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ANÁLISIS MATEMÁTICO II

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II

VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO 1. Sistemas de coordenadas en tres dimensiones Para localizar un punto en un plano se necesitan dos números. Sabemos que cualquier punto del plano puede ser representado como un par ordenado ( a,b ) de números reales, donde:

y a : coordenada x

P

b

b: coordenada y x

a

Para localizar un punto en el espacio necesitamos tres números. Representamos cualquier punto en el espacio por una terna ordenada ( a,b,c ) de números reales. Para representar puntos en el espacio, primero escogemos un punto fijo 0 (el origen) y tres rectas dirigidas que pasen por 0 y que sean perpendiculares entre sí, llamadas ejes de coordenadas y marcadas como ejes x, y, z. Por lo general, consideramos a los ejes x, y como horizontales y al eje z como vertical, y trazamos la orientación de los ejes como en la figura.

La dirección del eje z está determinada por la regla de la mano derecha. Los tres ejes de coordenadas determinan los tres planos de coordenadas como se muestra en la figura. z

plano yz plano xz

y plano xy

x

Estos tres planos dividen el espacio en 8 partes, llamadas octantes. El primer octante está determinado por los ejes positivos.

Unidad 1

Página 1

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Si P es cualquier punto en el espacio representado por la terna ordenada ( a,b,c ) , entonces:

a: coordenada x b: coordenada y

c: coordenada z

El punto P = ( a,b,c ) determina una caja rectangular como la de la figura siguiente:

El producto cartesiano
×
×
=

{( x, y,z ) : x, y,z ∈
}

es el conjunto de todas las ternas

ordenadas de números reales y se denota con
. La correspondencia biunívoca entre los puntos P del espacio y las ternas ordenadas ( a,b,c ) en
3 3

recibe el nombre de sistema tridimensional de coordenadas rectangulares. En la geometría analítica bidimensional, la gráfica de una ecuación en x e y es una curva en
2 . En la geometría analítica tridimensional, una ecuación en x, y, z representa una superficie en
3 . Ejemplo: Representar en
3 las siguientes ecuaciones: a) a)

z=3

b)

y =5

z = 3 representa el conjunto {( x, y,z ) : z = 3} , o sea todos los puntos de
3 cuya coordenada z es 3. Este es el plano horizontal paralelo al plano xy y que se encuentra 3 unidades arriba de él.

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Unidad 1

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b)

y = 5 representa el conjunto {( x, y,z ) : y = 5} , o sea todos los puntos de
3 cuya coordenada y es 5. Este es el plano vertical paralelo al plano xz y que se encuentra 5 unidades a la derecha de él.

En general, si k es una constante:

x=k

plano paralelo al plano yz

y=k

plano paralelo al plano xz

z=k

plano paralelo al plano xy

En el ejemplo de la caja rectangular determinada por el punto P ( a,b,c ) sus caras están formadas por los planos:

x = 0 (el plano yz)

x=a

y = 0 (el plano xz)

y=b

z = 0 (el plano xy)

z=c

Ejemplo: Representar gráficamente la superficie de
3 dada por la ecuación y = x Esta ecuación representa el conjunto de los puntos de
3 cuyas coordenadas x e y son iguales. Este es un plano vertical que interseca al plano xy en la recta y = x

Unidad 1

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Distancia entre dos puntos: La distancia entre dos puntos del plano P1 = ( x1 , y1 ) , P2 = ( x2 , y2 ) surge de la aplicación del teorema de Pitágoras.

d ( P1 ;P2 ) =

( x2 − x1 )

2

+ ( y2 − y1 )

2

Para puntos del espacio tridimensional P1 = ( x1 , y1 ,z1 ) , P2 = ( x2 , y2 ,z2 )

d ( P1 ; P2 ) =

( x2 − x1 )

2

2

+ ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 )

2

Esta fórmula surge de aplicar dos veces el teorema de Pitágoras a la caja rectangular que tiene como vértices opuestos los puntos P1 y P2 y cuyas caras son paralelas a los planos de coordenadas. Ejemplo: Hallar la ecuación de una esfera con radio r y centro C = ( x0 , y0 ,z0 ) Por definición, una esfera es el conjunto de los puntos P = ( x, y,z ) cuya distancia al punto C es r.

⇒

Entonces, P está en la esfera si d ( P;C ) = r

( x − x0 )

2

2

2

+ ( y − y0 ) + ( z − z 0 ) = r 2

( x − x0 )

2

2

2

+ ( y − y0 ) + ( z − z0 ) = r

Ecuación de una esfera con centro C = ( x0 , y0 ,z0 ) y radio r.

En particular, si el centro es el origen C = ( 0 ,0 ,0 ) , entonces la ecuación es:

x2 + y2 + z 2 = r 2

Ecuación de una esfera con centro en el origen y radio r.

Ejemplo: Demostrar que x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + 2 z + 6 = 0 es la ecuación de una esfera. Dar su centro y su radio.

x2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + 2 z + 6 = 0 Completando cuadrados:

( x + 2)

Página 4

2

2

(x

2

⇒

(x

2

+ 4 x ) + ( y 2 − 6 y ) + ( z 2 + 2 z ) = −6

+ 4 x + 4 ) + ( y 2 − 6 y + 9 ) + ( z 2 + 2 z + 1) = −6 + 4 + 9 + 1 2

+ ( y − 3) + ( z + 1) = 8

Centro: C = ( −2 ,3, −1)

radio: r = 8

Unidad 1

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2. Vectores en el espacio Definición:  Un vector tridimensional es una terna ordenada v = ( v1 ,v2 ,v3 ) de números reales.





