UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIER IA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE CIENCIAS F ´ ISICO MATEM ATICAS Algebra II 2007-II

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO

´ CIVIL Y ARQUITECTURA FACULTAD DE INGENIERIA

´ ESCUELA PROFESIONAL DE CIENCIAS F´ISICO MATEMATICAS

´ Algebra II 2007-II Lic: Felipe Cl´ımaco Ccolque Taipe

Per´ u - Puno

Febrero del 2008

´Indice general 1. Operaciones Binarias y Grupos 1.1. Definiciones y Conceptos sin ella . . . . . . . . . . . . 1.2. Operaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Propiedades de Operaci´on Binarias . . . . . . 1.2.2. Operaciones Binarias con Tablas . . . . . . . . 1.2.3. Criterios Para Definir Una Operaci´on Binaria 1.3. Grupo y sus Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Grupos Finitos y Tablas de Grupo . . . . . . . . . . 1.5. Subgrupo y su caracterizaci´on . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Notaci´on y Terminolog´ıa . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Subconjuntos y Subgrupos . . . . . . . . . . . 1.6. Subgrupos C´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1. Aplicaciones y Permutaciones . . . . . . . . . 1.7.2. Grupo de Permutaciones . . . . . . . . . . . . 1.7.3. Ciclos y Notaci´on C´ıclica de Permutaciones . 1.7.4. Permutaciones Pares e Impares . . . . . . . . 1.8. Grupos C´ıclicos y Propiedades . . . . . . . . . . . . . 1.8.1. Propiedades Elementales . . . . . . . . . . . . 1.8.2. Clasificaci´on de Grupos C´ıclicos . . . . . . . . 1.8.3. Subgrupos de Grupos C´ıclicos Finitos . . . . . ´ 1.9. Primer Trabajo Pr´actico de Algebra II . . . . . . . .

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2. Teorema Fundamental de Homomorfismo de grupos 2.1. Isomorfismo de Grupos y Propiedades Fundamentales . 2.2. El Teorema de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Productos Directos de grupos . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Productos Directos Externos . . . . . . . . . . . 2.3.2. Productos Directos Internos . . . . . . . . . . . 2.4. Grupos de Clases Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Clases Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Subgrupos Normales y Grupos Cocientes . . . . . . . . 2.5.1. Criterios para la Existencia de Clases Laterales 2.5.2. Automorfismos Internos y Subgrupos Normales

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1 1 2 3 4 4 5 7 9 9 10 14 16 16 19 22 24 25 25 27 29 32

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39 39 44 49 49 51 54 55 59 60 60 62

2.5.3. Grupos Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. Grupos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Homomorfismos de Grupos y Propiedades Fundamentales 2.7. El Teorema Fundamental del Homomorfismo . . . . . . . 2.7.1. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.8. Segundo Trabajo Pr´actico de Algebra II . . . . . . . . . 3. Teor´ıa de Anillos 3.1. Anillos y Propiedades . . . . . . . . . . . 3.2. Dominios de Integridad y Campos . . . . 3.2.1. Divisores de Cero y Cancelaci´on . 3.3. Caracter´ıstica de un Anillo . . . . . . . . 3.4. Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . 3.5. Anillos Cocientes e Ideales . . . . . . . . 3.6. Homomorfismo de Anillos y Propiedades 3.7. Ideales Maximales y Primos . . . . . . . ´ 3.8. Tercer Trabajo Pr´actico de Algebra II . . 4. Problemas resueltos

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Prefacio El contenido de este libro est´a basado en las notas de clases del curso de ´algebra II dictado por el autor en Escuela Profesional de Ciencias F´ısico Matem´aticas de la Universidad Nacional del Altiplano para estudiantes de pregrado de segundo semestre en el semestre acad´emico 2005-I y 2007-II. Al escribir el texto, el autor a procurado incluir m´as detalles en las demostraciones ´ de los resultados (teoremas, proposiciones o corolarios) con respecto al libro Algebra Abstracta (primer curso) de John B. Fraleigh y agregar problemas resueltos para ajustar al sistema flexible de curr´ıculo por competencias, con la finalidad de hacer m´as entendible ´ para los lectores que solamente conocen Algebra I y L´ogica Matem´atica. La exposici´on es ´ conveniente para efectos del Algebra Lineal y temas que involucran estudios axiom´aticos. En la competencia 1 se analiza la operaci´on binaria y la estructura algebraica de grupo. En la competencia 2 se identifica dos grupos con aplicaciones especiales que preservan operaciones llamados Isomorfismos y Homomorfismos. Adem´as se analiza la formaci´on de Grupos de clases Laterales. En la competencia 3 se analiza la estructura algebraica de anillos y sus propiedades. Para finalizar se presenta algunos problemas resueltos de la lista de trabajos pr´acticos dejados, donde se muestra que la teor´ıa es fundamental para resolver problemas propuestos en la materia. Me permito expresar mi profundo agradecimiento a la Universidad Nacional del Altiplano por darme la oportunidad de dictar cursos y al estudiante Danny Apaza por su aporte con el procesamiento del texto. Puno, febrero del 2008. Felipe Cl´ımaco Ccolque Taipe

Cap´ıtulo 1 Operaciones Binarias y Grupos Competencia 1.- Maneja la operaci´on binaria y la estructura algebraica de grupo con claridad, responsabilidad y perseverancia. Capacidad.- Define y analiza operaciones binarias, (Grupos y subgrupos abstractos) y tambi´en concretos como el grupo y subgrupo de permutaciones. Adem´as demuestra el teorema que caracteriza un subgrupo como un subconjunto con ciertas propiedades.

1.1.

Definiciones y Conceptos sin ella

La gran importancia de las definiciones en matem´aticas surge de la necesidad de comunicarse de los matem´aticos entre s´ı acerca de su trabajo. En matem´aticas debemos evitar ambig¨ uedades usando correctamente definiciones y conceptos primitivos. ´ del tipo si y s´olo si aunque se Se entiende que toda definici´on es una PROPOSICION acostumbra omitir el s´olo si. Por ejemplo, cuando definimos: “un tri´angulo es is´osceles si tiene dos lados de igual longitud” en realidad queremos decir que un tri´angulo es is´osceles si y s´olo si tiene dos lados de igual longitud. Los matem´aticos saben que debe haber algunos conceptos sin definici´on o primitivos. Por ahora, estamos de acuerdo en que CONJUNTO debe ser uno de dichos conceptos primitivos. As´ı un CONJUNTO para nosotros significar´a una colecci´on de objetos bien definidos. Un conjunto S est´a formado por elementos, y si a es uno de sus elementos, lo denotaremos por a ∈ S. Existe un conjunto sin elementos. El conjunto vac´ıo, que lo denotaremos por ∅. Podemos describir un conjunto con una propiedad que caracterice a los elementos mediante {x / p(x)}, el cual se lee “el conjunto de todas las x tales que la proposici´on p(x) acerca de x es verdadera”. La otra manera de describir un conjunto mediante el listado de elementos es por ejemplo {1, 2, 3, 4, 5}. Si S = Z+ , entonces podemos describir dicho conjunto como S = {x / x es un n´ umero entero positivo > 1} o bien

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2 S = {1, 2, 3, . . .}.

1.2.

Operaciones Binarias

Nuestro primer contacto con ´algebra fue cuando aprendimos a sumar y multiplicar n´ umeros. La suma es b´asicamente una regla que se aprende y que nos permite asociar a cada dos n´ umeros en un orden dado, un n´ umero como respuesta. Definici´ on 1.2.1 Una operaci´ on binaria ∗ en un conjunto S, es una regla que asocia a cada par ordenado de elementos de S, alg´ un elemento de S. Comentarios: i) Si ∗ : S × S → S es una operaci´on binaria en S, denotaremos por a ∗ b al elemento asociado al par (a, b) por ∗. ii) La palabra par ordenado es muy importante en la definici´on anterior pues es posible que a ∗ b 6= b ∗ a. ½ m´ın{a, b} si a 6= b + EJEMPLO 1.2.1 Si S = Z y a ∗ b = , a si a = b entonces ∗ es una operaci´ on binaria en S, debido a que a ∗ b ∈ S para todo (a, b) ∈ S × S, siendo a ∗ b = a si a < b a ∗ b = b si a > b a ∗ b = a si a = b En particular, 2 ∗ 11 = 2; 15 ∗ 10 = 10; 2 ∗ 2 = 2. on binaria en S EJEMPLO 1.2.2 Si S = Z+ y a ∗0 b = a, entonces ∗0 es una operaci´ 0 porque a ∗ b ∈ S para todo a, b ∈ S. En particular, tenemos 2 ∗0 3 = 2 y 3 ∗0 2 = 3. Esto significa que la operaci´on binaria ∗0 en Z+ depende del orden del par (a, b) dado. Mientras que la operaci´on binaria ∗ en Z+ dado en el ejemplo 1.2.1 no depende del orden del par dado, pues a ∗ b = b ∗ a para todo a, b ∈ Z+ . EJEMPLO 1.2.3 Sean S = Z+ y a∗b=a−b

(1.1)

entonces determinar si ∗ es una operaci´ on binaria en S. Soluci´ on: Para concluir que ∗ definida en (1.1) no es una operaci´on binaria en S, tenemos que exhibir alg´ un (a, b) ∈ S × S tal que a ∗ b ∈ / S. Claramente existe (1, 2) ∈ S × S tal que 1 ∗ 2 = 1 − 2 = −1 ∈ / S. Por lo tanto, la operaci´on ∗ del ejemplo 1.2.3 no es una operaci´on binaria en S N

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3 Comentario.- Si S = Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} y a ∗ b = a − b para todo a, b ∈ S, entonces la operaci´on definida en (1.1) es una operaci´on binaria en S. Si ∗ es una operaci´on binaria en S, entonces consideremos el PROBLEMA de calcular a ∗ b ∗ c. Sabemos que una operaci´on binaria ∗ permite combinar s´olo dos elementos y aqu´ı hay tres. As´ı las distintas maneras de combinar tres elementos a, b, c ∈ S son (a ∗ b) ∗ c y a ∗ (b ∗ c). Con ∗ definida en el ejemplo 1.2.1: (2 ∗ 5) ∗ 9 = 2 ∗ 9 = 2; 2 ∗ (5 ∗ 9) = 2 ∗ 5 = 2, luego 2 ∗ 5 ∗ 9 = (2 ∗ 5) ∗ 9 = 2 ∗ (5 ∗ 9). Por consiguiente, en el ejemplo 1.2.1 est´a definido a ∗ b ∗ c. Comentario.- Si S = Z+ y a ∗00 b = a ∗ b + 2, donde ∗ es la operaci´on binaria del ejemplo 1.2.1, entonces a ∗00 b ∗00 c no est´a definida. En otras palabras a ∗00 b ∗00 c es ambigua. En efecto: para a = 2, b = 5, c = 9 tenemos (2 ∗00 5) ∗00 9 = = = = = =

(2 ∗ 5 + 2) ∗00 9 (2 + 2) ∗00 9 4 ∗00 9 4∗9+2 4+2 6

2 ∗00 (5 ∗00 9) = = = = = =

2 ∗00 (5 ∗ 9 + 2) 2 ∗00 (5 + 2) 2 ∗00 7 2∗7+2 2+2 4

Por consiguiente, siendo 6 6= 4 la expresi´on a ∗00 b ∗00 c no est´a definida.

1.2.1.

Propiedades de Operaci´ on Binarias

Definici´ on 1.2.2 Una operaci´ on binaria ∗ en un conjunto S es CONMUTATIVA si (y s´olo si) a ∗ b = b ∗ a para todo a, b ∈ S. La operaci´ on binaria ∗ es ASOCIATIVA si (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) para todo a, b, c ∈ S. Comentarios: i) Las definiciones son siempre proposiciones del tipo si y s´olo si, por eso se puede omitir el “ s´olo si ”. Los teoremas no siempre son afirmaciones de este tipo. ii) Si ∗ es asociativa, entonces la expresi´on a ∗ b ∗ c ∗ d est´a definida.

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1.2.2.

Operaciones Binarias con Tablas

Mediante una tabla para un conjunto finito se puede definir una operaci´on binaria EJEMPLO 1.2.4 La siguiente tabla define la operaci´ on binaria ∗ en S = {a, b, c} mediante la regla (i-´esimo lugar en la izquierda)∗(j-´esimo lugar arriba)=lugar en el i-´esimo rengl´ on y j-´esima columna del cuerpo de la tabla. ∗ a b c

a b a c

b c c b c b b a

Se observa que: i) a ∗ b = c y b ∗ a = a. Por consiguiente ∗ no es conmutativa. ii) c ∗ (a ∗ b) = c ∗ c = a y (c ∗ a) ∗ b = c ∗ b = b. Por consiguiente ∗ no es asociativa. En este caso el conjunto S no est´a formado por n´ umeros, entonces es comprensible que las operaciones binarias pueden definirse en cualquier conjunto.

1.2.3.

Criterios Para Definir Una Operaci´ on Binaria

Se observa que al definir una operaci´on binaria ∗ en un conjunto S debemos estar seguros de que: i) Se asigne exactamente un elemento a cada par posible de elementos de S. ii) Para cada par ordenado de elementos de S, el elemento asignado est´e en S. Si se infringe la condici´on ii), entonces se dice que S no es CERRADO BAJO ∗. Caso contrario se dice que S es cerrado bajo ∗. EJEMPLO 1.2.5 Si se define ∗ : Q × Q → Q por a ∗ b = a/b Observamos que existe (2, 0) ∈ Q × Q tal que 2 ∗ 0 = 2/0 no est´a definido. Esto significa que falla la condici´ on i) para ∗, por lo tanto ∗ no es una operaci´ on binaria en Q. EJEMPLO 1.2.6 Si se define ∗ : Z+ × Z+ → Z+ por a ∗ b = a/b Observamos que 1 ∗ 3 = 1/3 ∈ / Z+ . Aqu´ı falla la condici´ on ii) para ∗, por lo tanto ∗ no es + una operaci´ on binaria en Z . EJEMPLO 1.2.7 Si se define ∗ : Q+ × Q+ → Q+ por a ∗ b = a/b. Entonces las condiciones i) y ii) para ∗ se cumplen, por lo tanto ∗ es una operaci´ on binaria .

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1.3.

Grupo y sus Propiedades

Una vez que sabemos sumar y multiplicar n´ umeros reales, estamos en condiciones de hacer c´alculos (o aplicar operaciones binarias) para resolver problemas expresados en ecuaciones, como 5 + x = 2, 2x = 3. Ahora, quisi´eramos ser capaces de resolver ecuaciones lineales que contenga operaci´on binaria , como a ∗ x = b. En el ejemplo 1.2.4 la ecuaci´on a ∗ x = a no tiene soluci´ on en S = {a, b, c}. Veamos que propiedades debe tener un conjunto S y una operaci´on binaria ∗ en S para que la ecuaci´on a ∗ x = b tenga soluci´on en S para todo a, b ∈ S. Es b´asica la existencia de un elemento e en S tal que e ∗ x = x para todo x ∈ S. En el caso aditivo, 0 desempe˜ na el papel de e, y el 1 en el caso multiplicativo. Despu´es necesitamos 0 un elemento a en S tal que a0 ∗ a = e. Por u ´ltimo necesitamos la ley asociativa. Si quisi´eramos resolver la ecuaci´on x ∗ a = b para todo a, b ∈ S, requerimos la existencia de e ∈ S tal que x ∗ e = x para todo x ∈ S, la existencia de a0 ∈ S tal que a ∗ a0 = e y la propiedad asociativa de ∗. Con todas estas propiedades de ∗ en S estamos seguros de resolver todas las ecuaciones lineales. Estas son precisamente las propiedades de un grupo. Definici´ on 1.3.1 Un grupo (G, ∗) es un conjunto G, junto con una operaci´ on binaria ∗ en G, tal que se cumplen los siguientes axiomas: G1 . La operaci´ on binaria ∗ es asociativa. G2 . Existe un elemento e ∈ G tal que e ∗ x = x ∗ e = x para todo x ∈ G (Este elemento e es un elemento identidad (o neutro) para ∗ en G). G3 . Para cada a en G existe un elemento a0 en G tal que a0 ∗ a = a ∗ a0 = e (el elemento a0 es un inverso de a respecto a ∗). Comentario.- Un grupo (G, ∗) consta de dos entidades, el conjunto G y la operaci´on binaria ∗ en G. Teorema 1.3.1 Si G es un grupo con una operaci´ on binaria ∗, entonces las leyes de cancelaci´ on se cumplen en G. Es decir, (a ∗ b = a ∗ c implica b = c) y (b ∗ a = c ∗ a implica b = c) para todo a, b, c ∈ G. Demostraci´ on: Supongamos que b ∗ a = c ∗ a . . . (1) Como a ∈ G, por G3 existe a0 ∈ G tal que a ∗ a0 = e Multiplicando por la derecha por a0 a (1): (b ∗ a) ∗ a0 = (c ∗ a) ∗ a0 . . . (2) Aplicando ley asociativa en cada lado de (2) b ∗ (a ∗ a0 ) = c ∗ (a ∗ a0 ) . . . (3) Por la propiedad de a0 de (3): b∗e=c∗e . . . (4) De (4) por definici´on de e en G2 obtenemos que b = c. Similarmente, de a ∗ b = a ∗ c se deduce b = c

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6 Teorema 1.3.2 Si G es un grupo con operaci´ on binaria ∗ y si (a y b son elementos cualesquiera de G), entonces las ecuaciones lineales a ∗ x = b y y ∗ a = b tienen soluciones u ´nicas en G. Demostraci´ on: S´olo demostraremos que y ∗ a = b tiene soluci´on u ´nica. EXISTENCIA: Como G es un grupo y a ∈ G, entonces por G3 existe a0 ∈ G tal que a ∗ a0 = e. Multiplicando por la derecha a la ecuaci´on por a0 obtenemos (y ∗ a) ∗ a0 = b ∗ a0 . . . (1) Pero (y ∗ a) ∗ a0 = y ∗ (a ∗ a0 ) por G1 = y∗e por G3 = y por G2 Tomando extremos (y ∗ a) ∗ a0 = y . . . (2) 0 De (2) en (1) se deduce que y = b ∗ a . Es claro que y ∈ G ya que ∗ es una operaci´on binaria en G. UNICIDAD: Para probar que y ∈ G es la u ´nica soluci´on de y ∗a = b, suponiendo que y1 ∈ G es soluci´on de y ∗ a = b debemos concluir que y1 = y. Como y, y1 son soluciones de la ecuaci´on, entonces satisfacen a la ecuaci´on; es decir, y1 ∗a = b = y ∗a, tomando extremos y1 ∗a = y ∗a. De ´esto por el teorema 1.3.1 concluimos que y1 = y. De manera an´aloga, se demuestra que a ∗ x = b tiene u ´nica soluci´on N Definici´ on 1.3.2 Un grupo (G, ∗) es

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si la operaci´ on binaria ∗ es conmutativa.

on binaria + no es un grupo, pues no EJEMPLO 1.3.1 El conjunto Z+ con la operaci´ + existe un elemento identidad para + en Z . Esto significa que no se cumple G2 . EJEMPLO 1.3.2 El conjunto S = Z+ ∪ {0} con la operaci´ on binaria + todav´ıa no es un grupo. Existe elemento identidad 0, pero no hay inverso para 3 ∈ S. Esto significa que no se cumple G3 . on binaria + es un grupo porque se EJEMPLO 1.3.3 El conjunto Z con la operaci´ satisfacen todos los axiomas G1 , G2 y G3 de grupo. Es m´as que eso, (Z, +) es un grupo abeliano. Comentario.- El problema de resolver las ecuaciones lineales ax = b, yc = d, en virtud del teorema 1.3.2, quedan resueltos de manera u ´nica en una estructura algebraica llamada grupo. on binaria ∗ hay una sola identidad e tal que Teorema 1.3.3 En un grupo G con operaci´ e ∗ x = x ∗ e = x para todo x ∈ G. De la misma manera, para cada a ∈ G existe un solo elemento a0 ∈ G tal que a0 ∗ a = a0 ∗ a = e

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7 Demostraci´ on: i) UNICIDAD DE LA IDENTIDAD e Supongamos que e, e1 son identidades para ∗ en G, entonces debemos concluir que e1 = e. Si e es la identidad para ∗ en G, entonces e ∗ x = x ∗ e = x para todo x ∈ G. En particular para x = e1 : e ∗ e1 = e1 ∗ e = e1 . . . (1) Si e1 es la identidad para ∗ en G, entonces e1 ∗ x = x ∗ e1 = x para todo x ∈ G. En particular para x = e: e1 ∗ e = e ∗ e1 = e . . . (2) De (1) e1 = e1 ∗ e = e ∗ e1 = e

por (2)

Tomando extremos concluimos que e1 = e. Por lo tanto, la identidad en un grupo es u ´nica. ii) UNICIDAD DEL INVERSO DE CADA ELEMENTO Supongamos que a0 , a00 ∈ G son inversos de a respecto a ∗, entonces debemos concluir que a00 = a0 . Si a0 es un inverso de a, entonces a0 ∗ a = a ∗ a0 = e . . . (1) Si a00 es un inverso de a, entonces a00 ∗ a = a ∗ a00 = e . . . (2) de manera que a00 = = = = =

a00 ∗ e por G2 00 0 a ∗ (a ∗ a ) por (1) 00 0 (a ∗ a) ∗ a por G1 e ∗ a0 por (2) 0 a por G2

Tomando extremos concluimos que a00 = a0 . Por lo tanto, el inverso de a ∈ G en un grupo es u ´nico N

1.4.

Grupos Finitos y Tablas de Grupo

Es natural preguntarse si puede existir una estructura de grupo en un conjunto finito, la respuesta es s´ı, y ciertamente, dichas estructuras son muy importantes (llamados grupos finitos ) El conjunto m´as peque˜ no que puede dar lugar a un grupo es el conjunto {e} de un elemento. La u ´nica operaci´on binaria ∗ posible en {e} est´a definido por e ∗ e = e.

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8 En cada grupo, el elemento identidad es siempre su inverso. Tratemos de construir una estructura de grupo en un conjunto de dos elementos. Como uno de los elementos debe desempe˜ nar el papel de identidad, digamos que el conjunto es {e, a}. Busquemos una tabla para una operaci´on binaria ∗ en {e, a} que d´e una estructura de grupo * e a e e · a · · Como e ser´a identidad, entonces e ∗ x = x ∗ e = x Para todo x ∈ {e, a} llenamos * e a e e a a a · Adem´as, a debe tener inverso a0 tal que a0 ∗ a = a ∗ a0 = e . . . (1) 0 0 en nuestro caso a debe ser e o a. Puesto que a = e, de (1) nos conduce a que a = e(→←), entonces debemos tener a0 = a, de tal modo que completamos la tabla de la siguiente manera * e a e e a a a e En base a este ejemplo, podemos enumerar algunas condiciones (para que una tabla defina una operaci´on binaria en un conjunto finito) que debe satisfacer, para dotarlo de una estructura de grupo. Es necesario que alg´ un elemento del conjunto, que siempre denotaremos con e, act´ ue como identidad. La condici´on e ∗ x = x significa que el rengl´on de la tabla que contiene a e en el extremo izquierdo, debe contener exactamente los elementos que aparecen arriba de la tabla, en el mismo orden. En forma an´aloga, La condici´on x ∗ e = x significa que la columna de la tabla debajo de e, debe contener precisamente los elementos que aparecen en el extremo izquierdo, en el mismo orden. El hecho de que cada elemento a tenga un inverso derecho y un izquierdo, quiere decir que en el rengl´on frente a a debe aparecer el elemento e y que en la columna debajo de a debe aparecer e en alg´ un lugar. As´ı e debe aparecer en cada rengl´on y en cada columna. Por el teorema 1.3.2 no s´olo tienen soluciones u ´nicas las ecuaciones a ∗ x = e y y ∗ a = e, sino tambi´en las ecuaciones a ∗ x = b y y ∗ a = b. Por un argumento an´alogo esto significa que CADA ELEMENTO b del grupo debe aparecer una y s´olo una vez en cada rengl´on y en cada columna de la tabla. Supongamos que un conjunto tiene tres elementos. Como antes, podemos hacer el conjunto {e, a, b}. Para que e sea identidad, en este conjunto, una operaci´on binaria ∗ debe tener un esquema de tabla como se muestra * e a e e a a a · b b · F.Cl´ımaco

b b · ·

9 Quedan cuatro lugares para llenar. Se puede ver de inmediato que la tabla debe completarse como se muestra en la siguiente tabla * e a b

e a e a a b b e

b b e a

que la operaci´on binaria ∗ en {e, a, b} es asociativa, de lo contrario debemos hacer el trabajo laborioso, de modo que ∗ s´ı da una estructura de grupo en G = {e, a, b}. Supongamos que G0 es cualquier otro grupo de tres elementos e imaginemos una tabla para G0 donde la identidad aparece en el primer lugar. Como hemos llenado la tabla para G = {e, a, b} de una sola manera, vemos que si llamamos e a la identidad de G0 , a al siguiente elemento y b al u ´ltimo, la tabla de G0 que resulta ser´a la misma que la de G. En otras palabras, las caracter´ısticas estructurales son las mismas para ambos grupos; un grupo se ver´a exactamente igual al otro con s´olo cambiar el nombre de sus elementos. Por lo tanto, cualesquiera dos grupos de tres elementos son estructuralmente el mismo. Esto nos introduce al concepto de isomorfismo. Los grupos G y G0 son isomorfos. PODEMOS ACEPTAR

1.5.

Subgrupo y su caracterizaci´ on

1.5.1.

Notaci´ on y Terminolog´ıa

Por regla general, los algebristas no usan un s´ımbolo especial ∗ para denotar la operaci´on binaria diferente de la suma y multiplicaci´on usuales. Se aferran a la notaci´on convencional de la suma y multiplicaci´on usuales e incluso llaman operaci´on suma o multiplicaci´on, dependiendo del s´ımbolo usado. El s´ımbolo usado para la suma es + y la ´ de los factores sin un punto. As´ multiplicaci´on se denota con la YUXTAPOSICION ı en lugar de la notaci´on a∗b USAMOS ya sea a+b que se lee “suma de a y b” o ab que se lee “producto de a y b”. Para desarrollar nuestra teor´ıa de grupos, en una situaci´on general donde la operaci´on puede ser o no conmutativa, usaremos siempre la notaci´on MULTIPLICATIVA. Los matem´aticos usan con frecuencia 0 para denotar una identidad aditiva y el s´ımbolo 1 para denotar una identidad multiplicativa. En situaciones generales SEGUIREMOS USANDO e para denotar el elemento identidad de un grupo. Se acostumbra denotar el inverso de un elemento a en un grupo, con a−1 en la notaci´on multiplicativa, y con −a en la notaci´on aditiva. En adelante usaremos estas notaciones en lugar de a0 . Comentario.- En resumen, posteriormente usaremos en un grupo (G, ∗) las siguientes notaciones: i) ab = a ∗ b

Lic:F.Cl. Ccolque T

10 ii) e = e iii)

 En caso multiplicativo a−1  ∨ = a0  En caso aditivo −a

Definici´ on 1.5.1 Si G es un grupo finito, entonces el ORDEN de G denotado por |G| se define como el n´ umero de elementos de G . En general, para cualquier conjunto finito S, |S| es el n´ umero de elementos de S. Por ejemplo, si S = {a, b, c}, entonces |S| = 3. Comentario.- En lugar de la frase con la operaci´on binaria usaremos la palabra bajo, as´ı que el grupo IR con la operaci´on binaria suma SE CONVIERTE en el grupo IR bajo la suma.

1.5.2.

Subconjuntos y Subgrupos

Hemos notado a veces que hay grupos contenidos en grupos mayores. Por Ejemplo, el grupo Z bajo la suma est´a contenido en el grupo Q bajo la suma, el cual a su vez est´a contenido en el grupo IR bajo la suma. Cuando vemos al grupo (Z, +) como contenido en el grupo (IR, +), es importante observar que la operaci´on + en los enteros n y m como elemento de (Z, +) produce el elemento n + m. Este mismo elemento se producir´ıa si se pensara n y m enteros como elementos de (IR, +). Por lo tanto, no podemos considerar el grupo (Q + , ·) bajo la multiplicaci´on como contenido en el grupo (IR, +) bajo la suma , pues 2 · 3 = 6 en (Q + , ·) mientras que 2+3=5 en (IR, +) aunque Q + est´a contenido en IR como conjunto. As´ı para que un grupo H est´e contenido en otro G se requiere que la operaci´on de grupo en el menor conjunto asigne el mismo elemento a cada par ordenado de este conjunto menor que el asignado por la operaci´on de grupo del mayor conjunto, adem´as de que H est´e contenido en G como conjunto. (G,*G) (H,*H)

a

a*H b=a*G b

b

Este diagrama muestra que el grupo (H, ∗H ) est´a contenido en el grupo (G, ∗G )

F.Cl´ımaco

11 Definici´ on 1.5.2 Un conjunto B es un subconjunto de A denotado por B ⊆ A(o A ⊇ B) si cada elemento de B est´ a en A. Las notaciones B ⊂ A o A ⊃ B se usar´an para B ⊆ A, pero A 6= B. Comentario.- Para cualquier conjunto A se tiene que ∅ ⊆ A y A ⊆ A. Definici´ on 1.5.3 Si A es cualquier conjunto, entonces A es el subconjunto impropio de A. Cualquier otro subconjunto de A es un subconjunto propio de A. Definici´ on 1.5.4 Sea G un grupo y sea S un subconjunto de G. Si para cada a, b ∈ S es cierto que el producto ab calculado en G tambi´en est´a en S, entonces se dice que S es cerrado bajo la operaci´ on de grupo de G. La operaci´ on binaria en S, as´ı definida, se llama operaci´ on inducida en S desde G. Estamos en condiciones para precisar el concepto de grupo contenido en otro. Definici´ on 1.5.5 Si H es un subconjunto de un grupo G cerrado bajo la operaci´on de grupo de G y si H mismo es un grupo bajo esta operaci´ on inducida, se dice que H es un subgrupo de G . Denotaremos por H 6 G o G > H el hecho de que H es un subgrupo de G. H < G o G > H significar´a que H 6 G, pero H 6= G. Comentarios: i) (Z, +) < (IR, +). ii) (Q+ , ·)  (IR, +) aunque Q + ⊆ IR. iii) G ≤ G y {e} ≤ G, donde e es el elemento identidad de G. iv) H  G esto significar´a que H no es un subgrupo de G. Definici´ on 1.5.6 Si G es un grupo, entonces G se llama subgrupo impropio de G. Todos los otros subgrupos de G son subgrupos propios. Adem´ as {e} es el subgrupo trivial de G. Todos los otros subgrupos son no triviales. EJEMPLO 1.5.1 Q+ bajo la multiplicaci´ on es un subgrupo propio de IR+ bajo la multiplicaci´ on. EJEMPLO 1.5.2 Hay dos tipos de diferentes estructuras de grupo de orden 4. El grupo V es 4-grupo de Klein y el grupo Z4 ,como muestran las siguientes tablas: Z4 :

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

V : ⊕ e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c e a

c c b a e

Lic:F.Cl. Ccolque T

12 Comentarios: i) El u ´nico subgrupo no trivial de Z4 es {0, 2} ii) {0, 3} 66 Z4 , pues {0, 3} no es cerrado bajo la +, por ejemplo 3+3=2 y 2 ∈ / {0, 3}. iii) El grupo V tiene tres subgrupos propios no triviales,{e, a},{e, b},{e, c} iv) {e, a, b} 66 V , pues {e, a, b} no es cerrado bajo la operaci´on de V , por ejemplo ab = c yc∈ / {e, a, b} . v) Es conveniente dibujar un diagrama reticular de los subgrupos de un grupo. En dicho diagrama una recta que baja de un grupo G a un grupo H significa que H es un subgrupo de G. Por lo tanto el grupo m´as grande est´a arriba en el diagrama. La siguiente figura contiene diagramas reticulares para los grupos Z4 y V del ejemplo anterior. Z4 ²

{0, 2} ²

{0} diagrama reticular para Z4 j V SSSSS jjjj SSSS j j j SSSS jj j j j SSSS jj j j SS) ² j ju {e, c} {e, b} {e, a} SS k SSS kkk k SSS k SSS kkk SSS kkk k k SSS k S) ² ukkk

{e}

diagrama reticular para V Si H 6 G y a ∈ H entonces, por el teorema 1.3.2 de unicidad de soluciones para ecuaciones lineales, la ecuaci´on ax = a debe tener soluci´on u ´nica en H, a saber, el elemento identidad de H. Pero esta ecuaci´on tambi´en puede verse como una ecuaci´on en G y vemos que esta soluci´on u ´nica debe ser tambi´en la identidad de G. Un argumento an´alogo aplicado a la ecuaci´on ax = e considerada en H como en G, muestra que el inverso a−1 de a en G tambi´en es el inverso de a en el subgrupo H. El siguiente teorema proporciona un CRITERIO para determinar si un subconjunto de un grupo es un subgrupo del grupo.

F.Cl´ımaco

13 Teorema 1.5.1 Un subconjunto H de un grupo G es un subgrupo de G si y s´olo si: i) H es cerrado bajo la operaci´ on binaria de G . ii) La identidad e de G est´ a en H. iii) Para todo a ∈ H se cumple que a−1 ∈ H. Demostraci´ on: (⇒) i) Si H 6 G, entonces por definici´on 1.5.5 H es cerrado bajo la operaci´on binaria de G. (⇒) ii) Sea e la identidad de G, entonces e ∈ H. En efecto, por G2 sabemos que ea = ae = a para todo a ∈ G. Esto quiere decir, que la u ´nica soluci´on en G de las ecuaciones xa = ax = a para todo a ∈ G es e. En particular, la u ´nica soluci´on de las ecuaciones xa = ax = a para todo a ∈ H, que es e est´a en H por ser ´este un subgrupo de G. Es decir e ∈ H. (⇒) iii) Sea a ∈ H. Como H ≤ G, sabemos que a ∈ G, de modo que por G3 existe a−1 ∈ G tal que a−1 a = aa−1 = e. Esto quiere decir, que la u ´nica soluci´on en G de las ecuaciones xa = ax = e para todo a ∈ G es a−1 . Como a ∈ H y H ≤ G, se deduce que a−1 ∈ H. (⇐) Por la condici´on i) H tiene como operaci´on binaria la inducida de G. Para que H sea grupo debe satisfacer los tres axiomas de grupo siguientes: G1 : La operaci´on binaria en G es asociativa, luego la inducida es asociativa en H En efecto, si a, b, c ∈ H, entonces (ab)c = a(bc) ya que a, b, c ∈ G. G2 : Por la condici´on ii) la identidad e ∈ H. Y se cumple para e las igualdades ea = ae = a para todo a ∈ H. G3 : Por iii) para cada a ∈ H, sabemos que a−1 ∈ H. Por i) a−1 a ∈ H y aa−1 ∈ H tal que a−1 a = aa−1 = e. Por lo tanto para todo a ∈ H, existe a−1 ∈ H tal que a−1 a = aa−1 = e N Teorema 1.5.2 Un subconjunto no vac´ıo H de un grupo G es un subgrupo de G si y s´ olo si ab−1 ∈ H para todo a, b ∈ H. Demostraci´ on: (⇒) Por hip´otesis H 6 G. Sea a, b ∈ H, entonces se debe demostrar que ab−1 ∈ H. En efecto, como H 6 G por G3 para b ∈ H, existe b−1 ∈ H. As´ı para a ∈ H y b−1 ∈ H deducimos que ab−1 ∈ H ya que H es cerrado bajo la operaci´on binaria en G .

Lic:F.Cl. Ccolque T

14 (⇐) Como H 6= ∅, existe a ∈ H. Por hip´otesis para a = a, b = a : ab−1 = aa−1 = e ∈ H. Luego se cumple la condici´on ii) del teorema anterior. Sea b ∈ H, para a = e, b = b por hip´otesis tenemos que b−1 = eb−1 = ab−1 ∈ H, luego se cumple la condici´on iii) del teorema anterior. Sean a, b ∈ H, entonces para a = a, b = b−1 por hip´otesis tenemos que −1 ab = a (b−1 ) ∈ H, con esto se cumple la condici´on i) del teorema anterior. Por el teorema mencionado se concluye que H es un subgrupo de G

N

1.6.

Subgrupos C´ıclicos

En el ejemplo 1.5.2 observamos que {0, 3} Z4 . Veamos que tan grande tendr´ıa que ser un subgrupo H de Z4 que contenga a 3. Tendr´ıa que contener la identidad 0 y el inverso de 3 que es 1. Tambi´en H deber´ıa contener 3+3 que es 2. As´ı el u ´nico subgrupo de Z4 que contiene al 3 es Z4 mismo. Sea G un grupo y sea a ∈ G. Un subgrupo H de G que contiene el a debe, por el teorema 1.5.1 contener aa, lo que denotamos por a2 . Luego, debe contener a2 a lo que denotamos por a3 . En general debe contener an , que es el resultado del c´alculo de productos de a por s´ı mismo, n factores para cada entero positivo n. (En notaci´on aditiva denotar´ıamos esto por na). Estas potencias enteras positivas de a conforman un conjunto cerrado bajo multiplicaci´on. Sin embargo, es posible que el inverso de a no est´e en este conjunto. Desde luego, un subgrupo que contenga a debe contener tambi´en a−1 y, por lo tanto a−1 a−1 , lo que denotamos por a−2 y en general debe contener a−m para toda m ∈ Z+ . Debe contener la identidad e = aa−1 . Por razones simb´olicas, estamos de acuerdo en que a0 = e. EN RESUMEN, se ha mostrado que un subgrupo de G que contenga a, debe contener todos los elementos an (o na para grupos aditivos) para todo n ∈ Z. Es decir, un subgrupo que contenga a debe contener el conjunto {an / n ∈ Z}. Por ejemplo, en el grupo V del ejemplo 1.5.2 el subgrupo {e, a} que contiene a, contiene a todas las potencias de a; a2 = e, a3 = a, a4 = e, a−1 = a y as´ı sucesivamente. Se cumple la ley de los exponentes

an am = an+m para todo m, n ∈ Z.

F.Cl´ımaco

(1.2)

15 Es claro que se cumple a−2 a5 = a3 En efecto, a−2 a5 = = = = = = = = = =

a−1 a−1 aaaaa a−1 (a−1 a)aaaa a−1 eaaaa a−1 (ea)aaa a−1 aaaa (a−1 a)aaa eaaa (ea)aa aaa a3 .

