Transferencia de calor I

María Gabriela Ruiz Hinojosa
Ingeniería Química




Escriba aquí la ecuación.


En Transferencia de Calor se estudian básicamente fenómenos de transporte, fenómenos que también son analizados en Trasferencia de Masa y Fluidos. Esta transferencia viene dada por la ley de Flujo.
Los procesos son cambios. Éstos pueden ser constantes, o puede suceder que nunca se llegue al equilibrio. De cualquier manera, diferentes procesos serán analizados en esta rama de la Ingeniería Química.
Los conocimientos adquiridos en esta materia ayudarán a familiarizarnos con el inmenso campo de acción que abarca nuestra carrera. En cualquier industria existen equipos tales como: intercambiadores, hornos, calderas, etc., que podrán ser dimensionados por una persona que haya tomado Transferencia de Calor.
La transferencia de calor se dará siempre de una forma simultánea, donde la energía va de la sustancia de mayor temperatura a la de menor temperatura. Se manifiesta mediante tres mecanismos, que a su vez dependen del material de las superficies en contacto, del medio, entre otros. Dichos mecanismos son:
Conducción
Convección
Radiación
Y la combinación de cada uno de estos tres mecanismos de transferencia de calor.
Una recomendación útil para resolver los ejercicios en Transferencia de Calor es entablar el ejercicio, es decir:
Leer bien el ejercicio.
Sacar datos.
Especificar la meta (Lo que deseo calcular, a lo que deseo llegar).
Dibujar esquemas físicos.
Hacer suposiciones, especificando junto a éstas cuál fue el criterio para hacer dicha suposición.
Verificar que las unidades de todas las propiedades sean las mismas, o que correspondan al mismo sistema métrico.
Hacer ecuaciones.
Reemplazar las unidades por su valor numérico.
Hacer un comentario respecto al ejercicio de acuerdo al resultado obtenido, y proponer situaciones que puedan mejorar la eficiencia del proceso.



Calor, en Transferencia de Calor, se define como la energía en tránsito debido a una diferencia de temperatura. Puede llevarse a cabo en un mismo cuerpo o en diferentes cuerpos. Sin diferente de temperaturas, simplemente no hay calor.
A diferencia de la Termodinámica, en Transferencia de Calor se va a evaluar la velocidad con la que se lleva a cabo la transferencia de energía. En Termodinámica, por su parte, sólo se analizaban los estados inicia y final de un sistema, y en ocasiones la energía necesaria para llevar a un sistema de un estado a otro. Por otra parte, en Transferencia de Calor se analizan estados en NO equilibrio o en desequilibrio termodinámico, que son producto de la diferencia en las temperaturas.
Recordemos que las tres leyes principales que rigen a la Termodinámica son:
PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA (Ley de la Conservación de la Energía): "La energía no se cera ni se destruye, sólo se transforma."
SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA: Entre algunos de sus postulados, enuncia lo siguiente:
Todos los procesos naturales son irreversibles.
Todos los procesos en los que interviene el rozamiento o en los que hay pérdidas de calor son irreversibles.
El calor NUNCA se transmite espontáneamente de un sistema hacia otro a mayor temperatura.
TERCERA LEY DE LA TERMODINÁMICA: "La entropía del cristal perfecto es 0."
LEY CERO DE LA TERMODINÁMICA: "Si dos sistemas están en equilibrio térmico con un tercero, también están en equilibrio térmico entre sí."
Ley de flujo
Trabajar con Temperaturas absolutas.Trabajar con Temperaturas absolutas.La transferencia de calor se basa básicamente en la Ley de Flujo, ley un tanto similar a la Lay de Ohm (I= VR). La ley de flujo plantea que:
Trabajar con Temperaturas absolutas.
Trabajar con Temperaturas absolutas.
Intensidad de Flujo=Variación de la Fuerza ImpulsoraResistencia
Calor=Diferencia de TemperaturasResistencia
q= TR
La resistencia es función del mecanismo mediante el cual se da la transferencia de energía.

Existen tres mecanismos de transferencia de calor, y son
Conducción
Convección
Radiación
Conducción
Es la transferencia de energía o calor a nivel atómico y molecular, generalmente por medio de choques electrónicos.
Los átomos están juntos en el estado sólido, y aunque no pueden moverse de un lado a otro, tienen movimiento vibracional que, dependiendo de su magnitud, puede producir choques entre ellos. Es por estos choques por los que hay transferencia de energía de los átomos superiores energéticamente hacia los que tienen menos. De ahí que, cuando se habla de conducción, se habla de transferencia de energía en cuerpos sólidos. En un líquido es un tanto despreciable, y más bien la transferencia se rige por otros mecanismos. En los gases, definitivamente no se la considera. Se entiende, entonces, la diferencia entre los tres mecanismos de transferencia de calor: el sistema sobre el que actúan.
Metal Conductor12Metal Conductor12La conducción es básicamente la trasferencia de calor en sólidos.
Metal Conductor
1
2
Metal Conductor
1
2
En la imagen se observa una barra conductora que se calienta debido a los movimientos reticulares de átomos y moléculas, y por los movimientos electrónicos de los electrones en la molécula.
Al inicio: T1 T2 (Transferencia de Calor)
Luego de un cierto tiempo: T1>T2 (Transferencia de Calor)
Y cuando al fin se ha llegado al equilibrio: T1=T2 (Equilibrio)
Conductores son los cuerpos que facilitan la conducción. Se conoce que los metales son buenos conductores, pues son estructuras cristalinas y ordenadas en las que, cuando un átomo vibra, encuentra con que chocar produciéndose la trasferencia de energía; al contrario de los aislantes, que son estructuras amorfas, y por tanto llenas de espacios vacíos, en las que un átomo, cuando vibra o se desplaza, no encuentra con quien chocar.
Para poder calcular la cantidad de energía que se transfiere de un lugar a otro se aplica, en el caso de la conducción, la Ley de Fourier, que será explicada a continuación mediante un ejemplo, en el que se tiene la transferencia unidimensional de conducción de calor en una pared plana.
TxTcTfQÁrea de TransferenciaLEspesor de la pared planaLa dirección del calor depende mucho de la temperatura, y no de la presión (como en el caso de los fluidos) o de la concentración (como en el caso de la transferencia de masa)TxTcTfQÁrea de TransferenciaLEspesor de la pared planaLa dirección del calor depende mucho de la temperatura, y no de la presión (como en el caso de los fluidos) o de la concentración (como en el caso de la transferencia de masa)
T
x
Tc
Tf
Q
Área de Transferencia
L
Espesor de la pared plana
La dirección del calor depende mucho de la temperatura, y no de la presión (como en el caso de los fluidos) o de la concentración (como en el caso de la transferencia de masa)
T
x
Tc
Tf
Q
Área de Transferencia
L
Espesor de la pared plana
La dirección del calor depende mucho de la temperatura, y no de la presión (como en el caso de los fluidos) o de la concentración (como en el caso de la transferencia de masa)
La dirección de la transferencia de calor es función de la variación de las temperaturas, aunque siempre será perpendicular al área de transferencia, es decir, el calor es perpendicular a las isotermas. Al decir unidimensional, significa que dicha transferencia sigue una única dirección.
Si se toma un volumen infinitesimal de la pared plana que se está analizando, se podrá calcular la cantidad de energía que se transfiere de un lugar a otro.
TxTcTfQLΔVxΔxΔx+xVolumen InfinitesimalTxTcTfQLΔVxΔxΔx+xVolumen Infinitesimal
T
x
Tc
Tf
Q
L
ΔV
x
Δx
Δx+x
Volumen Infinitesimal
T
x
Tc
Tf
Q
L
ΔV
x
Δx
Δx+x
Volumen Infinitesimal
TcTfQxLΔVΔxQx+ΔxTcTfQxLΔVΔxQx+Δx
Tc
Tf
Qx
L
ΔV
Δx
Qx+Δx
Tc
Tf
Qx
L
ΔV
Δx
Qx+Δx
El menos se debe a que la transferencia de calor va de la temperatura caliente a la temperatura fría, por tanto: T T 2
Fluido 2
Fluido 1
Sólido
Para hallar la expresión con la que se encontrará el flujo de calor en un sistema como este, se pueden construir "circuitos" como los aplicados en electricidad, solo que el lugar de voltajes se tendrá flujos calóricos y resistencias que se opondrán a dichos flujos.
Éstos son conocidos como Circuitos Térmicos, en los que se representa las resistencias que se oponen a la transferencia de calor, además de flechas que señalan el flujo calórico, recordando siempre que la transferencia de energía se da de un punto de mayor temperatura a uno de menor temperatura.
Resistencia debida a la ConvecciónR3=1hcFluido 2Resistencia debida a la ConvecciónR3=1hcFluido 2Resistencia debida a la ConducciónR2=LkSólidoResistencia debida a la ConducciónR2=LkSólidoResistencia debida a la ConvecciónR1=1hcFluido1 Resistencia debida a la ConvecciónR1=1hcFluido1
Resistencia debida a la Convección
R3=1hcFluido 2
Resistencia debida a la Convección
R3=1hcFluido 2
Resistencia debida a la Conducción
R2=LkSólido
Resistencia debida a la Conducción
R2=LkSólido
Resistencia debida a la Convección
R1=1hcFluido1
Resistencia debida a la Convección
R1=1hcFluido1
En este ejemplo, se observa que, aunque hay dos tipos de transmisión de energía, hay tres diferentes resistencias.
RT=Ri
T es la diferencia de temperaturas. En el caso de un circuito, corresponde a la temperatura caliente de donde parte el flujo, hasta la temperatura fría, donde termina el flujo, y por el momento no me interesan las intermedias.
Ojo que es temperatura caliente menos temperatura fría, y no temperatura final menos temperatura inicial. T es la diferencia de temperaturas. En el caso de un circuito, corresponde a la temperatura caliente de donde parte el flujo, hasta la temperatura fría, donde termina el flujo, y por el momento no me interesan las intermedias.
Ojo que es temperatura caliente menos temperatura fría, y no temperatura final menos temperatura inicial.RT=R1+R2+R3
T es la diferencia de temperaturas. En el caso de un circuito, corresponde a la temperatura caliente de donde parte el flujo, hasta la temperatura fría, donde termina el flujo, y por el momento no me interesan las intermedias.
Ojo que es temperatura caliente menos temperatura fría, y no temperatura final menos temperatura inicial.
T es la diferencia de temperaturas. En el caso de un circuito, corresponde a la temperatura caliente de donde parte el flujo, hasta la temperatura fría, donde termina el flujo, y por el momento no me interesan las intermedias.
Ojo que es temperatura caliente menos temperatura fría, y no temperatura final menos temperatura inicial.
RT=1hcFluido1+LkSólido+1hcFluido 2
q= TRT
q=T 1-T 21hcFluido1+LkSólido+1hcFluido 2

LqcondqradT1T2VacíoSólidoT0T1 > T2
T2 > 300°CPunto donde inicia la transferencia de calorLqcondqradT1T2VacíoSólidoT0T1 > T2
T2 > 300°CPunto donde inicia la transferencia de calor
L
qcond
qrad
T1
T2
Vacío
Sólido
T0
T1 > T2
T2 > 300°C
Punto donde inicia la transferencia de calor
L
qcond
qrad
T1
T2
Vacío
Sólido
T0
T1 > T2
T2 > 300°C
Punto donde inicia la transferencia de calor
Todo cuerpo cuya temperatura sea mayor al cero absoluto emite radiación, pero puede suceder que éste sea despreciable frente al calor generado por conducción, en este caso.
Resistencia debida a la ConducciónR1=LkSólido Resistencia debida a la ConducciónR1=LkSólido Resistencia debida a la RadiaciónR2=1hrResistencia debida a la RadiaciónR2=1hr
Resistencia debida a la Conducción
R1=LkSólido
Resistencia debida a la Conducción
R1=LkSólido
Resistencia debida a la Radiación
R2=1hr
Resistencia debida a la Radiación
R2=1hr
RT=Ri
RT=R1+R2
RT=LkSólido+1hr
q= TRT
q=T1-T0LkSólido+1hr
T es temperatura caliente menos temperatura fría, y no temperatura final menos temperatura inicial. T es temperatura caliente menos temperatura fría, y no temperatura final menos temperatura inicial.
T es temperatura caliente menos temperatura fría, y no temperatura final menos temperatura inicial.
T es temperatura caliente menos temperatura fría, y no temperatura final menos temperatura inicial.
LqcondqconvT1T2FluidoSólidoT0T1 > T2
T2 > 300°CqradLqcondqconvT1T2FluidoSólidoT0T1 > T2
T2 > 300°Cqrad
L
qcond
qconv
T1
T2
Fluido
Sólido
T0
T1 > T2
T2 > 300°C
qrad
L
qcond
qconv
T1
T2
Fluido
Sólido
T0
T1 > T2
T2 > 300°C
qrad
Resistencia debida a la Radiación y a la ConvecciónR2=1hr R3=1hcFluidoResistencia debida a la Radiación y a la ConvecciónR2=1hr R3=1hcFluidoResistencia debida a la ConducciónR1=LkSólido Resistencia debida a la ConducciónR1=LkSólido
Resistencia debida a la Radiación y a la Convección
R2=1hr R3=1hcFluido
Resistencia debida a la Radiación y a la Convección
R2=1hr R3=1hcFluido
Resistencia debida a la Conducción
R1=LkSólido
Resistencia debida a la Conducción
R1=LkSólido
Lo que se logró es un circuito con resistencias en serie y en paralelo. Para tratar a estas resistencias se procede de la misma forma con la que se trabaja en electricidad (en la materia de electrotecnia), a partir de circuitos equivalentes.

Resistencia en paralelo:
1Req=1R2+1R3
1Req=11hr+11hc
1Req=hr+hc
Req=1hr+hc
Resistencias en serie:
RT=Ri
RT=R1+Req
RT=LkSólido+1hr+hc
q= TRT
q=T1-T0LkSólido+1hr+hc

Resistencia debida a la Radiación y a la ConvecciónR1=1hr R2=1hcFluidoResistencia debida a la Radiación y a la ConvecciónR1=1hr R2=1hcFluidoqconvFluidoT1 > T0
T2 > 300°CqradT0T1qconvFluidoT1 > T0
T2 > 300°CqradT0T1
Resistencia debida a la Radiación y a la Convección
R1=1hr R2=1hcFluido
Resistencia debida a la Radiación y a la Convección
R1=1hr R2=1hcFluido
qconv
Fluido
T1 > T0
T2 > 300°C
qrad
T0
T1
qconv
Fluido
T1 > T0
T2 > 300°C
qrad
T0
T1
1RT=1R1+1R2
1RT=11hr+11hc
1RT=hr+hc
RT=1hr+hc
q= TRT
q=T1-T01hr+hc

Muchas veces es conveniente tener una ecuación que relacione la transferencia de energía con la posición, y otra en la que se tenga a la temperatura en función la posición. Dicha relación se obtiene, en la mayoría de los casos, a partir de la ley de Fourier:
q=-k dTdx
A la variación de la temperatura respecto a la posición se la conoce como distribución de temperaturas.

