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TRADUÇÃO LEIBNIZ, G. W., Introducción a la aritmética de los infinitos (1672)
Federico Raffo Quintana CONICET/ IESCT-‐UNQ
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Comentário introdutório El período en el que Leibniz residió en París, que comprende entre los años 1672 y 1676, ha sido muy significativo para el desarrollo de su trabajo matemático.1 El texto que aquí presentamos, la Introducción a la Aritmética de los Infinitos (de aquí en más, Introducción), tiene un papel importante en dicho desarrollo, pues ha sido la primera de las investigaciones leibnizianas en el campo de estudio al que se refiere el título del tratado. En la gestación de la Introducción fue importante la figura del científico holandés Christiaan Huygens, a quien Leibniz conoció apenas arribó a París y bajo cuya tutela comenzó a trabajar en matemáticas. La Introducción es, al menos parcialmente, el resultado de un desafío que le propuso Huygens a Leibniz, a saber, que lleve a cabo la suma de la serie de los recíprocos de los números triangulares (esto es, de ! ! !
, , ,
!
! ! ! !"
, 𝑒𝑡𝑐.) (A II 1, 344). Lo que resultó de la labor de Leibniz fue el tratado
1
Una muestra de ello se puede ver en Hofmann, Joseph E., Leibniz in Paris, 1672-‐1676. His growth to mathematical maturity, 1974, Cambridge University Press, Cambridge y New York.
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que aquí presentamos, escrito hacia finales de 1672. El autor le envió la Introducción a Jean Gallois, quien entonces dirigía el Journal des Sçavans, con el objeto de publicarla (A II 1, 342). Sin embargo, a mediados de diciembre del mismo año, la revista suspendió su publicación hasta 1674, tras lo cual Leibniz no insistió en que sea publicado. Ahora bien, lo que Leibniz hace en la Introducción excede lo que corresponde al dominio estrictamente aritmético. El título completo del escrito podría orientarnos en este sentido, pues permite reconocer que fueron abordados tres núcleos temáticos (que en el tratamiento de Leibniz están estrechamente conectados): “[1] Introducción a la Aritmética de los Infinitos [2] donde también se muestra que el Número máximo, esto es, el número de todos los números es imposible o nada; [3] igualmente, se demuestra con ejemplos que son demostrables las cosas que se tienen por axiomas”. En el tratamiento de estos tres puntos, puede observarse que Leibniz discutió tesis de otros autores. Algunas obras con las que especialmente polemiza en este escrito son, por ejemplo, los Discorsi e dimostrazione matematiche, intorno a due nuove scienze escritos en 1638 por Galileo Galilei y el tratado De corpore redactado en 1655 por Thomas Hobbes. No obstante, hay otros textos de los que Leibniz manifiesta su conocimiento y que cumplen algún papel en el escrito, como el Traité du triangle arithmétique, avec quelques autres petits traitez sur la mesme matière escrito en 1665 por Blaise Pascal, la obra redactada en 1647 por Grégoire de Saint-‐Vincent titulada Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, entre otros. Como se verá, la obra de Pascal ha sido significativa especialmente para el primero de los temas abordados, la de Hobbes para el tercero y la de Galileo tanto para el segundo como para el tercero. No parece desacertado decir que el escrito de Galileo ha sido uno de los que más impacto ha generado en Leibniz en el período en que redactó la Introducción. Incluso, Leibniz dejó una Notae Philosophicae Scientiae Formalis, vol. 3, n. 1, pp. 47 – 69, maio 2014.
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serie de anotaciones en las que se manifiesta su descuerdo con algunas de las tesis del científico pisano (A VI 3, 163-‐168), como quedará también en evidencia en este escrito. A continuación haremos una muy breve síntesis de los núcleos temáticos presentes en la Introducción. 1. Aritmética de los infinitos: la regla para la suma de series. Como dijimos al comienzo, Huygens le propuso a Leibniz que busque la suma de la serie de los recíprocos de los números triangulares. No obstante, el resultado que Leibniz obtuvo fue mucho más ambicioso, pues creyó haber hallado una regla para sumar todas las series del triángulo armónico (esto es, de los recíprocos del triángulo de Pascal) y no solamente la serie de las fracciones triangulares. En un primer momento del texto, Leibniz introduce esta regla y explica su funcionamiento. 2. La imposibilidad del número infinito. En un segundo momento del texto, Leibniz discute la conclusión de Galileo sobre la existencia del número infinito de todas las unidades. Leibniz nota que la clave para que Galileo indique que existe dicho número es su concepción de que el axioma según el cual el todo es mayor que una parte vale solamente para las cantidades finitas, pero no para las infinitas. Para Leibniz esta restricción del axioma (también defendida por Grégoire de Saint-‐Vincent en el ángulo de contacto) es insostenible, motivo por el cual procede a demostrar que el número infinito es contradictorio y que se equipara con el 0. 3. La demostración de los axiomas. El hecho de que Galileo haya dudado del alcance del axioma del todo y la parte hizo que Leibniz defendiera que los axiomas no son proposiciones conocidas por sí mismas sino que deben demostrarse a partir de definiciones. Esto condujo a Leibniz a reflexionar sobre la arbitrariedad –o no– de las definiciones y de las verdades (tesis defendida por Hobbes), e incluso sobre la naturaleza del conocimiento simbólico en general. De Notae Philosophicae Scientiae Formalis, vol. 3, n. 1, pp. 47 – 69, maio 2014.
