UNA INVESTIGACIÓN EN FLUIDOS DESCUBRE UNA NUEVA FIGURA GEOMÉTRICA ELEMENTAL APLICABLE A LA INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

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Diciembre 1999

UNA INVESTIGACION EN FLUIDOS DESCUBRE UNA NUEVA FIGURA GEOMETRICA ELEMENTAL APLICABLE A LA INGENIERIA Y ARQUITECTURA. José Javier Doria Iriarte Dr. Ingeniero Industrial UNIVERSIDAD DEL PAIS VASCO Dto.Expr.Gráfica y Proyectos de Ingeniería [email protected] RESUMEN Presentamos una investigación en Mecánica de Fluidos, dentro de la cual descubrimos una propiedad general de las cónicas y a partir de la misma, una familia de nuevas figuras geométricas elementales. Desde EUCLIDES (450-380 a.J.C.) y ARQUIMEDES (287-212 a.J.C.) no data la descripción de ninguna figura geométrica elemental, que tan profusamente utilizamos en Ingeniería y Arquitectura. Hecho de por sí interesante, pero que al comprobar las posibilidades en Construcción se convierte en asunto de interés profesional. Algunas

Fig.1- Nueva figura geométrica reglada de secciones rectas elípticas.

posibilidades se muestran en su aspecto puramente geométrico. La investigación en Geometría dispone del reconocimiento de la comunidad científica dado que se trata de algo enormemente elemental y con un respaldo analítico muy sencillo e indiscutible. Por contra, la investigación en fluidos tropieza con el carácter de ciencia experimental que nos

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lleva a ensayar cualquier diseño en costosos túneles o canales y las dificultades que esto conlleva. Asimismo, nuestra teoría desvela la Paradoja de D’Alembert como resultado erróneo, no paradójico, por su origen en unas hipótesis irreales. Este carácter heterodoxo nos impide publicar los resultados en medios internacionales, pero nos permite desarrollos sorprendentes. Aportamos algunas realizaciones, como un palo de golf que ostenta el World Guiness Record de distancia y una aplicación de interés para los profesionales de la Construcción. Se trata de una tobera y una rejilla deflectora para una unidad exterior split de aire acondicionado desarrollada por Saunier Duval con resultados sorprendentes contrastados en laboratorios y que contribuye a reducir el impacto ambiental.

Fig.2- Perfil elíptico con fuselaje de geometría sencilla

EL DESCUBRIMIENTO A partir de un estudio acerca de un ventilador, nos planteamos el cálculo del número de palas como resultado de la interacción espacial entre la pala y la corriente del fluido. Esta interacción se contempla en la Paradoja de D’Alembert hasta el  y sin resistencia teórica. Experimentalmente esta resistencia aerodinámica existe siempre. De ahí su aspecto paradójico. Para este trabajo utilizamos cilindros elípticos, por la facilidad de calcular sus radios de curvatura. Tratamos de utilizar hipótesis físicamente posibles, a diferencia del planteamiento vigente de utilizar flujos irreales superpuestos, como son fuentes y sumideros puntuales (velocidad  en el centro). Nos encontramos con resultados que no son paradójicos con la experimentación, como son la resistencia aerodinámica, la necesidad de fuselar los sólidos para evitar el desprendimiento del fluido y una interacción limitada en el espacio hasta la que hemos denominado capa límite exterior. Pues bien, esta capa límite exterior presenta en nuestros cálculos un aspecto cercano a una elipse, en nada semejante a la elipse del sólido (fig. 2). Buscando que pudiera ser en definitiva una elipse, mantenemos los datos en el ordenador para su estudio permanente. En un momento dado, al plantear una nueva hipótesis, nos encontramos que efectivamente se trata de una elipse transformada a partir del sólido elíptico. Consultado el caso con el profesor Francisco Granero, confirma con asombro que no es un caso particular, sino que se trata de una Propiedad General de las cónicas que describiremos. Como consecuencia de esta propiedad de generar cónicas a