Teorema 1.6.1 Sea G un grupo y sea a ∈ G. Entonces H = {an / n ∈ Z} es un subgrupo de G y es el menor subgrupo de G que contiene a; esto es, cada subgrupo que contiene a contiene H. Demostraci´ on: a)

PRIMERO DEMOSTRAREMOS QUE H ES UN SUBGRUPO DE G.

Vamos a verificar que se cumplen los tres condiciones dadas en el teorema 1.5.1, para que un subconjunto de un grupo sea un subgrupo. Se observa que a = a1 ∈ H, de modo que H es un subconjunto no vac´ıo de G. Y se cumplen las tres condiciones siguientes mencionadas: i) Sean x, y ∈ H, entonces xy ∈ H. En efecto x ∈ H implica que x = ar para alg´ un r ∈ Z y ∈ H implica que y = as para alg´ un s ∈ Z Luego xy = ar as = ar+s . Como r + s ∈ Z, por definici´on de H deducimos que, xy ∈ H ii) Como e = a0 para 0 ∈ Z vemos que e ∈ H (e es la identidad de G), as´ı la identidad e de G est´a en H. iii) Sea x ∈ H, entonces x−1 ∈ H. En efecto, x ∈ H implica que x = ar para alg´ un r ∈ Z. −1 −r Pero x = a y −r ∈ Z. Por definici´on de H concluimos que x−1 ∈ H. De i),ii) y iii), seg´ un el teorema 1.5.1, concluimos que H es un subgrupo de G. b)

a. Sea K un subgrupo de G que contiene a, entonces H ⊆ K. En efecto, supongamos que x ∈ H, entonces x = ar para alg´ un r ∈ Z. Se presentan los siguientes casos para r: r > 0, r = 0 ∨ r < 0.

DEMOSTREMOS QUE H ES EL MENOR SUBGRUPO QUE CONTIENE

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16 i) Si r > 0, x = ar = a · · a} (producto de a) | ·{z r−veces Como K es un subgrupo de G que contiene a, por la parte i) del teorema 1.5.1, deducimos que x = ar ∈ K. ii) Si r = 0, x = a0 = e ∈ K porque K es un subgrupo de G. iii) Si r < 0, entonces −r > 0. Del primer caso a−r ∈ K. Pero x = ar = a(−r)(−1) = (a−r )−1 . De nuevo x = ar = (a−r )−1 ∈ K ya que K es un subgrupo de G. De modo que, si x ∈ H, entonces x ∈ K. Por lo tanto cada subgrupo que contiene a contiene H (o H es el menor subgrupo de G que contiene a) N Definici´ on 1.6.1 El grupo H del teorema 1.6.1 es el por a que se denotar´a por hai. Es decir H = hai.

SUBGRUPO C´ ICLICO

de G generado

Definici´ on 1.6.2 Un elemento “a”de un grupo G genera G (o es un GENERADOR de G) si G = hai. Un grupo G es C´ICLICO si existe alg´ un elemento a en G tal que G = hai. EJEMPLO 1.6.1 Sean Z4 y V los grupos del ejemplo 1.5.2. Entonces deducimos que Z4 es c´ıclico, pues existen elementos 1 y 3 ∈ Z4 que son generadores del grupo. Es decir Z4 = h1i = h3i. El grupo V no es c´ıclico, pues hei = {e}, hai = {e, a}, hbi = {e, b}, hci = {e, c} son subgrupos propios de V . EJEMPLO 1.6.2 El grupo Z bajo la suma es un grupo c´ıclico pues 1 y -1 son generadores del grupo. EJEMPLO 1.6.3 En el grupo Z bajo la suma, el subgrupo c´ıclico generado por 3 es h3i = {3y / y ∈ Z}. Este grupo consta de todos los m´ ultiplos de 3, positivos, negativos y el cero. Denotaremos este subgrupo por 3Z. De manera similar, nZ es el subgrupo c´ıclico hni de Z para cada entero positivo n. Se observa que 6Z < 2Z.

1.7.

Permutaciones

1.7.1.

Aplicaciones y Permutaciones

Aqu´ı trabajaremos con grupos cuyos elementos son llamados permutaciones. Estos grupos nos dan ejemplos de grupos que no son ABELIANOS. En la siguiente capacidad se demostrar´a que cualquier grupo es estructuralmente lo mismo que alg´ un grupo de permutaciones.

F.Cl´ımaco

17 f

y

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

5

5

S

5

S

5

S

S

Figura 1.7.2

Figura 1.7.1

Si S = {1, 2, 3, 4, 5}, entonces se pueden presentar las siguientes correspondencias para S, como se muestra. La Figura 1.7.1 muestra un ejemplo de permutaci´on de S, mientras que la Figura 1.7.2 no da una permutaci´on de S. La Figura 1.7.3 muestra la idea de una aplicaci´on de un conjunto A en un conjunto B. f

a

b

A

B Figura 1.7.3

Definici´ on 1.7.1 Una aplicaci´on o transformaci´ on φ de un conjunto A en un conjunto B es una regla que asigna a cada elemento a de A exactamente un elemento b de B. Se dice que φ transforma a en b (o que φ lleva a en b) y que φ transforma o lleva A en B. Para denotar que φ lleva a en b se escribe φ(a) = b o bien aφ = b. El elemento b es la IMAGEN de a bajo φ. El hecho de que φ lleva A en B se representa por φ:A→B Comentario.- En lugar de la notaci´on φ(a) = b, muchos algebristas prefieren las notaciones aφ = b y aφ = b. Si φ, ψ son aplicaciones con φ : A → B, ψ : B → C, entonces existe una aplicaci´on que lleva A en C como se muestra en la figura siguiente. Se puede ir de A a C v´ıa B, usando las aplicaciones φ, ψ. Esta aplicaci´on que lleva A en C es la aplicaci´on compuesta constituida por φ seguida de ψ. En la notaci´on cl´asica φ(a) = b y ψ(b) = c, luego ψ(φ(a)) = c. Y se denota la aplicaci´on compuesta por ψφ. El s´ımbolo ψφ para φ seguida de ψ, entonces se tiene que leer de DERECHA A IZQUIERDA.

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18

f

y

a

c

b

A

C

B Figura 1.7.3

En las notaciones recientes aφ = b y bψ = c, luego a(φψ) = (aφ)ψ = c. Por lo tanto, la aplicaci´on compuesta en esta notaci´on es φψ y puede leerse de IZQUIERDA A DERECHA. Volviendo a las permutaciones, de acuerdo con nuestra definici´on, vemos que la figura 1.7.2 muestra una aplicaci´on de S = {1, 2, 3, 4, 5} en s´ı mismo. Pero no queremos llamar a esto una permutaci´on pues 1 no es imagen de ning´ un elemento y 3 es imagen de dos elementos, sin embargo, es necesario escoger aquellas aplicaciones φ tal que todo elemento del conjunto es imagen exactamente de un solo elemento. Definici´ on 1.7.2 Una aplicaci´on de un conjunto A en un conjunto B es uno a uno (1-1) si cada elemento de B es imagen de a lo m´as un elemento de A. Y es sobre B si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A. Comentarios: i) En t´erminos de la figura 1.7.3, una aplicaci´on φ : A → B es 1-1 si cada b ∈ B tiene a lo m´as una flecha dirigida hacia b. Decir que φ es sobre B, significa que todo b ∈ B tiene al menos una flecha dirigida hacia b f

y

1

a

a

1

2

b

b

3

c

c

4 A

B Figura 1.7.5 f es 1 - 1

2

A

B Figura 1.7.6 y es sobre B

´ ii) Podemos mencionar la TECNICA PARA DEMOSTRAR que φ es 1-1 o sobre B, puesto que este tipo de problemas se nos presentar´a con frecuencia:

a) Para demostrar que φ es 1-1, se debe verificar que a1 φ = a2 φ implica que a1 = a2 . F.Cl´ımaco

19 b) Para demostrar que φ es sobre B, se debe verificar que para todo b ∈ B existe a ∈ A tal que aφ = b. iii) Para φ : A → B, el conjunto A es el DOMINIO de φ, el conjunto B es el φ y el conjunto Aφ = {aφ / a ∈ A} es la IMAGEN de A bajo φ.

CODOMINIO

de

Definici´ on 1.7.3 Una aplicaci´ on φ de S en S es una permutaci´ on de S si φ es 1-1 y sobre S. EJEMPLO 1.7.1 Observando la figura 1.7.1, deducimos que φ es una permutaci´on de S = {1, 2, 3, 4, 5}. De la figura 1.7.2, se deduce que ψ no es una permutaci´ on de S = {1, 2, 3, 4, 5} porque ψ no es 1-1. 1−1

Comentario.- Se puede escribir φ : A −→ B para representar una aplicaci´on φ, 1-1 de sobre A sobre B. No haremos uso de la terminolog´ıa propagada por los disc´ıpulos de N. Bourbak´ı es 1-1 (inyecci´on), sobre(sobreyecci´on) y una aplicaci´on 1-1 y sobre (biyecci´on), sin embargo, servir´a para que comprendan en la lectura de otros textos de ´algebra.

1.7.2.

Grupo de Permutaciones

En el conjunto de permutaciones de un conjunto se define una operaci´on binaria , la multiplicaci´on de permutaciones. Sea S un conjunto y sean σ y τ permutaciones de S, de modo que σ y τ son aplicaciones 1-1 y llevan S sobre S. La aplicaci´on compuesta στ , como se ilustra en la figura 1.7.4, con A = B = C = S; φ = σ, ψ = τ , nos d´a una aplicaci´on de S en S. Ahora bien, στ ser´a una permutaci´on de S si es 1-1 y sobre S. USAREMOS la notaci´on de escribir las aplicaciones a la DERECHA, de manera que στ puede leerse de IZQUIERDA A DERECHA. i) AFIRMAMOS que στ es 1-1. Sean a, b ∈ S tales que a(στ ) = b(στ ), entonces a = b. En efecto, por definici´on de composici´on de aplicaciones de a(στ ) = b(στ ) se tiene (aσ)τ = (bσ)τ , luego se deduce que aσ = bσ por ser τ 1-1. De esta igualdad obtenemos que a = b puesto que σ es 1-1. Por lo tanto στ es 1-1. ii) AFIRMAMOS que στ es sobre S. Sea c ∈ S, entonces existe a ∈ S tal que a(στ ) = c. En efecto, como τ es sobre S, para c ∈ S existe b ∈ S tal que bτ = c . . . (1) Ahora bien, como σ es sobre S, para b ∈ S existe a ∈ S tal que aσ = b . . . (2). De (2) en (1) se obtiene (aσ)τ = c. As´ı para c ∈ S existe a ∈ S tal que a(στ ) = c. Por lo tanto στ es sobre S De i) y ii) se

CONCLUYE

que στ es una permutaci´on de S.

Para ilustrar lo dicho, sea S = {1, 2, 3, 4, 5},

Lic:F.Cl. Ccolque T

20 s 1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

loµque en adelante¶denotaremos por 1 2 3 4 5 σ= 4 µ 2 5 3 1 ¶ 1 2 3 4 5 y sea τ = 3 µ 5 4 2 1 ¶µ ¶ µ ¶ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Entonces στ = = 4 2 5 3 1 3 5 4 2 1 2 5 1 4 3 Se observa que 1(στ ) = (1σ)τ = (4)τ = 2. Es decir 1(στ ) = 2. Definici´ on 1.7.4 (Igualdad de Aplicaciones) Si ϕ, ψ son aplicaciones de un conjunto A en un conjunto B, entonces ϕ = ψ si aϕ = aψ para todo a ∈ A. Teorema 1.7.1 Sea A un conjunto no vac´ıo y sea SA la colecci´ on de todas las permutaciones de A. Entonces SA es un grupo bajo la multiplicaci´ on de permutaciones. Demostraci´ on: Es claro que SA 6= ∅ pues 1A ∈ SA Debemos verificar los tres axiomas de grupo para SA : G1 . (στ )µ = σ(τ µ) para todo σ, τ, µ ∈ SA En efecto, para a ∈ A (arbitrario) se tiene que a[(στ )µ] = = = =

[a(στ )]µ [(aσ)τ ]µ (aσ)(τ µ) a[σ(τ µ)]

As´ı a[(στ )µ] = a[σ(τ µ)] para todo a ∈ A, por igualdad de aplicaciones, (στ )µ = σ(τ µ). Por lo tanto la multiplicaci´on de permutaciones es ASOCIATIVA. G2 . Existe una permutaci´on identidad e = iA en SA definido por aiA = a para todo a ∈ A, tal que iA σ = σiA = σ para todo σ ∈ SA . En efecto, a(iA σ) = (aiA )σ = aσ para todo a ∈ A. Tomando extremos por igualdad de aplicaciones deducimos que iA σ = σ. F.Cl´ımaco

21 Por otro lado,

a(σiA ) = (aσ)iA , con aσ ∈ A = aσ para todo a ∈ A Por el razonamiento anterior, se deduce que σiA = σ. Por lo tanto, existe el elemento identidad iA para la multiplicaci´on de permutaciones en SA . G3 . Para cada σ ∈ SA , existe σ −1 ∈ SA tal que σ −1 σ = σσ −1 = iA . En efecto, dado σ ∈ SA definimos σ −1 : A → A por aσ −1 = a0 si y s´olo si a = a0 σ . . . (1) −1 ´ AFIRMACION.- σ est´a bien definido Para eso, si a, b ∈ A tales que a = b, entonces debemos demostrar que aσ −1 = bσ −1 . En efecto, sean aσ −1 = a0 y bσ −1 = b0 , luego por (1) tenemos que a = a0 σ y b = b0 σ Pero a = b, luego a0 σ = b0 σ, como σ es 1-1 obtenemos que a0 = b0 . De aqu´ı aσ −1 = bσ −1 . Ahora, verifiquemos las igualdades σ −1 σ = σσ −1 = iA : a(σ −1 σ) = (aσ −1 )σ = a = aiA

por (1) para todo a ∈ A

Tomando extremos, por igualdad de aplicaciones deducimos que σ −1 σ = iA Por otro lado, a(σσ −1 ) = (aσ)σ −1 a por (1) = aiA para todo a ∈ A Por igualdad de aplicaciones tenemos que σσ −1 = iA . . . (3) De (2) y (3), se concluye que para cada σ ∈ SA , existe σ −1 ∈ SA tal que σ −1 σ = σσ −1 = iA

. . . (2)

N Comentario.- Al definir permutaciones, no fue necesario que A fuese un conjunto finito. Definici´ on 1.7.5 Si A es el conjunto finito {1, 2, . . . , n}, entonces el grupo de todas las ´ permutaciones de A es el GRUPO SIMETRICO de n letras y se denota por Sn Comentario.- El grupo Sn tiene n! elementos, donde n! = n(n − 1)(n − 2) · · · (2)(1) EJEMPLO 1.7.2 Un ejemplo interesante de grupos es el grupo S3 de 3!=6 elementos. Sea S = {1, 2, 3}, entonces podemos citar todas las permutaciones de S (elementos de S3 ), como sigue: µ ρ0 = µ µ1 =

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2

¶

µ , ρ1 =

¶

µ , µ2 =

1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 2 1

¶

µ , ρ2 =

¶

µ , µ3 =

1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 1 3

¶ ¶

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22 Podemos verificar que la tabla de multiplicaci´on de permutaciones siguiente es para el grupo sim´etrico S3 . ρ0 ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3

ρ0 ρ0 ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3

ρ1 ρ1 ρ2 ρ0 µ3 µ1 µ2

ρ2 ρ2 ρ0 ρ1 µ2 µ3 µ1

µ1 µ1 µ2 µ3 ρ0 ρ1 ρ2

µ2 µ2 µ3 µ1 ρ2 ρ0 ρ1

CORRECTA

µ3 µ3 µ1 µ2 ρ1 ρ2 ρ0

Se observa que el grupo S3 NO ES ABELIANO, pues existen ρ1 , µ1 ∈ S3 tales que ρ1 µ1 = µ2 6= µ3 = µ1 ρ1 seg´ un la tabla anterior. Sin embargo, podemos calcular ρ1 µ1 , como sigue: µ ¶µ ¶ µ ¶ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ρ 1 µ1 = = = µ2 . 2 3 1 1 3 2 3 2 1 Todos los grupos hasta con cinco elementos son conmutativos. As´ı, S3 tiene el menor orden entre los grupos no abelianos.

Comentario.- Hay una correspondencia natural entre los elementos de S3 en el ejemplo 1.7.2 y las maneras en que pueden colocarse, una sobre otra, dos copias de un tri´angulo equil´atero con v´ertices 1,2,3.

1

32 ­ 22 ­ 22 ­­ / \ ­ 22 ­ ­ 2 ­­ |

2

Por esta raz´on, S3 es adem´as el grupo D3 de simetr´ıas de un tri´angulo equil´atero. Usamos ρi para las rotaciones y µi para las im´agenes reflejadas en bisectrices de los ´angulos. El grupo D3 representa el TERCER grupo di´edrico. El n−´esimo grupo di´edrico Dn es el grupo de simetr´ıas del n−´agono REGULAR.

1.7.3.

Ciclos y Notaci´ on C´ıclica de Permutaciones

Sea σ la permutaci´on en S8 que deja fijos al 1, 5 y 7 y act´ ua sobre los elementos restantes mediante la rotaci´on del c´ırculo descrito

2 8

4

3

F.Cl´ımaco

6

23 µ Entonces

σ=

1 2 3 4 5 6 7 8 1 4 6 3 5 8 7 2

¶

Esta permutaci´on σ es un ciclo de longitud 5; para ello se introduce una notaci´on nueva, m´as compacta σ = (2, 4, 3, 6, 8). ´ es la notaci´ La NUEVA NOTACION on c´ıclica. Cada elemento que aparece en (2,4,3,6,8) se lleva al siguiente excepto el u ´ltimo, que va el primero. Se considera que los elementos que no aparecen en la notaci´on quedan fijos bajo la permutaci´on. Definici´ on 1.7.6 Una permutaci´ on σ de un conjunto S es un CICLO DE LONGITUD n si existen s1 , s2 , . . . , sn ∈ S tales que s1 σ = s2 , s2 σ = s3 , . . . , sn−1 σ = sn , sn σ = s1 , y xσ = x para todo x ∈ S tal que x 6= {s1 , s2 , . . . , sn }. Escribimos σ = (s1 , s2 , . . . , sn ). EJEMPLO 1.7.3 Si S = {1, 2, 3, 4, 5}, entonces µ ¶ 1 2 3 4 5 (1, 3, 5, 4) = 3 2 5 1 4 Comentario.- Se observa que (1, 3, 5, 4) = (3, 5, 4, 1) = (5, 4, 1, 3) = (4, 1, 3, 5). Siendo los ciclos tipos particulares de permutaciones, pueden multiplicarse como cualesquiera dos permutaciones. Sin embargo, el producto de dos ciclos no necesariamente es un ciclo. EJEMPLO 1.7.4 Sean (1,4,5,6) y ciones de {1, 2, 3, 4, µ 5, 6}. Entonces 1 2 3 4 5 (1, 4, 5, 6)(2, 1, 5) = 4 1 3 2 6 µ 1 2 3 4 5 (2, 1, 5)(1, 4, 5, 6) = 6 4 3 5 2

(2,1,5) ciclos en el grupo S6 de todas las permuta6 5 6 1

¶ y ¶ .

Ninguna de estas dos permutaciones es un ciclo. Se demuestra que cualquier permutaci´on que no sea identidad de un conjunto finito es producto de ciclos ajenos. EJEMPLO 1.7.5 Consideremos la permutaci´on µ ¶ 1 2 3 4 5 6 σ= 6 5 2 4 3 1 Entonces podemos escribir como producto de ciclos disjuntos (o ajenos). Se observa, en primer lugar, que el 1 se mueve al 6 y el 6 al 1, produciendo el ciclo (1, 6) = (1, 1σ) donde 1σ 2 = 1. A continuaci´on 2 se mueve al 5, ´este se mueve a 3, el cual se mueve a 2, produciendo el ciclo (2, 5, 3) = (2, 2σ, 2σ 2 ) donde 2σ 3 = 2. Finalmente σ = (1, 6)(2, 5, 3) = (1, 1σ)(2, 2σ, 2σ 2 ) = τ1 τ2 Por lo tanto, σ = τ1 τ2 donde τ1 y τ2 son ciclos disjuntos. Lic:F.Cl. Ccolque T

24 Comentario.- La multiplicaci´on de ciclos ajenos es conmutativo, as´ı que no es importante el orden de los factores. Del ejemplo anterior : σ = τ1 τ2 = τ2 τ1 , donde τ1 y τ2 son ciclos disjuntos. Teorema 1.7.2 Cada permutaci´on σ que no sea identidad de un conjunto finito S es un producto de ciclos disjuntos. Demostraci´ on: Supongamos que S = {1, 2, 3, . . . , n}. Consideremos los elementos 1, 1σ, 1σ 2 , 1σ 3 , . . . Como S es finito, no pueden ser distintos estos elementos. Sea 1σ r el primer t´ermino que se repite. Entonces 1σ r = 1. En caso contrario 1σ r = 1σ s con 0 < s < r, luego se tendr´ıa 1σ r−s = 1 con r −s < r(→←) a la selecci´on de r. De esta manera se obtiene τ1 = (1, 1σ, 1σ 2 , . . . , 1σ r−1 ). Se observa que τ1 tiene el mismo efecto que σ en todos los elementos de S que aparecen en esta notaci´on c´ıclica para τ1 . Sea i el primer elemento de S que no aparece en la notaci´on c´ıclica de τ1 . Se repite el argumento anterior con la sucesi´on i, iσ, iσ 2 , . . . y obtenemos un ciclo τ2 = (i, iσ, iσ 2 , . . . , iσ t−1 ). Ahora bien τ1 y τ2 son disjuntos, ya que si tuvieran en com´ un alg´ un elemento j de S, ser´ıan id´enticos, pues cada ciclo podr´ıa τ1 6=τ2 construirse mediante aplicaciones repetidas de la permutaci´on σ comenzando en j(→←). Para continuar, se elegir´a el primer elemento de S que no aparece en las notaciones c´ıclicas de τ1 ni τ2 y se construir´a el ciclo τ3 , y as´ı sucesivamente. Como S es finito, este proceso debe terminar en alg´ un ciclo τm . El producto τ1 τ2 · · · τm tiene el mismo efecto en cada elemento de S que σ, por lo tanto σ = τ1 τ2 · · · τm N Comentario.- La representaci´on de una permutaci´on que no sea identidad como producto de ciclos disjuntos es u ´nica, salvo el orden de los factores.

1.7.4.

Permutaciones Pares e Impares

´ . Definici´ on 1.7.7 Un ciclo de longitud dos es una TRANSPOSICION De esta manera, una transposici´ on deja fijos todos los elementos excepto dos y lleva a cada uno de estos en el otro. Un c´alculo simple muestra que

(a1 , a2 , . . . , an ) = (a1 , a2 )(a1 , a3 ) · · · (a1 , an ) Por lo tanto, cualquier ciclo es un producto de transposiciones. EJEMPLO 1.7.6 Podemos expresar la permutaci´ on (1,6)(2,5,3) como producto de transposiciones en la forma (1,6)(2,5)(2,3). Corolario 1.7.8 Cualquier permutaci´ on de un conjunto finito de al menos dos elementos es un producto de transposiciones.

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25 Comentario.- Se observa que (a, b)(a, b) es la permutaci´on identidad. Teorema 1.7.3 Ninguna permutaci´ on de un conjunto finito puede expresarse como un producto de un n´ umero par de transposiciones y a la vez como producto de un n´ umero impar de transposiciones. Definici´ on 1.7.9 Una permutaci´ on de un conjunto finito es PAR o IMPAR conforme pueda expresarse como el producto de un n´ umero par de transposiciones o como el producto de un n´ umero impar de transposiciones, respectivamente. GRUPO ALTERNANTE.- Afirmamos que para n > 2, el n´ umero de permutaciones pares en Sn es igual al n´ umero de permutaciones impares. Sea An el conjunto de permutaciones pares en Sn y Bn el conjunto de permutaciones impares para n > 2. Como existe n! una aplicaci´on λτ : An → Bn 1-1 y sobre Bn , entonces |An | = . 2 Teorema 1.7.4 Si n > 2, la colecci´ on de todas las permutaciones pares de {1, 2, 3, . . . , n} n! forman un subgrupo de orden del grupo sim´etrico Sn . 2 Definici´ on 1.7.10 El subgrupo de Sn que consta de todas las permutaciones pares de n letras se llama GRUPO ALTERNANTE An de n letras. Ejercicio.- Demostrar que An es un subgrupo de Sn , n > 1.

1.8.

Grupos C´ıclicos y Propiedades

1.8.1.

Propiedades Elementales

Si G es un grupo y a ∈ G, entonces H = {an / n ∈ Z} 6 G. Este grupo es el subgrupo c´ıclico de G generado por a. Ahora bien, si G = {an / n ∈ Z}, entonces a es un generador de G y el grupo G = hai es c´ıclico. El prop´osito de esta secci´on es clasificar todos los grupos c´ıclicos y todos los subgrupos de los grupos c´ıclicos. Teorema 1.8.1 Todo grupo c´ıclico es abeliano. Demostraci´ on: (Para que un grupo G sea abeliano debemos demostrar que ∀g1 , g2 ∈ G : g1 g2 = g2 g1 ). Sea G un grupo c´ıclico y sea a un generador de G, entonces G = hai = {an / n ∈ Z} Si g1 y g2 son elementos cualesquiera de G, entonces existen enteros r y s tales que g1 = ar , g2 = as , de manera que g1 g2 = ar as = ar+s por (1.2) = as+r , + es conmutativa en Z = as ar = g2 g1 Por lo tanto, el grupo c´ıclico G es abeliano N

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26 Comentarios: i) Seguiremos utilizando la notaci´on multiplicativa en nuestro trabajo sobre grupos, a pesar de saber que son abelianos. ii) Existe un rec´ıproco d´ebil, del teorema 1.8.1, a saber, se muestra que todo grupo abeliano “suficientemente peque˜ no”puede construirse a partir de grupos c´ıclicos, de una cierta manera. Por lo tanto, los grupos c´ıclicos son fundamentales en el estudio de grupos abelianos.

Lema 1.8.1 (Algoritmo de divisi´on para Z) Si m es un entero positivo y n es cualquier entero, entonces existen enteros u ´nicos q y r tales que n = mq + r y 0 6 r < m. Demostraci´ on: n > 0, q > 0

Se da una explicaci´on con diagramas mediante la siguiente figura n ² ² r ¨²² z}|{ | | | | ... | | | qm (q + 1)m m 2m −m 0 | {z } n = qm + r µ

n < 0, q < 0

n

r ªµµµ z}|{ | | | ... | qm (q + 1)m −m | {z

| 0 }

| m

| 2m

n = qm + r figura 1.8.1 Sobre el eje X real usado en geometr´ıa anal´ıtica, se han marcado los m´ ultiplos de m y se puede tomar r igual a cero, o n caer´a entre dos m´ ultiplos de m. Si este es el caso, sea qm el primer m´ ultiplo de m a la izquierda de n. Entonces r es como se muestra en la figura 1.8.1. Se observa en dicha figura que 0 6 r < m. Despu´es de pensarlo un poco se v´e que la unicidad de q y de r es clara a partir de los diagramas N Teorema 1.8.2 Un subgrupo de un grupo c´ıclico es c´ıclico. Demostraci´ on: Sea G un grupo c´ıclico y H 6 G, entonces G = hai. Ahora, tenemos que demostrar que H es c´ıclico. Si H = {e}, entonces H = hei es c´ıclico. Si H 6= {e}, entonces existe m = m´ın{n ∈ Z+ / an ∈ H} de modo que am ∈ H. Afirmamos que c = am genera H Es decir, H = ham i = hci Debemos demostrar que todo elemento b de H es una potencia de c. Sea b ∈ H, como H 6 G, b = an para alg´ un n ∈ Z. As´ı para el entero n y el entero positivo m , existen enteros q y r tales que n = mq + r

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27 con 0 6 r < m mediante el lema 1.8.1. Entonces an = amq+r = (am )q ar de donde ar = (am )−q an . . . (1) Ahora, como an ∈ H, am ∈ H y H es grupo, tanto (a−m )q = (am )−q como an est´an en H. As´ı (am )−q an ∈ H. Es decir, ar ∈ H por (1). Debido a que m se ha elegido como el m´ınimo entero tal que am ∈ H y 0 6 r < m, debemos tener r = 0. Por lo tanto, n = mq y b = an = (am )q = cq , de modo que b es una potencia de c N Como se observ´o en los ejemplos 1.6.2 y 1.6.3, Z bajo la suma es c´ıclico y para un entero n, el conjunto nZ de todos los m´ ultiplos de n es un subgrupo de Z bajo la suma; es el subgrupo c´ıclico generado por n. El teorema 1.8.2 muestra que estos subgrupos c´ıclicos son los u ´nicos subgrupos de Z bajo la suma. Corolario 1.8.2 Los subgrupos no triviales de Z bajo la suma, son precisamente los grupos nZ bajo la suma para n ∈ Z+ .

1.8.2.

Clasificaci´ on de Grupos C´ıclicos

Sea G un grupo c´ıclico con generador a. Consideremos dos casos: Caso I.- G tiene un n´ umero infinito de elementos (o tiene orden infinito). En este caso afirmamos que dos exponentes distintos h y k dan elementos distintos ah , ak de G. En efecto, supongamos que ah = ak con h > k. Entonces ah a−k = ah−k = e, la identidad y h − k > 0. Sea m el menor entero positivo tal que am = e. Afirmamos que G tendr´a u ´nicamente los distintos elementos e, a, a2 , . . . , am−1 . Sea an ∈ G, luego se encuentran q y r tales que n = mq + r para 0 6 r < m por el lema 1.8.1, ³ de manera que an = amq+r = (am )q ar = ar para 0 6 r < m. Esto significa que G es ´ Hip. finito →← ; Hip. G tiene infinitos elementos. Por lo tanto todas las potencias de a son distintas. Ahora bien, si G0 es otro grupo c´ıclico infinito con generador b. Es claro que si se cambia el nombre de bn por an , aparece que G0 es exactamente igual a G; es decir, los grupos G y G0 son isomorfos. As´ı Z bajo la suma puede tomarse como prototipo de cualquier grupo c´ıclico infinito. EJEMPLO 1.8.1 Se parece extra˜ no que los grupos Z y 3Z son estructuralmente id´enticos a pesar de que 3Z < Z. Los nombres no importan, si el 1 lo nombramos 3, al 2 lo nombramos 6 y en general al n lo nombramos 3n, habremos convertido Z en 3Z como grupo aditivo. Caso II.- G tiene orden finito. En este caso no todas las potencias de un generador a de G son distintas, as´ı que para algunos h y k tenemos ah = ak . Siguiendo la argumentaci´on del Caso I, existe un entero m tal que am = e y ninguna potencia positiva menor de a es e. Entonces, el grupo G consta de los distintos elementos e, a, a2 , . . . , am−1 .

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28 Como se acostumbra usar n para el orden del grupo c´ıclico en general, cambiaremos la notaci´on para lo siguiente, estableciendo m = n. EJEMPLO 1.8.2 Es agradable imaginar los elementos e = a0 , a1 , a2 , . . . , an−1 de un grupo c´ıclico de orden n, distribuidos equitativamente sobre una circunferencia.

a3

3

a2

2

a1

an-1

1

n-1

a0 =e Figura 1.8.2

0

Figura 1.8.3

Como se ve en la figura 1.8.2. El elemento e = a0 esta localizado en la parte inferior y el ah est´a localizado a h de estas unidades iguales, medidas en el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj, desde e = a0 . Para multiplicar ah y ak mediante este diagrama, se comienza desde ah y se avanza, en el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj, k unidades m´as. Para ver en t´erminos aritm´eticos donde termina, encuentre q y r tales que h + k = nq + r para 0 6 r < n. El t´ermino nq nos lleva q veces alrededor del c´ırculo hasta llegar a ar . Definici´ on 1.8.3 Sea n un entero positivo fijo y sean h y k enteros cualesquiera. El n´ umero r tal que h + k = nq + r para 0 6 r < n es la suma de h y k m´odulo n. Teorema 1.8.3 El conjunto {0, 1, 2, . . . , n − 1} es un grupo c´ıclico Zn de elementos bajo la suma m´odulo n. En la congruencia m´odulo n. Si h+k = r en Zn entonces, para la suma en Z, tenemos h + k = r( mod n). Demostraci´ on:

(Se deja como ejercicio)

N

Seg´ un el diagrama de la figura 1.8.3 como se explic´o en el ejemplo 1.8.2, permite renombrar el elemento ah del ejemplo 1.8.2 con h. Por lo tanto, hay un grupo c´ıclico de orden n para cada entero positivo n. En el caso II, Zn ser´a el grupo dado por el teorema 1.8.3 un prototipo igual que en el caso infinito es Z. Si G y G0 son dos grupos c´ıclicos de n elementos cada uno, con generadores a y b, respectivamente, entonces al cambiar el nombre de br por ar , G0 se ver´a exactamente como G. Esto es, cualesquiera dos grupos c´ıclicos del mismo orden finito son isomorfos.

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29

1.8.3.

Subgrupos de Grupos C´ıclicos Finitos

Una vez terminada la clasificaci´on de grupos c´ıclicos, nos dedicamos a los subgrupos de grupos c´ıclicos finitos. Se sabe que c|a si existe b ∈ Z tal que cb = a. Si m|n y n|m, entonces m = ±n.

(1.3)

Recordemos que, c es el m´aximo com´ un divisor de a y b si: i) c|a y c|b ii) si e|a y e|b, entonces e|c. Denotaremos el m´aximo com´ un divisor de a y b por mcd{n, s}. Teorema 1.8.4 Sea G un grupo c´ıclico con n elementos generado por a. Sea b ∈ G y n b = as . Entonces, b genera un subgrupo c´ıclico H de G que tiene elementos, donde d d = mcd{n, s}. Demostraci´ on: Sabemos, del teorema 1.6.1 que b genera un subgrupo c´ıclico H de G. n Nos falta demostrar que H = {bt / t ∈ Z} tiene elementos. d Siguiendo la discusi´on hecha en el caso I, podemos observar que H tiene “m” elementos, n donde m = m´ın{r ∈ Z+ / br = e}. As´ı vamos a demostrar que m = . d Ahora bien, como b = as y bm = e se tiene que (as )m = asm = e, luego n divide a ms. n ¯¯ Del hecho que n|sm ⇒ nλ = sm para alg´ un λ ∈ Z, ⇒ ¯ s (1.4) m ³n´ n ¯¯ Como m = n, se tiene (1.5) ¯n m m n ¯¯ Como d = mcd{n, s}, por ii) se deduce que ¯ d (1.6) m ¯n ¯ Afirmamos que d ¯ (1.7) m En efecto: Como d = mcd{n, s}, por i) se deduce que d|n y d|s, de donde dλ1 = n y n ¯¯ n n ¯¯ dλ2 = s. As´ı λ1 = y siendo dλ1 = n, se tiene que ¯ n y n|ms, luego ¯ ms. d d d n s n λ3 = sm, de donde = d . Con lo cual d m λ3 s ∈ Z. queda verificado la afirmaci´on hecha en (1.7) si λ3 s Interpretando ∈ Z, significa que λ3 |s. λ3 n (1.8) De λ3 = sm ⇒ λ3 |sm ⇒ λ3 |s o λ3 |m. d Esto significa que existe λ3 ∈ Z tal que

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30 Supongamos que λ3 |m, entonces de

n n m λ3 = sm se obtiene que = ∈ Z. d λ3 ds

De donde dm =

nλ3 . s

(1.9)

Por otro lado, como d = mcd{n, s}, sabemos que existen r, t ∈ Z tales que d = rn + ts; de modo que dm = rnm + tsm. Ahora adm = (an )rm (asm )t = (e)rm (e)t = e, luego por (1.9) tenemos que e = adm = (as )

nλ3 s2

= (b)

nλ3 s2

3 Pero nλ = md < m (→←). Por esta contradicci´on a la minimalidad de m, queda estables2 s cida el hecho que λ3 |s. n n De (1.6) y (1.7) en (1.3) se obtiene que = d. Por lo tanto m = N m d

EJEMPLO 1.8.3 Hallar los tres subgrupos del grupo c´ıclico Z12 generados por sus elementos siguientes 3,8 y 5. Soluci´ on: El teorema 1.8.4 nos dice que: Si G =< a > es un grupo c´ıclico con |G| = n, b = as y d = mcd{n, s}, entonces < b >≤ G n n y < b >= {e, b, . . . , b d −1 }. es tal que | < b > | = d Haciendo G = Z12 , |Z12 | = n = 12 y a = 1 obtenemos: i) Para b = as = 3(1) = 3 ∈ Z12 se tiene d = mcd{12, 3} = 3. Luego el subgrupo < 3 > de Z12 es tal que | < 3 > | = 12 = 4 y < 3 >= {0, 3, 2(3), 3(3)} 3 ii) Para b = 8 = 8(1) ∈ Z12 se tiene d = mcd{12, 8} = 4. Luego el subgrupo < 8 > de Z12 es tal que | < 8 > | = 12 = 3 y < 8 >= {0, 8, 2(8)} = {0, 8, 4}. 4 iii) Para b = 5 = 5(1) ∈ Z12 se tiene d = mcd{12, 5} = 1. Luego el subgrupo < 5 > de Z12 es tal que | < 5 > | = 12 = 12 y 1 < 5 > = {0, 5, 2(5), 3(5), 4(5), 5(5), 6(5), 7(5), 8(5), 9(5), 10(5), 11(5)} = {0, 5, 10, 3, 8, 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7} = Z12 N Corolario 1.8.4 Si a es un generador de un grupo c´ıclico finito G de orden n, entonces los otros generadores de G son los elementos de la forma ar , donde mcd{r, n} = 1. Demostraci´ on: Sea b = ar y d = mcd{r, n} = 1, entonces por el teorema 1.8.4 el n N subgrupo H =< b > de G es tal que |H| = = n y H = {e, b, . . . , bn−1 } = G 1 EJEMPLO 1.8.4 Encuentre todos los subgrupos de Z18 y elabore el correspondiente diagrama reticular.

