TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

CAPITULO 7 TRANSFORMACIONES EN EL PLANO MATRICES Y TRANSFORMACIONES Queremos usar las matrices para determinar las coordenadas de un polígono bajo una transformación dada. A menudo grandes matrices son usadas para animación por computadora. Se puede usar una simple matriz para describir algunas de las transformaciones que se hacen en geometría. Algunas de las que examinaremos son las traslaciones, reflexiones, rotaciones y dilataciones. Objetivos: • Representar mediante matrices, figuras geométricas en el plano cartesiano. • Identificar y aplicar transformaciones con matrices. Actividad inicial Responda cada una de las siguientes preguntas: 1. ¿Qué punto es ( 3;5) reflejado sobre el eje x ? 2.

¿ Qué punto es ( 3;5) reflejado sobre el eje y ?

3.

¿ Qué punto es ( 3;5) reflejado sobre la recta de ecuación y = x ?

4.

¿ Qué punto es ( 3;5) reflejado sobre la recta de ecuación y = − x ?

Un punto puede ser representado por una matriz, así como también como un par ordenado. ⎡ 3⎤ El par ordenado ( 3;5) puede ser representado por la matriz ⎢ ⎥ . El elemento de la primera fila ⎣5 ⎦ es la abscisa del punto y el elemento de la segunda fila es la ordenada del punto. ⎡ x⎤ En general, el par ordenado ( x; y ) es representado por la matriz ⎢ ⎥ . ⎣ y⎦ De manera similar, una matriz puede ser utilizada para representar un polígono Puesto que cada vértice es un punto, cada punto puede ser representado por una matriz. EJEMPLO.

263

Consideremos el polígono de vértices A( −1;3) , B ( 4;6) , C ( 6;2) y D (1; −2) .

⎡ −1⎤ Los vértices del polígono podemos representarlos mediante las matrices: ⎢ ⎥ , ⎣3⎦ ⎡1⎤ ⎢ −2⎥ respectivamente. Por otra parte, estas cuatro matrices para los vértices ⎣ ⎦

⎡ 4⎤ ⎢6⎥ , ⎣ ⎦

⎡6⎤ ⎢ 2⎥ y ⎣ ⎦

pueden ser

⎡ −1 4 6 1 ⎤ combinadas en una sola matriz: ⎢ ⎥ , que la llamaremos matriz de vértices del ⎣ 3 6 2 −2 ⎦ polígono. En esta matriz cada columna representa un vértice del polígono. Ejercicio. ¿Qué matriz representa al ΔABC si los vértices son A(1;4) , B ( −2;3) y C ( 5; −7) ? Así como puntos y polígonos pueden ser representados por matrices, podemos representar transformaciones con matrices. Una matriz de dimensión 2 × n puede ser usada para expresar los vértices de un polígono. La primera fila está formada por las abscisas y la segunda fila las ordenadas de los vértices. Así por ejemplo, el triángulo ABC de abajo puede ser representado por la siguiente matriz.

El triángulo ABC se desplaza 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades debajo de su posición inicial. El triángulo A ' B ' C ' que se obtiene es congruente con el ΔABC y sus coordenadas pueden ser expresadas mediante la siguiente matriz.

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⎡1 3 4 ⎤ ⎡−2 0 1 ⎤ Comparemos ahora la matriz ⎢ con la suma de las matrices ⎢ ⎥ ⎥ y ⎣ 2 4 −3⎦ ⎣ 4 6 −1⎦ ⎡3 3 3⎤ ⎢ −2 −2 −2⎥ . ⎣ ⎦ Se tiene: ⎡ −2 0 1 ⎤ ⎡ 3 3 3 ⎤ ⎡1 3 4 ⎤ ⎢ ⎥+⎢ ⎥=⎢ ⎥. ⎣ 4 6 −1⎦ ⎣ −2 −2 −2⎦ ⎣ 2 4 −3⎦ ⎡3 3 3⎤ En la matriz ⎢ ⎥ cada 3 representa el movimiento de 3 unidades hacia la derecha de ⎣ −2 −2 −2⎦ la abscisa de cada vértice y cada −2 representa el movimiento hacia abajo de la ordenada de cada vértice. Este tipo de matriz es llamada una matriz de traslación. En esta transformación, el ΔABC es la preimagen y el triángulo ΔA ' B ' C ' es la imagen después de la traslación. Note que la preimagen y la imagen son figuras congruentes.