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partir de una que denominamos matriz, surge de inmediato la idea de apilarlas en el espacio formando nuevas superficies, con lo que encontramos una familia de figuras geométricas

Fig.3- Nueva figura geométrica versus construcción con segmentos equidistantemente apoyados,

elementales, destacando una figura alabeada, reglada, en la que sus secciones transversales son elipses, dos circunferencias y dos segmentos de recta. Una joya en Construcción, dando lugar, con la experimentada colaboración del profesor Martín Zorraquino, a una patente de la UNIVERSIDAD DEL PAIS VASCO [1]. LA GEOMETRIA EN LA HISTORIA La Geometría es una de las ramas más antiguas de las Matemáticas, que etimológicamente sería “Medición de la Tierra”. Inicialmente se trataría de Geometría Plana, posteriormente trataría los sólidos, para avanzar a términos abstractos sobre imágenes representables geométricamente. Antiguo Egipto y Mesopotamia (1000 a.J.C.).Primeras referencias PITAGORAS (500 a.J.C) Primer autor reconocido. EUCLIDES (450-380 a.J.C.) Codifica la Geometría existente (áreas y volúmenes) en “Elementos”, con axiomas y postulados basados en la figura. Es incuestionable hasta finales del s XIX. ARQUIMEDES (287-212 a.J.C.) Analiza el triángulo, círculo, cono, cilindro, esfera, paraboloide, elipsoide, hiperboloide. Centros de gravedad. Propone =8/7. Investiga en Mecánica y Optica. APOLONIO DE PERGA (s III a J.C.) En Tangencias describe problemas complejos todavía hoy y en Cónicas (8 tomos) prácticamente todas sus propiedades conocidas actualmente. Hasta el s.XVII con Descartes y Newton no aparece el Cálculo numérico y la Geometría

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Analítica, Cálculo diferencial e integral. dando lugar a la moderna Geometría.

Fig.4- Nueva Figura Geométrica con apilamiento elíptico

L.EULER (1707-1783) Aplica el avance a las cónicas y curvas en general. G.MONGE (1746-1818) Elabora la Geometría Descriptiva y el Dibujo Industrial mediante tres

Fig.5- Propiedad General de las cónicas

proyecciones que hoy utilizamos. C.F.GAUSS (1777-1855) Aplica la Geometría Analítica a todo tipo de curvas y superficies. Basado en el Cálculo numérico generaliza la construcción de polígonos regulares en lo que es José Javier Doria Iriarte

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considerado como el siguiente descubrimiento en Geometría desde Euclides. G.F.RIEMMAN (1826-1866), alumno de Gauss, es considerado fundador de la Geometría no

Fig.6- Estadio con dos graderíos y cubierta autoportantes

Euclidiana. La generaliza a espacios de cualquier número de dimensiones. A.EINSTEIN (1879-1955). Los conceptos geométricos de Riemman los utiliza para exponer su Teoría General de la Relatividad. L.E.J.BROUWER Introduce en 1911 las bases de la Topología, la rama más sofisticada de la Geometría. LA GEOMETRIA Y LA FISICA Es lógico encontrar que señalados ingenieros o arquitectos (en su denominación actual) hayan estado ligados a la historia de la Geometría, pero es muy curioso y posiblemente no casual, que además exista una ligazón de la Geometría con la Física y especialmente con la Mecánica de Fluidos. Sería mucha coincidencia que ARQUIMEDES, LEONARDO, NEWTON, GAUSS, EIFFEL y EINSTEIN, ligados históricamente a ambas disciplinas, hayan interrelacionado innecesariamente ambos conocimientos. En nuestro caso ésto ha sucedido al investigar la Paradoja de D’Alembert, como hemos citado. Asimismo, de esta investigación surge otro hallazgo en Geometría relativo a un Perfil Aerodinámico de Geometría Sencilla [2] del que existe una licencia de explotación concedida por la UNIVERSIDAD DEL PAIS VASCO a la empresa multinacional SAUNIER DUVAL. LA GEOMETRIA EN LA INGENIERIA Y ARQUITECTURA La Arquitectura y la Ingeniería han utilizado casi exclusivamente las figuras geométricas elementales, como el cono, el plano, esfera, cilindro y los poliedros, combinándolos entre sí, para diseñar cerramientos y elementos mecánicos. La preferencia por estas soluciones viene justificada por su carácter elemental en cuanto a su tratamiento analítico y gráfico, así como por su carácter estético, dada la belleza natural de las figuras geométricas. No obstante, la creatividad va imponiendo soluciones más complejas. Así aparecen las figuras geométricas alabeadas en construcción de edificios singulares y monumentos (esculturas). En un nivel más complejo estaría la auténtica escultura aplicada a la edificación. En esta línea vemos el Arte y la Ingeniería presentes en casos como la Estatua de la Libertad de A.Gustave Eiffel (1832-1923) y la José Javier Doria Iriarte