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31 Soluci´ on:

Todos los subgrupos de un grupo c´ıclico es c´ıclico por el teorema 1.8.2.

i) 7 es generador de Z18 . En efecto, si Z18 =< 1 >, podemos hacer 7 = 7(1) ∈ Z18 , de modo que r = 7. Se observa que mcd{7, 18} = 1, luego por el corolario 1.8.4 se tiene Z18 =< 7 >. Por consiguiente, 7 es generador de Z18 . ii) Los elementos 1,5,11,13 y 17 son tambi´en generadores de Z18 por el corolario 1.8.4, puesto que mcd{1, 18} = mcd{5, 18} = mcd{11, 18} = mcd{13, 18} = mcd{17, 18} = 1. , donde iii) Seg´ un el teorema 1.8.4 el subgrupo < 2 > de Z18 es de orden 9 = 18 2 2 = mcd{2, 18}. Adem´as < 2 >= {0, 2, 2(2), 3(2), 4(2), 5(2), 6(2), 7(2), 8(2)} = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}. Para el grupo c´ıclico H =< 2 > de orden 9, seg´ un el corolario 1.8.4 los generadores de H son sus elementos de la forma r(2) con mcd{r, 9} = 1. Por lo tanto los generadores de H =< 2 > son 2,4,8,10,14 y 16. iv) Seg´ un el teorema 1.8.4 el subgrupo < 6 > de Z18 es de orden 3 = 18 , donde 6 6 = mcd{6, 18}. Adem´as < 6 >= {0, 6, 2(6)} = {0, 6, 12} y < 6 >=< 12 >. Hasta ahora hemos encontrado los subgrupos Z18 generados por 1,2,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14,16 y 17. v) Seg´ , donde un el teorema 1.8.4 el subgrupo < 3 > de Z18 es de orden 6 = 18 3 3 = mcd{3, 18}. Adem´as < 3 >= {0, 3, 2(3), 3(3), 4(3), 5(3)} = {0, 3, 6, 9, 12, 15}. Para el grupo c´ıclico K =< 3 > de orden 6, seg´ un el corolario 1.8.4 los generadores de K son sus elementos de la forma r(3) con mcd{r, 6} = 1. Por lo tanto los generadores de K =< 3 > son 3 y 15. Adem´as 9 ∈ K se expresa como 9=3(3), luego se tiene s = 3 y d = mcd{3, 6} = 3. 6 Seg´ un el teorema 1.8.4 el subgrupo < 9 > de K es de orden 2 = y < 9 >= {0, 9}. 3 Finalmente se observa que < 0 >= {0} Por lo tanto, el diagrama reticular de todos los subgrupos de Z18 es la siguiente h1i = Z18

u uu uu u uu uz u h2i I II II II II I$

II II II II II $

u uu uu u uu uz u h6i I II II II II I$

h3i

h0i

AA AA AA AA Ã }} }} } } }~ }

h9i

N diagrama reticular de Z18

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32

1.9.

´ Primer Trabajo Pr´ actico de Algebra II

Resuelva cada uno de los siguientes problemas: 1. Si ∗00 es una operaci´on binaria en Z+ definido por a ∗00 b = (a ∗ b) + 2 donde ∗ est´a definido en el ejemplo 1.2.1. Entonces calcule 4 ∗00 5; 25 ∗00 8 y 7 ∗00 7. 2. Sea la operaci´on binaria ∗ definida en S = {a, b, c, d, e} mediante la tabla siguiente ∗ a a a b b c c d b e d

b c d b c b c a e a b b e b e b a d

e d c a d c

i) Calcule a ∗ b, c ∗ c y [(a ∗ c) ∗ e] ∗ a de la tabla. ii) Calcule (a ∗ b) ∗ c y a ∗ (b ∗ c) de la tabla. iii) ¿∗ es conmutativa?, ¿∗ es asociativa?. 3. Complete la siguiente tabla ∗ a b a a b b b d c c a d d

c c d

d c b a

de manera que ∗ sea una operaci´on binaria conmutativa en S = {a, b, c, d}. 4. Determinar si cada una de las definiciones de ∗ dadas a continuaci´on, da una operaci´on binaria en el conjunto dado. En caso de que ∗ no sea una operaci´on binaria diga de las condiciones i) ´o ii) o ambos no se cumplen. i) En Z+ , se define ∗ por a ∗ b = a − b ii) En Z+ , se define ∗ por a ∗ b = ab iii) En IR, se define ∗ por a ∗ b = a − b. 5. Para toda operaci´on binaria ∗ definida a continuaci´on, determine cu´al ∗ es conmutativa y cu´al ∗ es asociativa. i) En Z, se define ∗ por a ∗ b = a − b ii) En Q, se define ∗ por a ∗ b = ab + 1 ab iii) En Q, se define ∗ por a ∗ b = 2 + iv) En Z , se define ∗ por a ∗ b = 2ab .

F.Cl´ımaco

33 6. Para cada operaci´on binaria ∗ definida sobre un conjunto abajo, decir s´ı o no ∗ da la estructura de grupo sobre el conjunto. Si no resulta un grupo, d´e el primer axioma en el orden G1 , G2 , G3 que no se cumple. i) Se define ∗ en Z por a ∗ b = ab ii) Se define ∗ en Z por a ∗ b = a − b iii) Se define ∗ en IR+ por a ∗ b = ab iv) Se define ∗ en Q por a ∗ b = ab v) Se define ∗ en IR − {0} por a ∗ b = ab vi) Se define ∗ en C I por a ∗ b = a + b. 7. Demostrar por c´alculo y por el teorema 1.3.3 que si G es un grupo con operaci´on binaria ∗, entonces (a ∗ b)0 = b0 ∗ a0 para todo a, b ∈ G. 8. Construir los dos grupos con tablas a partir de un conjunto de cuatro elementos, procediendo de manera an´aloga a lo que hicimos para un conjunto de tres elementos. 9. Demostrar que un grupo G con identidad e tal que x ∗ x = e para todo x ∈ G es conmutativo. 10. Probar que, un conjunto no vac´ıo G con una operaci´on binaria asociativa ∗ en G tal que, a ∗ x = b y y ∗ a = b tienen soluci´on en G para todo a, b ∈ G es un grupo. 11. Sea S el conjunto de todos los n´ umeros reales diferentes de −1. Se define ∗ en S por a ∗ b = a + b + ab i) Demostrar que ∗ es un operaci´on binaria en S ii) Demostrar que (S, ∗) es un grupo iii) Hallar la soluci´on de la ecuaci´on 2 ∗ x ∗ 3 = 7 en S. 12. Determine cu´ales de los siguientes subconjuntos del conjunto de los n´ umeros complejos son subgrupos bajo la adici´on del grupo C I de los n´ umeros complejos bajo la adici´on: i) IR ii) Q+ iii) 7Z iv) El conjunto {π n / n ∈ Z} v) El conjunto iIR de n´ umeros imaginarios incluyendo cero. 13. Diga cu´ales de los siguientes grupos son c´ıclicos. Para cada grupo c´ıclico, dar todos los generadores del grupo i) G1 = (Z, +) ii) G2 = (Q, +) Lic:F.Cl. Ccolque T

34 iii) G3 = (Q+ , ·) iv) G4 = (6Z, +) v) G5 = {6n / n ∈ Z} bajo la multiplicaci´on. 14. Estudie la estructura de la tabla para el grupo Z4 dado en el ejemplo 1.5.2 i) Por la analog´ıa, complete la siguiente tabla elementos. Z6 : + 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 3 2 2 3 3 4 4 5 5

para el grupo c´ıclico Z6 de seis 3 3 4

4 4 5

5 5 0

ii) Calcule los subgrupos < 1 >, < 2 >, < 3 >, < 4 > y < 5 > del grupo Z6 dado en la parte i). iii) Se˜ nale los elementos de Z6 que son generadores del grupo Z6 usando ii). 15. Demostrar que si a ∈ G, donde G es un grupo finito con elemento identidad e, entonces existe n ∈ Z+ tal que an = e. 16. Sea G un grupo y sea a un elemento fijo de G. Demostrar que H(a) = {x ∈ G / xa = ax} es un subgrupo de G. 17. Mostrar mediante un ejemplo que es posible que la ecuaci´on cuadr´atica x2 = e tenga m´as de dos soluciones en alg´ un grupo con identidad e. 18. Si G es un grupo abeliano, entonces demostrar que para todo a, b, ∈ G y todo entero n: (ab)n = an bn . 19. Si G es un grupo tal que (ab)2 = a2 b2 para todo a, b ∈ G, entonces demostrar que G es abeliano. 20. Si H y K son subgrupos de G, demostrar que H ∩ K es un subgrupo de G. 21. Si T {Hλ / λ ∈ Λ} es una familia de subgrupos de G, entonces demostrar que Hλ es un subgrupo de G. λ∈Λ

22. Si H es un subconjunto no vac´ıo de un grupo finito G y H es cerrado bajo la operaci´on de G, entonces demostrar que H ≤ G. 23. Si H ≤ G, a ∈ G y aHa−1 = {aha−1 / h ∈ H}, entonces demostrar que aHa−1 ≤ G. 24. El centro Z de un grupo G est´a definido por Z = {z ∈ G / zx = xz para todo x ∈ G}. Demostrar que Z ≤ G. 25. Demostrar que un subgrupo de un grupo c´ıclico es c´ıclico.

F.Cl´ımaco

35 26. Sean H y K subgrupos de G y sea HK = {hk / h ∈ H, k ∈ K}. Demostrar que HK es un subgrupo de G si G es conmutativo. 27. Sean las permutaciones en S6 µ ¶ µ ¶ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 σ= , τ= , 3 1 4 5 6 2 2 4 1 3 6 5

µ µ=

1 2 3 4 5 6 5 2 4 3 1 6

Entonces calcular i) στ ii) στ 2 iii) σ 2 µ iv) τ σ −2 v) στ σ −1 28. Diga cu´ales de las siguientes aplicaciones de IR en IR son permutaciones de IR. Justifique su respuesta. i) f1 : IR → IR definida por f1 (x) = x + 1 ii) f2 : IR → IR definida por f2 (x) = x2 iii) f3 : IR → IR definida por f3 (x) = −x3 iv) f4 : IR → IR definida por f4 (x) = ex . 29. Consideremos el grupo S3 del ejemplo 1.7.2 i) Calcule los subgrupos c´ıclicos < ρ1 >, < ρ2 > y < µ2 > de S3 . ii) Encuentre todos los subgrupos tanto propios como impropios del grupo S3 y elabore su diagrama reticular correspondiente. ¶ µ 1 2 3 4 5 . 30. Calcule el subgrupo c´ıclico de S5 generado por la permutaci´on ρ = 2 4 5 1 3 31. Muestre, mediante un ejemplo, que todo subgrupo propio de un grupo no abeliano puede ser abeliano. 32. Demuestre que Sn es un grupo no abeliano para n ≥ 3. 33. Los siguiente ciclos son permutaciones de {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Calcular los productos siguientes que se indican: i) (1, 4, 5)(7, 8)(2, 5, 7) ii) (1, 3, 2, 7)(4, 8, 6) 34. Expresar cada una de las permutaciones de {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} como producto de ciclos ajenos y despu´es como producto de transposiciones

Lic:F.Cl. Ccolque T

¶

36 µ i) µ ii) µ iii)

1 2 3 4 5 6 7 8 8 2 6 3 7 4 5 1 1 2 3 4 5 6 7 8 3 6 4 1 8 2 5 7 1 2 3 4 5 6 7 8 3 1 4 7 2 5 8 6

¶ ¶ ¶

35. Un elemento a de un grupo G con identidad e tiene orden r > 0 si ar = e y ninguna potencia menor de a es la identidad. Considerando el grupo S8 i) Calcule el orden del ciclo (1, 4, 5, 7) ii) Calcule el orden de σ = (4, 5)(2, 3, 7) iii) Calcule el orden de τ = (1, 4)(3, 5, 7, 8) 36. Sea G un grupo y sea a ∈ G (arbitrario), entonces demuestre que la aplicaci´on λa : G → G dada por gλa = ag para todo g ∈ G, es una permutaci´on de G. 37. Con respecto al ejercicio 36, demuestre que H = {λa / a ∈ G} es un subgrupo de SG , SG es el grupo de permutaciones de G. 38. Encuentre el n´ umero de generadores de cada uno de los grupos c´ıclicos de orden 6, 8 y 12. 39. Para cada uno de los siguientes grupos, encuentre todos los subgrupos y elabore el diagrama reticular correspondiente i) Z12 ii) Z8 iii) Z30 40. Muestre que Zp no tiene subgrupos propios si p es un n´ umero primo. 41. Encuentre el n´ umero de elementos de los subgrupos c´ıclicos en cada uno de los grupos c´ıclicos indicados: i) El subgrupo c´ıclico de Z30 generado por el 25 ii) El subgrupo c´ıclico de Z42 generado por el 30. 42. Muestre, mediante un contraejemplo que el rec´ıproco del teorema 1.8.2 no se cumple. Es decir no se verifica la afirmaci´on: “si G es un grupo tal que todo subgrupo propio es c´ıclico, entonces G es c´ıclico”.

F.Cl´ımaco

37

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO ´ ESCUELA PROFESIONAL DE CIENCIAS F´ISICO MATEMATICAS ´ PRIMERA PRUEBA ESCRITA DE ALGEBRA II Semestre Acad´emico 2007-II 1) Demostrar que un grupo G es abeliano si y s´olo si (ab)2 = a2 b2 para todo a, b ∈ G.

2) Si H ≤ G, a ∈ G y aHa−1 = {aha−1 / h ∈ H}, entonces demostrar que aHa−1 ≤ G.

3) Encuentre todos los subgrupos de Z21 y elabore el correspondiente diagrama reticular. µ 4) Calcule el subgrupo c´ıclico de S6 generado por la permutaci´on ρ =

1 2 3 4 5 6 2 6 5 4 3 1

5) Diga cu´ales de las siguientes aplicaciones de IR en IR son permutaciones de IR. Justifique su respuesta. i) f1 : IR → IR definida por f1 (x) = x + 1 ii) f2 : IR → IR definida por f2 (x) = x2 iii) f3 : IR → IR definida por f3 (x) = −x3 iv) f4 : IR → IR definida por f4 (x) = ex .

6) Si G es un grupo con operaci´on binaria ∗ y a ∈ G (arbitrario), entonces demuestre que la ecuaci´on a ∗ x = a tiene soluci´on u ´nica en G.

UNA-PUNO, 1 de abril del 2008 NOTA: Responda 4 de las 6 preguntas formuladas

Lic:F.Cl. Ccolque T

¶ .

38

F.Cl´ımaco

Cap´ıtulo 2 Teorema Fundamental de Homomorfismo de grupos Competencia 2.- Relaciona dos grupos con aplicaciones especiales que preservan operaciones llamados Homomorfismos e Isomorfismos. Adem´as comprende la formaci´on de Grupos de clases Laterales con responsabilidad, perseverancia y claridad. Capacidad.- Define y analiza el isomorfismo y homomorfismo de grupos. Demuestra el teorema de Cayley. Adem´as establece que el orden de un subgrupo divide al orden del grupo y analiza el grupo factor.

2.1.

Isomorfismo de Grupos y Propiedades Fundamentales

Nos ocuparemos ahora de precisar, la idea de que dos grupos G y G0 son estructuralmente iguales o isomorfos. Intuitivamente los grupos G y G0 son isomorfos, si son id´enticos salvo el nombre de los elementos y las operaciones. De este modo, podemos obtener G0 a partir de G cambiando el nombre de un elemento x ∈ G por el nombre de cierto elemento x0 ∈ G0 . En realidad, la acci´on de cambiar el nombre de elementos es una aplicaci´on φ con dominio G. Es claro que dos elementos diferentes x, y ∈ G deben tener contrapartes diferentes x0 = xφ, y 0 = yφ en G0 . Adem´as, cada elemento de G0 debe ser contraparte de alg´ un elemento de G. Si los grupos son estructuralmente el mismo y si denotamos la operaci´on del grupo G por ∗ y la de G0 por ∗0 , entonces la contraparte de x ∗ y deber´ıa ser x0 ∗0 y 0 , ´o (x ∗ y)φ el cual debe ser (xφ) ∗0 (yφ). Comunmente se omiten las notaciones ∗ y ∗0 para las operaciones y se usa la notaci´on multiplicativa (xy)φ = (xφ)(yφ)

39

(2.1)

40 Se nota que la multiplicaci´on xy en (2.1) es la multiplicaci´on en G; mientras que la multiplicaci´on (xφ)(yφ) en (2.1) es la multiplicaci´on en G0 . Definici´ on 2.1.1 Un isomorfismo de un grupo G en un grupo G0 es una aplicaci´ on φ : G → G 0 que es 1-1 y sobre G0 tal que (xy)φ = (xφ)(yφ)

para todo x, y ∈ G

(2.2)

En este caso G es isomorfo a G0 , lo cual denotaremos por G ∼ = G0 . Teorema 2.1.1 Si φ : G → G0 es un isomorfismo de G en G0 y “e” es la identidad de G, entonces: i) eφ es la identidad de G0 ii) a−1 φ = (aφ)−1 para todo a ∈ G Es decir, un isomorfismo lleva la identidad en la identidad y los inversos en los inversos. Demostraci´ on: i) Sea x0 ∈ G0 (arbitrario). Como φ es sobre G, existe x ∈ G tal que xφ = x0 . Siendo ϕ un isomorfismo, por (2.2) se obtiene x0 = xφ = (xe)φ = (xφ)(eφ) = x0 (eφ)

(2.3)

x0 = xφ = (ex)φ = (eφ)(xφ) = (eφ)x0

(2.4)

Similarmente De (2.3) y (2.4), de acuerdo al teorema 1.3.3 se deduce que e0 = eφ es la identidad de G0 . ii) Sea a ∈ G (arbitrario), por G3 existe a−1 ∈ G tal que a−1 a = aa−1 = e. Como ϕ es un isomorfismo, por (2.2): eφ = (a−1 a)φ = (a−1 φ)(aφ)

(2.5)

eφ = (aa−1 )φ = (aφ)(a−1 φ)

(2.6)

De manera an´aloga De (2.5) y (2.6), de acuerdo al teorema 1.3.3 se deduce que a−1 φ = (aφ)−1 N ´ COMO DEMOSTRAR QUE DOS GRUPOS SON ISOMORFOS El procedimiento para demostrar que dos grupos, G y G0 , son isomorfos, sigue los cuatro pasos siguientes: PASO 1. Definir la aplicaci´on φ que ser´a el isomorfismo de G en G0 . Esto significa describir, de alguna manera, cual ser´ıa xφ en G0 para todo x ∈ G.

F.Cl´ımaco

41 PASO 2. Demostrar que φ es una aplicaci´on 1-1. PASO 3. Demostrar que φ es sobre G0 . PASO 4. Demostrar que (xy)φ = (xφ)(yφ) parar todo x, y ∈ G. Se calculan ambos lados de la ecuaci´on y se compara si son iguales. EJEMPLO 2.1.1 Demostrar que el grupo IR bajo la suma es isomorfo al grupo IR+ bajo la multiplicaci´ on. Demostraci´ on: PASO 1. Para x ∈ IR se define xφ = ex Esto nos d´a una aplicaci´on φ : IR → IR+ . PASO 2. Sean x, y ∈ IR tales que xφ = yφ, entonces x = y Como ex = ey , aplicando logaritmo natural se obtiene x = y. Por lo tanto φ es 1-1. PASO 3. Si r ∈ IR+ , entonces existe ln r ∈ IR tal (ln r)φ = eln r = r. Por lo tanto φ es sobre IR+ . PASO 4. Para todo x, y ∈ IR, obtenemos (x + y)φ = ex+y = ex ey = (xφ)(yφ) N Teorema 2.1.2 Cualquier grupo c´ıclico infinito G es isomorfo al grupo Z de los enteros bajo la suma. Demostraci´ on: Supongamos que G es generado por a ∈ G y la operaci´on de G es multiplicativa, entonces G = hai = {an / n ∈ Z}. Sea e la identidad de G, entonces a 6= e. Vamos a demostrar que G es isomorfo a Z con el procedimiento de los siguientes cuatro pasos: PASO 1. Definamos una aplicaci´on φ : G → Z por an φ = n ∀an ∈ G. Afirmaci´on: Si an1 , an2 ∈ G son tales que an1 = an2 , entonces n1 = n2 Por RAA, supongamos que n1 6= n2 , luego n1 < n2 ´o n2 < n1 . Si n1 < n2 , n2 − n1 > 0. De an1 = an2 , deducimos que an2 −n1 = e. De estas dos afirmaciones vemos que existe n2 − n1 ∈µZ+ tal que a¶n2 −n1 = e, lo cual nos indica G es infinito que G tiene a lo m´as n2 − n1 elementos −→←− Si suponemos que n2 < n1 , tambi´en se llega a una contradicci´on. Por RAA queda demostrada la afirmaci´on. En consecuencia, φ est´a bien definida como aplicaci´on. PASO 2. Sean an1 , an2 ∈ G tales que an1 φ = an2 φ, entonces an1 = an2 . Como an1 φ = n1 = n2 = an2 φ, inmediatamente se tiene an1 = an2 , as´ı φ es 1-1. Lic:F.Cl. Ccolque T

42 PASO 3. Dado n ∈ Z, existe b ∈ G tal que bφ = n. En efecto, b ∈ G significa que existe m ∈ Z tal que b = am . Aplicando φ: bφ = am φ = m; pero bφ = n, luego m = n. En resumen, dado n ∈ Z existe b = an ∈ G tal que bφ = n, luego φ es sobre Z. PASO 4. Sean an1 , an2 ∈ G (arbitrarios), entonces an1 an2 φ = an1 φ + an2 φ En efecto, (an1 an2 )φ = (an1 +n2 )φ = n1 + n2 = an1 φ + an2 φ De los pasos 1-4, se concluye que G ∼ =Z

N

Comentarios: i) Si G es un grupo y i : G → G es la aplicaci´on identidad ( gi = g, ∀g ∈ G ), entonces G∼ = G. ii) Si G es isomorfo a G0 , entonces G0 es isomorfo a G. Es decir, G ∼ = G0 ⇒ G0 ∼ = G. iii) G ∼ = G0 ∧ G0 ∼ = G00 , entonces G ∼ = G00 . iv) De i), ii) y iii) la propiedad de isomorfismo entre grupos es una relaci´on de equivalencia en una colecci´on de grupos. Es decir, dada una colecci´on no vac´ıa de grupos se puede partir la colecci´on en celdas (clases de equivalencia) tales que cualesquiera dos grupos en la misma clase son isomorfos y no hay grupos en celdas distintas que sean isomorfos. v) Hemos visto que cualesquiera dos grupos de orden 3 son isomorfos. Lo diciendo que s´olo hay un grupo de orden 3, SALVO ISOMORFISMO.

EXPRESAMOS

EJEMPLO 2.1.2 Hay un solo grupo de orden 1, uno de orden 2 y uno de orden 3, salvo isomorfismo. Hemos visto que hay exactamente dos grupos diferentes de orden 4, salvo isomorfismos: el grupo Z4 y el 4-grupo V de Klein. Hay al menos dos grupos diferentes, salvo isomorfismos de orden 6: Z6 y S3 . ´ COMO MOSTRAR QUE DOS GRUPOS NO SON ISOMORFOS EJEMPLO 2.1.3 Z4 y S6 no son isomorfos, pues no existe una aplicaci´ on 1-1 de Z4 sobre S6 . En el caso infinito, no siempre est´a claro si existen o no aplicaciones 1-1 y sobre. EJEMPLO 2.1.4 Z bajo la suma no es isomorfo a IR bajo la suma, porque no existe una aplicaci´ on 1-1 de Z sobre IR. OTRA FORMA DE JUSTIFICAR la afirmaci´on del ejemplo consiste en: Supongamos que Z ∼ = IR, luego el grupo IR bajo la suma es c´ıclico, luego Q bajo la suma es un grupo c´ıclico . . . (1)

F.Cl´ımaco

43 m Por otro lado, sea r = ∈ Q (fijo) con mcd{m, n} = 1 n Luego el subgrupo c´ıclico de Q generado por r es DmE n ³m´ o = z : z∈Z n n m 2m D m E m 2m Es claro que , ∈ , de modo que existen , ∈ Q tales que n n n D E n n m/n + 2m/n 3m m ys∈Q s= = ∈ / 2 n E D m 2n m es un subgrupo propio de Q, como r = Esto significa que es arbitrario, n n ³ (1) ´ hri < Q ∀r ∈ Q, por lo que Q como grupo bajo la suma no es c´ıclico →← Por RAA, concluimos que Z  IR. Para MOSTRAR QUE DOS GRUPOS NO SON ISOMORFOS (si tal es el caso) se exhibe alguna propiedad estructural que un grupo posee y el otro no. Las propiedades estructurales de grupo son las que deben compartir grupos isomorfos. Podemos citar algunas propiedades estructurales de grupo: i) El grupo es c´ıclico. ii) El grupo es abeliano. iii) El grupo tiene orden 8. iv) El grupo es finito. v) El grupo tiene exactamente dos elementos de orden 6. vi) La ecuaci´on x2 = a tiene una soluci´on para cada elemento a en el grupo. EJEMPLO 2.1.5 Z y 3Z son isomorfos, porque existe un isomorfismo φ : Z → 3Z dado por nφ = 3n. EJEMPLO 2.1.6 Z y Q no son isomorfos como grupos bajo la suma, pues Z es c´ıclico y Q no es c´ıclico. on, no es isomorfo al grupo EJEMPLO 2.1.7 El grupo Q ∗ = Q −{0} bajo la multiplicaci´ ∗ IR = IR − {0} bajo la multiplicaci´ on. Es claro que la ecuaci´ on x3 = a, ∀a ∈ IR∗ , tiene soluci´on en IR∗ , mientras que existe una ecuaci´ on x3 = 2, 2 ∈ Q∗ , que no tiene soluci´on en Q ∗ , en consecuencia Q ∗  IR∗ . EJEMPLO 2.1.8 El grupo IR∗ = IR−{0} bajo la multiplicaci´ on, no es isomorfo al grupo ∗ C I =C I − {0} bajo la multiplicaci´ on. 2 Es claro que la ecuaci´ on x = a tiene soluci´on en C I ∗ para todo a ∈ C I ∗ , pero existe una 2 ∗ ecuaci´ on x = −1 que no tiene soluci´on en IR .

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44 Justificaci´ on.- Supongamos que C I∗ ∼ I ∗ → IR∗ = IR∗ , luego existe un isomorfismo φ : C de C I ∗ sobre IR∗ . Como −1 ∈ IR∗ , luego existe b ∈ C I ∗ tal que bφ = −1. La ecuaci´ on x2 = b tiene soluci´on en C I ∗ , as´ı existe d ∈ C I ∗ tal que d2 = b. Aplicando φ: d2 φ = bφ = −1

(2.7)

Pero d2 φ = dφdφ = (dφ)2

(2.8)

De (2.7)³ y (2.8), (dφ)2 = −1, donde dφ ∈ IR∗ . Esto significa que x2 = −1 tiene soluci´on ´ 2 x =−1 no tiene soluci´on R I∗ en IR∗ →← . Por RAA, concluimos que C I ∗ no es isomorfo a IR∗ bajo las operaciones indicadas. EJEMPLO 2.1.9 El grupo IR∗ = IR − {0} bajo la multiplicaci´ on, no es isomorfo al grupo IR de n´ umeros reales bajo la adici´on, pues x + x = a siempre tiene soluci´on en (IR, +), pero la ecuaci´ on correspondiente x · x = a no siempre tiene soluci´on en (IR∗ , ·), por ejemplo, si a = −1.

2.2.

El Teorema de Cayley

Se observa que cada rengl´on de la tabla da una permutaci´on del conjunto de elementos de un grupo finito, seg´ un est´an listados en la parte superior de la tabla. De manera an´aloga, cada columna de la tabla da una permutaci´on del conjunto de elementos del grupo, seg´ un est´an listados a la izquierda de la tabla. En vista de estas observaciones es natural que todo grupo finito G sea isomorfo a alg´ un subgrupo del grupo SG de todas las permutaciones de G. Lo mismo sucede con los grupos infinitos: el teorema de Cayley afirma que todo grupo es isomorfo a alg´ un grupo formado por permutaciones, bajo la multiplicaci´on de permutaciones. Para facilitar la comprensi´on de la demostraci´on del teorema de Cayley, se ha dividido en tres pasos. Comenzando con cualquier grupo G, se procede como sigue: PASO 1.- Encontrar un conjunto G0 de permutaciones que sea candidato a formar un grupo, bajo la multiplicaci´on de permutaciones, isomorfo a G. PASO 2.- Demostrar que G0 es un grupo bajo la multiplicaci´on de permutaciones. PASO 3.- Definir una aplicaci´on φ : G → G0 y demostrar que φ es un isomorfismo de G sobre G0 . EJEMPLO 2.2.1 Sea G = {e, a, b} un grupo con la operaci´ on binaria dada por la tabla * e a b Entonces:

F.Cl´ımaco

e a e a a b b e

b b e a

45 i) Construya un conjunto G0 de permutaciones de G. ii) Demuestre que G0 es un subgrupo de SG . iii) Demuestre que G0 es isomorfo a G. Soluci´ on: i) Si α ∈ G, entonces se define ρα : G → G por xρα = xα para todo x ∈ G. ´ AFIRMACION.ρα est´a bien definida (como aplicaci´on). Sean x, y ∈ G tales que x = y, entonces xρα = yρα Como x = y, multiplic´andole por α ∈ G: xα = yα, de modo que xρα = yρα por definici´on de ρα . Se DEMUESTRA que ρα es una permutaci´on de G para todo α ∈ G (i.e., ρα ∈ SG ). Hallemos la permutaci´on ρe de G: eρe = ee = e , aρe = ae = a ,

µ

bρe = be = b , as´ı ρe =

e a b e a b

¶

Hallemos la permutaci´on ρa de G: eρa = ea = a , aρa = aa = b ,

µ

bρa = ba = e , luego ρa = µ

e a b De la tabla del grupo G, ρb = b e a 0 Definamos G = {ρα ∈ SG / α ∈ G} = {ρe , ρa , ρb }

e a b a b e

¶

¶

ii) Muestre que G0 es un subgrupo de SG , donde SG = {ρe , ρa , ρb , µe , µa , µb } y µ ¶ µ ¶ µ ¶ e a b e a b e a b µe = , µa = , µb = e b a b a e a e b Podemos construir la tabla de G0 µ ¶µ ¶ µ e a b e a b e ρe ρe = = e a b e a b e µ ¶µ ¶ µ e a b e a b e ρe ρa = = e a b a b e a

a b a b a b b e

¶ = ρe , ¶ = ρa ,

Lic:F.Cl. Ccolque T

46 µ ρe ρb = ρb , ρa ρe = ρa , ρa ρa =

e a b a b e

¶µ

e a b a b e

¶

µ =

e a b b e a

¶ = ρb ,

ρa ρb = ρe , ρb ρe = ρb , ρb ρa = ρe , ρb ρb = ρa

ρe ρa ρb

ρe ρe ρa ρb

ρa ρa ρb ρe

ρb ρb ρe ρa

a) Como debajo de la primera fila y a la derecha de la primera columna, aparecen s´olo elementos de G0 , concluimos que G0 es cerrado bajo la operaci´on binaria de SG . b) ρe es la permutaci´on identidad en SG y claramente ρe ∈ G0 . un la tabla para G0 : c) Seg´ la inversa de ρe ∈ G0 es ρe ∈ G0 la inversa de ρa ∈ G0 es ρb ∈ G0 la inversa de ρb ∈ G0 es ρa ∈ G0 Esto significa que G0 contiene la inversa de cada uno de sus elementos. Seg´ un el teorema 1.5.1, de a), b) y c) concluimos que G0 es un subgrupo de SG . iii) Demostremos que G es isomorfo a G0 . Definamos φ : G → G0 por gφ = ρg para todo g ∈ G. Podemos exhibir que φ es 1-1 y sobre G0 : e ↔ eφ = ρe a ↔ aφ = ρa b ↔ bφ = ρb Afirmamos que (rs)φ = (rφ)(sφ) para todo r, s ∈ G. Sea x(rs)φ = xρrs = x(rs) = (xr)s = (xr)ρs = (xρr )ρs = x(ρr ρs ) = x(rφ)(sφ) para todo x ∈ G Por igualdad de aplicaciones, (rs)φ = (rφ)(sφ). As´ı φ es un isomorfismo de G sobre G0 , luego G ∼ = G0 N Teorema 2.2.1 (CAYLEY) Todo grupo es isomorfo a un grupo de permutaciones. Demostraci´ on:

F.Cl´ımaco

Sea G un grupo dado.

47 PASO 1.- Nuestra primera tarea es encontrar un conjunto G0 de permutaciones que es candidato a ser un grupo isomorfo a G. Si imaginamos G simplemente como conjunto no vac´ıo, SG es el grupo de permutaciones de G dado por el teorema 1.7.1. Si G tiene n elementos, entonces SG tiene n! elementos. Esto significa que SG es muy grande para ser isomorfo a G, por lo que vamos a construir un subconjunto G0 de SG formado por las aplicaciones ρa : G → G definida por xρa = xa para todo x ∈ G y a ∈ G(fijo).

(2.9)

´ AFIRMACION.ρa es una permutaci´on de G para cada a ∈ G i) ρa es 1-1 Para ello, sean x, y ∈ G tales que xρa = yρa , luego por (2.9) se tiene xa = ya. Aplicando la propiedad cancelativa del grupo G : x = y. ii) ρa es sobre G Para ello, sea b ∈ G, luego existe x ∈ G tal que xρa = b. En efecto, de xρa = b se tiene que xa = b. Multiplicando por a−1 por la derecha: x = ba−1 . Ahora, es claro que existe x = ba−1 ∈ G tal que xρa = (ba−1 )ρa = ba−1 a = b. Por definici´on 1.7.3, de i) y ii) deducimos que ρa es una permutaci´on de G. Es decir, ρa ∈ SG . De esta manera hemos construido el conjunto G0 = {ρa ∈ SG / a ∈ G}

(2.10)

PASO 2.- G0 es un subgrupo de SG (i.e.,G0 6 SG ) i) Sean ρa , ρb ∈ G0 , entonces ρa ρb ∈ G0 En efecto, sea x ∈ G, luego se tiene que x(ρa ρb ) = (xρa )ρb = (xa)ρb , como xa ∈ G : = (xa)b = x(ab) por G1 = xρab Por definici´on de igualdad de aplicaciones: ρa ρb = ρab

(2.11)

Como ab ∈ G, ρab ∈ G0 , por (2.11) ρa ρb ∈ G0 . As´ı G0 es cerrado bajo la operaci´on del grupo SG . ii) Sabemos que 1G ∈ SG es la permutaci´on identidad y se define como x1G = x para todo x ∈ G. Si x ∈ G(arbitrario y fijo), entonces x = xe = xρe De donde x1G = xρe ∀x ∈ G, luego 1G = ρe ∈ G0 De este modo, G0 contiene a la permutaci´on identidad de SG . 0 iii) Sea ρa ∈ G0 , entonces ρ−1 a ∈ G 0 En efecto, ρa ∈ G ⇒ ρa ∈ SG y a ∈ G.

Lic:F.Cl. Ccolque T

48 Como SG es un grupo existe un u ´nico ρ−1 a ∈ SG tal que −1 ρ−1 a ρa = ρa ρa = ρe por ii) (1G = ρe )

(2.12)

Por otro lado, por (2.11): ρa−1 ρa = ρa ρa−1 = ρe De (2.12) y (2.13), por unicidad del inverso de ρa , ρ−1 a = ρa−1

(2.13) (2.14)

0 Como a−1 ∈ G, por definici´on ρa−1 ∈ G0 , luego ρ−1 a ∈ G. De i), ii) y iii), seg´ un el teorema 1.5.1, deducimos que G0 6 SG .

PASO 3.- Demostremos que G es isomorfo a G0 . Definamos una aplicaci´on φ : G → G0 por aφ = ρa para todo a ∈ G ´ a) AFIRMACION.φ est´a bien definido (como aplicaci´on) Sean a, b ∈ G tales que a = b, entonces aφ = bφ En efecto, como a = b obtenemos que ab−1 = e De (2.11) y (2.14): ρa ρ−1 b = ρe Multiplicando por la derecha por ρb y aplicando (2.11): ρa = ρb , por definici´on de φ, aφ = bφ. ´ b) AFIRMACION.φ es una aplicaci´on 1-1 de G sobre G0 φ es 1-1: Sean a, b ∈ G tales que aφ = bφ, entonces a = b. En efecto, aφ = bφ implica que ρa = ρb . De aqu´ı, para todo x ∈ G, xρa = xρb . Es decir, xa = xb, en particular para x = e, se verifica a = ea = eb = b, donde e es la identidad en G. φ es sobre G0 : Dado σ ∈ G0 , existe a ∈ G tal que aφ = σ. En efecto, σ ∈ G0 significa que existe b ∈ G tal que σ = ρb . De aφ = σ, se obtiene que aφ = bφ. Como φ es 1-1, se deduce que a = b. En s´ıntesis, para σ ∈ G0 dada, existe a ∈ G tal que aφ = σ. ´ c) AFIRMACION.Sean a, b ∈ G, entonces (ab)φ = (aφ)(bφ) (2.11) En efecto, calculando (ab)φ = ρab = ρa ρb = (aφ)(bφ). Tomando extremos se obtiene la igualdad deseada para todo a, b ∈ G. Por las afirmaciones a), b) y c) se deduce que φ es un isomorfismo de G sobre G0 , por consiguiente G es isomorfo a G0 N

Comentario.- Todo grupo G es isomorfo a G0 , donde G0 es un subgrupo del grupo SG de permutaciones de G. En otras palabras, cada grupo tiene una COPIA ISOMORFA en alg´ un grupo de permutaciones.

F.Cl´ımaco

49

2.3.

Productos Directos de grupos

2.3.1.

