¿UNA CUESTIÓN DE LÍMITES? APEIRON ARQUIMEDIANO E INFINITUD MATEMÁTICA.

¿UNA CUESTIÓN DE LÍMITES? APEIRON ARQUIMEDIANO E INFINITUD MATEMÁTICA.

GIANFELICE, JORGE. UBACyT (Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires) / Universidad Tecnológica Nacional (Facultad Regional Delta, Campana). Buenos Aires. [email protected]. ORTIZ DE LATIERRO, MARÍA NIEVES. Universidad Tecnológica Nacional (Facultad Regional Delta, Campana). [email protected]. SCAVINO, LUCAS. Universidad de Morón (Facultad de Filosofía, Ciencias de la Educación y Humanidades). [email protected].

¥peiron, ilimitado y límite.

Dice William Guthrie (TI, 1991:319), en consonancia con la línea interpretativa de Bruno Snell (2007: 373-396), que “establecer distinciones entre los diferentes usos de una misma palabra pertenece a una fase muy avanzada del pensamiento”. Más allá de que esta afirmación sea cierta en su totalidad, es importante reconocer que la semántica de una palabra se articula diacrónicamente y que ésta guarda en sí una tensión interna que no se extingue con el pasar del tiempo. La noción de

¥peiron en la Filosofía, la

Literatura y la Matemática griegas (si es lícita esta división) no solo es un clarísimo ejemplo de pluralidad semántica, sino, al mismo tiempo un plexo de posibilidades expresivas. La evolución y el consecuente engrose del sentido y de la referencia de un término, desde su utilización coloquial hasta – y paralelamente con – sus usos especializados, muestra un doble movimiento. Por un lado, de enriquecimiento y suma (no mera yuxtaposición), pero, por el otro, de envolvimiento. El engrose semántico no es mera superación de un significado inicial y originario (ficción filológica y etimológica aún vigente)i; es, en especial, un proceso que recupera los significados anteriores y, de entre el conjunto de ellos, actualiza algunos de manera dominante, pero 1

no anula el resto, sino que lo deja en potencia. Hay, de este modo, un haz de significados dominantes que logra imponerse sobre otros que no por su condición de “secundarios” dejan de existir. Toda palabra es su historia, y no solo una parte de ella. Hablar de infinito, de infinitud, de transfinito en Matemática obliga a quien lo haga a realizar un recorrido – no necesariamente lineal – que recoja los momentos de engrose semántico y los contextos discursivos en que ello tuvo lugar. Basten tales razones para justificar nuestro recorte temporal y para centrarnos en la figura de Arquímedes como gozne que articula la tradición que lo precede con los desarrollos matemáticos que, en los siglos XVIII y XIX recuperan tanto una noción clave (la de infinito), como una matriz metodológica fundamental (la del mismo Arquímedes) que sigue siendo fructífera en la Matemática de hoy en día. A tal fin, dividiremos nuestro trabajo en tres apartados: el primero hará un somero estudio de los usos de ¥peiron en el corpus griego pre-arquimediano; el segundo, centrará el foco de atención en la manera como se construye el discurso del siracusano en referencia a la cuadratura de las secciones cónicas, y el tercero analizará de manera sumaria la vigencia de ese discurso para el desarrollo del cálculo infinitesimal (Newton) y de la teoría de los transfinitos (Cantor) de los siglos XVIII y XIX. §. ¥peiron: metáforas espaciales, temporales y cualitativas.

Es un lugar común, o una necesidad metodológica, recurrir al corpus homérico para ilustrar los usos de una determinada palabra. No seremos la excepción, aunque no por seguir una tradición establecida, sino por la pertinencia de la práctica. De una veintena de veces en que aparece

¥peiron como forma adjetiva y sus

respectivas formas verbalesii, se pueden recuperar los siguientes haces de significados relacionados con las metáforas espaciales, temporales y cualitativasiii: ¥peiron se aplica a cosas inanimadas (pero con fuerte matriz mítica) como el mar y la tierra, con el sentido de inmenso, inabarcable de una sola vista, interminable a los ojos (también en Heródoto I, 204-4, V, 9-4). El campo semántico es el de lo grande, es decir, del tamaño, desde el punto de vista espacial. También se aplica a seres animados como dioses, personas y animales, pero en el sentido de grandeza numérica, de carácter incontable o innumerable a simple vista, es decir, a cantidades. El adjetivo ápeiros se aplica de manera muy frecuente em Homero y en la especulación presocrática para referirse al 2