Consideraciones:
Conducción unidimensional estacionaria (la temperatura no varía con el tiempo)
Estado Estacionario
Flujo perpendicular al área de transferencia
Conductividad térmica constante
No hay generación ni acumulación de energía
Pared plana Área de transferencia constante
ΔxTCTfx=0x=LLqAqxqx+ΔxΔxTCTfx=0x=LLqAqxqx+Δx
Δx
TC
Tf
x=0
x=L
L
q
A
qx
qx+Δx
Δx
TC
Tf
x=0
x=L
L
q
A
qx
qx+Δx
Se selecciona un volumen de control para hacer el balance de energía.
Entra-Sale+Genera-Consume=Acumulación
E-S+G-C=A
qxAx-qx+ΔxAx+ x=mCp T t
m=δ V
m=δA x
qxAx-qx+ΔxAx+ x=δ A xCp T t
A=cte
qxA-qx+ΔxA=δ A x Cp T t
qx-qx+Δx x=δ Cp T t
Estado Estacionario: T t=0
qx-qx+Δx x=0
qx+Δx-qx x=0
x 0
dqdx=0
(Ecuación 1)
Aplicando la Ley de Fourier:
q=-k dTdx
dqdx=-k d2Tdx2
(Ecuación 2)
Ecuación 1 = Ecuación 2
-k d2Tdx2=0
d2Tdx2=0
ddxdTdx=0
dTdx=c1
dT=c1dx
T=c1 x+c2
Aplicando las condiciones de borde:
x=0 T=TCx=L T=Tf
TC=c10+c2
c2=TC
Tf=c1L+c2
Tf=c1L+TC
c1=Tf-TCL
T=Tf-TCLx+TC
Retornando a la Ley de Fourier, se conocerá la dependencia directa del flujo calórico con la posición.
q=-k dTdx
dTdx=c1=Tf-TCL
q=-kTf-TCL
Se puede comprobar que el flujo calórico, que no es lo mismo que calor perdido, es constante con la posición, pues no hay generación ni acumulación de energía.
q=kTC-TfL
q= TLk

Se tiene una pared plana compuesta por diferentes capas de diferentes materiales, y se desea determinar una ecuación con la cual hallar la temperatura Tx. Se recordará que se debe armar un circuito térmico.
TCTfL3qAL1L2123Txk3k1k2TCTfL3qAL1L2123Txk3k1k2
TC
Tf
L3
q
A
L1
L2
1
2
3
Tx
k3
k1
k2
TC
Tf
L3
q
A
L1
L2
1
2
3
Tx
k3
k1
k2
Consideraciones:
Conducción unidimensional
Estado Estacionario
Flujo perpendicular al área de transferencia
Conductividad térmica constante
No hay generación ni acumulación de energía. Por tanto, el calor va a ser igual el cualquier punto
Pared plana Área de transferencia constante

q1=q= TR
q=TC-TxL1k1
Tx=TC-qL1k1
Pero, aunque se tiene una expresión que permite hallar Tx, no todos los datos de dicha expresión son conocidos. Por lo tanto, es necesario expresar q en función de las propiedades que constituyen un dato.

q1=q2=q3=q= TR
q=TC-TfL1k1+L2k2+L3k3
Tx=TC-TC-TfL1k1+L2k2+L3k3L1k1
Tx=TC-L1k1TC-TfLiki

L1
k1123L2
k2L3
k3TP1TxATP2xFluido
hc1Fluido
hc2T 1T 2qL1
k1123L2
k2L3
k3TP1TxATP2xFluido
hc1Fluido
hc2T 1T 2q
L1
k1

1
2
3
L2
k2

L3
k3

TP1
Tx
A
TP2
x
Fluido
hc1
Fluido
hc2
T 1
T 2
q
L1
k1

1
2
3
L2
k2

L3
k3

TP1
Tx
A
TP2
x
Fluido
hc1
Fluido
hc2
T 1
T 2
q
Consideraciones:
Conducción unidimensional
Estado Estacionario
Flujo perpendicular al área de transferencia
Conductividad térmica constante
No hay generación ni acumulación de energía. Por tanto, el calor va a ser igual el cualquier punto
Pared plana Área de transferencia constante
TP Temperatura de paredTP Temperatura de pared
TP Temperatura de pared
TP Temperatura de pared
q= TR
q=T 1-Tx1hc1+L1k1+xk2
Tx=T 1-q1hc1+L1k1+xk2

q= TR
q=T 1-T 21h1+L1k1+L2k2+L3k3+1h2
Tx=T 1-T 1-T 21h1+L1k1+L2k2+L3k3+1h21hc1+L1k1+xk2
Así, se pueden aplicar los circuitos térmicos para encontrar la temperatura Tx que le corresponde a un punto del sistema.

Se determinará la distribución de temperaturas en una pared plana en la que hay generación de energía, energía que se transforma en energía térmica. Esta energía puede aparecer ya sea por la acción de una resistencia, o gracias a una reacción exotérmica que entrega energía en forma de calor, o por plataformas nucleares que obtienen energía a partir de la aceleración y desaceleración de cargas, o energía electromagnética que se convierte en energía térmica y otros. Si se habla de una reacción endotérmica, entonces el lugar de una generación se tiene un consumo de energía.
TP2TP1Tmax xx=0L/2L/2TP2TP1Tmax xx=0L/2L/2
TP2
TP1
Tmax
x
x=0
L/2
L/2
TP2
TP1
Tmax
x
x=0
L/2
L/2
En cuanto a la generación de energía, su valor dentro del balance de energía influirá en la distribución de temperaturas.
Consideraciones:
Conducción unidimensional
Flujo perpendicular al área de transferencia
Estado Estacionario
Conductividad térmica constante
Pared plana Área de transferencia constante
La distribución de temperaturas es simétrica respecto al plano medio. Por tanto: TP1=TP2
La temperatura máxima está ubicada en el plano medio
La generación de energía es constante
El hecho de que la temperatura máxima esté ubicada en medio del plano, no significa necesariamente que la fuente de generación de energía, una resistencia por ejemplo, estará en la mitad. Lo que sí pasa es que la energía generada sale al medio.
Aplicando el balance de energía:
Entra-Sale+Genera-Consume=Acumulación
E-S+G-C=A
E-S=-G
QV Energía Generada por unidad de volumen Wm3
qxAx-qx+ΔxAx+ x=-QV V
V=A x
qxAx-qx+ΔxAx+ x=-QVA x
A=cte
qxA-qx+ΔxA=-QV A x
qx-qx+Δx x=-QV
qx+Δx-qx x=QV
x 0
dqdx=QV
(Ecuación 1)
Aplicando la Ley de Fourier:
q=-k dTdx
dqdx=-k d2Tdx2
(Ecuación 2)
Ecuación 1 = Ecuación 2
-k d2Tdx2=QV
d2Tdx2=-QVk
ddxdTdx=-QVk
ddTdx=-QVkdx
dTdx=-QVk x+c1
dT=-QVk x+c1dx
dT=-QVkxdx+c1dx
T=-QVkx22+c1 x+c2
Aplicando las condiciones de borde:
x=0 T=Tmaxx=L2 T=TP1=TP2=TP
Pero la temperatura máxima Tmax no es dato del problema. Por lo tanto, si se sabe que para el máximo de una función se cumple que la derivada de la mista es cero, entonces es posible encontrar dicha temperatura:
Para Tmax: dTdx=0
dTdx=-QVk x+c1=0
c1=QVk x
Para T=Tmax, x=0
c1=QVk0
c1=0
TP=-QVkL222+0L2+c2
TP=-QVkL242+c2
TP=-QVkL28+c2
c2=TP+QVkL28
T=-QVkx22+c1 x+c2
T=-QVkx22+0x+TP+QVkL28
T=TP-QVkx22+QVkL28
T=TP+QVkL28-x22

Perfil de temperaturas que corresponde a un sistema en el que las temperaturas a ambos lados de la pared son iguales
Ojo que SÓLO PARA EL MÁXIMO: dTdx=0Ojo que SÓLO PARA EL MÁXIMO: dTdx=0Así, la temperatura variará en función de la generación de energía que se dé en el sistema, además de la posición, por supuesto.
Ojo que SÓLO PARA EL MÁXIMO: dTdx=0
Ojo que SÓLO PARA EL MÁXIMO: dTdx=0
q=-k dTdx
dTdx=-QVk x+c1=-QVk x
q=-k-QVk x
q=QVx
En este caso, el flujo calórico también depende de la posición y de la generación de energía dentro del sistema. En cuanto al calor generado, puede calcularlo fácilmente con los datos adecuados, como el valor de resistencia de un sistema, por ejemplo.

Se determinará la distribución de temperaturas en una pared plana en la que hay generación de energía, energía que se transforma en energía térmica. La particularidad de este caso es que la distribución de temperaturas no es simétrica respecto al plano medio, por lo que las temperaturas 1 y 2 de la pared no son iguales.
TP2TP1 xx=0LLx=Lx=-LTP2TP1 xx=0LLx=Lx=-L
TP2
TP1
x
x=0
L
L
x=L
x=-L
TP2
TP1
x
x=0
L
L
x=L
x=-L
Consideraciones:
Conducción unidimensional
Estado Estacionario
Flujo perpendicular al área de transferencia
Conductividad térmica constante
Pared plana Área de transferencia constante
La generación de energía es constante
Aplicando el balance de energía:
Entra-Sale+Genera-Consume=Acumulación
E-S+G-C=A
E-S=-G
QV Energía Generada por unidad de volumen Wm3
qxAx-qx+ΔxAx+ x=-QV V
V=A x
qxAx-qx+ΔxAx+ x=-QVA x
A=cte
qxA-qx+ΔxA=-QV A x
qx-qx+Δx x=-QV
qx+Δx-qx x=QV
x 0
dqdx=QV
(Ecuación 1)
Aplicando la Ley de Fourier:
q=-k dTdx
dqdx=-k d2Tdx2
(Ecuación 2)
Ecuación 1 = Ecuación 2
-k d2Tdx2=QV
d2Tdx2=-QVk
ddxdTdx=-QVk
ddTdx=-QVkdx
dTdx=-QVk x+c1
dT=-QVk x+c1dx
dT=-QVkxdx+c1dx
T=-QVkx22+c1 x+c2
Aplicando las condiciones de borde:
x=-L T=TP1x=L T=TP2
T=-QVkx22+c1 x+c2
TP1=-QVk-L22+c1-L+c2
TP1=-QVkL22-c1L+c2
TP1+QVkL22=c2-c1L
TP2=-QVkL22+c1L+c2
TP2=-QVkL22+c1L+c2
TP2+QVkL22=c2+c1L
TP1+QVkL22=c2-c1LEcuación ATP2+QVkL22=c2+c1LEcuación B
A+B: TP1+QVkL22+TP2+QVkL22=2c2
2c2=TP1+TP2+2QVkL22
2c2=TP1+TP2+QVkL2
c2=TP1+TP22+QVkL22
c2 en B: TP2+QVkL22=TP1+TP22+QVkL22+c1L
c1L=TP2+QVkL22-TP1+TP22-QVkL22
c1L=TP2-TP1+TP22
c1L=2TP2-TP1-TP22
c1L=TP2-TP12
c1=TP2-TP12L
T=-QVkx22+c1 x+c2
T=-QVkx22+TP2-TP12Lx+TP1+TP22+QVkL22
T=QVkL22-QVkx22+xTP2-TP12L+TP1+TP22
T=QVkL22-x22+xTP2-TP12L+TP1+TP22
T=QV2kL2-x2+TP2-TP12xL+TP1+TP22
T=QVL22k1-x2L2+TP2-TP12xL+TP1+TP22
q=-k dTdx
dTdx=-QVk x+c1=-QVk x+TP2-TP12L
q=-k-QVk x+TP2-TP12L
q=QVx-kTP2-TP12L
q=QVx+k2LTP1-TP2
Si la energía generada va a salir al medio, entonces se puede aplicar la siguiente ecuación para conocer la temperatura de la pared a partir de la temperatura del medio:
QV L=hc TP-T
L Espesor de la paredTP Temperatura de la paredT Temperatura del medio

Es muy común encontrarnos con casos en los que la conductividad térmica del sólido varía con la temperatura.
ΔxTCTfLqAqxqx+Δxx=0x=Lk=k0+ TΔxTCTfLqAqxqx+Δxx=0x=Lk=k0+ T
Δx
TC
Tf
L
q
A
qx
qx+Δx
x=0
x=L
k=k0+ T
Δx
TC
Tf
L
q
A
qx
qx+Δx
x=0
x=L
k=k0+ T
Consideraciones:
Conducción unidimensional estacionaria (la temperatura no varía con el tiempo)
Pared plana Área de transferencia constante
No hay generación de energía
Aplicando el balance de energía:
Entra-Sale+Genera-Consume=Acumulación
E-S+G-C=A
qxAx-qx+ xAx+ x=mCp T t
m=δ V=δA x
A=cte
qxA-qx+ xA=δ A xCp T t
qx-qx+ x x=δCp T t
Estado Estacionario: T t=0
qx-qx+ x x=0
qx+ x-qx x=0
Si x 0:
dqdx=0
Si se aplica la Ley de Fourier:
q=-k dTdx
dqdx=-ddxk dTdx
0=-ddxk dTdx
ddxk dTdx=0
k dTdx=c1
k0+ TdTdx=c1
k0+ TdT=c1dx
k0T+ 2T2=c1x+c2
Aplicando las condiciones de borde:
x=0 T=TCx=L T=Tf
k0T+ 2T2=c1x+c2
k0TC+ 2TC2=c10+c2
c2= 2TC2+k0TC
k0Tf+ 2Tf2=c1L+c2
k0Tf+ 2Tf2=c1L+ 2TC2+k0TC
k0Tf+ 2Tf2- 2TC2-k0TC=c1L
k0Tf-TC+ 2Tf2-TC2=c1L
c1=k0LTf-TC+ 2LTf2-TC2
k0T+ 2T2=c1x+c2
k0T+ 2T2=k0LTf-TC+ 2LTf2-TC2x+ 2TC2+k0TC
q=-k dTdx
k dTdx=c1
-kdTdx=-c1
q=-c1
q=k0LTf-TC+ 2LTf2-TC2

Si tiene un cono truncado cuyas paredes laterales se encuentras aisladas. La temperaturas de la cara inferior corresponde a la temperatura fría, y en la cara superior está la temperatura caliente.
r1r2qxqx+ xTCTfLr=ax+bx=0x=Lrxrx+ x xr1r2qxqx+ xTCTfLr=ax+bx=0x=Lrxrx+ x x
r1
r2
qx
qx+ x
TC
Tf
L
r=ax+b
x=0
x=L
rx
rx+ x
x
r1
r2
qx
qx+ x
TC
Tf
L
r=ax+b
x=0
x=L
rx
rx+ x
x
Radio no es lo mismo que diámetroRadio no es lo mismo que diámetroConsideraciones:
Radio no es lo mismo que diámetro
Radio no es lo mismo que diámetro
Conducción unidimensional
Estado Estacionario
No hay generación de energía
Conductividad térmica constante
Área no constante
Aplicando las condiciones de borde:
x=0 r=r1x=L r=r2
r=ax+b
r1=a0+b
b=r1
r2=aL+r1
a=r2-r1L
Aplicando el balance de energía:
Entra-Sale+Genera-Consume=Acumulación
E-S+G-C=A
qxAx-qx+ xAx+ x=mCp T t
m=δV=δA x
m=δV=δπr2 x
qxπrx2-qx+ xπrx+ x2=δπr2 xCp T t
qxrx2-qx+ xrx+ x2 x=δr2Cp T t
Proceso Estacionario: T t=0
qxrx2-qx+ xrx+ x2 x=0
qx+ xrx+ x2-qxrx2 x=0
Si x 0
dq r2dx=0
Aplicando la Ley de Fourier:
q=-k dTdx
q r2=-kr2 dTdx
dq r2dx=-kddxr2 dTdx
-kddxr2 dTdx=0
ddxr2 dTdx=0
r2 dTdx=c1
dT=c1r2dx
dT=c1ax+b2dx
dT=c1dxax+b2
dT=c1adax+bax+b2
T=c1a-1ax+b+c2
Aplicando las condiciones de borde:
x=0 T=TCx=L T=Tf
T=c1a-1ax+b+c2
TC=c1a-1a0+b+c2
TC=-c1ab+c2
Tf=c1a-1aL+b+c2
TC=-c1ab+c2Tf=c1a-1aL+b+c2
TC-Tf=-c1ab-c1a-1aL+b
TC-Tf=-c1a1b-1aL+b
TC-Tf=-c1aaL+b-baL+bb
TC-Tf=-c1abaLaL+b
c1=-baL+bTC-TfL
TC=-c1ab+c2
TC=baL+bTC-TfabL+c2
c2=TC-aL+bTC-TfaL
T=c1a-1ax+b+c2
T=-baL+bTC-TfaL-1ax+b+TC-aL+bTC-TfaL
T=baL+bTC-TfaL1ax+b+TC-aL+bTC-TfaL
T=TC-aL+bTC-TfaL+baL+bTC-TfaLax+b
q=-k dTdx
r2 dTdx=c1
dTdx=c1r2=-baL+bTC-TfLax+b2
-dTdx=baL+bTC-TfLax+b2
q=k baL+bTC-TfLax+b2