Productos Directos Externos

Hasta ahora, nuestro acervo de grupos son: entre grupos finitos, grupo c´ıclico Zn , el grupo sim´etrico Sn , el grupo alternante An para cada entero positivo n. Tambi´en el 4-grupo V de Klein. Adem´as sabemos que existen subgrupos de estos grupos y conocemos el teorema de Cayley. Respecto a grupos infinitos, Z y IR, son grupos bajo la suma. Uno de los objetivos de esta parte es dar a conocer un m´etodo constructivo para formar m´as grupos, mediante el uso de los grupos ya conocidos como partes constitutivas. Definici´ on 2.3.1 El producto cartesiano de conjuntos S1 , S2 , . . . , Sn es el conjunto de todas las n−adas ordenadas (a1 , a2 , . . . , an ), donde ai ∈ Si . Comentario.- El producto cartesiano de conjuntos S1 , S2 , . . . , Sn se denota por n Q S1 × S2 × · · · × Sn o por Si . i=1

Tambi´en se puede definir el producto cartesiano de un n´ umero infinito de conjuntos. Ahora, si consideramos G1 , G2 , . . . , Gn grupos con operaciones multiplicativas, podemos n Q Gi con operaci´on binaria definida por componentes. formar un grupo i=1

Teorema 2.3.1 Sean G1 , G2 , . . . , Gn grupos. n n Q Q Gi por Gi se define la operaci´ on binaria en Para (a1 , a2 , . . . , an ) y (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ i=1

i=1

(a1 , a2 , . . . , an )(b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 b1 , a2 b2 , . . . , an bn ). n Q Gi es un grupo bajo esta operaci´ on binaria . Entonces i=1

Demostraci´ on:

(Ejercicio)

N

Definici´ on 2.3.2 Sean G1 , G2 , . . . , Gn grupos, entonces el grupo obtenido en el teorema n Q Gi , es el PRODUCTO DIRECTO EXTERNO de los grupos Gi . anterior, i=1

Comentario.- Si el conjunto Ai tiene ri elementos para i = 1, . . . , n, entonces

n Q

Ai

i=1

tiene r1 r2 · · · rn elementos, porque en una n−ada hay r1 elecciones posibles para la primera componente A1 y para cada una de estas hay r2 elecciones posibles de A2 para la segunda componente y as´ı sucesivamente. EJEMPLO 2.3.1 El grupo Z2 × Z3 tiene 2 × 3 = 6 elementos, pues Z2 × Z3 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)} Se observa que Z2 × Z3 es un grupo c´ıclico, ya que existe (1, 1) ∈ Z2 × Z3 tal que Z2 × Z3 = h(1, 1)i = {n(1, 1) / n ∈ Z} Lic:F.Cl. Ccolque T

50 para n = 1, 1(1, 1) = (1, 1) para n = 2, 2(1, 1) = (1 + 1, 1 + 1) = (0, 2) para n = 3, 3(1, 1) = (1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1) = (1, 0) para n = 4, 4(1, 1) = 3(1, 1) + (1, 1) = (0, 1) para n = 5, 5(1, 1) = 4(1, 1) + (1, 1) = (1, 2) para n = 6, 6(1, 1) = 5(1, 1) + (1, 1) = (0, 0) Como hay un u ´nico grupo c´ıclico Z6 de orden 6, concluimos que Z6 ∼ = Z2 × Z3 . EJEMPLO 2.3.2 El grupo Z3 × Z3 tiene 9 elementos, pues Z3 × Z3 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}. Se muestra que Z3 × Z3 no es c´ıclico, por consiguiente Z9 no es isomorfo a Z3 × Z3 . Teorema 2.3.2 El grupo Zm × Zn es isomorfo a Zmn si y solo si mcd{m, n} = 1. Corolario 2.3.3 El grupo para i, j = 1, · · · , n y i 6= j

n Q i=1

Zmi es isomorfo a Zm1 m2 ···mn si y solo si mcd{mi , mj } = 1

EJEMPLO 2.3.3 Si n = (p1 )n1 (p2 )n2 · · · (pr )nr , donde los pi son n´ umeros primos distintos, por el corolario anterior Zn es isomorfo a Z(p1 )n1 × Z(p2 )n2 × · · · × Z(pr )nr . En particular, Z12 es isomorfo a Z8 × Z9 . un entero positivo n tal que Definici´ on 2.3.4 Sea G un grupo y a ∈ G. Si existe alg´ n a = e, el menor de dichos enteros positivos n, es el orden de a. Si no existe dicha n, entonces a es de orden infinito. De esto se desprende que si a es un elemento de un grupo G, el orden de a es igual al orden del subgrupo c´ıclico generado por a. Teorema 2.3.3 Sea (a1 , a2 , . . . , an ) ∈

n Q

Gi .

i=1

Si ai es de orden finito ri en Gi , entonces el orden de (a1 , a2 , . . . , an ) en

n Q

Gi es igual al

i=1

m´ınimo com´ un m´ ultiplo de todas las ri .

EJEMPLO 2.3.4 Podemos citar el orden de todos los elementos de Z3 × Z3 . El orden de (2,0) es 3=mcm{3, 1}. El orden de (2,1) es 3=mcm{3, 3}. El orden de (2,2) es 3=mcm{3, 3}. El orden de (0,0) es 1. El orden de (1,0) es 3. El orden de (0,1) es 3. El orden de (1,1) es 3. El orden de (0,2) es 3. El orden de (1,2) es 3.

Si

n Q

Gi es el producto directo externo de grupos Gi , entonces el subconjunto

i=1

Gi = {(e1 , e2 , . . . , ei−1 , ai , ei+1 , . . . , en ) / ai ∈ Gi } es un subgrupo de

n Q i=1

F.Cl´ımaco

Gi .

51 Adem´as Gi es isomorfo a Gi mediante la proyecci´on can´onica πi dada por (e1 , e2 , . . . , ei−1 , ai , ei+1 , . . . , en )πi = ai . As´ı, el grupo Gi se refleja en la i−´esima componente de los elementos de Gi . n Q Consideremos Gi como el producto directo interno de estos subgrupos Gi . Los t´erminos i=1

interno y externo, aplicados a los productos directos de grupos, s´olo reflejan si se consideran o no (respectivamente), a los grupos componentes como subgrupos del grupo producto. En adelante se omite la palabra interno o externo y se dir´a s´olo producto directo. Definici´ on 2.3.5 Sea {Si / i ∈ I} una colecci´ on de conjuntos. T Si de los Aqu´ı I puede ser cualquier conjunto de ´ındices. Se define la intersecci´ on i∈I T conjuntos como Si = {x ∈ Si / i ∈ I}. i∈I

Teorema 2.3.4 La intersecci´ on de los subgrupos Hi de un grupo G para i ∈ I es un subgrupo de G. Demostraci´ \ on: Sea H = Hi

(Vamos a usar el teorema 1.5.2):

i∈I

como e ∈ Hi para todo i ∈ I por ser Hi 6 G, deducimos que e ∈ As´ı H es un subconjunto no vac´ıo del grupo G. Sean a, b ∈ H, entonces ab−1 ∈ H En efecto: a∈H= b∈H=

T

T

T

Hi ⇒ H 6= ∅.

i∈I

Hi ⇒ a ∈ Hi para todo i ∈ I

(2.15)

i∈I

Hi ⇒ b ∈ Hi para todo i ∈ I

i∈I

Como Hi 6 G para todo i ∈ I: b−1 ∈ Hi para todo i ∈ I −1 De (2.15) y (2.16): ab T ∈ Hi para todo i ∈ I, pues Hi 6 G para todo i. −1 Luego ab ∈ H = Hi . i∈I T Por el teorema ??, concluimos que Hi es un subgrupo de G

(2.16)

N

i∈I

2.3.2.

Productos Directos Internos

Definici´ on 2.3.6 Sea G un grupo con subgrupos Hi para i = 1, 2, . . . , n. Se dice que G n Q es el producto directo interno de los subgrupos Hi si la aplicaci´ on φ : Hi → G dada por (h1 , h2 , . . . , hn )φ = h1 h2 · · · hn es un isomorfismo.

i

Teorema 2.3.5 Si G es el producto directo interno de sus subgrupos H1 , H2 , . . . , Hn , entonces cada g ∈ G puede escribirse de manera u ´nica como g = h1 h2 · · · hn , donde hi ∈ H i . Tambi´en vale la rec´ıproca.

Lic:F.Cl. Ccolque T

52 Demostraci´ on: ⇒) Por hip´otesis, G es el producto directo interno de sus subgrupos H1 , H2 , . . . , Hn , n Q entonces la aplicaci´on φ : Hi → G tal que i=1

(h01 , h02 , . . . , h0n )φ = h01 h02 · · · h0n es un isomorfismo

(2.17)

Sea g = h1 h2 · · · hn = g1 g2 · · · gn , donde hi , gi ∈ Hi

(2.18)

Por (2.17): (h1 , h2 , . . . , hn )φ = (g1 , g2 , . . . , gn )φ. Como φ es un isomorfismo, φ es 1-1, luego (h1 , h2 , . . . , hn ) = (g1 , g2 , . . . , gn ) ⇔ hi = gi para i = 1, 2, . . . , n. Luego de (2.18), concluimos que cada g ∈ G tiene u ´nica representaci´on como g = h1 h2 · · · hn , donde hi ∈ Hi . ⇐) Definamos φ :

n Q

Hi → G por (h1 , h2 , . . . , hn )φ = h1 h2 · · · hn

i=1

a) φ est´a bien definida Sean (h1 , h2 , . . . , hn ), (g1 , g2 , . . . , gn ) ∈

n Q

Hi tales que

i=1

(h1 , h2 , . . . , hn ) = (g1 , g2 , . . . , gn ), entonces (h1 , h2 , . . . , hn )φ = (g1 , g2 , . . . , gn )φ. En efecto, de (h1 , h2 , . . . , hn ) = (g1 , g2 , . . . , gn ) ⇒ hi = gi para i = 1, 2, . . . , n. Luego h1 h2 · · · hn = g1 g2 · · · gn . Es decir (h1 , h2 , . . . , hn )φ = (g1 , g2 , . . . , gn )φ. b) φ es 1-1 Sean (h1 , h2 , . . . , hn ), (g1 , g2 , . . . , gn ) ∈

n Q

Hi tales que

i=1

(h1 , h2 , . . . , hn )φ = (g1 , g2 , . . . , gn )φ, entonces (h1 , h2 , . . . , hn ) = (g1 , g2 , . . . , gn ). En efecto, (h1 , h2 , . . . , hn )φ = (g1 , g2 , . . . , gn )φ ∈ G Es decir, g = h1 h2 · · · hn = g1 g2 · · · gn ∈ G, donde gi , hi ∈ Hi , por hip´otesis g ∈ G tiene u ´nica representaci´on, luego hi = gi para i = 1, 2, . . . , n. As´ı (h1 , h2 , . . . , hn ) = (g1 , g2 , . . . , gn ). c) φ es sobre G Sea g ∈ G, por hip´otesis cada elemento se representa como producto de los elementos de sus n subgrupos Hi , luego g = h1 h2 · · · hn . n Q De donde existe (h1 , h2 , . . . , hn ) ∈ Hi tal que (h1 , h2 , . . . , hn )φ = g. i=1

d ) Sean (h1 , h2 , . . . , hn ), (g1 , g2 , . . . , gn ) ∈

n Q

Hi , entonces

i=1

[(h1 , h2 , . . . , hn )(g1 , g2 , . . . , gn )]φ = (h1 , h2 , . . . , hn )φ(g1 , g2 , . . . , gn )φ.

En efecto, [(h1 , h2 , . . . , hn )(g1 , g2 , . . . , gn )]φ = (h1 g1 , h2 g2 , . . . , hn gn )φ = h1 g1 h2 g2 . . . hn gn , por hip.: = h1 h2 . . . hn g1 g2 . . . gn = (h1 , h2 , . . . , hn )φ(g1 , g2 , . . . , gn )φ

F.Cl´ımaco

53 Por definici´on se concluye que G es producto interno de los subgrupos H1 , H2 , . . . , Hn

N

Sea H y K subgrupos de un grupo G. Nos interesa examinar HK = {hk / h ∈ H, k ∈ K}. DESAFORTUNADAMENTE HK no necesariamente es un subgrupo de G, pues h1 k1 h2 k2 no siempre es de la forma hk. Si G es abeliano o aun si cada elemento h ∈ H conmuta con cada elemento k de K, hk = kh, entonces h1 k1 h2 k2 = h1 h2 k1 k2 = h3 k3 , donde h3 = h1 h2 y k3 = k1 k2 son elementos de H y K respectivamente. Se verifica f´acilmente que en este caso HK 6 G, pues ee = e ∈ HK y (hk)−1 = k −1 h−1 = h−1 k −1 ∈ HK. En el caso NO CONMUTATIVO, existe un subgrupo de G que contiene HK. Definici´ on 2.3.7 Sean H y K subgrupos de un grupo de G. El compuesto H ∨K de H y K es la intersecci´ on de todos los subgrupos de G que contienen HK = {hk / h ∈ H, k ∈ K}. Comentarios: i) H ∨ K es el m´as peque˜ no subgrupo de G que contiene HK. ii) Si G es abeliano o conmutan los elementos de H con los de K, entonces HK = H∨K. Teorema 2.3.6 Un grupo G es el producto directo interno de los subgrupos H y K si y s´ olo si i) G = H ∨ K ii) hk = kh para todo h ∈ H y todo k ∈ K iii) H ∩ K = {e} Demostraci´ on: ⇒) Por hip´otesis φ : H × K → G tal que (h, k)φ = hk es un isomorfismo. i) Sabemos que HK ⊆ H ∨ K ⊆ G Como φ es sobre G, si g ∈ G, existe (h, k) ∈ H × K tal que g = (h, k)φ = hk, de aqu´ı G ⊆ HK, Pero HK ⊆ H ∨ K, por lo tanto G = H ∨ K = HK. ii) (h, k) = (e, k)(h, e) para todo (h, k) ∈ H × K, como φ es un isomorfismo: (h, k)φ = (e, k)φ(h, e)φ, de donde por definici´on de φ sabemos que hk = (ek)(he) = kh. As´ı hk = kh para todo h ∈ H y todo k ∈ K. iii) Se sabe que {e} ⊆ H ∩ K. Vamos a demostrar que H ∩ K ⊆ {e}. Para ello, sea h ∈ H ∩K ⇒ h ∈ H y h ∈ K. Como he = h = eh obtenemos que (h, e)φ = (e, h)φ; siendo φ es un isomorfismo, φ es 1-1. De modo que (h, e) = (e, h), luego h = e. De las dos inclusiones, concluimos que H ∩ K = {e}.

Lic:F.Cl. Ccolque T

54 ⇐) Por hip´otesis se cumplen las condiciones i), ii) y iii). Demostremos que la aplicaci´on, φ : H × K → G, definida por φ(h, k) = hk es un isomorfismo de H × K sobre G. φ es 1-1: Sean (h1 , k1 ), (h2 , k2 ) ∈ H ×K tales que (h1 , k1 )φ = (h2 , k2 )φ, entonces (h1 , k1 ) = (h2 , k2 ). En efecto, (h1 , k1 )φ = (h2 , k2 )φ significa que −1 h1 k1 = h2 k2 , de donde h−1 2 h1 = k2 k1 ∈ H ∩ K = {e} −1 Luego h−1 2 h1 = e y k2 k1 = e, de modo que h1 = h2 , k2 = k1 . Por consiguiente (h1 , k1 ) = (h2 , k2 ). φ es sobre G: Por la condici´on ii) tenemos que hk = kh para todo h ∈ H y todo k ∈ K, lo cual implica que HK es un subgrupo de G, luego HK = H ∨ K, Pero por i) H ∨ V = G, en consecuencia HK = G Si g ∈ G, existe (h, k) ∈ H × K tal que (h, k)φ = hk = g. Afirmamos si (h1 , k1 ), (h2 , k2 ) ∈ H × K, entonces [(h1 , k1 )(h2 , k2 )]φ = (h1 , k1 )φ(h2 , k2 )φ En efecto,

[(h1 , k1 )(h2 , k2 )]φ = (h1 h2 , k1 k2 )φ = (h1 h2 )(k1 k2 ), por ii) = (h1 k1 )(h2 k2 ) = (h1 , k1 )φ(h2 , k2 )φ N

2.4.

Grupos de Clases Laterales

Introducci´ on.- Ya hemos observado que los 36 lugares de la tabla de S3 en el ejemplo 1.7.2, se dividieron de manera natural, en cuatro sectores, cada uno formado s´olo por t´erminos ρi o s´olo por t´erminos µi . As´ı el grupo S3 se parti´o en celdas Bρ y Bµ de igual tama˜ no y el conjunto {Bρ , Bµ } forma un grupo cuya tabla se obtiene de la tabla del ejemplo 1.7.2. Esta partici´on de un grupo en celdas, tal que el conjunto de celdas forma ´ a su vez un grupo, es un concepto de IMPORTANCIA BASICA en ´algebra. Llamamos a cada elemento de una celda REPRESENTANTE de la celda. La ecuaci´on Bρ Bµ = Bµ , significa que cualquier representante de Bρ multiplicado por cualquier representante de Bµ da alg´ un representante de Bµ Bρ Bµ

Bρ Bρ Bµ

Bµ Bµ Bρ

Pasando al caso general, nos gustar´ıa determinar CONDICIONES precisas bajo las cuales se pueda partir un grupo G en celdas Bi tal que cualquier representante de una celda fija F.Cl´ımaco

55 Br multiplicado por cualquier representante de otra celda fija Bs , produzca siempre un representante de una misma celda Bt , la cual ser´a entonces considerada como el producto Br Bs . El producto de las celdas Br Bs se define como la celda Bt , obtenida al multiplicar representantes de Br y Bs , para tener bien definida la operaci´on binaria de multiplicaci´on de celdas en {Bi }, la celda final Bt que contiene el producto de los representantes, debe ser la misma, sin importar los representantes escogidos de Br y de Bs . La operaci´on binaria de multiplicaci´on de celdas en el conjunto {Bi } es la operaci´on INDUCIDA en {Bi } por la operaci´ on de G. S´olo si esta operaci´on est´a bien definida, tiene sentido preguntar si el conjunto {Bi } es un grupo bajo la operaci´on inducida. Teorema 2.4.1 Si un grupo G se puede partir en celdas donde la operaci´ on inducida descrita anteriormente est´a bien definida, y si las celdas forman un grupo bajo esta operaci´ on inducida, entonces, la celda que contiene la identidad e de G es un subgrupo de G. Demostraci´ on: i) Supongamos que G est´a partido en celdas con la operaci´on inducida bien definida y formando un grupo, y sea Be la celda que contiene la identidad. Al calcular Be Br podemos tomar cualesquiera representantes de Be y de Br y calcular su producto en G. Escojamos e ∈ Be , r ∈ Br . Entonces er = r y r ∈ Br . As´ı que Be Br = Br . De manera an´aloga Br Be = Br . As´ı, Be debe actuar como la celda identidad en el grupo de celdas. Por lo tanto Be Be = Be , lo cual muestra que, si elegimos todos los representantes posibles, Be es cerrado bajo la multiplicaci´on del grupo G ii) Por definici´on, Be contiene la identidad e de G. iii) Sea a ∈ Be , entonces a−1 ∈ Be En efecto, a ∈ Be , luego a ∈ G, de modo que existe a−1 ∈ G. As´ı a−1 ∈ Bk . Como Be es la celda identidad sabemos que Be Bk = Bk . Al escoger representantes a ∈ Be y a−1 ∈ Bk : aa−1 = e, luego Be Bk = Be . As´ı Bk = Be y a−1 ∈ Be . Por lo tanto del teorema 1.5.1 concluimos que Be es un subgrupo de G

2.4.1.

N

Clases Laterales

Supongamos que se puede partir un grupo G en celdas, de modo que la operaci´on inducida est´a bien definida y las celdas forman un grupo. Sea Be la celda que contiene a la identidad. El teorema anterior nos informa que Be es un subgrupo de G. Sea Ba la celda que contiene a a ∈ G. La ecuaci´on Ba Be = Ba muestra, si escogemos al representante a ∈ Ba y todos los representantes de Be , que el conjunto aBe = {ax / x ∈ Be } debe estar contenido en Ba . Esto sugiere que estas TRASLACIONES o clases laterales aBe de un grupo Be son importantes. Lic:F.Cl. Ccolque T

56 Definici´ on 2.4.1 Sea H un subgrupo de un grupo G y sea a ∈ G. La CLASE LATERAL IZQUIERDA aH de H es el conjunto aH = {ah / h ∈ H}. La CLASE LATERAL DERECHA Ha = {ha / h ∈ H}. Hemos visto que si G se puede partir en celdas de modo que la operaci´on inducida est´a bien definida y forme un grupo, entonces aBe ⊆ Ba . Sea a−1 ∈ Bk . Entonces, Bk Ba = Be , de manera que al escoger representantes a−1 ∈ Bk y cualquier x ∈ Ba , tenemos que a−1 x ∈ Be . As´ı, a−1 x = b, x = ab donde b ∈ Be . Esto muestra que Ba ⊆ aBe As´ı que Ba = aBe . Por argumento similar, Ba = Be a . Teorema 2.4.2 Si un grupo G se puede partir en celdas de modo que la operaci´ on inducida est´a bien definida y forme un grupo, entonces las CELDAS son precisamente las CLASES LATERALES IZQUIERDAS (y tambi´ en las derechas) de un subgrupo de G. En particular cada clase lateral izquierda es una clase lateral derecha. Demostraci´ on:

Se realiz´o antes de enunciar.

N

EJEMPLO 2.4.1 Determinemos c´omo se ven las clases laterales izquierdas de 3Z como subgrupo de Z bajo la suma. La operaci´ on es aditiva, desde luego, 3Z = 0 + 3Z es ´el mismo una clase lateral izquierda. Otra clase lateral izquierda es 1 + 3Z. Es claro que 1 + 3Z est´a formado por todos los enteros que dejan residuo 1 al dividirlos entre 3. De igual manera, la clase lateral izquierda 2 + 3Z consta de todos los enteros que dejan residuo 2 al dividir entre 3. El lema 1.8.1 muestra que el residuo de cualquier entero dividido entre 3 es un entero r, donde 0 6 r < 3, las u ´nicas posibilidades son 0,1,2. As´ı 0 + 3Z, 1 + 3Z, 2 + 3Z son todas las clases laterales izquierdas de 3Z. Podr´ıamos preguntar en qu´e caso, dado un subgrupo H de un grupo G, las clases laterales izquierdas (o derechas) de H dan una partici´on de G en celdas distintas. Sabemos que las particiones corresponde a una relaci´on de equivalencia en G. Se nota b ∈ aH si b = ah para alg´ un h ∈ H ⇔ a−1 b ∈ H. Esto nos sugiere definir una relaci´on en G por a ∼ b si a−1 b ∈ H que ser´a una relaci´on de equivalencia en G. Teorema 2.4.3 Sea H un subgrupo de un grupo G.1 Las relaciones: i) a ≡l b( mod H) si a−1 b ∈ H ii) a ≡r b( mod H) si ab−1 ∈ H son relaciones de equivalencia en G, la congruencia izquierda m´odulo H y la congruencia derecha m´odulo H, respectivamente. Las clases de equivalencia de la congruencia izquierda (derecha) m´odulo H son las clases laterales izquierdas (derechas). Todas las clases laterales de H tienen el mismo n´ umero de elementos 1

≡i donde i = l, r son las primeras letras de left(izquierda)y right(derecha)

F.Cl´ımaco

57 Demostraci´ on: Demostraremos el enunciado para la congruencia izquierda y las clases laterales izquierdas. Las demostraciones para la congruencia derecha y las clases laterales derechas son an´alogas. a) La congruencia izquierda m´odulo H es una relaci´on de equivalencia en G. Reflexividad : a ≡l a( mod H) si a−1 a = e ∈ H Simetr´ıa : a ≡l b( mod H), entonces b ≡l a( mod H) En efecto, a ≡l b( mod H) implica que a−1 b ∈ H. Como H 6 G, (a−1 b)−1 = b−1 a ∈ H de aqu´ı b ≡l a( mod H). Transitividad : a ≡l b( mod H) y b ≡l c( mod H), entonces a ≡l c( mod H). En efecto, a ≡l b( mod H) ⇒ a−1 b ∈ H (2.19) b ≡l c( mod H) ⇒ b−1 c ∈ H

(2.20)

como H 6 G, de (2.19) y (2.20): a−1 c = (a−1 b)(b−1 c) ∈ H, de aqu´ı a ≡l c( mod H). Por lo tanto, ≡l es una relaci´on de equivalencia en G. ¯ o [a] que contiene a a ∈ G se calcula como sigue: b) La clase de equivalencia a [a] = = = = =

{x ∈ G|a ≡l x( mod H)} {x ∈ G|a−1 x ∈ H} {x ∈ G|a−1 x = h, para alg´ un h ∈ H} {x ∈ G|x = ah, para alg´ un h ∈ H} aH

∴ Las clases de equivalencia de la congruencia izquierda m´odulo H son precisamente las clases laterales izquierdas. c) Dos clases laterales izquierdas tienen el mismo n´ umero de elementos, para ello definamos una aplicaci´on λa : H → aH por hλa = ah, y demostremos que λa es una aplicaci´on 1-1 y sobre aH. En efecto: λa es 1-1 Sean h1 , h2 ∈ H tales que h1 λa = h2 λa , entonces h1 = h2 . Como h1 λa = h2 λa , se tiene h1 a = h2 a, por la propiedad cancelativa del grupo G, se deduce que h1 = h2 λa es sobre aH Sea x ∈ aH, entonces existe h ∈ H tal que hλa = x. Como x ∈ aH, entonces existe h ∈ H tal que x = ah, de modo que existe h ∈ H tal que ah = hλa = x ∴ toda clase lateral izquierda de H tiene el mismo n´ umero de elementos N

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58 Comentario.- La partici´on de un grupo en celdas ajenas si la operaci´on inducida est´a bien definida, forma un grupo. Las celdas siempre son clases laterales de alg´ un subgrupo. De aqu´ı en adelante en lugar del t´ermino celda usaremos el t´ermino clase lateral. A veces, las clases laterales izquierdas no siempre forman un grupo si la operaci´on inducida no est´a bien definida. EJEMPLO 2.4.2 Si consideramos el grupo sim´etrico S3 y su subgrupo H = {ρ0 , µ1 }, entonces para encontrar las clases laterales izquierdas de H en G (si G es finito), se busca un elemento a ∈ G − H y se encuentra la clase lateral izquierda aH. Despu´es, se busca b ∈ G − (aH ∪ H), as´ı encontramos una nueva clase bH. Continuando este proceso, se hallan todas las clases laterales izquierdas de H en G. Las clases laterales izquierdas de H = {ρ0 , µ0 } en S3 son: H = ρ0 H = {ρ0 ρ0 , ρ0 µ1 } = {ρ0 , µ1 }; ρ1 H = {ρ1 ρ0 , ρ1 µ1 } = {ρ1 , µ2 }; ρ2 H = {ρ2 ρ0 , ρ2 µ1 } = {ρ2 , µ3 }. Escribamos de nuevo la tabla del grupo S3 , pero con los elementos en el orden ρ0 , µ1 |ρ1 , µ2 |ρ2 , µ3 . H O ρ 0 µ1 ρ 1 µ2 ρ 0 µ3 ρ0 ρ0 µ1 ρ1 µ2 ρ2 µ3 {ρ / 1 , ρ2 , µ2 , µ3 }no es una clase lateral izquierda de H en S3 . µ1 µ1 ρ 0 µ3 ρ 2 µ2 ρ 1 ρ 1 ρ 1 µ2 ρ 2 µ3 ρ 0 µ1 ρ1 H o µ2 µ2 ρ 1 µ1 ρ 0 µ3 ρ 2 ρ 2 ρ 2 µ3 ρ 0 µ1 ρ 1 µ2 µ3 µ3 ρ 2 µ2 ρ 1 µ1 ρ 0 ρ2² H Al multiplicar elementos de la clase lateral H = {ρ0 , µ1 } por elementos en la clase lateral ρ1 H = {ρ1 , µ2 }, se obtiene {ρ1 , ρ2 , µ2 µ3 }, la cual no es una clase lateral izquierda de H. Este ejemplo, muestra que la operaci´ on inducida no est´a bien definida en clases laterales izquierdas de H en G = S3 . EJEMPLO 2.4.3 Veamos si el grupo Z6 se puede partir en un grupo de clases laterales izquierdas del subgrupo H = {0, 3}. Usando la notaci´on aditiva, las clases laterales izquierdas de H = {0, 3} en Z6 son:

H = 0 + H = {0 + 0, 0 + 3} = {0, 3}; 1 + H = {1 + 0, 1 + 3} = {1, 4}; 2 + H = {2 + 0, 2 + 3} = {2, 5}.

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59 La tabla para Z6 con los elementos en el orden 0, 3|1, 4|2, 5 se muestra: 0 3 1 4 2 5

0 0 3 1 4 2 5

3 3 0 4 1 5 2

1 1 4 2 5 3 0

4 4 1 5 2 0 3

2 2 5 3 0 4 1

5 5 2 0 3 1 4

de donde se deduce que la tabla de clases laterales izquierdas de H = {0, 3} en Z6 es H 1+H 2+H

H H 1+H 2+H

1+H 1+H 2+H H

2+H 2+H H 1+H

Este ejemplo, muestra que la operaci´ on inducida entre las clases laterales izquierdas de H = {0, 3} en Z6 est´a bien definida. Un grupo de clases laterales izquierdas formado a partir de un grupo G da informaciones a cerca de G. Los subgrupos cuyas clases laterales izquierdas forman un grupo desempe˜ nan un papel fundamental en la teor´ıa de grupos.

2.4.2.

Aplicaciones

Demostraremos algunos resultados a cerca de grupos finitos que resultan con facilidad del trabajo desarrollado. Teorema 2.4.4 (Lagrange) Sea G un grupo de orden finito n y H es un subgrupo de G. Entonces el orden de H divide al orden de G. Demostraci´ on: Supongamos que H tiene m elementos. Consideremos la colecci´on de las clases laterales izquierdas de H, por el teorema 2.2.3, estas clases laterales son ajenas, tienen el mismo n´ umero m de elementos como H y todo elemento de G est´a en alguna clase lateral izquierda. Entonces, si hay r clases laterales izquierdas, debemos tener n = rm, de modo que m divide a n N Comentario.- Este teorema importante, proviene del teorema 2.2.3 que demuestra que todas las clases laterales izquierdas tienen el mismo n´ umero de elementos. Corolario 2.4.2 Todo grupo de orden primo es c´ıclico. Demostraci´ on: Sea G un grupo de orden primo p y sea a ∈ G − {e}. Entonces, el grupo c´ıclico hai de G generado por a tiene al menos dos elementos, a y e. Pero por el teorema 2.2.4, de orden m > 2 de hai debe dividir al primo p. As´ı, debemos tener que m = p y hai = G, de modo que G es c´ıclico N

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60 Por consiguiente, hay un s´olo grupo(salvo isomorfismos) de un orden primo dado. Teorema 2.4.5 El orden de un elemento de un grupo finito divide al orden del grupo. Demostraci´ on: Sabemos que el orden de un elemento es el orden del subgrupo c´ıclico generado por el elemento, luego por el teorema 2.2.4 el orden de un elemento divide al orden del grupo N Definici´ on 2.4.3 Sea H un subgrupo de un grupo G. El n´ umero de clases laterales izquierdas de H en G es el ´ındice (G : H) de H en G.

Comentario.- El ´ındice (G : H) de H en G, puede ser finito o infinito. |G| Si G es finito, (G : H) es finito y (G : H) = porque cada clase lateral de H tiene |H| |H| elementos. Tambi´en se puede definir (G : H) como el n´ umero de clases laterales derechas de H en G. Teorema 2.4.6 Sean H y K subgrupos de un grupo G tales que K 6 H 6 G y (H : K), (G : H) son ambos finitos. Entonces (G : K) es finito y (G : K) = (G : H)(H : K) Si |G| < ∞ (G tiene orden finito), |G| |H| |G| entonces (G : H)(H : K) = = = (G : K). |H| |K| |K| Si m es el n´ umero de clases laterales izquierdas de H en G Si n es el n´ umero de clases laterales izquierdas de K en H , entonces mn es el n´ umero de clases laterales izquierdas de K en G Es decir, (G : H)(H : K) = (G : K) Demostraci´ on:

N

Comentario.- El rec´ıproco del teorema de Lagrange es falso, pues A4 no tiene subgrupo de orden 6.

2.5.

Subgrupos Normales y Grupos Cocientes

2.5.1.

Criterios para la Existencia de Clases Laterales

Volvemos ahora al problema de decidir para cu´ales subgrupos H de un grupo G las clases laterales izquierdas (derechas) forman un grupo bajo la operaci´on inducida. La cuesti´on DECISIVA es ver si la operaci´on inducida est´a bien definida.

Lema 2.5.1 Si H es un subgrupo de un grupo G y si la operaci´on inducida de multiplicaci´ on de clases laterales izquierdas (derechas) de H est´a bien definida, entonces la colecci´ on de clases laterales izquierdas (derechas) de H en G forman un grupo bajo esta multiplicaci´ on inducida de clases laterales.

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61 Demostraci´ on: El producto (aH)(bH) de clases laterales izquierdas se define como la clase lateral que contiene al producto de cualesquiera dos representantes, uno de aH y el otro de bH. Por hip´otesis este producto de clases laterales izquierdas est´a bien definido. Es decir es independiente de la selecci´on de representantes de aH y de bH. As´ı, para prop´ositos de c´alculo, podemos tomar a x como representante de la clase lateral xH. De modo que (aH)(bH) = abH. e = {xH / x ∈ G}, entonces para que G e con la operaci´on inducida bien definida sea Si G un grupo. Vamos a verificar los tres axiomas de grupo. e entonces aH[(bH)(cH)] = [(aH)(bH)]cH G1 . Sean aH, bH, cH ∈ G, En efecto, aH[(bH)(cH)] = aH(bcH) = a(bc)H por G1 en G = (ab)cH = [(aH)(bH)]cH Tomando extremos queda verificado el axioma G1 . e existe ee ∈ G e tal que (e G2 . Para cada aH ∈ G, e)(aH) = (aH)(e e) = aH En efecto, de (e e)(aH) = aH

(2.21)

se deduce que ee = eH e Multiplicando (2.21) por a−1 H Como a ∈ G, ∃ a−1 ∈ G y a−1 H ∈ G. (e e)(aH)(a−1 H) = aHa−1 H; (e e)(eH) = eH

(2.22)

e existe b ∈ G tal que ee = bH como ee ∈ G, As´ı de (2.22): bH = eH , luego ee = eH. De manera an´aloga, de (aH)(e e) = aH se deduce que ee = eH. e As´ı, existe ee = eH ∈ G tal que (e e)(aH) = (aH)(e e) = aH, ∀aH ∈ G. e entonces existe (aH)−1 ∈ G e tal que G3 . Sea aH ∈ G, (aH)−1 (aH) = (aH)(aH)−1 = eH En efecto, de (aH)−1 (aH) = eH

(2.23)

se deduce que (aH)−1 = a−1 H. e a ∈ G, ∃a−1 ∈ G, de modo que a−1 H ∈ G. e Como aH ∈ G, Multiplicando (2.23) por a−1 H y efectuando operaciones de [(aH)−1 (aH)](a−1 H) = (eH)(a−1 H), se obtiene que (aH)−1 = a−1 H De manera an´aloga, de (aH)(aH)−1 = eH, se obtiene (aH)−1 = a−1 H. e con la operaci´on inducida bien definida es un grupo porque cumple con Por lo tanto, G los axiomas de grupo G1 , G2 y G3 N Teorema 2.5.1 Si H es un subgrupo de un grupo G, entonces la operaci´ on inducida de multiplicaci´ on est´a bien definida en las clases laterales izquierdas (derechas) si y s´olo si toda clase lateral izquierda es una clase lateral derecha.

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62 Demostraci´ on: ⇒) Por hip´otesis la operaci´on inducida est´a bien definida, entonces por el lema anterior las clases laterales izquierdas (derechas) forman un grupo. Por el teorema 2.4.2 las clases laterales izquierdas son las mismas clases laterales derechas. ⇐) Por hip´otesis gH = Hg para todo g ∈ G e entonces (aH)(bH) ∈ G. e Si aH, bH ∈ G, En efecto, si a1 , a2 ∈ aH y b1 , b2 ∈ bH, entonces a1 H = a2 H = aH, b1 H = b2 H = bH, luego podemos escribir a1 = a2 h1 , b1 = b2 h2 para algunos h1 , h2 ∈ H. Entonces a1 b1 = a2 h1 b2 h2 (2.24) Por hip´otesis b2 H = Hb2 , de donde h1 b2 = b2 h3

(2.25)

De (2.25) en (2.24): a1 b1 = a2 b2 h3 h2 , de modo que a1 b1 ∈ a2 b2 H. Esto significa que a1 b1 y a2 b2 est´an en la misma clase lateral izquierda a1 b1 H = a2 b2 H. e As´ı queda definido (aH)(bH) = abH, donde abH = a1 b1 H = a2 b2 H ∈ G. e est´a bien definida Esto muestra que la operaci´on inducida en G

2.5.2.

N

Automorfismos Internos y Subgrupos Normales

Sabemos que las clases laterales de un subgrupo H de un grupo G forman un grupo bajo la operaci´on inducida de multiplicaci´on de clases laterales si y s´olo si gH = Hg ∀g ∈ G. Puede reescribirse gH = Hg como H = g −1 Hg para todo g ∈ G, donde g −1 Hg = {g −1 hg / h ∈ H}. Para entender mejor g −1 Hg estudiaremos, para cada g ∈ G la aplicaci´on ig : G → G dado por xig = g −1 xg Definici´ on 2.5.2 Un isomorfismo de un grupo G sobre G se llama automorfismo de G. on ig : G → G dada por xig = g −1 xg es un Teorema 2.5.2 Para cada g ∈ G, la aplicaci´ automorfismo de G. Demostraci´ on:

Vamos a demostrar que ig de G sobre G es un isomorfismo.