Dados los puntos A = ( x1 , y1 ,z1 ) y B = ( x2 , y2 ,z2 ) , el vector v = AB es

 v = ( x2 − x1 , y2 − y1 ,z2 − z1 ) Magnitud o longitud:

 v = v12 + v22 + v32



Sea v = ( v1 ,v2 ,v3 )

El único vector con longitud 0 es el vector nulo

 0 = ( 0 ,0 ,0 )

Este vector también es el único vector sin dirección específica. Suma de vectores:   Sean u = ( u1 ,u2 ,u3 ) , v = ( v1 ,v2 ,v3 )

  u + v = ( u1 + v1 ,u2 + v2 ,u3 + v3 )

Multiplicación de un vector por un escalar:  Sea c ∈
un escalar y v = ( v1 ,v2 ,v3 )

 cv = ( cv1 ,cv2 ,cv3 )

Vectores paralelos:     Dos vectores no nulos u y v son paralelos si existe algún escalar c tal que u = cv Diferencia de vectores:   Sean u = ( u1 ,u2 ,u3 ) , v = ( v1 ,v2 ,v3 )

Hay tres vectores especiales en
3 :

  u − v = ( u1 − v1 ,u2 − v2 ,u3 − v3 )    i = (1,0 ,0 ) , j = ( 0 ,1,0 ) , k = ( 0 ,0 ,1)

tienen longitud 1 y apuntan en las direcciones positivas de los ejes x, y, z



Si v = ( v1 ,v2 ,v3 ) , entonces escribimos

( v1 ,v2 ,v3 ) = ( v1 ,0,0 ) + ( 0,v2 ,0 ) + ( 0,0,v3 ) = v1 (1,0,0 ) + v2 ( 0,1,0 ) + v3 ( 0,0,1)     v = v1i + v2 j + v3k 

Así, cualquier vector v en
3 puede expresarse como combinación lineal de los vectores unitarios

   i , j ,k

Ejemplo: Unidad 1

    v = (1,−2 ,6 ) = i − 2 j + 6k Página 5

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Vectores unitarios:    Un vector unitario es un vector cuya longitud es 1. Por ejemplo, i , j ,k son vectores unitarios.







En general, si v ≠ 0 , entonces el vector unitario que tiene la misma dirección que v es:

  1  v v=  v=  v v Ejemplo:     Encontrar el vector unitario en la dirección del vector v = 2i − j − 2k

 2 2 v = 22 + ( −1) + ( −2 ) = 9 = 3  2 1  2   1 1   v = v = 2i − j − 2 k = i − j − k 3 3 3 3 3

(

∴

)

3. Producto punto (producto escalar – producto interior) Definición:     Si u = ( u1 ,u2 ,u3 ) , v = ( v1 ,v2 ,v3 ) , entonces el producto punto de u y v es el número

  u ⋅ v = u1v1 + u2v2 + u3v3 Propiedades del producto punto:

  

Sean u ,v ,w vectores en
3 y c un escalar.

  2 u ⋅u = u     ii. u ⋅ v = v ⋅ u        iii. u ⋅ ( v + w ) = ( u ⋅ v ) + ( u ⋅ w )

i.

iv.





 





( cu ) ⋅ v = c ( u ⋅ v ) = u ⋅ ( cv )  

v. 0 ⋅ u = 0 Estas propiedades se demuestran fácilmente a partir de la definición. Teorema:





Si θ es el ángulo entre los vectores u y v

    u ⋅ v = u v cos θ

Corolario:

   Si θ es el ángulo entre los vectores u y v , diferentes de 0 , entonces

  u ⋅v cos θ =   u v

Vectores ortogonales (perpendiculares)

    u y v son ortogonales si y sólo si u ⋅ v = 0

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Unidad 1

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Ángulos y cosenos directores:



Los ángulos α , β , γ (que forma el vector a con los ejes positivos x, y, z) se llaman ángulos

 



directores de a ( a ≠ 0 ).  Los cosenos de estos ángulos, cos α , cos β , cos γ se llaman cosenos directores del vector a .

  ( a ,a ,a ) ⋅ (1,0,0 ) = a1 a ⋅i cos α =   = 1 2 3  a a a i

  a⋅ j ( a ,a ,a ) ⋅ ( 0,1,0 ) = a2 cos β =   = 1 2 3  a a a j   a ⋅k ( a ,a ,a ) ⋅ ( 0 ,0,1) = a3 cos γ =   = 1 2 3  a a a k Despejando de estas fórmulas:

 a1 = a cos α entonces:

;

 a2 = a cos β

;

 a3 = a cos γ

  a = ( a1 ,a2 ,a3 ) = a ( cos α ,cos β ,cos γ )   a a =  = ( cos α ,cos β ,cos γ ) a

∴



Que nos dice que los cosenos directores de a son las componentes del vector unitario en la  dirección de a .



