Una Ecuación Lineal de Movimiento

Una Ecuaci´on Lineal de Movimiento Antonio A. Blatter Licencia Creative Commons Atribuci´ on 3.0 (2015) Buenos Aires Argentina Este trabajo presenta una ecuaci´ on lineal de movimiento que es invariante bajo transformaciones entre sistemas de referencia y que puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia sin necesidad de introducir las fuerzas ficticias.

Introducci´ on Un par de part´ıculas es una bipart´ıcula. El sistema de part´ıculas { a, b, c y d } puede formar el sistema de bipart´ıculas { ab, ac, ad, bc, bd y cd } o tambi´en el sistema de bipart´ıculas { ad, bd y cd }

P

. La masa m ij de una bipart´ıcula ij, est´ a dada por: m ij = mi mj /M , donde mi es . la masa de las part´ıcula i, mj es la masa de la part´ıcula j y M ( = k mk ) es la masa del sistema de part´ıculas en observaci´ on. La posici´on lineal ~r ij , la velocidad lineal ~v ij y la aceleraci´on lineal ~a ij de una bipart´ıcula ij, est´an dadas por: . ~r ij = (ri − rj ) . ~v ij = (vi − vj ) − ω × (ri − rj ) . ~a ij = (ai − aj ) − 2 ω × (vi − vj ) + ω × [ ω × (ri − rj ) ] − α × (ri − rj ) donde ω y α son la velocidad angular y la aceleraci´on angular del free-system (ver Anexo I ) ri es el vector de posici´ on de la part´ıcula i y rj es el vector de posici´on de la . . part´ıcula j ( ~v ij = d(~r ij )/dt ) y ( ~a ij = d2 (~r ij )/dt2 ) . ~ ij de una bipart´ıcula ij (m ij ) est´a dado por: P ~ ij = El momento lineal P m ij ~v ij , donde ~v ij es la velocidad lineal de la bipart´ıcula ij. ~ ij que act´ La fuerza lineal F ua sobre una bipart´ıcula ij (m ij ) est´a dada por: . ~ ij = F m ij (Fi /mi − Fj /mj ) donde Fi es la fuerza neta que act´ ua sobre la part´ıcula i, Fj es la fuerza neta que act´ ua sobre la part´ıcula j, mi es la masa de las part´ıcula i y mj es la masa de la part´ıcula j. 1

Din´ amica Lineal La ecuaci´on lineal de movimiento para una bipart´ıcula ij (m ij ) est´a dada por: ~ ij = d(P ~ ij )/dt = m ij ~a ij F ~ ij es la fuerza lineal que act´ ~ ij es el momento lineal donde F ua sobre la bipart´ıcula ij, P de la bipart´ıcula ij y ~a ij es la aceleraci´ on lineal de la bipart´ıcula ij. W, K, U, E y L El trabajo W ij realizado por las fuerzas (vectoriales) que act´ uan sobre una bipart´ıcula ij, est´a dado por: . R2 ~ . W ij = 1 F r ij ) = ∆ 1/2 m ij (~v ij )2 = ∆ K ij ij · d(~ ~ ij es la fuerza lineal que act´ donde F ua sobre la bipart´ıcula ij, ~r ij es la posici´on lineal de la bipart´ıcula ij, m ij es la masa de la bipart´ıcula ij, ~v ij es la velocidad lineal de la bipart´ıcula ij y K ij es la energ´ıa cin´etica de la bipart´ıcula ij. El trabajo W ij realizado por las fuerzas (vectoriales) conservativas que act´ uan sobre una bipart´ıcula ij es igual y de signo opuesto a la variaci´on en la energ´ıa potencial U ij de la bipart´ıcula ij. R2 . ~ ij · d(~r ij ) ∆ U ij = − 1 F Por lo tanto, la energ´ıa mec´ anica E ij de una bipart´ıcula ij permanece constante si la bipart´ıcula ij est´a sujeta s´ olo a fuerzas (vectoriales) conservativas. . ∆ E ij = ∆ K ij + ∆ U ij = 0 . E ij = K ij + U ij = constante donde K ij es la energ´ıa cin´etica de la bipart´ıcula ij y U ij es la energ´ıa potencial de la bipart´ıcula ij. Finalmente, el Lagrangiano L ij de una bipart´ıcula ij, est´a dado por: . L ij = K ij − U ij donde K ij es la energ´ıa cin´etica de la bipart´ıcula ij y U ij es la energ´ıa potencial de la bipart´ıcula ij. 2

