpos celestes o fenómenos que emiten una señal susceptible de ser detectada y que pertenezcan a la Realidad del observador, es decir, que el cuerpo o fenómeno se desplace en el eje de los tiempos a la misma velocidad que el observador.  La velocidad de la señal emitida por el cuerpo o fenómeno que queremos observar, está modificada por la velocidad del objeto que la produce.  Solamente detectaremos aquellas señales que tengan un punto espaciotemporal común con el observador.  Dado que no existe el “éter” la señal no sufrirá arrastres al desplazarse por el vacío.

Para explicar lo que queremos decir, vamos a fijarnos en la Figura 25. Supongamos una Realidad α, en la que hay una estrella B que emite luz y un observador A. Entre estos dos puntos A y B y el origen de la dimensiones O definen una plano espacial que es el representado en la Figura 25 coincidiendo con el plano del papel. Tanto la Estrella B como el observador A están sometidos a la expansión espacial de la Realidad α a la que pertenecen (Vesp). Todo lo representado en la Figura 25 corresponde a un instante T de la expansión. Si un rayo de luz emitido ahora en ese instante T por la Estrella queremos ver si será detectado por el observador A en un futuro, veamos que debe ocurrir. Para que pueda existir un punto espacio-temporal

común entre el rayo de luz emitido por la Estrella y el observador A debe ocurrir que la componente de la velocidad del rayo de Luz y del observador A, perpendicular a la recta AB que los une, debe tener el mismo modulo, dirección y sentido para ambos. En el caso del observador A esta componente es la componente de la velocidad espacial de expansión de la Realidad, es decir, es la componente de la velocidad Vesp en la dirección perpendicular a la recta AB que une los objetos, esta componente es “v” en la Figura 25. Si trasladamos esta velocidad v a la estrella B, todas aquellas velocidades de la luz que vayan desde la estrella B hasta cualquier punto de la recta “r” tendrán como componente en la dirección perpendicular a la recta AB que une los objetos una velocidad “v” tal y como deseamos. No obstante pueden darse multitud de situaciones ya que hay infinitos de vectores que partiendo de B lleguen a la recta “r”. Vamos a estudiar dos casos. El caso 1 representado por los vectores en azul en la Figura 25 y el caso 2 representado por los vectores en rojo en la Figura 25. Sea un rayo de luz L2 que parte de la estrella B, si lo componemos con la velocidad espacial de expansión de la Estrella B que es la fuente, tenemos que finalmente el rayo de luz seguirá la velocidad representada por el vector azul R2. Sea ahora el rayo de luz L1 que parte de la estrella B, si lo componemos con la velocidad espacial de expansión de la estrella B que es la fuente, tenemos que finalmente el rayo de luz seguirá la velocidad representada por el vector rojo R1. Ambas situaciones son diferentes, así si se cumplen las condiciones para que la composición de velocidades corresponda con el rayo rojo R1, entonces en un futuro el observador A interceptará al rayo de luz y podrá verlo. Pero si las condiciones hacen que la composición de velocidades corresponda al rayo azul R2, dado que la dirección de este vector es divergente con el de expansión del observador A, que es OA, nunca podrán encontrarse el rayo de luz y el observador, por lo que el observador nunca podrá detectar la existencia de la estrella B. Es cierto que lo que se ha señalado aquí solo tiene una solución ya que tanto el valor de la velocidad espacial de expansión como la velocidad de la luz en el vacío son valores fijos y conocidos, por lo que la solución es univoca. Pero lo que hemos querido indicar aquí es hacer ver que puede haber situaciones entre el observador y la estrella a observar que pueden hacer que no sea posible ese punto espacio-temporal común de la señal y el observador. O lo que es lo mismo que existe una frontera a las visiones del observador, que nunca podrá ver toda la Realidad a la que pertenece. A continuación vamos a establecer cuál es esa frontera de visiones. Para ello voy a estudiar un caso particular en primer lugar y después se estudiará el caso más general.