EJEMPLO 1.

Supongamos que el cuadrilátero

ABCD con vértices A( −1;1) , B ( 4;0) , C ( 4; −5) y

D ( −1; −3) es trasladado 2 unidades hacia la izquierda y 4 unidades hacia arriba. a. Represente los vértices del cuadrilátero mediante una matriz. b. Escriba la matriz de traslación. c. Use la matriz de traslación para encontrar los vértices de A ' B ' C ' D ', la imagen trasladada del cuadrilátero. d. Grafique el cuadrilátero ABCD y su imagen. Solución: a. La matriz que representa las coordenadas de los vértices del cuadrilátero ABCD es la siguiente matriz de orden 2 × 4.

b. La matriz de traslación es:

⎡ −2 −2 −2 −2⎤ ⎢4 4 4 4⎥ ⎣ ⎦ c. Sumando las dos matrices se tiene: ⎡ −1 4 4 −1⎤ ⎡ −2 −2 −2 −2⎤ ⎡ −3 2 2 −3⎤ ⎢ 1 0 −5 −3⎥ + ⎢ 4 4 4 4 ⎥ = ⎢ 5 4 −1 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ d. Graficar los puntos representados por la matriz resultante.

265

Reflexiones(Reflejos) Hay tres rectas sobre las cuales las figuras son comunmente reflejadas: • El eje x. • La recta de ecuación y = x. • El eje y. • La recta de ecuación y = −x. Ejemplo de reflejo sobre el eje x. En la siguiente figura, el ΔP ' Q ' R ' es una reflexión sobre el eje x. Existe una matriz de reflexión de orden 2 × 2 que cuando la multiplicamos por la matriz de vértices del ΔPQR , obtenemos la matriz de vértices del ΔP ' Q ' R '.

⎡a b ⎤ Si ⎢ ⎥ representa la matriz de reflexión desconocida, entonces debe verificarse: ⎣c d ⎦ ⎡ a b ⎤ ⎡ −1 2 3 ⎤ ⎡ −1 2 3⎤ ⎢ c d ⎥ ⎢ −1 1 −2⎥ = ⎢ 1 −1 2⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Lo que es equivalente a ⎡ −a − b 2a + b 3a − 2b ⎤ ⎡ −1 2 3⎤ ⎢ −c − d 2c + d 3c − 2d ⎥ = ⎢ 1 −1 2⎥ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ De la condición de igualdad de dos matrices se sigue que: ⎧ − a − b = −1 ⎧−c − d = 1 ⎪ ⎪ y ⎨2c + d = −1. ⎨ 2a + b = 2 ⎪3a − 2b = 3 ⎪3c − 2d = 2 ⎩ ⎩ Al resolver cada sistema se encuentra que: a = 1, b = 0, c = 0 y d = −1. Por lo tanto la matriz ⎡1 0 ⎤ que resulta en una reflexión sobre el eje x es ⎢ ⎥ . Esta matriz es válida para cualquier ⎣0 −1⎦ reflexión sobre el eje x. La preimagen y la imagen bajo una reflexión son congruentes. Las matrices para una reflexión sobre el eje y o sobre la recta y = x pueden ser encontradas de 266

manera similar. Estas se señalan en el siguiente cuadro:

Para una reflexión sobre: El eje x

Matrices de reflexión Simbolizada por: Multiplique la matriz de vértices por: ⎡1 0 ⎤ Reje − x ⎢0 −1⎥ ⎣ ⎦

El eje y

Reje− y

La recta y = x

Ry = x

La recta y = − x

R y =− x

⎡ −1 ⎢0 ⎣ ⎡0 ⎢1 ⎣

0⎤ 1 ⎥⎦ 1⎤ 0 ⎥⎦

⎡ 0 −1⎤ ⎢ −1 0 ⎥ ⎣ ⎦

EJEMPLOS 1. Para crear una imagen que parece ser reflejada en un espejo, un animador puede usar una matriz para reflejar una imagen sobre el eje y. Use una matriz de reflexión para encontrar las coordenadas de los vértices de una estrella reflejada en un espejo (el eje y ) si las coordenadas de los puntos conectados para crear una estrella son:

( −2;4) , ( −3,5;4) , ( −4;5) , ( −4,5;4) , ( −6;4) , ( −5;3) , ( −5;1) , ( −4;2) , ( −3;1) ,

y ( −3;3) .