hombre que no conoce, que carece de pericia, es decir, al imperitus.iv Por último, se aplica a nociones abstractas como el sueño y el dolor, en el sentido de profundo, interminable, extenso, inacabable. Más allá de los estudios que toman como primitivas las nociones relacionadas con el espacio (Jackendoff 1983: 183 y sgs), en este trabajo nos interesaremos por el fenómeno de coexistencia y por la capacidad de solaparse que tienen los significados dentro del campo semántico de un término. De esta manera, al menos en los usos literarios de una palabra, tales significados conviven sin excluirse mutuamente. De ahí su múltiple posibilidad de ser traducida. El campo semántico de la inconmensurabilidad y de lo ilimitado es solidario tanto con el espacio como con el tiempo: algo puede ser inmensamente grande, de hecho, en extensión espacial o temporal. Lo que no termina, lo que es ilimitado se da en una y otrav. En el primer caso, lo espacialmente inmenso se acercará, en el devenir histórico, a la noción de infinito; en el segundo caso, a la idea de eterno. Este segundo caso será el que trabajará especialmente la Filosofía Medieval, en estrecha relación con la figura divina, razón por la cual quedará fuera de nuestro alcance. Pero es necesario tener en cuenta que

¥peiron

indica (como bien dijo Olof Gigon (1985:32) respecto del kháos hesiódico) una especie de nada cualitativa. Más allá de las discusiones que continúan produciendo una copiosa bibliografía, lo cierto es que la traducción o interpretación de

¥peiron como

indeterminado o indefinido confirma esta idea (Sambursky, 1956: 185; Armstrong, 1966: 17; Segura, 1997:182; Ramnoux, 2002: 9; Bernabé, 1988: 49 y sgs.). Lo que no se identifica con ninguna otra realidad específica (“materia”, “elemento” o “substancia”, en términos posteriores), lo que carece de identificación atributiva y de cualidades determinadas, es, en definitiva, otra de las posibilidades semánticas del término. De una y otra manera, al menos, se da en el contexto de Anaximandro y de los Pitagóricos. En el primer caso, asistimos al la adjunción del artículo neutro a la forma

¥peiron, lo

cual lo transforma en una clara expresión sustantiva que Snell (2007: 373 y sgs) considera como prefiguración de nombres abstractosvi. Así lo interpreta Aristóteles, por ejemplo, en Eth. Nic. 1106 b 29, si bien en su uso especializado significa infinito, aunque en el sentido de cantidad indeterminada. Estamos, sin lugar a dudas, en el umbral de los términos técnicos de la Filosofía y de otros ámbitos del saber. Platón lo utiliza en reiteradas ocasiones, aunque oscila entre sustantivo y adjetivo, entre indeterminado e infinito (en el sentido de incontable)vii, pero también ilimitado.

3

Espacio, tiempo, cualidad: tres categorías que se mezclan e imbrican en un campo de significación abierto, que, desde la imaginería metafórica, desde la hipérbole, desde la analogía mítica, se abre paso hacia una especialización y uso técnico del término. Tal vez resulte aventurado hablar de “triunfo del espíritu geométrico” en Anaximandro (Jaeger, 1985:156; Herbig, 1996: 99), sin embargo, no es menos cierto que con los pitagóricos y especialmente con Aristóteles asistimos a la aplicación de

¥peiron tanto al estudio de las cuestiones físicas (relacionadas con el tiempo), como matemáticas (relacionadas con la división entre números). El término no solo se usa para referirse a tal o cual realidad, sino que se menciona, vale decir, se convierte en objeto del lenguaje, en referente discursivo. Es, en tal sentido, materia de extensa discusión en el conocido pasaje del Libro III de la Física 202 b 30- 208 a 23. Podemos afirmar, sin temor a equivocarnos, que en el contexto discursivo

¥peiron ya es un sustantivo abstracto con definición técnica y especializada. La expresión e„j ¥peiron (ad/in infinitum) forma parte del lenguaje aristotélico,