A menudo, en una pared cilíndrica, la transferencia se da en forma radial. El flujo de calor será paralelo al gradiente de temperaturas y perpendicular al área de transferencia, que en este caso es el área transversal del cilindro, de adentro hacia afuera o al revés.
reLriTCTf rLongitud del cilindro, no espesorÁrea Transversal del Cilindro
AT=2πrLLLCircunferencia=2πrreLriTCTf rLongitud del cilindro, no espesorÁrea Transversal del Cilindro
AT=2πrLLLCircunferencia=2πr
re
L
ri
TC
Tf
r
Longitud del cilindro, no espesor
Área Transversal del Cilindro
AT=2πrL
L
LCircunferencia=2πr
re
L
ri
TC
Tf
r
Longitud del cilindro, no espesor
Área Transversal del Cilindro
AT=2πrL
L
LCircunferencia=2πr
Tf rreriTCqqrqr+ rTf rreriTCqqrqr+ r
Tf
r
re
ri
TC
q
qr
qr+ r
Tf
r
re
ri
TC
q
qr
qr+ r
Consideraciones:
Conducción unidimensional, del radio interior al radio exterior
Estado Estacionario
No hay generación de energía
Conductividad térmica constante
Área no constante
Aplicando el balance de energía:
Entra-Sale+Genera-Consume=Acumulación
E-S+G-C=A
qrAr-qr+ rAr+ r=mCp T t
m=δV=δAT r
m=δV=δ2πrL r
qr2πrL-qr+ r2πr+ rL=δ2πrL rCp T t
qrr-qr+ rr+ r r=δrCp T t
Proceso Estacionario: T t=0
qrr-qr+ rr+ r r=0
qr+ rr+ r-qrr r=0
Si r 0
dq rdr=0
Aplicando la Ley de Fourier:
q=-k dTdr
q r=-kr dTdr
dq rdr=-kddrr dTdr
-kddrr dTdr=0
ddrr dTdr=0
r dTdr=c1
dT=c1rdr
dT=c1drr
T=c1lnr+c2
Aplicando las condiciones de borde:
r=ri T=TCr=re T=Tf
T=c1lnr+c2
TC=c1lnri+c2
Tf=c1lnre+c2
TC=c1lnri+c2Tf=c1lnre+c2
TC-Tf=c1lnri-c1lnre
TC-Tf=c1lnri-lnre
TC-Tf=c1lnrire
c1=TC-Tflnrire
TC=c1lnri+c2
TC=TC-Tflnrirelnri+c2
c2=TC-TC-Tflnrirelnri
c2=TClnrire-TC-Tflnrilnrire
c2=TClnri-lnre-TC-Tflnrilnrire
c2=TClnri-TClnre-TClnri+Tflnrilnrire
c2=Tflnri-TClnrelnrire
T=c1lnr+c2
T=TC-Tflnrirelnr+Tflnri-TClnrelnrire
T=TClnr-Tflnr+Tflnri-TClnrelnrire
T=TClnr-lnre-Tflnr-lnrilnrire
T=TClnrre-Tflnrrilnrire
q=-k dTdr
r dTdr=c1
dTdr=c1r=1rTC-Tflnrire
q=-k1rTC-Tflnrire
q=-krTC-Tflnrire
Q=q A=-krTC-Tflnrire2πrL
Q=-2πkLTC-Tflnrire
Q=2πkLTC-Tflnreri
Se notará, por tanto, que q no es constante, pues depende de r, mientas que Q sí. Otro flujo de calor que también es constante es el flujo calórico por unidad de longitud, mas "longitud" no se refiere a la correspondiente al espesor sino al largo del tubo:
qL=2πkTC-Tflnreri
Q=2πkLTC-Tflnreri
Q=TC-Tflnreri2πkL TR
R=lnreri2πkL

Tfr4TCr1r2r3T 1
hc1T 2
hc2kAkBkCTfr4TCr1r2r3T 1
hc1T 2
hc2kAkBkCLÁrea Transversal del Cilindro
AT=2πrLLLCircunferencia
=2πrLÁrea Transversal del Cilindro
AT=2πrLLLCircunferencia
=2πr
Tf
r4
TC
r1
r2
r3
T 1
hc1
T 2
hc2
kA
kB
kC
Tf
r4
TC
r1
r2
r3
T 1
hc1
T 2
hc2
kA
kB
kC
L
Área Transversal del Cilindro
AT=2πrL
L
LCircunferencia
=2πr
L
Área Transversal del Cilindro
AT=2πrL
L
LCircunferencia
=2πr

Sin embargo, en este caso la conducción se dependerá del área de transferencia con la que el fluido se encuentre y que, por cierto, ya no es la misma. Por tanto, se debe fijar la resistencia en función del área:
Rconv=1hc Aconv
R1=12πLr1hc1=12πLr1hc1
R5=12πLr4hc2=12πLr4hc2
En cuanto a la ecuación que indica la resistencia a la transferencia de calor por conducción en una pared cilíndrica, ésta ya incluye al área de transferencia:
RCond=lnreri2πkL
RT=R1+R2+R3+R4+R5
RT=12πLr1hc1+lnr2r12πkAL+lnr3r12πkBL+lnr4r12πkCL+12πLr4hc2
RT=12πLr1hc1+12πLr4hc2+lnr2r12πkAL+lnr3r12πkBL+lnr4r12πkCL
RT=12πL1r1hc1+1r4hc2+lnr2r1kA+lnr3r1kB+lnr4r1kC
RT=12πL1rinthcint+1rexthcext+i=1nlnrn+1rnkA
Q= TRT
Q=T 1-T 212πL1rinthcint+1rexthcext+i=1nlnrn+1rnkA
qL=T 1-T 212π1rinthcint+1rexthcext+i=1nlnrn+1rnkA
No es común calcular la transferencia de calor por unidad de área en este tipo de sistemas, pues ésta no será constante pues el área va cambiando a medida que se lleva a cabo la transferencia.
El flujo de calor también es posible expresarlo en función del Coeficiente Global de Transferencia de Calor (U), valor que depende del área que se tome como referencia:
Q= TRT=U A T
Como se habla de un área de "referencia", entonces se tendrá más de un coeficiente global de transferencia de calor. Por ejemplo, si se toma al área que involucra al radio r1:
U1=1r1r11hc1+r1kAlnr2r1+r1kBlnr3r2+r1kClnr4r3+r1r41hc2
U1=11hc1+r1kAlnr2r1+r1kBlnr3r2+r1kClnr4r3+r1r41hc2
A1=2πL r1
Así, se cumple la siguiente relación:
U1A1=U2A2=U3A3=…=UiAi=1Ri

Tp rreriTmaxqqrqr+ rTp rreriTmaxqqrqr+ r
Tp
r
re
ri
Tmax
q
qr
qr+ r
Tp
r
re
ri
Tmax
q
qr
qr+ r
Consideraciones:
Conducción unidimensional, del radio interior al radio exterior
Estado Estacionario
Generación de energía uniforme y constante
Conductividad térmica constante
Aplicando el balance de energía:
Entra-Sale+Genera-Consume=Acumulación
E-S+G-C=A
qrAr-qr+ rAr+ r+G=mCp T t
m=δV=δAT r
m=δ2πrL r
G=QV V=QV AT r
G=QV V=QV 2πrL r
qr2πrL-qr+ r2πr+ rL=δ2πrL rCp T t-QV 2πrL r
qrr-qr+ rr+ r r=δrCp T t-QVr
Proceso Estacionario: T t=0
qrr-qr+ rr+ r r=-QVr
qr+ rr+ r-qrr r=QVr
Si r 0
dq rdr=QVr
Aplicando la Ley de Fourier:
q=-k dTdr
q r=-kr dTdr
dq rdr=-kddrr dTdr
-kddrr dTdr=QVr
ddrr dTdr=-QVrk
r dTdr=-QV2kr2+c1
dTdr=-QV2kr+c1r
dT=-QV2kr+c1rdr
dT=-QV2kr+c1rdr
T=-QV4kr2+c1lnr+c2
Aplicando las condiciones de borde:
r=ri T=Tmaxr=re T=TP
Tmax dTdr=0
dTdr=-QV2kr+c1r
-QV2kri+c1ri=0
c1ri=QV2kri
c1=QV2kri2
T=-QV4kr2+c1lnr+c2
Tp=-QV4kre2+QV2kri2lnre+c2
c2=Tp+QV4kre2-QV2kri2lnre
T=-QV4kr2+c1lnr+c2
T=-QV4kr2+QV2kri2lnr+Tp+QV4kre2-QV2kri2lnre
T=Tp+QV4kre2-QV4kr2+QV2kri2lnr-QV2kri2lnre
T=Tp+QV4kre2-r2+QV2kri2lnr-lnre
T=Tp+QV4kre2-r2+QV2kri2lnrre
q=-k dTdr
dTdr=-QV2kr+c1r=-QV2kr+QV2kri2r
dTdr=-QV2kr+QV2kri2r
dTdr=-QV2kr-ri2r
-kdTdr=QV2r-ri2r
q=QV2r-ri2r
q=QV2r2-ri2r
Q=q A=QV2r2-ri2r2πrL
Q=πLQVr2-ri2
qL=πQVr2-ri2

rireTfTCqr rqrqr+ rÁrea TransversalAT=4πr2rireTfTCqr rqrqr+ rÁrea TransversalAT=4πr2
ri
re
Tf
TC
q
r
r
qr
qr+ r
Área Transversal
AT=4πr2
ri
re
Tf
TC
q
r
r
qr
qr+ r
Área Transversal
AT=4πr2
Para determinar la transferencia de calor en una esfera hueca, se harán las siguientes suposiciones:
Conducción unidimensional radial desde la temperatura caliente hasta la temperatura fría.
Estado Estacionario
Conductividad térmica constante
No hay generación ni acumulación de energía
Aplicando el balance de energía:
Entra-Sale+Genera-Consume=Acumulación
E-S+G-C=A
qrAr-qr+ rAr+ r=mCp T t
m=δV=δAT r
m=δV=δ4πr2 r
qr4πr2-qr+ r4πr+ r2=δ4πr2 rCp T t
qrr2-qr+ rr+ r2 r=δr2Cp T t
Proceso Estacionario: T t=0
qrr2-qr+ rr+ r2 r=0
qr+ rr+ r2-qrr2 r=0
Si r 0
dq r2dr=0
Aplicando la Ley de Fourier:
q=-k dTdr
q r2=-kr2 dTdr
dq r2dr=-kddrr2 dTdr
-kddrr2 dTdr=0
ddrr2 dTdr=0
r2 dTdr=c1
dT=c1r2dr
dT=c1drr2
T=-c1r+c2
Aplicando las condiciones de borde:
r=ri T=TCr=re T=Tf
T=-c1r+c2
TC=-c1ri+c2
Tf=-c1re+c2
TC=-c1ri+c2Tf=-c1re+c2
TC-Tf=-c1ri+c1re
TC-Tf=c11re-1ri
c1=TC-Tf1re-1ri
TC=-c1ri+c2
TC=-TC-Tf1re-1riri+c2
c2=TC+TC-Tf1re-1riri
c2=TC+TC-Tfri-rerireri
c2=TC+reTC-Tfri-re
T=-c1r+c2
T=-TC-Tf1re-1rir+TC+reTC-Tfri-re
T-TC=-TC-Tfr1re-1ri+reTC-Tfri-re
T-TC=TC-Tfreri-re-1r1re-1ri
T-TCTC-Tf=rerireririre-rerire-1r×11re-1ri
T-TCTC-Tf=1ri1re-1ri-1r1re-1ri
T-TCTC-Tf=1ri-1r1re-1ri
-T-TCTC-Tf=-1ri-1r1re-1ri
T-TCTf-TC=1ri-1r1ri-1re
q=-k dTdr
r2 dTdr=c1
dTdr=c1r2=1r2TC-Tf1re-1ri
q=-k1r2TC-Tf1re-1ri
q=-kr2TC-Tf1re-1ri
Q=q A=-kr2TC-Tf1re-1ri4πr2
Q=-4πkTC-Tf1re-1ri
Q=4πkTC-Tf1ri-1re
Q=4πkTC-Tf1ri-1re
Q=TC-Tf1ri-1re4πk TR
R=1ri-1re4πk

r1r2r3r4r5TCTfabcdr1r2r3r4r5TCTfabcd
r1
r2
r3
r4
r5
TC
Tf
a
b
c
d
r1
r2
r3
r4
r5
TC
Tf
a
b
c
d
R=Ra+Rb+Rc+Rd
R=1ri-1re4πk
R=1r1-1r24πka+1r2-1r34πkb+1r3-1r44πkc+1r4-1r54πkd
R=14π1r1-1r2ka+1r2-1r3kb+1r3-1r4kc+1r4-1r5kd
Q= TR
Q=TC-Tf14π1r1-1r2ka+1r2-1r3kb+1r3-1r4kc+1r4-1r5kd
rireT i
hCiT e
hCerireT i
hCiT e
hCe
ri
re
T i
hCi
T e
hCe
ri
re
T i
hCi
T e
hCe
R=Rconvi+Rcond+Rconve
Rcond=1ri-1re4πk
Rconv=1A hC
R=1ri-1re4πk+1Ai hCi+1Ae hCe
R=1ri-1re4πk+14πri2 hCi+14πre2 hCe
R=14π1ri-1rek+1ri2hCi+1re2hCe
Q= TR
Q=TC-Tf14π1ri-1rek+1ri2hCi+1re2hCe

rireTPTmaxqr rqrqr+ rÁrea TransversalAT=4πr2rireTPTmaxqr rqrqr+ rÁrea TransversalAT=4πr2
ri
re
TP
Tmax
q
r
r
qr
qr+ r
Área Transversal
AT=4πr2
ri
re
TP
Tmax
q
r
r
qr
qr+ r
Área Transversal
AT=4πr2
Consideraciones:
Transferencia de calor unidireccional radial
Estado estacionario
Conductividad Térmica constante
No hay acumulación de energía
Generación uniforme en la capa interna
La temperatura máxima está en el radio interno
Entra-Sale+Genera-Consume=Acumulación
E-S+G-C=A
qrAr-qr+ rAr+ r=mCp T t-G
m=δV=δAT r
m=δV=δ4πr2 r
G=QV V
G=QV4πr2 r
qr4πr2-qr+ r4πr+ r2=δ4πr2 rCp T t-QV4πr2 r
qrr2-qr+ rr+ r2 r=δr2Cp T t-QVr2
Proceso Estacionario: T t=0
qrr2-qr+ rr+ r2 r=-QVr2
qr+ rr+ r2-qrr2 r=QVr2
Si r 0
dq r2dr=QVr2
Aplicando la Ley de Fourier:
q=-k dTdr
q r2=-kr2 dTdr
dq r2dr=-kddrr2 dTdr
-kddrr2 dTdr=QVr2
ddrr2 dTdr=-QVr2k
r2 dTdr=-QVr33k+c1
dTdr=-QVr3k+c1r2
dT=-QVr3k+c1r2dr
T=-QVr26k-c1r+c2
Aplicando las condiciones de borde:
r=ri T=Tmax r=re T=TP
Tmax dTdr=0
dTdr=-QVr3k+c1r2
-QVri3k+c1ri2=0
c1=QVri33k
T=-QVr26k-c1r+c2
TP=-QVre26k-QVri33kre+c2
c2=TP+QVre26k+QVri33kre
T=-QVr26k-c1r+c2
T=-QVr26k-QVri33kr+TP+QVre26k+QVri33kre
T-TP=-QVr26k-QVri33kr+QVre26k+QVri33kre
T-TP=QV3k-r22-ri3r+re22+ri3re
T-TP=QV3kri3re-ri3r+re22-r22
q=-k dTdr
dTdr=-QVr3k+c1r2
dTdr=-QVr3k+QVri33kr2
dTdr=-QVr3k+QVri33kr2
q=-k-QVr3k+QVri33kr2
q=QVr3-QVri33r2
q=QV3r-ri3r2
q=QV3r2r3-ri3
Q=q A
Q=QV3r2r3-ri34πr2
Q=QV 43πr3-ri3
Otra forma de expresar el calor total, que sale para interactuar con el medio es:
Q=QV VTotal
Q=QV 43πr3

Radio Crítico es el radio en el cual es "crítico" o no conveniente poner el aislante debido a que se va a tener la máxima transferencia de calor en dicho radio crítico.
kar1r2TSatTSupT hconvLkTub Conductividad Térmica del Tuboka Conductividad Térmica del Aislanter1 Radio Interior del aislanter2 Radio exterior del AislanteTSup Temperatura Exterior del Aislanteri Radio Interno de la Tuberíare Radio Externo de la Tubería (=r1)rerikar1r2TSatTSupT hconvLkTub Conductividad Térmica del Tuboka Conductividad Térmica del Aislanter1 Radio Interior del aislanter2 Radio exterior del AislanteTSup Temperatura Exterior del Aislanteri Radio Interno de la Tuberíare Radio Externo de la Tubería (=r1)reri
ka
r1
r2
TSat
TSup
T
hconv
L
kTub Conductividad Térmica del Tubo
ka Conductividad Térmica del Aislante
r1 Radio Interior del aislante
r2 Radio exterior del Aislante
TSup Temperatura Exterior del Aislante
ri Radio Interno de la Tubería
re Radio Externo de la Tubería (=r1)
re
ri
ka
r1
r2
TSat
TSup
T
hconv
L
kTub Conductividad Térmica del Tubo
ka Conductividad Térmica del Aislante
r1 Radio Interior del aislante
r2 Radio exterior del Aislante
TSup Temperatura Exterior del Aislante
ri Radio Interno de la Tubería
re Radio Externo de la Tubería (=r1)
re
ri
Para entender mejor este término, se procederá con el análisis del sistema, comenzando por un circuito térmico:

A través de cada una de las resistencias que conforman el circuito térmico fluye la misma cantidad de calor, calor que se puede calcular con la relación de la diferencia de temperaturas dividida para su RESPECTIVA resistencia.
Conducción en la Tubería
Conducción en el Aislante
Convección

R1=lnreri2πktubL

R2=lnr2r12πkaL
R3=12πr2L hconv

Q= T1lnreri2πktubL

Q= T2lnr2r12πkaL
Q= T3lnr2r12πkaL
Q=T -TsatR1+R2+R3
Q=T -Tsatlnreri2πktubL+lnr2r12πkaL+12πr2L hconv
Para mejorar o minimizar la transferencia de calor se varía el valor de r2, ya que ri y re (o r1), que son los datos de la tubería, son dados y constantes. Es el aislante el que cambia.
r1(re)r2QTuberíaAislanterir1(re)r2QTuberíaAislanteri
r1(re)
r2
Q
Tubería
Aislante
ri
r1(re)
r2
Q
Tubería
Aislante
ri
Por lo tanto, si se aumenta el valor de r2, es decir, se aumenta el espesor del aislante, la resistencia a la conducción del aislante aumenta, y con ella la transferencia de calor disminuye. Sin embargo, este amento también implica una disminución en la resistencia de convección, lo que involucra un aumento en la transferencia de calor.
Por lo tanto, se tiene dos resistencias que están luchando, aunque r2 afecta más a la resistencia debida a la convección ya que su cambio implica un cambio en el área de transferencia. Sin embargo, debe existir un radio "crítico" en el que la transferencia de calor es máxima.
Consecuentemente, a partir de lo anterior:
A mayor cantidad de aislante, mayor resistencia a la conducción.
r2 nunca debe coincidir con rCr2 nunca debe coincidir con rCA mayor cantidad de aislante, menor resistencia a la convección debido al aumento del radio de la superficie externa.
r2 nunca debe coincidir con rC
r2 nunca debe coincidir con rC

r2rCrminQmaxQSinAislanter2rCEl calor se incrementa debido al aumento del área de transferenciaEl calor disminuye por la influencia de la resistencia, no del árear2rCrminQmaxQSinAislanter2rCEl calor se incrementa debido al aumento del área de transferenciaEl calor disminuye por la influencia de la resistencia, no del área

r2
rC
rmin
Qmax
QSinAislante
r2rC
El calor se incrementa debido al aumento del área de transferencia
El calor disminuye por la influencia de la resistencia, no del área

r2
rC
rmin
Qmax
QSinAislante
r2rC
El calor se incrementa debido al aumento del área de transferencia
El calor disminuye por la influencia de la resistencia, no del área
En una pared esférica y en una pared cilíndrica un aumento del área de transferencia implica un aumento de la transferencia de calor. Esto no sucede en el caso de una pared plana, en la que el área de transferencia es constante.
Radio crítico es el radio de aislante para el cual se tiene la máxima transferencia de calor. Por lo tanto, lo idóneo es evitar al máximo un espesor de aislante que corresponda al radio crítico. Radio mínimo es, en cambio, el espesor para el cual la transferencia de calor es la misma que cuando la tubería está sin aislante.
Bajo el radio crítico la transferencia de calor aumenta con el aumento del espesor del aislante. De hecho, la pérdida de calor es mayor que si la tubería no estuviese aislada ¡qué ironía! Por lo tanto, no son recomendables los espesores de aislante menores o iguales al radio crítico.
Sobre el radio crítico, la pérdida de calor disminuye con el aumento del espesor del aislante. Esto es lo que comúnmente se espera.
Para calcular el valor del radio crítico, se máxima la transferencia de calor o se minimiza el valor de la resistencia total. Hallar el máximo o el mínimo de una función implica igualar la primera derivada a cero.
RT=lnreri2πktubL+lnr2r12πkaL+12πr2L hconv
RT r2=0+12πkaL1r2+12πLhconv-1r22=0
Para r2=rC RT r2=0
12πkaL1rC+12πLhconv-1rC2=0
12πkaL1rC=12πLhconv1rC2
rC=kahconv
Q=T -TsatRT
Q r2= r2T -TsatRT=T -Tsat r21RT
Q r2=T -Tsat-1RT2 RT r2
Q r2=T -Tsat-1lnreri2πktubL+lnr2r12πkaL+12πr2L hconv12πkaL1r2+12πLhconv-1r22
Para r2=rC RT r2=0
T -Tsat-1lnreri2πktubL+lnrC2 nv a igualar la primera derivada a cero.r de la resistencia total.s la misma que cuando la tuberr12πkaL+12πr2L hconv12πkaL1rC+12πLhconv-1rC2=0
T -Tsat No puede ser igual a 0, sino no habría transferencia de calor
1lnreri2πktubL+lnrC2 nv a igualar la primera derivada a cero.r de la resistencia total.s la misma que cuando la tuberr12πkaL+12πr2L hconv Jamás podría ser igual a 0 exactamente
Por lo tanto:
12πkaL1rC+12πLhconv-1rC2=0
12πkaL1rC=12πLhconv1rC2
rC=kahconv
Por lo tanto, un gran coeficiente de convección permite que el radio crítico se presente dentro de la tubería.
El radio crítico óptimo viene dado por la fórmula:
rCoptimo=r1+r2-r12Espesor del aislante
rCoptimo=r1+r22
Lo ideal es que el radio crítico esté dentro de la tubería, de modo que el radio mínimo se halle en el exterior de la tubería.

Si se analiza microscópicamente a una superficie, se observará en ésta pequeñas grietas que resultan de la rugosidad del material. De ahí que generalmente cuando dos superficies se ponen en contacto, se forman huecos entre superficie y superficie, los mismos que hacen que alteran el proceso de transferencia de calor.
La resistencia al contacto (Rc) es muy importante cuando se está trabajando con sistemas compuestos, como paredes planas compuestas o cilindros de varias capas.
TCTfqe1e2Ti1Ti2k1k2qTCTfqe1e2Ti1Ti2k1k2q
TC
Tf
q
e1
e2
Ti1
Ti2
k1
k2
q
TC
Tf
q
e1
e2
Ti1
Ti2
k1
k2
q
Aplicando presión en la unión de las dos superficies o introduciendo un fluido de alta conductividad en los "huecos" formados entre las superficies se puede disminuir esta resistencia al contacto.
q= TR
q=Ti1-Ti2Rc
q=TC-Tfe1k1+e2k2+Rc
Los valores de Rc para diferente superficies están tabulados en tablas. Sin embargo, la resistencia al contacto es prácticamente despreciable en la mayoría de sistema, incluso en muchos de las superficies compuestas, aunque sí debe ser considerada si el ejercicio lo especifica.



QTS, AT , hcPARED PLANA SIN ALETASPARED PLANA CON ALETAST , hcTSQTS, AT , hcPARED PLANA SIN ALETASPARED PLANA CON ALETAST , hcTS

Q
TS, A
T , hc
PARED PLANA SIN ALETAS
PARED PLANA CON ALETAS

T , hc
TS

Q
TS, A
T , hc
PARED PLANA SIN ALETAS
PARED PLANA CON ALETAS

T , hc
TS
Q=hc A TS-T
El objetivo de una aleta es aumentar la rapidez de la pérdida de calor entre un sólido y su medio.El objetivo de una aleta es aumentar la rapidez de la pérdida de calor entre un sólido y su medio.Son sólidos que experimentan una transferencia de energía en la que se combinan dos mecanismos de transferencia de calor: conducción y convección, e incluso radiación. La conducción se lleva a cabo entre los límites de la aleta, mientras que la convección se lleva a cabo entre sus límites y los alrededores.
El objetivo de una aleta es aumentar la rapidez de la pérdida de calor entre un sólido y su medio.
El objetivo de una aleta es aumentar la rapidez de la pérdida de calor entre un sólido y su medio.
Son empleadas principalmente para aumentar la pérdida de transferencia de calor en forma de convección entre el sólido y el fluido contiguo.
T , hcDiferencia de Temperaturas LongitudinalTST , hcDiferencia de Temperaturas LongitudinalTSSi Q=hc A TS-T es la transferencia de energía por convección, entonces existen tres formas de aumentar la transferencia de calor: aumentar el valor de la constante de convección hc, aumentando la velocidad del fluido por ejemplo; disminuir la temperatura del fluido T o incrementando el área de la superficie a través de la cual ocurre la convección, es decir, aumentando el área de la aleta. Las dos primeras opciones presentan limitaciones desde el punto de vista económico, siendo la tercera la más viable.

T , hc
Diferencia de Temperaturas Longitudinal
TS

T , hc
Diferencia de Temperaturas Longitudinal
TS
Idealmente el material de la aleta presenta un alto valor de conductividad térmica, de modo que la resistencia a la conducción es muy pequeña, y es muy fina, para que la diferencia de temperaturas longitudinal sea muy cercana a cero. Así, se minimiza las variaciones de temperatura desde la base hasta la punta y, por tanto, se puede considerar una transferencia de calor unidireccional a lo largo del eje x. Sin embargo en los sistemas reales la transferencia de energía es más bien bidireccional, a lo largo de los ejes x y y.
El en límite de la conductividad térmica infinito, toda aleta está a la temperatura de la base de la superficie, proporcionando con ello el máximo aumento posible de la transferencia de calor. Aunque generalmente no todo el calor se pierde por conducción, por lo que es necesario determinar la eficiencia de la aleta.

En las refrigeradoras, aletas son las rejillas pegadas al tubo refrigerante. Su función es aumentar el área y, con ello, maximizar la transferencia de calor.
Se utilizan además para el calentamiento o enfriamiento rápido de los motores de refrigeradoras
Arreglos para enfriar cabezas de motores y cortadoras de césped.
Arreglos para enfriar transformadores de potencia eléctrica.
Radiadores de carros
Acondicionadores de aire


SECCIÓN TRANSVERSAL UNIFORME (CONSTANTE): Cualquier superficie prolongada que se une a una pared plana.
T , hcBWLTSLargo de la aletaAT=W BÁrea Transversal de la aleta
Área de la aleta por la que se da la transferencia de calorT , hcBWLTSLargo de la aletaAT=W BÁrea Transversal de la aleta
Área de la aleta por la que se da la transferencia de calor

T , hc
B
W
L
TS
Largo de la aleta
AT=W B
Área Transversal de la aleta
Área de la aleta por la que se da la transferencia de calor

T , hc
B
W
L
TS
Largo de la aleta
AT=W B
Área Transversal de la aleta
Área de la aleta por la que se da la transferencia de calor
SECCIÓN TRANSVERSAL VARIABLE CON x
LTST , hcLTST , hc

L
TS
T , hc

L
TS
T , hc

Aquellas que se une en forma de circunferencia a un cilindro. Su sección transversal varía con el radio, tomado desde la línea centro del cilindro.
rδLrδL
r
δ
L
r
δ
L
δ2πrÁrea Transversal de la aletaδ2πrÁrea Transversal de la aleta
δ
2πr
Área Transversal de la aleta
δ
2πr
Área Transversal de la aleta

Es un superficie prolongada de sección transversal circular.
SECCIÓN TRANSVERSAL UNIFORME (CONSTANTE)
TST , hcTST , hc

TS
T , hc

TS
T , hc
SECCIÓN TRANSVERSAL VARIABLE CON x
TST , hcTST , hc

TS
T , hc

TS
T , hc



T , hcBWLTbQ xTbxQxQx+ xTb T T , hcBWLTbQ xTbxQxQx+ xTb T

T , hc
B
W
L
Tb
Q
x
Tb
x
Qx
Qx+ x
Tb T

T , hc
B
W
L
Tb
Q
x
Tb
x
Qx
Qx+ x
Tb T
Consideraciones:
Transferencia de calor unidireccional a lo largo del eje x
Estado Estacionario
No hay generación ni acumulación de energía
Conductividad Térmica de la aleta constante
Aleta recta
Sección transversal uniforme
No todo el calor que pasa por conducción a través de la aleta se gasta por convección
Previamente, se establecerá las fórmulas correspondientes al área transversal (AT) de la aleta, con la cual se determinará la transferencia de calor por conducción, y el área lateral (AL) de la misma, con la cual se determinará la transferencia de calor por convección.
AT=W B
En cuanto al área lateral, por la cual se da la transferencia de calor por convección, se debe observar el gráfico en el cual ésta está representada por: , es decir, la suma del área de los dos cuadrados rayados, multiplicada por dos, ya que la transferencia de calor por conducción en el volumen de control se lleva a cabo por arriba, por abajo, por la izquierda y por la derecha.
AL=2A1+A2
AL=2 xB+ xW
AL=2 xB+W
Una vez obtenidos estos datos, se procede con la ecuación general del balance de energía:
Entra-Sale+Genera-Consume=Acumulación
E-S+G-C=A
E-S=0
E=S
Lo que entra en el volumen de control es energía transferida por conducción (Q):
E=Qx=qxATx
Lo que sale del volumen de control es calor transferido por conducción (Q) y por convección (Qconv).
S=Qx+ x+Qconv=qx+ xATx+ x+hcALT-T
Donde T es la temperatura de la aleta en el punto x.
qxATx=qx+ xATx+ x+hcALT-T
Como una de las consideraciones es que el área transversal de la aleta es constante, entonces:
AT=ATx=ATx+ x=W B
qxW B=qx+ xW B+hc2 xB+WT-T
qx+ xW B-qxW B=-2hc xB+WT-T
qx+ x-qx x=-2hcB+WW BT-T
Si x 0:
dqdx=-2hcB+WW BT-T
Por otro lado, se recordará que la Ley de Fourier es:
q=-k dTdx
dqdx=-k d2Tdx2
Igualando las dos ecuaciones obtenidas:
-k d2Tdx2=-2hcB+WW BT-T
d2Tdx2=2hckB+WW BT-T
Para facilitar la resolución de esta ecuación, se designará N2 al producto 2hckB+WW B:
N2=2hckB+WW B
d2Tdx2=N2T-T
Con el fin de resolver esta ecuación diferencial se utilizará un método de normalización que consiste en reemplazar unas variables por otras. En este caso, los cambios de variable son:
θ=T-T Tb-T
x*=xL
x=L x*
dθ=1Tb-T dT
dT=Tb-T dθ
dx=L dx*
dTdx=Tb-T dθL dx*
dTdx=Tb-T Ldθdx*
d2Tdx2=Tb-T Lddxdθdx*
d2Tdx2=Tb-T LdL dx*dθdx*
d2Tdx2=Tb-T L2ddx*dθdx*
d2Tdx2=Tb-T L2d2θdx*2
Si se iguala la expresión hallada con la ecuación diferencial que se deseaba resolver:
N2T-T =Tb-T L2d2θdx*2
θ=T-T Tb-T T-T =θTb-T
N2θTb-T =Tb-T L2d2θdx*2
d2θdx*2=N2L2θ
Si al producto N2L2 se le designa como M2:
M2=N2L2
d2θdx*2=M2θ
d2θdx*2-M2θ=0
Así, se obtuvo una ecuación diferencial ordinaria homogénea con coeficientes constantes de segundo orden. La solución a esta ecuación diferencial viene dada por:
y''+ay'+by=0
y=emx
θ=emx*
θ'=memx*
θ''=m2emx*
m2emx*-M2emx*=0
m2=M2
m=-M
m=+M
θ=c1e-Mx*+c2eMx*
Esta solución también puede expresarse en función de las funciones hiperbólicas: seno hiperbólico (senh) y conseno hiperbólico (cosh).
cosha=ea+e-a2
sinha=ea-e-a2
θ=c1coshMx*+c2sinhMx*
Entonces se aplica las condiciones de borde:
x=0 x*=0 T=Tb θ=1 x=L x*=1 T=?
Ese signo de interrogación en la temperatura que le corresponde a la aleta cuando x=L significa que en este caso pueden dares tres situaciones:
Situación 1
El extremo final de la aleta está aislado adiabáticamente. Por lo tanto, la derivada de temperatura respecto a la posición dTdx es igual a cero, ya que se presentaría un máximo de temperatura.
dTdx=0
Situación 2
La longitud L es tan grande que la temperatura en el extremo de la aleta tiende a la temperatura del ambiente.
L T=T
Situación 3
La transferencia de calor por conducción es igual a la transferencia de calor por convección en ese punto.
QL=QconvL
Situación 1
x=0 x*=0 T=Tb θ=1 x=L x*=1 dTdx=0
θ=c1coshMx*+c2sinhMx*
1=c1coshM0+c2sinhM0
1=c1cosh0+c2sinh0
c1=1
dTdx=Tb-T Ldθdx*
0=Tb-T Ldθdx* dθdx*=0
dcoshxdx=sinhxdsinhxdx=coshxdcoshxdx=sinhxdsinhxdx=coshxθ=c1coshMx*+c2sinhMx*
dcoshxdx=sinhx
dsinhxdx=coshx
dcoshxdx=sinhx
dsinhxdx=coshx
dθdx*=c1MsinhMx*+c2McoshMx*
0=1MsinhM 1+c2McoshM 1
c2McoshM=-MsinhM
c2=-sinhMcoshM
θ=c1coshMx*+c2sinhMx*
θ=coshMx*-sinhMcoshMsinhMx*
θ=coshMcoshMx*-sinhMsinhMx*coshM
θ=coshM-Mx*coshM
θ=coshM1-x*coshM
Algunas identidades de funciones hiperbólicas:
sinhx=ex-e-x2
coshx=ex+e-x2
coshx+sinhx=ex
coshx-sinhx=e-x
tanhx=sinhxcoshx=ex-e-xex+e-x
cothx=coshxsinhx=ex+e-xex-e-x
sechx=1coshx=2ex+e-x
cschx=1sinhx=2ex-e-x
sinh-x=-sinhx
cosh-x=coshx
tanhx=1cothx
cosh2x-sinh2x=1
1-tanh2x=sech2x
1-coth2x=-csch2x
sinh(x+y)=sinhxcoshy+coshxsinhy
coshx+y=coshxcoshy+sinhxsinhy
sinh(x-y)=sinhxcoshy-coshxsinhy
coshx-y=coshxcoshy-sinhxsinhy
sinh2x=2sinhxcoshx
cosh2x=cosh2x+sinh2x
dsinhx=coshxdx
dcoshx=sinhxdx
dtanhx=sech2xdx
dcothx=-csch2xdx
dsechx=-sechxtanhxdx
dcschx=-cschxcothxdx
Prosiguiendo con la deducción, la transferencia de calor por conducción en la aleta es:
q=-kdTdx
dTdx=Tb-T Ldθdx*
q=-kLTb-T dθdx*
θ=coshM1-x*coshM
dθdx*=1coshMddx*coshM1-x*
dθdx*=1coshMsinhM1-x*-M
dθdx*=-McoshMsinhM1-x*
q=-kLTb-T -McoshMsinhM1-x*
q=MkLTb-T sinhM1-x*coshM
q=MkLTb-T sinh-Mx*-1coshM
q=-MkLTb-T sinhMx*-1coshM
Para obtener el calor de conducción de la aleta, se evalúa q para x=0:
x=0 x*=0
qx=0=MkLTb-T sinhM1-0coshM
qx=0=MkLTb-T sinhMcoshM
qx=0=MkLTb-T tanhM
M2=L2N2 M=LN
N=ML
qx=0=NkTb-T tanhM
Sabiendo que el calor por conducción atraviesa el área transversal de la aleta:
Q=q AT
AT=WB
Q=NkTb-T tanhMWB
Q=NkWBTb-T tanhM
Por otro lado, al aumentar el área de contacto, si bien se aumenta la transferencia de calor por convección, también se aumenta la resistencia a la conducción. Por eso, se debe evaluar la eficiencia de la aleta.
Dado que la eficiencia de la aleta proporciona información útil que debe ser evaluada cuando no todo el calor de conducción se pierde en forma de calor de convección, ésta viene dada por la relación entre el calor de conducción total y el calor de convección total:
ηf=QConduccion TotalQConvección Total
BWLTbBWLTbQConducción Total=NkWBTb-T tanhM

