´ UN MODELO MACROECONOMICO BVAR DE ´ PARA LA ECONOM´IA VENEZOLANA PREDICCION Daniel Barr´aez1,2 , Wendy Bol´ıvar1 y Virginia Cartaya1 Banco Central de Venezuela1 Universidad Central de Venezuela2
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[email protected] Resumen En este trabajo se plantean y comparan varios modelos VAR bayesianos como herramientas para el an´ alisis y toma de decisiones en materia de pol´ıtica econ´ omica en Venezuela. Se estiman tres tipos de modelos de vectores autoregresivos bayesianos (BVAR): en el primero s´ olo se utiliza la prior de Minnesota propuesta por Litterman, en el segundo se simula con el muestreador de Gibbs las densidades a posteriori de los par´ ametros del BVAR reducido, y el tercero un modelo con coeficientes variables en el tiempo. Se realizan predicciones sobre las variables objetivos de la pol´ıtica econ´ omica: PIB, inflaci´ on, demanda de dinero, consumo privado e importaciones privadas. Se compara el desempe˜ no predictivo a diferentes horizontes de tiempo. Los resultados obtenidos sugieren que el desempe˜ no predictivo de los BVAR en todas las modalidades es superior a los VAR tradicionales. Clasificaci´ on JEL: C11, C32, C51, C53, E27. Palabras clave: VAR, BVAR, Muestreador de Gibbs, prior de Minnesota, filtros de kalman, fan charts. Abstract In this paper we consider and compare VAR bayesian models as a tool for analysis and decision-making in Venezuelan economy. We estimate three kinds of bayesian autoregressive vectors (BVAR): the first one with the Minnesota prior, the second one simulates a posteriori densities using the gibbs sampling, and the third one a time-varying coefficient model. We forecast the main variables of economic policy: GDP, inflation, demand of money, private consumption and private imports. Then we compare the predictive performance through time horizons. The results suggest that the predictive performance of bayesian VAR models, is higher than traditional VAR. JEL Classification: C11, C32, C51, C53, E27. Keywords: VAR, BVAR, Gibbs Sampling, Minnesota prior, kalman filters, fan charts.
1.
Introducci´ on
Los Vectores Autoregresivos (VAR) introducidos por Sims (1980) se han caracterizado por ser herramientas de gran utilidad en el modelaje conjunto de variables macroecon´ omicas, en especial para fines predictivos. Sin embargo, este tipo de modelos no han estado exentos de ciertos inconvenientes, entre ellos, se puede destacar el problema de la sobreparametrizaci´on, ya que los VAR, involucran a´ un para modelos que pueden considerarse peque˜ nos, una cantidad considerable de par´ametros a ser estimados. Sin embargo, es importante se˜ nalar que por lo general en macroeconom´ıa se disponen de pocas observaciones para estimar tales par´ametros, y muchas veces tales observaciones est´ an perturbadas por problemas de medici´on, torn´andose estos en modelos sobreparametrizados, de tal manera que, en muchas ocasiones se tienen pocos datos para estimar la gran cantidad de par´ametros, teniendo como consecuencia un pobre desempe˜ no predictivo. A fin de eludir tal problema, Litterman (1985) en su trabajo pionero utiliz´o el enfoque bayesiano en la estimaci´ on de los VAR incorporando conocimiento previo con respecto a los par´ ametros, independiente de la informaci´on muestral, estos modelos se conocen en la literatura como vectores autoregresivos bayesianos (BVAR). Desde entonces, se ha desarrollado una intensa actividad de investigaci´on en torno a los modelos BVAR, entre estos trabajos, vale la pena destacar los de Doan, Litterman, y Sims (1986) sobre BVAR con coeficientes variables en el tiempo, Sims y Zha (1998) sobre BVAR estructurales, Ciccarelli y Rebucci (2003), Ballabriga, Alvarez, y Jare˜ no (2003) con un modelo BVAR para la econom´ıa espa˜ nola, y Brandt y Freeman (2006). Una de las referencias para latinoam´erica mas recientes es el trabajo de Llosa, Tuesta, y Vega (2005), quienes realizan un modelo BVAR predictivo para la inflaci´on peruana, considerando un r´egimen de metas de inflaci´on. En este trabajo se parte de un modelo de demanda agregada donde la cantidad de bienes demandados en la econom´ıa, esta determinada por el consumo, la inversi´on, el gasto p´ ublico y las exportaciones. El prop´osito es realizar predicciones para las variables objetivos de la pol´ıtica econ´omica como lo son el Producto Interno Bruto y la inflaci´ on. Adicionalmente, se incorporan otras variables, como el consumo, las importaciones, la demanda de dinero, el tipo de cambio, las tasas de inter´es y el d´eficit fiscal. El modelo es estimado mediante cuatro t´ecnicas: Un VAR sin restricciones, un BVAR con la prior de Minnesota, un BVAR con prior de Minnesota cuyas densidades a posteriori son simuladas por el Muestreador de Gibbs, y un BVAR con coeficientes variables en el tiempo estimado mediante el uso de filtros de Kalman. Posteriormente, se compara el desempe˜ no predictivo de estos modelos, mediante el error medio cuadr´atico, el coeficiente U de Theil y los fan charts. En general, los resultados obtenidos de
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las proyecciones favorecen el uso del enfoque bayesiano en la estimaci´on de modelos macroecon´ omicos con fines predictivos para la econom´ıa venezolana. El documento tiene la siguiente estructura: en la segunda secci´on se presenta el planteamiento del modelo y algunos hechos estilizados de la econom´ıa venezolana; en la tercera secci´ on se realiza la descripci´on metodol´ogica de los tres modelos BVAR, en la cuarta secci´ on se realiza el planteamiento del modelo emp´ırico, se presentan los resultado de las proyecciones y se compara el rendimiento predictivo de los modelos.