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aquí resultó la idea de Leibniz de un lenguaje o una escritura filosófica, también llamada ‘característica universal’ en donde las definiciones funcionan como las ecuaciones lo hacen en el álgebra.2
Por finalizar esta presentación, haremos algunas observaciones sobre
nuestra traducción. Nos hemos basado en la edición canónica de las obras de Leibniz (A II 1, 342-‐356), en donde se reúnen las tres versiones borradores de la Introducción que se conservan, identificadas como L1, L2 y l. En dicha edición se emplea como base el borrador L1, dado el considerable contenido filosófico que posee en comparación con las versiones posteriores que surgieron a raíz de algunos añadidos o algunas supresiones por parte de Leibniz (A II 1, 342). Como la fuente de nuestra traducción es la mencionada edición, seguiremos la disposición de las versiones borradores y las denominaciones para ellas que allí se presentan. Por último, queremos agradecerle a Oscar Esquisabel por su constante ayuda tanto para la elaboración de esta traducción como para la comprensión del texto.
2
Este núcleo temático de la Introducción ha sido abordado por Esquisabel, Oscar M. (2012), “Leibniz: las bases semióticas de la characteristica universalis”, en Representaciones, Vol. VIII, N° 1, pp. 5-‐32.
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[342] Introducción a la Aritmética de los Infinitos donde también se muestra que el Número máximo, esto es, el número de todos los números es imposible o nada; igualmente, se demuestra con ejemplos que son demostrables las cosas que se tienen por axiomas.
Es cosa sabida que la Ciencia de lo Mínimo y lo Máximo, esto es, de lo
Indivisible y lo Infinito, está entre las máximas pruebas por las que la Mente humana reivindica para sí la incorporeidad. En efecto, alguien, con la guía de los sentidos, se persuadiría de que no puede darse una línea tan corta en la que no hayan no sólo infinitos puntos sino también infinitas líneas (y por tanto, infinitas partes separadas en acto entre sí) que tengan una razón finita a una dada; a no ser que les obliguen las demostraciones. Qué admirable es también realizar una suma de infinitos continuamente decrecientes, o [343] prescribir límites a [cantidades] crecientes o decrecientes al infinito dentro de un espacio sin embargo finito, o generar figuras finitas y demostrar las proporciones entre ellas multiplicando entre sí los infinitos.
Ya en otro tiempo Arquímedes ha hecho uso de la Aritmética de los
Infinitos y de la Geometría de los Indivisibles y en Dimensione Circuli, en de Sphaera et Cylindro, en Quadratura Parabolae [ha hecho uso] de los inscriptos y los circunscriptos. En nuestro siglo Cavalieri resucitó la Geometría de los Indivisibles, habiéndolos dado a luz y habiéndolos puesto a prueba Galileo;3 Wallis [resucitó] la Arithmeticam Infinitorum, James Gregory los inscriptos y 3
Leibniz se refiere a la obra Geometria indivisibilibus continuorum quadam nova ratione promota de 1635 escrita por Bonaventura Cavalieri. Como mencionamos en la introducción, en el mismo año en que Leibniz redactó este escrito, leyó los Discorsi e dimostrazione matematiche, intorno a due nuove scienze de Galileo publicado en 1638 y dejó una serie de anotaciones. Nos referiremos a la obra de Galileo según la edición canónica: Le opere di Galileo Galilei, 1898, Florencia, Edizione Nazionale, Vol. VIII (citada como EN, VIII, seguido del número de página).
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circunscriptos.4 Y en verdad, a no ser que una nueva Luz surja de los indivisibles y los infinitos y que se promueva el arte del análisis, no hay esperanza de promover la Geometría de manera importante.
Los antiguos nos han dado una Regla para hacer una suma de Fracciones
o de Razones decrecientes con una progresión Geométrica al infinito. En efecto, dada una cantidad, expuesta en una línea AB y esta línea seccionada y subseccionada continuamente, de modo que la razón de una subsección como AD a una sección como AC, sea continuamente aquella de la sección AC a un !"
!"
!"
todo como AB, esto es, que sean de razones iguales: !" = !" = !" = etc. Entonces, la razón de CB (residuo del todo AB quitada la sección AC) al todo AB será la razón del todo AB al todo compuesto por el [mismo] todo y también la sección y también la sección de la sección etc., tomado todo junto, es decir: !"
!"
= !"!!"!!"!!"!!"# 1
!"
1 3
1 9
1
1 27
1 27
AE
1 3
1 9
D
C
B
[344] He visto una demostración tentativa de esta Regla por parte de algunos Varones doctos, pero que no es absoluta. Yo no la demuestro solamente a partir de un principio universal sino también deduzco de ella una consecuencia elegante, a saber:
4
Wallis John, Arithmetica infinitorum, 1656, Oxford; asimismo, Operum mathematicorum pars altera, 1656, Oxford. Por otra parte, Gregory, James, Vera circuli et hyperbolae quadratura, 1667, Padua.
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Supuestas las Fracciones continuamente decrecientes cuyo numerador
sea la unidad, pero cuyos Denominadores sean los términos de alguna progresión geométrica, la suma de todas las Fracciones de una progresión dada será la primera Fracción de la progresión Geométrica precedente. !
!
!
!
Como: ! + ! + ! 𝑒𝑡𝑐. = !. !
!
!
!
!
!
Y ! + ! + !" 𝑒𝑡𝑐. = !. !
!
!
Y ! + !" + !" + !"# 𝑒𝑡𝑐. = !. Y así sucesivamente.
