˜ ENSENANZA
REVISTA MEXICANA DE F´ISICA E 55 (1) 57-60
JUNIO 2009
Un tratamiento alternativo para el an´ alisis de la colisi´ on el´ astica bidimensional no relativista entre dos esferas r´ıgidas con par´ ametro de impacto dado. Sttiwuer D´ıaz-Sol´ orzano y Luis Gonz´alez-D´ıaz Centro de investigaciones de Matem´ atica y F´ısica, Dpto. Matem´ atica y F´ısica, Instituto Pedag´ ogico de Caracas, UPEL. Av. P´ aez, Caracas 1021, Venezuela e-mail:
[email protected],
[email protected] Recibido el 19 de junio de 2008; aceptado el 6 de febrero de 2009 Presentamos un novedoso tratamiento para el c´ alculo de las velocidades despu´es de la colisi´ on el´ astica bidimensional de dos ~ el cual es invariante ante esferas r´ıgidas con un par´ ametro de impacto dado. Para tal fin, definimos el vector de colisi´ on A, ~ conduce a una forma alternativa de la regla de colisi´ transformaciones de Galileo. El vector A on de Newton. Descriptores: Colisi´ on el´ astica, regla de colisi´ on; par´ ametro de impacto; mec´ anica cl´ asica. We present a novel treatment for the calculation of the speeds after a two-dimensional elastic collision of two rigid spheres with parameter of given impact. For this, we define the collision vector, which is invariante before transformations Galilean. The vector leads to an alternative form of the rule of collision of Newton. Keywords: Elastic collision; collision rule; impact parameter, classical mechanics. PACS: 01.55+b; 45.20df; 45.20dh; 45.50.Tn
~ Finalmente, en la secci´on 4 se establece una t´ecnica A. geom´etrica para la determinaci´on del vector de colisi´on.
1. Introducci´ on El t´opico de colisiones el´asticas, enmarcado en la conservaci´on de la cantidad de movimiento y conservaci´on de la energ´ıa cin´etica, suele ser tratado en los textos b´asicos [1–7] en forma elemental. All´ı se consideran colisiones unidimensionales (colisiones frontales) y luego incorporan el tratamiento bidimensional (colisiones oblicuas) por separado, pudi´endose estudiar colisiones frontales como un caso particular de las colisiones oblicuas. Aun en textos avanzados se siguen esta estrategia de ense˜ nanza y pocos [8] orientan al lector a una simplificaci´on del problema. En tal sentido, consideramos existe un vac´ıo. Para el an´alisis de colisiones el´asticas oblicuas frecuentemente se ense˜ na al estudiante una estrategia de resoluci´ on orientada a la descomposici´ on cartesianas de la ley de conservaci´on de la cantidad de movimiento, lo cual induce al estudiante a realizar operaciones algebraicas sin reflexionar sobre los aspectos b´asicos de la interacci´on; es decir, a las fuerzas involucradas en la interacci´on de los cuerpos colisionantes. Por consiguiente, en este trabajo se propone un formalismo para la b´ usqueda de las velocidades despu´es de una colisi´on el´astica para dos esferas r´ıgidas en dos dimensiones con par´ ametro de impacto dado, sin hacer uso de coordenadas, analizando s´olo el proceso de interacci´on, durante la colisi´on. Este art´ıculo est´a organizado de la siguiente manera: en la Sec. 2 se hace una breve descripci´on del par´ ametro de impacto y del proceso de interacci´on entre dos esferas r´ıgidas; en la Sec. 3 se plantea un procedimiento vectorial para la obtenci´on de las velocidades despu´es de un choque el´astico. En dicha secci´on se propone una forma alternativa y novedosa para la regla de colisi´on de Newton a trav´es de la definici´on del vector de colisi´on
2. Par´ ametro de impacto entre dos esferas r´ıgidas y el proceso de interacci´ on durante la colisi´ on Para la colisi´on de dos objetos con extensi´ on se debe tener en cuenta su geometr´ıa, por tal raz´on se introduce el par´ ametro de impacto, denotado por la letra b. La magnitud de esta cantidad indica la menor distancia entre dos rectas, tales que una de ellas queda determinada por la direcci´on de incidencia y la otra es paralela a ´esta y pasa por el centro de la esfera que supondremos inicialmente en reposo (ver Fig. 1). En general, el par´ ametro de impacto se mide en un sistema de referencia relativo a una de las esferas. La direcci´on de incidencia queda determinada por una recta paralela a la velocidad relativa de las esferas en movimiento. En la Fig. 1 se muestra la situaci´ on previa a la colisi´on entre dos esferas con par´ ametro de impacto dado, donde se observa que el centro de la esfera de radio R1 est´a por encima del centro de la esfera de radio R2 (b < 0). Sin embargo, puede presentarse la situaci´ on donde los centros se encuentren sobre una misma l´ınea (b = 0), o en la situaci´ on inversa a la descrita inicialmente (b > 0). Esfera en movimiento
R1
~ V
Direcci´ on de incidencia
b
R2
Esfera en reposo
Figura 1. Par´ ametro de impacto b para la colisi´ on de dos esferas.