2. 2.1.
Planteamiento del Modelo Algunos hechos estilizados de la econom´ıa venezolana
Durante los u ´ltimos 15 a˜ nos la econom´ıa venezolana ha experimentado algunos fen´omenos at´ıpicos, desde crisis financiera a largos per´ıodos de inestabilidad pol´ıtica, que han ocasionado cambios en la pol´ıtica econ´omica, tales como la puesta en funcionamiento de m´ ultiples y recurrentes reg´ımenes cambiarios, as´ı como la fijaci´on de controles de algunos rubros que componen la canasta de bienes para el c´alculo del ´Indice de Precios al Consumidor. M´as recientemente se ha observado un sostemido incremento en los precios del petr´oleo, junto con un riguroso sistema de administraci´on de divisas que afecta directamente al sector importador. La crisis en el sector financiero tuvo lugar en el a˜ no 1994, extendi´endose sus efectos hasta el a˜ no 1996, per´ıodo signado por una ca´ıda en la actividad econ´omica producto de la contracci´ on en el sector no petrolero. Aunado a esto, el a˜ no 1996 estuvo marcado por un fuerte incremento en el nivel de precios, con lo cual la inflaci´on se ubic´o en 103.2 % al cierre del a˜ no, el mayor nivel inflacionario alcanzado durante el per´ıodo en estudio (ver figura 1).
Figura 1: Inflaci´on XIII Reuni´ on de la Red de Investigadores de Bancos Centrales del Continente Americano, pp. 1–28
Un modelo macroecon´ omico BVAR para la econom´ıa venezolana
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A partir del a˜ no 1997, aunque con altibajos, se observan algunos per´ıodos de recuperaci´ on de la econom´ıa venezolana; hasta el a˜ no 2002, el que se experiment´o una fuerte contracci´ on de la actividad econ´ omica, como resultado de la paralizaci´on en la producci´on del sector petrolero. El sector no petrolero se vio influenciado con esta medida, con una disminuci´ on generalizada en todas sus actividades, con lo cual en el 1er trimestre hubo una contracci´ on de 27, 8 % en la producci´on (ver figura 2).
Figura 2: Producto interno bruto En el primer trimestre del a˜ no 2002 entra en vigencia el sistema de libre flotaci´on del tipo de cambio en sustituci´ on del sistema de bandas cambiarias, que se ven´ıa ejecutando desde el a˜ no 2000, transfiriendo as´ı a las pol´ıticas fiscal y monetaria la responsabilidad conjunta de desempe˜ nar un papel esencial en la estabilidad de los precios internos. En el a˜ no 2003 fue adoptado un r´egimen de administraci´on de divisas (RAD) o control de cambios hasta la actualidad, cre´andose la Comisi´on de Administraci´on de Divisas (CADIVI), poniendo l´ımites a la libre movilidad de capitales. Adicionalmente, se han ejecutado dos devaluaciones durante el tiempo en el cual el RAD ha estado en vigencia (ver figura 3) Durante los siguientes dos a˜ nos se registr´o un proceso de desaceleraci´on en la inflaci´on y un crecimiento en la actividad econ´omica del pa´ıs. Sin embargo para el a˜ no 2006 se registr´ o nuevamente un aumento en la inflaci´on debido a la insuficiencia de la oferta frente al incremento de la demanda agregada, no obstante, la econom´ıa venezolana mantuvo por decimotercer trimestre consecutivo un crecimiento de su actividad econ´omica, paralelamente los precios de la canasta del crudo venezolano se mantienen en alza. Finalmente, el a˜ no 2007 cerr´o con una aceleraci´on en la inflaci´on de un 22,5 %, como se puede apreciar en la figura 1.
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Figura 3: Tipo de Cambio Nominal
2.2.
Selecci´ on de las variables
El punto de partida de este trabajo lo representa un modelo b´asico de demanda agregada, representado por los siguientes sectores ks +3 Sector Fiscal bj NNN KS p 4< NNN ppp p NN p NNN pppp Np pppNNNNN p p NNN pp NN ppp p NN "* p t| p s k +3 Sector Real Sector Monetario-Precios Sector Externo
KS
Dentro de estos sectores encontramos variables end´ogenas que se determinan dentro de la econom´ıa, y son susceptibles de ser manipuladas, y variables ex´ogenas que no dependen del modelo y se determinan fuera de su entorno. Este conjunto de variables puede ser agrupado matricialmente y modelado a trav´es de un modelo de Vectores Autoregresivos (VAR). No obstante, todas las ventajas que se introducen al considerar modelos mulrivariantes, se genera un problema adicional, el de la sobreparametrizaci´on; no desde˜˜ nable en un universo de series econ´omicas de corta data. Es as´ı, que surge la necesidad de restringir el gran n´ umero de variables que caracterizan los diferentes sectores de nuestra econom´ıa, a unos pocas de mayor relevancia. En la selecci´ on inicial de las variables fueron tomadas en cuenta, por una parte, aquellas que son objeto de inter´es en la pol´ıtica econ´omica, espec´ıficamente, el creciemiento econ´ omico, la inflaci´ on y la balanza comercial; y algunos de los determinantes XIII Reuni´ on de la Red de Investigadores de Bancos Centrales del Continente Americano, pp. 1–28