1) ig est´a bien definida(como aplicaci´on) Sean x, y ∈ G tales que x = y, entonces xig = yig En efecto, como g ∈ G, de x = y se obtiene que g −1 xg = g −1 yg, de aqu´ı xig = yig . 2) ig es 1-1 Sean x, y ∈ G tales que xig = yig , entonces x = y En efecto, de xig = yig obtenemos que g −1 xg = g −1 yg, siendo G un grupo, aplicando la propiedad cancelativa : x = y

F.Cl´ımaco

63 3) ig es sobre G Sea z ∈ G, entonces existe x ∈ G tal que xig = z. En efecto, resolviendo la ecuaci´on xig = z para hallar x: g −1 xg = z, multiplicando por g y luego por g −1 ∈ G x = gzg −1 As´ı dado z ∈ G, existe x = gzg −1 ∈ G tal que (gzg −1 )ig = z. 4) ig preserva la operaci´on de G Sean x, y ∈ G, entonces (xy)ig = (xig )(yig ) En efecto, (xy)ig = g −1 (xy)g = (g −1 xg)(g −1 yg) (xig )(yig ) Por lo tanto de 1), 2), 3) y 4), se concluye que ig es un isomorfismo de G sobre G . Es decir ig es automorfismo de G N Comentario.- ig se llama automorfismo interno de G bajo la conjugaci´on por g. ig transformar´a un subgrupo de G sobre un subgrupo (posiblemente distinto) de G; un elemento de orden n de G sobre un elemento de orden n (posiblemente distinto) en G. Decir que gH = Hg es lo mismo que H = g −1 Hg = {g −1 hg / h ∈ H} Esto significa que ig lleva a H sobre s´ı mismo. Definici´ on 2.5.3 Un subgrupo H de un grupo G es un SUBGRUPO NORMAL (o invariante) de G si g −1 Hg = H para todo g ∈ G; es decir, si H permanece invariante bajo todo automorfismo interno G. Comentarios: i) As´ı, los subgrupos normales son precisamente aquellos subgrupos importantes de un grupo, con la propiedad de que las clases laterales (izquierdas y derechas son las mismas), la operaci´on inducida est´a bien definida y las clases laterales forman un grupo. ii) Si H es un subgrupo de un grupo G tal que g −1 Hg ⊆ H para todo g ∈ G, entonces g −1 Hg = H ∀g ∈ G. Es decir H es un subgrupo normal de G. En efecto, para g ∈ G, existe g −1 ∈ G, de modo que gHg −1 = (g −1 )−1 Hg −1 ⊆ H

(2.26)

Sea h ∈ H, luego ghg −1 ∈ H por (2.26), de donde ghg −1 = h1 , para alg´ un h1 ∈ H. −1 −1 −1 As´ı h = g h1 g ∈ g Hg, luego H ⊆ g Hg ∀g ∈ G. Por lo tanto g −1 Hg = H ∀g ∈ G. Es decir, H es un subgrupo normal de G.

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64 iii) Seg´ un ii), un criterio para demostrar que un subgrupo H de un grupo G es un subgrupo normal, es suficiente verificar que g −1 Hg ⊆ H para todo g ∈ G. En otras palabras, si g −1 hg ∈ H para todo h ∈ H y g ∈ G, entonces H es un subgrupo normal de G. Teorema 2.5.3 Todo subgrupo de un grupo abeliano es un subgrupo normal. Demostraci´ on: Sea H un subgrupo de un grupo abeliano G, entonces H es un subgrupo normal de G. En efecto, para h ∈ H y g ∈ G : Â G es conmutativo g −1 hg = g −1 gh = eh = h ∈ H. As´ı g −1 Hg ⊆ H para todo g ∈ G, por lo tanto H es un subgrupo normal de G. N EJEMPLO 2.5.1 El subgrupo H = {ρ0 , µ1 } de S3 no es un subgrupo normal de S3 . Pues existe ρ1 ∈ S3 tal que ρ−1 1 Hρ1 * H debido a que existe −1 µ1 ∈ H tal que ρ1 µ1 ρ1 = µ2 6∈ H. Definici´ on 2.5.4 Dos subgrupos H y K de un grupo G son conjugados si H = a−1 Ka para alg´ un a ∈ G. Es decir, si uno se transforma en el otro mediante alg´ un automorfismo interno de G. Por ejemplo, H = {ρ0 , µ1 } y K = {ρ0 , µ2 } son subgrupos conjugados de S3 pues existe ρ1 ∈ S3 tal que K = ρ−1 1 Hρ1 .

2.5.3.

Grupos Cocientes

Definici´ on 2.5.5 Si N es un subgrupo normal de un grupo G, el grupo de las clases laterales de N bajo la operaci´ on inducida es el grupo cociente de G por N y se denota por G/N . Las clases laterales son las clases residuales de G m´ odulo N . EJEMPLO 2.5.2 Como Z es grupo abeliano, 3Z es un subgrupo normal de Z . As´ı Z/3Z es el grupo cociente de las tres clases residuales 0 + 3Z, 1 + 3Z, 2 + 3Z Es decir, Z/3Z = {0 + 3Z, 1 + 3Z, 2 + 3Z}. EJEMPLO 2.5.3 El subgrupo nZ de Z es normal para todo n ∈ Z+ , entonces hay n clases residuales 0 + nZ, 1 + nZ, . . . , (n − 1) + nZ, de modo que Z/nZ = {0 + nZ, 1 + nZ, . . . , (n − 1) + nZ}. La aplicaci´ on φn : Z/nZ → Zn dada por (m + nZ)φn = m para 0 6 m < n es un isomorfismo. Por abuso de notaci´on, a veces escribimos Z/nZ = Zn . La construcci´ on de Z/nZ es el enfoque elegante de la demostraci´ on de la existencia de un grupo c´ıclico de orden n. EJEMPLO 2.5.4 Calcular el grupo cociente (Z4 × Z6 )/ h(0, 1)i

F.Cl´ımaco

65 Soluci´ on:

Como el grupo Z4 × Z6 es aditivo, se tiene h(0, 1)i = {n(0, 1) / n ∈ Z} = {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 0)}

As´ı H = (0, 0) + H, (1, 0) + H, (2, 0) + H, (3, 0) + H Por lo tanto (Z4 × Z6 )/ h(0, 1)i = {H, (1, 0) + H, (2, 0) + H, (3, 0) + H}

2.5.4.

N

Grupos Simples

Una caracter´ıstica de un grupo cociente es dar informaci´on acerca de la estructura de todo el grupo. EJEMPLO 2.5.5 Es claro que tanto el subgrupo impropio G, como el subgrupo trivial {e} de un grupo G son subgrupos normales. Es claro que G/G es el grupo trivial de un elemento, mientras que G/{e} es isomorfo a G bajo la aplicaci´ on natural que lleva a g{e} en g para cada g ∈ G. Estos grupos cocientes no son u ´tiles para dar informaci´on acerca de la estructura de G. Definici´ on 2.5.6 Un grupo es simple si no tiene subgrupos normales propios no triviales. Teorema 2.5.4 El grupo alternante An es simple para n > 5. Un grupo abeliano simple finito es isomorfo a Zp , para alg´ un primo p.

2.5.5.

Aplicaciones

Teorema 2.5.5 Un grupo cociente de un grupo c´ıclico es c´ıclico. Demostraci´ on: Sea G un grupo c´ıclico con generador a y sea N un subgrupo normal de G. Afirmamos que la clase lateral aN genera a G/N . Es decir G/N = haN i. Como haN i es un subgrupo c´ıclico de G/N generado por aN , deducimos que haN i ⊆ G/N

(2.27)

Debemos verificar que G/N ⊆ haN i. En efecto, sea gN ∈ G/N , como g ∈ G = hai existe r ∈ Z tal que g = ar , de modo que gN = ar N = (aN )r , de donde gN ∈ haN i. As´ı G/N ⊆ haN i

(2.28)

De (2.27) y (2.28), concluimos que G/N = haN i. Por lo tanto, G/N es c´ıclico cuando G es un grupo c´ıclico Un elemento aba−1 b−1 en un grupo G, es llamado

CONMUTADOR

N del grupo.

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66 Teorema 2.5.6 El conjunto de todos los conmutadores aba−1 b−1 de un grupo G genera un subgrupo normal G0 (el subgrupo conmutador) de G y G/G0 es abeliano. M´as a´ un, G/N es abeliano si y s´olo si G0 6 N . Demostraci´ on: G0 como la intersecci´on de todos los subgrupos de G que contienen a los conmutadores de G es un subgrupo de G. Ahora demostremos que G0 es un subgrupo normal de G. G0 consta de productos de un n´ umero finito de conmutadores, esto quiere decir si g 0 ∈ G0 , entonces −1 −1 −1 −1 −1 (2.29) g 0 = (a1 b1 a−1 1 b1 )(a2 b2 a2 b2 ) · · · (an bn an bn ) Sea g ∈ G y g 0 ∈ G0 tal que g 0 = aba−1 b−1 , entonces g −1 g 0 g ∈ G0 . En efecto, g −1 (aba−1 b−1 )g = (g −1 aba−1 )e(b−1 g) = (g −1 aba−1 )gb−1 bg −1 (b−1 g) = [(g −1 a)b(g −1 a)−1 b−1 ]( bg −1 b−1 g | {z } | {z } es conmutador

) ∈ G0

es conmutador

Si g 0 tiene la forma de (2.29), se procede de forma an´aloga como para g 0 = aba−1 b−1 , de modo que se obtiene que g −1 g 0 g ∈ G0 , ∀g ∈ G, por lo tanto G0 es un subgrupo normal de G. ´ AFIRMACION.G/G0 es abeliano. Sean aG0 , bG0 ∈ G/G0 , entonces (aG0 )(bG0 ) = (bG0 )(aG0 ). En efecto, (aG0 )(bG0 ) = abG0 = ab(b−1 a−1 ba)G0 , pues b−1 a−1 ba ∈ G = baG0 = (bG0 )(aG0 ) N Teorema 2.5.7 Si G es el producto directo interno de los subgrupos H y K, entonces H y K son subgrupos normales de G. Adem´ as, G/H es isomorfo a K de manera natural. Demostraci´ on:

Seg´ un el teorema 2.3.6 G = HK, hk = kh ∀h ∈ H y ∀k ∈ K y H ∩ K = {e}

(2.30)

1) Demostremos que H es un subgrupo normal de G. g −1 Hg ⊆ H para todo g ∈ G. Es claro que g = hk para algunos h ∈ H, k ∈ K por (2.30). As´ı parar todo h1 ∈ H se tiene g −1 h1 g = = = = = = =

(hk)−1 h1 (hk) (k −1 h−1 )[(h1 h)k] (h−1 k −1 )[k(h1 h)] por (2.30) h−1 (k −1 k)(h1 h) h−1 e(h1 h) h−1 h1 h h3 por que H 6 G

De aqu´ı g −1 h1 g ∈ H, ∀g ∈ G; por consiguiente, el subgrupo H es normal en G. F.Cl´ımaco

67 2) Se demuestra an´alogamente a 1) que K es un subgrupo normal de G usando(2.30). 3) Definamos una aplicaci´on φ : K → G/H por kφ = kH φ es 1-1 Sean k1 , k2 ∈ K, tales que k1 φ = k2 φ, entonces k1 = k2 . En efecto, de k1 φ = k2 φ obtenemos que k1 H = k2 H, de donde k2−1 k1 ∈ H, pero H ∩ K = {e}, luego k2−1 k1 = e. As´ı k1 = k2 . φ es sobre G/H Sea gH ∈ G/H, entonces existe k ∈ K tal que kφ = gH. En efecto, por (2.30), g = hk para algunos h ∈ H, k ∈ K Luego gH = hkH = khH por (2.30) = kH = kφ φ preserva las operaciones Sean k2 , k1 ∈ K, entonces (k1 k2 )φ = (k1 φ)(k2 φ). En efecto, (k1 k2 )φ = (k1 k2 )H = (k1 H)(k2 H) = (k1 φ)(k2 φ) N Comentario.- Si H es un subgrupo normal de un grupo G, entonces G ∼ =H×

2.6.

G H

Homomorfismos de Grupos y Propiedades Fundamentales

Definici´ on 2.6.1 Una Aplicaci´ on φ de un grupo G en un grupo G0 es un HOMOMORFISMO si (ab)φ = (aφ)(bφ) para todos los elementos a y b ∈ G. En la condici´ on (ab)φ = (aφ)(bφ), la operaci´ on ab en el lado izquierdo ocurre en G, mientras que la operaci´ on (aφ)(bφ) del lado derecho, ocurre en G0 . As´ı, la condici´ on para ser homomorfismo relaciona la estructura de G con la de G0 . EJEMPLO 2.6.1 La aplicaci´ on natural γ de Z en Zn dada por mγ = r donde r es el residuo de m al dividirlo entre n. Entonces γ es un homomorfismo: Sean s, t ∈ Z, entonces

(s + t)γ = sγ + tγ.

Soluci´ on: En efecto, sean s = q1 n + r1 , t = q2 n + r2

(2.31)

donde 0 6 ri < n Luego sγ = r1 , tγ = r2 . As´ı sγ + tγ = (r1 + r2 ) mod n Si r1 + r2 = q3 n + r3 para 0 6 r3 < n, entonces sγ + tγ = r3

(2.32)

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68 Por otro lado, de (2.31): s + t (q1 + q2 )n + (r1 + r2 ) (q1 + q2 + q3 )n + r3 As´ı (s + t)γ = r3 De (2.32) y (2.33), se concluye que (s + t)γ = sγ + tγ

(2.33) N

Comentario.- Si consideramos Zn como el grupo Z/nZ de clases residuales m´odulo n, vemos que γ asigna a cada elemento de Z la clase residual m´odulo n. on Teorema 2.6.1 Si N es un subgrupo normal de un grupo G, entonces la aplicaci´ can´ onica γ : G → G/N dada por aγ = aN para a ∈ G, es un homomorfismo. Demostraci´ on: Sean a, b ∈ G, entonces (ab)γ = (aγ)(bγ). En efecto, (ab)γ = (ab)N = (aN )(bN ) = (aγ)(bγ)

N

Definici´ on 2.6.2 El n´ ucleo de un homomorfismo φ : G → G0 denotado por Kerφ, es el conjunto Kerφ = {g ∈ G / gφ = e0 }. EJEMPLO 2.6.2 La aplicaci´ on γ : Z → Zn , es tal que Kerγ = nZ. Se nota que nZ es un subgrupo normal de Z y Z/nZ es isomorfo a Zn . on de un conjunto X en un conjunto Y . Sea Definici´ on 2.6.3 Sea φ una aplicaci´ A ⊆ X, B ⊆ Y . La imagen Aφ de A en Y bajo φ es Aφ = {aφ / a ∈ A}. La imagen inversa Bφ−1 de B es Bφ−1 = {x ∈ X / xφ ∈ B} El siguiente teorema proporciona algunas caracter´ısticas estructurales preservadas bajo un homomorfismo. Teorema 2.6.2 Sea φ un homomorfismo de un grupo G en un grupo G0 . Si e es la identidad en G, entonces eφ es la identidad en G0 y si a ∈ G, entonces a−1 φ = (aφ)−1 . Si H es un subgrupo de G, entonces Hφ es un subgrupo de G0 , y H es normal en G implica que Hφ es normal en Gφ. Ahora, en otra direcci´ on, si K 0 es un subgrupo de G0 , 0 −1 0 entonces K φ es un subgrupo de G y K es normal en Gφ, implica que K 0 φ−1 es normal en G. Dicho brevemente, bajo un homomorfismo, subgrupos corresponden a subgrupos y subgrupos normales a subgrupos normales. Demostraci´ on: Sea φ un homomorfismo de G en G0 . Entonces, aφ = (ae)φ = (aφ)(eφ) = (aφ)e0 y aφ = (ea)φ = (eφ)(aφ) = e0 (aφ) de donde eφ es la identidad e0 en G0 , por la propiedad cancelativa en G0 . Adem´as, eφ = (aa−1 )φ = (aφ)(a−1 φ) y eφ = (a−1 a)φ = (a−1 φ)(aφ) de modo que el inverso de aφ es (aφ)−1 = a−1 φ.

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69 1) Si H 6 G, entonces Hφ 6 G0 En efecto, eφ ∈ Hφ, luego Hφ 6= ∅. Sean a, b ∈ Hφ, entonces ab−1 ∈ Hφ Es claro que a ∈ Hφ implica que a = h1 φ , h1 ∈ H b ∈ Hφ implica que b−1 = h−1 φ ; h−1 2 2 , h2 ∈ H pues H 6 G −1 −1 De modo que ab = (h1 φ)(h2 φ) = (h1 h−1 2 )φ ∈ Hφ Seg´ un el teorema 1.5.2 se deduce que Hφ 6 G0 . 2) Si H es un subgrupo normal de G, entonces Hφ es un subgrupo normal de Gφ. Sean gφ ∈ Gφ y hφ ∈ Hφ, entonces (gφ)−1 hφ(gφ) ∈ Hφ. En efecto, (gφ)−1 hφ(gφ) = (g −1 φ)(hφ)(gφ) = (g −1 hg)φ, φ es un homomorfismo = h1 φ ∈ Hφ, pues H es un subgrupo normal de G 3) Si K 0 6 G0 , entonces K 0 φ−1 6 G En efecto, K 0 φ−1 = {g ∈ G / gφ ∈ K 0 }, luego e ∈ G es tal que eφ ∈ K 0 porque K 0 6 G0 . As´ı K 0 φ−1 es un subconjunto no vac´ıo de G. Sean a, b ∈ K 0 φ−1 , entonces ab−1 ∈ K 0 φ−1 . Claramente, a ∈ K 0 φ−1 implica que a ∈ G y aφ ∈ K 0 b ∈ K 0 φ−1 implica que b ∈ G y bφ ∈ K 0 de donde ab−1 ∈ G y (ab−1 )φ = (aφ)(b−1 φ) ∈ K 0 pues φ es homomorfismo y K 0 6 G0 . Por el teorema 1.5.2, concluimos que K 0 φ−1 es un subgrupo de G. 4) Si K 0 E Gφ, entonces K 0 φ−1 E G. Notaci´on: K 0 E Gφ significa que K 0 es un subgrupo normal de Gφ. Sean g ∈ G, h ∈ K 0 φ−1 , entonces g −1 hg ∈ K 0 φ−1 . En efecto, h ∈ K 0 φ−1 ⇒ h ∈ G y hφ ∈ K 0 . Luego g −1 hg ∈ G y (g −1 hg)φ = (gφ)−1 (hφ)(gφ) ∈ K 0 porque K 0 E Gφ, por consiguiente g −1 hg ∈ K 0 φ−1 . Esto significa que K 0 φ−1 es un subgrupo normal de G N

2.7.

El Teorema Fundamental del Homomorfismo

El teorema 2.6.2, en particular, muestra que para un homomorfismo φ : G → G0 , el n´ ucleo de φ, Kerφ = K = {e0 }φ−1 es un subgrupo normal de G puesto que {e0 } es un subgrupo normal de G0 . Teorema 2.7.1 (Teorema Fundamental del Homomorfismo) Sea φ un homomorfismo de un grupo G en un grupo G0 , con el n´ ucleo K. Entonces Gφ es un grupo y existe un isomorfismo can´ onico (natural) de G/K sobre Gφ.

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70 Demostraci´ on: i) Considerando H = G, en el teorema 2.6.2, deducimos que Gφ es un subgrupo de G0 , luego Gφ es un grupo. Como K = Kerφ es un subgrupo normal de G, existe el grupo cociente G/K dado en la definici´on 2.5.5. ´ ii) AFIRMACION.G/K ∼ = Gφ. En efecto, definamos una aplicaci´on ψ : G/K → Gφ por (aK)ψ = aφ para todo aK ∈ G/K. 1) ψ est´a bien definida (como aplicaci´on). Sean aK, bK ∈ G/K tales que aK = bK, entonces (aK)ψ = (bK)ψ. En efecto, aK = bK implica que b−1 a ∈ K, luego a = bk para alg´ un k ∈ K, ahora aplicando φ : aφ = (bk)φ = (bφ)(kφ) = (bφ)e0 porque k ∈ K = Kerφ. = bφ de donde aφ = bφ. As´ı, por definici´on de ψ : (aK)ψ = aφ = bφ = (bK)ψ. 2) ψ es 1-1 Sean aK, bK ∈ G/K tales que (aK)ψ = (bK)ψ, entonces aK = bK. En efecto, de (aK)ψ = (bK)ψ se tiene aφ = bφ. De aqu´ı (b−1 a)φ = eφ, luego b−1 a ∈ K = Kerφ, por consiguiente aK = bK. 3) ψ es sobre Gφ. En efecto: Dado gφ ∈ Gφ, por definici´on existe gK ∈ G/K tal que (gK)ψ = gφ. 4) ψ es un homomorfismo. Sean aK, bK ∈ G/K, entonces (aKbK)ψ = (aK)ψ(bK)ψ. En efecto, (aKbK)ψ = (abK)ψ pues K es un subgrupo normal de G = (ab)φ = (aφ)(bφ) porque φ es un homomorfismo = (aK)ψ(bK)ψ De 1), 2), 3) y 4) queda verificado la afirmaci´on ii) N Comentario.- La aplicaci´on ψ es una aplicaci´on can´onica en el sentido de que si γ es el homomorfismo can´onico γ : G → G/K, entonces φ = γψ. Esta igualdad se expresa mediante el siguiente diagrama conmutativo G CC

φ

CC CC γ CC !

y

G/K

F.Cl´ımaco

y yψ

/ Gφ y<

71 Cuando se tenga un homomorfismo, hay dos cosas de principal importancia: la imagen y el n´ ucleo. Los teoremas 2.6.1 y 2.7.1 muestran que los homomorfismos se corresponden de manera natural con los grupos cocientes. A saber, a cada grupo cociente G/N corresponde un homomorfismo γ : G → G/N con n´ ucleo N . De manera rec´ıproca, para 0 cada homomorfismo φ : G → G , la imagen es esencialmente G/K donde K = Kerφ, salvo un isomorfismo can´onico. EJEMPLO 2.7.1 La aplicaci´ on φ : IR → C I ∗ dada por xφ = cos x + i sen x es un homomorfismo del grupo IR bajo la suma en el grupo C I ∗ bajo la multiplicaci´ on. En efecto, sean x, y ∈ IR, entonces (x + y)φ = (xφ)(yφ). Desarrollando cada lado o llegando del lado izquierdo al derecho: (x + y)φ = cos(x + y) + i sen(x + y) = (cos x cos y − sen x sen y) + i(sen x cos y + cos x sen y) = (cos x cos y + i cos x sen y) + (i sen x cos y − sen x sen y) = (cos x + i sen x)(cos y + i sen y) = (xφ)(yφ) Por lo tanto φ es un homomorfismo. Hallemos el n´ ucleo de φ : K = Kerφ = {r ∈ IR / rφ = 1} = {r ∈ IR / cos r + i sen r = 1} = {r ∈ IR / r = 2kπ, k ∈ Z} = h2πi ∼ Del teorema anterior IR/ h2πi = C = IRφ, donde C es la circunferencia con centro en (0,0) y radio 1 en el plano complejo.

2.7.1.

Aplicaciones

Definici´ on 2.7.1 Un subgrupo propio M de un grupo G es un subgrupo normal maximal de G si para todo subgrupo normal N de G tal que M ⊆ N ⊆ G se tiene M = N ´o N = G Teorema 2.7.2 Sea G un grupo. Entonces M es un subgrupo normal maximal de G si y s´ olo si G/M es un grupo simple. Demostraci´ on: ⇒) Sea M un subgrupo normal maximal de G, entonces demostremos que G/M es simple. Por RAA supongamos que G/M no es simple, entonces existe un subgrupo M N G N propio no trivial de G/M . Es decir se tiene ⊂ ⊂ . Pasando normal M M M M G mediante el homomorfismo γ : G → a subgrupos de G, obtenemos que M M es normal maximal M ⊂ N ⊂ G, donde N es un subgrupo normal de G diferente de M y G ( −→←− ). ⇐) Por hip´otesis, G/M es simple, entonces M es un subgrupo normal maximal de G. G Sea N un subgrupo normal de G tal que M ⊆ N ⊆ G. Aplicando γ : G → M Lic:F.Cl. Ccolque T

72 M N G N obtenemos que ⊆ ⊆ , por el teorema 2.6.2 sabemos que es un subgrupo M M M M G G M N N G normal de , pero es simple, de modo que = ´o = , luego M = N M M M M M M ´o N = G. Por definici´on, se concluye que M es un subgrupo normal maximal de G N Comentario.- Un homomorfismo φ es un isomorfismo del dominio de φ con la imagen de φ si y s´olo si φ es 1-1. Teorema 2.7.3 Un homomorfismo φ de un grupo G en otro G0 es una aplicaci´ on 1-1 si y s´olo si Kerφ = {e}. Demostraci´ on: ⇒) Por hip´otesis φ es 1-1 Vamos a demostrar que Kerφ = {e}. Claramente {e} ⊆ Kerφ, para que Kerφ = {e}, debemos demostrar que Kerφ ⊆ {e}. En efecto, sea a ∈ Kerφ (arbitrario), de modo que aφ = e0 = eφ. Tomando extremos, como φ es 1-1, se deduce que a = e. Por lo tanto Kerφ = {e}. ⇐) Por hip´otesis Kerφ = {e}, demostremos que φ es 1-1 En efecto, a, b ∈ G tales que aφ = bφ, entonces a = b. De aφ = bφ, obtenemos que (b−1 a)φ = eφ. De aqu´ı b−1 a ∈ Kerφ = {e}, as´ı b−1 a = e, luego a = b N Comentario.- A la luz del teorema 2.7.3, los pasos que los com´ un para exhibir un isomorfismo son

´ MATEMATICOS USAN

PASO 1.- Definir la aplicaci´on PASO 2.- Demostrar que la aplicaci´on es un homomorfismo PASO 3.- Demostrar que Kerφ = {e}. De aqu´ı una aplicaci´on es un isomorfismo del dominio con la imagen.

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por lo

73

2.8.

´ Segundo Trabajo Pr´ actico de Algebra II

Resuelva cada uno de los siguientes problemas: 1. Proporcione dos argumentos que muestren que Z4 no es isomorfo al 4-grupo V de Klein. 2. Sea G un grupo c´ıclico generado por a, y sea G0 un grupo isomorfo a G. Si φ : G → G0 es un isomorfismo , demostrar que, para todo x ∈ G, xφ es completamente determinado por el valor aφ. 3. Si φ es un isomorfismo del grupo G sobre el grupo G0 y H es un subgrupo de G, entonces demuestre que Hφ = {y ∈ G0 / y = xφ, para alg´ un x ∈ H} es un subgrupo de G0 . 4. Diga si es falso o verdadero cada una de las siguientes afirmaciones. (Justifique se respuesta): a) Cualesquiera dos grupos de orden 3 son isomorfos. b) Todo isomorfismo es una aplicaci´on uno a uno. c) Cualesquiera dos grupos finitos que tienen el mismo n´ umero de elementos son isomorfos. d ) Toda aplicaci´on 1-1 entre grupos es un isomorfismo. e) Una propiedad estructural de un grupo debe ser compartida por todo grupo isomorfo. f ) Un grupo abeliano no puede ser isomorfo a un grupo no abeliano. g) Un grupo aditivo no puede ser isomorfo a un grupo multiplicativo. h) El grupo IR bajo la suma es isomorfo a un grupo de permutaciones. 5. Sea φ : G → G0 un isomorfismo del grupo G sobre G0 . Demuestre que la aplicaci´on φ−1 : G0 → G definida por x0 φ−1 = x si xφ = x0 para todo x0 ∈ G0 , es un isomorfismo de G0 sobre G. 6. Sea φ : G → G0 un isomorfismo de grupos G y G0 , y ψ : G0 → G00 un isomorfismo de grupos G0 y G00 , entonces demuestre que φψ : G → G00 es un isomorfismo de grupos G y G00 . 7. Un isomorfismo de un grupo G sobre G es un automorfismo de G. Si G es un grupo y g ∈ G (fijo), entonces demuestre que ig : G → G definida por xig = gxg −1 para todo x ∈ G, es un isomorfismo de G sobre G (es decir, ig es un automorfismo de G). 8. Demostrar, de manera similar al teorema 2.1.2, que todo grupo c´ıclico de orden n es isomorfo a Zn . 9. Sea (G, ·) un grupo. Sea ∗ una operaci´on binaria del conjunto G definida por a ∗ b = b · a para todo a, b ∈ G. Entonces demostrar (G, ∗) es un grupo y que (G, ∗) es isomorfo a (G, ·). (Sugerencia: considere la aplicaci´on φ dada por aφ = a−1 ).

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74 10. Sea S = IR − {−1} grupo bajo la operaci´on binaria ∗ definida por a ∗ b = a + b + ab, entonces demuestre que la aplicaci´on ψ : IR∗ → S definida por aψ = a − 1 para a ∈ IR∗ , donde IR∗ es el grupo IR − {0} bajo la multiplicaci´on de n´ umeros reales, es un isomorfismo. 11. Sea G el grupo aditivo Z6 . Entonces: i) Construya un conjunto G0 de permutaciones de G. ii) Muestre que G0 es un subgrupo de SG . iii) Muestre que G0 es isomorfo a G. 12. Se˜ nale los ocho elementos de Z2 × Z4 . Encuentre el orden de cada uno de los elementos. ¿es c´ıclico este grupo? . 13. Diga si es falso o verdadero cada una de las siguientes afirmaciones. (justifique su respuesta): a) Se debe usar grupos de orden finito al formar un producto directo externo. b) Z2 × Z4 es isomorfo a Z8 c) Z2 × Z4 es isomorfo a S8 . d ) Z3 × Z8 es isomorfo a S4 . e) Todo elemento de Z4 × Z8 tiene orden 8. f ) El orden de Z12 × Z15 es 60. 14. Sea G un grupo abeliano. Sea H el subconjunto de G que consta de la identidad e junto con todos los elementos de G de orden 2. Demuestre que H es un subgrupo de G. 15. Muestre que el grupo sim´etrico S3 no es producto directo interno de los subgrupos H = {ρ0 , ρ1 , ρ2 } y K = {ρ0 , µ1 }. 16. Considere los subgrupos H =< 2 > y K =< 6 > de Z12 . Entonces determine HK y H ∨ K. 17. Considere los subgrupos H = {ρ0 , µ1 } y K = {ρ0 , µ2 } del grupo sim´etrico S3 . Entonces determine HK y H ∨ K. 18. Hallar el n´ umero de clase laterales izquierdas del subgrupo < 18 > de Z36 . 19. Escriba las clases laterales izquierdas del grupo c´ıclico < (1, 2) > de Z2 × Z4 y determine si la operaci´on inducida est´a bien definida y si las clases laterales forman un grupo. 20. Diga si es falso o verdadero las siguientes afirmaciones. (justifique su respuesta): umero de clases laterales izquierdas de un subgrupo de un grupo finito a) El n´ divide al orden del grupo.

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75 b) Todo grupo de orden primo es abeliano. 21. Demuestre que si H es un subgrupo de un grupo abeliano G, entonces toda clase lateral izquierda de H es tambi´en una clase lateral derecha de H. 22. Demuestre que si un grupo G con identidad e tiene orden finito n, entonces an = e, ∀a ∈ G. 23. Si H es un subgrupo de un grupo abeliano G, entonces demuestre que G/H es abeliano. 24. Complete los enunciados siguientes: a) El grupo cociente Z6 / < 3 > es de orden . . . b) El grupo cociente (Z4 × Z12 ) / < (2, 2) > es de orden . . . c) La clase lateral 5+ < 4 > es de orden . . . en el grupo cociente Z12 / < 4 >. 25. Encuentre todos los subgrupos de S3 que sean conjugados a {ρ0 , ρ1 }. 26. Diga si es falso o verdadero las siguientes afirmaciones. (Justifique su respuesta): a) Tiene sentido hablar del grupo cociente G/N si N es un subgrupo normal del grupo G. b) Todo subgrupo de un grupo abeliano G es un subgrupo normal de G. c) Todo grupo cociente de un grupo finito es de orden finito. d ) Z/nZ es c´ıclico de orden n. 27. Demuestre que la intersecci´on de subgrupos normales de un grupo G es un subgrupo normal de G. 28. Demuestre que si un grupo finito G tiene exactamente un subgrupo H de orden dado, entonces H es un subgrupo normal de G. 29. Demuestre que si H y N son subgrupos de un grupo G y N es normal en G, entonces H ∩ N es normal en H. Muestre con un ejemplo, que H ∩ N no necesariamente es normal en G. 30. Demuestre que todos los automorfismos de un grupo G forman un grupo bajo la composici´on de aplicaciones. Adem´as demuestre que todos los automorfismos internos de un grupo G forman un subgrupo normal del grupo de todos los automorfismos de G bajo la composici´on de aplicaciones. 31. Sea G un grupo. Demuestre que la relaci´on A ∼ B si A y B son subgrupos conjugados de G, de manera que A = g −1 Bg para alg´ un g ∈ G, es una relaci´on de equivalencia en la colecci´on de todos los subgrupos de G.

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76 32. Demuestre que si N es un subgrupo normal de G y H es cualquier subgrupo de G, entonces HN = N H = N ∨ K. Adem´as demuestre si N y M son subgrupos normales de G, entonces N M es un subgrupo normal de G. 33. Demuestre que si H y K son subgrupos normales de un grupo G tal que H∩K = {e}, entonces hk = kh para todo h ∈ H y para todo k ∈ K. 34. Determine cu´ales de las aplicaciones siguientes son homomorfismos. Si la aplicaci´on es un homomorfismo, describa la imagen y el n´ ucleo. a) φ : Z → IR bajo la suma, dado por nφ = n b) φ : IR∗ → IR∗ , IR∗ = R − {0}, bajo multiplicaci´on, dado por xφ = |x|. 35. Diga es falso o verdadero las siguientes afirmaciones. (Justifique su respuesta): a) An es un subgrupo normal de Sn . b) Todo isomorfismo es un homomorfismo. c) Todo homomorfismo es un isomorfismo. 36. Para dos grupos G1 y G2 considere la aplicaci´on π1 : G1 × G2 → G1 dado por (x, y)π1 = x. Demuestre que π1 es un homomorfismo ¿Cu´al es su n´ ucleo?, ¿A qu´e grupo es isomorfo el n´ ucleo de π1 ?. 37. Sea G un grupo abeliano finito de orden n y r un entero positivo, primo relativo a n. a) Demuestre que la aplicaci´on φr : G → G dada por aφr = ar es un isomorfismo de G sobre s´ı mismo. b) Deduzca que la ecuaci´on xr = a siempre tiene una soluci´on u ´nica en un grupo abeliano finito G, si r es primo relativo con el orden de G. 38. Demuestre que si G, G0 y G00 son grupos y si φ : G → G0 , ψ : G0 → G00 son homomorfismos, entonces la aplicaci´on compuesta φψ : G → G00 es un homomorfismo. 39. Sea G un grupo y sea JG el grupo de los automorfismo internos de G. Demuestre que la aplicaci´on φ : G → JG dada por aφ = ig es un homomorfismo de G sobre JG . Demuestre que el n´ ucleo de φ es {a ∈ G / ax = xa para todo x ∈ G}. Adem´as determine cu´ando φ es un isomorfismo. 40. Sean G y G0 grupos y sean H y H 0 subgrupos normales de G y G0 , respectivamente. Sea φ un homomorfismo de G en G0 . Demuestre que φ induce un homomorfismo natural φ∗ : G/H → G0 /H 0 si Hφ ⊆ H 0 . 41. Si G es un grupo y H es un subgrupo de ´ındice 2 en G, entonces demuestre que H es un subgrupo normal de G.

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77 µ

a b 42. Sea G el conjunto de todas las matrices reales 2x2, 0 ¾d ½µ ¶Á 1 b multiplicaci´on de matrices. Sea N = b ∈ IR . 0 1 Entonces demuestre que:

¶ con ad 6= 0, bajo la

a) N es un subgrupo normal de G. b) G/N es abeliano. 43. Sea G un grupo y U = {xyz −1 y −1 / x, y ∈ G} usualmente denotado por G0 llamado subgrupo conmutador de G, entonces : a) Demuestre que G0 es normal en G. b) Demuestre que G/G0 es abeliano. c) Si G/N es abeliano, demuestre que G0 ⊆ N . d ) Pruebe que si H es un subgrupo de G y G0 ⊆ H, entonces H es normal en G. 44. Demuestre que µ si¶Hi es un subgrupo normal de un grupo Gi , ΠHi es normal en ΠGi Gi ΠGi ∼ y . =Π ΠHi Hi 45. Si N es un subgrupo normal de un grupo G y H es cualquier subgrupo de G, entonces demuestre que HN es un subgrupo de G. Si adem´as, H es normal en G, entonces demuestre que HN es normal en G. Demuestre Los Siguientes Teoremas: 46. Primer Teorema del Isomorfismo.- Sea φ : G → G0 un homomorfismo de grupos con K = kerφ y sea γK : G → G/K el homomorfismo can´onico. Entonces, existe un Isomorfismo u ´nico ψ : G/K → Gφ tal que x (γK ψ) = xφ para cada x ∈ G. 47. Segundo Teorema del Isomorfismo.- Sea H un subgrupo de un grupo G y sea HN ∼ H N un subgrupo normal de G. Entonces . = N (H ∩ N ) 48. Tercer Teorema del Isomorfismo.- Sean H y K subgrupos normales de un grupo G con K ≤ H. Entonces G/H ∼ = (G/K)/(H/K). 49. Sea G un grupo abeliano y T = {a ∈ G /a tiene orden finito}, entonces demuestre que T es un subgrupo de G. 50. Sea G un grupo abeliano. Si G es isomorfo a G0 , entonces demuestre que G0 es abeliano. 51. Sea G un grupo c´ıclico. Si G es isomorfo a G0 , entonces demuestre que G0 es c´ıclico. 52. Si G es un grupo y N es un subgrupo normal de G, demuestre que si a ∈ G tiene orden finito o(a), entonces aN tiene orden m, donde m divide a o(a).

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78

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Cap´ıtulo 3 Teor´ıa de Anillos Competencia 3.- Estudia la estructura algebraica de anillos y sus propiedades, con responsabilidad, perseverancia y claridad. Capacidad.- Define y analiza anillos, dominios de integridad, campos, subanillos, ideales. Estudia homomorfismos de anillos, ideales primos y maximales. Y finalmente, construye un campo como un anillo cociente con un ideal maximal.

3.1.

Anillos y Propiedades

Los ejemplos conocidos de conjuntos de n´ umeros Z, Q y IR muestran que es importante el estudio de conjuntos, en los que se haya definido dos operaciones binarias. El sistema de este tipo que estudiaremos es el ANILLO. Definici´ on 3.1.1 Un anillo (R, +, ·) es un conjunto R provisto de dos operaciones binarias + y ·, que se llaman suma y multiplicaci´ on tales que satisfacen los siguientes tres axiomas: R1 . (R, +) es un grupo abeliano. R2 . La multiplicaci´ on es asociativa. R3 .

