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TRABALHO DE ROBÓTICA

Nome: Caetano Soares Fajardo Docente: Fabricio Lopes e Silva Curso: ECA (Engenharia de controle e automação) Instituição: CEFET-RJ

Sumário Introdução ...................................................................................... 5 Desenvolvimento ........................................................................... 5 Cinemática direta ........................................................................... 5 Manipulador antropomórfico (RRR) ......................................... 7 Referenciais usados na análise dinâmica do manipulador antropomórfico ...................................................................... 8 Equações de cinemática direta ............................................... 8 Gráficos obtidos ................................................................... 11 Teste realizado com o programa do manipulador antropomórfico .................................................................... 15 Manipulador SCARA .............................................................. 16 Referenciais usados na análise dinâmica do manipulador SCARA ................................................................................ 17 Equações de cinemática direta ............................................. 17 Gráficos obtidos ................................................................... 19 Teste realizado com o programa do manipulador SCARA . 25 Manipulador Cartesiano........................................................... 27 Equações de cinemática direta ............................................. 27 Gráficos obtidos ................................................................... 29 Equações paramétricas do gráfico obtido ............................ 30 Teste realizado com o programa do manipulador cartesiano ............................................................................................. 31 Manipulador Cilíndrico ........................................................... 32 Equações de cinemática direta ............................................. 33 Gráficos obtidos ................................................................... 35 Manipulador esférico ............................................................... 38 Equações de cinemática direta ............................................. 38 Gráficos obtidos ................................................................... 40

Ângulos de Euler ..................................................................... 42 Ângulos de RPY (RAG) .......................................................... 44 Conclusão .................................................................................... 45 Bibliografia .................................................................................. 47 Figura 1 Geometria do manipulador articulado (RRR). Extraído de (Craig, 2005). ............................................................................ 7 Figura 2 Referenciais usados na análise dinâmica do manipulador antropomórfico .............................................................................. 8 Figura 3 Funções de x, dx, e ddx no intervalo de tempo t ........... 11 Figura 4 Pontos (Px,Py) percorridos pelo end effector na trajetória. ...................................................................................... 12 Figura 5 Funções dy e ddy no intervalo de tempo t ..................... 13 Figura 6 Py ou y no intervalo de tempo t .................................... 14 Figura 7 Teste realizado com o programa antropomorfico3dof.m ..................................................................................................... 15 Figura 8 Manipulador SCARA. Vista lateral e vista superior. Extraído de (Craig, 2005). ........................................................... 16 Figura 9 Referenciais adotados na análise dinâmica do manipulador SCARA. .................................................................. 17 Figura 10 Função que descreve os pontos (Px, Py) no intervalo de tempo t. ........................................................................................ 19 Figura 11 Funções de x, dx, e ddx. .............................................. 20 Figura 12 Funções de y, dy, e ddy. .............................................. 21 Figura 13 Função de Py no intervalo de tempo t. ........................ 22 Figura 14 Trajetória do manipulador SCARA no espaço de trabalho. Extraído e adaptado de Craig (2005). ........................... 24 Figura 15 Teste do programa SCARA3DOF.m .......................... 26 Figura 16 Manipulador cartesiano. Extraído de (Craig, 2005). ... 27 Figura 17 Letra A inclinada desenhada pelo manipulador cartesiano 3 dof. ........................................................................... 29 Figura 18 Teste de posição realizado........................................... 31

Figura 19 Manipulador cilíndrico 3 dof. Extraído de (Craig, 2005). ........................................................................................... 32 Figura 20 Eixos: junta rotacional 1, junta prismatica 2, e junta prismatica 3. ................................................................................. 33 Figura 21 Pontos (Px,Py). ............................................................ 35 Figura 22 Funções de x, dx e ddx. ............................................... 36 Figura 23 Funções de y, dy e ddy. ............................................... 37 Figura 24 Manipulador esférico com 3 graus de liberdade. ........ 38 Figura 25 Pontos (Px, Py). ........................................................... 40 Figura 26 Funções x, dx, e ddx. ................................................... 41 Figura 27 Funções y, dy, e ddy. ................................................... 42

Introdução Este trabalho tem como objetivo a identificação, descrição e interpretação da cinemática direta para um sistema de 6 graus de liberdade composto de um pulso com 3 graus de liberdade e 3 graus de liberdade dos seguintes manipuladores: antropomórfico, cartesiano, SCARA, cilíndrico, esférico. Para o pulso foi feito a cinemática direta baseada nos ângulos de Euler e ângulos RPY (RAG), Desenvolvimento Para a escrita do código ou script, simulação e plotagem dos resultados foi usado o ambiente de desenvolvimento para engenharia o MATLAB R2013. O estudo de dinâmica, mecânica dos materiais ligada a robótica, cinemática direta, ângulos de Euler, ângulos de RPY ou RAG e álgebra linear foram feitos através das referências bibliográficas.