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fundamentales de las mismas. Se tom´o la variaci´on del Producto Interno Bruto (PIB) como la medida del crecimiento econ´omico, la variaci´on del ´Indice de precios al consumidor del ´ area metropolitana de Caracas (IPC) como la corresopndiente tasa de inflaci´on del pa´ıs, y las importaciones privadas como un indicador de la posici´on parcial de la cuenta comercial. Por regla general, para proyectar el gasto total de la econom´ıa, son estimados cada uno de los componentes del Producto Interno Bruto (PIB) de manera separada y posteriormente, son agregadas las proyecciones, en este modelo , se proyectan el PIB, el consumo privado y las importaciones privadas de forma separada. Finalmente, fueron consideradas variables que, seg´ un la teor´ıa econ´omica podr´ıan estar explicando el comportamiento de los precios y del producto, espec´ıficamente, como lo son la demanda de saldos reales, el tipo de cambio , las tasas de inter´es y el d´eficir financiero dle sector p´ ublico. En el siguiente esquema se presentan las variables que conforman el modelo separadas por sectores y clasificadas de acuerdo a su participaci´on en el modelo (end´ ogena o ex´ ogena). SECTOR
VARIABLES ENDOGENAS
VARIABLES EXOGENAS
Indice de precios al consumidor puntual del mercado no controlado
Sector Monetario Precios
ii4 iiii i i i ii
/ M1 Real ZZZZZZZZ ZZZZZZZZ ZZZZZZZZ ZZZZZZZZ ZZZZZZZZ Z-
Tasas de inter´ es pasivas a 90 d´ıas de los 6 principales bancos del pa´ıs
Producto Interno Bruto
fff3 fffff f f f f fff Sector Real X XXXXX XXXXX XXXX+
Consumo Privado
Importaciones Privadas
Precios de realizaci´ on del petr´ oleo
b1 ggg3 bbbbbbbbbb ggggg bbbbbbbbbbbbbbbbbbb g g g g gbgbbbbbbbbbbb Sector Externo \\\\\\\ \\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\ \\\\\\\-
Sector Fiscal
Tipo de cambio puntual real
/ D´eficit financiero del gobierno central con respecto al PIB
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3.
Aspectos Metodol´ ogicos
En esta secci´ on se presentan algunos aspectos metodol´ogicos de los modelos bayesianos: la prior de Minnesota, la estimaci´on a posteriori, complementado con la inclusi´ on del muestreador de gibbs y los filtros de kalman. Un VAR de orden p en su forma mas simple tiene la siguiente representaci´on, yt = m + φ1 yt−1 + φ2 yt−2 + . . . + φp yt−p + εt ,
(1)
donde: - yt es un proceso estacionario. - m ∈ Rk , un vector columna de constantes. - p ∈ N es el n´ umero de rezagos de la variable. - φi , matriz de coeficientes de dimensi´on k × k para i = 1, . . . , p. - εt ∈ Rk ∼ N (0, Σ) es un ruido blanco, tal que: ( E(εt ) = 0 y E(εt ε0s ) =
Σ, si s = t; → − 0 , sino,
con Σ una matriz sim´etrica definida positiva, εt es un vector de residuos o shocks. Cada ecuaci´ on del VAR se expresa de la siguiente manera:
yi,t = mi +
p X k X
φsi,j yj,t−s + εi,t
(2)
s=1 j=1
El modelo VAR se estima mediante el m´etodo de m´axima verosimilitud condicional, o bien mediante el m´etodo de m´ınimos cuadrados generalizados, es decir, el modelo se estima s´ olo con la informaci´ on muestral. Para eludir los problemas de sobreparametizaci´on propios de los VAR, en trabajos como los de Litterman (1985) y Doan, Litterman, y Sims (1986) han incluido en la estimaci´ on de los par´ ametros de los VAR informaci´on previa que se posee sobre los mismos, esto se refiere a supuestos que se tienen acerca de los posibles valores de los par´ametros a ser estimados, independientemente de la informaci´on que proviene de la muestra. XIII Reuni´ on de la Red de Investigadores de Bancos Centrales del Continente Americano, pp. 1–28
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3.1.
7
Enfoque Bayesiano
La inclusi´ on de informaci´ on previa en la estimaci´on de los modelos, es lo que se conoce en la literatura como enfoque bayesiano, en ese sentido es importante recordar el Teorema de Bayes. Sea θ el par´ ametro (una variable aleatoria), y X la muestra, entonces, π(θ|X) =
- π(X) =
k P
π(X|θ)π(θ) , con π(X)
π(X|θj )π(θj ) es una constante de normalizaci´on.
j=1
- π(X|θ) es la densidad muestral o verosimilitud. - π(θ) es la densidad de los par´ametros, contiene toda la informaci´on sobre θ previa o independientemente de los datos, por eso suele denomin´arsele tambi´en densidad a priori. - π(θ|X) denominada densidad a posteriori, es la densidad de los par´ametros dada la muestra. En el enfoque bayesiano, a diferencia del enfoque frecuentista, el par´ametro θ no se considera como una constante, sino como una variable aleatoria, y es por eso que tiene una densidad π(θ), y es justamente esta densidad a priori la que introduce la incertidumbre en el modelo. La estimaci´ on de los par´ ametros de los VAR bajo este enfoque bayesiano es lo que se conoce como Vectores Autoregresivos Bayesianos (BVAR).
3.2.
