Valor en Riesgo en carteras de renta fija. Una comparación entre modelos empíricos de la estructura temporal* Pilar Abad D. Econometría y Estadística Universidad de Barcelona Diagonal, 690. 08034, Barcelona, Spain (and Universidad de Vigo) E-mail:
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Sonia Benito D. Análisis Económico II Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED) Senda del Rey 11 28223, Madrid, Spain E-mail:
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Resumen: En este trabajo se compara la precisión de diferentes medidas de Valor en Riesgo (VaR) en carteras de renta fija calculadas a partir de diferentes modelos empíricos multifactoriales de la estructura temporal de los tipos de interés (ETTI). Los modelos incluidos en la comparativa son tres: (1) modelos de regresión, (2) componentes principales y (3) paramétricos. Adicionalmente, se incluye el sistema de cartografía que utiliza Riskmetrics. Dado que el cálculo de las medidas VaR con dichos modelos requiere el uso de una medida de volatilidad, en este trabajo se utilizan tres medidas distintas: medias móviles exponenciales, medias móviles equiponderadas y modelos GARCH. Por consiguiente, la comparación de la precisión de las medidas VaR tiene dos dimensiones: el modelo multifactorial y la medida de volatilidad. Respecto a los modelos multifactoriales, la evidencia presentada indica que el sistema de mapping o cartografía es el modelo más preciso cuando se calculan medidas VaR (5%). Por el contrario, a un nivel de confianza del 1% el modelo paramétrico (modelo de Nelson y Siegel) es el que genera medidas VaR más precisas. Respecto a las medidas de volatilidad los resultados indican que en general no hay una medida que funcione sistemáticamente mejor que el resto en todos los modelos. Salvo alguna excepción, los resultados obtenidos son independientes del horizonte para el cual se calcula el VaR, ya sea uno o diez días.
JEL: E43, G11. Keywords: Value at Risk (VaR), modelos factoriales, gestión de riesgo. * Agradecemos a Antonio Díaz que nos haya facilitado la base de datos utilizada en este trabajo. Los autores agradecen la financiación del Ministerio de Ciencia y Tecnología a través de los proyectos SEJ2005-03753/ECO y BEC2003-03965.
1. Introducción El elevado número de tipos de interés del que depende la valoración de activos de renta fija hace que la gestión del riesgo de este tipo de activos sea prácticamente inviable si no se asume que la Estructura Temporal de Tipos de Interés (ETTI) puede ser representada a partir de un número reducido de variables o factores. Con el objetivo de reducir la dimensión de la ETTI se han desarrollado multitud de modelos factoriales en la literatura. Desde la óptica empírica y en un contexto univariante, destacan, siguiendo un orden cronológico, los trabajos de Bierwag y Kaufman(1977), Bierwag(1977), Khang(1979) y Babbel(1983). A partir de los modelos unifactoriales se desarrollan los multifactoriales que permiten explicar mejor las distintas formas que puede adoptar la ETTI. Los modelos multifactoriales pueden clasificarse según la metodología adoptada en: (1) modelos de regresión [véase Elton, Gruber y Michaely(1990), Navarro y Nave(1997) o Navarro y Nave(2001)], (2) modelos de componentes principales [véase Barber y Copper(1996) y Litterman y Scheinkman(1991)] y (3) modelos paramétricos [véase Chambers y Carleton (1988), Chambers, Carleton y McEnally(1988) y Gómez(1999)] La literatura ha mostrado que los modelos empíricos multifactoriales explican de forma adecuada el comportamiento de la ETTI y que en el área de inmunización de cartera ofrecen buenos resultados. Sin embargo, no existe en la literatura una clasificación global de todos estos modelos, ni en términos de inmunización de cartera ni en términos de la capacidad de los mismos para explicar los cambios en los tipos de interés. En estos términos, la literatura se ha centrado en comparar los modelos unifactoriales versus algunos modelos bifactoriales veasé por ejemplo, Elton, Gruber y Michaely (1990), Navarro y Nave (1997) y Benito (2004). Estos trabajos ponen de manifiesto que de cara a explicar el comportamiento de los tipos de interés los modelos bifactoriales superan netamente a los unifactoriales. Por el contrario, en el área de inmunización los resultados de la comparación del grado de cobertura de las medidas de duración unifactoriales versus medidas bifactoriales indican que los modelos unifactoriales son superiores o iguales a los multifactoriales. No obstante, Soto (2001) señala que la importancia de los cambios en el nivel de la curva de tipos, la gran
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amplitud de los horizontes de planificación y, sobretodo, la estructura de las carteras simuladas utilizadas en esta literatura han condicionado este resultado. En este contexto, el objetivo de este trabajo es proporcionar una comparación global de los modelos multifactoriales en tiempo discreto bajo dos criterios: según su capacidad para explicar los tipos de interés de la ETTI y en términos de su habilidad para evaluar el riesgo de una cartera de renta fija. En el segundo caso, se evalúan los modelos en función de la precisión de las medidas de Valor en Riesgo (VaR) construidas a partir de los mismos. Se utiliza el VaR como medida de referencia dado que se ha convertido en la principal herramienta para medir la exposición al riesgo de mercado. Para calcular el VaR se ha utilizado el enfoque paramétrico o de varianzas y covarianzas. Siguiendo este enfoque, la medida VaR se obtiene a partir de la varianza de la cartera, la cual, dado un modelo empírico factorial, viene dada por la matriz de varianzascovarianzas de los factores explicativos de la ETTI. La estimación de dicha matriz requiere el uso de alguna medida de volatilidad. En este trabajo se utilizan distintas medidas de volatilidad: medias móviles exponenciales, medias móviles equiponderadas y modelos GARCH, lo cual proporciona una nueva dimensión a la comparación. Por un lado se compara la habilidad de los modelos de factores de cara al cálculo del VaR. Por otro lado, se evalúa qué medida de volatilidad proporciona resultados más satisfactorios independientemente del modelo factorial utilizado. El resto del trabajo se estructura como sigue. En la sección 2 se describen los modelos multifactoriales empíricos propuestos en la literatura. En la sección 3 se muestra la evaluación de estos modelos en términos del ajuste en la estimación de los tipos de interés que forman la estructura temporal. El cálculo del VaR en el contexto de los modelos multifactoriales se describe en la sección 4. La sección 5 presenta la evaluación de los modelos multifactoriales en términos de la precisión de las medidas VaR calculadas a partir de los mismos. Además, se comparan las medidas de volatilidad empleadas en el cálculo de las medidas VaR. La última sección del trabajo presenta las principales conclusiones.