Pero esto es poco. Encarguémonos de aquellas cosas sobre las que sin
duda no hay hasta ahora una regla. Cuando le conté alguna vez al ilustre Huygens que para mí existen algunas razones para sumar algunas series decrecientes al infinito cuyo cálculo hasta ahora no ha sido descubierto, él me propuso la siguiente [serie] de fracciones cuyo numerador [es] la unidad pero cuyos Denominadores [son] los Números Triangulares 01, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 28[8], etc., a saber, cuyas diferencias son [los números] naturales 1, 2, 3, 4, 5 ,6 ,7, etc. y me propuso que busque la suma. Mientras meditaba él alguna vez sobre el cálculo del juego de dados u otros juegos de azar, se ha visto necesitado de esta suma y la ha encontrado por sí mismo, pero todavía no la ha publicado. He !
!
!
!
!
!
buscado y he hallado que es la suma de dos, esto es, ! + ! + ! + !" + !" + !" + ! !"
+ 𝑒𝑡𝑐. = 2. Cuando le mostré esto a Huygens, confesó que es verdadero y
también que concuerda con su cálculo.
[345] Pero yo había hallado, con este mismo trabajo, un Método
Universal para sumar series de Fracciones o Razones no solamente de la progresión de los [números] Triangulares, donde las diferencias de los términos son los números naturales, sino también de la Progresión de los Piramidales, como los llaman, donde las diferencias de los Términos son los números Triangulares, y de los Triangulo-‐Triangulares, donde las diferencias son los Notae Philosophicae Scientiae Formalis, vol. 3, n. 1, pp. 47 – 69, maio 2014.
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Piramidales, y de los Triangulo-‐Piramidales, donde las diferencias son los Triangulo-‐Triangulares, y de los Piramido-‐Piramidales, donde las diferencias entre los términos son los números Triangulo-‐Piramidales, y así sucesivamente. Examínese la tabla adjunta.
Estos son los números cuyas series algunos llaman Órdenes Numéricos, otros Combinatorios, otros Números de una Progresión Simétrica. Pascal ha expuesto sin duda muchos usos de ellos en Triangulo [346] Arithmetico, o sea, en un tratado que ha escrito a raíz del estudio que les dedicó.5 Yo suelo llamarlos Números de una Progresión Aritmética Replicada. Pues Números cualquiera pueden sustituir a las Unidades, como 2, 3, [del mismo modo que] Números cualquiera de una progresión Aritmética [pueden sustituir] a los Números Naturales, comenzando por sus diferencias, como 2, 4, 6, 8, etc. en lugar de 1, 2, 3, 4, etc. y permanece proporcionalmente la misma Tabla. En efecto, si el
5
Pascal, Blaise, Traité du triangle arithmétique, avec quelques autres petits traitez sur la mesme matière, 1665, G. Desprez, París.
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generador fuera dos, todos los términos se duplicarían, y si fuera tres, todos los términos se triplicarían, etc.
Esta es la Regla Universal: la Suma de una serie de fracciones de las cuales
el numerador es el generador y los denominadores son los términos de alguna progresión Aritmética Replicada, es decir, lo que es lo mismo, la suma de las razones en las que el antecedente es la Unidad y el consecuente es un término de una progresión Aritmética Replicada que tiene a la Unidad como generatriz; esta suma, digo, es una fracción o razón cuyo numerador o antecedente es el exponente de la serie precedente inmediata, es decir, de la penúltima (supuesta, a saber, una última dada), pero el denominador o consecuente es el exponente de la serie precedente inmediata a la precedente, esto es, de la antepenúltima. En este lugar llamo ‘Exponente’ al Número de la serie, es decir, al número ordinal de la Replicación que, a saber, expresa cuál es el número de la replicación. Así, ! ! !
de la serie ! , ! , ! 𝑒𝑡𝑐. el exponente es 1. De la Serie 1, 2, 3, 4 etc. el exponente es 2. En efecto, ya que en la primera se ha repetido vez tras vez la unidad generatriz, en la segunda se replican estas replicaciones, es decir, repeticiones, ! ! !
!
en la tercera ! , ! , ! , !" 𝑒𝑡𝑐. se repiten las replicaciones de las replicaciones. Por lo que si el generador es la unidad, el número de la serie, esto es, el Exponente del grado, coincide con el primer número después de la unidad, como 3 en la tercera. Por ejemplo, llamo exponente de una progresión Geométrica, en efecto, como el exponente 1 de los radios, 2 de los cuadrados, 3 de los cubos, etc. Así, en este lugar, de los generadores 1, de los naturales 2, de los Triangulares 3.
[347] Por consiguiente, de aquí que la suma de la serie de las fracciones ! ! !
!
!
!
!
!
Triangulares, ! , ! , ! , !" , !" , !" , !" , 𝑒𝑡𝑐. es !, es decir, la razón del exponente de los naturales a la Unidad. Pues la serie precedente a la serie 1, 3, 6, 10, 15 etc., esto es, 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. tiene el exponente 2. Y la serie precedente a dicha Notae Philosophicae Scientiae Formalis, vol. 3, n. 1, pp. 47 – 69, maio 2014.
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serie precedente, esto es, 1, 1, 1, 1, 1, 1, tiene el exponente 1, de allí se obtiene ! !
. Por consiguiente, también la suma de la serie de las fracciones Piramidales,
! !
, ,
!
,
!
,
!
! ! !" !" !"
𝑒𝑡𝑐. es la razón del exponente de los Triangulares al exponente de !
los naturales, esto es, !.
