UNIDAD 01 NÚMEROS REALES

UNIDAD 01  NÚMEROS REALES   

PRE-REQUISITOS 

El estudiante podrá…   

●

Emplear  conceptos  básicos  de las  propiedades  algebraicas  de  los  números  reales  para  optimizar  procesos, realizar simplificaciones y resolver  ejercicios  de  ecuaciones  e  inecuaciones,  aplicados en contextos reales e hipotéticos. 

● Operaciones con números reales.  ● Operaciones  con  expresiones  algebraicas.  ● Factorización de polinomios.  ● Propiedades de la potenciación. 

DESTREZAS A EVALUAR  ●

●

●

Aplicar  las  propiedades  algebraicas  de  los  números  reales  en  la  resolución  de  productos  notables  y  en  la    factorización de expresiones algebraicas.  Deducir  propiedades  algebraicas  de  la  potenciación  de  números  reales  con  exponentes  enteros  en  la  simplificación  de  expresiones  numéricas  y  algebraicas.  Radicales y exponentes racionales.  Transformar  raíces  n-ésimas  de  un  número  real  en  potencias  con  exponentes  racionales  para  simplificar  expresiones  numéricas  y  algebraicas. 

INDICADORES DE  EVALUACIÓN  ●

Aplica  las  propiedades  algebraicas  de  los  números  reales  en  productos  notables,  [factorización], potenciacion y radicación. 

APREHENDIZAJES  ● Propiedades de los números reales  ○ Propiedades de orden    ● Operaciones con números reales  ○ Suma,  resta,  multiplicación,  división,  potenciación, radicación, racionalización. 

FUENTES DE CONSULTA  ● ● ● ● ●

Álgebra Pre-Universitaria I. Eduardo Espinoza Ramos.  Álgebra  Superior.  Murray  Spiegel,  Robert  Moyer  Álgebra. Ing. José Silva Cevallos.  Problemas  de  Álgebra  y  como  resolverlos.  Armando Tori Loza  Ejercicios  y  Problemas  de  Álgebra.  M  García Ardura. 

  JONATHAN CASTRO TERÁN • DÉCIMO DE BÁSICA • 2016-2017   

1  

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES   

 

   

Análisis Proposicional 

P1. Todo número real es un número complejo  Porque un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria.  Ejemplos:         

P2.1. Todo número real se representa en la recta numérica real 

 

  EJERCICIOS  En tu cuaderno representa los siguientes números en la recta numérica real:  1) 2) 3)

 

     

 

PROPIEDADES DE ORDEN DE LOS NÚMERO REALES 

Hemos  visto  que  los  números  reales  pueden  representarse  sobre  la  recta.  Esta  representación  permite  establecer un orden en el conjunto ℝ.      JONATHAN CASTRO TERÁN • DÉCIMO DE BÁSICA • 2016-2017   

2  

Dados dos números reales a y b , decimos que a es menor que b y escribimos si al  representarlos en la recta numérica real real a queda situado a la izquierda de b. 

 

  A partir de la relación “

   

” podemos establecer las relaciones restantes: 

1)

.............................................................................................................................................................. 

2)

.............................................................................................................................................................. 

3) ..............................................................................................................................................................      Además se determinan las siguientes propiedades que relacionan las operaciones y las desigualdades:    Si sumamos un mismo número a los dos miembros  de una desigualdad, esta se mantiene 

 

Si se multiplican o dividimos los dos miembros de  una desigualdad por un mismo número real, se  mantiene el sentido de la desigualdad si el número  es positivo, y se invierte el sentido si es negativo   

 

 

 

 

P2.2.  Todo  número  real  se  puede  trabajar  con  las  operaciones  aritméticas.  Los  números  reales  se  operan  mediante  sumas,  restas,  multiplicaciones,  divisiones,  potenciaciones,  radicaciones… y para ello utiliza propiedades que determinan el uso de dichas operaciones.   

ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS REALES   

Se tiene que    

, cumplen las propiedades: 

ADICIÓN 

MULTIPLICACIÓN 

Asociativa 

Elemento Neutro 

 

  Elemento Neutro 

Asociativa   

  Elemento inverso 

Elemento opuesto    Conmutativa 

 

  Conmutativa 

 

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3  

Distributiva de la multiplicación respecto de la adición   

 

POTENCIACIÓN DE NÚMERO REALES CON EXPONENTE ENTERO    El producto de varios números reales iguales se puede expresar como una potencia:          La potencia de base

, es un número real y su exponente es un número natural producto del número a por sí mismo, veces. 

, la potencia es el 

    A partir de la definición de la potenciación se pueden determinar las siguientes propiedades:   

Nombre 

Fórmula 

Ejemplo 

Multiplicación de potencias de  igual base  División de potencias de igual  base 

 

 

Potencia de una potencia  Potencia de un producto o  división 

Potencia negativa 

Potencia de exponente 0 

 

 

 

   

 

   

 

 

 

    EJEMPLOS  1) Realiza la simplifiación de   Solución:  La operación es una multiplicación, entonces los exponentes se suman 

 

El resultado es 50. 

