Una Energía Cinética Alternativa

Una Energ´ıa Cin´etica Alternativa Antonio A. Blatter Licencia Creative Commons Atribuci´ on 3.0 (2015) Buenos Aires Argentina Este trabajo presenta una energ´ıa cin´etica alternativa que es invariante bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales.

Introducci´ on La posici´on inercial r, la velocidad inercial v y la aceleraci´on inercial a de una part´ıcula, est´an dadas por: . ~ r = (~r − R) . ~ )−ω ~ v = (~v − V ~ × (~r − R) . ~ −2ω ~ )+ω ~ ]−α ~ a = (~a − A) ~ × (~v − V ~ × [ω ~ × (~r − R) ~ × (~r − R) . . ~ es ( v = d(r)/dt ) y ( a = d2 (r)/dt2 ) donde ~r es el vector de posici´ on de la part´ıcula, R

el vector de posici´on del centro de masa del free-system y ω ~ es el vector de velocidad angular del free-system (ver Anexo I ) El momento inercial P de una part´ıcula, est´ a dado por: . P = mv donde m es la masa de la part´ıcula y v es la velocidad inercial de la part´ıcula. La fuerza neta F que act´ ua sobre una part´ıcula m produce una aceleraci´on inercial a, seg´ un la siguiente ecuaci´ on: F = ma Los sistemas de referencia inerciales y no inerciales no deben introducir las fuerzas ficticias sobre F. Las magnitudes m, r, v, a, P y F son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales. 1

W, K, U, E y L En este trabajo, el trabajo W realizado por la fuerza neta F que act´ ua sobre una part´ıcula, est´a dado por: . R2 W = 1 F · d(r) = ∆ 1/2 m (v)2 donde r es la posici´on inercial de la part´ıcula, m es la masa de la part´ıcula y v es la velocidad inercial de la part´ıcula. La energ´ıa cin´etica K de una part´ıcula, est´ a dada por: . K = 1/2 m (v)2 donde m es la masa de la part´ıcula y v es la velocidad inercial de la part´ıcula. Por lo tanto, la energ´ıa cin´etica KT de un sistema de N part´ıculas, est´a dada por: . PN KT = i 1/2 mi (vi )2 donde mi es la masa de la i -´esima part´ıcula y vi es la velocidad inercial de la i -´esima part´ıcula. El trabajo W realizado por las fuerzas conservativas F que act´ uan sobre una part´ıcula es igual y de signo opuesto a la variaci´ on en la energ´ıa potencial U de la part´ıcula. R2 . ∆ U = − 1 F · d(r) donde r es la posici´on inercial de la part´ıcula. Por lo tanto, la energ´ıa mec´ anica E de una part´ıcula permanece constante si la part´ıcula est´a sujeta s´olo a fuerzas conservativas. . ∆E = ∆K + ∆U = 0 . E = K + U = constante donde K es la energ´ıa cin´etica de la part´ıcula y U es la energ´ıa potencial de la part´ıcula. Finalmente, el Lagrangiano L de una part´ıcula, est´ a dado por: . L = K−U donde K es la energ´ıa cin´etica de la part´ıcula y U es la energ´ıa potencial de la part´ıcula. 2

Sistema de N Part´ıculas Definiciones . PN M = i mi PN . Vcm = M−1 i mi vi . PN KL = j >i 1/2 mi mj M−1 [ (vi − vj ) ]2 =

PN

1/2

mi [ (vi − Vcm ) ]2

=

PN

1/2

2 mi (vi )2 − 1/2 M Vcm

i

i

. PN KT = i 1/2 mi (vi )2 . 2 KP = 1/2 M Vcm . PN KA = j >i 1/2 mi mj M−1 [ (ri − rj ) × (vi − vj ) / |ri − rj | ]2 . PN KR = j >i 1/2 mi mj M−1 [ (ri − rj ) · (vi − vj ) / |ri − rj | ]2 Relaciones KL = KT − KP KL = KA + KR KT = KP + KA + KR

KL = La energ´ıa cin´etica lineal del sistema de part´ıculas. KT = La energ´ıa cin´etica del sistema de part´ıculas. KP = La energ´ıa cin´etica del centro de masa del sistema de part´ıculas. KA = La energ´ıa cin´etica angular del sistema de part´ıculas. KR = La energ´ıa cin´etica radial del sistema de part´ıculas. 3