Primero escribamos la matriz de vértices para los puntos usados para definir la estrella. ⎡ −2 −3,5 −4 −4,5 −6 −5 −5 −4 −3 −3⎤ ⎢4 4 5 4 4 3 1 2 1 3 ⎥⎦ ⎣ Multipliquemos por la matriz de reflexión sobre el eje y. ⎡ −1 0⎤ ⎡ −2 −3,5 −4 −4,5 −6 −5 −5 −4 −3 −3⎤ ⎢ 0 1⎥ ⎢ 4 4 5 4 4 3 1 2 1 3 ⎥⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎡ 2 3,5 4 4,5 6 5 5 4 3 3⎤ =⎢ ⎥. ⎣ 4 4 5 4 4 3 1 2 1 3⎦ Los vértices usados para definir la reflexión son:

( 2;4) , ( 3,5;4) , ( 4;5) , ( 4,5;4) , ( 6;4) , ( 5;3) , ( 5;1) , ( 4;2) , ( 3;1) ,

y ( 3;3) .

2. Encontrar la imagen reflejada del ΔABC con vértices en A(1; −2) , B ( 6; −2) y C ( 4; −5) cuando el triángulo es reflejado sobre la recta de ecuación y = x. Use matrices.

267

⎡1 6 4⎤ Solución. El triángulo ABC puede ser representado por la matriz ⎢ ⎥ . La ⎣ −2 −2 −5⎦ ⎡0 1 ⎤ matriz que representa una reflexión sobre la recta de ecuación y = x, es ⎢ ⎥. ⎣1 0 ⎦ Multiplicando las dos matrices se tiene: ⎡0 1⎤ ⎡ 1 6 4 ⎤ ⎡ −2 −2 −5⎤ ⎢1 0⎥ ⎢ −2 −2 −5⎥ = ⎢ 1 6 4 ⎥ . ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ −2 −2 −5⎤ Es decir que la matriz de vértices de la imagen del triángulo ABC es: ⎢ ⎥. ⎣1 6 4⎦ Graficando en un mismo sistema de coordenadas la preimagen y la imagen, se tiene:

3. Para crear el patrón básico, un diseñador ingresa las coordenadas del ΔXYZ con vértices

X ( 0;0) , Y ( 2; −3) y Z ( 6; −3) . Quiere dibujar el triángulo reflejado sobre el eje y. Encuentre las coordenadas de los vértices de la imagen reflejada, usando matrices.

⎡0 2 6 ⎤ Solución. La matriz de vértices del triángulo es ⎢ ⎥ . Multiplicando esta matriz por ⎣0 −3 −3⎦ ⎡ −1 0⎤ ⎢ 0 1⎥ , la matriz para una reflexión sobre el eje y se tiene: ⎣ ⎦ ⎡ −1 0⎤ ⎡0 2 6 ⎤ ⎡0 −2 −6⎤ ⎢ 0 1⎥ ⎢0 −3 −3⎥ = ⎢0 −3 −3⎥ . ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Δ X ' Y ' Z ' están dadas en la matriz Por lo tanto, las coordenadas de los vértices del ⎡0 −2 −6⎤ ⎢0 −3 −3⎥ . ⎣ ⎦

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Rotaciones Para una rotación en sentido antihorario alrededor del origen de: 90D

Matrices de rotación Simbolizada por: Multiplique la matriz de vértices por: Rot90D

180D

Rot180D

270D

Rot270D

⎡0 −1⎤ ⎢1 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ −1 0 ⎤ ⎢ 0 −1⎥ ⎣ ⎦ ⎡ 0 1⎤ ⎢ −1 0⎥ ⎣ ⎦