Esto es más claramente evidente a partir de esta Tabla:
SERIES DE FRACCIONES DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA REPLICADA Exponentes
1
2
3
4
5
6
7
[serie] de las Unidades
[serie] de las [fracciones] Naturales
[serie] de las [fracciones] Triangulares
[serie] de las [fracciones] Piramidales
[serie] de las [fracciones] Triángulotriangulares
[serie] de las [fracciones] Triángulopiramidales
[serie] de las [fracciones] Pirámidopiramidales
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7
1 1 1 3 1 6 1 10 1 15 1 21 1 28
1 1 1 4 1 10 1 20 1 35 1 56 1 84
1 1 1 5 1 15 1 35 1 70 1 126 1 210
1 1 1 6 1 21 1 56 1 126 1 252 1 462
1 1 1 7 1 28 1 84 1 210 1 462 1 924
0 0
1 0
2 1
3 2
4 3
5 4
6 5
Sumas
***** [348] En L2 y l se encuentra otra tabla diferente. Leibniz agregó en l, en el !
margen, el cálculo «= NB» y las otras anotaciones «NB». !
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Etc.
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SERIES DE FRACCIONES DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA REPLICADA 1 1 1
2 1 1
3 1 1
4 1 1
5 1 1
6 1 1
7 1 1
0 0
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
1 6 1 10 1 15 1 21 1 28 2 1
1 10 1 20 1 35 1 56 1 84 3 2
1 15 1 35 1 70 1 126 1 210 4 3
1 21 1 56 1 126 1 252 1 462
0 0
1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 0
1 28 1 84 1 210 1 462 1 924 6 5
5 4
etc.
NB NB
NB
etc.
exponentes Series de fracciones de una progresión aritmética replicada [que tiene a] la unidad [como] generatriz
0 0 0
sumas
***** Pues bien, haré público este método de invención y demostración, aunque esté muy cargado de detalles y requiera de muchos lemas, alguna vez junto con muchos otros del mismo género cuando tenga más tiempo para ponerlos en orden.6 En este lugar en verdad no puedo dejar escapar la ocasión para ofrecer una advertencia sobre la naturaleza del número infinito de todos los números. Galileo, en dial. Mechan. 1, compara el Número infinito con la unidad.7 En efecto, ha razonado de este modo. Todo número tiene su cuadrado, su cubo, etc. al infinito. (Si, en efecto, se multiplica por sí mismo, se producirá siempre su [349] cuadrado, su cubo, etc.) Por lo tanto, los Números cuadrados, lo mismo que los
6
Curiosamente, la justificación de la regla recién presentada se encuentra en textos redactados algunos años más adelante, por ejemplo, Summa fractionum a figuratis, per aequationes (septiembre de 1674, A VII 3, 365-‐369) y Scheda Exigua (diciembre de 1675 o febrero de 1676, A VII 3, 712-‐714). 7 EN, VIII, 83.
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cubos, etc., son tantos como las raíces, es decir, los números simpliciter,8 lo que es imposible. En efecto, siempre se interponen, entre los Números Cuadrados, muchos otros [números] no Cuadrados, y más aún entre los Cúbicos [se interponen muchos números] no Cúbicos. ¿Qué ocurre entonces? Que los atributos de igual, mayor y menor no tienen lugar en el infinito.9 Y añade que si hubiese algún número infinito, éste sería la unidad. En efecto, en ella está aquel requisito necesario del número infinito de todas las unidades, pues en ella las raíces son tantas como los cuadrados o cubos. En efecto, el cuadrado y el cubo, etc. de la unidad, es la unidad. Él [argumenta] esto. Pero yo digo [lo siguiente]: si este número infinito fuera alguno, él sería cero, esto es, Nada, o lo que es decir lo mismo, este Número infinito no es nada, esto es, = 0. En efecto, el Número infinito no sólo tiene aquello que ha observado Galileo en él, [a saber,] que en él las potencias de todo género son tantas como las raíces, sino también que en él los números simpliciter, esto es, pares e impares al mismo tiempo, son tantos como los números pares, puesto que los números pares son los dobles de los números tomados simpliciter, pero los [números] simples son tantos como sus dobles. Del mismo modo, se concluye que los números simpliciter son tantos como los pares, esto es, binarios, y como los ternarios, esto es, los triplos de los números simpliciter, y como los cuaternarios, etc. y [como] los triangulares, los piramidales, etc. Del mismo modo se prueba que los números simpliciter son tantos como los números de una progresión dada cualquiera que vaya al infinito, Aritmética, Geométrica, mixta o replicada. Aunque sea muy manifiesto que entre los binarios, esto es, los pares, se interponen otros [números] no pares y aún más que entre los ternarios se interponen otros no ternarios. Por lo tanto, ya que en este número infinito los Números pares son tantos como los números pares e 8 9
Es decir, tal como están tomados en la serie de los números naturales. EN, VIII, 77-‐78.
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impares simultáneamente, esto es, como los números simpliciter, se sigue que en este Número infinito falla este Axioma: que el todo es mayor que la parte (como el Padre Grégoire de Saint-‐Vincent defiende que éste [axioma] falla en el ángulo de contacto).10 Sin embargo, es imposible que este Axioma falle, o lo que es lo mismo, este Axioma nunca falla a no ser en el Cero o Nada. Por consiguiente, este Número infinito es imposible, no es uno, no es un todo, sino Nada. Por consiguiente, el Número infinito = 0. Y en verdad en el 0 o cero no se halla solamente esta propiedad del Infinito observada por Galileo en la unidad sino también todas las otras, pues el cuadrado y el cubo de 0 es 0, y el doble y el triple de 0 es 0, y 0 + 0 = 0, el todo [es igual] a la parte. Para que no parezca que me alejo aquí del asunto, lo mismo se comprueba gracias a esta colección de series que progresan al infinito hacia una suma. Pues se ha dicho que cuando se suman las fracciones de una progresión Geométrica, [350] la suma de la serie !