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58 ~ m1 V ~ ∆t ∆~ p1′ = N b
R1 +R2
3. Colisi´ on el´ astica
~′ m1 U 1 θ1′
R1
b 0 (derecha).
Las velocidades mostradas en (5) pueden ser expresadas en el sistema Laboratorio (LAB), usando las trans~′ = U ~ i −V ~2 ; V ~ =V ~ 1 −V ~2 y V ~′ =V ~CM −V ~2 formaciones U i CM ~ ~ donde Vi y Ui son las velocidades antes y despu´es de la colisi´on para la esfera i-´esima en el sistema LAB. As´ı, ~ i = 2V ~CM − V ~i + (−1)i+1 µ A ~ con i = 1, 2 . U mi
(6)
~ inalterado por ser coquedando el vector de colisi´on A variante galileana. La forma concreta de ´este vector se expone en la siguiente secci´on.
def n bψ = (2Vb · n b)b n − Vb = 2 cos θ2′ n b − Vb .
(10)
El vector de colisi´on (9) puede interpretarse ~ | tal geom´etricamente formando un c´ırculo de radio |V como se muestra en la Fig. 3. El ´angulo del versor n bψ respecto a la direcci´on de incidencia es denotado por ψ, encontr´andose en el semiplano inferior (superior) si b < 0 (b > 0) y sobre la direcci´on de incidencia cuando b = 0. El ´angulo que forma el vector de colisi´on respecto a la direcci´on de incidencia es representado por θA . El objetivo es determinar las direcciones de los vectores n ˆψ ~ respecto de la direcci´on de incidencia. yA Tomando los ´angulos internos del tri´ angulo is´osceles circunscrito en el c´ırculo de la Fig. 3 izquierda (derecha), se tiene que |ψ| = 2|θA | − π
(ψ = π − 2θA ) ,
(11)
y de acuerdo a la regla de colisi´on de Newton (3), el vec~ es perpendicular a n tor de colisi´on A b, resultando que 2|θA | = 2|θ2′ | + π
(2θA = π − 2θ2′ ) .
(12)
Al sustituir (12) en (11), queda
4. Vector de colisi´ on ~ es orDe la Ec. (3) se tiene que el vector de colisi´on A togonal a la velocidad de la esfera de masa m2 despu´es de la colisi´on, lo cual nos permite escribir ~=B ~ − (B ~ ·n A b)b n,
(7)
~ debe ser escogido de manera que la donde el vector B energ´ıa cin´etica se conserve en S [10]. Con las velocidades expresadas en (5) se determina la energ´ıa cin´etica despu´es de la colisi´on, resultando 1 h ~ ~ 2 m1 ~ 2 i (8) − V ) + m2 V . K ′ = µ (A 2 Sustituyendo (7) en la expresi´ on (8), se obtiene 1 ~ ~ ~ ), K ′ = K0′ + µA · (B − 2V 2 observ´andose que la energ´ıa cin´etica se conserva si el u ´ltimo t´ermino se anula. Esto se logra de tres maneras ~ = ~0), (II) diferentes: (I) el vector de colisi´on se anula (A ~ ~ eligiendo B = 2V o (III) el vector de colisi´on es perpen~ − 2V ~ . De la ecuaci´ dicular al vector B on (3), en una dimensi´on, se tiene la restricci´on (I), coincidiendo con el resultado presentado por Millet [12]. En dos dimen~ − 2V ~ es proporcional a n siones, seg´ un (3), B b, por lo que
ψ = 2θ2′ .