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Geometría compleja, impulsada por la Arquitectura, cuyo exponente más actual (1997) de edificio escultórico es el Museo Guggenheim de Frank O. Gehry en Bilbao. La Geometría en su faceta estética es igualmente inseparable de la Ingeniería de Puentes. A medio camino entre las figuras geométricas de extrema simplicidad (cono, cilindro y esfera) y las alabeadas como paraboloide hiperbólico o el hiperboloide de una hoja, se encuentran las NUEVAS FIGURAS GEOMETRICAS REGLADAS generadas por cónicas. Como prueba de la belleza propia de la Geometría y consecuentemente de esta nueva figura geométrica, hemos realizado el acuerdo entre dos segmentos de recta que se cruzan ortogonalmente con mediatriz común (fig.3), mediante segmentos rectilíneos apoyados equidistantemente en uno de sus extremos y dispuestos conforme a la Nueva Figura Reglada y se confronta esta geometría con un acuerdo mediante segmentos rectilíneos apoyados en ambos extremos en forma equidistante. Resulta evidente que las secciones elípticas del primer caso no coinciden en el segundo. Resulta evidente que el equilibrio de formas no es comparable entre ambos casos.

Fig 7.- Pasarela peatonal cubierta, atirantada superior e inferiormente NUEVA FIGURA GEOMETRICA REGLADA Si el cono recto es la solución universal para realizar una superficie reglada de acuerdo entre una circunferencia y un punto (sobre su centro), o dos circunferencias, esta Nueva Figura resuelve de forma similar el acuerdo entre una circunferencia (elipse como caso general) y un segmento recto de cualquier longitud relativa, o bien entre dos elipses. El cono circular sería, consecuentemente, un caso particular. Asimismo, permite un acuerdo entre dos segmentos de recta ortogonales con mediatriz común, siempre con secciones elípticas. En la figura 1 se ha representado la figura mediante rectas y elipses. EN REALIDAD ES UN CONJUNTO DE FAMILIAS Efectivamente, existen varias ramas familiares: Por su origen: Según el género de la cónica matriz, pueden ser de secciones elípticas, hiperbólicas o parabólicas, generalizándose a la hipérbola y parábola el apartado anterior. Por su disposición espacial: Dependiendo de la Ley de Apilamiento que utilicemos para disponer en el espacio los puntos imagen de cada punto matriz, obtendremos líneas rectas (superficies regladas), elipses, sinusoides, etc. Teniendo aplicaciones prácticas cuando menos las José Javier Doria Iriarte

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disposiciones citadas. En la figura 4 se ha representado una Nueva Figura con apilamiento elíptico, mediante elipses y 2 segmentos rectos en los vértices. Por sencillez nos referiremos en lo sucesivo al caso más elemental de superficie reglada de secciones elípticas. LA PROPIEDAD GENERAL DE LAS CONICAS Para conocer el proceso de generación de la figura, explicaremos la Propiedad General de las Cónicas descubierta por nosotros. La Propiedad General es la siguiente: Para un kR dado, el lugar geométrico de los puntos P’ imágenes de los PE, es a su vez otra cónica E’ del mismo género que E. (fig.5) En la familia ilimitada de elipses que resultan para los distintos valores reales del parámetro k, existen cuatro casos particulares: Dos circunferencias y dos elipses con un semieje nulo, es decir, dos segmentos rectilíneos. Consecuentemente, es posible definir cada elipse (fig.1) y cada punto de las mismas (fig 5) en función de la elipse que denominamos “matriz” de semiejes a,b. x2  a2  k·b2    a  