4.7.1. Frontera de las visiones: Caso particular Este caso consiste en suponer que tanto el observador como el objeto a ser observado y que emite señales observables tienen la misma edad, es decir, se formaron en el mismo instante de la explosión, esto significa que pertenecen a una misma esfera de su Realidad, o a un mismo círculo del plano. Ver Figura 26 Como puede verse en la Figura 26, OA = OB, como condición de que ambos cuerpo y observador tienen la misma edad. Por otra parte, y según se había explicado en el punto anterior, el vector proyección de la velocidad del observador B sobre la recta  perpendicular a la línea que une A y B es el vector v y que debe ser el mismo que la proyección sobre el mismo eje de la velocidad del rayo de luz enviada por el objeto A, como se ha dibujado en la Figura, donde la velocidad del rayo de luz que llega al   observador es el vector R1 , que es el vector resultante de sumar el rayo de luz L1 y el vector de la velocidad de desplazamiento espacial de A, es decir:    R1  L1  Vesp [4-18], para este caso particular siempre el rayo de luz sin estar influido por la velocidad espacial de desplazamiento está dirigido en la dirección de la recta que une A y B, sea cual sea la posición elegida para A y B. Para ver cuál es la frontera de las visiones para este caso particular voy a resolver el triángulo formado por los tres vectores que hemos sumado en la ecuación [4-18].

Para ello comencemos por calcular el valor de los ángulos del triángulo AOB, donde conocemos el ángulo formado por AO y BO que es β, pero como AO = BO los ángulos OAB y el OBA son iguales y de valor:

      OAˆ B  OBˆ A   ; de donde obtenemos que:      2 2 2 2 El ángulo en el vértice A del triángulo que queremos resolver, que es el formado por

     los vectores R1 ; L1 ; Vesp , valdrá:   ; por lo que los otros dos ángulos del 2 triángulo, los ángulos δ y γ, valdrán:  

  2

;   

  2

          ; 2  

aplicando el teorema del seno de triángulos, tenemos que: Vesp

   sin    2  



c

sin    

; donde c es el módulo de la velocidad de la luz en el vacío

y Vesp es el módulo de la velocidad espacial de expansión. Si operamos la igualdad anterior tenemos: Vesp



 cos   2 



c

sin    

Vesp

; cos cos



 sin  sin

2





c ; sin  cos  cos  sin 

dividiendo

2

ambos miembros de la igualdad entre cos ϑ; queda: Vesp cos

 2

tg 

 tg sin





c ; despejando tg ; tendremos: sin   tg cos 

2

Vesp sin   c cos Vesp cos   c sin



2Vesp sin

2 



2

Vesp cos

2

 2

 2

cos

 2

 Vesp sin

 c cos 2

 2

 2

 c sin





2

     2Vesp sin  c  cos 2 2  2 2 2            Vesp 1  sin 2   Vesp sin 2  c sin Vesp   2Vesp sin  c  sin 2 2 2 2 2    2Vesp sin



cos



 c cos



Operando queda finalmente: cos

tg 

 2

1 2 sin

 2



c

 sin



; teniendo en cuenta que según se puede ver en la Figura

2

Vesp

26, la frontera entre que se pueda o no ver un objeto es cuando  = 0, lo que supone

tg  = 0, para que eso ocurra o bien β = π, lo que depende de si Vesp es mayor o no que c para que el observador B pueda ver en algún momento de su historia al objeto A, la otra opción es que el denominador sea infinito y esto solo puede ocurrir si 2 sin

 2



c

; de donde sacamos que la frontera de las visiones se encuentra para:

Vesp

 c   [4-19]  2 V esp  

  2  arc sin

El área del casquete de la esfera limitado por el ángulo sólido 2β, valdrá: Scasq = 2 x π x (OA)2 x (1-cos β) y la superficie esférica valdrá: Sesf = 4 x π x (OA)2; de donde tenemos que el tanto por ciento que seremos capaces de percibir al final de los tiempos cuando OA = infinito será:

2 OA 1  cos   1  cos   ; pero 2 2 4 OA 2

% =

1  cos   2 sin 2

 2

; pero

sin

 2



c ; 2Vesp

sustituyendo:  c  %  sin   2  2Vesp  2



2

[4-20]

este es el tanto por uno de cuerpos celestes que

podremos percibir como máximo de nuestra propia Realidad.