Prior de Minnesota
En la d´ecada de los ochenta Litterman presenta por primera vez su Modelo VAR Bayesiano, el cual tuvo ocasi´ on de implementar durante muchos a˜ nos como investigador del Federal Reserve Bank of Minneapolis (Minnesota), a fin de realizar predicciones de variables macroecon´ omicas. De all´ı que a la densidad a priori propuesta por Litterman suele ser llamada en la literatura como Prior de Minnesota. Para formular la densidad a priori, Litterman parte de los siguientes supuestos con respecto a las series macroecon´ omicas: - Se supone que las series macroecon´omicas contienen una ra´ız muy cercana a uno en su representaci´ on autoregresiva. Acerca de lo cual se tiene evidencia emp´ırica. XIII Reuni´ on de la Red de Investigadores de Bancos Centrales del Continente Americano, pp. 1–28
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- Los valores mas recientes de una serie contienen mas informaci´on de relevancia para el valor actual de la serie que los valores pasados de la misma, es decir, los coeficientes que acompa˜ nan a los valores rezagados de una determinada variable explicativa tendr´ a mayor probabilidad de acercarse a cero en la medida que aumenta el n´ umero de rezagos. Esta convicci´on es lo que esta detr´as de la practica convencional de cortar abruptamente los rezagos. - De cara al pron´ ostico de una determinada variable son de mayor utilidad sus propios valores rezagados que otras variables explicativas rezagadas. Algo bien conocido en la practica de los pron´ osticos macroecon´omicos. En base a estos supuestos Litterman propone que una aproximaci´on razonable para el comportamiento de una variable econ´omica es un paseo al azar alrededor de un componente determin´ıstico, en ese sentido, Litterman sugiere la siguiente representaci´on del modelo yi,t = mi + yi,t−1 + εi,t ,
εi ∼ N (0, σ 2 )
(3)
Comparando (2) y (3), se tiene que Litterman plantea que ( 1, si i = j y s = 1; φsi,j = 0, otro caso, bajo este supuesto cada ecuaci´ on se comporta como un AR(1). Bajo estas restricciones propuestas por Litterman, se asume que: - Todos los par´ ametros tienen media cero excepto el coeficiente con el primer rezago de la variable dependiente, el cual tiene media uno. - Los par´ ametros se suponen no correlacionados entre si. - Las desviaciones est´ andar de los coeficientes decrecen a medida que aumenta el n´ umero de rezagos. Estas restricciones se traducen, en la siguiente densidad para los coeficientes de las variables end´ ogenas del modelo:
s 2 φsij ∼ N (µsij , (γi,j ) )
(4)
con media ( µsij =
1, si i = j y s = 1; 0, en caso contrario.
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y desviaci´ on est´ andar
s γij =
θ0 , sθ2
si i = j;
θ0 θij σ bi en caso contario. θ2 σ bj s
con ( θij
=
1, si i = j θ1 > 0, en caso contrario.
s se tiene que: En general, en la desviaci´ on est´andar γij
- σ bi es el estimador de m´ınimos cuadrados (se obtiene a partir de la muestra) de la desviaci´ andar de los residuos de la i-´esima variable en un autoregresivo. A on est´ σ bi se le denomina factor de normalizaci´ on, juega el papel de un corrector por σ bj las diferentes unidades de medida de la variable i y la variable j. - A las constantes θ0 , θ1 y θ2 se les denomina hiperpar´ametros (par´ametros de la distribuci´ on a priori), son seleccionados de acuerdo a la informaci´on previa que se tiene sobre los par´ ametros. En la siguiente tabla se observa el papel que juega cada hiperpar´ ametro y el rango de valores que pueden tomar.
Hiperpar´ ametro θ0 θ1 θ2
Interpretaci´ on incertidumbre global, refleja la desviaci´on est´andar en el primer rezago de la variable dependiente peso de cada variable en las otras tasa de decaimiento con el n´ umero de rezagos
Rango de valores 0 < θ0 ≤ 1 0 < θ1 < 1 0 < θ2
Con respecto a la Prior de Minnesota, es importante se˜ nalar lo siguiente: - S´olo se supone informaci´ on previa para los coeficientes de las variables end´ogenas del modelo, es decir, Litterman no propone una distribuci´on para los coeficientes de las variables ex´ ogenas, para el componente determin´ıstico o para la matriz de covarianzas. - La distribuci´ on a priori que propone en su trabajo no proviene de ninguna teor´ıa econ´ omica en particular, y las restricciones impuestas son m´as bien de car´acter instrumental e intuitivo. Sin embargo, vale la pena destacar, que estos aspectos son susceptibles de ser modificados, introduciendo algunos cambios en la prior de Minnesota. XIII Reuni´ on de la Red de Investigadores de Bancos Centrales del Continente Americano, pp. 1–28
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3.3.
Estimaci´ on a Posteriori
Una vez que se ha propuesto una distribuci´on previa para los par´ametros, y dada la muestra observada, es posible obtener una distribuci´on a posteriori de dichos par´ametros, actualizando la informaci´on previa a trav´es de los datos. Considerando que el modelo tiene un componente determin´ıstico y que eventualmente se pudiesen incluir variables ex´ogenas, t´erminos para las cuales tampoco se tiene informaci´ on previa, y por ende sus coeficientes no tienen asociado una distribuci´on, a fin de estimar simult´ aneamente todos los par´ametros del modelo (dada informaci´on previa o no), resulta conveniente reescribir cada ecuaci´on del VAR reducido como un modelo de regresi´ on lineal con restricci´ on, de tal manera que para la i-´esima ecuaci´on del VAR se tiene: YT ×1 = XT ×s βs×1 + εT ×1 ,
ε ∼ N (0, σ 2 I).