especializado del estagirita (Met. 994a3, 994a8, 1006a9). Sin embargo, no nos adentraremos en las especulaciones que el filósofo ha hecho respecto del infinito potencial, actual o de los modos de existencia de los mismos, ya que ello excede los límites de este trabajo. Baste decir que, para Aristóteles, el infinito es una estrategia discursiva que le sirve para negar la falta de límites de un cuerpo, y que acepta la falta de límites referida al tiempo pero no al espacio. Así y todo, con su noción de infinito potencial (pensable solo en el ámbito de las magnitudes), dejó abiertas las puertas al cálculo infinitesimal, si bien esta deuda no siempre es reconocida. (Ver Cuadro Anexo II). Como podemos apreciar, la idea de ¥peiron no es unívoca; al contrario, se nutre de una semántica que no conoce fronteras literarias, filosóficas o científicas. En tal sentido, y sin desmedro de los otros significados, lo que comienza siendo una realidad concreta innumerable y espacialmente extensa termina redefiniéndose en el campo matemático. Se empieza a estratificar como término teórico, y no ya en espacios físicos, sino geométricos: ¥peiron es infinito. Pero, a diferencia de lo que se podría esperar, ese infinito matemático, como veremos en los próximos apartados, es concebido por Arquímedes no como una instancia ilimitada, sino, paradójicamente, como un infinito acotado, o, lo que es lo mismo, con límites.

4

§. Arquímedes y el discurso matemático. Redefinir el infinito. Uno de los problemas que desveló a los matemáticos antiguos fue el de calcular áreas de determinadas figuras planas. Éstas pueden ser de lados rectos, con segmentos curvos o de las dos formas a la vez. Las figuras de lados rectos no tenían grandes dificultades en cuanto al cálculo de las áreas; tres de ellas eran las más sencillas: cuadrados, triángulos y rectángulos. Las de lados curvos, sí. ¿Cómo operaron los matemáticos antiguos ante el problema de las áreas de figuras curvilíneas?; pues de manera intuitiva, yendo de lo que conocían (cómo calcular áreas de figuras con líneas rectas) a lo que no conocían (cómo calcular áreas de líneas curvas). Para ello, utilizaron el ingenioso método de cuadrar, o, en otros términos, de convertir, transformar o traducir toda área curvilínea a un conjunto de figuras rectilíneas de áreas fácilmente calculables. Dicho de otra manera: el método consistía en dividir la figura curvilínea en cuantos triángulos, cuadrados o rectángulos fuera posible, es decir, en inscribir figuras con alguna regularidad, lo que hoy conocemos como serie o sucesión. El procedimiento final era concebido como una suma de áreas. A Arquímedes se le atribuye la cuadratura de una de las figuras curvilíneas: la parábola y aplicó una regularidad: 4/3. Veamos cómo procedió. En un fragmento de la carta enviada por Arquímedes a Dositheus, que encabeza el tratado que hoy conocemos con el nombre de Cuadratura de la Parábola, podemos leer que Arquímedes estaba trabajando en un cierto teorema de geometría (gewmetrikën

qeèrhm£ ti) que no ha sido investigado antes. Y agrega: pero ahora lo

ha sido por mí; primero lo descubrí a través de medios mecánicos, y luego geométricos. (Heiberg: 1881, 342, T.II). En la misma, manifiesta que algunos de los antiguos geómetras trataron de probar que era posible encontrar un área recta igual al área de un círculo, o a un segmento de círculo y que posteriormente habían tratado de cuadrar el área encerrada por la sección completa del cono y cortado por una recta, asumiendo lemas no fácilmente concebidos. De ello se desprende que muchos reconocieron que el problema no había sido resuelto. Según Heath, el texto original en esta parte está corrupto, por lo cual presume que se hace referencia a la sección completa del cono. Esta reconstrucción fue objetada por Johan Ludvig Heiberg, quien sostiene que la expresión siempre significa una elipse completa (Heiberg: 1881, 342). Esta última 5

interpretación contradice, por un lado, todo el trabajo de Arquímedes visto a los ojos de Heath, y por otro, todo procedimiento matemático actual sobre la cuadratura de las secciones cónicasviii. Se impone, en consecuencia, una correcta contextualización del problema para reconocer de manera enfática que la Crítica Textual no es independiente de los contenidos disciplinares específicos, y a la inversa, que no es posible arribar a resultados

disciplinares

coherentes

sin

un

aparato

filológico

de

carácter

interdisciplinario. De acuerdo con el problema matemático que recoge la carta antes mencionada y en la traducción de Heath (que guarda ciertos alejamientos respecto del texto griego), se puede leer: No estoy enterado acerca de si alguno de mis predecesores ha intentado cuadrar el segmento rodeado por una recta y una sección recta de cono [parábola], problema del cual he descubierto la solución. Aquí muestro que todo segmento rodeado por una recta y una sección recta de cono [parábola] es 4/3 del triángulo que tiene la misma base y la misma altura que el segmento y para la demostración se asume el siguiente lema: “dadas dos áreas desiguales y que el exceso de la mayor sea lo menor posible, siendo sumada a sí misma, resulta ser mayor que un área finita dada”. (Heath: 1912; 233)