4.7.2. Frontera de las Visiones: Caso General Este caso es una generalización del anterior en el que el objeto a ser observado A y el observador B no tienen la misma edad, es decir, el radio OA ǂ OB. Ver Figura 27. En la Figura se ha representado el objeto A que tiene más edad que el observador B, por eso OA > OB. La representación es coherente ya que sea cual sea la posición espacial del objeto y del observador las líneas OA y OB determinan un plano, por el que damos un corte. Este plano se ha hecho coincidir con el plano del papel. Luego de han rotado los ejes coordenados para que el de las X1 pase por el observador, de esta forma tenemos el dibujo de la Figura 27.

El ángulo formado por OA y OB lo llamamos, igual que antes, β que será el ángulo a determinar en función de otros elementos para obtener la frontera de las visiones. De nuevo una de las condiciones que hay que imponer para que pueda tener lugar la detección del objeto por el observador, es que la componente de la velocidad de la señal enviada (la resultante de la suma vectorial del vector velocidad de la señal más el vector de la velocidad espacial de expansión del objeto A) en el eje perpendicular a la línea de unión de A y B sea la misma que la componente sobre el mismo eje de la  velocidad espacial de expansión del observador B, esta componente se llama v en la Figura. Esta es una condición necesaria pero no suficiente, pues como puede verse en  la Figura 27, en este caso, la dirección de la velocidad resultante de la señal R1 , es divergente con la dirección de la expansión del observador B, que es el eje X 1, por lo cual nunca podrá alcanzarlo y, por tanto, nunca podrá detectar el observador B al objeto A.

   Para ello vamos a resolver el triángulo formado por los vectores R1 ; L1 ; Vesp .   Así tenemos que el ángulo del mencionado triangulo, formado por R1 y Vesp , que hemos llamado δ en la Figura, vale      , igual que en el caso anterior. Si ponemos la condición de la igualdad de las proyecciones, es decir, la igualdad de v, tenemos:

 v  Vesp cos cos ; de entre estas dos ecuaciones obtenemos: R1  Vesp [4-21]  cos(   ) v  R1 cos(   )    Por otra parte de la resolución del triangulo formado por los vectores R1 ; L1 ; Vesp ,

tenemos: 2 c 2  R12  Vesp  2R1Vesp cos

R1 

; o bien:



2 2 2Vesp cos   4Vesp cos 2   4 Vesp  c2

2





2 R12  2R1Vesp cos  Vesp  c2  0



; de donde:

2  Vesp cos   c 2  Vesp sin 2  [4-22]

Si igualamos entre la ecuación [4-21] y la [4-22], queda:

 c cos  cos    Vesp cos(   ) 

2

2     sin 2  ; o bien:  cos  cos    c   Vesp  cos(   )   

2

   sin 2  [4 

23] Ahora bien las condiciones frontera de las visiones ocurre cuando el rayo de luz resultante R1, sale paralelo a la dirección de la expansión del observador B, es decir, cuando  = 0, si aplicamos este valor en la ecuación [4-23], queda:

1  cos  

2

 c   Vesp 

2

   sin 2  ; ya que si  = 0, entonces δ = β, operando y  

simplificando queda:  c 1  cos   2 cos   sin     Vesp  2

1  cos   2 sin 2 1 c sin   2 4  Vesp 2



finalmente: sin

2

 2

2

   ; o bien 1  cos   1  c  2  Vesp 

2

  ; pero como  

; sustituyendo en la ecuación anterior, queda:

2

  y extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros obtenemos  

 2



c ; que es la misma ecuación de los puntos frontera que 2Vesp

habíamos obtenido en el caso anterior, lo que indica que solo los objetos que estén dentro del ángulo sólido 2β, podrán ser detectados por el observador en algún momento de su historia, independientemente de la edad que tengan cada uno de ellos, objeto y observador. Vamos a calcular el % de volumen del espacio de la Realidad representa el volumen del sector esférico definido por el ángulo sólido 2β respecto al volumen total de la esfera.

2 3 Volumen del sector =  OA 1  cos   ; 3

4 3 Volumen de la esfera =  OA ; el % vendrá representado por: 3 2 2  OA3 1  cos   1  cos   c  3 %    ; 4 2  2Vesp   OA3 3

que

es

la

misma

fórmula

que

encontramos en el caso anterior considerando solo las superficies. Para la hipótesis de que c = Vesp la máxima cantidad de cuerpos celestes de nuestra propia Realidad que podríamos observar es del 25%, permaneciendo el 75% restante absolutamente indetectable para nosotros.