Recuerde que el estimador de β para un modelo de regresi´on lineal es βb = (X 0 X)−1 (X 0 Y ). Este modelo de regresi´ on lineal esta sujeto a la restricci´on r = Rβ + ν,
ν ∼ N (0, λ2 I),
Justamente esta restricci´ on recoge toda la informaci´on previa presente en la prior de Minnesota, donde: - R es una matriz diagonal, con entradas nulas correspondientes a las variables θ0 ex´ ogenas y correspondiente al s-´esimo rezago de la j-´esima variable. γijs - r es un vector de ceros y 1 correspondiente al primer rezago de la variable dependiente. El estimador a posteriori de los coeficientes de este modelo de regresi´on lineal dada la restricci´ on es −1 σ2 σ2 βbi = X 0 X + 2 (Ri )0 Ri X 0 Y i + 2 (Ri )0 ri (5) θ0 θ0 Observe que este estimador combina tanto la informaci´on muestral como la informaci´on a priori, βbi es el estimador de la media de la distribuci´on a posteriori, se le denomina media a posteriori. Lo mas interesante es que, no s´olo es posible obtener un estimador puntual de los coeficientes del VAR, sino que tambi´en es posible obtener una distribuci´on de dichos coeficientes, distribuci´ on a posteriori, con la cual es posible, entre otras cosas realizar simulaciones. XIII Reuni´ on de la Red de Investigadores de Bancos Centrales del Continente Americano, pp. 1–28
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3.4.
11
Estimaci´ on a Posteriori con muestreador de Gibbs
El muestreador de Gibbs es una herramienta muy popular en estad´ıstica bayesiana para realizar simulaciones de la densidad a posteriori (Koop, 2003). El muestreador de Gibbs tambi´en puede ser incorporado en la estimaci´on de los par´ametros del BVAR de Litterman (J. Lesage, 2005), en particular, si se consideran modelos mucho mas generales, cuya varianza no sea constante. Suponga que el VAR se reescribe de la siguiente manera Y = Xβ + ε,
ε ∼ N (0, σ 2 V )
con
v1
V = 0 0
0 .. . 0
0
0 vT
(6)
Se denotar´ a v a la diagonal de V , es decir, v = (v1 , . . . , vT ). Si se considera V = I, se tiene un modelo de regresi´ on lineal homoced´astico, es decir, de varianza constante, como el estudiado en la secci´ on anterior. Observe que en (6) el conjunto de par´ametros es θ = (β, σ, v), de tal manera que se tiene la siguiente densidad a priori conjunta π(θ) = π(β, σ, v) Para estos par´ ametros se posee la siguiente informaci´on previa: - Para β se tienen las mismas hip´otesis sobre la distribuci´on a priori prouestas por Litterman (Litterman, 1985) r = Rβ + ν,
ν ∼ N (0, Ω) ,
con r y R como en la secci´ on anterior. - Para σ se tiene que 1 (uniforme) σ - Para v, se tiene que los vi son independientes, con i = 1, . . . , T , de tal manera que, c ∼ χ2c vi σ∼
con c un nuevo hiperpar´ ametro, Lessage (J. Lesage, 2005) sugiere considerar c = 4. La estimaci´ on a posteriori de los par´ametros se realiza de la siguiente manera: - Para β dados σ y v βb =
X 0 V −1 X + σ 2 R0 Ω−1 R
−1
b = σ 2 X 0 V −1 X + σ 2 R0 Ω−1 R var(β)
X 0 V −1 X + σ 2 R0 Ω−1 r ,
(7)
−1
b var(β)), b recuerde que R, r y Ω se conocen a priori. De tal manera que β ∼ N (β, XIII Reuni´ on de la Red de Investigadores de Bancos Centrales del Continente Americano, pp. 1–28
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Barr´aez, Bol´ıvar y Cartaya
- Sea εi = yi − x0i β, entonces, el estimador a posteriori para σ 2 dado β y v viene expresado en funci´ on de ! T X 2 2 (εi /vi )/(σ ) |β, v ∼ χ2T (8) i=1
- El estimador a posteriori para v dado β y σ 2 viene expresado en funci´on de −2 2 σ εi + c |β, σ ∼ χ2c+1 vi
(9)
Como cada par´ ametro esta condicionado por los dem´as, y dadas las densidades a posteriori condicionales (7),(8) y (9) se hace la estimaci´on de los coeficientes del BVAR de acuerdo al siguiente algoritmo, el cual hemos denominado BVAR Litterman-Gibbs, ya que se estiman los coeficientes de un BVAR considerando la informaci´on a priori propuesta por Litterman (Litterman, 1985) y usando el muestreador de Gibbs. Algoritmo BVAR Litterman-Gibbs Dados R, r y Ω Inicializaci´ on β 0 , σ 0 , vi0 Iteraci´ on n = 1, . . . , N. β n ∼ β n |σ n−1 , vin−1 σ n ∼ σ n |β n , vin−1 vin ∼ vin |β n , σ n Estimaci´ on
mediante (7)
mediante (8)
mediante (9)
N 1 X b β= βn N n=1
N es el n´ umero de simulaciones que se realizan de los par´ametros de la densidad a posteriori, si N → ∞ el estimador de los coeficientes regresores del modelo βb converge a la media a posteriori.
3.5.