B
W
L
Tb

B
W
L
Tb
QConvección Total=ALTotalhCTb-T
AL=2L B+L W
AL=2LB+W
QConvección Total=2LB+WhCTb-T
ηf=QConduccion TotalQConvección Total
ηf=NkWBTb-T tanhM2LB+WhCTb-T
ηf=NkWBtanhM2LB+WhC
ηf=Nk2LhCBWB+WtanhM
Así ηf indica que no rodo el calor por conducción se ha perdido pro convección.
También es posible evaluar la efectividad de la aleta, es decir, comprobar si ha sido bueno o no ponerla.
La efectividad de una aleta viene dada por la relación entre el calor de conducción total y el calor de convección que existiría o se perdería sin la aleta (calor de convección evaluado en la base de la aleta):
ε=QConducción TotalQConvecciónBase de la aleta
QConvección=ALhCTb-T
QConvecciónBase de la aleta=ABase de la aletahCTb-T
QConvecciónBase de la aleta=B WhCTb-T
ε=NkWBTb-T tanhMB WhCTb-T
ε=NkhCtanhM
La efectividad indica lo "efectivo" que fue poner la aleta. Mientras más alto sea su valor, se puede decir con mayor seguridad que resultó bien poner una aleta en el sistema.
Situación 2
x=0 x*=0 T=Tb θ=1 x=L x*=1 T=T θ=0
θ=c1coshMx*+c2sinhMx*
1=c1coshM0+c2sinhM0
1=c1cosh0+c2sinh0
c1=1
θ=c1coshMx*+c2sinhMx*
0=1coshM1+c2sinhM1
c2sinhM=-coshM
c2=-coshMsinhM
θ=c1coshMx*+c2sinhMx*
θ=coshMx*-coshMsinhMsinhMx*
θ=sinhMcoshMx*-coshMsinhMx*sinhM
θ=sinhM-Mx*sinhM
θ=sinhM1-x*sinhM
La transferencia de calor por conducción en la aleta es:
q=-kdTdx
dTdx=Tb-T Ldθdx*
q=-kLTb-T dθdx*
θ=sinhM1-x*sinhM
dθdx*=1sinhMddx*sinhM1-x*
dθdx*=1sinhMcoshM1-x*-M
dθdx*=-MsinhMcoshM1-x*
q=-kLTb-T -MsinhMcoshM1-x*
q=MkLTb-T coshM1-x*sinhM
q=MkLTb-T cosh-Mx*-1sinhM
q=-MkLTb-T coshMx*-1sinhM
Para obtener el calor de conducción que se hubiera obtenido de la pared plana sin aleta, se evalúa el calor por conducción para x=0:
x=0 x*=0
qx=0=MkLTb-T coshM1-0sinhM
qx=0=MkLTb-T coshMsinhM
qx=0=MkLTb-T cothM
M2=L2N2 M=LN
N=ML
qx=0=NkTb-T cothM
Q=q AT
AT=WB
Q=NkTb-T cothMWB
Q=NkWBTb-T cothM
QConvección Total=ALTotalhCTb-T
AL=2L B+L W
AL=2LB+W
QConvección Total=2LB+WhCTb-T
ηf=QConduccion TotalQConvección Total
ηf=NkWBTb-T cothM2LB+WhCTb-T
ηf=NkWBcothM2LB+WhC
ηf=Nk2LhCBWB+WcothM
ε=QConducción TotalQConvecciónBase de la aleta
QConvección=ALhCTb-T
QConvecciónBase de la aleta=ABase de la aletahCTb-T
QConvecciónBase de la aleta=B WhCTb-T
ε=NkWBTb-T cothMB WhCTb-T
ε=NkhCcothM
Situación 3
La transferencia de calor por conducción es igual a la transferencia de calor por convección en ese punto.
QL=QconvL
x=0 x*=0 T=Tb θ=1 x=L x*=1 QL=QconvL
θ=c1coshMx*+c2sinhMx*
1=c1coshM0+c2sinhM0
1=c1cosh0+c2sinh0
c1=1
QL=QconvL
-k AT dTdxx=L=hCATTL-T
-kdTdxx=L=hCTL-T
dTdxx=L=-hCkTL-T
dTdx=Tb-T Ldθdx*
dTdxx=L=Tb-T Ldθdx*x*=1
-hCkTL-T =Tb-T Ldθdx*x*=1
dθdx*x*=1=-hCLkTL-T Tb-T
θ=T-T Tb-T θL=TL-T Tb-T
dθdx*x*=1=-hCLkθL
θ=c1coshMx*+c2sinhMx*
dθdx*=c1sinhMx*M+c2coshMx*M
dθdx*=Mc1sinhMx*+c2coshMx*
dθdx*=MsinhMx*+c2coshMx*
dθdx*x*=1=MsinhM+c2coshM
-hCLkθL=MsinhM+c2coshM
sinhM+c2coshM=-hCLMkθL
Si x=L x*=1 T=TL θ=θL
θL=coshM+c2sinhM
sinhM+c2coshM=-hCLMkcoshM+c2sinhM
sinhM+c2coshM=-hCLMkcoshM-hCLMkc2sinhM
c2coshM+hCLMkc2sinhM=-hCLMkcoshM-sinhM
c2coshM+hCLMksinhM=-hCLMkcoshM-sinhM
c2=-hCLMkcoshM+sinhMhCLMksinhM+coshM
θ=coshMx*+-hCLMkcoshM+sinhMhCLMksinhM+coshMsinhMx*
θ=coshMx*-hCLMkcoshMsinhMx*+sinhMsinhMx*hCLMksinhM+coshM
θ=coshMx*hCLMksinhM+coshM-hCLMkcoshMsinhMx*-sinhMsinhMx*hCLMksinhM+coshM
θ=hCLMksinhMcoshMx*+coshMcoshMx*-hCLMkcoshMsinhMx*-sinhMsinhMx*hCLMksinhM+coshM
θ=hCLMksinhMcoshMx*-coshMsinhMx*+coshMcoshMx*-sinhMsinhMx*hCLMksinhM+coshM
θ=hCLMksinhM-Mx*+coshM-Mx*hCLMksinhM+coshM
θ=coshM-Mx*+hCLMksinhM-Mx*coshM+hCLMksinhM
La transferencia de calor por conducción en la aleta es:
q=-kdTdx
dTdx=Tb-T Ldθdx*
q=-kLTb-T dθdx*
θ=coshM-Mx*+hCLMksinhM-Mx*coshM+hCLMksinhM
dθdx*=1coshM+hCLMksinhMddx*coshM-Mx*+hCLMksinhM-Mx*
dθdx*=1coshM+hCLMksinhMsinhM-Mx*-M+hCLMksinhM-Mx*-M
dθdx*=-McoshM+hCLMksinhMsinhM-Mx*+hCLMksinhM-Mx*
dθdx*=-McoshM+hCLMksinhMsinhM-Mx*+hCLMksinhM-Mx*
q=-kLTb-T -MsinhM-Mx*+hCLMksinhM-Mx*coshM+hCLMksinhM
q=MkLTb-T sinhM-Mx*+hCLMksinhM-Mx*coshM+hCLMksinhM
Para obtener el calor de conducción que se hubiera obtenido de la pared plana sin aleta, se evalúa el calor por conducción para x=0:
x=0 x*=0
qx=0=MkLTb-T sinhM-0+hCLMksinhM-0coshM+hCLMksinhM
qx=0=MkLTb-T sinhM+hCLMksinhMcoshM+hCLMksinhM
M2=L2N2 M=LN
N=ML
qx=0=NkTb-T sinhM+hCNksinhMcoshM+hCNksinhM
Q=q AT
AT=WB
Q=NkTb-T sinhM+hCMksinhMcoshM+hCNksinhMWB
Q=NkWBTb-T sinhM+hCNksinhMcoshM+hCNksinhM
Q=NkWBTb-T sinhM+hCNksinhMcoshM+hCNksinhM
QConvección Total=ALTotalhCTb-T
AL=2L B+L W
AL=2LB+W
QConvección Total=2LB+WhCTb-T
ηf=QConduccion TotalQConvección Total
ηf=NkWBTb-T sinhM+hCNksinhMcoshM+hCNksinhM2LB+WhCTb-T
ηf=NkWB2LB+WhCsinhM+hCNksinhMcoshM+hCNksinhM
ηf=Nk2LhCBWB+WsinhM+hCNksinhMcoshM+hCNksinhM
ε=QConducción TotalQConvecciónBase de la aleta
QConvección=ALhCTb-T
QConvecciónBase de la aleta=ABase de la aletahCTb-T
QConvecciónBase de la aleta=B WhCTb-T
ε=NkWBTb-T sinhM+hCNksinhMcoshM+hCNksinhMB WhCTb-T
ε=NkhCsinhM+hCNksinhMcoshM+hCNksinhM



Caso: Terminal Adiabático
TbT , hcLQxQx+ x xrxTbT , hcLQxQx+ x xrx

Tb
T , hc
L
Qx
Qx+ x
x
r
x

Tb
T , hc
L
Qx
Qx+ x
x
r
x
Consideraciones:
Transferencia de calor unidireccional a lo largo del eje x
Estado Estacionario
No hay generación ni acumulación de energía
Conductividad Térmica de la aleta constante
Aleta de aguja
Sección transversal uniforme
No todo el calor que pasa por conducción a través de la aleta se gasta por convección
Áreas del volumen de controlÁreas del volumen de controlAT=πr2
Áreas del volumen de control
Áreas del volumen de control
AL=2πr x
Una vez obtenidos estos datos, se procede con la ecuación general del balance de energía:
Entra-Sale+Genera-Consume=Acumulación
E-S+G-C=A
E-S=0
E=S
Lo que entra en el volumen de control es energía transferida por conducción (Q):
E=Qx=qxATx
Lo que sale del volumen de control es calor transferido por conducción (Q) y por convección (Qconv).
S=Qx+ x+Qconv=qx+ xATx+ x+hcALT-T
Donde T es la temperatura de la aleta en el punto x.
qxATx=qx+ xATx+ x+hcALT-T
Como una de las consideraciones es que el área transversal de la aleta es constante, entonces:
AT=ATx=ATx+ x=πr2
qxπr2=qx+ xπr2+hc2πr xT-T
qx+ xr-qxr=-hc2 xT-T
qx+ x-qx x=-2hcrT-T
Si x 0:
dqdx=-2hcrT-T
De acuerdo a la Ley de Fourier:
q=-k dTdx
dqdx=-k d2Tdx2
Igualando las dos ecuaciones obtenidas:
-k d2Tdx2=-2hcrT-T
d2Tdx2=2hcrkT-T
Para facilitar la resolución de esta ecuación, se designará N2 al producto 2hcrk:
N2=2hcrk
d2Tdx2=N2T-T
Con el fin de resolver esta ecuación diferencial se utilizará el método de normalización con los siguientes cambios de variable son:
θ=T-T Tb-T
x*=xL
x=L x*
dθ=1Tb-T dT
dT=Tb-T dθ
dx=L dx*
dTdx=Tb-T dθL dx*
dTdx=Tb-T Ldθdx*
d2Tdx2=Tb-T Lddxdθdx*
d2Tdx2=Tb-T LdL dx*dθdx*
d2Tdx2=Tb-T L2ddx*dθdx*
d2Tdx2=Tb-T L2d2θdx*2
Si se iguala la expresión hallada con la ecuación diferencial que se deseaba resolver:
N2T-T =Tb-T L2d2θdx*2
θ=T-T Tb-T T-T =θTb-T
N2θTb-T =Tb-T L2d2θdx*2
d2θdx*2=N2L2θ
Si al producto N2L2 se le designa como M2:
M2=N2L2
d2θdx*2=M2θ
d2θdx*2-M2θ=0
Así, se obtuvo una ecuación diferencial ordinaria homogénea con coeficientes constantes de segundo orden. La solución a esta ecuación diferencial viene dada por:
y''+ay'+by=0
y=emx
θ=emx*
θ'=memx*
θ''=m2emx*
m2emx*-M2emx*=0
m2=M2
m=-M
m=+M
θ=c1e-Mx*+c2eMx*
Esta solución también puede expresarse en función de las funciones hiperbólicas: seno hiperbólico (senh) y coseno hiperbólico (cosh).
cosha=ea+e-a2
sinha=ea-e-a2
θ=c1coshMx*+c2sinhMx*
Entonces se aplica las condiciones de borde:
x=0 x*=0 T=Tb θ=1 x=L x*=1 dTdx=0
θ=c1coshMx*+c2sinhMx*
1=c1coshM0+c2sinhM0
1=c1cosh0+c2sinh0
c1=1
dTdx=Tb-T Ldθdx*
0=Tb-T Ldθdx* dθdx*=0
θ=c1coshMx*+c2sinhMx*
dθdx*=c1MsinhMx*+c2McoshMx*
0=1MsinhM 1+c2McoshM 1
c2McoshM=-MsinhM
c2=-sinhMcoshM
θ=c1coshMx*+c2sinhMx*
θ=coshMx*-sinhMcoshMsinhMx*
θ=coshMcoshMx*-sinhMsinhMx*coshM
θ=coshM-Mx*coshM
θ=coshM1-x*coshM
Prosiguiendo con la deducción, la transferencia de calor por conducción en la aleta es:
q=-kdTdx
dTdx=Tb-T Ldθdx*
q=-kLTb-T dθdx*
θ=coshM1-x*coshM
dθdx*=1coshMddx*coshM1-x*
dθdx*=1coshMsinhM1-x*-M
dθdx*=-McoshMsinhM1-x*
q=-kLTb-T -McoshMsinhM1-x*
q=MkLTb-T sinhM1-x*coshM
QCond=q AT
QCond=MkLTb-T sinhM1-x*coshM πr2
QCond=Mkπr2LTb-T sinhM1-x*coshM
M2=L2N2 M=LN
N=ML
QCond=Nkπr2Tb-T sinhM1-x*coshM
Para obtener el calor de conducción de la aleta, se evalúa q para x=0:
x=0 x*=0
QCondx=0=Nkπr2Tb-T sinhM1-x*coshM
QCondx=0=Nkπr2Tb-T sinhM1-0coshM
QCondx=0=Nkπr2Tb-T sinhMcoshM
QCondx=0=Nkπr2Tb-T tanhM
ηf=QConduccion TotalQConvección Total
QConducción Total=Nkπr2Tb-T tanhM
QConvección Total=2πr2LhCTb-T
ηf=QConduccion TotalQConvección Total
ηf=Nkπr2Tb-T tanhM2πrLhCTb-T
ηf=Nkr2LhCtanhM
ε=QConducción TotalQConvecciónBase de la aleta
QConvección=ALhCTb-T
QConvecciónBase de la aleta=ABase de la aletahCTb-T
QConvecciónBase de la aleta=πr2hCTb-T
ε=Nkπr2Tb-T tanhMπr2hCTb-T
ε=NkhCtanhM