Esta extensa cita patentiza la tradición geométrica que precede a Arquímedes, la vigencia de los problemas de los que tratará, y por último, las soluciones propuestas. Nos centraremos en esta última instancia. En el intento, por parte del siracusano, de cuadrar un segmento de parábolaix, reaparece el concepto de infinito, para el cual se sigue utilizando el término griego

¥peiron. Así, aplicó el ingenioso procedimiento del que hemos hablado más arriba: comparar el mencionado segmento con el área de una figura plana, cerrada, de lados rectos (polígono convexo) de área conocida. Esta forma de proceder sentó las bases de su método geométrico, que formó parte de sus técnicas de demostración junto a los métodos mecánicos y heurísticos (Dahan Dalmedico, A.; Peiffer, J. 1986: 170-174). La tradición geométrica de Arquímedes poseía una organización matemática sumamente rigurosa, a costa de recurrir a principios formales de inferencia en situaciones de regularidad. El método geométrico remite a un tipo particular de 6

demostración que parte de la finitud extremadamente pequeña, hasta converger en la infinitud integrada. Esto es lo que hoy se conoce como método de exhaución, perfeccionado por Eudoxo (Solis C. y Sellés M., 2005: 140). Arquímedes procedió de la siguiente manera: dividió de forma iterada el área del segmento en una cantidad muy grande, pero finita, de pequeños polígonos hasta llegar a ser casi unidimensionales (Mankievics R., 2000: 101). Pero estas divisiones no eran arbitrarias, sino que debían seguir alguna regularidad para poder relacionarse con las figuras de la iteración anterior. La regularidad consistía en que el área de cada par de triángulos que se obtenía en cada iteración era la cuarta parte del área del triángulo de la iteración anterior: de ahí surge 4/3. Esta gran cantidad de divisiones se considera, en tanto experimento abstractivo, infinita, y los polígonos resultantes se convierten, entonces, en entes unidimensionales, en este caso específico, en puntos. Pero este procedimiento no era concebible en ese entonces, en virtud del andamiaje matemático de la época, ya que devendría en una suma infinita, ¿Qué hizo Arquímedes? Evitó la situación mediante el método del doble absurdo, es decir, acotando el área por exceso y por defecto de modo tal que estas dos cotas coincidirían para obtener, así, el área buscada. Esto es: supuso que el valor del área es mayor que 4/3; intentó demostrarlo y llegó a un primer absurdo. Análogamente, supuso que el valor del área era menor que 4/3, y llegó al segundo absurdo. Conclusión: el valor del área debe ser indefectiblemente 4/3. Resulta lógico pensar que este método, que lleva ínsito el concepto de suma infinita, no haya sido aceptado pacíficamente por los sabios de entonces, como aclara el mismo Arquímedes en la misiva aquí presentada, pues hacerlo supone una magnitud infinita definida en un espacio acotado, cuestión concebible solo en la mente humana en tanto experimento de la razón, o ficción matemática, si se quiere. El procedimiento arquimediano es la base de lo que, en la jerga matemática, se conoce como “teorema del sándwich” o de la acotación. De esta manera,

¥peiron en tanto infinito se transforma en la resultante de un método, y es el número de polígonos con los que se puede cuadrar, en este caso, una parábola. Paradójicamente, una figura como esta, que es tan finita como cualquier otra figura no fractal, contiene una cantidad no numerable, es decir, infinita de polígonos. Estamos frente a un infinito contenido en algo finito, a un infinito acotado, lo que más tarde se denominará límite finito. Ya no es el infinito físico y cosmológico que todo lo contiene (perišcein), como en el caso de Anaximandro, sino a un infinito contenido. Una suerte de oxímoron o

