UNIDAD I IMPORTANCIA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIDAD I

IMPORTANCIA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS


Y LA TEORÍA DE ERRORES


Definición de Métodos Numéricos.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas de tal forma que sean resueltas con operaciones aritméticas,
Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos todos comparten una
característica común, llevan cabo un buen número de tediosos cálculos
aritméticos.

STEVEN C.CHAPRA, RAYMOND P. CANALE, Métodos Numéricos para Ingenieros
con Aplicaciones en Computadoras Personales, Edit. McGraw Hill,
México, S.A de C.V., 1987. PAG. 1

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a
fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una
computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y
resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente
para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de
computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n
de los principios científicos básicos.

NAKAMURA, Schoichiro, Métodos Numéricos Aplicados con Software, Edit. 
Prentice Hall, México, 1992. PREFACIO..

Los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas comunes
de ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoras
electrónicas.
En el proceso de solución de problemas por medio de computadoras se
requieren los pasos siguientes.
- Especificación del problema. Con esto se indica que se debe identificar
perfectamente el problema y sus limitaciones, las variables que intervienen
y los resultados deseados.
- Análisis. Es la formulación de la solución del problema denominada
también algoritmo, de manera que se tenga una serie de pasos que resuelvan
el problema y que sean susceptibles de ejecutarse en la computadora.
- Programación. Este paso consiste en traducir el método de análisis o
algoritmo de solución expresándole como una serie detallada de operaciones.

- Verificación. Es la prueba exhaustiva del programa para eliminar todos
los errores que tenga de manera que efectúe lo que desea los resultados de
prueba se comparan con soluciones conocidas de problemas ya resueltos.
- Documentación. Consiste en preparar un instructivo del programa de
manera que cualquier persona pueda conocer y utilizar el programa.
- Producción. Es la ultima etapa en la que solo se proporcionan datos de
entrada del programa obteniéndose las soluciones correspondientes.
De lo antes expuesto se puede concluir que es necesario un conocimiento
completo del problema, y de los campos de las matemáticas relacionados con
el que es precisamente el objeto de los métodos numéricos para computadora.


LUTHE, Rodolfo y otros Métodos Numéricos, Edit. Limusa, México, 1980.
PROLOGO.

Para resolver el problema con una computadora significa mucho más que el
trabajo que ejecuta la maquina. 
Identificación y definición de objetos. Descripción matemática.
Análisis Numérico.
Programación de la computadora.
Verificación del programa.
Producción.
Interpretación.

La maquina sigue una serie de pasos o también denominado método numérico la
respuesta final para el usuario debe interpretar los resultados para ver lo
que significan en función de las combinaciones del objetivo que el sistema
propuesto debe satisfacer.

Mc CRACKEN Daniel D. Métodos numéricos y programación fortran. Con
aplicaciones en ingeniería y ciencias. Pagina 14.


Si un problema de cálculo (científico) tiene una solución analítica que es
:
imposible (p. ej. despejar tan x = x + 2), o
impracticable (p. ej. sistema lineal de orden 80),
Acudimos a un método numérico, que aporta :
una solución numérica estimada, de cierta precisión limitada, que,
por lo tanto, lleva un error asociado, que es importante analizar.


Figura 1: Análisis Numérico
Si los métodos numéricos son los algoritmos (conjuntos detallados y
secuenciados de operaciones) que nos llevan hasta las soluciones estimadas
de los problemas, el estudio de éstos y del análisis de errores que pueden
llevar asociados constituye el Análisis Numérico.
De acuerdo con nuestros objetivos, nosotros nos concentraremos muy
especialmente en los métodos numéricos y rebajaremos el rigor del análisis
de errores, propio de quien tiene por centro el método numérico mismo y no
tanto su aplicación inmediata, sin olvidarnos de él. Es decir, seguiremos
la línea de los textos de ``Métodos Numéricos" más que la de los textos de
``Análisis Numérico".


MODELO PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS.


"ENTRADA "ALGORITMO "SALIDA "









Un ejemplo de algoritmos puede ser la multiplicación de 2 números enteros
en donde tenemos varias opciones de algoritmos para resolver el ejercicio.


Una puede ser como aprendimos en la primaria, otra con sumas repetidas,
otra usando calculadora, otra aplicando logaritmos, otra mas usar el :


ALGORITMO RUSO

28 28 28
13
x13 28 14
26
84 :
7 52
28 28 3
104
------ ----- 1
208
364 364 0
364

Los métodos numéricos surgen junto con las matemáticas desde épocas remotas
aunque en aquella época estos procedimientos fueron muy tardados en
resolver problemas, los elementos básicos consistían en operaciones
aritméticas.
Con el surgimiento de las computadoras en los años cuarentas, donde las
operaciones fundamentales fueron las aritméticas se hizo una notable
contribución a las ciencias ya que los métodos numéricos y las computadoras
embonaron y coincidieron para servirse una de la otra.
En las Ciencias y la Ingeniería en la actualidad son indispensables los
métodos numéricos en la solución de problemas por lo tanto se justifica el
aprendizaje de éstos métodos como herramientas matemáticas.


TEORIA DE ERRORES.


Errores

Todos los resultados de la aplicación de métodos numéricos van acompañados
de un error que es conveniente estimar.
En muchas ocasiones esto no es posible hacerlo de un modo cuantitativo, en
otras, en cambio, pueden llevarse a cabo análisis de errores que pueden
ser:
a priori, cuando no se utilizan los resultados en el análisis, que
puede llegar a ser muy complejo (recordar, p. ej., las expresiones del
error de una simple división basadas en las del cálculo diferencial),
y
a posteriori, cuando se utilizan los propios resultados en el análisis
de los errores.
Es conveniente tener presente en todo momento cuáles son las fuentes de los
errores, lo que puede ser una ayuda definitiva a la hora de resolver
eventuales problemas prácticos, si bien es cierto que éstas actúan siempre
juntas, haciendo muy difícil el conocimiento detallado de la contribución
de cada una en cada caso.