Caso: Terminal Adiabático
LTbT , hc xWQx Qx+ x2 Escriba aquí la ecuación.Tb T xx=0x=LLTbT , hc xWQx Qx+ x2 Escriba aquí la ecuación.Tb T xx=0x=L

L
Tb
T , hc
x
W
Qx
Qx+ x
2 Escriba aquí la ecuación.
Tb T
x
x=0
x=L

L
Tb
T , hc
x
W
Qx
Qx+ x
2 Escriba aquí la ecuación.
Tb T
x
x=0
x=L
Por convención, se va a tomar que el eje x está en un sentido contrario al que se ha venido trabajando normalmente. Sin embargo, esto debe ser tomado en cuenta el momento de establecer las condiciones de borde.
Consideraciones:
Transferencia de calor unidireccional a lo largo del eje x
Estado Estacionario
No hay generación ni acumulación de energía
Conductividad Térmica de la aleta constante
Aleta recta
Sección transversal no uniforme
No todo el calor que pasa por conducción a través de la aleta se gasta por convección
Δxββyyxx+ xLΔyΔxββyyxx+ xLΔyAT=2y W
Δx
β
β
y
y
x
x+ x
L
Δy
Δx
β
β
y
y
x
x+ x
L
Δy
Si se aplica semejanza de triángulos:
yx=βL
y=βLx y=βL x
AT=2βLxW
AT=2βWLx
AL=2A1+A2
A1=2y x+2 x y2
A1=2y x+ x y
A1=2βLx x+ xβL x
A1=2βLx x+βL x2
A2=W x2+ y2
A2=W x2+βL x2
A2=W x2+β2L2 x2
A2=W x21+β2L2
A2= xW1+β2L2
AL=22βLx x+βL x2+ xW1+β2L2
En las aletas normalmente se cumple la siguiente relación:
L β
Pues lo que se desea es que la aleta sea muy larga y bastante delgadita, de modo que la resistencia a la conducción a través de la aleta (en el sentido vertical) se minimice.
βL 0
AL=22βLx x+βL x2+ xW1+β2L2
AL=2 xW1+β2L2
AL=2 xWL2+β2L2
AL=2 xWLL2+β2
Una vez obtenidos estos datos, se procede con la ecuación general del balance de energía:
Entra-Sale+Genera-Consume=Acumulación
E-S+G-C=A
E-S=0
E=S
Lo que entra en el volumen de control es energía transferida por conducción (Q):
E=Qx=qxATx
Lo que sale del volumen de control es calor transferido por conducción (Q) y por convección (Qconv).
S=Qx+ x+Qconv=qx+ xATx+ x+hcALT-T
Donde T es la temperatura de la aleta en el punto x.
qxATx=qx+ xATx+ x+hcALT-T
qx2βWLx=qx+ x2βWLx+ x+hc2 xWLL2+β2T-T
qxx=qx+ xx+ x+hc xβL2+β2T-T
qxx=qx+ xx+ x+hc xL2+β2β2T-T
qxx=qx+ xx+ x+hc xL2β2+1T-T
qx+ xx+ x-qxx x=-hc1+L2β2T-T
Si x 0:
dq xdx=-hc1+L2β2T-T
Por otro lado, se recordará que la Ley de Fourier es:
q=-k dTdx
q x=-kx dTdx
dq xdx=ddx-kx dTdx
dq xdx=ddx-kxdTdx-kxddxdTdx
dq xdx=-kdTdx-kxd2Tdx2
Igualando las dos ecuaciones obtenidas:
-kdTdx-kxd2Tdx2=-hc1+L2β2T-T
kdTdx+kxd2Tdx2-hc1+L2β2T-T =0
xd2Tdx2+dTdx-hck1+L2β2T-T =0
Para facilitar la resolución de esta ecuación, se designará N2 al producto hck1+L2β2:
N2=hck1+L2β2
xd2Tdx2+dTdx-N2T-T =0
Con el fin de resolver esta ecuación diferencial se utilizará un método de normalización que consiste en reemplazar unas variables por otras. En este caso, los cambios de variable son:
θ=T-T Tb-T
x*=xL
x=L x*
dθ=1Tb-T dT
dT=Tb-T dθ
dx=L dx*
dTdx=Tb-T dθL dx*
dTdx=Tb-T Ldθdx*
d2Tdx2=Tb-T Lddxdθdx*
d2Tdx2=Tb-T LdL dx*dθdx*
d2Tdx2=Tb-T L2ddx*dθdx*
d2Tdx2=Tb-T L2d2θdx*2
Si se iguala la expresión hallada con la ecuación diferencial que se deseaba resolver:
xTb-T L2d2θdx*2+Tb-T Ldθdx*-N2T-T =0
xL1Ld2θdx*2+1Ldθdx*=N2T-T Tb-T
θ=T-T Tb-T
x*=xL
x*1Ld2θdx*2+1Ldθdx*=N2θ
x*d2θdx*2+dθdx*=N2Lθ
Si al producto N2L se le designa como M2:
M2=N2L
x*d2θdx*2+dθdx*=M2θ
x*d2θdx*2+dθdx*-M2θ=0
Entonces se debe buscar acomodar a esta expresión para que quede de la forma de la Ecuación General de Bessel:
x2d2ydx2+1-2Ax-2Bx2dydx+C2D2x2C+B2x2-B1-2Ax+A2-C2n2y=0
Para la cual la solución es:
y=xAeBxc1FnDxC+c2GnDxC
x*d2θdx*2+dθdx*-M2θ=0
x*2d2θdx*2+x*dθdx*-M2x*θ=0
x*2d2θdx*2+x*dθdx*+-M2x*θ=0
x2d2ydx2+1-2Ax-2Bx2dydx+C2D2x2C+B2x2-B1-2Ax+A2-C2n2y=0
Por lo tanto:
1-2A=1 A=0
B=0
2C=1 C=1/2
C2D2=-M2 1/22D2=-M2 D2=-4M2 D=±2Mi
C2n2=0 n=0
Como D es un valor imaginario y el valor del orden de la ecuación (n) es cero:
Fn=In=I0
Gn=Kn=K0
y=xAeBxc1FnDxC+c2GnDxC
θ=x*AeBx*c1FnDx*C+c2GnDx*C
θ=x*0e0c1I02Mx*1/2+c2K02Mx*1/2
θ=c1I02Mx*1/2+c2K02Mx*1/2
x=L x*=1 T=Tb θ=1 x=0 x*=0 dTdx=0 dθdx*=0
θ=c1I02Mx*1/2+c2K02Mx*1/2
dθdx*=c1ddx*I02Mx*1/2+c2ddx*K02Mx*1/2
0=c1I12Mx*1/2 2M12x*-1/2-c2K12Mx*1/2 2M12x*-1/2
0=c1I12Mx*1/2=0-c2K12Mx*1/2
Si un argumento es cero y el otro es igual a infinito, entonces c2 necesariamente debe ser igual a cero para que la suma total sea cero también:
c2=0
θ=c1I02Mx*1/2-c2K02Mx*1/2
θ=c1I02Mx*1/2-0K02Mx*1/2
θ=c1I02Mx*1/2
1=c1I02M11/2
1=c1I02M
c1=1I02M
θ=1I02MI02Mx*1/2
θ=I02Mx*1/2I02M
Prosiguiendo con la deducción, la transferencia de calor por conducción en la aleta es:
q=-kdTdx
dTdx=Tb-T Ldθdx*
q=-kLTb-T dθdx*
θ=I02Mx*1/2I02M
dθdx*=1I02Mddx*I02Mx*1/2
dθdx*=1I02MI12Mx*1/212x*-1/2
dθdx*=1I02MI12Mx*1/22M 12x*-1/2
dθdx*=Mx*-1/2I02MI12Mx*1/2
dθdx*=MI02MI12Mx*1/2x*1/2
q=-kLTb-T MI02MI12Mx*1/2x*1/2
q=-kMLx*1/2I12Mx*1/2I02MTb-T
QCond=q AT
QCond=-kMLx*1/2I12Mx*1/2I02MTb-T 2βWLx
QCond=-2βWkMLx*1/2I12Mx*1/2I02MTb-T xL
QCond=-2βWkMLx*1/2I12Mx*1/2I02MTb-T x*
QCond=-2βWkMLI12Mx*1/2I02Mx*1/2Tb-T
Para obtener el calor de conducción de la aleta, se evalúa q para x=L (x=0 para el sistema de referencia que se estableció):
x=L x*=1
QCondx=L=-2βWkMLI12M11/2I02M11/2Tb-T
QCondx=L=-2βWkMLI12MI02MTb-T
ηf=QConduccion TotalQConvección Total
QConducción Total=-2βWkMLI12MI02MTb-T
ALTotal=2WL2+β2+L 2β2
ALTotal=2WL2+β2+βL
QConvección Total=2WL2+β2+βLhCTb-T
ηf=QConduccion TotalQConvección Total
ηf=-2βWkMLI12MI02MTb-T 2WL2+β2+βLhCTb-T
ηf=-βWkMLI12MI02MWL2+β2+βLhC
ηf=-βWkMLhcWL2+β2+βLI12MI02M
Si se considera despreciable el área de la aleta de forma triangular frente a la sección cuadrada, la expresión queda así:
WL2+β2 βL
WL2+β2+βL WL2+β2
ηf=-βWkMLhcWL2+β2I12MI02M
ηf=-βkMLhcβ2L2β2+1I12MI02M
ηf=-βkMLhcβ1+L2β2I12MI02M
ηf=-khc1+L2β2MLI12MI02M
N2=hck1+L2β2
ηf=-1N2MLI12MI02M
ηf=-MN2LI12MI02M
M2=N2L
ηf=-MM2I12MI02M
ηf=-1MI12MI02M
ε=QConducción TotalQConvecciónBase de la aleta
QConvección=ALhCTb-T
QConvecciónBase de la aleta=ABase de la aletahCTb-T
AT=2βWLL
AT=2βW
QConvecciónBase de la aleta=2βWhCTb-T
ε=-2βWkMLI12MI02MTb-T 2βWhCTb-T
ε=-kMLI12MI02MhC
ε=-kMLhcI12MI02M