7

contradictio in terminis: un ilimitado limitado. Después de todo, como bien afirma Olof Gigon (1985: 67) el concepto de lo ilimitado es un límite. §. El infinito en los siglos XVII, XVIII y XIX. El siglo XVII registra interesantes intentos de evitar, al igual que en la tradición griega, la noción de infinito, aunque hay excepciones no menores. Keppler y Cavalieri lo intentaron en relación con la Geometría, ya sea de áreas o de volúmenes. Ambos, no obstante, siguieron utilizando la exhaución. Pero se vieron irremediablemente cercados por el infinito. No utilizaron el doble absurdo de Arquímedes. Cavalieri introdujo la noción de indivisible, que intenta desplazar al infinito, aunque volviendo al método mecánico de Arquímedes, que no hemos tratado en este trabajo. John Wallis, en su “Dedicatio” de la obra Arithmetica infinitorum (1655: 257), se alejó de su predecesor Cavalieri al reintroducir y aceptar la idea de infinito y desplazar la de indivisible. A pesar de haber sido editor de las obras de Arquímedes, y de continuar con la aplicación de su método, Wallis ya no se resistió a incluir el concepto de infinito en sus desarrollos: de hecho introdujo en el cálculo, según la tradición, el conocido símbolo del ocho acostado. Lo aceptó de manera más natural, al punto que no se vio obligado a utilizar, como Arquímedes, el doble absurdo. Es así como esa suerte de horror al infinito comienza a atenuarse en virtud de un nuevo aparato matemático que poco a poco se va gestando. La noción de infinito termina imponiéndose y es una necesidad inevitable a la que se arriba tanto en el tratamiento de cuestiones geométricas como en el de divisiones de los números. Nuevamente, el infinito potencial de Aristóteles sigue orbitando en estas especulaciones. Isaac Barrow, predecesor de Newton y su mentor, sostuvo que las magnitudes geométricas eran entes producidos por el movimiento. Esta idea dio lugar a una nueva concepción de infinito, que pretendía dar respuesta a cuestiones físicas. En tal sentido, el infinito se interpreta como la variación del ritmo de cambio – por lo general el tiempo – de un punto que se desplaza sobre una curva. Aquí el infinito se presenta en la división de un intervalo de tiempo en que se desea analizar el desplazamiento del punto. Este intervalo se divide en una determinada cantidad de subintervalos, tratando de que su ancho tienda a 0 (infinitesimal) y por lo tanto el número de subintervalos tienda a infinito. Esta cuestión se formaliza y se sintetiza a través del concepto límite, que se utiliza para lo que hoy en día llamamos cálculo diferencial y también para el que denominamos integral: para el cálculo diferencial 8

buscamos el límite cuando el ancho del subintervalo tiende a 0. Al calcular ese límite, se analiza el comportamiento de una magnitud en un instante determinado. Para el cálculo integral buscamos el límite cuando el número de figuras (o cuerpos) inscriptas en una figura (cuerpo) tiende a infinito. Al calcular ese límite, de ser posible, se obtiene un área (volumen). Nuevamente, el infinito concebido en términos de límite. Con Newton, en 1687, se patentiza esa necesidad de acudir al cálculo infinitesimal, en un conocido pasaje de sus Principia: El momento de una generada es igual a los momentos de cada uno de los generadores multiplicados por los índices de las potencias de tales lados y por sus coeficientes en forma continua. (Momentum Genitæ æquatur momentis Terminorum singulorum generantium in eorundem laterum indices dignitatum & coefficientia continue ductis). (Libro II, Sección 2, lema 2).

Esto es lo que hoy se conoce y retraduce matemáticamente como derivada de un producto. También Leibniz aportó lo suyo al respecto, aunque sus especulaciones, muchas veces, se subordinan a su Monadología. De lo expuesto hasta aquí, se infiere que, en los siglos XVII y XVIII, la noción de infinito adquirió una nueva dimensión matemática, sin perjuicio de otras. De primitivas nociones espacio-temporales a nociones filosóficas, físicas, matemáticas y lógicas, el término infinito engrosó su campo semántico de manera fructífera y compleja. La idea siguió evolucionando hacia otras áreas de la matemática que surgieron en el siglo XIX. Específicamente nos referimos a la teoría transfinita desarrollada por Georg Cantor, que sostiene que existen distintas dimensiones de infinitos, hecho que manifiesta la diversidad del continuo matemático. Lo extraño de esta idea es que existe una clase de infinitos mayores o más grandes que otros, si es que cabe la cuantificación en este ámbito. Es decir: un infinito numerable y otro no numerable, relacionado con el continuo. El primero es aquel con el que se puede establecer una correspondencia con los números naturales, o lo que es lo mismo, con entes que se puedan concebir como “separables” y no así con los otros que revisten un cardinal mayor, es decir, con los cuales se puede establecer una correspondencia con los números reales. Aquí nos hallamos otra vez ante una concepción del infinito a la cual se le otorga un sentido ontológico dentro de la matemática; sentido que va más allá de un 9