Como a es unitario se verifica

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

4. Producto cruz (producto vectorial) Definición:     Si u = ( u1 ,u2 ,u3 ) , v = ( v1 ,v2 ,v3 ) , entonces el producto cruz de u y v es el vector

 u2    u × v =  det   v2   

u3  u1 u3  u u   , − det  ,det  1 2     v3   v1 v3   v1 v2   







Nótese que u × v está definido sólo cuando u y v son vectores tridimensionales. Una de las propiedades más importantes del producto cruz está dada por el siguiente Teorema:

 

El vector u × v es ortogonal a u y v

Ejemplo:   Sean u = (1,2 ,0 ) , v = ( 0 ,3,1)

2 0 1 0 1 2      u × v =  det  ,− det  ,det      = ( 2,−1,3) 3 1 0 1  0 3    Unidad 1

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( u × v ) ⋅ u = ( 2,−1,3) ⋅ (1,2,0 ) = 0 ( u × v ) ⋅ v = ( 2,−1,3) ⋅ ( 0,3,1) = 0 Teorema:   Si θ es el ángulo entre los vectores u y v

∴

   u × v es ortogonal a u

∴

   u × v es ortogonal a v

    u × v = u v sen θ

Corolario:



 





Dos vectores no nulos u y v son paralelos si y sólo si u × v = 0 Propiedades del producto cruz:

  

Sean u ,v ,w vectores en
3 y c un escalar.

   u ×u = 0     ii. u × v = − ( v × u )

i.







 











iii. u × ( v + w ) = ( u × v ) + ( u × w )









iv.

( u + v ) × w = ( u × w) + ( v × w )

v.

( cu ) × v = c ( u × v ) = u × ( cv )





 

 







vi. 0 × u = 0

 

vii. u × v

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es igual al área del paralelogramo determinado por u y v

Unidad 1

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5. Ecuaciones de rectas y planos Rectas en
3 Una recta en un espacio tridimensional se determina cuando conocemos un punto P0 = ( x0 , y0 ,z0 )



de ella y su dirección. La dirección vendrá dada por un vector v paralelo a la recta.

z

P0

 P0

 u

P

r  P0 = ( x0 , y0 ,z0 ) ∈ r v = ( a,b,c ) vector director de r

Datos:  

 P

 v

P = ( x, y,z ) es un punto arbitrario de r y

x

Entonces:

   P = P0 + u    P = P0 + t v





Como u es paralelo a v

  u = tv

,t ∈


Ecuación vectorial de r

En función de sus componentes:

 x = x0 + ta   y = y0 + tb  z = z + tc 0 

( x, y,z ) = ( x0 , y0 ,z0 ) + t ( a,b,c ) t∈


Ecuaciones paramétricas de r

Si ninguna de a, b ó c es cero podemos despejar t de cada una de estas ecuaciones, igualar los resultados y obtener:

x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c

Ecuaciones simétricas de r

Nota: si a, b ó c es cero, todavía podemos eliminar t. Por ejemplo, si a = 0 , escribimos

x = x0

y − y0 z − z0 = b c

Esto significa que la recta se encuentra en el plano vertical x = x0

P0 = ( x0 , y0 ,z0 ) y P1 = ( x1 , y1 ,z1 ) , entonces un vector director   puede ser v = P0 P1 = ( x1 − x0 , y1 − y0 ,z1 − z0 ) y las ecuaciones quedan:

Si la recta pasa por los puntos

 x = x0 + t ( x1 − x0 )   y = y0 + t ( y1 − y0 )   z = z0 + t ( z1 − z0 ) Unidad 1

t ∈


x − x0 y − y0 z − z0 = = x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0

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Ejemplo: Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos P0 = ( 2, 4,−3) y P1 = ( 3,−1,1)

  v = P0 P1 = ( 3 − 2 ,−1 − 4 ,1 + 3) = (1, −5, 4 )

 x = 2 + 1t   y = 4 − 5t  z = −3 + 4t 

x−2 y−4 z +3 = = 1 −5 4

Planos en
3



Un plano en el espacio está determinado por un punto P0 = ( x0 , y0 ,z0 ) del plano y un vector n



perpendicular al plano. Este vector ortogonal n se llama vector normal.

 n

 P0 = ( x0 , y0 ,z0 ) ∈ π n = ( a,b,c ) vector normal a π

Datos:  

P0

P = ( x, y,z ) es un punto arbitrario del plano P

π 



Como P0 y P pertenecen al plano, entonces P0 P ∈ π . El vector n es ortogonal a todos los vectores del plano π . O sea, en particular:

  n ⋅ P0 P = 0 En función de sus componentes:

Ecuación vectorial del plano

 P0 P = ( x − x0 , y − y0 ,z − z0 )

  n ⋅ P0 P = a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) + c ( z − z0 ) = 0

a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) + c ( z − z0 ) = 0

Ecuación escalar del plano

ax − ax0 + by − by0 + cz − cz0 = ax + by + cz + [ − ax0 − by0 − cz0 ] = 0    d = cte

ax + by + cz + d = 0

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Ecuación lineal del plano

Unidad 1

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Ejemplo: Encontrar

la

ecuación

del

plano

que

pasa

por

los

puntos

P = (1,3,2 ) , Q = ( 3,−1,6 ) , R = ( 5,2,0 )  PQ = ( 2 , −4 , 4 ) está en el plano  PR = ( 4 , −1,−2 ) está en el plano   PQ × PR es ortogonal al plano.  −4 4  2 4   2 −4       ,− det  ,det  Entonces, sea n = PQ × PR =  det      = (12 ,20 ,14 ) − 1 − 2 4 − 2 4 − 1        es normal al plano. Usando la ecuación escalar (con el punto P):