!
!
!
siguiente es la primera fracción de la serie antecedente, y ! + ! + !" 𝑒𝑡𝑐. = !, !
!
!
!
!
!
!
!
igualmente ! + ! + ! 𝑒𝑡𝑐. = ! . Por lo tanto, ! + ! + ! = ! . Ahora, 1+1+1 etc. constituye el número infinito. Se ha seguido claramente lo mismo en la Tabla inmediata anterior de las Fracciones de una progresión Aritmética replicada, de !
!
!
!
!
!
!
!
!
!
donde es evidente que ! + ! + ! + ! + ! 𝑒𝑡𝑐. = ! = 0. Y ! + ! + ! 𝑒𝑡𝑐. = ! = 0. ***** Leibniz reemplazó el siguiente pasaje puesto en letra más chica (cuya redacción fue interrumpida en L1 aunque no fue tachado, y que no fue incluido en L2 ni en l) por el texto que le sigue:
Este mismo tópico nos debe servir de advertencia, si es que hay que obrar con
rigor, si es que la filosofía debe ser perfeccionada, acerca de que no hay que aceptar 10
Grégoire de Saint-‐Vincent menciona esto en Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, 1647, Anvers, p. 871.
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proposición alguna excepto aquella que o conste por observación inmediata de los sentidos o sea demostrada, exceptuadas las definiciones que, como tantas veces lo enseña en sus escritos Galileo, son arbitrarias y están desprovistas de controversia, a condición de que sean claras.11 En efecto, como esta proposición: el todo es mayor que la parte, que ha sido objeto de dudas por parte de muy grandes Geómetras como son Galileo y Grégoire de Saint-‐Vincent. ¿Acaso podremos seguir reclamando de ahora en adelante que hay otras [proposiciones] conocidas por sí mismas, puesto que Galileo ha creído que el número infinito es algo, es decir, es un todo; en efecto, lo compara con la unidad; y sin embargo, niega que tenga lugar [la relación de] ‘ser mayor’, es decir, [niega] que el mismo todo sea mayor que las partes? Empero, dado que Hobbes demostró este axioma,12 el todo es mayor que la parte, (cosa que él, según mi opinión, realizó de una forma soberanamente correcta y excelente) y lo colocó dentro de los teoremas, yo por mi parte concluyo osadamente de él que el Número infinito es 0, lo que Galileo no hizo.
Sin embargo Hobbes se ha equivocado en el hecho de que concluye que la
verdad de toda proposición depende del arbitrio humano.13 En efecto, primero deben excluirse [de las arbitrarias] las cosas que constan por los sentidos, como que yo me siento a mí como sentiente. Pero también [hay que excluir] aquellas [proposiciones] que se demuestran a partir de los sentidos mediante la aplicación de definiciones conocidas; por ejemplo, las que se demuestran a partir de lo precedente: yo siento o pienso, y por ello yo soy. En efecto, es cierto por los sentidos que me siento a mí como sentiente. Por lo tanto, que me siento inmediatamente como sentiente, es decir, sin ninguna mediación. Pues, entre mí mismo y yo, a saber, en la mente, no hay ninguna mediación. Todo lo que se siente inmediatamente es sensible inmediatamente. Todo lo que es inmediatamente sensible, es sensible sin error (en efecto, todo error es debido al medio del sentir, como supongo que ha sido demostrado en otro lado). Todo lo sensible es sin error, esto es, de aquí se sigue que yo soy sentiente, es decir, yo soy sentiente es una 11
EN, VIII, 74. Hobbes, Thomas, De corpore, II, 8, 25. 13 Hobbes, Thomas, De corpore, I, 3, 8. 12
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proposición verdadera, y por consecuencia la reflexiva: sentiente yo soy. También deben excluirse las proposiciones idénticas, es decir, la afirmación de lo mismo de sí mismo, con las mismas palabras. Pero cuando se dice lo mismo de sí mismo con palabras equivalentes, como la definición [se dice] de lo definido, o [se predican] definiciones diferentes de la misma cosa definida entre sí, [351] o una parte de una definición [se predica] de lo definido o de otra definición de la misma cosa definida, es manifiesto [en esos casos] que la verdad de la proposición depende del arbitrio humano. En efecto, la definición depende del arbitrio humano. Pero en cambio, todos los axiomas que no dependen de los sentidos, más aún todos los teoremas de las ciencias independientes de los sentidos y de las experiencias, son proposiciones de este tipo, lo que también ha advertido Aristóteles, quien ha puesto a la definición como el único principio de la demostración. 14 Y en verdad, todos los Axiomas que Euclides ha anunciado como principios en los Elementos son demostrables a partir de definiciones. [Tú,] entonces, dirás: ‘¿Qué aprendemos cuando investigamos los teoremas de tales ciencias?’. Responderé que [no aprendemos] nada sino a pensar más rápida y distintamente en la práctica, es decir, que utilizamos algunos símbolos aptos para ordenar las ideas ya conocidas y aceptadas por los sentidos, o sea, estos símbolos son nombres o caracteres. Como [ocurre] en los números: ¿quién no ve que no se aprende nada nuevo en toda la aritmética sino numerales y sus varios períodos, de modo tal que si reaparecen una y otra vez se vuelven armónicos? De aquí que [las cosas aprendidas en la aritmética] se obtengan con el valor de teoremas y de ellos reluzca máximamente la utilidad de los caracteres cuando, una vez compuestos los símbolos, puedan observarse muchas cosas que de otro modo no podrían considerarse, como cuando se emprende fácilmente la suma íntegra de una cierta progresión. Y estas cosas se hacen muy manifiestas por el Álgebra, en donde cualquiera ve que todas las cosas se hacen mediante símbolos transpuestos de diversas maneras con provecho enorme, no porque se aprendan cosas nuevas sino porque las cosas se exhiben al desnudo en la mente. Por lo que, si tuviéramos una lengua o al menos una escritura filosófica, sobre la cual he hablado en 14
Aristóteles, Anal. pos., 90b24-‐27.