concepto creado para el cálculo. Más aún: se constituyó en una teoría dentro de la matemática, que puso más distancia respecto de toda concepción filosófica o teológica (sin por ello, dejar de tener implicancias en estas esferas). Pero el surgimiento de esta teoría no logra instaurar una idea acabada del infinito: subyacen dilemas filosóficos que obligan a tomar decisiones y a adoptar fundamentos reñidos entre sí. Ello es así a tal punto que, a fines del Siglo XIX, aparecen distintas posiciones filosófico-matemáticas que abordan el tema de la infinitud, o concretamente, de los conjuntos, proponiendo diferentes niveles de formalización y de abstracción. De hecho, y aunque parezca solo una cuestión semántica, a esta altura resulta insuficiente hablar de infinito, debido a la carga teórica del término. La complejidad que adquirió el tratamiento del mismo hace imposible referirse a esta temática solo con ese término. De ahí la necesidad de hablar de infinitud, hiperónimo que incluye términos tales como infinito, transfinito, cardinales, continuos, conjuntos, numerabilidad y muchos otros que forman parte del lenguaje matemático moderno. Llámese integración de significados o especialización teórica, lo que sigue sucediendo con el campo semántico de infinito y sus derivados tiene una historia cuyas aristas hemos tratado de recuperar. En ella, los movimientos no son lineales ni llevan una dirección unívoca, lo cual, como esperamos haber mostrado, no anula nuestro recorrido.

Conclusiones. Hemos podido ver, en este breve pero arduo trayecto, un extenso proceso, que aún hoy en día, sigue en desarrollo. Desde la utilización metafórica de ápeiron en el lenguaje ordinario y poético, hasta la especialización que adquirió en las Matemáticas, este recorrido no se agota. Como hemos intentado exponer, la figura de Arquímedes se yergue como un pivote que, por un lado, recoge críticamente la tradición que lo precede (física, literaria y filosófica), y por el otro, funda los cimientos del cálculo infinitesimal moderno y contemporáneo. Esto, en otras palabras, supone un giro conceptual pocas veces registrado: de concebir el infinito como algo (sea lo que fuere) innumerable, ilimitado e inconmensurable, a entenderlo como un límite, como una realidad matemática acotada, comprendida en un intervalo, en el interior de una figura, es decir, en un espacio limitado y que, a su vez, limita. O, incluso, como una noción central en la 10

Teoría de Conjuntos. Los entretelones han sido expuestos de manera sucinta, y sin dudas, recortada. Paralelamente, hemos tratado de dejar en claro nuestra postura metodológica interdisciplinaria. Por eso es que abogamos por una renovación de los Estudios Clásicos, por una mayor apertura y diálogo (que, al menos en nuestro país no encuentra el desarrollo ni el incentivo deseables). Un diálogo que, más que trazar límites, borre fronteras monológicas y nos permita recordar que el trabajo conjunto no debe ser solo una expresión de deseo. Un diálogo entre Ciencias y Artes, entre “Humanidades” y “Exactas”, entre tradición y novedad. Solo así reconoceremos legados, herencias y deudas, y evitaremos ver en el presente la mera prefiguración del pasado. Se impone, por eso, un trabajo en equipo, y una nueva forma de encarar y concebir los Estudios Clásicos, pues, como bien dijo Bruno Snell (2007:531) hace ya más de treinta años, “el filósofo no debería menospreciar la ayuda del filólogo”. Agregamos: no solo el filósofo, sino cualquier hombre de Artes, Ciencias y Humanidades.x

Bibliografía.

a- Fuentes

ARQUÍMEDES, Tratados I. Comentarios. Traducción Paloma Ortiz García (2005). Madrid, Gredos. BARNES, J. (1992) Los presocráticos. Madrid, Cátedra BERNABÉ, A. (1988) De Tales a Demócrito. Fragmentos presocráticos. Madrid, Alianza Editorial. CORNAVACA, R. (2008) Presocráticos. Fragmentos I. Buenos Aires, Losada. ------------------------ (2011) Presocráticos. Fragmentos II. Buenos Aires, Losada. HEATH, T. (1897) The Work of Archimedes. Cambridge, The University Press. HEATH, T. (1912) The Method of Archimedes. Cambridge, The University Press.

11

HEIBERG J L (ed.) (1881) Archimedes Opera omnia cum commentariis Eutocii. Leipzig. Teubner. NEWTON, I. (1687) Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. London. Edición electrónica http://www.newtonproject.sussex.ac.uk KIRK, G. S., RAVEN, E. Y SCHOFIELD M. (19872) Los filósofos presocráticos. Madrid, Gredos.