12 ( x − 1) + 20 ( y − 3) + 14 ( z − 2 ) = 0 12 x + 20 y + 14 z − 100 = 0 6 x + 10 y + 7 z = 50 Planos paralelos: Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos. Ejemplo:

π1 : x + 2 y − 3z = 4

 n1 = (1, 2 , −3)

π 2 : 2x + 4 y − 6z = 3

 n2 = ( 2 , 4 ,−6 )

  n2 = 2n1 Si dos planos no son paralelos, entonces se cortan en una recta y el ángulo entre los dos planos se define como el ángulo agudo entre sus vectores normales.

  n1 ⋅ n2 cos θ =   n1 n2

Unidad 1

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Representación gráfica de planos

a x + b y + cz + d = 0 Vimos que la ecuación de un plano es: Si un plano en el espacio corta uno de los planos coordenados, llamamos a la recta de corte traza del plano dado en el plano coordenado. Para dibujar un plano en el espacio es útil hallar sus puntos de corte con los ejes coordenados y sus trazas en los planos coordenados. Ejemplo 1:

3 x + 2 y + 4 z = 12

Los puntos de corte con los ejes son ( 4 ,0 ,0 ) , ( 0 ,6 ,0 ) , ( 0, 0,3) Uniendo estos puntos tenemos las trazas:

xy xz yz

3 x + 2 y = 12 3 x + 4 z = 12 2 y + 4 z = 12

Esto permite dibujar la parte del plano que se encuentra en el primer octante.

Si en la ecuación falta una de las variables, el plano es paralelo al eje correspondiente a la variable que falta. Ejemplo 2:

Página 12

2 x + 4 y = 12

Unidad 1

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Si además el término independiente es 0, el plano contiene a dicho eje. Ejemplo 3:

x − 3y = 0

Si faltan dos variables en la ecuación de un plano, entonces el plano es paralelo al plano coordenado correspondiente a las variables que faltan. Ejemplo 4:

z=5

Si el término independiente es 0, se obtienen las ecuaciones de los planos coordenados.

z = 0 (plano xy)

y = 0 (plano xz)

x = 0 (plano yz)

z plano yz

plano xz

0

y plano xy

x Unidad 1

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6. Superficies cilíndricas Ya hemos visto dos tipos especiales de superficies, que son los planos y las esféricas. Cilindros: Un cilindro es una superficie formada por todas las rectas que son paralelas a una recta dada y que pasan por una curva plana dada. Ejemplo 1:

z = x2

La ecuación no contiene a y. Entonces, cualquier plano y = k (paralelo al plano xz) corta la gráfica en una curva de ecuación z = x 2

Ejemplo 2:

x2 + y 2 = 1

Como falta z, las ecuaciones x 2 + y 2 = 1 y z = k representan una circunferencia de radio 1 en el plano z = k

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Unidad 1

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Ejemplo 3:

z = ey

Ejemplo 4:

z = cos y

Ejemplo 5:

z = 4 − y2

Ejemplo 6:

z = y2 − 4

Ejemplo 7:

yz = 4

Ejemplo 8:

y2 + 4z 2 = 4

Unidad 1

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Superficies cuadráticas SUPERFICIE

NOMBRE

ECUACIÓN

ELIPSOIDE

x2 y2 z2 + + =1 a2 b2 c2

Las trazas en los planos coordenados son elipses, lo mismo que las trazas en planos paralelos a los planos coordenados. Si a = b = c , el elipsoide es una esfera.

x2 y2 z2 + − =1 a2 b2 c2

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA

La traza en el plano xy es una elipse, lo mismo que las trazas en los planos paralelos al plano xy. Las trazas en el plano yz y en el plano xz son hipérbolas, lo mismo que las trazas en los planos paralelos a ellos. El eje de simetría corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. El signo menos indica una hoja.

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

x2 y2 z2 − 2 − 2 + 2 =1 a b c

No hay traza en el plano xy. En los planos paralelos al plano xy, que intersecan la superficie, las trazas son elipses. En los planos yz y xz las trazas son hipérbolas, lo mismo que las trazas en planos paralelos a ellos. El eje de simetría corresponde a la variable cuyo coeficiente es positivo. Los dos signos menos indican dos hojas.

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SUPERFICIE

NOMBRE

ECUACIÓN

CONO ELÍPTICO

x2 y2 z = 2+ 2 a b 2

La traza en el plano xy es un punto (el origen) y las trazas en los planos paralelos al plano xy son elipses. Las trazas en los planos yz y xz son parejas de rectas que se intersecan en el origen. Las trazas en los planos paralelos a ellos son hipérbolas.

PARABOLOIDE ELÍPTICO

z=

x2 y2 + a2 b2

La traza en el plano xy es un punto (el origen) y la traza en planos paralelos al plano xy y arriba de éste son elipses. Las trazas en los planos yz y xz son parábolas, lo mismo que las trazas en los planos paralelos a ellos. La variable elevada a la primera potencia indica el eje del paraboloide.

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

z=

y2 x2 − b2 a2

La traza en el plano xy es una pareja de rectas que se intersecan en el origen. Las trazas en los planos paralelos al plano xy son hipérbolas. Las hipérbolas que están arriba del plano xy se abren en la dirección y y las que están abajo, en la dirección x. Las trazas en los planos yz y xz son parábolas, lo mismo que las trazas en los planos paralelos a ellos.