Cinemática direta Na cinemática direta são estudadas, interpretadas e resolvidas as equações que descrevem a posição, a velocidade, e a aceleração do efetuador ou end efector no espaço cartesiano de acordo com o objetivo mostrado na matriz de tarefa ou transformação homogênea. Na dinâmica de maquinas as equações para posição em um determinado referencial são denotadas como: X  PX

(1)

Y  PY

(2)

Z  PZ

(3)

As equações de velocidade são as derivadas parciais das equações de posição mostradas nas equações 4, 5 e 6.

VX 

X  X 

(4)

VY 

Y  Y 

(5)

VZ 

Z  Z 

(6)

As equações de aceleração são as derivadas parciais das equações de velocidade mostradas nas equações 7, 8 e 9.

aX 

X  X  2

(7)

aY 

Y  Y  2

(8)

aZ 

Z  Z  2

(9)

As equações de Px , Py e Pz estão contidas na matriz de transformação homogênea, que descreve a tarefa na o sistema executa no espaço de trabalho. A equação da matriz de transformação homogênea para 3 graus de liberdade é mostrada na equação 10.

 nx  n 0 TN   y n  z 0 

ox oy oz 0

ax ay az 0

PX PY PZ 1

   N N 1 N 2 AN 3  AN 1 AN  2   

(10)

Manipulador antropomórfico (RRR) O manipulador antropomórfico é o mais utilizado na indústria para tarefas que necessitem de suas restrições e características de desempenho, conhecido como articulado por possuir somente juntas rotacionais, e possui a geometria mostrada na figura 1.

Figura 1 Geometria do manipulador articulado (RRR). Extraído de (Craig, 2005).

Referenciais usados na análise dinâmica do manipulador antropomórfico Na figura 2 são mostrados os referenciais adotados de acordo com a configuração de juntas rotacionais no manipulador antropomórfico.

Figura 2 Referenciais usados na análise dinâmica do manipulador antropomórfico

Equações de cinemática direta O manipulador antropomórfico contém 3 juntas rotacionais localizadas no mesmo plano conforme mostrado nas figuras 1 e 2, logo a matriz de transformação homogênea deste manipulador será o produto de 3 matrizes de transformação rotacional. A obtenção

da matriz de transformação homogênea é descrita nas equações 11, 12, 13, e 14. T3  0T1 1T2 2T3

0

(11)

 cos(1 )  sin(1 )   sin(1 ) cos(1 ) 0 T1   0 0   0 0 

0 0 1 0

 cos( 2 )  sin( 2 )   sin( 2 ) cos( 2 ) 1 T2   0 0   0 0 

0 l2   0 0 1 0  0 1 

(13)

 cos( 3 )  sin( 3 )   sin( 3 ) cos( 3 ) 2 T3   0 0   0 0 

0 l3   0 0 1 0  0 1 

(14)

l1   0 0  1 

(112)

Para a correta obtenção da matriz de transformação homogênea dos manipuladores, efetua-se a operação algébrica descrita na equação 15. T3  N 1TN N 2TN 1 N 3TN 2

0

(15)

Conforme visto na equação 15, a operação algébrica de multiplicação compreende na ordem o último, penúltimo e o primeiro. O tamanho da matriz de transformação homogênea excede as limitações deste documento, logo para sua visualização deverá ser feita a simulação no arquivo antropomorfico3dof.m pelo ambiente computacional de engenharia Matlab desenvolvido pela MathWorks. As equações de posição são mostradas nas equações

16 e 17, as equações de velocidade são mostradas nas equações 18 e 19, e as equações de aceleração são mostradas nas equações 20 e 21. 𝑥 = 𝑙1 cos(𝜃1 ) + 𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2 ) + 𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 )

(16)

𝑦 = 𝑙1 sen(𝜃1 ) + 𝑙2 sen(𝜃1 + 𝜃2 ) + 𝑙3 sen(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 )

(17)

𝜕𝑥 = −𝑙1 sen(𝜃1 ) − 𝑙2 sen(𝜃1 + 𝜃2 ) − 𝑙3 sen(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 )

(18)

𝜕𝑦 = −𝑙1 cos(𝜃1 ) − 𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2 ) − 𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 )

(19)

𝜕𝜕𝑥 = −𝑙1 cos(𝜃1 ) − 𝑙2 cos(𝜃1 + 𝜃2 ) − 𝑙3 cos(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 )

(20)

𝜕𝜕𝑦 = 𝑙1 sen(𝜃1 ) + 𝑙2 sen(𝜃1 + 𝜃2 ) + 𝑙3 sen(𝜃1 + 𝜃2 + 𝜃3 )

(21)

Gráficos obtidos Na figura 3 são mostradas as funções de intervalo de tempo t .