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Arte Combinatoria,15 la cual, a saber, utilizara los Elementos del pensar como Alfabeto, las cosas se escribirían mediante sus definiciones. Y lo que en el Álgebra son las ecuaciones serían en general los teoremas, y podrían proponerse y resolverse infinitos problemas, y [podrían] demostrarse teoremas sin ningún esfuerzo. Y utilizar esta escritura no sería lícito sino para el que entendiera acerca de las cosas, y todos podrían razonar sin error como ocurre en la Aritmética. Y de esta escritura universal o Caracterismo filosófico, el Álgebra, tanto la numérica como la especiosa, no es sino una parte o ejemplo, cosa que provoca mi admiración que los más insignes hombres no hayan advertido suficientemente. Sin embargo, estoy preparando un ejemplo en las cuestiones morales, es decir, en aquellas cosas donde se aplica el concepto de ‘justo’, para darlo a la publicidad [se interrumpe la redacción]
***** Este mismo tópico nos debe servir de advertencia, si es que hay que obrar con severidad, si es que la filosofía debe ser perfeccionada, acerca de que no hay que aceptar proposición alguna excepto aquella que o conste por observación inmediata de los sentidos o sea demostrada por una imaginación clara y distinta, es decir, por una idea o por una definición, que es la significación de la idea (: exceptuadas, a saber, las definiciones que, como tantas veces lo enseña en sus escritos ese restaurador de la Filosofía que es Galileo, son arbitrarias, y no debe argüirse [sobre ellas] falsedad sino ineptitud u oscuridad :).
En efecto, como esta proposición: el todo es mayor que la parte, que ha
sido objeto de dudas por parte de muy grandes Geómetras como son Galileo y Grégoire de Saint-‐Vincent. ¿Acaso podremos seguir reclamando de ahora en adelante que hay otras [proposiciones] conocidas por sí mismas?
[352] Ciertamente Galileo cree que el Número Infinito es algo, es decir, es
Un Todo. En efecto, lo compara con la unidad; y sin embargo, niega que en él tenga lugar [la relación de] ‘ser mayor’, es decir, que este número mismo todo 15
Leibniz se está refiriendo a su Dissertatio de Arte Combinatoria de 1666, A VI 1, 163-‐230.
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sea mayor que una parte, es decir, que los números simpliciter, esto es, los cuadrados y los no cuadrados, sean más que los números cuadrados, o sea, que el todo sea mayor que una parte.
Pero yo, ya que tengo por sabido que todo ‘todo’ [omne totum] es mayor
que una parte suya, audazmente concluyo que este Número infinito o número máximo, es decir, la suma de todas las Unidades posibles, que también puedes llamar ‘infinitísimo’, o el número de todos los números, es 0, es decir, Nada. Y hay una demostración nueva, ciertamente, a partir del hecho de que el número máximo es la suma de todas las unidades, es decir, el número de todos los números; ahora bien, la suma de los números necesariamente es mayor que el número de los números, como 1 + 2 + 3 + 4 etc. es mayor que 1 + 1 + 1 + 1 etc. Por lo tanto, el número máximo no es el número máximo, esto es, el número máximo es 0. Aunque no por ello niego infinitas partes en el continuo o una magnitud sin término constantemente en el espacio o tiempo.
De lo anterior se hace evidente también que estas proposiciones: [1]
cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí; [2] si a cosas iguales se le añaden o quitan cosas iguales, se obtienen cosas iguales; [3] el todo es mayor que una parte; [4] los equimúltiplos son como los simples, [5] si a cosas proporcionales se les añaden o quitan cosas proporcionales, los productos serán proporcionales, etc.,16 requieren una demostración, puesto que se puede dudar de ellas, y si son verdaderas, serían demostrables, a saber, a partir de términos, es decir, de definiciones. Y los escolásticos quisieron esto, que a partir de la inspección de los términos se den a conocer las verdades primeras, esto es, son fáciles de demostrar y como próximas a las definiciones; [esto,] contra aquellos que piensan que son conocidas por sí mismas mediante no sé qué luz natural, puesto que es sabido que algunos consideran ciertas [proposiciones] como 16
Estas son, de hecho, las ‘nociones comunes’ del libro primero de los Elementa de Euclides.
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conocidas por sí mismas, mientras que otros las rechazan y las diferencian, y no proporcionan un criterio de lo que es conocido por sí mismo, a no ser quizá la opinión común que, si no fuera que está sujeta a dudas, pondría fundamentos probables de las demostraciones, lo que es darle la mano a Pirrón. *****
El siguiente texto en letra más chica de L1 es un primer planteo de la
demostración de los axiomas que en este lugar Leibniz desestima y que al final retoma más extensamente.