Unidad 1

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7. Fórmulas de distancia a) Distancia entre un punto y una recta

z P

M

 v

r

θ

 PQ

Q

y

x  v : vector director de la recta r

P∈r

d ( Q;r ) = MQ

    PQ × v = PQ v sen θ

    MQ PQ × v = PQ v  PQ

MQ sen θ =  PQ   PQ × v MQ =  v

⇒   PQ × v d ( Q;r ) =  v

b) Distancia entre un punto y un plano Q

 n

 PQ

θ

θ

M

P

π P ∈π

 n : vector normal al plano π     PQ ⋅ n = PQ n cos θ

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d ( Q;π ) = MQ MQ cos θ =  PQ

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     MQ PQ ⋅ n = PQ n  PQ

  PQ ⋅ n MQ =  n

⇒   PQ ⋅ n d ( Q;π ) =  n

c) Distancia entre rectas Dadas dos rectas L1 ,L2 en el espacio tridimensional, éstas pueden ser: coplanares (si pertenecen a un mismo plano) u oblicuas (si no pertenecen a un mismo plano). Si son coplanares pueden ocurrir dos casos:

d ( L1 ;L2 ) = 0

•

Incidentes: se cortan en un punto.

•

Paralelas: en tal caso, para hallar la distancia entre ellas basta buscar la distancia entre un punto de una recta y la otra recta.

P1

L1

d

d L2 P2

d ( L1 ;L2 ) = d ( P1 ;L2 ) = d ( P2 ;L1 ) Si las rectas no se cortan y no son paralelas, entonces son oblicuas (y por lo tanto no se encuentran en el mismo plano) Ejemplo:

x = 1 + t  Sean L1 :  y = −2 + 3t z = 4 − t 

 x = 2s  L2 :  y = 3 + s  z = −3 + 4 s 

 v1 = (1,3,−1) vector director de L1  v2 = ( 2 ,1, 4 ) vector director de L2

  L1 no es paralela a L2 , ya que v1 y v2 no son paralelos. Si L1 y L2 se cortaran habría valores de t y s tales que:

1 + t = 2s  −2 + 3t = 3 + s 4 − t = −3 + 4s  Unidad 1

t − 2s = −1  3t − s = 3 + 2   −t − 4 s = −3 − 4 Página 19

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1 −2 −1

1 −2 −1

3 −1 5 −1 −4 −7

→

0 5 8 0 −6 −8

1 −2 −1 →

1 0 11 5 →

0 1 85 0 −6 −8

0 1 0 0

8 8

5 5

y el sistema no tiene solución. En consecuencia, L1 y L2 no se cortan. Por lo tanto son oblicuas.

L1 Q  n

L2

 PQ

M

θ

 v1

P

P ∈ L1

 v2

 v2  v1 : vector director de L1

, Q ∈ L2

   n = v1 × v2

d ( L1 ;L2 ) = MP

    PQ ⋅ n = PQ n cos θ      MP PQ ⋅ n = PQ n  PQ

MP cos θ =  PQ



 

siendo n = v1 × v2

   n = v1 × v2 = (1,3, −1) × ( 2 ,1,4 ) = (13,−6 , −5 )

P = (1,−2,4 ) ∈ L1 d ( L1 ;L2 ) =

Página 20

  PQ ⋅ n MP =  n

⇒

  PQ ⋅ n d ( L1 ;L2 ) =  n Para el ejemplo anterior:

 v2 : vector director de L2

 PQ = ( −1,5, −7 )

, Q = ( 0,3,−3) ∈ L2

( −1,5,−7 ) ⋅ (13,−6,−5 ) (13,−6,−5 )

=

−8

230

=

8 ≅ 0.53 230

Unidad 1

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II

d) Distancia entre planos •

(





Si dos planos no son paralelos n1 ≠ k n2

) su intersección determina una recta y, por lo tanto

d ( π 1 ;π 2 ) = 0 •

Si dos planos son paralelos





1

2

( n = k n ) , para hallar la distancia entre ellos el problema se

reduce a buscar la distancia entre un punto de uno de ellos y el otro plano.

P1

π1 d d

P2

π2 d ( π1 ;π 2 ) = d ( P1 ;π 2 ) = d ( P2 ;π 1 ) 8. Coordenadas cilíndricas y esféricas Sistema de coordenadas cilíndricas Un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada ( r ,θ ,z ) , donde

r ,θ : coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano xy. z : distancia de P al plano xy (igual que en cartesianas)

Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares usamos las ecuaciones:

x = r cos θ

, y = r sen θ

, z=z

Para convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas usamos las ecuaciones:

r = x2 + y 2

Unidad 1

, θ = arctan

y x

, z=z

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Las coordenadas cilíndricas son especialmente convenientes para la representación de superficies que tengan al eje z como eje de simetría. Ejemplos: a) El cilindro circular x 2 + y 2 = 9 tiene por ecuación r = 3 b) El paraboloide circular z = x 2 + y 2 tiene por ecuación z = r 2 Sistema de coordenadas esféricas Un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada ( ρ ,θ ,φ ) , donde

ρ : distancia de P al origen de coordenadas. θ : igual que en coordenadas cilíndricas.

