Una Energía Mecánica Alternativa

Una Energ´ıa Mec´anica Alternativa Antonio A. Blatter Licencia Creative Commons Atribuci´ on 3.0 (2015) Buenos Aires Argentina Este trabajo presenta una energ´ıa mec´ anica alternativa que es invariante bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales.

Introducci´ on El trabajo W realizado por las fuerzas que act´ uan sobre un sistema de N part´ıculas, la energ´ıa cin´etica K del sistema de part´ıculas, la energ´ıa potencial U del sistema de part´ıculas y la energ´ıa mec´ anica E del sistema de part´ıculas, est´an dados por:  . PN  R 2 ~ cm ) + ∆ 1/2 Fi · (~ri − R ~ cm ) = ∆ K W = Fi · d(~ri − R i 1   . PN 1 ~ cm )2 + (~ai − A ~ cm ) · (~ri − R ~ cm ) ∆K = vi − V i ∆ /2 mi (~  PN  R 2 . ~ cm ) + ∆ 1/2 Fi · (~ri − R ~ cm ) ∆U = − i Fi · d(~ri − R 1 . E = K+U donde ~ri , ~vi y ~ai son la posici´ on, la velocidad y la aceleraci´on de la i -´esima part´ıcula, ~ cm , V ~ cm y A ~ cm son la posici´ R on, la velocidad y la aceleraci´on del centro de masa del sistema de part´ıculas, mi es la masa de la i -´esima part´ıcula y Fi es la fuerza neta que act´ ua sobre la i -´esima part´ıcula.

Principio La energ´ıa mec´anica E de un sistema de N part´ıculas permanece constante si el sistema est´a sujeto solamente a fuerzas conservativas. . E = K + U = constante donde K es la energ´ıa cin´etica del sistema de part´ıculas y U es la energ´ıa potencial del sistema de part´ıculas. 1

Relaciones El trabajo W, la energ´ıa cin´etica K y la energ´ıa potencial U de un sistema de N part´ıculas (de masa M) pueden ser tambi´en expresados como sigue: W =

PN

∆K =

j >i

mi mj M−1

PN

j >i

∆U = −

R2 1

F

F

Fi Fi − mjj ) · d(~ri −~rj ) + ∆ 1/2 ( m − mjj ) · (~ri −~rj ) (m i i



= ∆K

  ∆ 1/2 mi mj M−1 (~vi − ~vj )2 + (~ai − ~aj ) · (~ri − ~rj )

PN

j >i

mi mj M−1

R2 1

Fi − (m i

Fj mj )

Fi · d(~ri − ~rj ) + ∆ 1/2 ( m − i

Fj mj )

· (~ri − ~rj )



Si la posici´on radial r ij , la velocidad radial r˙ ij y la aceleraci´on radial r¨ij de un par de . . . part´ıculas ij, est´an dadas por: r ij = |~ri − ~rj |, r˙ ij = d(r ij )/dt y r¨ij = d2 (r ij )/dt2 entonces la energ´ıa cin´etica K de un sistema de N part´ıculas puede ser tambi´en expresada como sigue: ∆K =

PN

j >i

  ∆ 1/2 mi mj M−1 r˙ ij r˙ ij + r¨ij r ij

Si la posici´on escalar τ ij , la velocidad escalar τ˙ ij y la aceleraci´on escalar τ¨ij de un . . par de part´ıculas ij, est´ an dadas por: τ ij = 1/2 (~ri − ~rj ) · (~ri − ~rj ), τ˙ ij = d(τ ij )/dt y . 2 2 τ¨ij = d (τ ij )/dt entonces la energ´ıa cin´etica K de un sistema de N part´ıculas puede ser tambi´en expresada como sigue: ∆K =

PN

j >i

  ∆ 1/2 mi mj M−1 τ¨ij

El trabajo W y la energ´ıa potencial U de un sistema aislado de N part´ıculas cuyas fuerzas internas obedecen la tercera ley de Newton en su forma d´ebil se reducen a: W =