[353] Con un ejemplo se muestra que una demostración de axiomas a partir de
definiciones debe ser fácil. Definiremos todo y parte por una mutua relación de este modo: Si a, b, etc. son partes, el todo será a + b etc. [Definiremos] mayor y menor así: Si a es menor y c es mayor, c será igual a a + b, es decir, c = a + b. [Si] juntáramos ambas definiciones, se formará la demostración: el Todo = c = a + b = mayor, parte = a = a =
menor. Así, a = b y c = d, por consiguiente
; del mismo modo si sustituyes – en
lugar de +, pues + y – reúnen cosas solamente con el pensamiento, no por el añadido de una nueva hipótesis. En efecto, la definición de igualdad es que una cosa pueda ser sustituida por otra conservada la cantidad [salva quantitate], pues son iguales cosas que tienen la misma cantidad; por lo cual, se entiende que cosas iguales a otra cosa son entonces iguales entre sí. En efecto, si a = c y b = c, [y si] uno se sustituye en lugar de uno de los otros dos, tenemos en tercer lugar a = b. Probaremos además que las cosas simples son como las dobles así: tanto
!! !!
=
!! !!
!! !!
!
!!
!
!!
= ; pues
=
!! ! !! !
!
!
!
!
. Ahora: = 1 y 1 = , por lo
!
y esto = . Creo que estas cosas son bastante claras y fáciles. !
***** Pero, alguien en verdad dirá que, si todos los Axiomas son demostrables a partir de las definiciones de nombres, todas las verdades dependerán del arbitrio humano, ya que las definiciones de nombres son arbitrarias, opinión Notae Philosophicae Scientiae Formalis, vol. 3, n. 1, pp. 47 – 69, maio 2014.
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desaprobada por los eruditos que está en Hobbes.17 Respondo a esto que las proposiciones dependen de definiciones en cuanto que son expresadas por palabras u otros símbolos. Pero los pensamientos asimbólicos [cogitationes asymbolas], es decir, las conexiones de las ideas mismas dependen o de la sensación [a sensu] o de una imagen distinta [a distincta imaginatione], cuando la cosa propuesta se distingue considerando sus partes y se la conduce a través de [variadas] circunstancias tanto tiempo sin que ocurra nada nuevo que pertenezca a la cosa presente. De aquí que los teoremas varían según los cambios de las relaciones, como la misma ciudad cambia la figura según el lado por el que se la mire. Por consiguiente, me parece que debe distinguirse entre las proposiciones: la verdad de algunas depende de los sentidos, como son las experiencias y observaciones de la Naturaleza; en cambio [la verdad de] otras [depende] de una imagen clara y distinta, es decir, de ideas, o, si [así lo] prefieres, de definiciones. En efecto, una definición no es otra cosa que la significación de una idea, como son los teoremas de la Aritmética y la Geometría. Por consiguiente, las notaciones y los símbolos son arbitrarios, o son palabras o caracteres, [pero] se presentan las mismas ideas para todos. Si bien en las cosas muy compuestas estamos acostumbrados a utilizar símbolos para razonar, sin ninguna consideración de las ideas mismas, a estos pensamientos los denomino ciegos porque con estos [pensamientos] nos damos por satisfechos con una analogía de unas pocas cosas simples y distintamente comprendidas, [354] como cuando decimos 100.000, nadie se imagina en su mente todas las unidades de este número, pues sabe que puede abstenerse de este trabajo gracias a los símbolos. Y el arte de forjar símbolos consiste en esto: [ellos] abrevian aún más que las Ideas mismas, y sin embargo están desprovistos de confusión y son aptos para descubrir en ellos mismos proporciones de todo género con no menor 17
Véase la nota 13.
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facilidad, en la medida en que eso puede hacerse, que si fuesen resueltos en últimos elementos, es decir, [si fuesen] entendidos clara y distintamente. Y [por ejemplo] esto en los números se logra muy bien en la progresión decádica. En efecto, sin una progresión de este tipo sería imposible para los mortales calcular, a causa del tedio, números muy grandes. Y lo mismo proporciona el Álgebra en la Geometría, hasta tal punto que se obtienen [resultados] aun admitiendo cosas imposibles, como son dimensiones que sobrepasan la tercera [dimensión], los números sordos y los menores que cero.
Por consiguiente, ya que nuestra mente se alivia gracias a los símbolos
aptamente inventados como [si se tratara de] máquinas espirituales y que los [símbolos] que hasta ahora tenemos sobre todo en las ciencias matemáticas puras (aunque en ellas todavía considero que faltan muchas cosas) no son ni simples, ni completos ni ordenados, de ello se hace manifiesto que, acerca de todo racionamiento humano, nadie podría tener mayor mérito que quien diseñase ya sea un Lenguaje o, lo que sería suficiente, una Escritura Filosófica. Debería estar al servicio de investigaciones rigurosas, como he expuesto hace seis años en la Dissertatio de Arte Combinatoria,18 aunque de forma pueril, a saber, en un modo más Académico, de la cual [Dissertatio], sin embargo, no rechazo todo hoy en día. Allí he aconsejado que todas las proposiciones de las ciencias puras, es decir, independientes de los sentidos (aunque su verdad pueda también ser examinada y confirmada por los sentidos) como son también las ciencias sobre la acción en general, sobre el Racionamiento, el movimiento, lo útil, lo justo, no hacen otra cosa que enunciar o bien una definición o una parte de ella (o una definición de una parte o de una parte de una parte, a partir del todo o de una parte), [enunciar todo eso] de lo definido o de otra definición de lo mismo definido. Una misma idea puede expresarse mediante varias definiciones: 18
Véase la nota 15.