rδT , hcrδT , hcδ2πrÁrea Transversal de la aletarreri rδ2πrÁrea Transversal de la aletarreri r
r
δ
T , hc
r
δ
T , hc
δ
2πr
Área Transversal de la aleta
r
re
ri
r
δ
2πr
Área Transversal de la aleta
r
re
ri
r
Consideraciones:
Transferencia de calor unidireccional a lo largo del eje x
Estado Estacionario
No hay generación ni acumulación de energía
Conductividad Térmica de la aleta constante
Aleta anular
No todo el calor que pasa por conducción a través de la aleta se gasta por convección
AT=2πrδ
AL=22πr r
AL=4πr r
Una vez obtenidos estos datos, se procede con la ecuación general del balance de energía:
Entra-Sale+Genera-Consume=Acumulación
E-S+G-C=A
E-S=0
E=S
Lo que entra en el volumen de control es energía transferida por conducción (Q):
E=Qr=qrATr
Lo que sale del volumen de control es calor transferido por conducción (Q) y por convección (Qconv).
S=Qr+ r+Qconv=qr+ rATr+ r+hcALT-T
Donde T es la temperatura de la aleta en el punto r.
qrATr=qr+ rATr+ r+hcALT-T
qr2πrδ=qr+ r2πr+ rδ+hc4πr rT-T
qr+ rr+ r-qrr=-2hcδr rT-T
qr+ rr+ r-qrr r=-2hcδrT-T
Si r 0:
dq rdr=-2hcδrT-T
De acuerdo a la Ley de Fourier:
q=-k dTdr
q r=-k r dTdr
ddrq r=-kddrr dTdr
dq rdr=-kdTdr+rd2Tdr2
Igualando las dos ecuaciones obtenidas:
-2hcδrT-T =-kdTdr+rd2Tdr2
2hcδkrT-T =dTdr+rd2Tdr2
d2Tdr2+1rdTdr=2hcδkT-T
Para facilitar la resolución de esta ecuación, se designará N2 al producto 2hcδk:
N2=2hcδk
d2Tdr2+1rdTdr=N2T-T
Con el fin de resolver esta ecuación diferencial se utilizará el método de normalización con los siguientes cambios de variable son:
θ=T-T Tb-T
r*=rre
r=re r*
dθ=1Tb-T dT
dT=Tb-T dθ
dr=re dr*
dTdr=Tb-T dθre dr*
dTdr=Tb-T redθdr*
d2Tdr2=Tb-T reddrdθdr*
d2Tdr2=Tb-T redre dr*dθdr*
d2Tdr2=Tb-T re2ddr*dθdr*
d2Tdr2=Tb-T re2d2θdr*2
Si se iguala la expresión hallada con la ecuación diferencial que se deseaba resolver:
Tb-T re2d2θdr*2+1rTb-T redθdr*=N2T-T
d2θdr*2+rerdθdr*=N2re2T-T Tb-T
d2θdr*2+1rredθdr*=N2re2T-T Tb-T
d2θdr*2+1r*dθdr*=N2re2θ
Si al producto N2re2 se le designa como M2:
M2=N2re2
d2θdr*2+1r*dθdr*=M2θ
d2θdr*2+1r*dθdr*-M2θ=0
Entonces se debe buscar acomodar a esta expresión para que quede de la forma de la Ecuación General de Bessel:
x2d2ydx2+1-2Ax-2Bx2dydx+C2D2x2C+B2x2-B1-2Ax+A2-C2n2y=0
Para la cual la solución es:
y=xAeBxc1FnDxC+c2GnDxC
r*2d2θdr*2+r*2r*dθdr*-M2r*2θ=0
r*2d2θdr*2+r*dθdr*-M2r*2θ=0
r*2d2θdr*2+r*dθdr*+-M2r*2θ=0
x2d2ydx2+1-2Ax-2Bx2dydx+C2D2x2C+B2x2-B1-2Ax+A2-C2n2y=0
Por lo tanto:
1-2A=1 A=0
B=0
2C=2 C=1
C2D2=-M2 12D2=-M2 D2=-M2 D=±Mi
C2n2=0 n=0
Como D es un valor imaginario y el valor del orden de la ecuación (n) es cero:
Fn=In=I0
Gn=Kn=K0
y=xAeBxc1FnDxC+c2GnDxC
θ=r*AeBr*c1FnDr*C+c2GnDr*C
θ=r*0e0c1I0Mr*+c2K0Mr*
θ=c1I0Mr*+c2K0Mr*
Entonces se aplica las condiciones de borde:
r=ri r*=rire T=Tb θ=1 r=re r*=1 dTdx=0 dθdr*=1
θ=c1I0Mr*+c2K0Mr*
1=c1I0M rire+c2K0M rire
1=c1I0Mre ri+c2K0Mre ri
M2=N2re2 M=N re
N=Mre
1=c1I0Nri+c2K0Nri
Ecuación 1
dθdr*=c1ddr*I0Mr*+c2ddr*K0Mr*
dθdr*=c1MI1Mr*-c2MK1Mr*
0=c1MI1M 1-c2MK1M 1
c1I1M=c2K1M
c1=c2K1MI1M
Ecuación 2
1=c2K1MI1MI0Nri+c2K0Nri
1=K0Nri+K1MI0NriI1Mc2
c2=1K0Nri+K1MI0NriI1M
c2=1K0NriI1M+K1MI0NriI1M
c2=I1MK0NriI1M+K1MI0Nri
c1=c2K1MI1M=I1MK0NriI1M+K1MI0NriK1MI1M
c1=K1MK0NriI1M+K1MI0Nri
θ=c1I0Mr*+c2K0Mr*
θ=K1MK0NriI1M+K1MI0NriI0Mr*+I1MK0NriI1M+K1MI0NriK0Mr*
θ=K1MI0Mr*K0NriI1M+K1MI0Nri+I1MK0Mr*K0NriI1M+K1MI0Nri
θ=I1MK0Mr*+K1MI0Mr*K0NriI1M+K1MI0Nri
θ=K0Mr*I1M+K1MI0Mr*K0NriI1M+K1MI0Nri
Prosiguiendo con la deducción, la transferencia de calor por conducción en la aleta es:
q=-kdTdr
dTdr=Tb-T redθdr*
q=-kreTb-T dθdr*
θ=K0Mr*I1M+K1MI0Mr*K0NriI1M+K1MI0Nri
dθdr*=1K0NriI1M+K1MI0Nriddr*K0Mr*I1M+K1MI0Mr*
dθdr*=1K0NriI1M+K1MI0Nri-MK1Mr*I1M+K1MMI1Mr*
dθdr*=K1MMI1Mr*-K1Mr*I1MMK0NriI1M+K1MI0Nri
dθdr*=MK1MI1Mr*-K1Mr*I1MK0NriI1M+K1MI0Nri
q=-kreTb-T dθdr*
q=-kreTb-T MK1MI1Mr*-K1Mr*I1MK0NriI1M+K1MI0Nri
q=kMreTb-T K1Mr*I1M-K1MI1Mr*K0NriI1M+K1MI0Nri
M2=N2re2 M=Nre
N=Mre
q=kNTb-T K1Mr*I1M-K1MI1Mr*K0NriI1M+K1MI0Nri
QCond=q AT
QCond=kNTb-T K1Mr*I1M-K1MI1Mr*K0NriI1M+K1MI0Nri 2πrδ
QCond=2πrδkNTb-T K1Mr*I1M-K1MI1Mr*K0NriI1M+K1MI0Nri
Para obtener el calor de conducción de la aleta, se evalúa QCond para r=ri:
r=ri r*=rire
QCondr=ri=2πriδkNTb-T K1M rireI1M-K1MI1M rireK0NriI1M+K1MI0Nri
QCondr=ri=2πriδkNTb-T K1Mre riI1M-K1MI1Mre riK0NriI1M+K1MI0Nri
N=Mre
QCondr=ri=2πriδkNTb-T K1NriI1M-K1MI1NriK0NriI1M+K1MI0Nri
ηf=QConduccion TotalQConvección Total
QConducción Total=2πriδkNTb-T K1NriI1M-K1MI1NriK0NriI1M+K1MI0Nri
QConvección Total=ALTotalhCTb-T
QConvección Total=2 πre2-ri2hCTb-T
QConvección Total=2πhCre2-ri2Tb-T
ηf=QConduccion TotalQConvección Total
ηf=2πriδkNTb-T K1NriI1M-K1MI1NriK0NriI1M+K1MI0Nri2πhCre2-ri2Tb-T
ηf=δk2hC2riNre2-ri2K1NriI1M-K1MI1NriK0NriI1M+K1MI0Nri
N2=2hcδk 1N2=δk2hC
ηf=1N22riNre2-ri2K1NriI1M-K1MI1NriK0NriI1M+K1MI0Nri
ηf=2riNre2-ri2K1NriI1M-K1MI1NriK0NriI1M+K1MI0Nri

TbT , hcLRRqx=Lx=0ΔxTbT , hcLRRqx=Lx=0Δx

Tb
T , hc
L
R
R
q
x=L
x=0
Δx

Tb
T , hc
L
R
R
q
x=L
x=0
Δx
Consideraciones:
Transferencia de calor unidireccional a lo largo del eje x
Estado Estacionario
No hay generación ni acumulación de energía
Conductividad Térmica de la aleta constante
Aleta recta
Sección transversal no uniforme
No todo el calor que pasa por conducción a través de la aleta se gasta por convección
ΔxRRyyxx+ xLΔyΔxRRyyxx+ xLΔyAT=πr2=πy2
Δx
R
R
y
y
x
x+ x
L
Δy
Δx
R
R
y
y
x
x+ x
L
Δy
Si se aplica semejanza de triángulos:
yx=RL
y=RLx y=RL x
AT=πRLx2
AT=πR2L2x2
AL=2πy x2+ y2
AL=2πRLx x2+RL x2
AL=2RπLx x2+R2L2 x2
AL=2RπLx x21+R2L2
AL=2RπLx x1+R2L2
Una vez obtenidos estos datos, se procede con la ecuación general del balance de energía:
Entra-Sale+Genera-Consume=Acumulación
E-S+G-C=A
E-S=0
E=S
Lo que entra en el volumen de control es energía transferida por conducción (Q):
E=Qx=qxATx
Lo que sale del volumen de control es calor transferido por conducción (Q) y por convección (Qconv).
S=Qx+ x+Qconv=qx+ xATx+ x+hcALT-T
Donde T es la temperatura de la aleta en el punto x.
qxATx=qx+ xATx+ x+hcALT-T
qxπR2L2x2=qx+ xπR2L2x+ x2+hc2RπLx x1+R2L2T-T
qxRLx2=qx+ xRLx+ x2+2hcx x1+R2L2T-T
qx+ xx+ x2-qxx2=-2hcLRx x1+R2L2T-T
qx+ xx+ x2-qxx2 x=-2hcLRx1+R2L2T-T
Si x 0:
dq x2dx=-2hcLRx1+R2L2T-T
Por otro lado, se recordará que la Ley de Fourier es:
q=-k dTdx
q x2=-kx2 dTdx
dq x2dx=ddx-kx2 dTdx
dq x2dx=ddx-kx2dTdx-kx2ddxdTdx
dq x2dx=-2xkdTdx-kx2d2Tdx2
Igualando las dos ecuaciones obtenidas:
-2hcLRx1+R2L2T-T =-2xkdTdx-kx2d2Tdx2
2hcLR1+R2L2T-T =2kdTdx+kxd2Tdx2
xd2Tdx2+2dTdx=2hcLkR1+R2L2T-T
xd2Tdx2+2dTdx=2hcLkRR2L2L2R2+1T-T
xd2Tdx2+2dTdx=2hcLkRRLL2R2+1T-T
xd2Tdx2+2dTdx=2hck1+L2R2T-T
Para facilitar la resolución de esta ecuación, se designará N2 al producto 2hck1+L2R2:
N2=2hck1+L2R2
xd2Tdx2+2dTdx=N2T-T
xd2Tdx2+2dTdx-N2T-T =0
Con el fin de resolver esta ecuación diferencial se utilizará un método de normalización que consiste en reemplazar unas variables por otras. En este caso, los cambios de variable son:
θ=T-T Tb-T
x*=xL
x=L x*
dθ=1Tb-T dT
dT=Tb-T dθ
dx=L dx*
dTdx=Tb-T dθL dx*
dTdx=Tb-T Ldθdx*
d2Tdx2=Tb-T Lddxdθdx*
d2Tdx2=Tb-T LdL dx*dθdx*
d2Tdx2=Tb-T L2ddx*dθdx*
d2Tdx2=Tb-T L2d2θdx*2
Si se iguala la expresión hallada con la ecuación diferencial que se deseaba resolver:
xTb-T L2d2θdx*2+2Tb-T Ldθdx*-N2T-T =0
xL1Ld2θdx*2+21Ldθdx*=N2T-T Tb-T
θ=T-T Tb-T
x*=xL
x*1Ld2θdx*2+21Ldθdx*=N2θ
x*d2θdx*2+2dθdx*=N2Lθ
Si al producto N2L se le designa como M2:
M2=N2L
x*d2θdx*2+2dθdx*=M2θ
x*d2θdx*2+2dθdx*-M2θ=0
Entonces se debe buscar acomodar a esta expresión para que quede de la forma de la Ecuación General de Bessel:
x2d2ydx2+1-2Ax-2Bx2dydx+C2D2x2C+B2x2-B1-2Ax+A2-C2n2y=0
Para la cual la solución es:
y=xAeBxc1FnDxC+c2GnDxC
x*d2θdx*2+2dθdx*-M2θ=0
x*2d2θdx*2+2x*dθdx*-M2x*θ=0
x*2d2θdx*2+2x*dθdx*+-M2x*θ=0
x2d2ydx2+1-2Ax-2Bx2dydx+C2D2x2C+B2x2-B1-2Ax+A2-C2n2y=0
Por lo tanto:
1-2A=2 A=-1/2
B=0
2C=1 C=1/2
C2D2=-M2 1/22D2=-M2 D2=-4M2 D=±2Mi
A2-C2n2=0 -122-122n2=0 n=1
Como D es un valor imaginario y el valor del orden de la ecuación (n) es un número entero:
Fn=In=I1
Gn=Kn=K1
y=xAeBxc1FnDxC+c2GnDxC
θ=x*AeBx*c1FnDx*C+c2GnDx*C
θ=x*-1/2e0c1I12Mx*1/2+c2K12Mx*1/2
θ=c1x*-1/2I12Mx*1/2+c2x*-1/2K12Mx*1/2
x=L x*=1 T=Tb θ=1 x=0 x*=0 dTdx=0 dθdx*=0
θ=c1x*-1/2I12Mx*1/2+c2x*-1/2K12Mx*1/2
θ=2Mc12Mx*-1/2I12Mx*1/2+2Mc22Mx*-1/2K12Mx*1/2
dθdx*=2Mc1ddx*x*-1/22MI12Mx*1/2+2Mc2ddx*x*-1/22MK12Mx*1/2
dθdx*=2Mc1ddx*2-1M-1x*-1/2I12Mx*1/2+2Mc2ddx*2-1M-1x*-1/2K12Mx*1/2
dθdx*=2Mc1ddx*2Mx*1/2-1I12Mx*1/2+2Mc2ddx*2Mx*1/2-1K12Mx*1/2
ddxx-nInx=x-nIn+1x
ddxx-nKnx=-x-nKn+1x
dθdx*=2Mc12Mx*1/2-1I22Mx*1/22M 12x*-1/2+2Mc2-2Mx*1/2-1K22Mx*1/22M 12x*-1/2
dθdx*=2Mc1x*-1/22MI22Mx*1/2Mx*-1/2+2Mc2-x*-1/22MK22Mx*1/2Mx*-1/2
dθdx*=c1Mx*-1I22Mx*1/2-c2Mx*-1K22Mx*1/2
0=c1Mx*-1I22Mx*1/2-c2Mx*-1K22Mx*1/2
0=c1I22M01/2-c2K22M01/2
0=c1I201-c2K20
Si un argumento es cero y el otro es igual a infinito, entonces c2 necesariamente debe ser igual a cero para que la suma total sea cero también:
c2=0
θ=c1x*-1/2I12Mx*1/2+c2x*-1/2K12Mx*1/2
θ=c1x*-1/2I12Mx*1/2+0x*-1/2K12Mx*1/2
θ=c1x*-1/2I12Mx*1/2
1=c11-1/2I12M11/2
1=c1I12M
c1=1I12M
θ=1I12Mx*-1/2I12Mx*1/2
θ=x*-1/2I12Mx*1/2I12M
Prosiguiendo con la deducción, la transferencia de calor por conducción en la aleta es:
q=-kdTdx
dTdx=Tb-T Ldθdx*
q=-kLTb-T dθdx*
θ=x*-1/2I12Mx*1/2I12M
dθdx*=1I12Mddx*x*-1/2I12Mx*1/2
ddxx-nInx=x-nIn+1x
dθdx*=2MI12Mddx*x*-1/22MI12Mx*1/2
dθdx*=2MI12Mddx*2-1M-1x*-1/2I12Mx*1/2
dθdx*=2MI12Mddx*2Mx*1/2-1I12Mx*1/2
dθdx*=2MI12M2Mx*1/2-1I22Mx*1/22M 12x*-1/2
dθdx*=2MI12Mx*-1/22MI22Mx*1/2Mx*-1/2
dθdx*=Mx*-1I22Mx*1/2I12M
q=-kLTb-T dθdx*
q=-kLTb-T Mx*-1I22Mx*1/2I12M
q=-MkLx*-1Tb-T I22Mx*1/2I12M
QCond=q AT
QCond=-MkLx*-1Tb-T I22Mx*1/2I12MπR2xL2
QCond=-MkLx*-1Tb-T I22Mx*1/2I12MπR2x*2
QCond=-MkπR2Lx*Tb-T I22Mx*1/2I12M
Para obtener el calor de conducción de la aleta, se evalúa q para x=L (x=0 para el sistema de referencia que se estableció):
x=L x*=1
QCondx=L=-MkπR2L1Tb-T I22M11/2I12M
QCondx=L=-MkπR2LTb-T I22MI12M
ηf=QConduccion TotalQConvección Total
QConducción Total=MkπR22LTb-T 1-2MI12MI02M
ALTotal=2πRL2+R2
QConvección Total=2πRL2+R2hCTb-T
ηf=QConduccion TotalQConvección Total
ηf=-MkπR2LTb-T I22MI12M2πRL2+R2hCTb-T
ηf=-MkRLI22MI12M2L2+R2hC
ηf=-12hCMkLRL2+R2I22MI12M
ηf=12hCMkLRR2L2R2+1I22MI12M
ηf=12hCMkLRR1+L2R2I22MI12M
ηf=1LM2hCk1+L2R2I22MI12M
N2=2hck1+L2R2
ηf=1LMN2I22MI12M
M2=N2L
ηf=1M2MI22MI12M
ηf=1MI22MI12M

Las isotermas siempre son perpendiculares al flujo calórico.Las isotermas siempre son perpendiculares al flujo calórico.Así como existen sólidos en los que la conducción se da unidimensionalmente, existen otros en los que la conducción es bidimensional, para los cuales el flujo calórico presenta dos componentes.
Las isotermas siempre son perpendiculares al flujo calórico.
Las isotermas siempre son perpendiculares al flujo calórico.
yxLíneas Adiabáticas de CalorIsotermasqT1T2qqxqyyxΔxΔyyxLíneas Adiabáticas de CalorIsotermasqT1T2qqxqyyxΔxΔy
y
x
Líneas Adiabáticas de Calor
Isotermas
q
T1
T2
q
qx
qy
y
x
Δx
Δy
y
x
Líneas Adiabáticas de Calor
Isotermas
q
T1
T2
q
qx
qy
y
x
Δx
Δy
Por lo tanto, en el balance de energía las variables ya no cambiarán únicamente respecto a x sino también respecto a y. Así, en lugar de tenerse:
d2Tdx2=0
Se tendrá:
d2Tdx2+d2Tdy2=0
Y si la conducción es tridimensional, lo que se obtendrá es lo siguiente:
d2Tdx2+d2Tdy2+d2Tdz2=0
La forma del sólido influye fuertemente en el análisis de la conducción. Además de eso, existen tres formas de resolución de los sistemas en conducción bidimensional:
Método Analítico
Método Gráfico
Método Numérico
yx100% V0 Vyx100% V0 V
y
x
100% V
0 V
y
x
100% V
0 V
En conducción bidimensional se tiene una placa y se aplica una diferencia de potencial en los extremos, primero verticalmente y luego horizontalmente, de modo que se observe el fenómeno de conducción bidimensional con una placa conductora.
En conducción tridimensional, se debe utilizar cubos o cilindros, dentro de los cuales se coloca una solución conductora con la cual se mida la diferencia de potencial en tres de las doce aristas del cubo.