2



y2

1  k·b2

1

(1)

Que con una Ley de Apilamiento lineal resulta la Ecuación de la Nueva Figura: S

x2

 

 a 2  z ·b 2  c     a  

2



y2

1  z c ·b

2

1

(2)

APLICACIONES EN INGENIERIA Y ARQUITECTURA Presentamos (fig.6) una interesante aplicación de la Nueva Figura Reglada como superficie autoportante para cubrición de un estadio, única en su género, así como dos graderíos superpuestos, igualmente autoportantes. La cubierta podría cerrarse totalmente. En la figura 7 se ha dibujado una pasarela peatonal cubierta, atirantada superior e inferiormente mediante cables que configuran la Nueva Figura Reglada de secciones elípticas. El atirantado superior supone un acuerdo entre dos rectas: La viga superior del pórtico y el tablero o túnel del puente. El atirantado inferior colabora a arriostrar el tablero entre una recta y una circunferencia: El tablero del puente y unos anclajes dispuestos en círculo sobre ambas riberas. En el campo del Urbanismo, tiene aplicación como monumento o escultura alguna sección de la figura 1. REALIZACIONES EN MECANICA DE FLUIDOS Hemos citado la existencia de confirmación experimental de la Nueva Teoría en Mecánica de Fluidos en aplicaciones diversas. Se basan en dos propiedades descubiertas: La necesidad física de fuselar un sólido para que no se desprenda la corriente de fluido y la necesidad de que el radio de curvatura del sólido describa una función continua y creciente desde el borde de ataque hasta el de salida, donde será r=. Hemos establecido la imposibilidad física de que un fluido ideal

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fluya sin desprenderse del sólido, salvo que su forma responda a un fuselaje mínimo (actualmente el desprendimiento se imputa a la viscosidad de los fluidos con independencia de las formas). Así hemos diseñado una cabeza de una “madera” de golf, con un “fuselaje truncado estabilizador de torbellinos” que ensayada EFECTO DE UN TABLERO FRENTE A REJILLA en túnel de viento y con robot con resultado DE UNIDAD EXTERIOR Saunier Duval muy positivo, confirmando 2.10.98 experimentalmente nuestra idea, que se SEPARACION Pcond Pevap teaire tsaire mm bar bar °C °C anticipa (patente de 1993) y da soporte sin tablero 18.9 4.57 34.53 55.5 teórico a las formas que recientemente vienen 380 18.8 4.54 35.0 56.1 adoptando las traseras de los automóviles. 250 19.0 4.58 35.4 57.1 180 100 50 Tabla 1.

19.0 4.59 18.9 4.55 20.3 4.64

35.3 34.8 34.6

57.1 57.3 60.5

En el ámbito de la Construcción donde la competitividad es vital para la supervivencia de las empresas, hemos logrado con Saunier Duval dos adelantos muy importantes, de

gran interés en Arquitectura. LA IMPORTANTE COLABORACION DE SAUNIER DUVAL Esta empresa multinacional se caracteriza por su implicación en la innovación aplicada a la Construcción, con diseños punteros en calderas y calentadores de gas. En esta ocasión su apuesta de futuro consistió en construir en España una fábrica de equipos de aire acondicionado en la gama más utilizada en la Construcción. En el tiempo récord de ocho meses, con los recursos exclusivos de la empresa en España, se Nuevo Conjunto realizó el siguiente trabajo: Diseño del producto a fabricar, su proceso de montaje y test.