φ : ángulo entre el semieje positivo de las z y el segmento OP

r = ρ sen φ

z = ρ cos φ

x = r cos θ

y = r sen θ

Para convertir de coordenadas esféricas a rectangulares usamos las ecuaciones:

x = ρ sen φ cos θ

, y = ρ sen φ senθ

, z = ρ cos φ

Para convertir de coordenadas rectangulares a esféricas usamos las ecuaciones:

ρ = x2 + y 2 + z 2

, θ = arctan

y x

 z , φ = arccos  2  x + y2 + z2 

   

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil para la representación de superficies que tienen el origen como centro de simetría. Ejemplo: La esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 tiene por ecuación ρ = 2

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Unidad 1

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES – LÍMITE Y CONTINUIDAD 1. Funciones de dos variables Definición: Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales ( x, y ) de un conjunto D, un número real único denotado por f ( x, y ) El conjunto D es el dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f:

Im f = { f ( x, y ) : ( x, y ) ∈ D} A veces escribimos z = f ( x, y ) para hacer explícito el valor tomado por f en un punto ( x, y ) . Las variables x, y son variables independientes y z es la variable dependiente. Una función de dos variables es una función cuyo dominio es un subconjunto de
2 y cuya imagen es un subconjunto de
.

Si una función está dada por una fórmula y no se especifica su dominio, entonces se entiende que es el conjunto de todos los pares ( x, y ) para los cuales la expresión dada es un número real bien definido. Ejemplos: Hallar los dominios de las siguientes funciones: a) a) D =

f ( x, y ) =

x + y +1 x −1

f ( x, y ) = xln ( y 2 − x )

{( x, y ) : x + y + 1 ≥ 0 ∧ x − 1 ≠ 0}

x + y +1 ≥ 0 ⇒ x −1 ≠ 0 ⇒

b) D =

b)

{( x, y ) : y

2

y ≥ −x −1

x ≠1

− x > 0}

y2 − x > 0 ⇒ x < y2

Unidad 2

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Observación: No todas las funciones se representan con fórmulas explícitas. Algunas se describen numéricamente a través de una tabla de valores. Gráfica Definición: Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es:

{( x, y,z ) ∈
: ( x, y ) ∈ D ∧ z = f ( x, y )} 3

Así como la gráfica de una función f de una variable es una curva C con ecuación y = f ( x ) , la gráfica de una función f de dos variables es una superficie S con ecuación z = f ( x, y ) .

Ejemplo 1:

⇒

f ( x, y ) = −3x − 2 y + 6

z = −3 x − 2 y + 6

Representa un plano, cuya gráfica en el primer octante es:

3x + 2 y + z = 6

Ejemplo 2: Hallar el dominio e imagen y trazar la gráfica de f ( x, y ) = 4 x 2 + y 2

Dom f =
2 (plano xy) Como x 2 ≥ 0 , y 2 ≥ 0 ⇒

f ( x, y ) ≥ 0 ∀ ( x, y )

Im f = [ 0,∞ )

La gráfica de f tiene la ecuación z = 4 x 2 + y 2

z=

Página 24

x2 y2 + 1 1 4

⇒

z=

x2 1   2

2

+

y2

(1)

2

(paraboloide elíptico con eje en el eje z)

Unidad 2

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Curvas de nivel Definición: Las curvas de nivel de una función f de dos variables son las curvas con ecuaciones f ( x, y ) = k , donde k es una constante (que pertenece a la imagen de f) Una curva de nivel f ( x, y ) = k muestra dónde la gráfica de f tiene altura k, o sea los puntos de la superficie que se obtienen seccionándola con el plano z = k (paralelo al plano coordenado xy) Para diferentes valores de k se obtienen distintas curvas planas que forman una familia de curvas de nivel.

Ejemplo: Trazar las curvas de nivel de la función f ( x, y ) = 9 − x 2 − y 2 Las curvas de nivel son

9 − x2 − y2 = k

⇒

x2 + y 2 = 9 − k 2

Es una familia de circunferencias con centro en el origen y radio

k =0

x2 + y 2 = 9

(circunferencia de radio 3)

k =1

x2 + y 2 = 8

(circunferencia de radio

8)

k =2

x2 + y 2 = 5

(circunferencia de radio

5)

k =3

x2 + y 2 = 0

(punto ( 0 ,0 ) )

Unidad 2

9 − k2

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II

La función z = 9 − x 2 − y 2 es la semiesfera con centro en el origen y radio 3. Ejemplos de curvas de nivel:

(− x −y ) 2

2

a)

f ( x, y ) = x 2 y 2 e

b)

f ( x, y ) = x y 2 − x3

(silla de mono)

c)

f ( x, y ) = x y 3 − y x 3

(silla de perro)

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Unidad 2

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Funciones de tres variables Definición: Una función f de tres variables es una regla que asigna a cada terna ordenada

( x, y,z )

de un

dominio D ⊆
3 un número real único denotado por f ( x, y,z ) Podemos escribir, por ejemplo w = f ( x, y,z ) Siendo:

x, y, z las variables independientes w la variable dependiente.