 

2) Simplifica la siguiente fracción   Se aplican las propiedades de la división: 

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4  

  Por tanto el resultado de la expresión es

 

3) Simplifica   En este ejercicio primero se aplica las propiedades correspondientes a los números que se  encuentran dentro del paréntesis, después se realizan las demás operaciones.   

 

  Por consiguiente,

 

    EJERCICIOS  En tu cuaderno, simplifica las siguientes expresiones, emplea las definiciones y propiedades de  los exponentes:  1)

 

2)

3)

4)

 

 

 

5)

 

6)

 

    TAREA  Simplifica las siguientes expresiones, emplea las definiciones y propiedades de los exponentes: 

1)

 

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5  

2)

 

3)

4) 5)

 

   

6)

 

   

RADICACIÓN DE NÚMERO REALES CON EXPONENTE ENTERO 

  Los  radicales  están  estrechamente  relacionados  con  las  potencias.  En  este  apartado  veremos  cómo  se  relacionan  y  aprenderemos  a  trabajar  con  expresiones  en  las  que  aparecen  radicales  o  potencias  de  exponente racional.    es la raíz enésima de

, es decir,

, si y sólo si natural mayor que 1    

 

, donde

,

son reales y

es un 

   

    Las  propiedades  de  los  exponentes  también  se  aplican  a  radicales,  ya  que  se  expresan  como  exponentes  fraccionarios.       

 

 

 

 

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  EJEMPLOS  1) ¿Cuál es el resultado de ?  Se descompone 125 es sus factores primos y el radical se expresa como exponente  fraccionario, se aplican las leyes (propiedades) de los exponentes y se obtiene el resultado  final.           

 

2) ¿Cuál es el resultado de ?  Se descompone la base en factores primos y se aplica el teorema de radicales para obtener el  resultado.   

  Por tanto el resultado de la operación es 3   

 

3) Simplifica la expresión   Se transforman los radicales a exponentes fraccionarios y se realizan las operaciones con la  aplicación de los respectivos teoremas.     

 

  Por último, el resultado es 2. 

 

    EJERCICIOS  En tu cuaderno, simplifica las siguientes expresiones: 

1)

 

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2)

 

3)

 

    TAREA  Simplifica las siguientes expresiones: 

1)

 

2)

 

3)

 

   

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES   

Es  el  procedimiento  que  consiste  en  expresar  un  radical  en  su  forma  más  simple.  Para  simplificar  un  radical, el exponente de la base debe ser mayor que el índice del radical.    EJEMPLOS  1) Simplifica   Se descompone el radicando en factores primos y se procede a aplicar los teoremas.    Por tanto,

 

 

2) Simplifica   Se descompone la base en factores primos y se simplifica la expresión    El resultado es

 

 

3) Simplifica   Se simplifica el radical y el resultado se multiplica por la fracción para obtener el resultado  de la operación.        EJERCICIOS  En tu cuaderno, simplifica las siguientes expresiones:  1)

 

2)

 

3)

 

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4)

 

5)

 

6)

 

    TAREA  Simplifica las siguientes expresiones:  1)

 

2)

 

3)

 

4)

 

5)

 

6)

 

   

SUMA Y RESTA DE RADICALES 

Estas operaciones se pueden efectuar si y sólo si el índice del radical y el radicando son iguales (radicales  semejantes).            EJEMPLOS  1) Efectúa   Los radicales son semejantes, por tanto se realizan las operaciones con los números que les  anteceden (coefi cientes del radical).     

Entonces, el resultado es:

 

2) Efectúa   Se realizan las operaciones con las fracciones y se obtiene el resultado.      Si  los  radicandos  son  diferentes,  no  se  pueden  sumar  o  restar  los  radicales  de  primera  instancia,  entonces  se  simplifican;  si  resultan  semejantes  se  efectúan  las  operaciones,  de lo contrario, se dejan  indicadas.      JONATHAN CASTRO TERÁN • DÉCIMO DE BÁSICA • 2016-2017   

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  EJEMPLOS    1) Efectúa   Se simplifican los radicales, se realizan las operaciones y se obtiene el resultado final.   

     

 

2) Realiza

 

Se simplifican los radicales, se multiplican por las cantidades que les anteceden y se  simplifican las fracciones: 

        Se agrupan los radicales semejantes y se realizan las operaciones para obtener el resultado.       

Por tanto, el resultado es          EJERCICIOS  En tu cuaderno, simplifica las siguientes expresiones:  1)

 

2)

 

3)

 

4) 5)

   

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TAREA  Simplifica las siguientes expresiones:  1)

 

2)

 

3)

 

4) 5)

   

 

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES   

Multiplicación de radicales con índices iguales. 

Cuando  los  índices  de  los radicales son iguales, se multiplican los radicandos y de ser posible se simplifica  el resultado          EJEMPLOS  1) Efectúa   Se multiplican ambos factores:   

  2) ¿Cuál es el resultado del producto ?  Se realiza el producto y se simplifica el resultado. 

 

  3) Realiza   Se multiplica y se simplifica el resultado.       

Multiplicación de radicales con índices diferentes.   