PN  R 2 i

∆U = −

1

Fi · d~ri + ∆ 1/2 Fi · ~ri

PN  R 2 i

1



= ∆K

Fi · d~ri + ∆ 1/2 Fi · ~ri



Observaciones Todas las ecuaciones de este trabajo pueden ser aplicadas en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial. Los sistemas de referencia inerciales y no inerciales no deben introducir las fuerzas ficticias sobre Fi ni sobre Fj . En este trabajo, las magnitudes [ m, ~r ij , r ij , r˙ ij , r¨ij , τ ij , τ˙ ij , τ¨ij , M, F, W, K, U y E ] son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales. 2

Anexo Si se considera un sistema cualquiera de N part´ıculas entonces entre las siguientes magnitudes cinem´aticas del sistema se dan siempre estas relaciones: ri , vi y a i son la posici´on, la velocidad y la aceleraci´ on de la i -´esima part´ıcula respecto a un sistema de referencia inercial S. Rcm , Vcm y Acm son la posici´ on, la velocidad y la aceleraci´on del centro de masa del sistema de part´ıculas respecto al sistema de referencia inercial S. ~ri , ~vi y ~ai son la posici´on, la velocidad y la aceleraci´ on de la i -´esima part´ıcula respecto a un sistema de referencia inercial o no inercial S’. ~ cm , V ~ cm y A ~ cm son la posici´ R on, la velocidad y la aceleraci´on del centro de masa del sistema de part´ıculas respecto al sistema de referencia inercial o no inercial S’. ω ~ yα ~ son la velocidad angular y la aceleraci´ on angular del sistema de referencia inercial o no inercial S’ respecto al sistema de referencia inercial S. −→

~ cm ) (ri − Rcm ) = (~ri − R

(vi − Vcm ) · (vi − Vcm ) =



 

~ cm ) + ω ~ cm ) · (~vi − V ~ cm ) + ω ~ cm ) (~vi − V ~ × (~ri − R ~ × (~ri − R 





 









 





 



~ cm ) · (~vi −V ~ cm ) + 2 (~vi −V ~ cm ) · ω ~ cm ) + ω ~ cm ) · ω ~ cm ) (~vi −V ~ × (~ri − R ~ × (~ri − R ~ × (~ri − R ~ cm ) · (~vi −V ~ cm ) − 2 (~ri − R ~ cm ) · ω ~ cm ) + ω ~ cm ) · ω ~ cm ) (~vi −V ~ × (~vi −V ~ × (~ri − R ~ × (~ri − R 



~ cm ) · (~vi −V ~ cm ) − 2 ω ~ cm ) · (~ri − R ~ cm ) + ω ~ cm ) · ω ~ cm ) (~vi −V ~ × (~vi −V ~ × (~ri − R ~ × (~ri − R 





~ cm )2 − 2 ω ~ cm ) · (~ri − R ~ cm ) + ω ~ cm ) (~vi − V ~ × (~vi − V ~ × (~ri − R (a i − Acm ) · (ri − Rcm ) =





= = = =

2

~ cm ) + 2 ω ~ cm ) + ω ~ cm ) ] + (~ai − A ~ × (~vi − V ~ ×[ω ~ × (~ri − R







~ cm ) · (~ri − R ~ cm ) = (~ai − A ~ cm ) · (~ri − R ~ cm ) + 2 ω ~ cm ) · (~ri − R ~ cm ) + α ~ × (~ri − R ~ × (~vi − V  







~ cm ) ] · (~ri − R ~ cm ) + α ~ cm ) · (~ri − R ~ cm ) = (~ai − A ~ cm ) · (~ri − R ~ cm ) + ω ~ ×[ ω ~ × (~ri − R ~ × (~ri − R 

~ cm ) · (~ri − R ~ cm ) + 2ω ~ × (~vi − V 







~ cm ) ω ~ cm ) · (~ri − R ~ cm ) = ω ~ · (~ri − R ~ − (ω ~ ·ω ~ ) (~ri − R 



~ cm ) · (~ri − R ~ cm ) + 2 ω ~ cm ) · (~ri − R ~ cm ) + ω ~ cm ) (~ai − A ~ × (~vi −V ~ · (~ri − R −→

2

~ cm )2 − (ω ~ )2 (~ri − R

~ cm )2 + (~ai − A ~ cm ) · (~ri − R ~ cm ) (vi − Vcm )2 + (a i − Acm ) · (ri − Rcm ) = (~vi − V

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