Este método tiene algunas consideraciones que deben ser resaltadas. Éstas son:
Las líneas de flujo isotérmicas y las de calor constante (líneas adiabáticas de calor) son perpendiculares entre sí.
Las isotermas y las líneas adiabáticas de calor salen de los bordes formando ángulos de 90°.
En los bordes, en cada cuadrado que se forma se cumple que x= y (de hecho, esa es la característica por la cual se llama "cuadrado"), mientras que en el resto del diagrama debe suceder que por lo menos x y.
Se recordará que las ecuaciones para el cálculo de flujo calórico en una pared plana y una pared cilíndrica son:
Pared Plana:
QA= TLk Q=ALk T
Pared Cilíndrica:
Q= Tlnreri2πkL Q=2πLlnrerik T
Se observa que cada una de las ecuaciones está en función de la figura del sólido en sí. De ahí que a los términos AL y 2πLlnreri, que caracterizan a la geometría del sistema, se conocen como Factor de Forma (FF). Por lo tanto, generalizando:
Q=FFk T
En la conducción bidimensional, el flujo calórico también depende del factor de forma, el cual se encuentra tabulado en la Tabla 19 de la página 41 del Folleto de Transferencia de Calor I.
Gráficamente el factor de forma puede ser encontrado mediante la utilización del diagrama de flujo. En ese caso, se define como la relación entre el número de líneas adiabáticas de calor y el número de isotermas.
FF=# Bandas adiabáticas de calor (M)# Bandas Isotérmicas (N)=MNL
El procedimiento para aplicar el método gráfico es:

Se trazan líneas de simetría y se toma la porción simétrica más pequeña y representativa.

En este caso, la porción de simetría corresponde a la octava parte de la figura. Si se toma esta porción, se pierden influencias en una de las aristas laterales, pues cada una de las partes comparte un lado, y ninguno de los lados debe ser considerado dos veces.
Se dibujan las isotermas. Mientras más isotermas se tenga, se será más exacto en el cálculo de las temperaturas.
Para esto, se da un valor de x= y, el cual debe ser lo suficientemente pequeño como para tener una respuesta exacta y lo suficientemente grande como para poder medirlo. Entonces se trazan las isotermas, que generalmente son líneas paralelas a los bordes de la figura.
ΔxΔxΔxΔx
Δx
Δx
Δx
Δx
Dibujar las líneas de flujo de calor, de modo que éstas sean perpendiculares a las isotermas y generen cuadrados del mismo alto y ancho.
ΔyLa idea es que se formen cuadrados ( x= y) en toda la superficie.ΔyLa idea es que se formen cuadrados ( x= y) en toda la superficie.
Δy
La idea es que se formen cuadrados ( x= y) en toda la superficie.
Δy
La idea es que se formen cuadrados ( x= y) en toda la superficie.
Se calcula el factor de forma, y con él, el flujo calórico para la conducción bidimensional. En este punto, es importante que no se debe tomar en cuenta a uno de los lados, tanto en el sentido horizontal como en el sentido vertical, ya que también forman parte de otra de las partes y por tanto, si se contabilizaran, se los estaría considerando dos veces.
FF=MNL
Q=FFk T Q=MNLk T
qL=MNk T
Para el ejemplo:
M=5
N=6
Q=8×56Lk T
qL=8×56k T

El método numérico se utiliza cuando se tiene geometrías simples. Es más empleado es el Método de Deferecias Finitas. Consiste en hacer una malla nodal sobre la figura geométrica de modo que x= y. Esta malla está conformada por puntos que se denominan nodos.
NodoΔyΔxNodoΔyΔx
Nodo
Δy
Δx
Nodo
Δy
Δx
Sin embargo, este método no permite determinar la temperatura en cualquier punto dentro de la figura, sino únicamente en los puntos discretos o nodos.
Por tanto, y debe quedar claro: la malla nodal tiene puntos discretos, que son en realidad los nodos, donde se puede calcular la temperatura Tx,y que representa a la temperatura promedio de un área.
ΔyTx,yTx,y+ yΔyΔxΔxTx,y- yTx+ x,yTx- x,yΔyTx,yTx,y+ yΔyΔxΔxTx,y- yTx+ x,yTx- x,y
Δy
Tx,y
Tx,y+ y
Δy
Δx
Δx
Tx,y- y
Tx+ x,y
Tx- x,y
Δy
Tx,y
Tx,y+ y
Δy
Δx
Δx
Tx,y- y
Tx+ x,y
Tx- x,y
Del gráfico anterior se infiere que mientras más fina sea la malla, más puntos nodales hay y, por lo tanto, la temperatura obtenida será más exacta.
Entonces se aplica un método numérico consistente en las series de Tylor. Para esto, antes es importante recordar que la forma del perfil de temperatura para la conducción unidimensional en estado estacionario a través de una pared plana es:
d2Tdx2=0
Entonces, la forma del perfil de temperatura para la conducción bidimensional en estado estacionario a través de una placa, por ejemplo, es:
d2Tdx2+d2Tdy2=0
Finalmente, el perfil de temperatura para la conducción tridimensional en estado estacionario a través de un cubo presenta la forma:
d2Tdx2+d2Tdy2+d2Tdz2=0
Continuando con el método de las series de Tylor, se tiene que PARA UN NODO INTERIOR:
Tx+ x,y=Tx,y+ xdTdx+ x22d2Tdx2+ x33d2Tdx3+…
Tx- x,y=Tx,y- xdTdx+ x22d2Tdx2- x33d2Tdx3+…
Como x tiene un valor muy chiquito, entonces x3 prácticamente será cero. Más aún para x4 y x5, es decir, cualquier xn si n>2. Es así que las expresiones anteriores quedarán de la siguiente manera:
Tx+ x,y=Tx,y+ xdTdx+ x22d2Tdx2
(1)
Tx- x,y=Tx,y- xdTdx+ x22d2Tdx2
(2)
Si se munas las ecuaciones (1) y (2), se tendrá lo siguiente:
Tx+ x,y+Tx- x,y=Tx,y+ xdTdx+ x22d2Tdx2+Tx,y- xdTdx+ x22d2Tdx2
Tx+ x,y+Tx- x,y=Tx,y+ xdTdx+ x22d2Tdx2+Tx,y- xdTdx+ x22d2Tdx2
Tx+ x,y+Tx- x,y=2Tx,y+ x2d2Tdx2
d2Tdx2=Tx+ x,y+Tx- x,y-2Tx,y x2
(3)
También, según las series de Tylor se cumple que:
Tx,y+ y=Tx,y+ ydTdy+ y22d2Tdy2+ y33d2Tdy3+…
Tx,y- y=Tx,y- ydTdy+ y22d2Tdy2- y33d2Tdy3+…
Como el valor de y, al igual que x, también es muy pequeñito, entonces los valores de yn serán prácticamente cero si n>2. Por tal motivo las expresiones anteriores quedan de la siguiente forma:
Tx,y+ y=Tx,y+ ydTdy+ y22d2Tdy2
(4)
Tx,y- y=Tx,y- ydTdy+ y22d2Tdy2
(5)
Si se suman las ecuaciones (4) y (5) se tiene lo siguiente:
Tx,y+ y+Tx,y- y=Tx,y+ ydTdy+ y22d2Tdy2+Tx,y- ydTdy+ y22d2Tdy2
Tx,y+ y+Tx,y- y=Tx,y+ ydTdy+ y22d2Tdy2+Tx,y- ydTdy+ y22d2Tdy2
Tx,y+ y+Tx,y- y=2Tx,y+ y2d2Tdy2
d2Tdy2=Tx,y+ y+Tx,y- y-2Tx,y y2
(4)
Si para conducción bidimensional en estado estacionario se cumple:
d2Tdx2+d2Td2y=0
Entonces, a partir de las ecuaciones (3) y (4), se tendrá lo siguiente:
Tx+ x,y+Tx- x,y-2Tx,y x2+Tx,y+ y+Tx,y- y-2Tx,y y2=0
x= y 0
Tx+ x,y+Tx- x,y-2Tx,y+Tx,y+ y+Tx,y- y-2Tx,y=0
Tx+ x,y+Tx- x,y+Tx,y+ y+Tx,y- y=4Tx,y
Tx,y=Tx+ x,y+Tx- x,y+Tx,y+ y+Tx,y- y4
Así, se obtiene una ecuación que relaciona a la temperatura de un nodo con la temperatura de los nodos que lo rodean. Es importante entender que esta ecuación se aplica SÓLO A NODOS INTERIORES, y no a esquinas o puntos sobre las aristas.
A partir de la ecuación encontrada, se puede inducir que para conducción unidimensional se cumple:
Tx=Tx+ x+Tx- x2
Y para conducción tridimensional, lo que se tiene es lo siguiente:
Tx,y,z=Tx+ x,y,z+Tx- x,y,z+Tx,y+ y,z+Tx,y- y,z+Tx,y,z+ z+Tx,y,z- z6
Ejemplo: Se tiene una placa de 8 cm × 8 cm. Un extremo de la placa se somete a una temperatura de 200°C, mientras que los otros tres lados permanecen a una temperatura de 0°C. Determinar la distribución de temperaturas en la placa, y la cantidad de calor generado si la placa es de aluminio (k=237 W/m°K).
Si x= y=2 cm:
T1T2T3T4T5T6T7T8T9200 0 0 0 2 cm2 cmT1T2T3T4T5T6T7T8T9200 0 0 0 2 cm2 cm
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
200
0
0
0
2 cm
2 cm
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
200
0
0
0
2 cm
2 cm
Se debe comenzando algunas temperaturas, de acuerdo a la simetría. En este caso:
T1=T3
T4=T6
T7=T9
Entonces, se comienza armando el sistema de ecuaciones, a partir de la relación encontrada anteriormente:
Tx,y=Tx+ x,y+Tx- x,y+Tx,y+ y+Tx,y- y4
T1=200+T2+T4+04 4T1-T2-T4=200
T2=200+T3+T5+T14 4T2-T1-T3-T5=200
4T2-T1-T1-T5=200
4T2-2T1-T5=200
T4=T1+T5+T7+04 4T4-T1-T5-T7=0
T5=T2+T6+T8+T44 4T5-T2-T6-T8-T4=0
4T5-T2-T4-T8-T4=0
4T5-T2-2T4-T8=0
T7=T4+T8+0+04 4T7-T4-T8=0
T8=T5+T9+0+T74 4T8-T5-T9-T7=0
4T8-T5-T7-T7=0
4T8-T5-2T7=0
Así, se obtuvo las siguientes ecuaciones:
4T1-T2-T4=200
4T2-2T1-T5=200
4T4-T1-T5-T7=0
4T5-T2-2T4-T8=0
4T7-T4-T8=0
4T8-T5-2T7=0
Éstas, dispuestas en forma matricial, quedan como se indica a continuación:
T1
T2
T4
T5
T7
T8

4
-1
-1
0
0
0
200
-2
4
0
-1
0
0
200
-1
0
4
-1
-1
0
0
0
-1
-2
4
0
-1
0
0
0
-1
0
4
-1
0
0
0
0
-1
-2
4
0
Así, la solución a la matriz es la siguiente:
T1=T3=85,7143
T2=105,357
T4=T6=37,5
T5=50
T7=T9=14,2857
T8=19,6429
En cuanto al cálculo del calor ganado en la placa, en necesario hacer un balance de energía. Por simetría, se tomará la mitad de la placa:
T1T2T4T5T7T8200 0 0 T1T2T4T5T7T8200 0 0
T1
T2
T4
T5
T7
T8
200
0
0
T1
T2
T4
T5
T7
T8
200
0
0
Considerando que la temperatura de cada nodo representa la temperatura promedio del área que está alrededor, entonces se hace un balance de energía en cada una de éstas regiones:
T8T2T5T1T4T7q1q2q1'q4'q7'q7q8No se debe considerar flujos calóricos en esta dirección ( ), pues se está tomando a la mitad de la placa, es decir, se la está tratando como un espejo, y siempre que se considera que una región se comporta como un espejo, entonces es "adiabática".T8T2T5T1T4T7q1q2q1'q4'q7'q7q8No se debe considerar flujos calóricos en esta dirección ( ), pues se está tomando a la mitad de la placa, es decir, se la está tratando como un espejo, y siempre que se considera que una región se comporta como un espejo, entonces es "adiabática".
T8
T2
T5
T1
T4
T7
q1
q2
q1'
q4'
q7'
q7
q8
No se debe considerar flujos calóricos en esta dirección ( ), pues se está tomando a la mitad de la placa, es decir, se la está tratando como un espejo, y siempre que se considera que una región se comporta como un espejo, entonces es "adiabática".
T8
T2
T5
T1
T4
T7
q1
q2
q1'
q4'
q7'
q7
q8
No se debe considerar flujos calóricos en esta dirección ( ), pues se está tomando a la mitad de la placa, es decir, se la está tratando como un espejo, y siempre que se considera que una región se comporta como un espejo, entonces es "adiabática".
De acuerdo al principio de conservación de la energía, el calor que entra es igual al calor que sale. Talvez los valores que se obtengan no sean exactamente iguales, pero es porque las temperaturas calculadas no son exactas. Lo que sí se tendrá es una aproximación.
QEntra=QSale
QEntra=q1+q2
QSale=q1'+q4'+q7'+q7+q8
De forma general:
Q=Aek T
q x y1 mq x y1 mSuponiendo que el espesor de la placa es 1 m, y tomando en cuenta que todas las unidades son las correspondientes:
q
x
y
1 m
q
x
y
1 m
q1= x 1 yk200-T1=237200-85,7143
q1=27085,71 W
En cuando a q2 tener en cuenta que el área a través de la cual se lleva la transferencia de calor es la mitad de la que debería ser, pues se tomó la mitad de la placa.
q2= x2 1 yk200-T2=2372200-105,357
q2=11215,2 W
QEntra=q1+q2=27085,71 W+11215,2 W
QEntra=38300,91 W
q7= x 1 ykT7-0=23714,2857-0
q7=3385,7109 W
q8= x2 1 ykT8-0=237219,6429-0
q8=2327,6836 W
q1'= y 1 xkT1-0=23785,7143-0
q1'=20314,2891 W
q4'= y 1 xkT4-0=23737,5-0
q4'=8887,5 W
q7'= y 1 xkT7-0=23714,2857-0
q7'=3385,7109 W
QSale=q1'+q4'+q7'+q7+q8
q x y1 mq x y1 mQSale=20314,2891 W+8887,5 W+3385,7109 W+3385,7109 W+2327,6836 W
q
x
y
1 m
q
x
y
1 m
QSale=38300,89

Este método se emplea cuando un fluido alrededor de la placa hace que exista además una transferencia de calor por convección.
Si lo que se desea es calcular el coeficiente de convección del fluido, por ejemplo, entonces ya no interesa la temperatura de nodos internos sino más bien de puntos externos que caen sobre las aristas de la placa. Para éstos, no se puede aplicar la ecuación empleada anteriormente, sino fórmulas que ya están establecidas para cada caso en particular.
Punto Borde Externo (Horizontal)
x yTx,yTx+ x,yTx- x,yT hcTx,y- y x yTx,yTx+ x,yTx- x,yT hcTx,y- y
x
y
Tx,y
Tx+ x,y
Tx- x,y
T
hc
Tx,y- y
x
y
Tx,y
Tx+ x,y
Tx- x,y
T
hc
Tx,y- y
Tx,y=Tx,y- y+12Tx+ x,y+12Tx- x,y+hck xT hck x+2
Punto Borde Externo (Vertical)
x yTx,yTx,y+ yTx,y- yT
hcTx- x,y x yTx,yTx,y+ yTx,y- yT
hcTx- x,y
x
y
Tx,y
Tx,y+ y
Tx,y- y
T
hc
Tx- x,y
x
y
Tx,y
Tx,y+ y
Tx,y- y
T
hc
Tx- x,y
Tx,y=Tx- x,y+12Tx,y+ y+12Tx,y- y+hck yT hck y+2

Punto en una Esquina
x yTx,y- yTx- x,yT hcTx,y x yTx,y- yTx- x,yT hcTx,y
x
y
Tx,y- y
Tx- x,y
T
hc
Tx,y
x
y
Tx,y- y
Tx- x,y
T
hc
Tx,y
Tx,y=11+2hck yTx- x,y+Tx,y- y2+2hck xT