∀ a, b, c ∈ R : a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc

(ley distributiva izquierda) (ley distributiva derecha)

EJEMPLO 3.1.1 La terna (Z, +, ·) es un anillo ya que se verifican los tres axiomas de anillo: R1 . Z es un grupo abeliano bajo la suma habitual. on es asociativa en Z R2 . La multiplicaci´ a(bc) = (ab)c para todo a, b, c ∈ Z R3 . Se cumplen las leyes distributivas a(b + c) = ab + ac ; (a + b)c = ac + bc ∀ a, b, c ∈ Z

79

80 Comentarios.- (Q, +, ·) y (IR, +, ·) son anillos bajo las operaciones habituales de suma y multiplicaci´on. Proposici´ on 3.1.2 El conjunto C I de todos los n´ umeros complejos con las operaciones habituales de suma y multiplicaci´on es un anillo. Demostraci´ on: Vamos a demostrar que (I C, +, ·) es un anillo, verificando los tres axiomas siguientes de anillo: R1 . (I C, +) es un grupo abeliano. En efecto, sean z = a + bi, w = c + di ∈ C I , entonces la suma en C I se define por z + w = (a + c) + (b + d)i G1 . + es asociativa. Sean z1 , z2 , z3 ∈ C I , entonces z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 En efecto: Si z1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + b2 i, z3 = a3 + b3 i, entonces z1 + (z2 + z3 ) = = = = = =

(a1 + b1 i) + [(a2 + b2 i) + (a3 + b3 i)] (a1 + b1 i) + [(a2 + a3 ) + (b2 + b3 )i] [a1 + (a2 + a3 )] + [b1 + (b2 + b3 )]i [(a1 + a2 ) + a3 ] + [(b1 + b2 ) + b3 ]i [(a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i] + (a3 + b3 i) (z1 + z2 ) + z3

I tal que e + z = z + e = z para todo z ∈ C I. G2 . Existe e ∈ C Resolvamos la ecuaci´on e + z = z. Haciendo e = a + bi y z = c + di, la ecuaci´on anterior se escribe como (a + c) + (b + d)i = c + di de donde a = b = 0. As´ı e = 0 + 0i De manera an´aloga, resolviendo z + e = z tambi´en se obtiene que e = 0 + 0i. G3 . Para cada z = a + bi ∈ C I , existe −z ∈ C I tal que (−z) + z = z + (−z) = 0 + 0i. Resolvemos la ecuaci´on (−z) + z = 0 + 0i, haciendo −z = c + di se tiene (c + a) + (d + b)i = 0 + 0i, de donde c = −a, d = −b. As´ı −z = (−a) + (−b)i. De la ecuaci´on z + (−z) = 0 + 0i, tambi´en se deduce que −z = (−a) + (−b)i. G4 . + es abeliano (o conmutativo) Sean z1 , z2 ∈ C I , entonces z1 + z2 = z2 + z1 En efecto: z1 + z2 = = = = =

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(a1 + b1 i) + (a2 + b2 i) (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i (a2 + a1 ) + (b2 + b1 )i (a2 + b2 i) + (a1 + b1 i) z2 + z1

81 Recordemos que la multiplicaci´on en C I se define por z1 z2 = (a1 + b1 i)(a2 + b2 i) = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + b1 a2 )i R2 . La multiplicaci´on es asociativa. Sean z1 , z2 , z3 ∈ C I , entonces z1 (z2 z3 ) = (z1 z2 )z3 En efecto: z1 (z2 z3 ) = = = = = = =

(a1 + b1 i)[(a2 + b2 i)(a3 + b3 i)] (a1 + b1 i)[(a2 a3 − b2 b3 ) + (a2 b3 + b2 a3 )i] [a1 (a2 a3 − b2 b3 ) − b1 (a2 b3 + b2 a3 )] + [a1 (a2 b3 + b2 a3 ) + b1 (a2 a3 − b2 b3 )]i [(a1 a2 − b1 b2 )a3 − (a1 b2 + b1 a2 )b3 ] + [(a1 a2 − b1 b2 )b3 + (a1 b2 + b1 a2 )a3 ]i [(a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + b1 a2 )i](a3 + b3 i) [(a1 + b1 i)(a2 + b2 i)](a3 + b3 i) (z1 z2 )z3

As´ı z1 (z2 z3 ) = (z1 z2 )z3 , para todo z1 , z2 , z3 ∈ C I. R3 . Se cumplen las leyes distributivas Si z1 , z2 , z3 ∈ C I , entonces se tienen: z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 (z1 + z2 )z3 = z1 z3 + z2 z3 En efecto: z1 (z2 + z3 ) = = = = = =

(a1 + b1 i)[(a2 + b2 i) + (a3 + b3 i)] (a1 + b1 i)[(a2 + a3 ) + (b2 + b3 )i] [a1 (a2 + a3 ) − b1 (b2 + b3 )] + [a1 (b2 + b3 ) + b1 (a2 + a3 )]i [(a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + b1 a2 )i] + [(a1 a3 − b1 b3 ) + (a1 b3 + b1 a3 )i] [(a1 + b1 i)(a2 + b2 i)] + [(a1 + b1 i)(a3 + b3 i)] z1 z2 + z1 z3

As´ı z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 An´alogamente se verifica (z1 + z2 )z3 = z1 z3 + z2 z3 N Notaci´ on.- Denotaremos por R el anillo (R, +, ·) EJEMPLO 3.1.2 Considerando el grupo c´ıclico (Zn , +). Si definimos para a, b ∈ Zn el producto ab como el residuo del producto usual de enteros cuando se dividen entre n, se demuestra que (Zn , +, ·) es un anillo. Nos referiremos a la suma a + a + · · · + a con n sumandos. Esta suma ser´a denotada por n · a, la cual NO DEBE INTERPRETARSE como multiplicaci´on de n por a en el anillo. Si n < 0, n · a = (−a) + (−a) + · · · + (−a) con |n| sumandos. Se define 0 · a = 0 para 0 ∈ Z en el lado izquierdo y 0 ∈ R en el lado derecho. En realidad, la ecuaci´on 0 · a = 0; vale tambi´en para 0 ∈ R en ambos lados.

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82 Teorema 3.1.1 Si R es un anillo con identidad aditiva 0 entonces, para cualesquier a, b ∈ R, tenemos i) 0a = a0 = 0 ii) a(−b) = (−a)b = −(ab) iii) (−a)(−b) = ab Demostraci´ on: i) a0 = a(0 + 0) = a0 + a0 Entonces por la ley cancelativa de (R, +): 0 = a0 An´alogamente, de 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a se deduce que 0 = 0a

(3.1) (3.2)

De (3.1) y (3.2): 0a = a0 = 0. ii) Sabemos que [−(ab)] + ab = ab + [−(ab)] = 0, luego para demostrar que a(−b) = −(ab) debemos de verificar que ab + a(−b) = 0 En efecto: Por la ley distributiva izquierda a0 = a(b − b) = ab + a(−b)

(3.3)

De la parte i), a0 = 0, luego por (3.3): ab + a(−b) = 0

(3.4)

An´alogamente, ab + (−a)b = (a − a)b = 0b = 0

(3.5)

De (3.4) y (3.5): a(−b) = (−a)b = −(ab) iii) Por ii): (−a)(−b) = −(a)(−b) = −(−ab)

(3.6)

Pero −(−ab) + (−ab) = 0, luego el inverso aditivo de (−ab) es (−a)(−b) por (3.6). Siendo ab inverso de (−ab), luego por la unicidad del inverso de (−ab) , concluimos que (−a)(−b) = ab N Definici´ on 3.1.3 Un isomorfismo φ de un anillo R sobre un anillo R0 es una aplicaci´ on uno a uno de R sobre R0 tal que para todo a, b ∈ R se cumplen i) (a + b)φ = aφ + bφ

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83 ii) (ab)φ = (aφ)(bφ) En este caso, decimos que los anillos R y R0 son isomorfos. EJEMPLO 3.1.3 Los grupos abelianos ,(Z, +), (2Z, +) son isomorfos bajo la aplicaci´ on φ : Z → 2Z definida por xφ = 2x para x ∈ Z. Adem´ as (2Z, +, ·) es un anillo. Pero (Z, +, ·) y (2Z, +, ·) no son isomorfos porque no se cumple la condici´ on ii) de isomorfismo. (ab)φ = 2ab. Por otro lado, (aφ)(bφ) = 2a2b = 4ab, de modo que (ab)φ 6= (aφ)(bφ) para a, b ∈ Z Notaci´ on.- Denotaremos por nZ el anillo (nZ, +, ·). PROPIEDADES MULTIPLICATIVAS Y CAMPOS. Todos los anillos que hemos visto tienen multiplicaci´on conmutativa. Los anillos Z, Q, IR tienen identidad multiplicativa 1. El anillo 2Z no tiene identidad multiplicativa. I bajo la suma y Hay anillos de matrices n × n cuyos elementos son de Z, Q, IR y C multiplicaci´on de matrices. En este anillo la multiplicaci´on no es conmutativa si n > 2. Estos anillos de matrices tienen elemento identidad para la multiplicaci´on. Es claro que el conjunto {0} con 0 + 0 = 0 y (0)(0)=0 es un anillo. El cero “0” act´ ua como identidad multiplicativa y como identidad aditiva. Cada vez que hablemos de una identidad multiplicativa en un anillo, excluiremos este caso trivial. Definici´ on 3.1.4 Un anillo en que la multiplicaci´ on es conmutativa es un anillo conmutativo. Un anillo R con identidad multiplicativa 1 tal que 1x = x1 = x para todo x ∈ R es un anillo con unitario. Una identidad multiplicativa en un anillo es un elemento unitario. Teorema 3.1.2 Si R es un anillo con unitario, entonces el elemento unitario 1 es la u ´nica identidad multiplicativa. Demostraci´ on: Sean 1 y 10 identidades multiplicativas en un anillo R. Considerando el 1 como identidad: (1)(10 ) = 10 Considerando el 10 como identidad: (1)(10 ) = 1 Por lo tanto 1 = 10

N

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84 Comentarios: i) Si R1 , R2 , . . . , Rn son anillos, entonces podemos formar el conjunto R1 ×R2 ×· · ·×Rn de todas las n-adas ordenadas (r1 , r2 , . . . , rn ) donde ri ∈ Ri . Si definimos la suma y la multiplicaci´on de n-adas por componentes (como para grupos), se demuestra que R1 × R2 × · · · × Rn es un anillo bajo la suma y multiplicaci´on por componentes. ii) El anillo R1 × R2 × · · · × Rn es el producto directo de los anillos Ri . Es claro que dicho producto directo es conmutativo o tiene elemento unitario si y s´olo si cada Ri es conmutativo o tienen elementos unitarios, respectivamente. iii) En un anillo R con unitario, el conjunto R∗ de elementos distintos de cero ser´a un grupo multiplicativo si es cerrado bajo la multiplicaci´on del anillo y si existen inversos. Definici´ on 3.1.5 Un inverso multiplicativo de un elemento a en un anillo R con unitario 1, es un elemento a−1 ∈ R tal que a−1 a = aa−1 = 1. As´ı como para grupos, el inverso multiplicativo de un elemento a en R es u ´nico si existe. Definici´ on 3.1.6 Sea R un anillo con unitario. Un elemento u en R es una unidad de R si tiene inverso multiplicativo en R. Si todo elemento distinto de cero en R es una unidad, entonces R es un semi campo o anillo de divisi´ on. Un campo es un anillo de divisi´on conmutativo. EJEMPLO 3.1.4 Z es un anillo conmutativo con unitario. Pero 2 ∈ Z no es una unidad y 2 6= 0, luego Z no es un campo . Las u ´nicas unidades en Z son 1 y -1. Mientras que Q, IR son ejemplos de campos. Naturalmente existen los conceptos de subanillo de un anillo y subcampo de un campo. Definici´ on 3.1.7 Un subanillo de un anillo es un subconjunto del anillo que es anillo bajo las operaciones inducidas de todo el anillo. Definici´ on 3.1.8 Un subcampo de un campo es un subconjunto del campo que es campo bajo las operaciones inducidas de todo el campo. Comentario.- Se debe distinguir las palabras unidad y unitario. Unitario es la identidad multiplicativa, mientras que unidad es cualquier elemento que tiene inverso multiplicativo. Por ejemplo −1 ∈ Z es una unidad, pero −1 no es unitario. La identidad multiplicativa de todo anillo es una unidad.

3.2.

Dominios de Integridad y Campos

3.2.1.

Divisores de Cero y Cancelaci´ on

Una de las propiedades algebraicas m´as importantes de nuestro sistema num´erico usual es que el producto de dos n´ umeros puede ser cero s´olo si al menos uno de los dos factores es cero.

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85 Comentario.- Si se desea resolver la ecuaci´on x2 − 5x + 6 = 0 Lo primero que se hace es factorizar el lado izquierdo: x2 − 5x + 6 = 0 = (x − 2)(x − 3) Luego se concluye que los u ´nicos valores posibles para x son 2 y 3, puesto que si x se reemplaza por cualquier n´ umero a, el producto (a − 2)(a − 3) de n´ umeros resultantes es cero ⇔ a − 2 = 0 o a − 3 = 0 EJEMPLO 3.2.1 Resolver la ecuaci´ on x2 − 5x + 6 = 0 en Z12 Soluci´ on:

Como (Z12 , +, ·) es un anillo Se cumple que 0a = a0 = 0 Como (x − 2)(x − 3) = 0 se obtiene x=2ox=3

(3.7)

Adem´as sabemos que en Z12 se cumplen: (2)(6) = (6)(2) = (4)(3) = (3)(4) = (3)(8) = (8)(3) | {z } = (4)(6) = (6)(4) = (9)(4) = (4)(9) = (6)(6) = (6)(8) = (8)(6) = (6)(10) = (10)(6) = (8)(9) = (9)(8) = 0 | {z } De aqu´ı 6 y 11 son soluciones de la ecuaci´on dada, pues (6 − 2)(6 − 3) = (4)(3) = 0 y (11 − 2)(11 − 3) = (9)(8) = 0

(3.8)

De (3.7) y (3.8), concluimos que 2, 3, 6 y 11 son soluciones de la ecuaci´on de segundo grado x2 − 5x + 6 = 0 N Definici´ on 3.2.1 Si a y b son dos elementos distintos de cero de un anillo R tal que ab = 0, entonces a y b se llaman divisores de cero. En particular, a es un divisor izquierdo de cero y b es un divisor derecho de cero. Comentarios: i) En un anillo conmutativo, todo divisor izquierdo de cero es tambi´en un divisor derecho de cero. un el ejemplo 3.2.1, los elementos 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 son todos divisores de cero. ii) Seg´ Se nota que ´estos son precisamente elementos en Z12 que no son primos relativos con 12. Teorema 3.2.1 En el anillo Zn , los divisores de cero son precisamente aquellos elementos que no son primos relativos con n.

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86 Demostraci´ m ∈ Zn , donde m 6= 0 y sea mcd{m, n} = d 6= 1. Entonces ³ n ´ ³ mo´n: Sea m n = n, y ( )n = 0 como m´ ultiplo de n. As´ı m( ) = 0 en Zn mientras que ni m d d d d m ni n/d es cero, por lo tanto m es divisor de cero. Sea mcd{m, n} = 1. Si para alg´ un s ∈ Zn tenemos ms = 0, entonces n divide al producto ms, como n no tiene factores mayores de 1 com´ un con m, luego n divide a s, de modo que s = 0. Por lo tanto, m no es un divisor de cero N Corolario 3.2.2 Si p es primo, entonces Zp no tiene divisores de cero. Demostraci´ on:

Es consecuencia inmediata del teorema anterior

N

Teorema 3.2.2 Las leyes de cancelaci´ on valen en un anillo R si y s´olo si R no tiene divisores de cero, izquierdos ni derechos. Demostraci´ on: ⇒) Supongamos que R es un anillo en el cual se cumplen las leyes de cancelaci´on y ab = 0 para algunos a, b ∈ R. Debemos demostrar que a = 0 o b = 0. Si a 6= 0, entonces ab = a0. Aplicando la ley cancelativa izquierda obtenemos que b = 0. An´alogamente si b 6= 0, se deduce que a = 0. ⇐) Supongamos que R no tiene divisores de cero izquierdos ni derechos y ab = ac con a 6= 0. Entonces ab − ac = a(b − c) = 0. Como a 6= 0 y R no tiene divisores izquierdos de cero, debemos tener b − c = 0, luego b = c. Un argumento similar muestra que ba = ca con a 6= 0 implica b = c N Comentarios: i) Sea R un anillo sin divisores de cero. Entonces la ecuaci´on ax = b con a 6= 0 en R, puede tener a lo m´as una soluci´on x en R, pues si ax1 = b y ax2 = b se tiene ax1 = ax2 , por el teorema anterior x1 = x2 pues R no tiene divisores de cero. ii) Si R tiene elemento unitario 1 y a es una unidad en R con inverso multiplicativo a−1 , entonces es claro que la soluci´on x de ax = b es a−1 b. iii) En el caso de que R sea conmutativo (o un campo) se acostumbra denotar a−1 b y ba−1 por el cociente formal b/a. En el caso en que R no sea conmutativo se recomienda evitar el uso de b/a. El inverso multiplicativo de un elemento a distinto de cero, en un campo es 1/a. DOMINIOS ENTEROS Definici´ on 3.2.3 Un dominio entero D es un anillo conmutativo unitario sin divisores de cero.

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87 EJEMPLO 3.2.2 Z, Zp para cualquier primo p son dominios enteros. Teorema 3.2.3 Todo campo F es un dominio entero Demostraci´ on: Sabemos que un campo es un anillo conmutativo unitario. Si ab = 0 y a 6= 0 debemos deducir b = 0 1 En efecto, como a ∈ F − {0} es unidad, existe a−1 = ∈ F de modo que a µ ¶ µ ¶ 1 1 (ab) = 0=0 a a Entonces

µ ¶ ·µ ¶ ¸ 1 1 0= (ab) = a b = 1b = b a a

Por lo tanto, no existen divisores de cero en F . Esto quiere decir que F es un dominio entero N Los u ´nicos campos que hemos visto son Q, IR, C I. El corolario siguiente nos da campos finitos. Teorema 3.2.4 Todo dominio entero finito es un campo. Demostraci´ on: Sean 0, 1, a1 , . . . , an todos los elementos de un dominio entero finito D. Sea a ∈ D − {0}, entonces debemos demostrar que existe b ∈ D tal que ab = 1. Considerando a1, aa1 , . . . , aan , afirmamos que todos estos elementos de D son distintos, de lo contrario aai = aaj para i 6= j nos da ai = aj (→←) siendo D un dominio entero. As´ı a1, aa1 , . . . , aan son los elementos 1, a1 , . . . , an en alg´ un orden, de manera que a1 = 1 de donde a = 1 ´o aai = 1 para alg´ un i para a 6= 1. Por lo tanto a tiene inverso multiplicativo en D, de modo que D es un campo N Corolario 3.2.4 Si p es primo, entonces Zp es un campo. Demostraci´ on: Como Zp es un dominio entero de p elementos, por el teorema anterior se concluye que Zp es un campo N

3.3.

Caracter´ıstica de un Anillo

Sea R un anillo. Podemos preguntar si existe alg´ un entero positivo n tal que n · a = 0 para todo a ∈ R, donde n · a significa |a + a + · · · + a {z } n−veces

Por ejemplo, el entero m tiene esa propiedad para el anillo Zm Definici´ on 3.3.1 Si para un anillo R existe n ∈ Z+ tal que n · a = 0 para todo a ∈ R, entonces m = m´ın{n ∈ Z+ / n · a = 0, ∀a ∈ R} es la caracter´ıstica del anillo R. Si no existe dicho entero m, entonces se dice que R es de caracter´ıstica cero.

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88 EJEMPLO 3.3.1 El anillo Zn es de caracter´ıstica n. Mientras que Z, Q, IR y C I son anillos de caracter´ıstica cero. Teorema 3.3.1 Si R es un anillo con unitario 1, entonces R tiene caracter´ıstica n > 0 si y s´olo si “n” es el menor entero positivo tal que n · 1 = 0 Demostraci´ on: ⇒) Si R tiene caracter´ıstica n > 0, entonces n · a = 0 para todo a ∈ R. En particular para 1 ∈ R se tiene n · 1 = 0. ⇐) Supongamos que n ∈ Z+ es el menor entero positivo tal que n · 1 = 0. Entonces para cualquier a ∈ R tenemos n·a=a {z· · · + a} = a(1 + 1 + · · · + 1) |+a+ n−veces

= a(n · 1) = a0 = 0 N

3.4.

Teorema de Fermat

Es f´acil ver que para cualquier campo, los elementos distintos de cero forman un grupo bajo la multiplicaci´on de campo. En particular para Zp los elementos 1, 2, 3, . . . , p − 1 forman un grupo de orden p − 1 bajo la multiplicaci´on m´odulo p. Como el orden de cualquier elemento en un grupo divide al orden del grupo, vemos que para a 6= 0 y a ∈ Zp , ap−1 = 1 en Zp . Teorema 3.4.1 (Fermat) Si a ∈ Z y p es un primo que no divide a a, entonces p divide a ap−1 − 1 Demostraci´ on: Si a ∈ Z y p es un primo que no divide a a, entonces Z a + pZ ∈ − {pZ} = Z∗p . pZ Pero Z∗p es un grupo multiplicativo de orden p − 1, de modo que (a + pZ)p−1 = 1 + pZ. Por multiplicaci´on de clases laterales ap−1 + pZ = 1 + pZ, de aqu´ı ap−1 ≡ 1 mod (p). Por lo tanto p divide a ap−1 − 1 N Corolario 3.4.1 Si a ∈ Z, entonces ap ≡ a mod (p) para cualquier primo p. Demostraci´ on:

Se presentan dos casos:

i) Si p no divide a a, entonces por el teorema anterior p divide a ap−1 − 1. As´ı existe k ∈ Z tal que ap−1 − 1 = kp, multiplicando por a: ap − a = akp, por consiguiente ap ≡ a mod (p).

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89 ii) Si p divide a a, entonces a = pk para alg´ un k ∈ Z. p p p De aqu´ı a ≡ 0 mod (p). Como a = p k se obtiene ap ≡ 0 mod (p), por consiguiente ap ≡ a mod (p) N EJEMPLO 3.4.1 Calcular el residuo de 8103 al dividirlo entre 13 Soluci´ on:

Seg´ un el teorema de Fermat para p = 13 tenemos 8103 ≡ (812 )8 (87 ) ≡ (1)8 (87 ) ≡ 87 ≡ (−5)7 ≡ (25)3 (−5) ≡ (−1)3 (−5) ≡ 5 mod (13)

Por lo tanto, el residuo al dividir 8103 entre 13 es 5

3.5.

N

Anillos Cocientes e Ideales

´ INTRODUCCION.Esta secci´on comienza con el estudio de anillos an´alogo a grupos cocientes y homomorfismos. Como (R, +) es un grupo para todo anillo R. De hecho (R, +) es un grupo abeliano, as´ı la parte aditiva de esta teor´ıa ya est´a hecha. S´olo debemos ocuparnos de sus ASPECTOS multiplicativos. Sea R un anillo. Nos ocuparemos del estudio de una partici´on en subconjuntos ajenos o CELDAS, tal que estas celdas puedan considerarse elementos en un anillo, donde ambas operaciones de suma y multiplicaci´on de celdas son operaciones inducidas de R. Es decir, deseamos definir ambas operaciones, escogiendo representantes de las celdas, sumando y multiplicando en R estos representantes, para definir la suma y el producto de celdas, como la celda donde se halle la suma o producto de los representantes. Ambas operaciones deben estar bien definidas (deben ser independientes de la selecci´on de representantes de las celdas). Teorema 3.5.1 Si un anillo R se puede partir en celdas con las dos operaciones inducidas descritas arriba bien definidas, y si las celdas forman un anillo bajo estas operaciones inducidas, entonces la celda que contiene a la identidad aditiva 0 de R debe ser un subgrupo aditivo N del grupo aditivo (R, +). Adem´ as, N debe tener la PROPIEDAD ADICIONAL de que rn ∈ N y nr ∈ N para todo r ∈ R y todo n ∈ N . Esta u ´ltima condici´ on se expresa como rN ⊆ N y N r ⊆ N . Demostraci´ on: Considerando el grupo aditivo (R, +), por el teorema 2.4.1 sabemos que N es un subgrupo aditivo de (R, +) . Adem´as N E (R, +) porque (R, +) es abeliano. Falta demostrar que rN ⊆ N y N r ⊆ N para todo r ∈ R. Sea r ∈ R, luego r est´a en alguna celda A ⊆ R. Por la hip´otesis de que la multiplicaci´on inducida de celdas est´a bien definida, podemos calcular los productos AN y N A escogiendo

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90 cualesquiera representantes. Escojamos r ∈ A y 0 ∈ N . Entonces AN y N A son las celdas que contienen r0 = 0r = 0, por lo tanto AN = N A = N . De aqu´ı rN ⊆ N y N r ⊆ N para todo r ∈ R. En t´erminos de elementos, para todo r ∈ R y todo n ∈ N se tienen rn ∈ N y nr ∈ N N CRITERIOS PARA LA EXISTENCIA DE UN ANILLO DE CLASES LATERALES Teorema 3.5.2 Si un anillo R se puede partir en celdas con ambas operaciones inducidas bien definidas y formando un anillo, entonces las celdas deben ser precisamente las clases laterales izquierdas (y tambi´en las derechas) con respecto a la suma del subgrupo aditivo (N, +) de (R, +), de donde N es la celda que contiene el 0. Demostraci´ on: Considerando (R, +) como grupo aditivo, se deduce que las celdas son las clases laterales r + N . Pero (R, +) es abeliano, luego se tiene adem´as que N + r = r + N N

Lema 3.5.1 Si (N, +) es un subgrupo aditivo de (R, +) para una anillo R y si las operaciones inducidas de suma y multiplicaci´ on de clases laterales r + N para r ∈ R est´an bien definidas; es decir, son independientes de la selecci´ on de representantes, entonces la colecci´ on de estas clases laterales r + N es un anillo bajo estas operaciones inducidas de clases laterales. Demostraci´ on: R1 . Como la suma de clases laterales r + N est´a bien definida y (N, +) es un subgrupo de (R, +), entonces la colecci´on de las clases laterales r + N es un grupo bajo la suma inducida. Adem´as dicho grupo es abeliano. R2 . La multiplicaci´on de clases laterales es asociativa. Sean r1 + N, r2 + N, r3 + N clases laterales izquierdas, entonces (r1 + N )[(r2 + N )(r3 + N )] = [(r1 + N )(r2 + N )](r3 + N ) Se define la multiplicaci´on de clases laterales como (r1 + N )(r2 + N ) = r1 r2 + N Desarrollando: (r1 + N )[(r2 + N )(r3 + N )] = = = = = R3 . Las leyes distributivas se cumplen: F.Cl´ımaco

(r1 + N )[r2 r3 + N ] r1 (r2 r3 ) + N (r1 r2 )r3 + N, por asociatividad en R (r1 r2 + N )(r3 + N ) [(r1 + N )(r2 + N )](r3 + N )

91 i) (r1 + N )[(r2 + N ) + (r3 + N )] = (r1 r2 + N ) + (r1 r3 + N ) ii) [(r1 + N ) + (r2 + N )](r3 + N ) = (r1 r3 + N ) + (r2 r3 + N ) para todo r1 , r2 , r3 ∈ R. Verificando i): (r1 + N )[(r2 + N ) + (r3 + N )] = = = =

(r1 + N )[(r2 + r3 ) + N ] r1 (r2 + r3 ) + N (r1 r2 + r1 r3 ) + N (r1 r2 + N ) + (r1 r3 + N )

An´alogamente se verifica ii). De R1 , R2 y R3 se concluye que la colecci´on de clases laterales izquierdas r + N forma un anillo. ´ AFIRMACION.Con las hip´otesis del lema anterior (r1 + N ) + (r2 + N ) = (r1 + r2 ) + N y (r1 + N )(r2 + N ) = r1 r2 + N En efecto, sean r1 + n1 ∈ r1 + N y r2 + n2 ∈ r2 + N , luego multiplicando representantes (r1 + n1 )(r2 + n2 ) = r1 r2 + r1 n2 + n1 r2 + n1 n2 = r1 r2 + n, n ∈ N por teorema 3.5.1 como la multiplicaci´on de clases est´a bien definida, se concluye que (r1 + N )(r2 + N ) = r1 r2 + N . Sumando los representantes (r1 + n1 ) + (r2 + n2 ) = (r1 + r2 ) + (n1 + n2 ) = (r1 + r2 ) + n, n ∈ N por teorema 3.5.1 como la suma de clases est´a bien definida, concluimos que (r1 +N )+(r2 +N ) = (r1 +r2 )+N N Teorema 3.5.3 Si (N, +) es un subgrupo aditivo del grupo aditivo (R, +) de un anillo R, entonces las operaciones de suma y multiplicaci´ on inducida est´an, ambas, bien definidas en las clases laterales r + N para r ∈ R si y s´olo si rN ⊆ N y N r ⊆ N para todo r ∈ R. Demostraci´ on: ⇒) Supongamos que las operaciones inducidas est´an bien definidas en clases laterales, entonces por el teorema 3.5.1 se tiene rN ⊆ N y N r ⊆ N para todo r ∈ R.

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92 ⇐) Supongamos que (N, +) es un subgrupo aditivo de (R, +) tal que rN ⊆ N y N r ⊆ N para todo r ∈ R. Como (N, +) es un subgrupo normal de (R, +) se deduce que la suma de clases laterales est´a bien definida. Para la multiplicaci´on, debemos mostrar que un producto (r1 +N )(r2 +N ), calculado mediante la selecci´on de representantes, est´a bien definido. No se pierde generalidad al tomar, como dos representantes de r1 + N , al elemento r1 mismo y a r1 + n1 para n1 ∈ N . An´alogamente, sean r2 y r2 + n2 ∈ r2 + N . Debemos demostrar que (r1 + n1 )(r2 + n2 ) est´a en la misma clase lateral r1 r2 + N que r1 r2 . Por las leyes distributivas en R: (r1 + n1 )(r2 + n2 ) = r1 r2 + n1 n2 + n1 r2 + r1 n2 La hip´otesis de que rN ⊆ N y N r ⊆ N implica que r1 n2 ∈ N y n1 r2 ∈ N . Considerando n1 ∈ R tenemos que n1 n2 ∈ n1 N y n1 N ⊆ N , de modo que n1 n2 ∈ N . Entonces, como (N, +) es un grupo aditivo de (R, +), vemos que n1 r2 + r1 n2 + n1 n2 ∈ N , de modo que (r1 + n1 )(r2 + n2 ) ∈ r1 r2 + N N Comentarios: i) Los subgrupos aditivos particulares (N, +) de un anillo R que tengan la propiedad de rN ⊆ N y N r ⊆ N para todo r ∈ R desempe˜ nan un papel fundamental en la teor´ıa de anillos, an´alogo al papel de un subgrupo normal en un grupo. ii) Las condiciones rN ⊆ N y N r ⊆ N implican, en particular para r ∈ N , que N es cerrado bajo la multiplicaci´on de R. As´ı, podemos considerar N , con la suma y multiplicaci´on inducida de R, como un subanillo de R. Sin embargo, no todo subanillo de un anillo R satisface las condiciones rN ⊆ N y N r ⊆ N . Por ejemplo, Q, es un subanillo de IR, pero πQ * Q. IDEALES Y ANILLOS COCIENTES Definici´ on 3.5.2 Un subgrupo aditivo (N, +) de un anillo R que satisface rN ⊆ N y N r ⊆ N para todo r ∈ R es un IDEAL (o un ideal bilateral) de R. Un subgrupo (N, +) de R que satisface rN ⊆ N para todo r ∈ R es un IDEAL IZQUIERDO de R. Un subgrupo (N, +) de R que satisface N r ⊆ N para todo r ∈ R es un IDEAL DERECHO de R. Comentario.- Cuando nos refiramos a un ideal supondremos un ideal bilateral. Definici´ on 3.5.3 Si N es un ideal en un anillo R, entonces el anillo de las clases laterales r+N bajo las operaciones inducidas es el anillo COCIENTE (anillo FACTOR o el anillo de las clases residuales de R m´odulo N ), y se denota por R/N . Las clases laterales son las clases residuales m´odulo N . ´nicos subgrupos aditivos de (Z, +) EJEMPLO 3.5.1 Sabemos que Z es un anillo. Los u + son los subgrupos nZ para n ∈ Z . Sean r ∈ Z, m ∈ nZ, entonces rm = mr ∈ nZ

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93 En efecto: m ∈ nZ ⇒ m = ms para alg´ un s ∈ Z, luego rm = mr, pues Z es conmutativo bajo la multiplicaci´ on = nsr = n(sr), donde sr ∈ Z Como rm = n(sr) para alg´ un sr ∈ Z, concluimos que rm ∈ nZ. Siendo nZ un subgrupo aditivo de R = Z tal que rm ∈ nZ y mr ∈ nZ para todo r ∈ Z y todo m ∈ nZ Se deduce que nZ es un IDEAL de Z, por consiguiente las clases laterales a + nZ de nZ forman el anillo cociente Z/nZ bajo las operaciones inducidas de suma y multiplicaci´ on. Comentario.- Se define para a y b ∈ Zn , el producto ab m´odulo n como el residuo cuando se divide entre n el producto usual de a y b en Z. Entonces la aplicaci´on φ : Zn → Z/nZ dada por aφ = a + nZ es una aplicaci´on 1-1 y sobre Z/nZ tal que (a + b)φ = aφ + bφ y (ab)φ = (aφ)(bφ). Esto quiere decir que Zn bajo la suma y la multiplicaci´on m´odulo n puede verse como Z/nZ con diferentes nombres. Con frecuencia, se identifica Z/nZ con Zn mediante este isomorfismo φ, el cual es un isomorfismo natural. EJEMPLO 3.5.2 Para p primo, Zp es isomorfo a Z/pZ. As´ı un anillo cociente puede ser un campo como Z/pZ. EJEMPLO 3.5.3 El subconjunto N = {0, 3} de Z6 es un ideal, y el anillo cociente es Z6 /N = {0 + N, 1 + N, 2 + N } De aqu´ı podemos deducir que Z6 /N ∼ = Z3 bajo la correspondencia 0 + N ↔ 0, 1 + N ↔ 1, 2 + N ↔ 2. EJEMPLO 3.5.4 Construya un anillo cociente que sea dominio entero a partir de un anillo que no sea un dominio entero. Soluci´ on: Si consideramos el anillo Z × Z y como ideal, N = {(0, n) / n ∈ Z} de Z × Z, entonces Z × Z/N es un anillo cociente tal que Z × Z/N es un dominio entero, donde Z × Z no es un dominio entero. ´ 1.- Z × Z no es un dominio entero. AFIRMACION En efecto: Existen (0, 1), (1, 0) ∈ Z × Z − {(0, 0)} tales que (0, 1)(1, 0) = ((0)(1), (1)(0)) = (0, 0). Esto muestra que (0,1) y (1,0) son divisores de cero en Z × Z, por lo tanto Z × Z no es un dominio entero. ´ 2.- Si N = {(0, n) / n ∈ Z} ⊆ Z × Z, entonces N es un ideal de Z × Z. AFIRMACION En efecto:

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94 i) Como 0 ∈ Z es tal que (0, n) = (0, 0) ∈ N por definici´on de N , deducimos que N 6= ∅(es no vac´ıo) ii) Sean a, b ∈ N , entonces a − b = a + (−b) ∈ N a ∈ N ⇒ a = (0, n1 ) para alg´ un n1 ∈ Z b ∈ N ⇒ b = (0, n2 ) para alg´ un n2 ∈ Z. Luego −b = (0, −n2 ) y −n2 ∈ Z, de modo que a − b = a + (−b) = (0, n1 ) + (0, −n2 ) = (0, n1 − n2 ) es tal que n1 − n2 ∈ Z Por definici´on, resulta que a − b ∈ N . Hasta aqu´ı, de i) y ii), (N, +) es un subgrupo de (Z × Z, +). iii) Como Z × Z es conmutativo, si r ∈ Z × Z y n ∈ N , entonces nr = rn ∈ N . En efecto: r ∈ Z × Z ⇒ r = (r1 , r2 ), donde r1 , r2 ∈ Z; n ∈ N ⇒ n = (0, n1 ), para alg´ un n1 ∈ Z Luego rn = (r1 , r2 )(0, n1 ) = (r1 0, r2 n1 ) = (0, n), donde n = r2 n1 ∈ Z. As´ı rn ∈ N . De i), ii) y iii), concluimos que N es un ideal de Z × Z. Comentarios: i) De la afirmaci´on 2, se construye el anillo cociente autom´aticamente de Z × Z por N , denotado por (Z × Z)/N . ii)

b ∈ Z × Z/N

⇒

b = (n1 , n2 ) + N donde n1 , n2 ∈ Z = [(n1 , 0) + (0, n2 )] + N = (n1 , 0) + N, pues (0, n2 ) ∈ N

As´ı b = (n1 , 0) + N para alg´ un n1 ∈ Z. ´ 3.- (Z × Z)/N es isomorfo a Z. AFIRMACION En efecto: Sea φ : (Z × Z)/N → Z aplicaci´on definida por ((n, 0) + N )φ = n Entonces se demuestra que: i) φ es 1-1 ii) φ es sobre Z iii) Si (n1 , 0) + N, (n2 , 0) + N ∈ (Z × Z)/N , entonces: a) {[(n1 , 0) + N ] + [(n2 , 0) + N ]}φ = [(n1 , 0) + N ]φ + [(n2 , 0) + N ]φ b) {[(n1 , 0) + N ][(n2 , 0) + N ]}φ = [(n1 , 0) + N ]φ[(n2 , 0) + N ]φ

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95 S´olo vamos a verificar iii) b), como sigue: {[(n1 , 0) + N ][(n2 , 0) + N ]}φ = = = =

[(n1 , 0)(n2 , 0) + N ]φ [(n1 n2 , 0) + N ]φ n1 n2 [(n1 , 0) + N ]φ[(n2 , 0) + N ]φ

Las dem´as partes i), ii) y iii) a) quedan como ejercicio . De esta manera φ es un isomorfismo de (Z × Z)/N sobre Z, por lo tanto (Z × Z)/N es isomorfo a Z. N Comentario.- Seg´ un la afirmaci´on 3 se concluye que (Z × Z)/N es un dominio entero por ser isomorfo a un dominio entero Z, sin embargo Z × Z como se vi´o en la afirmaci´on 1 no es un dominio entero por contener divisores de cero, por ejemplo (0,1) y (1,0) son divisores de cero en Z × Z. COMENTARIOS ACERCA DE ANILLOS COCIENTES GENERALES a) Todo anillo R tiene dos ideales, el ideal impropio R y el ideal trivial {0}. Para estos ideales, los anillos cocientes son R/R, que tiene un solo elemento y R/{0}, que es isomorfo a R. b) Los ideales mencionados en a) no son interesantes, en el sentido que no permiten construir nuevos anillos. Igual que para un subgrupo de un grupo, un IDEAL NO TRIVIAL PROPIO de un anillo R es un ideal de R tal que N 6= R y N 6= {0} c) Mientras que los anillos cocientes de los anillos y los dominios enteros pueden ser ´ , como lo indica el ejemplo anterior, un anillo cociente de un campo de gran INTERES no tiene UTILIDAD como veremos m´as adelante. Teorema 3.5.4 Si R es un anillo con unitario y N es un ideal de R que contiene alguna unidad, entonces N = R. Demostraci´ on: Sabemos que N ⊆ R. Debemos demostrar que R ⊆ N para obtener que N = R. Como N es un ideal de R se cumple la condici´on rn ∈ N para todo r ∈ R y para todo n ∈ N . . . (1) Supongamos que u ∈ N es alguna unidad de R, luego existe u−1 ∈ R tal que u−1 u = uu−1 = 1, donde 1 es un unitario de R. En particular, para r = u−1 , n = u se tiene rn = u−1 u = 1 ∈ N por (1) Ahora, si r ∈ R(arbitrario), entonces para n = 1 ∈ N tenemos que rn = r1 = r ∈ N por (1). As´ı R ⊆ N , por consiguiente N = R N Corolario 3.5.4 Un campo no contiene ideales propios no triviales.