(13)
Este resultado puede obtenerse anal´ıticamente, eligiendo una base ortonormal derecha {Vb , Vb⊥ } de manera que al sustituir n b = cos θ2′ Vˆ + sen θ2′ Vˆ⊥ en (10), se obtenga n bψ = (2 cos2 θ2′ − 1)Vˆ + 2 sen θ2′ cos θ2′ Vˆ⊥ , = cos 2θ2′ Vˆ + 2 sen 2θ2′ Vˆ⊥ .
= cos ψ Vˆ + sen ψ Vˆ⊥ , donde hemos tomado a ψ como 2θ2′ , observ´ andose que el vector de incidencia queda representado gr´aficamente en el semiplano inferior (superior) del c´ırculo mostrado en la Fig. 3 cuando b < 0 (b > 0).
5. Discusi´ on La t´ecnica presentada aqu´ı no requiere el uso de coordenadas para la obtenci´on de la velocidades despu´es de la colisi´on. Observ´andose que para colisiones unidimensio~ = ~0; situaci´ nales (b = 0) el vector de colisi´on es nulo A on que se presenta en algunos textos [2, 6] cuando resuelven la conservaci´on de la energ´ıa. En dichos textos, no se enfatiza que tal situaci´ on se satisface solamente en problemas unidimensionales, dando la ilusi´on de que la t´ecnica
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empleada es de validez general. Para colisiones oblicuas (b 6= 0) la estrategia de ense˜ nanza utilizada en diversos textos [1, 3] hacen uso de la descomposici´ on cartesianas de la conservaci´on de la cantidad de movimiento, lo cual puede evitarse usando los resultados (6) y (9). La Ec. (6) pone de manifiesto el proceso de interacci´on en el instante de la colisi´on. La Ec. (6) coincide con los resultados presentados en la Ref. 8. con la salvedad de que
1. D. Holliday y R. Resnick, Fisica, Primera parte. (Compa˜ nia Editorial Continental S.A., Mexico, 1984). 2. I.V. Sav´eliev, Curso de F´ısica General, Tomo 1. (Editorial MIR, Mosc´ u, 1989). 3. R. Serway y J. Jewett, F´ısica para ciencias e ingenier´ıa, Volumen 1. (International Thomson, M´exico, 2005). 4. M. Alonso y E.J. Finn, F´ısica, Volumen 1, (Fondo Educativo Interamericano S.A., Caracas, 1976). 5. K.R. Symon, Mechanics, (Addison-Wesley Publishing C.O., 1960). 6. J. Norwood Jr, Mec´ anica Cl´ asica a Nivel Intermedio, (Editorial Prince-Hall International, Bogot´ a, 1981).
en ´esta no se da el versor de incidencia n ˆ ψ , a diferencia del presente trabajo, que muestra una expresi´ on anal´ıtica para dicho versor. El proceso de linealizaci´on del sistema de Ecs. (2) conduce naturalmente a la definici´on del vec~ el cual resulta ser invariante Galileo y tor de colisi´on A, estar directamente conectado con la regla de colisi´on de Newton.
7. R. Spiegel Murray, Hill,Caracas, 1989).
Mec´ anica Te´ orica,
(Mc Graw
8. L. Landau y E. Lifshitz, Curso Abrebiado de Fisica Te´ orica, Libro I. (Editorial MIR, Mosc´ u, 1987). 9. L. Tai Chow, Classical Mechanics, (Editorial Jhon Wiley & Sons, New York,1987). 10. T. Jordan, Am. J. Phys, 48 (1980) 676. 11. F. Crawford, Am. J. Phys, 57 (1989) 121. 12. L. Edward Millet, Phys. Teach., 36 (1998) 186.
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