Observaciones Todas las ecuaciones de este trabajo pueden ser aplicadas en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial. Los sistemas de referencia inerciales y no inerciales no deben introducir las fuerzas ficticias sobre Fi ni sobre Fj . ~ ij , F ~ ij , W ij , K ij , U ij , E ij y L ij ) Todas las magnitudes de este trabajo (~r ij , ~v ij , ~a ij , P son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia. Las magnitudes (W ij , K ij , U ij , E ij y L ij ) son en realidad magnitudes escalares nuevas que por comodidad en este trabajo se les quit´o el adjetivo ((lineal)) Un sistema de referencia S es no rotante si la velocidad angular ω del free-system respecto a S es igual a cero y adem´ as S es inercial si la aceleraci´on A del centro de masa del free-system respecto a S es igual a cero. Por otro lado, este trabajo no contradice la din´ amica de Newton. De hecho, si un sistema de referencia inercial est´ a fijo sobre la part´ıcula j (ω = rj = vj = aj = Fj = 0) de una bipart´ıcula ij (m ij ) entonces de la ecuaci´ on lineal de movimiento, se obtiene: m ij (Fi /mi ) = m ij (ai ) m ij (Fi /mi − ai ) = 0 → Fi /mi − ai = 0 puesto que en todo sistema de referencia inercial siempre ai = Fi /mi (as´ı como en todo sistema de referencia no inercial introduciendo las fuerzas ficticias sobre Fi ) Finalmente, este trabajo considera que es posible desarrollar una din´amica lineal alternativa basada en el Lagrangiano L ij o en el Lagrangiano L i (ver Anexo III) que puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial sin necesidad de introducir las fuerzas ficticias.

Bibliograf´ıa A. Einstein, Sobre la Teor´ıa de la Relatividad Especial y General. E. Mach, La Ciencia de la Mec´ anica. H. Goldstein, Mec´ anica Cl´ asica. 3

Anexo I Transformaciones ~r 0ij = ~r ij ~v 0ij = ~v ij ~a 0ij = ~a ij r 0ij = r ij v 0ij − ω 0 × r 0ij = v ij − ω × r ij a 0ij −2 ω 0 ×v 0ij +ω 0 ×(ω 0 ×r 0ij )−α 0 ×r 0ij = a ij −2 ω ×v ij +ω ×(ω ×r ij )−α×r ij Free-System El free-system es un sistema de N part´ıculas que est´a siempre libre de fuerzas externas e internas, que es tridimensional y que las distancias relativas entre las N part´ıculas permanecen siempre constantes. La posici´on R, la velocidad V y la aceleraci´ on A del centro de masa del free-system respecto a un sistema de referencia S, la velocidad angular ω y la aceleraci´on angular α del free-system respecto al sistema de referencia S, est´an dadas por: . PN M = i mi PN . R = M−1 i mi ri PN . V = M−1 i mi vi PN . A = M−1 i mi ai . ω = I−1 · L . α = d(ω)/dt . PN 2 I = i mi [ |ri − R| 1 − (ri − R) ⊗ (ri − R) ] . PN L = i mi (ri − R) × (vi − V) donde M es la masa del free-system, I es el tensor de inercia del free-system (respecto a R) y L es el momento angular del free-system respecto al sistema de referencia S. 4

Anexo II Sistema de N Part´ıculas . PN K ij = j >i 1/2 mi mj M−1 [ (vi − vj ) − ω × (ri − rj ) ]2 =

PN

i=1

1/2

mi [ (vi − Vcm ) − ω × (ri − Rcm ) ]2

R2 . PN W ij = j >i mi mj M−1 1 [ (Fi /mi − Fj /mj ) · d(ri − rj ) ] =

PN

=

PN

i=1

mi

R2

R2

[ Fi · d(ri − Rcm ) ] = ∆ K ij

i=1

1

1

[ (Fi /mi − Fcm /M ) · d(ri − Rcm ) ]

Anexo III Part´ıcula i & Free-System . ~r i = (ri − R) . ~v i = (vi − V) − ω × (ri − R) . ~a i = (ai − A) − 2 ω × (vi − V) + ω × [ ω × (ri − R) ] − α × (ri − R) . ~i = P mi ~v i . ~i = F Fi ~ i = d(P ~ i )/dt = m i ~a i F ~ i = constante Si Fi = 0 → P . R2 ~ r i ) = ∆ 1/2 m i (~v i )2 Wi = 1 F i · d(~ . ∆ K i = ∆ 1/2 m i (~v i )2 R2 . ~ i · d(~r i ) ∆ Ui = − 1 F . Ei = Ki + Ui . Li = Ki − Ui . Si Fi = fuerzas conservativas → E i = K i + U i = constante 5