Es difícil visualizar una función de tres variables por su gráfica, puesto que estaría en un espacio de cuatro dimensiones. Ejemplo: Sea w = f ( x, y,z ) = ln 16 − 4 x 2 − 4 y 2 − 4 z 2

(

)

Dom f = {( x, y,z ) ∈
3 : 16 − 4 x 2 − 4 y 2 − 4 z 2 > 0} 4 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 < 16

⇒

x2 + y 2 + z 2 < 4

⇒

x 2 + y 2 + z 2 < 22

El dominio son los puntos interiores de una esfera de radio 2. Funciones de n variables Definición: Una función f de n variables es una regla que asigna a cada n-upla ( x1 ,x2 ,… ,xn ) de números reales un número real único denotado por f ( x1 ,x2 ,… ,xn ) Podemos escribir, por ejemplo z = f ( x1 ,x2 ,… ,xn )

2. Límite Vamos a recordar primero la definición de límite para funciones de una variable. Definición: Sea f una función de una variable y L un número real. Decimos que el límite de f ( x ) cuando x tiende a a es igual a L si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que

f ( x ) − L < ε siempre que

0 < x − a < δ . En tal caso escribimos

lim f ( x ) = L x→a

Nótese que

f ( x ) − L es la distancia entre los números f ( x ) y L ; y x − a es la distancia entre

el punto x y el punto a. Entonces, la definición dice que podemos acercar arbitrariamente los valores de f ( x ) a L (tanto como deseemos) tomando x lo bastante cerca de a (pero no igual a a)

Unidad 2

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Definición: Sea f una función de dos variables y L un número real. Decimos que el límite de f ( x, y ) cuando

( x, y )

tiende a ( a,b ) es igual a L si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que f ( x, y ) − L < ε siempre

( x − a)

que 0 <

2

2

+ ( y − b) < δ

En tal caso escribimos

lim

( x ,y ) → ( a ,b )

f ( x, y ) = L

Observación: Como en el caso de funciones de una variable, f no necesita estar definida en el punto.

f ( x, y ) − L

Nótese, además, que

( x − a)

2

+ ( y − b)

2

es la distancia entre los números

f ( x, y ) y L; y

es la distancia entre el punto ( x, y ) y el punto ( a,b ) .

Entonces, la definición dice que podemos acercar arbitrariamente los valores de f ( x, y ) a L (tanto como deseemos) tomando ( x, y ) lo bastante cerca de ( a,b ) (pero no igual a ( a,b ) ). Sea

( x − a)

2

2

⇒

+ ( y − b) = δ

( x − a)

2

2

+ ( y − b) = δ 2

(circunferencia con centro en ( a,b ) y radio δ ) Entonces 0 <

( x − a)

2

2

+ ( y − b ) < δ representa los puntos interiores de una circunferencia de

radio δ con centro en ( a,b ) , sin considerar dicho punto. Veamos gráficamente: Si se elige ε > 0 podemos encontrar δ > 0 tal que si ( x, y ) está en el disco Dδ y ( x, y ) ≠ ( a,b ) , entonces la parte correspondiente de la superficie se encuentra entre los planos horizontales z = L − ε y z = L + ε

Para funciones de una variable, cuando hacemos que x se aproxime a a, sólo hay dos posibles direcciones para aproximarse, desde la izquierda o desde la derecha. Recordemos que si

lim f ( x ) ≠ lim+ f ( x )

x → a−

⇒

x→a

lim f ( x ) no existe x →a

Para funciones de dos variables la situación no es tan sencilla, porque podemos hacer que ( x, y ) se aproxime a ( a,b ) desde un número infinito de direcciones en cualquier forma. La definición se refiere sólo a la distancia entre ( x, y ) y ( a,b ) . No se refiere a la dirección de aproximación. Por lo tanto, si existe el límite, entonces f ( x, y ) debe aproximarse al mismo límite independiente de cómo

( x, y )

se

aproxime a ( a,b ) . Página 28

Unidad 2

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Entonces: Si

lim

f ( x, y ) = L1

por una trayectoria C1

lim

f ( x, y ) = L2

por una trayectoria C2

( x ,y ) →( a ,b )

y

( x ,y ) → ( a ,b )

siendo

L1 ≠ L2 entonces

lim

( x ,y ) →( a ,b )

f ( x, y ) no existe

Propiedades de los límites Al igual que para funciones de una variable, el cálculo de límites para funciones de dos variables se simplifica en gran medida mediante el uso de las propiedades de los límites. Los límites de funciones de dos o más variables tienen las mismas propiedades con respecto a las sumas, diferencias, productos y cocientes que las vistas para funciones de una variable. Ejemplo: Calcular

lim 5 x 2 y =

( x ,y ) →(1,2)

lim

( x ,y ) → (1,2 )

5x2 y ( x ,y ) →(1,2) x 2 + y 2

lim

lim 5 ⋅

( x ,y ) → (1,2 )

x2 + y2 =

lim

( x ,y ) → (1,2 )

lim

( x ,y ) → (1,2)

x2 +

x2 ⋅

lim

lim

( x ,y ) → (1,2)

2

y = 5 (1) ( 2 ) = 10 2

( x ,y ) → (1,2 )

2

y 2 = (1) + ( 2 ) = 5

Como el límite del cociente es igual al cociente de los límites, resulta:

5x2 y 10 = =2 2 2 ( x ,y ) → (1,2 ) x + y 5

lim

Observación:

5x2 y Siendo f ( x, y ) = 2 también podríamos haber llegado a este resultado evaluando x + y2 2

f (1,2 ) =

5 (1) ( 2 )

(1)

2

+ (2)

2

=

10 =2 5

Las funciones que verifican esta condición 

lim f ( x, y ) = f ( a,b )  se denominan funciones  ( x ,y ) → ( a ,b ) 

continuas en ( a,b ) y las definiremos más adelante.