Rejilla - Tobera Silence

Seleccionar y contratar el equipo técnico, de administración y de planta. Seleccionar la ubicación de fábrica, subvenciones, licencias, etc. Diseño instalaciones.

de

la

fábrica

y

la sus

SECCION TOBERA

El nuevo conjunto Rejilla

Tobera Silence de perfil aerodinámico, diseñado y desarrollado por Saunier Duval , permite grandes flujos de aire con las mínimas turbulencias, obteniendo

SECCION REJILLA

unos Niveles

Sonoros Realmente Bajos.

Además ofrece la posibilidad de orientar la salida de aire en cuatro diferentes direcciones, dirigiendo el flujo de aire al lugar más adecuado en cada caso.

Fieles al principio de aportar innovación, se abre desde el primer día un concurso de Fig. 8 Proyecto Saunier Duval ideas. Fueron varias las adoptadas. Controles de calidad en la línea de producción, mejoras técnicas en componentes y en laboratorios. Mejoras en impacto ambiental. En el último apartado, se encuadran las reducciones de ruidos y posibilidades de ubicación en fachadas. Es aquí donde las mejoras aerodinámicas y la posibilidad de impulsar el aire en varias direcciones se suscita como una aportación interesante aunque con gran riesgo, dada su implicación en los moldes de inyección de polímeros (caros y de largo plazo de entrega). * Fabricado Bajo Licencia P.I. 9301663 de la UNIVERSIDAD DEL PAIS VASCO

Afortunadamente el resultado puede ya ser comprobado en numerosas instalaciones de varios países. En la figura 8 se puede ver la disposición de la tobera y la rejilla deflectora, diseñadas con licencia de la patente de la que es titular la Universidad del País Vasco. La tobera permite obtener un 23% más caudal que la mejor de las utilizadas en el ensayo. Esto explica que la unidad Saunier Duval consiga una potencia frigorífica superior a cualquier otra de similares dimensiones. Esta característica afecta al impacto visual en las fachadas y colabora asimismo en la reducción de turbulencias y ruidos.

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La rejilla deflectora consigue desviar 50° el flujo de aire y ruido, hacia cualquiera de sus cuatro orientaciones posibles. Supone la opción de elegir la zona menos perjudicial en cuanto a ruido y corrientes de aire, única en el mercado. Según ensayos de laboratorio realizados por CEIT. Esta deflexión se produce con REDUCCION DE RUIDO y AUMENTO DEL CAUDAL (ésto debido al aprovechamiento de la componente de rotación). Pero si ésto reduce el impacto ambiental, la posibilidad de ubicar la unidad exterior en huecos de la fachada hasta ahora insospechados, es una solución arquitectónica que puede ser un primer paso importante para reducir el impacto visual de tantas unidades afeando las fachadas. En nuestros ensayos hemos acercado un tablero hasta 10cm de la salida de aire (rejilla deflectora) Fig.9 Ensayo frente a un tablero sin apreciar alteración alguna en la presión de condensación. En la tabla 1 se aprecian los datos reales en el calorímetro con el tablero a diferentes distancias. En 5cm todavía es operativa la unidad. Es evidente que esta posibilidad de ubicar la unidad exterior en huecos de la fachada o tras paneles o carteles, presenta posibilidades inéditas hasta ahora que apreciarán los arquitectos. LA NUEVA TEORIA EN EL GUINESS En el deporte y en la guerra, competiciones realmente, se aplican y se investigan las tecnologías que permitan ganar prácticamente sin considerar su coste, pudiendo luego deducirse aplicaciones industriales. En este caso, se trataba de batir el World Guiness Record de distancia de vuelo de una bola de golf con un palo comercial. Karl Woodward ostentaba este record y lógicamente buscaba batirlo nuevamente. Esto se consiguió en 1999 en Tenerife (nivel del mar y con control oficial) en 10 yardas con un driver MAKSER (fig.10), logrando superar la barrera de las 400 yds con 408 (373.1 m). El palo ha pasado al Museo de Golf de St. Andrews. Además han ganado varios torneos en USA y UE, resaltando el Master de Augusta 1999. El palo MAKSER dispone de un fuselaje truncado (acortado o incompleto) estabilizador de las turbulencias diseñado Fig. 10 Driver MAKSER para controlar favorablemente el desprendimiento del aire (que no evitar, como se venía haciendo). Ha sido ensayado en túnel de viento y con robot con éxito. OTROS RESULTADOS EN FLUIDOS Además de experimentos interesantes relativos a la incidencia favorable del pelaje de los mamíferos en su aerodinámica y otros relativos a la interacción fluido-sólido, hemos diseñado una turbina hélice KAPLAN de 1000 con impecables resultados. Como proyecto de futuro tenemos como meta encontrar empresarios para desarrollar tecnologías a partir de unos prototipos de turbina eólica de eje vertical de baja velocidad y turbina submarina para desalación de agua de mar o generación de electricidad. TERMINOLOGIA Y DEFINICIONES NUEVA PROPIEDAD GENERAL DE LAS CONICAS: El lugar geométrico resultante de multiplicar por una constante “k” el segmento de radio de curvatura en cada punto de una cónica comprendido entre este punto y uno de sus ejes, es otra cónica del mismo género. José Javier Doria Iriarte