2. Modelos empíricos de la estructura temporal
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La alta correlación observada entre los tipos de interés a distintos plazos hace plausible asumir que el conjunto de tipos de interés que forman la estructura temporal puede ser explicado de forma adecuada por un número reducido de variables o factores, tal y como recoge la expresión (1):
Rt (0, m) ≈ g ( f1, f 2 ,... f k ; α )
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donde Rt (0, m ) representa el tipo de interés cupón cero a plazo m , f j es el factor j-ésimo, k el número de factores del modelo; g es una función genérica y α es un vector de parámetros. Bajo este supuesto se han desarrollado multitud de modelos en la literatura. Inicialmente surgen los modelos univariantes de Bierwag y Kaufman(1977), Bierwag(1977), Khang(1979) y Babbel(1983). Posteriormente, algunos trabajos señalan que estos modelos no explican adecuadamente el comportamiento del vector de tipos de interés que forman la ETTI y emergen los modelos multifactoriales capaces de capturar las distintas formas que puede adoptar esta curva. Según la metodología utilizada para su construcción, los modelos empíricos multifactoriales se pueden dividir en tres grandes bloques: (1) modelos de regresión [véase Elton, Gruber y Michaely(1990), Navarro y Nave(1997), Navarro y Nave(2001)], (2) modelos de componentes principales [Barber y Copper(1996) y Litterman y Scheinkman(1991)] y (3) modelos paramétricos [Chambers y Carleton(1988), Chambers, Carleton y McEnally(1988) y Gómez(1999)]. Sobre estos modelos multifactoriales, la literatura ha apuntado que, además de explicar de forma satisfactoria el comportamiento de la ETTI, muestran buenos resultados en la inmunización de carteras. Los modelos utilizados en este trabajo para llevar a cabo la comparativa son tres: (1) de regresión, (2) de componentes principales y (3) paramétricos. En el Cuadro 1 se resumen las principales características de estos modelos. Como puede observarse, todos estos modelos expresan los cambios en los tipos de interés en función de un conjunto reducido de factores o variables. En el modelo de regresión los factores explicativos son dos: los cambios en un tipo de interés a corto plazo y en el diferencial entre un tipo a largo y un tipo a corto plazo. En este trabajo hemos utilizado el tipo a 4 años como representativo de un tipo a corto plazo y el tipo a 12 años como representativo de un tipo a largo. Estos plazos han sido seleccionados utilizando la metodología propuesta por Elton, Gruber y Michaelly(1990).
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El modelo de componentes principales, igual que el modelo de regresión, establece que los cambios en los tipos de interés son una combinación lineal de un conjunto de factores. La diferencia es que en este modelo los factores explicativos de los cambios en la ETTI son los tres primeros componentes principales de los cambios en los tipos de interés. Generalmente se incluyen los tres primeros componentes principales porque, como se ha puesto de manifiesto en la literatura, estos explican de forma conjunta más del 95% de la variabilidad de los cambios en la ETTI1.
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Los componentes principales se obtienen calculando los vectores propios asociados a los valores propios o raíces características de la matriz de varianzas y covarianzas del vector de tipos de interés considerado. El análisis de componentes principales permite determinar qué parte de la varianza total de la matriz de varianzas y covarianzas de los tipos de interés es explicada por cada uno de los componentes principales.
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Cuadro 1. Modelos Empíricos de la ETTI Modelos
Especificación de los modelos
Variables o factores
dRt (0, m) = α 0 + α 1dRt (0, x) + α 2 d [ Rt (0, y ) − Rt (0, x)] + ε t
Rt (0, x) y Rt (0, y ) son los tipos de interés a plazos x e y, donde x