Observación:. La preimagen y la imagen por una rotación son congruentes. EJEMPLO Supongamos que una figura es animada para girar alrededor de un cierto punto. Numerosas imágenes de rotación deben ser necesarias para dar un pequeño movimiento de la imagen. Si la imagen está definida por los puntos (1;1) , ( −1;4) , ( −2;4) , y ( −2;3) y la rotación es alrededor del origen, encontrar la localización de estos puntos en las rotaciones antihorarias de 90D , 180D y 270D. Solución. Primero escribimos la matriz de vértices: ⎡1 −1 −2 −2 ⎤ ⎢1 4 4 3 ⎥ . ⎣ ⎦ Luego le multiplicamos por cada matriz de rotación: ⎡0 −1⎤ ⎡1 −1 −2 −2⎤ ⎡ −1 −4 −4 −3⎤ Rotación de 90D : ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥. ⎣1 0 ⎦ ⎣1 4 4 3 ⎦ ⎣ 1 −1 −2 −2⎦

⎡ −1 0 ⎤ ⎡1 −1 −2 −2⎤ ⎡ −1 1 2 2 ⎤ Rotación de 180 D : ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥. ⎣ 0 −1⎦ ⎣1 4 4 3 ⎦ ⎣ −1 −4 −4 −3⎦ ⎡ 0 1⎤ ⎡1 −1 −2 −2⎤ ⎡ 1 4 4 3⎤ Rotación de 270D : ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥. ⎣ −1 0⎦ ⎣1 4 4 3 ⎦ ⎣ −1 1 2 2⎦

Todas las transformaciones que hemos discutido hasta ahora conservan la forma y el tamaño de 269

la figura. Sin embargo, una dilatación cambia el tamaño de la figura. La figura dilatada es similar a la figura original. Dilataciones que usan el origen como un centro de proyección pueden ser obtenidas multiplicando la matriz de vértices por un factor de escala ligado a la dilatación. Todas las dilataciones que consideraremos serán con respecto al origen.

EJEMPLO

Un trapezoide tiene vértices en L ( −4;1) , M (1;4) , N ( 7;0) y P ( −3; −6) . Encontrar las coordenadas del trapezoide dilatado L ' M ' N ' P ' para un factor de escala de 0,5. Describa la dilatación. Solución: Escribamos primero la matriz de vértices: ⎡ −4 1 7 −3⎤ ⎢ 1 4 0 −6 ⎥ . ⎣ ⎦ Multiplicamos esta matriz por el factor de escala: ⎡ −4 1 7 −3⎤ ⎡ −2 0,5 3,5 −1,5⎤ . ( 0,5) ⎢ ⎥=⎢ 0 −3 ⎥⎦ ⎣ 1 4 0 −6⎦ ⎣0,5 2 Los vértices de la imagen son: L ' ( −2;05) , M ( 0,5;2) , N ( 3,5;0) y P ' ( −1,5; −3) .

La imagen tiene lados cuya longitud es la mitad de la longitud en la figura original.

EJERCICIOS

270

1.

Aparee cada matriz con la frase que mejor describa su tipo.

a. b. c.

⎡ −1 ⎢1 ⎣ ⎡ −1 ⎢0 ⎣ ⎡0 ⎢1 ⎣

−1⎤ . 1 ⎥⎦

(1)

dilatación de factor escala 2.

0⎤ . 1⎥⎦

( 2)

reflexión sobre el eje y.

1⎤ . 0⎥⎦

( 3) reflexión sobre la recta

( 4) d.

⎡0 −1⎤ ⎢1 0 ⎥ . ⎣ ⎦

rotación de 90D antihoraria alrededor del origen.

( 5) rotación de 180

( 6)

y = x.

D

alrededor del origen.

traslación 1 unidad a izquierda y 1 hacia arriba.

En los ejercicios del 2 al 8, use matrices para realizar cada transformación. Grafique la preimagen y la imagen en el mismo sistema de coordenadas. 2. El triángulo ABC tiene como vértices A ( −2;5) , B (1;3) y C ( 0; −2) . Use la multiplicación de una matriz por un escalar para encontrar las coordenadas de los vértices del triángulo después de una dilatación de factor de escala 1, 5. 3.