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96 Demostraci´ on: Sea F un campo y N 6= {0} un ideal de F , entonces debemos demostrar que N = F . Sea u ∈ N − {0}, luego u ∈ F − {0}, y as´ı existe u−1 ∈ F tal que u−1 u = uu−1 = 1 porque cada elemento diferente de cero es una unidad. Siendo F un anillo con unitario y N un ideal de F que contiene la unidad u (u ∈ N ), por el teorema 3.5.4 concluimos que N = F N

3.6.

Homomorfismo de Anillos y Propiedades

El an´alisis de los homomorfismos de anillos se mantendr´a paralelo al de homomorfismos de grupos. Definici´ on 3.6.1 Una aplicaci´ on φ de un anillo R en un anillo R0 es un homomorfismo si cumple las dos condiciones siguientes: i) (a + b)φ = aφ + bφ ii) (ab)φ = (aφ)(bφ) para todo a, b ∈ R on can´ onica Teorema 3.6.1 Si N es un ideal de un anillo R, entonces la aplicaci´ γ : R → R/N dada por aγ = a + N para todo a ∈ R es un homomorfismo. Demostraci´ on: i) Por hip´otesis N es un ideal de R, luego (N, +) es un subgrupo de (R, +). Pero (R, +) es un grupo abeliano, luego (N, +) es un subgrupo normal de (R, +). Entonces por el teorema 2.6.1, γ : R → R/N dada por aγ = a + N para todo a ∈ R es un homomorfismo. Es decir, se cumple la condici´on (a + b)γ = aγ + bγ ∀ a, b ∈ R. ii) Si a, b ∈ R, entonces (ab)γ = (aγ)(bγ) En efecto (ab)γ = ab + N . Seg´ un el teorema 3.5.3 la multiplicaci´on de clases laterales est´a bien definida porque N es un ideal de R, de modo que (ab)γ = (a + N )(b + N ) = (aγ)(bγ) De i), ii) se concluye que γ : R → R/N es un homomorfismo de anillos

N

Proposici´ on 3.6.2 Un subconjunto S de un anillo R es un subanillo de R si y s´olo si se cumplen las siguientes condiciones: i) 0 ∈ S ii) a − b ∈ S para todo a, b ∈ S

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97 iii) ab ∈ S para todo a, b ∈ S Demostraci´ on: ⇒) Si S es un subanillo de R (S mismo es un anillo bajo las operaciones inducidas de R). Entonces (S, +) es un grupo y S es cerrado bajo la multiplicaci´on inducida de R. i) as´ı la identidad aditiva 0 ∈ S ii) tambi´en a − b ∈ S para todo a, b ∈ S porque S es un grupo bajo la adici´on iii) ab ∈ S para todo a, b ∈ S porque S es cerrado bajo la multiplicaci´on inducida de R. ⇐) Supongamos que se cumplen las condiciones i), ii), iii), entonces S es un subanillo de R. Debemos demostrar que S es un anillo bajo las operaciones inducidas de R. Es decir, debemos verificar los axiomas R1 , R2 y R3 para S: R1 . (N, +) es un grupo abeliano. Como se cumplen para las condiciones i), ii) para S, vemos que S 6= ∅ (es no vac´ıo) subconjunto de R y a−b ∈ S para todo a, b ∈ S. Seg´ un el teorema 1.5.2, S es un subgrupo aditivo de (R, +). Como (R, +) es abeliano, luego (S, +) es un grupo abeliano. R2 . La multiplicaci´on en S es asociativa. Sean a, b, c ∈ S, entonces a(bc) = (ab)c. En efecto; a, b, c ∈ S implica que a, b, c ∈ R. Siendo en R la multiplicaci´on asociativa obtenemos que a(bc) = (ab)c. R3 . Se cumplen las leyes distributivas en S. Sean a, b, c ∈ S, entonces a(b + c) = ab + ac y (a + b)c = ac + bc. En efecto; a, b, c ∈ S implica que a, b, c ∈ R. Como se cumplen las leyes distributivas en R obtenemos que a(b + c) = ab + ac y (a + b)c) = ac + bc N Teorema 3.6.2 Sea φ un homomorfismo de un anillo R en un anillo R0 . Si 0 es la identidad aditiva en R, entonces 0φ = 00 es la identidad aditiva de R0 y si a ∈ R, entonces (−a)φ = −(aφ). Si S es un subanillo de R, entonces Sφ es un subanillo de R0 , y S ideal de R implica que Sφ es ideal de Rφ. Ahora, en el otro sentido, si S 0 es un subanillo de R0 , entonces S 0 φ−1 es un subanillo de R, y S 0 ideal de Rφ implica que S 0 φ−1 es ideal de R. Por u ´ltimo, si R tiene unitario 1 y 1φ 6= 00 , entonces 1φ = 10 es unitario para Rφ. Dicho en forma breve, bajo un homomorfismo de anillos, subanillos son llevados a subanillos, ideales a ideales y anillos con unitarios a anillos unitarios. Demostraci´ on: Siendo φ un homomorfismo de un anillo R en un anillo R0 , φ es un homomorfismo del grupo (R, +) en el grupo (R0 , +). i) Por el teorema 2.6.2 0φ = 00 es la identidad aditiva de (R0 , +) y (−a)φ = −(aφ) para a ∈ R.

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98 ii) Si S es un subanillo de R, entonces Sφ en un subanillo de R0 . Como (S, +) 6 (R, +), por el teorema 2.6.2 deducimos que (Sφ, +) 6 (R0 , +), de manera que 0φ ∈ Sφ y (a0 − b0 ) ∈ Sφ para todo a0 , b0 ∈ Sφ . . . (1) Seg´ un la proposici´on 3.6.2, para que Sφ sea un subanillo de R0 , debemos verificar que Sφ es cerrado bajo la multiplicaci´on de R0 . Si a0 , b0 ∈ Sφ, entonces a0 b0 ∈ Sφ . . . (2) a0 ∈ Sφ ⇒ a0 = aφ para alg´ un a ∈ S, b0 ∈ Sφ ⇒ b0 = bφ para alg´ un b ∈ S, de modo que a0 b0 = (aφ)(bφ) = (ab)φ porque φ es un homomorfismo de R en R0 = cφ donde c = ab ∈ S pues S es un subanillo de R 0 0 As´ı a b ∈ Sφ para todo a0 , b0 ∈ Sφ. De (1) y (2) concluimos que Sφ es un subanillo de R0 . iii) Si S es un ideal de R, entonces Sφ es un ideal de Rφ. Siendo S un ideal de R, (S, +) es un subgrupo de (R, +). Por el teorema 2.6.2, (Sφ, +) es un subgrupo de (Rφ, +). Para que Sφ sea un ideal de Rφ, falta demostrar que r0 s0 ∈ Sφ y s0 r0 ∈ Sφ para todo s0 ∈ Sφ y todo r0 ∈ Rφ. En efecto: r0 ∈ Rφ ⇒ r0 = rφ para alg´ un r ∈ R; 0 0 s ∈ Sφ ⇒ s = sφ para alg´ un s ∈ S, de modo que 0 0 r s = rφsφ = (rs)φ ∈ Sφ, pues rs ∈ S siendo S ideal de R s0 r0 = sφrφ = (sr)φ ∈ Sφ, pues sr ∈ S siendo S ideal de R. iv) Si S 0 es un subanillo de R0 , entonces S 0 φ−1 es un subanillo de R. En efecto: Seg´ un la proposici´on 3.6.2, (S 0 , +) 6 (R0 , +). Por el teorema 2.6.2 (S 0 φ−1 , +) 6 (R, +), de modo que 0 ∈ S 0 φ−1 y a − b ∈ S 0 φ−1 para todo a, b ∈ S 0 φ−1 . . . (1) Para que S 0 φ−1 sea un subanillo seg´ un la proposici´on 3.6.2 debemos verificar que ab ∈ S 0 φ−1 para todo a, b ∈ S 0 φ−1 . En efecto: Sean a, b ∈ S 0 φ−1 , entonces aφ ∈ S 0 y bφ ∈ S 0 . Como (ab)φ = aφbφ ∈ S 0 , pues S 0 es un subanillo de R0 , luego deducimos que ab ∈ S 0 φ−1 . . . (2) De (1) y (2) se deduce que S 0 φ−1 es un subanillo de R. v) Si S 0 es un ideal de Rφ, entonces S 0 φ−1 es un ideal de R. Siendo S 0 un ideal de Rφ, (S 0 , +) 6 (Rφ, +). Por el teorema 2.6.2, (S 0 φ−1 , +) es un subgrupo de (R, +). Para que S 0 φ−1 sea un ideal de R, debemos verificar que rs ∈ S 0 φ−1 y sr ∈ S 0 φ−1 para todo r ∈ R y todo s ∈ S 0 φ−1 . En efecto: Como s ∈ S 0 φ−1 , entonces sφ ∈ S 0 , luego: rs es tal que (rs)φ = (rφ)(sφ) ∈ S 0 , pues S 0 es un ideal de Rφ;

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99 sr es tal que (sr)φ = (sφ)(rφ) ∈ S 0 , pues S 0 es un ideal de Rφ. As´ı por definici´on de S 0 φ−1 , se deduce que rs ∈ S 0 φ−1 y sr ∈ S 0 φ−1 para todo r ∈ R y todo s ∈ S 0 φ−1 . vi) Si R es un anillo unitario y 1φ 6= 00 , entonces 1φ = 10 es un unitario de Rφ. En efecto: Sea a0 ∈ Rφ, entonces a0 = aφ para alg´ un a ∈ R. Pero 1 es unitario de R, de modo que: a0 = aφ = (a1)φ = (aφ)(1φ) = a0 (1φ) a0 = aφ = (1a)φ = (1φ)(aφ) = (1φ)a0

(3.9) (3.10)

Como 10 = 1φ 6= 00 , de (3.9) y (3.10) se deduce que 1φ = 10 es un unitario de Rφ N Definici´ on 3.6.3 El n´ ucleo de un homomorfismo φ de un anillo R en un anillo R 0 es el conjunto Kerφ = {x ∈ R / xφ = 00 }, donde 00 es la identidad aditiva de (R 0 , +). Comentarios: i) En el teorema 3.6.2 es importante notar que si φ : R → R0 es un homomorfismo de anillos y A es un ideal de R, entonces Aφ no es necesariamente un ideal de R0 sino s´olo un ideal de Rφ. Por ejemplo, Sea φ : Z → Z×Z definida por nφ = (n, n). Ahora 2Z es un ideal de Z, sin embargo (2Z)φ = {(2n, 2n) / n ∈ Z} no es un ideal de Z × Z puesto que existe (1, 3) ∈ Z × Z tal que (1, 3)(4, 4) = (4, 12) ∈ / (2Z)φ. ii) Siendo Kerφ = {00 }φ−1 y {00 } es un ideal de Rφ, del teorema 3.6.2 parte v), Kerφ es un ideal de R. Teorema 3.6.3 Sea φ un homomorfismo de un anillo R en un anillo R0 con n´ ucleo K. Entonces Rφ es un anillo y existe un isomorfismo (can´ onico) de Rφ con R/K. Demostraci´ on: Del teorema 3.6.2 parte ii), se deduce que Rφ es un subanillo de R0 , luego Rφ es un anillo. i) Siendo φ un homomorfismo de un anillo R en un anillo R0 con n´ ucleo K, resulta ser un homomorfismo del grupo aditivo (R, +) en el grupo aditivo (R0 , +) con n´ ucleo K, luego por el teorema 2.7.1 existe un isomorfismo de grupos ψ : (R/K, +) → (Rφ, +) definido por (a + K)ψ = aφ, de aqu´ı se tiene [(a + K) + (b + K)]ψ = (a + K)ψ + (b + K)ψ para todo a + K, b + K ∈ R/K . . . (1) ii) Tambi´en ψ preserva la multiplicaci´on [(a + K)(b + K)]ψ = (ab + K)ψ

porque K siendo n´ ucleo de φ es un ideal de R = (ab)φ definici´on de ψ = (aφ)(bφ) φ es un homomorfismo = (a + K)ψ(b + K)ψ definici´on de ψ Luego [(a + K)(b + K)]ψ = (a + K)ψ(b + K)ψ para todo (a + K), (b + K) ∈ R/K . . . (2)

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100 De (1) y (2) se deduce que ψ : R/K → Rφ es un homomorfismo de anillos; en consecuencia, de i) y ii) existe un isomorfismo ψ del anillo R/K sobre el anillo Rφ N

3.7.

Ideales Maximales y Primos

En esta parte estudiaremos cu´ando un anillo cociente es un campo y cu´ando es un dominio entero. Definici´ on 3.7.1 Un IDEAL MAXIMAL de un anillo R es un ideal M diferente de R tal que no existe ning´ un ideal propio N de R que contenga propiamente a M . Teorema 3.7.1 Sea R un anillo conmutativo con unitario. Entonces, M es un ideal maximal de R si y s´olo si R/M es un campo. Demostraci´ on: ⇒) Supongamos que M es un ideal maximal de R, luego debemos demostrar que R/M es un campo. Es decir, R/M es un anillo conmutativo con unitario donde cada elemento distinto de cero es una unidad. i) Si R es un anillo conmutativo con unitario, entonces R/M es un anillo conmutativo con unitario siendo M un ideal maximal de R. En efecto: sobre Considerando el homomorfismo γ : R → R/M obtenemos lo siguiente: a) (ab)γ = (aγ)(bγ) = (a + M )(b + M ) . . . (1) Como R es conmutativo ab = ba, ∀a, b ∈ R, luego (ab)γ = (ba)γ = (bγ)(aγ) = (b + M )(a + M ) . . . (2) De (1) y (2), (a + M )(b + M ) = (b + M )(a + M ) para todo a + M, b + M ∈ R/M = Rγ, por lo tanto R/M es un anillo conmutativo. b) Seg´ un el teorema 3.6.2, considerando R0 = R/M y φ = γ resulta que 1γ = 1 + M es un elemento unitario de R/M = Rγ si 1 + M 6= M , donde M es la identidad aditiva de R/M . Supongamos que 1 + M = M , luego 1 ∈ M es una unidad de R, por el M

ideal maximal

teorema 3.5.4 M = R ( →← ). As´ı queda establecido que 1 + M 6= M es unitario de R/M puesto que M es un ideal maximal de R, por consiguiente R/M es un anillo unitario. ii) Si a + M ∈ R/M − {M }, entonces existe b + M ∈ R/M − {M } tal que (b + M )(a + M ) = (a + M )(b + M ) = 1 + M . En efecto: a + M ∈ R/M − {M } ⇒ a + M 6= M ⇒ a ∈ / M y a ∈ R. Sea N = {ra + m / r ∈ R, m ∈ M }, entonces N es un ideal de R. Es claro que (N, +) es un subgrupo de (R, +) a) 0 = 0a + 0 ∈ N implica que N 6= ∅ (es no vac´ıo)

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(3.11)

101 b) Si x, y ∈ N , entonces x − y ∈ N x ∈ N ⇒ x = r1 a + m1 para algunos r1 ∈ R y m1 ∈ M y ∈ N ⇒ y = r2 a + m2 para algunos r2 ∈ R y m2 ∈ M , de donde −y = (−r2 )a + (−m2 ) para −r2 ∈ R y − m2 ∈ M (M es un ideal). De modo que x − y = (r1 − r2 )a + (m1 − m2 ), donde r1 − r2 ∈ R y m1 − m2 ∈ M (M es un ideal). As´ı por definici´on de N , deducimos que x − y ∈ N . Adem´as, si x ∈ N y r ∈ R, entonces xr y rx ∈ N

(3.12)

En efecto: x ∈ N ⇒ x = sa + m para algunos s ∈ R y m ∈ M , as´ı xr = (sr)a + (mr) donde sr ∈ R y mr ∈ M siendo M un ideal de R. Por definici´on de N , deducimos que xr ∈ N . Por la conmutatividad de R tambi´en rx ∈ N . De (3.11) y (3.12) queda demostrado que N es un ideal de R. Sabemos que a ∈ / M , pero a = 1a + 0 ∈ N pues 1 ∈ R y 0 ∈ M . Como M es un ideal maximal, de aqu´ı N = R pues N contiene propiamente a M en vista de que m = 0a + m, para los elementos 0 ∈ R y m ∈ M . Como 1 ∈ N = R existen elementos b ∈ R y m ∈ M tales que 1 = ba + m, por lo tanto 1 + M = (ba + m) + M = ba + M pues m ∈ M = (b + M )(a + M ) Siendo R/M conmutativo, se tiene tambi´en (a + M )(b + M ) = 1 + M . En resumen, para cada a + M ∈ R/M − {M }, existe b + M ∈ R/M − {M } tal que (b + M )(a + M ) = (a + M )(b + M ) = 1 + M ; en consecuencia, de i) y ii), concluimos que R/M es un campo. ⇐) Supongamos que R/M es un campo, entonces debemos demostrar que M es un ideal maximal de R. Sea N un ideal de R tal que M ⊆ N ⊆ R, considerando el homomorfismo γ : R → R/M , deducimos que M/M = γM ⊆ γN ⊆ γR = G/M . Siendo R/M un campo, por el corolario 3.5.4 debemos tener M/M = γM = N/M ´o N/M = γN = R/M . De aqu´ı se deduce que M = N ´o N = R, por consiguiente M es un ideal maximal de R N Corolario 3.7.2 Un anillo conmutativo con unitario es un campo si y s´olo si no contiene ideales propios no triviales. Demostraci´ on: ⇒) Sea R un anillo conmutativo con unitario. Por hip´otesis R es un campo, por el corolario 3.5.4 el anillo no contiene ideales propios no triviales.

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102 ⇐) Supongamos que R no contiene ideales propios no triviales, luego {0} es un ideal maximal de R. Luego por el teorema 3.7.1, el anillo cociente R/{0} es un campo. Siendo R/{0} ∼ = R (isomorfo), concluimos que R es un campo N Ahora, pasamos a la cuesti´on de la caracterizaci´on de los ideales N 6= R para un anillo conmutativo R con unitario, tal que R/N es un dominio entero. El anillo cociente R/N es un dominio entero si y s´olo si (a + N )(b + N ) = N implica que a + N = N o b + N = N. Esto equivale a que R/N no tiene divisores de cero. Comentario.- En realidad, Z/pZ es un campo, de modo que pZ es un ideal maximal de Z para un n´ umero primo p. EJEMPLO 3.7.1 Los ideales de Z son de la forma nZ. Sabemos que Z/nZ ∼ = Zn , luego Zn es un dominio entero si y s´olo si n es primo. As´ı los ideales nZ tales que Z/nZ es un dominio entero, son de la forma pZ, donde p es un primo. Claramente rs ∈ pZ implica que p divide a r o p divide a s. En otras palabras, si rs ∈ pZ, entonces r ∈ pZ o s ∈ pZ. Tambi´en la rec´ıproca se cumple. Definici´ on 3.7.3 Un ideal N 6= R en un anillo conmutativo R es un ab ∈ N implica que a ∈ N o b ∈ N para todo a, b ∈ R.

IDEAL PRIMO

si

Teorema 3.7.2 Sea R un anillo conmutativo con unitario y sea N 6= R un ideal en R. Entonces R/N es un dominio entero si y s´olo si N es un ideal primo en R. Demostraci´ on: ⇒) Supongamos que R/N es un dominio entero. Si ab ∈ N , entonces a ∈ N o b ∈ N . . . (1) En efecto, ab ∈ N implica que ab + N ∈ R/N , (ab + N ) = (a + N )(b + N ) y ab + N = N . As´ı obtenemos (a + N )(b + N ) = N . Como R/N es un dominio entero, deducimos que a + N = N o b + N = N . Esto significa que a ∈ N o b ∈ N . As´ı queda establecido la afirmaci´on (1), luego por definici´on 3.7.3 se concluye que N es un ideal primo de R. ⇐) Por hip´otesis, N es un ideal primo de R. Debemos demostrar que R/N es un dominio entero. sobre Considerando el homomorfismo γ : R ← R/N de anillos, del hecho de que R es un anillo conmutativo con unitario 1 con N ideal primo de R, se deduce que Rγ = R/N es un anillo conmutativo con unitario 1γ = 1 + N si 1 + N 6= N . Por un momento supongamos que 1 + N = N , luego 1 ∈ N (unidad en R). Por el N es ideal primo teorema 3.5.4 N = R ( →← ).

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103 As´ı R/N es un anillo conmutativo con unitario 1 + N , luego para demostrar que R/N es un dominio entero, vamos a verificar si (a + N )(b + N ) = N , entonces a + N = N o b + N = N. En efecto, siendo N un ideal de R podemos expresar (a+N )(b+N ) = (ab + N ) = N . | {z } Esto significa que ab ∈ N . Como N es un ideal primo, se deduce que a ∈ N o b ∈ N , luego a + N = N o b + N = N . En consecuencia, por definici´on R/N es un dominio entero N Corolario 3.7.4 Todo ideal maximal en un anillo conmutativo R con unitario,es un ideal primo. Demostraci´ on: Sea M un ideal maximal de R, entonces debemos demostrar que M es un ideal primo de R. Como M es un ideal maximal de R, por el teorema 3.7.1 R/M es un campo. Como todo campo es un dominio entero, R/M es un dominio entero. Por el teorema 3.7.2, M es un ideal primo de R N

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104

3.8.

´ Tercer Trabajo Pr´ actico de Algebra II

Resuelva cada uno los Problemas Siguientes: 1. Diga para cu´ales de los siguientes conjuntos las operaciones indicadas de suma y multiplicaci´on que est´an definidas dan una estructura de anillo. a) Z+ con la suma y multiplicaci´on usuales b) 2Z × Z con la suma y multiplicaci´on por componentes. √ ª © c) a + b 2 / a, b ∈ Z con la suma y multiplicaci´on usuales d ) {a + bi / a, b ∈ Z} con la suma y multiplicaci´on usuales e) {bi / b ∈ IR} con la suma y multiplicaci´on usuales 2. Describa todas las unidades de cada uno de los siguientes anillos a) Z5 b) Z × Z c) Z4 d) Z × Q × Z 3. Si U es la colecci´on de todas las unidades de un anillo con unitario (R, +, ·), entonces demuestre que (U, ·) es un grupo. 4. Demuestre que a2 − b2 = (a + b)(a − b) para todo los elementos a y b de un anillo (R, +, ·) si y s´olo R es conmutativo. 5. Diga es falso o verdadero las siguientes afirmaciones. ¡Justifique su respuesta! a) Todo campo tambi´en es anillo b) Todo anillo con unitario tiene a lo m´as dos unidades. c) Las leyes distributivas para un anillo no son muy importantes. d ) Todo elemento de un anillo tiene inverso aditivo. e) En un campo, la multiplicaci´on es conmutativa. 6. Muestre que los anillos 2Z y 3Z no son isomorfos. Muestre que los campos IR y C I no son isomorfos. 7. Demuestre que el inverso multiplicativo de una unidad en un anillo con unitario es u ´nico. 8. Demuestre que un subconjunto S de un anillo IR es un subanillo de IR si y s´olo si se cumplen las siguientes condiciones:

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105 i) 0 ∈ S ii) a − b ∈ S para todo a, b ∈ S iii) ab ∈ S para todo a, b ∈ S 9. Demuestre que la intersecci´on de subanillos de un anillo R es un subanillo de R. 10. Demuestre que la intersecci´on de subcampos de un campo F es un subcampo de F . 11. Sea R un anillo y a ∈ R (fijo). Sea Ia = {x ∈ R / ax = 0}. Demuestre que Ia es un subanillo de R. 12. Dar un ejemplo de un anillo con unitario 1 que tenga un subanillo 10 6= 1. 13. Un elemento a de un anillo R es nilpotente si an = 0 para alg´ un n ∈ Z+ . Demuestre que si a y b son elementos nilpotentes de un anillo conmutativo, entonces a + b tambi´en es nilpotentes. 14. Un anillo R es un anillo booleano si a2 = a para todo a ∈ R. Demuestre que todo anillo booleano es conmutativo. 15. Encuentre todas las soluciones de la ecuaci´on x3 − 2x2 − 3x = 0 en Z12 . 16. Resolver la ecuaci´on 3x = 2 en el campo Z7 y en el campo Z23 . 17. Hallar la caracter´ıstica de cada uno de los siguientes anillos: a) 2Z b) Z3 × 3Z c) Z3 × Z4 d ) Z3 × Z3 e) Z × Z. 18. Usando el Teorema de Fermat, halle el residuo de 347 al dividirlo entre 23. 19. Diga es falso o verdadero las siguientes afirmaciones: ¡Justifique su respuesta! a) Zn tiene divisores de cero si n no es primo. b) La caracter´ıstica de Zn es n. c) La ley de cancelaci´on vale para cualquier anillo que sea isomorfo a un dominio entero. d ) El producto directo de dos dominios enteros es, de nuevo, un dominio entero. e) Z es un subcampo de Q 20. Un elemento a de un anillo R es idempotente si a2 = a. Demuestre que un anillo con divisi´on contiene exactamente dos elementos idempotentes.

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106 21. Encuentre todos los ideales N de Z12 . En cada caso calcule Z12 /N , esto es, encuentre un anillo conocido al cual sea isomorfo el anillo cociente. 22. Encuentre un subanillo del anillo Z × Z que no sea ideal de Z × Z. 23. Diga es falso o verdadero las siguientes afirmaciones ¡Justifique su respuesta! a) Todo ideal de un anillo es un subanillo del anillo. b) Todo anillo cociente de un anillo conmutativo es, de nuevo, un anillo conmutativo. c) Un ideal N en un anillo con unitario R es todo R si y s´olo si 1 ∈ N . d ) El concepto de ideal es al concepto de anillo lo que el concepto de subgrupo normal es al concepto de grupo. e) Z es un ideal en Q 24. Demuestre que un anillo cociente de un campo es el anillo trivial de un elemento o es isomorfo al campo. 25. Demuestre que la intersecci´on de ideales de un anillo R es un ideal de R. 26. Demuestre que si R es un anillo con unitario y N es un ideal de R tal que N 6= R, entonces R/N es un anillo con unitario. 27. Sea R un anillo conmutativo y sea a ∈ R. Demuestre que Ia = {x ∈ R / ax = 0} es un ideal de R. un n ∈ Z+ . Demuestre 28. Un elemento a de un anillo R es nilpotente si an = 0 para alg´ que la colecci´on de todos los elementos nilpotentes en un anillo conmutativo R es un ideal (llamado el radical de R). √ 29. Sea R un anillo conmutativo y N un ideal de R. Demuestre que el conjunto N de todas las a ∈ R tales que an ∈ N para alg´ un n ∈ Z+ es un ideal de R (llamado radical de N ). 30. Sean A(y B ideales de un anillo R. El producto ) n X ai bi / ai ∈ A, bi ∈ B, n ∈ Z+ . Demuestre que AB es un ideal de R. AB = i=1

31. Si A y B son ideales de un anillo R, la suma A + B de A y B se define por A + B = {a + b / a ∈ A, b ∈ B}. Demuestre que A + B es un ideal de R. 32. Sean A y B ideales de un anillo conmutativo R. El cociente A : B de A por B se define por A : B = {r ∈ R / rb ∈ A para todo b ∈ B}. Demuestre que A : B es un ideal de R. 33. Demuestre µ ¶ que, para un campo F , el conjunto de todas las matrices de la forma a b para a, b ∈ F es un ideal derecho, pero no un ideal izquierdo. 0 0 F.Cl´ımaco

107 34. Encuentre todos los ideales primos y todos los ideales maximales de Z12 . 35. Diga es falso o verdadero las siguientes afirmaciones. ¡Justifique su respuesta! a) Un homomorfismo es a un anillo lo que un isomorfismo es a un grupo. b) Un homomorfismo de anillos es una aplicaci´on 1 − 1 si y s´olo si el n´ ucleo es 0. c) El n´ ucleo de un homomorfismo de anillos es un ideal de todo el anillo. 36. Demuestre que si R, R0 , R00 son anillos y si φ : R → R0 y ψ : R0 → R00 son homomorfismos, entonces la aplicaci´on compuesta φψ : R → R00 es un homomorfismo. 37. Sean R y S anillos y sea φ : R → S un homomorfismo de anillos tal que Rφ 6= {0}. Demuestre que si R tiene unitario 1R y S no tiene divisores de cero, entonces 1R φ es unitario para S. 38. Demuestre que N es un ideal maximal en un anillo R si y s´olo si R/N es un anillo simple, esto es, no tiene ideales propios no triviales. 39. Sean R y R0 anillos y sean N y N 0 ideales de R y R0 , respectivamente. Demuestre que φ induce un homomorfismo natural φ∗ : R/N → R0 /N 0 si N φ ⊆ N 0 . 40. Sea φ un homomorfismo de un anillo R con unitario, sobre un anillo R0 . Sea u una unidad en R. Demuestre que uφ es una unidad si y s´olo si u no est´a en el n´ ucleo de φ. 41. Sean M y N ideales de un anillo R y sea M + N = {m + n / m ∈ M, n ∈ N }. M +N es isomorfo, de manera Demuestre que M + N es un ideal de R y que N M natural, a M ∩N 42. Sean M y N ideales del anillo R tales que M ≤ N . Demuestre que existe un isomorfismo natural de R/N con (R/M )/(N/M ). 43. Demuestre que φ : C I → M2 (IR) dado por (a + bi) φ =

µ

a b −b a

¶

para a, b ∈ IR, es un isomorfismo de C I en M2 (IR). 44. Sea (R, +) un grupo abeliano. Demuestre que (R, +, ·) es un anillo si definimos ab = 0 para todo a, b ∈ R. 45. Describa todos los homomorfismos de Z × Z en Z. 46. Si F es un campo, entonces demuestre que el conjunto M2 (F ) de todas las matrices 2 × 2 de elementos de F es un anillo bajo la suma y multiplicaci´on de matrices.

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108

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Cap´ıtulo 4 Problemas resueltos 1) Demostrar que un grupo G es abeliano si y s´olo si (ab)2 = a2 b2 para todo a, b ∈ G. Demostraci´ on: Recordemos que un grupo (G, ∗) es abeliano si a ∗ b = b ∗ a para todo a, b ∈ G. ⇒) Por hip´otesis G es un grupo abeliano, debemos demostrar que (ab)2 = a2 b2 para todo a, b ∈ G. En efecto: Sean a, b ∈ G (arbitrarios), entonces: (ab)2 = = = = = = =

(ab)(ab) a [b(ab)] a [(ba)b] a [(ab)b] a [a(bb)] (aa)(bb) a2 b2

por G1 por G1 por hip´otesis por G1 por G1

Como a y b son elementos arbitrarios de G, tomando extremos de las igualdades, se deduce que (ab)2 = a2 b2 para todo a, b ∈ G. ⇐) Por hip´otesis tenemos que (ab)2 = a2 b2 para todo a, b ∈ G, se debe demostrar que G es abeliano. En efecto, sean a, b ∈ G (arbitrarios), entonces ab = ba. Para los elementos a, b ∈ G, la hip´otesis se cumple; es decir, (ab)2 = a2 b2 , lo cual podemos expresar como (ab)(ab) = a2 b2 (4.1) Como a, b ∈ G, por G2 sabemos que existen a−1 , b−1 ∈ G inversos de a y b, respectivamente. Ahora, multiplicando a la ecuaci´on (4.1) por la izquierda por a−1 y por la derecha por b−1 , luego aplicando G1 y G2 : ba = ab, que es lo mismo queab = ba

109

(4.2)

110 Como (4.2) se cumple para elementos arbitrarios a y b de G, se deduce que ab = ba para todo a y b ∈ G. Por consiguiente, por la definici´on, G es un grupo abeliano. 2) Si H ≤ G, a ∈ G y aHa−1 = {aha−1 / h ∈ H}, entonces demostrar que aHa−1 ≤ G. Demostraci´ on: Recordemos el enunciado del teorema 1.5.2.- Un subconjunto no vac´ıo H de un grupo G es un subgrupo de G si y s´olo si ab−1 ∈ H para todo a, b ∈ H. Vamos a demostrar que aHa−1 es un subgrupo de G usando el teorema 1.5.2 con los items i), ii) e iii), como sigue: i) aHa−1 6= φ. En efecto: Como H ≤ G, por el teorema 1.5.1 la identidad e ∈ G es tambi´en identidad de H; es decir, e ∈ H. Luego e = aea−1 ∈ aHa−1 , de modo que aHa−1 6= φ. ii) aHa−1 ⊆ G. Esto significa cualquier elemento de aHa−1 es elemento de G En efecto, sea x ∈ aHa−1 , luego x = aha−1 para alg´ un h ∈ H. Pero H ≤ G, luego H ⊆ G, de modo que h ∈ G. Con la operaci´on de G es claro que x = aha−1 = (ah)a−1 ∈ G ya que a y a−1 ∈ G. iii) xy −1 ∈ aHa−1 para todo x, y ∈ aHa−1 En efecto: Sean x, y ∈ aHa−1 (arbitrarios), entonces xy −1 ∈ aHa−1 . x ∈ aHa−1 ⇒ x = ah1 a−1 para alg´ un h1 ∈ H

(4.3)

y ∈ aHa−1 ⇒ y = ah2 a−1 para alg´ un h2 ∈ H. −1 −1 De aqu´ı y −1 = (ah2 a−1 ) = ah−1 a , donde h−1 2 2 ∈ H por H≤G

(4.4)

De (4.3) y (4.4): −1 y −1 = (ah1 a−1 )(ah−1 2 a ) por G3 y G2 : −1 −1 = a(h1 h2 )a −1 Tomando extremos xy −1 = a(h1 h−1 ∈ aHa−1 , por que H ≤ G y h1 h−1 2 )a 2 ∈ H.

3) Encuentre todos los subgrupos de Z21 y elabore el correspondiente diagrama reticular. Soluci´ on.- Para esto debemos recordar los enunciados de los siguientes resultados: µ 4) Calcule el subgrupo c´ıclico de S6 generado por la permutaci´on ρ =

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1 2 3 4 5 6 2 6 5 4 3 1

¶ .

111 5) Diga cu´ales de las siguientes aplicaciones de IR en IR son permutaciones de IR. Justifique su respuesta. i) f1 : IR → IR definida por f1 (x) = x + 1 ii) f2 : IR → IR definida por f2 (x) = x2 iii) f3 : IR → IR definida por f3 (x) = −x3 iv) f4 : IR → IR definida por f4 (x) = ex .

6) Si G es un grupo con operaci´on binaria ∗ y a ∈ G (arbitrario), entonces demuestre que la ecuaci´on a ∗ x = a tiene soluci´on u ´nica en G.

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´ DEL PRIMER EXAMEN DE ALGEBRA ´ SOLUCION II. SEMESTRE I-2005 1. Sea la operaci´on binaria ∗ definida en S = {a, b, c, d, e} mediante la tabla ∗ a b c d e

a b c d e a b c b d b c a e c c a b b a b e b e b d b a b c

i) calcule [(b ∗ c) ∗ e] ∗ d, b ∗ e, (d ∗ c) ∗ a ii) calcule (b ∗ e) ∗ d, b ∗ (e ∗ d) iii) ¿∗ es asociativa? ¿∗ es conmutativa?. Explique su respuesta. iv) Si (S, ∗) no es un grupo, entonces qu´e axiomas de grupo no se cumplen. Explique su respuesta. Soluci´ on: i) Teniendo en cuenta la tabla dada arriba: a)

[(b ∗ c) ∗ e] ∗ d = (a ∗ e) ∗ d = d∗d = e ∴ [(b ∗ c) ∗ e] ∗ d = e

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112 b) b ∗ e = c c)

(d ∗ c) ∗ a = b ∗ a = b

∴ (d ∗ c) ∗ a = b ii) a)

(b ∗ e) ∗ d = c ∗ d = b ∴ (b ∗ e) ∗ d = b

b)

b ∗ (e ∗ d) = b ∗ b = c ∴ b ∗ (e ∗ d) = c

iii) a) Existen b, d, e ∈ S tales que (b ∗ e) ∗ d = b 6= c = b ∗ (e ∗ d) ∴ ∗ no es asociativa. b) Existen b, e ∈ S tales que b ∗ e = c 6= b = e ∗ b ∴ ∗ no es conmutativa. iv) Por iii), el axioma G1 no se cumple para (S, ∗). No existe elemento identidad para ∗ en S porque ninguno de sus elementos a, b, c, d, e de S son identidad para ∗ en S, as´ı no se cumple el axioma G2 . Tambi´en G3 no se cumple porque falla el axioma G2 . 2. Sea S el conjunto de todos los n´ umeros reales diferentes de −1. Se define la operaci´on binaria ∗ en S por a ∗ b = a + b + ab para todo a, b ∈ S i) Demostrar que S es un grupo bajo ∗ ii) Hallar la soluci´on de la ecuaci´on 3 ∗ x ∗ 2 = 7 en S. Soluci´ on: i) Para que S es un grupo bajo la operaci´on binaria ∗, verifiquemos que se cumplen los tres axiomas de grupo: G1 . Sean a, b, c ∈ S, entonces (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) En efecto (a ∗ b) ∗ c = = = = = ∴∗ es asociativa.