Supongamos ahora que queremos calcular

x2 − y2 ( x ,y ) → ( 0 ,0 ) x 2 + y 2 lim

En este caso el límite del denominador es 0 y por lo tanto no podemos asegurar la existencia (o no) del límite tomando los límites del numerador y del denominador separadamente y dividiendo.

0 0

Llegaríamos a una indeterminación   y no es posible simplificar la expresión.

Unidad 2

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Definiremos los límites sucesivos o reiterados

l12 = lim lim f ( x, y )  y →b  x → a  l21 = lim lim f ( x, y )   y→b x →a   Esto significa aproximarnos al punto ( a,b ) por dos trayectorias distintas:

y l12 y l21

b

a Vimos que si

lim

( x ,y ) →( a ,b )

x

x

f ( x, y ) existe, debe ser el mismo por cualquier trayectoria. Por lo tanto debe

ser l12 = l21 La recíproca no siempre es cierta. Si l12 = l21 no podemos asegurar nada del límite (podría existir otra trayectoria que dé un valor distinto) Por otro lado, si l12 ≠ l21 entonces el límite no existe. En conclusión: si l12 ≠ l21 entonces

lim

( x ,y ) →( a ,b )

f ( x, y ) no existe

si l12 = l21 entonces no podemos asegurar nada

Volviendo al ejemplo:

  − y2  x2 − y2  l12 = lim lim 2  2  = lim ( −1) = −1  = lim y →0 x→0 x + y 2   y→0  y  y→0   x2  x2 − y2  l21 = lim lim 2 = lim (1) = 1  x → 0  2  = lim x →0 y →0 x + y 2    x  x →0 Como l12 ≠ l21

Página 30

x2 − y2 entonces lim no existe. ( x ,y ) → ( 0 ,0 ) x 2 + y 2

Unidad 2

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Límites direccionales Veamos el siguiente ejemplo:

xy ( x ,y ) →( 0 ,0) x + y 2 lim

2

En este caso tampoco podemos aplicar las propiedades de los límites, ya que nos quedaría indeterminado ( 00 ) . Si calculamos los límites sucesivos:

  0  xy  l12 = lim lim 2 ( 0) = 0   = lim  = lim y →0 x →0 x + y 2 y →0 y 2     y →0  xy   0  l21 = lim lim 2 = lim  2  = lim ( 0 ) = 0  2 x →0 y →0 x + y   x → 0  x  x →0 Aún cuando l12 = l21 esto no demuestra que el límite sea 0. Aproximémonos a ( 0 ,0 ) por cualquier recta que pase por el origen. Entonces y = mx

(haz de rectas por el origen)

x ( mx ) xy mx 2 m m = lim = lim = lim = 2 2 2 2 2 2 2 x →0 x →0 x 1 + m ( x ,y ) → ( 0 ,0 ) x + y x + ( mx ) ( ) x →0 1 + m 1 + m2 y = mx lim

O sea, sobre la recta y = x sobre la recta y = 2 x En conclusión,

( m = 1)

el límite es 1

( m = 2)

2 el límite es 2

5

xy no existe. ( x ,y ) →( 0 ,0) x + y 2 lim

2

Observación: Si con un haz de rectas el límite obtenido no depende de la pendiente m, todavía no podemos asegurar nada con respecto a la existencia o no del límite. Podemos usar entonces un haz de 2 parábolas por el origen y = ax Ejemplo:

3x 2 y Calcular lim ( x ,y ) → ( 0 ,0 ) x 4 + y 2 Es fácil ver que l12 = l21 = 0 Sea y = mx

3x 2 ( mx ) 3x2 y 3mx3 3mx lim = lim = lim = lim 2 =0 2 4 2 2 2 2 4 x →0 x →0 x x →0 x + m2 ( x ,y ) →( 0 ,0 ) x + y x + m x + mx ( ) ( ) y = mx

Sea y = ax

3 x 2 ( ax 2 ) 3x 2 y 3ax 4 3a 3a lim = lim = lim 4 = lim = 2 4 2 2 2 x →0 4 x →0 x 1 + a ( x ,y ) →( 0 ,0 ) x + y ( ) x →0 1 + a 1 + a 2 x + ( ax 2 ) 2

2

y = ax

Para distintos valores de a el resultado es distinto. En conclusión,

Unidad 2

3x 2 y no existe. ( x ,y ) → ( 0 ,0 ) x 4 + y 2 lim

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Nota 1: En el caso en que el límite no dependa del valor de a (y sea igual a los calculados anteriormente) 2 puede usarse un haz de parábolas por el origen invertidas x = ay

Nota 2: Lo dicho respecto al haz de rectas

( y = mx )

y al haz de parábolas

( y = ax ) 2

es válido si el punto

donde se calcula el límite es el origen. Si el punto no es el origen (por ejemplo ( x0 , y0 ) ), un haz de

y = m ( x − x0 ) + y0 y un haz de parábolas por dicho punto

rectas por dicho punto tiene ecuación 2

tiene ecuación y = a ( x − x0 ) + y0

Ejemplo:

3x 2 y Hallar (si existe) lim ( x ,y ) → ( 0 ,0 ) x 2 + y 2 Puede probarse que l12 = l21 = 0 y además los límites tomando como trayectorias y = mx , y = ax 2 también dan 0. Si sospechamos que este límite es igual a 0 debemos probarlo aplicando la definición. Dado ε > 0 , queremos hallar δ > 0 tal que

3x 2 y −0