Modelo BVAR con coeficientes variables en el tiempo
Los modelos con coeficientes que var´ıan en el tiempo, permiten capturar en un mismo modelo diferentes reg´ımenes o comportamientos no lineales de los datos. XIII Reuni´ on de la Red de Investigadores de Bancos Centrales del Continente Americano, pp. 1–28
Un modelo macroecon´ omico BVAR para la econom´ıa venezolana
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En esta secci´ on se presenta un modelo VAR bayesiano cuyos coeficientes var´ıan en el tiempo, este modelo esta basado en el de Doan, Litterman, y Sims (1986). Se parte de un modelo VAR de la forma: yt = mt + φt (L)yt−1 + εt , cuyos coeficientes var´ıan en el tiempo, con φt (L) = Ik + φ1t L + . . . + φpt Lp , siendo L el operador rezago. En este modelo, se siguen los mismos supuestos de los modelos bayesianos anteriores, en cuanto al comportamiento de cada variable como un paseo aleatorio, es decir, se supone que cada coeficiente tiene media cero, salvo el coeficiente de la variable dependiente rezagada que tiene media uno, yi,t = mi,t + yi,t−1 + εi,t . Sin embargo, vale la pena destacar, que este modelo se diferencia de los previos, no s´olo en la variabilidad temporal de los coeficientes, sino tambi´en en la incorporaci´on de informaci´ on previa para el componente determin´ıstico y las variables ex´ogenas. A fin de facilitar la estimaci´ on, cada ecuaci´on del vector autoregresivo se reescribe como un modelo de regresi´ on
con θt =
0
0
m0t , φ1t , φ2t , . . . , φpt
0
yi,t = θt xt + εi,t , 0 0 0 , y0 , . . . , y0 y xt = 1, yt−1 t−p t−2
En el momento inicial t = 0, se supone que los coeficientes siguen la siguiente distribuci´ on (distribuci´ on a priori) θ0 ∼ N (θ, Σ0 ), con θ igual que en la 0 prior de Minnesota, es decir, para la primera ecuaci´on se tiene, θ = 0 1 ... 0 y Σ0 = F (π) la matriz de covarianzas inicial se genera a partir de una funci´ on F que depende de un vector de par´ametros π. La distribuci´ on a priori inicial para los coeficientes viene dada por las siguientes especificaciones: - Para coeficientes de la variable dependiente rezagada π4 σi2 N 1, π1 , si k=1; i ∼ k 2 θi,k N 0, π4 σi , sino. k π1 XIII Reuni´ on de la Red de Investigadores de Bancos Centrales del Continente Americano, pp. 1–28
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Barr´aez, Bol´ıvar y Cartaya
i ∼N - Para las dem´ as variable rezagadas θj,k
π4 π2 σ 2 0, π 2i k 1 σj
!
- Para el componente determin´ıstico m0 ∼ N (0, π4 π3 σi2 ) Posteriormente, los coeficientes se actualizan de acuerdo al siguiente proceso θt = π5 θt−1 + (1 − π5 )θ + µt ,
con
→ − µt ∼ N ( 0 , π6 Σ0 )
Hiperpar´ ametro
Descripci´ on
π1
Tasa de decaimiento de los rezagos
π2
Incertidumbre en torno a las dem´as variables
π3
Incertidumbre relativa al t´ermino constante
π4
Determina el peso relativo de la informaci´on previa
π5
Tasa de decaimiento de la informaci´on previa
π6
Variaci´on temporal de los coeficientes
Una vez que se ha planteado la distruci´on a priori de los par´ametros, se usa el filtro de kalman a cada ecuaci´ on recursivamente para obtener las estimaciones a posteriori de los par´ ametros.
4.
Modelo Emp´ırico y Proyecciones
Las series que conforman este modelo tienen una periodicidad trimestral, est´an medidas en Bs. con base en el a˜ no 1997. Se han considerado observaciones desde el a˜ no 1992 al a˜ no 2007. El modelo se estima con datos observados hasta 2006 y se hacen proyecciones fuera de muestra para el a˜ no 2007, con el objeto de realizar una comparaci´ on entre las proyecciones del 2007 con las series observadas, a fin de evaluar y comparar el desempe˜ no predictivo de los distintos modelos. Se analizaron las series de manera individual, para obtener la posible existencia de ra´ıces unitarias, a trav´es de los gr´aficos, de las funciones de autocorrelaci´on simple y parcial y los tests de ra´ız unitaria de Dickey-Fuller y Philips-Perron. Se trabajaron con las series en logaritmo, a excepci´on de las tasas de inter´es y el d´eficit financiero del gobierno central. Adicionalmente a las variables se˜ naladas en la secci´on 2, en el modelo se incorporaron variables dummies estacionales para solventar la estacionalidad de algunas variables y las siguientes variables dummies que reflejan valores at´ıpicos de algunas series:
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Un modelo macroecon´ omico BVAR para la econom´ıa venezolana
Per´ıodo 1er
−
2do
15
Justificaci´ on
de 1996
Alto Indice Inflacionario
3er − 4to de 1996
(acumulado de 103.2 %)
1er de 2002
Entra en vigencia el sistema de libre flotaci´on del tipo de cambio
4to
de 2002 -
1er de 2003
Fuerte contracci´on de la actividad econ´omica
Se estimaron cuatro tipos de modelos, uno frecuentista y tres bayesianos: 1. Vector Autoregresivo (VAR) 2. Vector Autoregresivo bayesiano con prior de Minnesota (BVAR) 3. BVAR que incorpora el muestreador de Gibbs (BVAR-GIBBS), en el cual se realizaron 10.000 simulaciones. 4. BVAR con coeficientes variables en el tiempo (BVAR-KALMAN) En cada uno de estos modelos se tomaron 2 rezagos para las variables end´ogenas. Para los modelos BVAR 1 y 2, se seleccionaron los siguientes hiperpar´ametros (ver Bol´ıvar (2007)): θ0 = 0,1, θ1 = 0,1, θ2 = 0,1 Para el modelo BVAR 4 se seleccionaron los siguientes hiperpar´ametros: π1 = 1, π2 = 0,005, π3 = 105 , π4 = 0,5 , π5 = 1 π6 = 1x10−7
4.1.