Para el resto de las obras griegas, hemos utilizado las versiones del THESAURUS LINGUAE GRAECAE.

b- Textos de referencia:

ARMSTRONG, A. H. (1966) Introducción a la Filosofía Antigua. Buenos Aires, Eudeba. BARON, M.E. (1969) The Origins of the Infinitesimal Calculus. London, Pergamon. BENÍTEZ L.; ROBLES J.A. (1997) El problema del infinito: Filosofía y matemáticas. México. Universidad Autónoma de México. BURNET, J. (1958) Early Greek Philosophy. London, Adam & Charles Black. CORNFORD, F.M. (1988) Principium sapientiae. Madrid, Visor. DAHAN DALMEDICO, A.; PEIFFER, J. (1986)

Une histoire des

mathematiques. Paris. Éditions du Soleil. Págs. 170-174 GIGON, O. (1985) Los orígenes de la Filosofía Griega. Madrid, Gredos. GONZALEZ URBANEJA, P.M (2007) “El método mecánico de Arquímedes y las raíces históricas del Cálculo Integral” en La Historia de la Matemática en Ciencia en Acción). La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, Vol. 10.1, 215–220. HERBIG, J. (1997) La evolución del conocimiento. Barcelona, Herder. JACKENDOFF, R. (1983) Semantics and cognition. Cambridge, Mass., MIT Press. JAEGER, W. (1957) Paideia. México, Fondo de Cultura Económica. KAHN, C. H. (1994) Anaximander and the Origins of Greek Cosmology. Indianapolis, Hackett Publishing Company.

12

LAVINE, SH. (2005) Comprendiendo el infinito. México. Fondo de Cultura Económica. LLOYD, G.E.R. (1977) De Tales a Aristóteles. Buenos Aires, Eudeba. MANKIEVICZ, R. (2000) Historia de las Matemáticas. Barcelona. Paidós. RAMNOUX, C. (2002) “Los presocráticos”, en VVAA. La filosofía Griega. Bs As. Siglo XXI. Págs. 1-39. RUFINI, E. (1961) Il Metodo d'Archimede e le origine dell'analisi infinitesimale nell'antichità. Feltrinelli, Milán. SAMBURSKY, S. (1956) The physical world of the Greeks. London, Reutledge and Kegan Paul. SANTOS DOMÍNGUEZ, L. A.; ESPINOZA ELORZA, R. M. (1996) Manual de Semántica Histórica. Madrid, Síntesis. SARTON, G. (1965) Historia de la Ciencia. Buenos Aires. Eudeba. SNELL, B. (2007) El descubrimiento del espíritu. Estudios sobre la génesis del pensamiento europeo en los griegos. Barcelona, Acantilado. SOLIS, C.; SELLÉS M. (2005) Historia de la Ciencia. Madrid. Espasa Calpe. VERNANT, J. (1993) Mito y pensamiento en la Grecia Antigua. Barcelona, Ariel. WILSON, N.: The Archimedes Palimpsest, A Progress Report. Lincoln College Oxford. (http://www.archimedespalimpsest.org/scholarship_wilson1.html) ZUMTHOR, P. (1994) La medida del mundo. Madrid, Cátedra.

13

Anexo I

Nota sobre las fuentes arquimedeanas.

La obra de Arquímedes, reproducida en varias ocasiones por monjes y eruditos, fue uno de los pilares científicos de la antigüedad. Descansa en diversas fuentes que le han permitido brindar su legado a través de los tiempos. Es de esta manera como han llegado a nuestros días algunas de estas fuentes, basadas en traducciones, de las cuales consideramos la más relevante e importante la que ha realizado el matemático y filólogo Tomas Little Heath, que no solo ha traducido varios de estos manuscritos del griego antiguo al inglés sino al lenguaje matemático, con la simbología matemática que hasta el día de hoy se utiliza. En la edición de Heath, The work of Archimedes de 1897, puede apreciarse el magnífico trabajo del siracusano. Las fuentes halladas que han permitido hacer esta labor tienen un origen común: nacen a partir de la transcripción de los trabajos de Arquímedes, presumiblemente copiados de un solo manuscrito que data del siglo X, que dio origen a otros manuscritos de los cuales existen, según Heath, los siguientes:  El manuscrito F (Códice Florentinus)  El manuscrito B (CódiceParisinus 2360)  El manuscrito C (Códice Parisinus 2361) La datación de estos manuscritos es de finales del siglo XV y del siglo XVI. De ahí han recorrido un camino de aproximadamente tres siglos, sujetos a traducciones, agregado de notas, desapariciones con apariciones posteriores, lo cual se transformó en un apasionante objeto de estudio de los filólogos del siglo XIX y XX. En referencia a los filólogos de esta época, cabe destacar la actuación de John Ludwig Heiberg (cuyas ediciones hemos seguido para este trabajo), quien no solo sirvió de fuente a la mencionada obra de Heath, sino que realizó un gran hallazgo en un viaje a Constantinopla en 1906: el conocido “Palimpsesto de Arquímedes” en el Metochion; un manuscrito que ha tenido una historia novelesca desde su origen hasta nuestros días. Pero Heiberg solo fotografió este manuscrito, sin apoderarse de él.