Para  multiplicar  radicales  con  índices  diferentes  se  busca  un  índice común, que resulta del mínimo común  múltiplo de los índices de los radicales y recibe el nombre de “mínimo común índice”.    EJEMPLOS    1) ¿Cuál es el resultado de   El mínimo común índice es 6, entonces los índices de los radicales se convierten a dicho índice.  además

 

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Se efectúa el producto y se observa que no se puede simplificar el radical, por consiguiente  se desarrollan las potencias y se realiza la multiplicación.    

 

2) Efectúa   Se descompone 8 en factores primos y el mínimo común índice es 4, por lo tanto, al  transformar los radicales se obtiene: 

Se efectúa la multiplicación y se simplifica el resultado. 

   

 

3) Multiplica   Se convierten los índices de los radicales a índice 8 y se realizan las respectivas operaciones.        EJERCICIOS  En tu cuaderno, simplifica las siguientes expresiones:  1)

 

2)

 

3)

 

4) 5)

   

6)

 

    TAREA  Simplifica las siguientes expresiones:  1)

 

2)

 

3)

 

4) 5) 6)

     

   

DIVISIÓN DE RADICALES   

División de radicales con índices iguales. 

Para efectuar la división se aplica el siguiente teorema:       JONATHAN CASTRO TERÁN • DÉCIMO DE BÁSICA • 2016-2017   

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        EJEMPLOS  1) Realiza   Los radicales son de igual índice, entonces se dividen los radicandos.   

  2) ¿Cuál es el resultado de ?  Se simplifican los radicales y se realiza la operación. 

        Para  introducir  una  cantidad  a  un  radical,  se  debe  elevar la cantidad a un exponente igual al índice del  radical.    Ejemplo:  Realiza

 

El divisor se expresa como

y se realiza la operación para obtener el resultado.   

 

 

Multiplicación de radicales con índices diferentes. 

Se transforman los radicales a un índice común y después se realiza la división.      EJEMPLOS  1) Halla el cociente de   Se transforman los índices de los radicales a 12 y se realiza la operación. 

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  2) ¿Cuál es el resultado de ?  Se divide cada término del numerador entre el denominador y se obtiene: 

        EJERCICIOS  En tu cuaderno, realiza las siguientes operaciones:  1)

 

2)

 

3) 4)

   

5)

 

  TAREA  Realiza las siguientes operaciones:  1)

 

2)

 

3) 4) 5)

     

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RACIONALIZACIÓN 

Racionalizar  es  representar  una fracción en otra equivalente que contenga una raíz en el numerador, cuyo  numerador o denominador sea un número racional respectivamente.   

Racionalización del denominador.  Dada una expresión de la forma  

, se racionaliza de la siguiente manera: 

 

        EJEMPLOS  1) Transforma La fracción

en otra expresión equivalente que carezca de raíz en el denominador.  se multiplica por

tanto numerador como denominador.   

Por lo tanto la expresión equivalente a   2) Racionaliza la expresión

es

 

. 

Se debe separar la expresión en raíces y se multiplican por como denominador, para obtener el resultado: 

tanto numerador 

 

 

  Para  racionalizar  una  fracción  cuyo  denominador  es  un  binomio 

  y  alguno  o  ambos  elementos 

tienen una raíz cuadrada, se multiplica por el conjugado del binomio  

. 

  EJEMPLOS  1) Racionaliza la expresión

 

Se multiplica el numerador y el denominador de la expresión por del denominador

que es el conjugado 

 

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2) Racionaliza la expresión   Se multiplica por el conjugado del denominador y se simplifica para obtener el resultado. 

   

  3) Racionaliza

 

Se multiplica al numerador y denominador por

, y se efectúa la simplificación.   

    EJERCICIOS  En tu cuaderno, simplifica las siguientes expresiones:  1)

 

2)

 

3)

 

4)

 

5)

 

6)

 

7)

 

8)

 

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16  

9)

 

10)

 

  TAREA  Simplifica las siguientes expresiones:  1)

 

2)

 

3)

 

4)

 

5)

 

6)

 

7)

 

8)

 

9)

 

10)

 

   

P3. Ningún número real es imaginario puro  Porque los números imaginarios puros no tienen la parte real y solo tienen la parte imaginaria.   Ejemplos:       

 

P4.1. Algún número real es racional  Porque  un  número  racional  es  todo  número  que  puede  representarse  como  el  cociente  de  dos  números  enteros  o,  más  precisamente,  un  entero  y  un  natural  positivo;  es  decir,  una  fracción  común  numerador y denominador distinto de cero.  Ejemplos: 

  con 

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P4.2. Algún número real es irracional  Porque un número irracional es un número que no puede ser expresado, como una fracción  , donde   y    sean  enteros  y    sea  diferente  de  cero.  Es  cualquier  número  real  que  no  es  racional.  Un  decimal  infinito  (es  decir,  con  infinitas  cifras)  aperiódico  (es  decir  que  no  es  periódico),  como 

 

  no  puede  representar  un  número  racional.  A  tales  números  se  los  nombra  «números  irracionales».  Esta  denominación  significa  la  imposibilidad  de  representar  dicho  número  como  razón de dos números enteros.    Ejemplos:       

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