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CONICA MATRIZ: Cónica que genera un número ilimitado de cónicas del mismo género, caracterizada cada una de ellas por un único parámetro “k”, al aplicarle la NUEVA PROPIEDAD GENERAL DE LAS CONICAS. NUEVA FIGURA GEOMETRICA REGLADA: Figura geométrica reglada y alabeada, resultante de apilar en planos paralelos al XY, las cónicas generadas por una cónica matriz, según una ley de apilamiento (lineal) proporcional a “k”, z=m.k. FAMILIA DE NUEVAS FIGURAS GEOMETRICAS CON CONICAS: Figuras geométricas resultantes de apilar en planos paralelos al XY las cónicas transformadas de una cónica matriz, según funciones tales que sus coordenadas z respondan a una ecuación z=f(k) NUEVA TEORIA EN AERODINAMICA: Hipótesis y formulación en Aerodinámica que permite obtener resultados analíticos y teóricos no paradójicos con la experimentación [7]. BIBLIOGRAFIA: [1] Doria JJ, M.Zorraquino JV,Granero F:SUPERFICIES TRIDIMENSIONALES DE SECCIONES CONICAS.P.Invenc.P9301662 1993 [2] Doria J.J.:PERFILES AERODINAMICOS DE GEOMETRIA SENCILLA P.Invención P9301663 1993 [3] Doria J.J.:FUSELAJE ESTABILIZADOR DE TORBELLINOS P.Invención P930372 1993 [4] M.Zorraquino JV,Granero F,Doria JJ: NUEVO TEOREMA EN LA GEOMETRIA DE LAS CONICAS. DISEÑO CON SUPERFICIES DE SECCIONES ELIPTICAS, HIPERBOLICAS Y PARABOLICAS. Anales de Ingeniería Gráfica.INGEGRAF vol III nº2 abril diciembre 1994. [5] M.Zorraquino JV,Granero F,Doria JJ: DEFINICION DE UNA NUEVA FAMILIA DE SUPERFICIES REGLADAS. Actas VII Congreso Internacional de Ingeniería Gráfica. Vigo.1.995 [6] M.Zorraquino JV,Granero F,Doria JJ: SOLUCION INNOVADORA PARA LA INGENIERIA QUE PRECISE DE SUPERFICIES ALABEADAS DE GEOMETRIA ELEMENTAL. Actas II Congreso Internacional de Ingeniería de Proyectos. Bilbao.1.995 [7] Doria JJ,Granero F,: TEORIA INNOVADORA EN AERODINAMICA. PROTOTIPOS Y PATENTES. Actas III Congreso Internacional de Ingeniería de Proyectos. Barcelona.1.996 [8] M.Zorraquino JV,Granero F,Doria JJ: OTRAS APORTACIONES Y RESULTADOS SOBRE LA NUEVA FAMILIA DE FIGURAS GEOMETRICAS ELEMENTALES CON CONICAS. Actas IX Congreso Internacional de Ingeniería Gráfica. BILBAO.1.997

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