14

Una de las consecuencias de haber hallado el palimpsesto, fue que Heath publicara en 1912, otra obra: The method of Archimedes donde en su título aclara que es un suplemento de The work of Archimedes, en virtud del mencionado descubrimiento de Heiberg. De esta manera, el corpus queda denominado formalmente: Codex rescriptus Metochii Constantinopolitani S. Sepulcrimonasterii

Hierosolymitani 355, 4to. Los

trabajos de la cuadratura de la parábola se encuentran en los códices F, B y C; en el palimpsesto, se hace referencia a esta cuadratura en cuanto a la demostración a través del método mecánico. Lo expuesto hasta aquí sobre las fuentes tiene por objeto, de manera escueta, ordenarlas temporal y espacialmente según su aparición, sobre todo por el descubrimiento del palimpsesto que en cierta manera opacó las otras conocidas anteriormente, y creó la ilusión de que esta es la única fuente importante que versa sobre el trabajo de Arquímedes. Sin embargo, esto no es así. Los trabajos de Arquímedes tienen en común que en cada uno de ellos se tratan varios temas, y que ninguno refiere a uno solo, a pesar de lo que puedan decir los títulos (habitualmente alógrafos y posteriores).

15

Anexo II La noción de infinito en Grecia.

APEIRON Grecia Campo semántico común: Inconmensurable, interminable, inabarcable, incomprensible Cualitativo

Cuantitativo

Que no tiene caracteres determinables

Que no tiene extensión o comprensión determinables

¿Cómo es, qué atributos tiene, de qué modo se manifiesta?

¿Cuánto mide, hasta dónde se extiende, cuántos individuos?

indeterminado, indefinido sin atributos positivos

Ilimitado, inconmensurable sin fronteras visibles incontable Temporal o espacial (sin límites, o sin límites precisos) en cuanto al espacio Inmenso “Vasto”

en cuanto al número Numeroso “Cuantioso”

en cuanto al tiempo Eterno “Imperecedero”

(“muy extenso: tanto, que la vista no alcanza a ver los límites”)

(“muchos: tantos, que resultan incontables a simple vista”)

(“duradero: tanto, que no se puede esperar a que termine”)

infinito

16

Anexo III El límite en el cálculo infinitesimal

i

Este prejuicio, muy presente aún en nuestras Casas de Altos Estudios, no es más que “un artificioso retomar significaciones prístinas”. (Gigon, 1962: 139). ii Véanse especialmente Il.: I, 350; VI, 446; XXIV, 342; XXIV, 545; XXI, 776. Od.: I, 98; IV, 510; V, 46; VII, 286; VIII, 340; IX, 118; X, 195; XI, 621; XIX, 174. En Hesíodo, se registra el término aplicado, también, al mar y la tierra. Teog., 109,187, 678,878. Trabajos y días, 160, 487. iii Nos hemos basado en los estudios de Lakoff y Johnson (1986), así como en los de Santos Domínguez y Espinosa Elorza (1996) citados en la Bibliografía. iv Platón opone claramente el ¥peiron al émpeiron Phaedr.239c; Gorg. 484c9 v Para las relaciones entre las categorías de espacio y tiempo, resultan interesantes los aportes de Paul Zumthor (1994), págs.13-30. Remitimos a la Bibliografía. vi Los adjetivos neutros, en las lenguas indoeuropeas, tienen propiedades que los acercan a los adverbios y a los sustantivos abstractos. vii Thaet. 183b5, 156a6 respectivamente. También en Soph. 256e6. Ilimitado: Parm. 137d7. Resp. 373d10. viii Hoy en día, esto es así ya que la única sección del cono posible de cuadrar es la parábola, mientras que el círculo, la elipse y la hipérbola difieren en magnitudes inconmensurables, las dos primeras en pi y la otra en e, lo que tornan imposible su cuadratura. ix Un segmento de parábola es el área encerrada por un arco de parábola que contiene al vértice y una recta secante en dos puntos distintos del vértice. Resulta interesante, asimismo, que Arquímedes no utiliza la palabra parábola, sino una expresión que podría traducirse como “segmento ortogonal del cono”. x Alberto Bernabé (1998: 30-34) se expresa a este respecto de manera clara y concisa. Remitimos al lector a sus páginas y reflexiones.

17