Proyecciones
En esta secci´ on se presentan las proyecciones realizadas para el a˜ no 2007 de las variables objetivo y se comparan con las observaciones de las series durante ese mismo per´ıodo. Una vez planteado y estimado el modelo macroecon´omico, mediante los tres m´etodos BVAR y el VAR frecuentista, se compara el desempe˜ no predictivo de los modelos haciendo uso de herramientas como: los gr´aficos de las proyecciones, el error medio cuadr´atico (emc), el coeficiente U de Theil, y los fan chart, adicionalmente, se toman en consideraci´ on los siguientes aspectos: - Desempe˜ no a diferentes horizontes de pron´ostico. - El comportamiento de la predicci´on de determinadas variables del modelo, que revistan de mayor importancia. XIII Reuni´ on de la Red de Investigadores de Bancos Centrales del Continente Americano, pp. 1–28
16
Barr´aez, Bol´ıvar y Cartaya
Proyecci´ on de la inflaci´ on En la figura 4 se puede observar que el modelo que mejor predice la inflaci´ on es el bvar-kalman(coeficientes variables en el tiempo), comparado con los otros dos modelos bayesianos y el modelo frecuentista. No obstante, vale la pena destacar que ninguno de estos modelos logra capturar el comportamiento de la serie para el u ´ltimo trimestre del a˜ no 2007.
Figura 4: Proyecci´on de la inflaci´on
U de Theil
emc
Analizando los estad´ısticos, se puede ratificar la informaci´on gr´afica, dado que el modelo estimado por bvar-kalman es el que minimiza el emc y el U de Theil en los tres horizontes de pron´ ostico.
pasos
var
bvar
bvar-gibbs
bvar-kalman
1
0.000290
0.000534
0.000715
0.000071
2
0.000237
0.000273
0.000465
0.000118
3
0.001423
0.000942
0.000680
0.000082
4
0.001612
0.001432
0.001224
0.001878
1
19.950610
36.679791
49.122031
4.853582
2
1.435669
1.653278
2.814907
0.717274
3
12.885939
8.531107
6.160259
0.717274
4
0.717113
0.637121
0.544538
0.835496
Tabla 1: Error medio cuadr´atico de predicci´on y U de Theil
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Un modelo macroecon´ omico BVAR para la econom´ıa venezolana
17
Proyecci´ on del PIB
U de Theil
emc
Para la proyecci´ on del PIB, se puede observar en la figura 5 que, los tres modelos bayesianos y el frecuentista capturan bastante bien la tendencia de la serie, sin embargo, la mejor proyecci´ on se obtienen del var y el bvar-gibbs. En un mayor plazo, para el cuarto trimestre todos los modelos tienen la tendencia a proyectar muy por debajo del valor observado de la serie.
Figura 5: Proyecci´on del logaritmo del PIB
pasos
var
bvar
bvar-gibbs
bvar-kalman
1
0.000070
0.000399
0.000903
0.001712
2
0.00071
0.000311
0.000519
0.000918
3
0.000990
0.001283
0.000424
0.001210
4
0.001015
0.001584
0.000438
0.002099
1
0.005021
0.028733
0.065032
0.123311
2
0.008427
0.035592
0.059354
0.104914
3
0.169754
0.219940
0.072692
0.207429
4
0.167870
0.261951
0.072395
0.347044
Tabla 2: Error medio cuadr´atico de predicci´on y U de Theil
XIII Reuni´ on de la Red de Investigadores de Bancos Centrales del Continente Americano, pp. 1–28
18
Barr´aez, Bol´ıvar y Cartaya
Proyecci´ on del consumo privado
U de Theil
emc
En la figura 6 se puede observar las proyecciones para el consumo privado, todos los modelos logran capturar la tendencia de la serie, sin embargo, la mejor proyecci´ on es la obtenida por el bvar-kalman, ya que apartir del segundo per´ıodo proyectado los dem´as modelos tienden a subestimar el valor observado de la serie.
Figura 6: Proyecci´on del logaritmo del consumo privado
pasos
var
bvar
bvar-gibbs
bvar-kalman
1
0.000002
0.000056
0.000829
0.000181
2
0.000135
0.000037
0.000995
0.000318
3
0.001303
0.01026
0.004414
0.000271
4
0.002473
0.002071
0.006925
0.000527
1
0.000245
0.009104
0.134651
0.029324
2
0.042658
0.011832
0.314932
0.100733
3
0.268026
0.211077
0.907651
0.055643
4
0.212219
0.177740
0.594175
0.045178
Tabla 3: Error medio cuadr´atico de predicci´on y U de Theil
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Un modelo macroecon´ omico BVAR para la econom´ıa venezolana
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Proyecci´ on de las importaciones privadas
U de Theil
emc
Pra las importaciones privadas, todos los modelos logran capturar la tendencia de la serie hasta el tercer per´ıodo, sin embargo, resulta evidente que, no obstante buen desempe˜ no predictivo del bvar-kalman en la proyecci´ on de las anteriores variables, para el caso de las importaciones, tiene un desempe˜ no muy pobre al sobreestimar en demas´ıa.
Figura 7: Proyecci´on del log de las importaciones privadas
pasos
var
bvar
bvar-gibbs
bvar-kalman
1
0.006501
0.005999
0.002993
0.017155
2
0.03547
0.003027
0.001654
0.020820
3
0.005350
0.005637
0.002974
0.017685
4
0.011477
0. 014614
0.009721
0.013270
1
0.497587
0.459166
0.229059
1.313096
2
0.402747
0.343621
0.187770
0.793951
3
0.374100
0.394150
0.208101
1.236657
4
0.535007
0.681239
0.453137
0.618577
Tabla 4: Error medio cuadr´atico de predicci´on y U de Theil
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20
Barr´aez, Bol´ıvar y Cartaya
Proyecci´ on de M1 real En la figura 8 se observan las proyecciones de M1 real, los modelos var, bvar y bvar-gibbs tienden a proyectar muy bien a un paso, sin embargo, luego tienden a sobreestimar en exceso, sin embargo, el modelo bvar-kalman se aproxima mucho mejor que los dem´ as a la serie observada por defecto.