El cuadrado ABCD tiene como vértices A( −1;3) , B ( 3;3) , C ( 3; −1) y D ( −1; −1) . Encontrar las coordenadas de los vértices del cuadrado después de una traslación de 1 unidad a la izquierda y 2 unidades hacia abajo.

4.

El cuadrado ABCD tiene como vértices ( −1;2) , ( −4;1) , ( −3; −2) y ( 0; −1) . Encontrar las coordenadas de los vértices del cuadrado después de una reflexión sobre el eje y.

5.

6.

⎡3 −1 1 ⎤ El triángulo PQR está representado por la matriz ⎢ ⎥ . Encontrar la imagen del ⎣2 4 −2⎦ D triángulo después de una rotación de 270 en sentido antihorario alrededor del origen. Encontrar la imagen del ΔLMN después de Rot180D D Reje − y si los vértices son

L ( −6;4) , M ( −3;2) y N ( −1; −2) . 7.

Use multiplicación por escalar para determinar las coordenadas de los vértices de cada figura dilatada. Luego grafique la preimagen y la imagen en el mismo sistema de coordenadas. a.

Triángulo con vértices A(1;1) , B (1;4) y C ( 5;1) ; factor de escala 3.

b. Triángulo con vértices X ( 0;8) , Y ( −5;9) y Z ( −3;2) ; factor de escala

271

3 . 4

c. 8.

9.

⎡ −3 −2 1 4⎤ Cuadrilátero PQRS con matriz de vértices ⎢ ⎥ ; factor de escala 2. ⎣ 0 2 3 2⎦

Grafique un cuadrado con vértices A( −1;0) , B ( 0;1) , C (1;0) y D ( 0; −1) en dos sistemas de coordenadas cartesianas rectangulares. a. En uno de los sistemas, grafique la dilatación del cuadrado ABCD después de una dilatación de factor de escala 2. Llámelo A ' B ' C ' D '. Grafique luego una dilatación de A ' B ' C ' D ' de factor de escala 3. b. En el segundo sistema, grafique la dilatación del cuadrado ABCD después de una dilatación de factor de escala 3. Llámelo A ' B ' C ' D '. Grafique luego una dilatación de A ' B ' C ' D ' de factor de escala 2. c. Compare los resultados de las partes a) y b). Describa lo que usted observa. Use matrices para determinar las coordenadas de los vértices de cada figura trasladada. Luego grafique la preimagen y la imagen en el mismo sistema de coordenadas. ⎡−2 1 3 ⎤ a. Triángulo WXY con matriz de vértices ⎢ ⎥ trasladado 3 unidades hacia la ⎣ 0 5 −1⎦ derecha y 2 unidades hacia abajo.

b. Cuadrilátero con vértices O ( 0;0) , P (1;5) , Q ( 4;7) y R ( 3;2) trasladado 2 unidades c.

hacia la izquierda y una unidad hacia abajo. Cuadrado CDEF trasladado 3 unidades a la derecha y 4 unidades hacia arriba si los vértices son C ( −3;1) , D (1;5) , E ( 5;1) y F (1; −3) .

10. Grafique el ΔFGH con vértices F ( 4;1) , G ( 0;3) y H ( 2; −1) . Grafique la imagen del ΔFGH después de una traslación de 6 unidades hacia la izquierda y dos unidades hacia abajo. Designe la imagen como ΔF ' G ' H '. b. Traslade ahora ΔF ' G ' H ' una unidad a la derecha y 5 unidades hacia arriba. Designe esta imagen como ΔF " G '' H ''. c. ¿Qué traslación puede mover ΔFGH a ΔF " G '' H '' directamente? 11. Use matrices para determinar las coordenadas de los vértices de cada figura reflejada. Luego grafique la preimagen y la imagen en el mismo sistema de coordenadas. a.

a.

Triángulo ABC con vértices A ( −1; −2) , B ( 0; −4) y C ( 2; −3) reflejada sobre el eje

x. b.

Reje− y para un rectángulo con vértices D ( 2;4) , E ( 6;2) , F ( 3; −4) y G ( −1; −2) .

c.