Observaciones La energ´ıa cin´etica KT de un sistema de part´ıculas puede ser separada en tres partes: KP = La energ´ıa cin´etica del centro de masa del sistema de part´ıculas. KA = La energ´ıa cin´etica angular del sistema de part´ıculas. KR = La energ´ıa cin´etica radial del sistema de part´ıculas. La energ´ıa cin´etica KT de un sistema de part´ıculas puede ser representada por un par de part´ıculas iguales (ver Anexo II ) en el cual: 1 ) La masa del sistema de part´ıculas es representada por la masa del par de part´ıculas. 2 ) El centro de masa del sistema de part´ıculas es representado por el centro de masa del par de part´ıculas. 3 ) El momento de inercia del sistema de part´ıculas es representado por el momento de inercia del par de part´ıculas. 4 ) La energ´ıa cin´etica del centro de masa del sistema de part´ıculas es representada por la energ´ıa cin´etica del centro de masa del par de part´ıculas. 5 ) La energ´ıa cin´etica angular del sistema de part´ıculas es representada por la energ´ıa cin´etica angular del par de part´ıculas. 6 ) La energ´ıa cin´etica radial del sistema de part´ıculas es representada por la energ´ıa cin´etica radial del par de part´ıculas. Por otro lado, todas las ecuaciones de este trabajo pueden ser aplicadas en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial. Los sistemas de referencia inerciales y no inerciales no deben introducir las fuerzas ficticias sobre F. En este trabajo, las magnitudes [ m, r, v, a, P, F, W, K, U, E y L ] son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia inerciales y no inerciales. Un sistema de referencia S es no rotante si la velocidad angular ω ~ del free-system ~ del centro de respecto a S es igual a cero y adem´ as S es inercial si la aceleraci´on A masa del free-system respecto a S es igual a cero. Este trabajo no contradice la din´ amica de Newton. De hecho, la ecuaci´on [ F = m a ] es una simple reformulaci´ on de la segunda ley de Newton. Finalmente, este trabajo considera que es posible desarrollar una din´amica cl´asica alternativa basada en el Lagrangiano L que puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial sin necesidad de introducir las fuerzas ficticias. 4

Anexo I Free-System El free-system es un sistema de N part´ıculas que est´ a siempre libre de fuerzas externas e internas, que es tridimensional y que las distancias relativas entre las N part´ıculas permanecen siempre constantes. ~ la velocidad V ~ y la aceleraci´ ~ del centro de masa del free-system La posici´on R, on A respecto a un sistema de referencia S, la velocidad angular ω ~ y la aceleraci´on angular α ~ del free-system respecto al sistema de referencia S, est´an dadas por: . PN M = i mi PN . ~ = R M−1 i mi ~ri PN . ~ = V M−1 i mi ~vi PN . ~ = A M−1 i mi ~ai . ↔ ω ~ = I −1 · ~L . α ~ = d(~ ω )/dt . PN ~ |2 ↔ ~ ⊗ (~ri − R) ~ ] I = ri − R 1 − (~ri − R) i mi [ |~

↔

. PN ~L = ~ × (~vi − V ~) ri − R) i mi (~ ↔

donde M es la masa del free-system, I es el tensor de inercia del free-system (respecto ~ y ~L es el momento angular del free-system respecto al sistema de referencia S. a R) Transformaciones . ~ = (~r − R) r = r0 . 0 ~ 0) = (~r 0 − R r = r . ~ )−ω ~ = (~v − V ~ × (~r − R) v = v0 . ~ 0) − ω ~ 0) = (~v 0 − V ~ 0 × (~r 0 − R v0 = v . ~ −2ω ~ )+ω ~ ]−α ~ = (~a − A) ~ × (~v − V ~ × [ω ~ × (~r − R) ~ × (~r − R) a = a0 . 0 ~ 0) − 2 ω ~ 0) + ω ~ 0) ] − α ~ 0) = (~a 0 − A ~ 0 × (~v 0 − V ~0 × [ω ~ 0 × (~r 0 − R ~ 0 × (~r 0 − R a = a 5

Anexo II Sistema de N Part´ıculas . PN M = i mi PN . Rcm = M−1 i mi ri PN . Vcm = M−1 i mi vi . PN I = j >i mi mj M−1 [ ri − rj ]2 . PN P = i mi vi . PN KT = i 1/2 mi (vi )2 . 2 KP = 1/2 M Vcm = 1/2 M−1 P 2 . PN KA = j >i 1/2 mi mj M−1 [ (ri − rj ) × (vi − vj ) / |ri − rj | ]2 . PN KR = j >i 1/2 mi mj M−1 [ (ri − rj ) · (vi − vj ) / |ri − rj | ]2 Par de Part´ıculas i y j . . mi = mj = 1/2 M → 1/4 M = mi mj M−1 . Rcm = M−1 ( mi ri + mj rj ) [ Si Rcm = 0 → ri = − rj ] . Vcm = M−1 ( mi vi + mj vj ) [ Si Vcm = 0 → vi = − vj ] . 2 I = 1/4 M [ ri − rj ]2 = 1/4 M r ij . P = mi vi + mj vj = 1/2 M ( vi + vj ) . 2 L = 1/4 M [ (ri − rj ) × (vi − vj ) ] = I ω ij = 1/4 M ω ij r ij . G = 1/4 M [ (ri − rj ) · (vi − vj ) ] = I r˙ ij |r ij |−1 = 1/4 M r˙ ij |r ij | . KT = 1/2 mi (vi )2 + 1/2 mj (vj )2 = 1/4 M [ (vi )2 + (vj )2 ] . 2 KP = 1/2 M Vcm = 1/2 M−1 P 2 . 2 2 2 KA = 1/8 M [ (ri − rj ) × (vi − vj ) / |ri − rj | ]2 = 1/2 I ω ij = 1/2 I−1 L 2 = 1/8 M ω ij r ij . KR = 1/8 M [ (ri − rj ) · (vi − vj ) / |ri − rj | ]2 = 1/2 I r˙ ij2 |r ij |−2 = 1/2 I−1 G 2 = 1/8 M r˙ ij2 6