U de Theil
emc
Figura 8: Proyecci´on del logaritmo de M1 real
pasos
var
bvar
bvar-gibbs
bvar-kalman
1
0.001982
0.000271
0.000159
0.004951
2
0.013947
0.003766
0.003240
0.002645
3
0.018420
0.003500
0.004406
0.002982
4
0.068611
0.029205
0.035665
0.002368
1
4.129511
0.564789
0.331477
10.314876
2
7.084925
1.913040
1.646108
1.343472
3
13.878328
2.636847
3.319522
2.246758
4
63.902982
27.201150
33.218050
2.205297
Tabla 5: Error medio cuadr´atico de predicci´on y U de Theil
XIII Reuni´ on de la Red de Investigadores de Bancos Centrales del Continente Americano, pp. 1–28
Un modelo macroecon´ omico BVAR para la econom´ıa venezolana
4.2.
21
Fan charts
En los gr´ aficos de las secciones anteriores se presentan predicciones puntuales. No obstante, considerando la incertidumbre que rodea la actividad econ´omica, es mucho mas informativo tener una medida de incertidumbre asociada a la predicci´on, en ese sentido, los fan charts son una herramienta de gran utilidad. En esta secci´on se presentan los fan charts de las cinco variables proyectadas mediante los cuatro modelos estimados.
Figura 9: Fan charts para la inflaci´on
XIII Reuni´ on de la Red de Investigadores de Bancos Centrales del Continente Americano, pp. 1–28
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Barr´aez, Bol´ıvar y Cartaya
Figura 10: Fan charts para el PIB
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Un modelo macroecon´ omico BVAR para la econom´ıa venezolana
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Figura 11: Fan charts para el consumo privado
XIII Reuni´ on de la Red de Investigadores de Bancos Centrales del Continente Americano, pp. 1–28
24
Barr´aez, Bol´ıvar y Cartaya
Figura 12: Fan charts para las importaciones privadas
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Un modelo macroecon´ omico BVAR para la econom´ıa venezolana
25
Figura 13: Fan charts para M1 real
XIII Reuni´ on de la Red de Investigadores de Bancos Centrales del Continente Americano, pp. 1–28
26
5.
Barr´aez, Bol´ıvar y Cartaya
Conclusiones
En este trabajo se consider´ o un modelo reducido de demanda agregada con el objeto de describir la evoluci´ on futura de algunas de las variables objetivos mas importantes de la pol´ıtica econ´ omica venezolana, a saber, la inflaci´on, el producto interno bruto, M1 real, el consumo privado y las importaciones privadas. El modelo fu´e estimado mediante tres tipos de vectores autoregresivos bayesianos (BVAR), en el primero s´ olo se utiliz´o la prior de Minnesota, en el segundo, se simul´o con el muestreador de Gibbs las densidades a posteriori de los par´ametros del BVAR reducido, y en el tercero, se consider´o un modelo BVAR con coeficientes variables en el tiempo. Adicionalmente, se estim´o un VAR sin restricciones a fin de comparar el rendimiento predictivo de los modelos bayesianos con el modelo frecuentista. En general, todos los modelos, tanto bayesianos como frecuentistas, tendieron a proyectar bastante bien el PIB y el consumo privado. El modelo que mas se destac´o en la proyecci´ on de la inflaci´ on y de M1 real, fue el bvar-kalman, ya que para estas variables los dem´ as modelos tendieron a ser err´aticos, no obstante el buen desempe˜ no de este modelo en el pron´ ostico de estas variables, para el caso de las importaciones privadas tendi´ o a sobreestimar. Sin embargo, se puede afirmar que en general tuvo un buen desempe˜ no al lograr buenas proyecciones para las variables mas importantes de la econom´ıa, como lo son la inflaci´on y el PIB. Los resultados muestran que, en general, los modelos VAR estimados por m´etodos bayesianos tienen un mejor desempe˜ no predictivo que el modelo VAR frecuentista para variables macroecon´ omicas de la econom´ıa venezolana, y motivan el estudio de modelos BVAR estructurales a fin de analizar la din´amica de la pol´ıtica econ´omica venezolana.
XIII Reuni´ on de la Red de Investigadores de Bancos Centrales del Continente Americano, pp. 1–28
Un modelo macroecon´ omico BVAR para la econom´ıa venezolana
6.
27
Referencias Bibliogr´ aficas
Ballabriga, F., L. Alvarez, y J. Jare˜ no. 2003. Un Modelo Macroecon´ omico BVAR para la econom´ıa espa˜ nola: metodolog´ıa y resultados. Oxford University Press. Bol´ıvar, W. 2007. Predicci´ on de variables macroecon´ omicas mediante VAR bayesianos: una aplicaci´ on al caso venezolano. Tesis de Maestr´ıa. Postgrado en Modelos Aleatorios, Universidad Central de Venezuela. Brandt, P. y J. Freeman. 2006. Advences in bayesian time series modeling and the study of politics: Theory testing, forecasting and policy analysis. Political Analysis, 14(1):1–36. Ciccarelli, M. y A. Rebucci. 2003. Bayesian VARs: A Survey of the Recent Literature with an Application to the European Monetary System. International Monetary Fund, Working Paper. Doan, T., R. Litterman, y C. Sims. 1986. Forecasting and conditional projection using realistic prior distributions. Federal Reserve Bank of Minneapolis, report 93. J. Lesage. 2005. econometrics.com/.
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XIII Reuni´ on de la Red de Investigadores de Bancos Centrales del Continente Americano, pp. 1–28
28
A.
Barr´aez, Bol´ıvar y Cartaya
Anexo
Figura 14: Variables end´ogenas del modelo (en niveles)
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