Un trapezoide con vértices H ( −1; −2) , I ( −3;1) , J ( −1;5) y reflexión sobre la recta de ecuación y = x.

272

K ( 2;4) para una

12. Dado el ΔJKL con vértices J ( −6;4) , K ( −3;2) y L ( −1; −2) . Encontrar las coordenadas de cada transformación compuesta. Luego grafique la preimagen y la imagen en el mismo sistema de coordenadas. a. Rotación de 180D seguida de una traslación de 2 unidades hacia la izquierda y 5 unidades hacia arriba. b. Reje y D Reje x . c.

R90D D Reje y .

13. Escriba la matriz de vértices para la figura indicada a continuación.

a.

Realice una conjetura acerca de la figura resultante si se multiplica la matriz de ⎡3 0⎤ vértices por ⎢ ⎥. ⎣0 2 ⎦ b. Copie la figura en papel cuadriculado y grafique la matriz de vértices resultante después de la multiplicación descrita. c. Qué hace para verificar su conjetura? 14. Represente cada figura mediante una matriz.

273

15. Use la multiplicación de matrices para encontrar las reflexiones del cuadrilátero ⎡ −2 1 7 4⎤ representado por la matriz ⎢ ⎥ sobre: ⎣ 7 3 4 7⎦ a. El eje x. b. El eje y. c. La recta y = x. d. La recta y = −x. 16. Interprete cada ecuación con la indicación: La imagen reflejada del punto … sobre … es el punto … . ⎡ 0 −1⎤ ⎡ 4⎤ ⎡ −4⎤ a. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. ⎣ −1 0 ⎦ ⎣ 4⎦ ⎣ −4⎦

⎡ −1 0⎤ ⎡3 ⎤ ⎡ −3⎤ b. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. ⎣ 0 1 ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎡0 1 ⎤ ⎡ −2⎤ ⎡ 4 ⎤ c. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. ⎣1 0⎦ ⎣ 4 ⎦ ⎣ −2⎦ ⎡ 1 0 ⎤ ⎡5 ⎤ ⎡ 5⎤ d. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. ⎣0 −1⎦ ⎣ −3⎦ ⎣3⎦ ⎡−2 0 ⎤ 17. ¿Qué tipo de transformación es representado por la matriz ⎢ ⎥? ⎣ 0 −2⎦ 18. Dibujar cualquier triángulo en el plano cartesiano. Representarlo con una matriz 2 × 3. Luego aplique cada transformación de abajo. Dibuje cada preimagen así como laimagen en el mismo sistema de coordenadas. ⎡0 −1⎤ a. ⎢ ⎥ ⎣1 0 ⎦ ⎡ −1 0 ⎤ b. ⎢ ⎥ ⎣ 0 −1⎦ ⎡ 0 1⎤ c. ⎢ ⎥ ⎣ −1 0⎦ 19. Refiriéndose a las gráficos dibujados en el ejercicio anterior, determine: a. ¿Cuáles muestran una rotación de 90D en sentido horario? D

b. ¿Cuáles muestran una rotación de 180 en sentido horario? c. ¿Cuáles muestran una rotación de 90D en sentido antihorario? 20. Copie cada gráfico en papel milimetrado. Luego dibuje la imagen de cada figura bajo la traslación dada.

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a. Cuatro unidades hacia arriba. b. Tres unidades a la izquierda. 21. Copie cada gráfico en papel milimetrado. Luego dibuje la imagen de cada figura bajo la reflexión dada.

a. Sobre el eje x. b. Sobre el eje y. 22. Copie cada gráfico en papel milimetrado. Luego dibuje la imagen de cada figura bajo la rotación dada alrededor del origen.

23. Una dilatación es una transformación que produce una imagen de la misma forma, pero de diferente tamaño. Copie cada gráfico en papel milimetrado. Luego dibuje la imagen de cada figura bajo la dilatación dada con el centro en el origen.

275

24. Dos o más transformaciones sucesivas pueden ser aplicadas a una figura dada. Esto es llamado una composición de transformaciones.

Describa dos transformaciones que permitan obtener la imagen de color azul. Puede haber varias respuestas posibles.

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