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y de aquí nace el fecundo arte de fundar los teoremas. Recuerdo que Pascal también ha hecho esto en alguna parte, allí donde recomienda varias enunciaciones de los mismos teoremas, y dice que en esto debe consistir todo el estudio de los Geómetras.19 Así, en efecto, se abre un camino hacia cosas nuevas e inexploradas. Jacques Cujas ha notado esto también en Paratitlis,20 [en donde] se proponen útilmente muchas definiciones del mismo nombre. En efecto, las definiciones en esta Característica Universal son lo mismo que las ecuaciones en el Álgebra.
Pero mostremos, con los hechos mismos más que con palabras, que se
lleva a cabo la demostrabilidad de los axiomas propuestos en el ejemplo:
[355] PRIMERO: cosas iguales a una tercera cosa son iguales entre sí se
entiende inmediatamente a partir de la definición de igualdad: en efecto, sean a=b y b=c; digo que a=c. Pues ya que son iguales cosas cuya cantidad es la misma, es decir, de las cuales una puede ser sustituida por otra conservada la cantidad, por consiguiente, sustituyamos o bien c en lugar de b en la ecuación a=b, o bien a en lugar de b en la ecuación b=c; en ambos casos se tendrá a=c. Q. E. D.
SEGUNDO: si a cosas iguales se le añaden o quitan cosas iguales se obtienen
cosas iguales: a=b y c=d, digo que a+c=b+d. Pues a+c=b+c (pues a=b) y b+c=b+d (pues c=d); por consiguiente, a+c=b+d.
TERCERO: el Todo es mayor que una parte. Pues si (definición 1) las partes
son a, b, el todo (definición 2) será a+b. ***** Leibniz agregó la siguiente figura al margen en L2 y l:
19
Leibniz está aludiendo al Traité du triangle arithmétique, op. cit. Jacques Cujas, Paratitla in libros IX Codicis Iustiniani repetitae praelectionis, 1579, París.
20
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***** A su vez, si a es menor (definición 3), c=a+b será mayor (definición 4). Si se juntan las definiciones, se compone la demostración: el Todo=a+b (definición 2) a+b=c (definición 4) c=mayor (dicha definición 4), 21 parte=a (definición 1), a=menor (definición 3).
CUARTO: los equimúltiplos son como los simples, v.g., así como 3 es a 4, así !"
!
!"
!! !
!
!
también 2 veces 3 es a 2 veces 4, !" = ! . Pues !" = !! ! . Ahora: ! = 1 y 1 = !, !"
!! !
!!
!
por consiguiente !" = !! ! = !! = ! . ***** Leibniz agregó en letra chica el siguiente pasaje en l:
Para que no quede duda de esto, pruebo
!" !"
!
!
!
!
!
!
!
!
= ∩ así: ∩
=
!∩ !
! !
=
!" !
!
=
!" !"
.
En este lugar, ∩ es el signo de la multiplicación.
***** QUINTO: si a cosas proporcionales se les añaden o quitan cosas proporcionales, los productos serán proporcionales. Por ejemplo, así como 4 es a 8 como 3 a 6, del mismo modo será también 4+3, es decir, 7, a 8+6, es decir, 14, !
!
!!!
es decir: ! = !, por consiguiente !!!. Ante todo, predemuestro este lema: bc=ad. !
!
Pues ya que ! = !, [356] por consiguiente, multiplicando ambos por d resultará !" !
!
= ! , por consiguiente multiplicando ambos por b resultará ad=cb. Ahora !!!
!
!!!
!
prosigo: si !!! 𝑋 ! = 1, resultará !!! = ! . ***** Leibniz agregó en letra chica el siguiente pasaje en l: 21
Leibniz añadió al margen en l: Sean partes (sobre esto: def. 1) p, 𝜋 , el todo (sobre esto: def. 2) p+𝜋. Sea p+y mayor (sobre esto: def. 3) que p. Entendiendo por y una cosa indefinida cualquiera. Por consiguiente, en def. 3 substituyendo 𝜋 por y, p+𝜋 será mayor que p, esto es, por def. 2, 3, el todo será mayor que una parte.
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La consecuencia es evidente: pues
!!! ∪ ! ∪
! !
!!!
=
!!!,∩ ! ∪ !!!,∩ !
! !
=
!!!,∩ ! ∪ ! !!!,∩ !
=
!!!,∩ ! !!!,∩ !
!!! !!!
=
!
!!!
!
!!!
𝑋 =
!!! !!!
! !
!
!!! ∪
!
!!!
∪ , pues esto
=
!
𝑋 . !
***** !!!
!
!"!!"
Pruebo el antecedente: !!! 𝑋 ! = !"!!". Ahora, bc=ad por el lema previo. !"!!"
!"!!"
Por consiguiente, !"!!" = !"!!" = 1.
Por el último ejemplo se entiende que esta quinta proposición puesta
entre los axiomas no es más fácil de demostrar que algunas otras que se asocian con teoremas. Por ejemplo, un teorema es: si dos razones son iguales, también !
!
serán iguales sus conversas: esto se demuestra fácilmente así: ! = !, digo que !
!
!
!
!
!
!
!
!"
!"
= ! . Pues si ! 𝑋 ! = 1, será ! = ! . Pruebo el antecedente: ! 𝑋 ! = !" = !" = 1. ! Pues por el lema dicho, bc=da. Y pienso que estas cosas bastan sin duda como ejemplo.
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