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(a + b + ab) ∗ c a + b + ab + c + ac + bc + (ab)c a + b + c + bc + ab + ac + a(bc) a ∗ (b + c + bc) a ∗ (b ∗ c)

113 G2 . Para todo a ∈ S, existe e ∈ S tal que e∗a=a=a∗e Resolviendo la ecuaci´on e ∗ a = a se tiene e + a + ea = a e(1 + a) = 0 ⇒ e = 0 ∨ 1 + a = 0 Si 1 + a = 0 ⇒ a = −1 (→←). Similarmente se procede para a ∗ e = a. theref ore existe la identidad e = 0 para ∗ en S. G3 . Para cada a ∈ S, existe a0 ∈ S tal que a ∗ a0 = a0 ∗ a = 0 De a ∗ a0 = 0 a a + a0 + aa0 = 0 → a0 = − , 1 + a 6= 0 1+a Similarmente, de a0 ∗ a = 0, se obtiene el mismo valor de a0 a ∴ para cada a ∈ S, existe su inversa a0 = − 1+a . ii) Ahora, como S es un grupo, la soluci´on de la ecuaci´on 2 ∗ x ∗ 3 = 7, se obtiene multiplicando por la izquierda por 20 y por la derecha por 30 . As´ı x = 20 ∗ 7 ∗ 30 . . . (1) 2 3 Sabemos que 20 = − 1+2 = − 23 , 30 = − 1+3 = − 34 . 20 ∗ 7 = (− 23 ) ∗ 7 = − 32 + 7 − 14 = 53 , de donde 3 (20 ∗ 7) ∗ 30 = 53 ∗ − 43 = 53 − 34 − 15 = − 13 . . . (2). 12 De (2) en (1), concluimos que x = − 31 . 3. Si H es un subgrupo de G y a ∈ G (fijo), entonces demostrar que aHa−1 = {aha−1 : h ∈ H} es un subgrupo de G. Demostraci´ on: (Podemos aplicar el teorema 1.5.2) Si h ∈ H y a ∈ G, entonces aha−1 ∈ G, de modo que aHa−1 ⊆ G. Se observa que e = aa−1 = aea−1 ∈ aHa−1 pues e ∈ H. As´ı aHa−1 es un subconjunto no vac´ıo de G. Seg´ un el teorema 1.5.2 para que aHa−1 sea un subgrupo de G, debemos verificar que xy −1 ∈ aHa−1 para todo x, y −1 ∈ aHa−1 . Sean x, y ∈ aHa−1 , entonces xy‘−1 ∈ aHa−1 . En efecto: x ∈ aH a −1 ⇒ x = ah1 a−1 para alg´ un h1 ∈ H; −1 −1 y ∈ aHa ⇒ y = ah2 a para alg´ un h2 ∈ H. −1 −1 −1 −1 De donde y = ah2 a , y ∈ aHa−1 porque h−1 2 ∈ H (H ≤ G). Multiplicando −1 xy −1 = (ah1 a−1 )(ah−1 2 a ) −1 −1 = ah1 h−1 2 a . Como h1 h2 ∈ H (H ≤ G),

por definici´on aHa−1 deducimos que xy −1 ∈ aHa−1 . Por lo tanto aHa−1 es un subgrupo de G por el teorema 1.5.2

N

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114 4. Diga cu´ales de las siguientes aplicaciones de IR en IR son permutaciones de IR (Justifique su respuesta): i) f : IR → IR definida por f (x) = x3 ii) g : IR → IR definida por g(x) = ex Soluci´ on: i) f (x) = x3 s´ı es una permutaci´on de IR ( es 1-1 y sobre IR) ii) g(x) = ex no es una permutaci´on de IR (no es sobre IR). Justificaci´ on: i) f es 1-1 Sean x, y ∈ IR tales que f (x) = f (y), entonces x = y. En efecto: f (x) = f (y) se escribe como x3 = y 3 , de donde x3 − y 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 ) = 0. De aqu´ı x − y = 0 ∨ x2 + xy + y 2 = 0. Si x2 + xy + y 2 = 0, entonces 0 ≤ x2 + y 2 = −xy. De donde x = y = 0, esto contradice a que x, y son elementos arbitrarios de IR. As´ı la u ´nica posibilidad es que x − y = 0, de modo que x = y. f es sobre IR Si a ∈ IR, existe a1/3 ∈ IR tal que f (a1/3 ) = (a1/3 )3 = a. ii) g no es sobre IR ya que existe −1 ∈ IR tal que g(x) 6= −1 para todo x ∈ IR siendo g(x) > 0. N 5. Considerando el grupo S3 de permutaciones de {1, 2, 3} i) Calcule los subgrupos c´ıclicos < ρ1 >, < ρ2 > y < µ2 > de S3 ii) Elabore el diagrama reticular de S3 Soluci´ on: i)

< ρ1 > = {ρ1 , ρ21 , ρ31 , ρ41 , . . .} = {ρ1 , ρ2 , ρ0 , ρ1 , . . .} = {ρ0 , ρ1 , ρ2 } < ρ2 > = {ρ2 , ρ22 , ρ32 , ρ42 , . . .} = {ρ2 , ρ1 , ρ0 , ρ2 , . . .} = {ρ0 , ρ1 , ρ2 }

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115 < µ2 > = {µ2 , µ22 , µ32 , . . .} = {µ2 , ρ0 , µ2 , . . .} = {ρ0 , µ2 } Por lo tanto, los subgrupos c´ıclicos pedidos son < ρ1 >=< ρ2 >= {ρ0 , ρ1 , ρ2 } y < µ >= {ρ0 , µ2 }. ii) ¡Aqu´ı falta el diagrama! N

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´ DEL SEGUNDO EXAMEN DE ALGEBRA ´ SOLUCION II. 1. Considere los subgrupos H = {ρ0 , µ1 }, K = {ρ0 , µ2 } del grupo sim´etrico S3 . Entonces determine HK y H ∨ K. Soluci´ on: a) Sabemos que HK = {hk : h ∈ H, k ∈ K} = {ρ0 ρ0 , ρ0 µ2 , µ1 ρ0 , µ1 µ2 }

(4.5)

Es claro que ρ0 ρ0 = ρ0 , ρ0 µ2 = µ2 , µ1 ρ0 = µ1 y ¶µ ¶ µ ¶ µ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = = ρ2 µ1 µ2 = 1 3 2 3 2 1 3 1 2 Luego de (4.5): HK = {ρ0 , µ2 , µ1 , ρ2 }. Se observa que HK no es un subgrupo de S3 , luego HK es un subconjunto propio de H ∨ K. b) Sabemos que H ∨ K es el menor subgrupo de S3 que contiene a HK, luego H ∨ K debe contener ρ22 = ρ1 , ρ2 µ1 = µ3 , ρ1 µ1 = µ2 . De aqu´ı H ∨ K es el subgrupo de S3 que contiene a {ρ0 , ρ1 , ρ2 , µ1 , µ2 , µ3 }. Por lo tanto H ∨ K = S3 N 2. Si N y M son subgrupos normales de un grupo G, entonces demuestre que N M es un subgrupo normal de G. Demostraci´ on:

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116 a) N M es un subgrupo de G. En efecto: Como N ≤ G, M ≤ G, entonces e ∈ N y e ∈ M . Luego e = ee ∈ N M . As´ı N M 6= ∅. De donde N M es un subconjunto no vac´ıo de G puesto que N M = {nm ∈ G / n ∈ N, m ∈ M }. Sean a, b ∈ N M , entonces ab−1 ∈ N M : a ∈ N M ⇒ a = n1 m1 con n1 ∈ N, m1 ∈ M b ∈ N M ⇒ b = n2 m2 con n2 ∈ N, m2 ∈ M ; −1 luego b−1 = m−1 2 n2 . De modo que ab−1 = = = =

−1 n1 m1 m−1 2 n2 −1 n1 (m1 m−1 2 )n2 , como N E G ∃n3 ∈ N tal que −1 n1 n3 (m1 m−1 2 ) haciendo n1 n3 = n4 , m1 m2 = m3 : n4 m3 ∈ N M pues N ≤ G y M ≤ G

de donde ab−1 ∈ N M . Por consiguiente, del teorema 1.5.2 se concluye que M N es un subgrupo de G. b) N M es un subgrupo normal de G. Sean g ∈ G y a ∈ N M , entonces g −1 ag ∈ N M . En efecto: g −1 ag = g −1 (nm)g para algunos n ∈ N, m ∈ M = (g −1 ng)(g −1 mg), pues gg −1 = e = n1 m1 ∈ N M porque N E G y M E G As´ı g −1 ag ∈ N M, ∀g ∈ G, ∀a ∈ N M. Por consiguiente, de a) y b), concluimos que N M es un subgrupo normal de G N 3. Demuestre que la aplicaci´on φ : IR∗ → IR∗ , donde IR∗ es el grupo bajo la multiplicaci´on de n´ umeros reales diferentes de cero, dada por xφ = |x| es un homomorfismo . Encuentre la imagen y el n´ ucleo de φ. Soluci´ on: a) Sean x, y ∈ IR∗ , entonces (xy)φ = (xφ)(yφ) En efecto: (xy)φ = |xy| = |x||y| = (xφ)(yφ). Como x, y son arbitrarios, concluimos que φ es un homomorfismo. b)

Im φ = {y ∈ IR∗ : y = xφ, para alg´ un x ∈ IR∗ } = {y ∈ IR∗ : y = |x|, para alg´ un x ∈ IR∗ } = < 0, +∞ > Por lo tanto, la imagen de φ es Im φ =< 0, +∞ >.

F.Cl´ımaco

117 c)

Ker φ = {x ∈ IR∗ : xφ = 1} = {x ∈ IR∗ : |x| = 1} = {−1, 1} Por lo tanto el n´ ucleo de φ es Ker φ = {−1, 1}. N

4. Si φ : G → G0 es un homomorfismo de grupos y ψ : G0 → G00 es un homomorfismo de grupos, entonces demuestre que φ ◦ ψ : G → G00 es un homomorfismo. Demostraci´ on: En efecto: (ab)φ ◦ ψ = = = =

Sean a, b ∈ G, entonces (ab)φ ◦ ψ = (aφ ◦ ψ)(bφ ◦ ψ) [(ab)φ]ψ, por definici´on de composici´on de aplicaciones [(aφ)(bφ)]ψ porque φ es un homomorfismo [(aφ)ψ][(bφ)ψ] porque ψ es un homomorfismo (aφ ◦ ψ)(bφ ◦ ψ) por definici´on de composici´on

Tomando extremos: (ab)φ ◦ ψ = (aφ ◦ ψ)(bφ ◦ ψ), ∀a, b ∈ G. Por lo tanto , φ ◦ ψ es un homomorfismo de G en G00

N

5. Sea S = IR − {−1} un grupo la operaci´on binaria ∗ definidas por a ∗ b = a + b + ab, entonces demuestre que la aplicaci´on ψ : IR∗ → S definida por aψ = a − 1 para a ∈ IR∗ = IR − {0}, donde IR∗ es un grupo bajo la multiplicaci´on de n´ umeros reales diferentes de cero, es un isomorfismo. Demostraci´ on: a) ψ es 1-1. sean a, b ∈ IR∗ tales que aψ = bψ entonces a = b. En efecto, de aψ = bψ se obtiene que a − 1 = b − 1, de donde a = b. b) ψ es sobre S. Sea c ∈ S, entonces existe a ∈ IR∗ tal que aψ = c. En efecto; resolviendo la ecuaci´on aψ = c se deduce que a − 1 = c, luego a = c + 1. As´ı dado c ∈ S, existe a = c + 1 ∈ IR∗ tal que (c + 1)ψ = c. c) ψ es un homomorfismo. Sean a, b ∈ IR∗ , entonces (ab)ψ = (aψ) ∗ (bψ). En efecto: Como ab ∈ IR∗ , por definici´on (ab)ψ = ab − 1

(4.6)

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118 Por otro lado, se obtiene que (aψ) ∗ (bψ) = = = =

(a − 1) ∗ (b − 1) (a − 1) + (b − 1) + (a − 1)(b − 1) a + b − 2 + ab − a − b + 1 ab − 1

(4.7)

De (4.6) y (4.7) obtenemos que (ab)ψ = (aψ) ∗ (bψ), ∀a, b ∈ IR∗ Por lo tanto, de a), b) y c) concluimos que ψ es un isomorfismo del grupo IR∗ sobre el grupo S N ´ DEL TERCER EXAMEN ESCRITO DE ALGEBRA ´ SOLUCION II. 1. Demuestre que el inverso multiplicativo de una unidad en un anillo con unitario es u ´nico. Demostraci´ on: Sea R un anillo con unitario 1 6= 0, donde 0 es la identidad aditiva de R. As´ı R 6= {0} (R no es anillo trivial). Sea u ∈ R − {0} una unidad en R, entonces el inverso multiplicativo u−1 de u es u ´nico. Supongamos que v ∈ R − {0} es un inverso multiplicativo de u, entonces debemos demostrar que v = u−1 . En efecto:

v = = = = =

v1, 1 es el elemento unitario de R v(uu−1 ), u−1 es inverso multiplicativo de u (vu)u−1 , asociatividad de multiplicaci´on en R 1u−1 , v es inverso de u u−1

Tomando extremos, obtenemos que v = u−1 . Por consiguiente, el inverso de u es u ´nico N 2. Sea R un anillo y a ∈ R (fijo). Sea Ia = {x ∈ R / ax = 0}. Entonces demuestre que Ia es un subanillo de R. Demostraci´ on: Para demostrar que Ia es un subanillo de R, seg´ un la proposici´on 3.6.2, debemos verificar los siguientes tres condiciones: i) 0 ∈ Ia ii) x − y ∈ Ia para todo x, y ∈ Ia F.Cl´ımaco

119 iii) xy ∈ Ia para todo x, y ∈ Ia En efecto: i) Como 0 ∈ R (identidad aditiva) y a0 = 0, se deduce que 0 ∈ Ia . ii) Si x, y ∈ Ia , entonces x − y ∈ Ia . Claramente, x ∈ Ia ⇒ x ∈ R y ax = 0; y ∈ Ia ⇒ y ∈ R y ay = 0; de modo que x − y ∈ R y a(x − y) = 0, luego x − y ∈ Ia . iii) Sean x, y ∈ Ia , entonces xy ∈ Ia . Veamos que esta afirmaci´on se cumple, pues x ∈ Ia y ∈ Ia

⇒ x ∈ R y ax = 0 ⇒ y ∈ R y ay = 0

(4.8) (4.9)

De 4.8 y del hecho que y ∈ R obtenemos que (ax)y = 0y = 0, luego asociatividad de multiplicaci´on tenemos a(xy) = 0 y xy ∈ R. Por definici´on de Ia se obtiene que xy ∈ Ia . A la luz de la proposici´on 3.6.2; de i), ii) y iii) concluimos que Ia es un subanillo de R N 3. Encuentre todos los ideales N de Z12 . Soluci´ on: i) Primero encontremos todos los subgrupos de Z12 bajo la suma. Seg´ un el teorema 1.8.4, para el grupo aditivo c´ıclico G = Z12 generado por 1, si b ∈ G y b = 1s ; resulta que el subgrupo H =< b > de G tiene n/d elementos, donde d = mcd{n, s}. Para b = 1 ∈ Z12 , b = 11 . Entonces < 1 >≤ G de orden n/d = 12/1 = 12, d = mcd{12, 1} Para b = 2 ∈ Z12 , b = 12 . Entonces < 2 >≤ G de orden n/d = 6, d = mcd{12, 2} = 2 Para b = 3 ∈ Z12 , b = 13 . Entonces < 3 >≤ G de orden n/d = 4 Para b = 4 ∈ Z12 , b = 14 . Entonces < 4 >≤ G de orden n/d = 3 Para b = 5 ∈ Z12 , b = 15 . Entonces < 5 >≤ G de orden n/d = 12 Para b = 6 ∈ Z12 , b = 16 . Entonces < 6 >≤ G de orden n/d = 2 Para b = 7 ∈ Z12 , b = 17 . Entonces < 7 >≤ G de orden n/d = 12 Para b = 8 ∈ Z12 , b = 18 . Entonces < 8 >≤ G de orden n/d = 3 Para b = 9 ∈ Z12 , b = 19 . Entonces < 9 >≤ G de orden n/d = 4 Para b = 10 ∈ Z12 , b = 11 0. Entonces < 10 >≤ G de orden n/d = 6 Para b = 11 ∈ Z12 , b = 11 1. Entonces < 11 >≤ G de orden n/d = 12 Para b = 0 ∈ Z12 , b = 10 . Entonces < 0 >≤ G de orden 1 por definici´on. Lic:F.Cl. Ccolque T

120 En resumen: < 1 >=< 5 >=< 7 >=< 11 > son subgrupos de Z12 de orden 12 < 2 >=< 10 > son subgrupos de Z12 de orden 6 < 3 >=< 9 > son subgrupos de Z12 de orden 4 < 4 >=< 8 > son subgrupos de Z12 de orden 3 < 6 > es un subgrupo de Z12 de orden 2 < 0 > son subgrupos de Z12 de orden 1 ii) Los 6 subgrupos aditivos de Z12 hallados en la parte i) son precisamente los ideales de Z12 . En efecto, sea < a >≤ Z12 para a = 1, 2, 3, 4, 6 y 0. Si m ∈< a > y x ∈ Z12 , entonces mx y xm ∈< a >. Claramente m ∈< a >⇒ m = an para alg´ un n ∈ Z Luego

mx = (an)x = a(nx) ∈< a > pues nx ∈ Z

Como Z12 es un anillo conmutativo, xm = mx ∈< a >. Por lo tanto, concluimos que < 1 >, < 2 >, < 3 >, < 4 >, < 6 > y < 0 > son todos los ideales de Z12 N 4. Si M y N son ideales de un anillo R,entonces demuestre que M + N = {m + n / m ∈ M, n ∈ N } es un ideal de R.

Demostraci´ on: i) (M + N, +) es un subgrupo de (R, +) 1) Como M y N son ideales de R tenemos que 0 ∈ M y 0 ∈ N , de donde vemos que 0 = 0 + 0 ∈ M + N , luego A + B 6= ∅ (es no vac´ıo). 2) Sean x, y ∈ M + N , entonces x − y ∈ M + N . En efecto: x ∈ M + N ⇒ x = m1 + n1 para algunos m1 ∈ M, n1 ∈ N . y ∈ M + N ⇒ y = m2 + n2 para algunos m2 ∈ M, n2 ∈ N , de donde −y = (−m2 ) + (−n2 ) para −m2 ∈ M, −n1 ∈ N porque M y N son ideales de R. De modo que x − y = (m1 − m2 ) + (n1 − n2 ) ∈ M + N . ii) Si r ∈ R y x ∈ M + N , entonces rx y xr ∈ M + N . En efecto: x ∈ M + N ⇒ x = m + n para algunos m ∈ M, n ∈ N ; de donde:

F.Cl´ımaco

121 xr = mr + nr para mr ∈ M y nr ∈ N porque M y N son ideales de R, luego xr ∈ M + N . Similarmente, rx = rm + rn, para rm ∈ M y rn ∈ N , luego rx ∈ M + N . Por consiguiente, seg´ un la definici´on por i) y ii) se concluye que M + N es un ideal de R N 5. Si M y N son ideales de un anillo R, entonces demuestre que los anillos M +N M y son isomorfos. N M ∩N Demostraci´ on: i) M + N es un anillo Seg´ un el problema 4. ya sabemos que M + N es un ideal de R, lo cual implica que xy ∈ M + N para todo x, y ∈ M + N , de aqu´ı M + N es un subanillo de R en virtud de la proposici´on 3.6.2, por lo tanto M + N es un anillo. ii) N es un ideal de M + N . Lo cual se demuestra con los items siguientes a) y b): a) (N, +) es un subgrupo de (M + N, +). Como N es un ideal de R, sabemos (N, +) es un subgrupo de (R, +). Ahora, N ⊆ M + N y (M + N, +) es un subgrupo de (R, +) , luego (N, +) es un subgrupo de (M + N, +). b) Sean x ∈ M + N y n ∈ N , entonces xn y nx ∈ N . En efecto: x ∈ M + N ⇒ x = m1 + n1 para algunos m1 ∈ M, n1 ∈ N , de modo que xn = (m1 + n1 )n ∈ N puesto que m1 + n1 ∈ R y n ∈ N porque N es un ideal de R. Similarmente nx = n(m1 + n1 ) ∈ M para m1 + n1 ∈ R y n ∈ N porque N es un ideal de R. M +N En resumen, hasta aqu´ı queda definido el anillo cociente . N Por otro lado, siendo M un ideal de R, M es un subanillo de R, por lo tanto M es un anillo. iii) Definamos una aplicaci´on φ : M →

M +N de anillos por mφ = m + N . N

a) φ es sobre (M + N )/N . Sea y ∈ (M + N )/N , entonces existe x ∈ M tal que xφ = y. En efecto, y = (m + n) + N = m + N = mφ. As´ı dado y ∈ (M + N )/N , existe x = m ∈ M tal que xφ = y. b) φ es un homomorfismo. Sean m1 , m2 ∈ M , entonces: (m1 + m2 )φ = m1 φ + m2 φ y Lic:F.Cl. Ccolque T

122 (m1 m2 )φ = (m1 φ)(m2 φ). En efecto:

(m1 + m2 )φ = (m1 + m2 ) + N, definici´on de φ = (m1 + N ) + (m2 + N ), N es un ideal de R = m1 φ + m2 φ.

(m1 m2 )φ = (m1 m2 + N ) = (m1 + N )(m2 + N ) = (m1 φ)(m2 φ) ∴ (m1 + m2 )φ = m1 φ + m2 φ y (m1 m2 )φ = (m1 φ)(m2 φ), ∀m1 , m2 ∈ M . ucleo de φ. c) Hallando el n´ Sea m ∈ Ker φ ⇒ m ∈ M y N = mφ = m + N , luego m ∈ N y as´ı m ∈ M ∩ N . . . (1) Rec´ıprocamente, n ∈ M ∩ N ⇒ n ∈ M y n ∈ N . De aqu´ı n ∈ M y nφ = n + N = N , luego n ∈ Ker φ . . . (2) De (1) y (2), deducimos que Ker φ = M ∩ N .

De i), ii) y iii), por el teorema 3.6.3, concluye que

M M +N es isomorfismo a M ∩N N N

´ DEL PRIMER EXAMEN ESCRITO DE ALGEBRA ´ SOLUCION II. ´ (REVALUACION) 1. Calcule los subgrupos < 1 >, < 2 >, < 4 >, < 6 >, < 7 > del grupo aditivo Z8

Soluci´ on: Sea a ∈ Z8 , entonces el subgrupo c´ıclico de Z8 generado por a es < a >= {an /n ∈ Z} = {n − a/n ∈ Z}, Z8 es un grupo aditivo. . . (1) Para a = 1 ∈ Z8 , < 1 >= {n,1/n ∈ Z} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0} = Z8 Para a = 2 ∈ Z8 , < 2 >= {n,2/n ∈ Z} = {2, 4, 6, 0} Para a = 4 ∈ Z8 , < 4 >= {n,4/n ∈ Z} = {4, 0} Para a = 6 ∈ Z8 , < 6 >= {n,6/n ∈ Z} = {6, 4, 2, 0} Para a = 7 ∈ Z8 , < 7 >= {n,7/n ∈ Z} = {7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0} = Z8

2. Demostrar que, un conjunto no vac´ıo G con una operaci´on binaria asociativa ∗ en G tal que a ∗ b = b y y ∗ a = b tienen soluciones en G para todo a, b ∈ G es un grupo.

F.Cl´ımaco

123 Demostraci´ on: Para que un conjunto no vac´ıo G con operaci´on binaria ∗ sea un grupo debemos verificar que se cumplen los tres axiomas G1 , G2 y G3 de grupo, como sigue: G1 . Por hip´otesis ∗ es asociativa. G2 . Existe la identidad e ∈ G tal que e ∗ a = a ∗ e = a para todo a ∈ G. Haciendo b = a, por hip´otesis las soluciones de las ecuaciones y ∗ a = a y a ∗ x = a est´a en G. La soluci´on de ambas ecuaciones es precisamente la identidad e, de modo que existe e ∈ G tal que e ∗ a = a ∗ e = a para todo a ∈ G G3 . Para cada a ∈ G, existe a0 ∈ G tal que a0 ∗ a = a ∗ a0 = e Haciendo b = e, por hip´otesis las soluciones de las ecuaciones y ∗ a = e y a ∗ x = e est´a en G para todo a ∈ G. Pero la soluci´on de ambas es a0 , de modo que para cada a ∈ G, existe a0 ∈ G tal que a0 ∗ a = a ∗ a0 = e. Por definici´on de grupo, de G1 , G2 y G3 concluimos que G es un grupo bajo la operaci´on de ∗. 3. Sean H y K subgrupos de un grupo G y sea HK = {hk/h ∈ H, k ∈ K}. Si G es conmutativo, entonces demuestre que HK es un subgrupo de G. Demostraci´ on: a) HK es cerrado bajo la operaci´on inducida de G Sean x, y ∈ HK, entonces xy ∈ HK En efecto: x ∈ HK ⇒ x = h1 k1 para algunos h1 ∈ H y k1 ∈ K; y ∈ HK ⇒ y = h2 k2 para algunos h2 ∈ H y k2 ∈ K, de modo que xy = (h1 k1 )(h2 k2 ) = (h1 h2 )(k1 k2 ) por que G es abeliano y ∗ es asociativa = hk ∈ HK, h = h1 h2 , k = k1 k2 siendo H y K subgrupos de G b) La identidad e ∈ G esta en HK Es claro que e = e.e pues H y K son subgrupos de G de manera que e ∈ H y e ∈ G, luego e ∈ HK c) Si hk ∈ HK ⇒ (hk)0 ∈ HK En efecto, hk ∈ HK → hk ∈ G, luego existe (hk)0 = k 0 h0 ∈ G tal que (hk)0 (hk) = (hk)(hk)0 = e. Pero (hk)0 = k 0 h0 = h0 k 0 por que G es abeliano Por consiguiente (hk)0 = h0 k 0 . Por el teorema 1.5.1, de a), b) y c) concluimos que HK es un subgrupo de G 4. Calcule el subgrupo c´ıclico de S5 generado por la permutaci´on µ ¶ 1 2 3 4 5 2 4 5 1 3

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124 soluci´ on: Sabemos que el subgrupo c´ıclico de S5 generado por ρ es < ρ > = {ρn /n ∈ Z} = {ρ1 , ρ2 , ρ3 , ρ4 , ρ5 , ρ6 . . .} Calculando:

µ

2

ρ = ρρ =

1 2 3 4 5 2 4 5 1 3

µ 3

2

4

3

5

4

ρ =ρ ρ= µ ρ =ρ ρ= µ ρ =ρ ρ= µ 6

5

ρ =ρ ρ=

1 2 3 4 5 4 1 3 2 5 1 2 3 4 5 1 2 5 4 3 1 2 3 4 5 2 4 3 1 5 1 2 3 4 5 4 1 5 2 3

¶µ ¶µ ¶µ ¶µ ¶µ

1 2 3 4 5 2 4 5 1 3 1 2 3 4 5 2 4 5 1 3 1 2 3 4 5 2 4 5 1 3 1 2 3 4 5 2 4 5 1 3 1 2 3 4 5 2 4 5 1 3

¶

µ =

¶

1 2 3 4 5 4 1 3 2 5

µ =

¶

µ =

¶

µ =

¶

µ =

1 2 3 4 5 1 2 5 4 3 1 2 3 4 5 2 4 3 1 5 1 2 3 4 5 4 1 5 2 3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

¶ , ¶ , ¶ , ¶ , ¶

Reemplazando estas permutaciones en (1), concluimos que el subgrupo c´ıclico de S5 generado por ρ es ¶ µ ¶ µ ¶µ ¶ µ ½µ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 , , , < ρ >= 4 1 3 2 5 1 2 5 4 3 2 4 3 1 5 4 2 4 5 1 3 5. Sea G un grupo y sea ∈ G (fijo), entonces demuestre que la aplicaci´on λa : G → G dada por gλa = ag para todo g ∈ G, es una permutaci´on de G. demostraci´ on: a) λa es uno a uno Sean g1 , g2 ∈ G tales que g1 λa = g2 λa, entonces g − 1 = g2 En efecto, de g1 λa = g2 λa : ag1 = ag2 por propiedad cancelativa en G, se deduce que g1 = g2 . b) λa es sobre G Dado g ∈ G existe h ∈ G tal que hλa = g Resolviendo la ecuaci´on hλa = g : ah = g, de donde h = a0 g As´ı dado g ∈ G, existe h = a0 g ∈ G tal que hλa = a(a0 g) = g. Por lo tanto, por definici´on de una permutaci´on, de a) y b) concluimos que λa es una permutaci´on de G. ´ DEL TERCER EXAMEN ESCRITO DE ALGEBRA ´ SOLUCION II. ´ (REVALUACION) 1. Demuestre que S = {a + bi/a, b ∈ Z} con la suma y multiplicaci´on usuales en los anillo.

F.Cl´ımaco

125 Demostraci´ on Ya sabemos que D = {a + bi/a, b ∈ IR} es un anillo. As´ı para demostrar que S es un anillo tenemos que verificar que S ⊆ D es un subanillo de D . Para ello seg´ un el problema 6 del tercer trabajo pr´actico hacer cumplir las tres siguientes: i) 0 ∈ S ii) a − b ∈ S para todo a, b ∈ S iii) ab ∈ S para todo a, b ∈ S en efecto: i) Para a = 0, b = 0 ∈ Z se tiene que 0 = 0 + 0i ∈ S. ii) Sean x, y ∈ S entonces x − y ∈ S. Claramente x ∈ S ⇒ x = a1 + b1 i para algunos a1 , b1 ∈ Z; y ∈ S ⇒ y = a2 + b2 i para algunos a2 , b2 ∈ Z de donde −y = (−a2 ) + (−b2 )i para −a2 , −b2 ∈ Z; De modo que x − y = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i ∈ S, puesto que a1 − a2 ∈ Z y b1 − b2 ∈ Z. iii) Sean x, y ∈ S, entonces xy ∈ S Es claro que x ∈ S ⇒ x = a1 + b1 i para algunos a, b1 ∈ Z; y ∈ S ⇒ y = a2 + b2 i para algunos a2 , b2 ∈ Z de modo que xy = (a1 a2 − b1 − b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 )i ∈ S, puesto que a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ∈ Z. De a), b) y c) se deduce que S es un subanillo de D, por consiguiente S es un anillo. 2. Halle la caracter´ıstica de los anillos a) Z2 × 3Z b) Z2 × Z2 c) Z4 × Z3 d ) 4Z × 3Z Soluci´ on: a) Sea a ∈ Z2 × 3Z, entonces a = (u, 3v) para un u ∈ Z2 y v ∈ Z 2a = a + a = (2u, 3v) = (0, 3v), 3a = 2a + a = (0, 3v) + (u, 3v) = (u, 6v), 4a = 3a + a = (u, 6v) + (u, 3v) = (0, 9v), . . . Sea observa que la segunda componente crece indefinidamente, luego n.a 6= (0, 0) para todo n ∈ Z+ , por consiguiente Z2 × 3Z es de caracter´ıstica 0 Lic:F.Cl. Ccolque T

126 b) el anillo Z2 × Z2 es un anillo con elemento unitario (1, 1), Luego: 2(1,1)=(1,1)+(1,1)=(2,2)=(0,0) 3(1,1)=(0,0)+(1,1)=(1,1) 4(1,1)=(1,1)+(1,1)=(0,0) ahora, por el teorema 3.3.1, siendo n = 2 el menor entero positivo tal que 2.(1, 1) = (0, 0) se deduce que 2 es la caracter´ıstica de Z2 × Z2 . c) el anillo Z4 × Z3 es un anillo con elemento unitario (1,1), luego: 2(1,1)=(2,2) 8(1,1)=(0,2) 3(1,1)=(3,0) 9(1,1)=(1,0) 4(1,1)=(0,1) 10(1,1)=(2,1) 5(1,1)=(1,2) 11(1,1)=(3,2) 6(1,1)=(2,0) 12(1,1)=(0,0) 7(1,1)=(3,1) 13(1,1)=(1,1) Ahora, por el teorema 3.3.1, siendo n = 12 el menor entero positivo talque 12.(1,1)=(0,0), se deduce que 1o 2 es la caracter´ıstica de Z4 × Z3 . d ) Sea b ∈ 4Z × 3Z entonces b = (4u, 3v) para algunos u, v ∈ Z As´ı 2b = (8u, 6v) 3b = (12u, 9v), de aqu´ı se tiene nb = (4nu, 3nb) 6= (0, 0) para todo n ∈ Z+ . Por lo tanto 4Z × 3Z es de caracter´ıstica cero. ½µ ¶ ¾ a b 3. denuestreque, para un campo F el conjunto S = /a, b ∈ F es un ideal 0 0 derecho pero no un ideal izquierdo del anillo de todas las matrices 2 × 2 sobre F . demostraci´ on: sea F 2×2 el anillo de todas las matrices 2 × 2 sobre F , entonces demostremos que S es un ideal derecho de F 2×2 pero no ideal izquierdo de F 2×2 . i) S es un subgrupo bajo la suma de (F 2×2 , +). µ 1) Como 0 ∈ F haciendo a = 0, b = 0, deducimos que

0 0 0 0

¶ ∈ S, luego

S 6= φ (es no vac´ıo). 2) sean x, y ∈ S, entonces x − y ∈ S En efecto:µ ¶ a1 b1 para algunos a1 , b1 ∈ F ; x∈S⇒ µ 0 0 ¶ a2 b2 para algunos a2 , b2 ∈ F , de modo que y∈S⇒ 0 0 ¶ µ a1 − a2 b1 − b2 ∈ S por que F es un campo y a1 −a2 , b1 −b2 ∈ x−y = 0 0 F.Cl´ımaco

127 F. Poe el teorema 1.5.2, (S, +) es un subgrupo de (F 2×2 , +). ii) Sean x ∈ S y z ∈ F 2×2 , entonces µ ¶xz ∈ S a b En efecto: x ∈ S ⇒ x = para algunos a, b ∈ F µ ¶0 0 v1 v2 z ∈ F 2×2 ⇒ z = para bi ∈ F para i = 1, . . . , 4 v3µ v4 ¶µ ¶ µ ¶ a b v1 v2 av1 + bv3 av2 + bv4 De modo que xz = = ∈ S, 0 0 v3 v4 0 0 pues F es un campo y av1 + bv3 , av2 + bv4 ∈ F . iii) Existen x ∈ S, z ∈ F 2×2 entonces zx 6∈ S Tomando matrices µ como¶antes µ las ¶ µ x y z: ¶ v1 v2 a b v1 a v 1 b zx = = 6∈ S si tomamos 0 0 v3 a v 3 b v3 v4 v3 = 1 y a 1 = 1 ahora bien, i) y ii) concluimos que S es un ideal derecho de F 2×2 . De i) y iii) concluimos que S no es un ideal izquierdo de de F 2×2 . 4. Sean A y B ideales de un anillo conmutativo R. Entonces demuestre que el cociente de A y B definido por A : B = {r ∈ R/rb ∈ A para todo b ∈ B} es un ideal de R Demostraci´ on: i) (A : B, +) es un subgrupo de (R, +) en efecto: 1) Como 0 ∈ R y 0b = 0 ∈ A para todo b ∈ B por que A es un ideal de R, se deduce que A : B 6= φ ( es no vac´ıo) 2) sean x, y ∈ A : B entonces x − y ∈ A : B Claramente, x ∈ A : B ⇒ x ∈ R y xb ∈ A para todo b ∈ B y ∈ A : B ⇒ y ∈ R y yb ∈ A para todo b ∈ B De modo que x − y ∈ R y (x − y)b ∈ A para todo b ∈ B por que A es unideal de R. Por definici´on de A : B, deducimos que x − y ∈ A : B. de a) y b), por el teorema 1.5.2 deducimos que (A : B, +) es un subgrupo de (R, +). ii) Sean r ∈ A : B y s ∈ R, entonces rs y sr ∈ R En efecto: r ∈ A : B ⇒ r ∈ R y rb ∈ A para todo b ∈ B multiplicando por s: sr ∈ R y s(rb) = (sr)b ∈ A por que A es un ideal de R luego sr ∈ A : B. como rs = sr siendo R conmutativo tambi´en deducimos que rs ∈ A : B

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128 Por definici´on de un ideal, de i), ii) concluimos que A : B es un ideal de R. 5. Encuentre todos los ideales primos y todos los ideales maximales de Z12 Soluci´ on: Ya sabemos que < 1 >, < 2 >, < 3 >, < 4 >, < 6 > y < 0 > son todos ideales de Z12 . Formando los anillos cocientes correspondientes: Z12 / < 1 >∼ = {0}, ∼ Z12 / < 2 >= Z2 , Z12 / < 3 >∼ = Z3 , ∼ Z12 / < 4 >= Z4 , Z12 / < 6 >∼ = Z6 , Z12 / < 0 >∼ = Z12 , Se observa que Z12 =< 1 > luego < 1 > no es un ideal maximal ni primo al igual que < 4 >, < 6 > y < 0 >. Como Z12 / < 2 >, Z12 / < 3 > son campos, por el teorema 3.7.1 < 2 > y < 3 > so ideales maximales. Seg´ un el corolario siguiente al teorema 3.7.2 deducimos que < 2 > y < 3 > son ideales primos de Z12

F.Cl´ımaco