Fuentes de error

Son tres, que dan lugar a una clasificación de los errores de acuerdo con
ellas:
Inherentes.
Asociado a la precisión de los datos de imputa. (P. Ej. El uso de
en lugar de 1/3.) Su característica principal es que se propaga
al output. Esta propagación puede estudiarse mediante análisis de
sensibilidad, que permiten detectar hipersensibilidades de los
resultados hacia variables específicas en rangos particulares, de modo
que puedan tomarse precauciones especiales en esos casos.

Cuando existe una magnificación inaceptable del error se dice que el
problema está mal condicionado. Los errores de input son causantes de
imprecisión en los resultados.
Truncamiento.
Asociado a la substitución de procesos infinitos por procesos finitos,
tales como el truncamiento de series, el uso se sumas limitadas para
el cálculo de integrales o el uso de diferencias finitas para el
cálculo de derivadas. Los errores de truncamiento causan inexactitud
de los resultados.
Cuando se comparan unos métodos numéricos con otros suelen
estudiarse algunas propiedades asociadas con los errores, en estos
casos es al error de truncamiento al que se refiere, , que se
expresa en función de algún parámetro conveniente, h, que tiende a 0
(o a ) cuando el error es nulo.
Es frecuente comparar:
convergencia:
" "cuando " "


Velocidad de convergencia:




comportamiento asintótico
" "cuando " "


Estimación real del error:
" "para todo" "

Redondeo.
Asociado a la precisión limitada con la que se realizan las
operaciones (cifras significativas). Su mayor peligro radica en su
tendencia a acumularse.





A modo de ejemplo, podemos calcular los errores inherentes, de
truncamiento, de redondeo y total resultantes de la evaluación de sí
el input es 0.3333, se aproxima por una serie de Taylor con cuatro
términos.

y las operaciones se hacen con cuatro cifras:


CLASIFICACION DE LOS ERRORES


ERRORES INHERENTES.

Son aquellos errores cometidos por la persona al tomar los datos de
lecturas de instrumentos de medición, al pasar éstos datos a la computadora
o bien por verdaderas equivocaciones por el manejo de los datos.




ERRORES POR REDONDEO.

Es aquel tipo de error en donde el número significativo de dígitos después
del punto decimal se ajusta a un número específico provocando con ello un
ajuste en el último dígito que se toma en cuenta.


ERRORES POR TRUNCAMIENTO.

Para llevar a cabo operaciones de algunas funciones matemáticas los
compiladores ejecutan éstas funciones utilizando series infinitas de
términos, pero es difícil llevar a cabo éstos cálculos hasta el infinito,
por lo tanto la serie tendrá que ser truncada.
__

X = X + Ex

donde
X = cantidad verdadera
__
X = cantidad aproximada

Ex = error absoluto

__
Ex = "X – X "
El error absoluto de una cantidad es igual al valor absoluto de la
diferencia entre la cantidad absoluta y su aproximación incluye sus
unidades fisicas.




FORMA RELATIVA.

El error relativo de una cantidad cualquiera es igual al cociente de el
error absoluto entre la cantidad verdadera, generalmente expresado como
porcentaje ya que no tiene unidades.

__
Erx = Ex / X ( Ex / X




EJEMPLO:

Dos cantidades al ser medidas nos dan los siguientes resultados:

error absoluto
error relativo

A = ( 100 + 1 )m Ea = 1m Era = Ea = 1m =
0.01 = 1%

X 100m

B = ( 8 + 0.8 )ft Eb = 0.8ft Erb = Eb = 0.8ft
= 0.1 = 10%


B 8ft







PROPAGACION DEL ERROR.
Se dice que existe una propagación en los errores cuando al realizar
operaciones con números que ya tienen errores y que por su naturaleza y
las operaciones generan nuevos errores.
Normalmente se efectúan en las operaciones aritméticas, (no importa cual
sea su orígen).




PROPAGACION DE LA SUMA.

Error absoluto
X = X + Ex X+Y = (X+Ex) +
(Y+Ey)
Y = Y + Ey X+Y = (X+Y) +
(Ex+Ey)
(X+Y)-
(X+Y) = Ex + Ey
Ex+y =
Ex + Ey

Error relativo
Erx+y = Ex+y = Ex + Ey
X+Y
X + Y


PROPAGACION DE LA RESTA.

Error absoluto Error relativo
X – Y = (X+Ex) – (Y+Ey) Erx-y = Ex-y = Ex-Ey
X – Y = (X – Y ) + (Ex-Ey) X – Y
X – Y
( X – Y ) – ( X – Y ) = Ex – Ey
Ex-y = Ex – Ey

PROPAGACION DE LA MULTIPLICACION.

Error absoluto Error relativo
X*Y = (X+Ex)*(Y+Ey) Erxy = XEy+YEx
X*Y = XY+XEy+YEx+ExEy XY
XY-XY = XEy + YEx Erxy = XEy + YEx
Exy = XEy + YEx XY
XY
Erxy
= Ex + Ey

X Y


PROPAGACION DE LA DIVISION.

Error absoluto Error relativo
X = X+Ex Ex
- XEy
Y (Y+Ey) Erx = Y
Y = Ex - Ey
X = X + Ex - XEy - ExEy y X
X Y
Y Y Y Y Y
Y

X – X = Ex – Xey = Ex Erx = Ex - Ey
Y Y Y Y y y X
Y