Figura 3 Funções de x, dx, e ddx no intervalo de tempo t

x

,

x

e

x

no

Na figura 4 é mostrada a função que descreve os pontos ( Px , Py ) na trajetória do end effector com a peça.

Figura 4 Pontos (Px,Py) percorridos pelo end effector na trajetória.

Na tabela 2 são mostrados os valores de

Px , Py , x, y, x e y .

Tabela 1 Valores de Px, Py, dx, dy, ddx e ddy.

Px

Py

x

y

x

y

8,196152 7,616808 7,031642 6,44208 5,849551 5,255479 4,661282 4,068366 3,478125 2,891934 2,311149 1,737099 1,171087

12 12,21954 12,41055 12,57291 12,70657 12,81153 12,88788 12,93578 12,95547 12,94723 12,91144 12,84853 12,75899

-12 -12,2195 -12,4106 -12,5729 -12,7066 -12,8115 -12,8879 -12,9358 -12,9555 -12,9472 -12,9114 -12,8485 -12,759

-8,19615 -7,61681 -7,03164 -6,44208 -5,84955 -5,25548 -4,66128 -4,06837 -3,47812 -2,89193 -2,31115 -1,7371 -1,17109

-8,19615 -7,61681 -7,03164 -6,44208 -5,84955 -5,25548 -4,66128 -4,06837 -3,47812 -2,89193 -2,31115 -1,7371 -1,17109

12 12,21954 12,41055 12,57291 12,70657 12,81153 12,88788 12,93578 12,95547 12,94723 12,91144 12,84853 12,75899

0,614384 0,068227 -0,46618 -0,98769 -1,49517 -1,98756 -2,46384 -2,92303 -3,36422 -3,78653 -4,18918 -4,5714 -4,93252 -5,27191 -5,589 -5,88332 -6,15441 -6,40192

12,64339 12,50236 12,33657 12,14677 11,93376 11,69839 11,44156 11,16422 10,86736 10,55202 10,21928 9,870248 9,506073 9,127927 8,737013 8,334555 7,921797 7,5

-12,6434 -12,5024 -12,3366 -12,1468 -11,9338 -11,6984 -11,4416 -11,1642 -10,8674 -10,552 -10,2193 -9,87025 -9,50607 -9,12793 -8,73701 -8,33456 -7,9218 -7,5

-0,61438 -0,06823 0,466184 0,987689 1,495173 1,987564 2,46384 2,92303 3,364215 3,786533 4,189178 4,571402 4,93252 5,271908 5,589005 5,883315 6,15441 6,401924

-0,61438 -0,06823 0,466184 0,987689 1,495173 1,987564 2,46384 2,92303 3,364215 3,786533 4,189178 4,571402 4,93252 5,271908 5,589005 5,883315 6,15441 6,401924

Na figura 5 são mostradas as funções de y , intervalo de tempo t .

Figura 5 Funções dy e ddy no intervalo de tempo t

12,64339 12,50236 12,33657 12,14677 11,93376 11,69839 11,44156 11,16422 10,86736 10,55202 10,21928 9,870248 9,506073 9,127927 8,737013 8,334555 7,921797 7,5

y

e

y no

Na figura 6 é mostrada a função de intervalo de tempo t .

y

ou os pontos

Py

no

Figura 6 Py ou y no intervalo de tempo t

Analisadas as figuras 3, 4, 5, 6 comprova-se que o efetuador transladou em x de 8.2 para -6.4, transladou em y de 12 para 7.5 e rotacionou em z no sentido anti-horário a peça, conforme os valores mostrados na tabela 1, pois os intervalos de ângulos adotados foram:

teta1 = 0  1  teta2 = teta3 =

 6

 3

 6

 2   3 

(22)

;

 3

 2

; .

Teste realizado com o programa do manipulador antropomórfico Tabela 2 Teste de posição com o programa antropomorfico3dof.m implementado

Px

PY

PZ

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1,57079632679490 1,17809724509617 0,785398163397448 0,392699081698724 0

Figura 7 Teste realizado com o programa antropomorfico3dof.m

O teste foi feito tomando como ângulo inicial

 2

rad. ou

90 

para o ângulo  1 , isto é, quando o manipulador articulado está estendido totalmente verticalmente para cima. Os dados mostrados na tabela 1 e o manipulador estendido mostrado na figura 7 provam que o programa obteve resultados corretos e passou no teste.

Conclui-se que as equações de cinemática direta para este manipulador foram escritas corretamente.

Manipulador SCARA Na figura 8 são mostrados a geometria do manipulador SCARA e o seu espaço de trabalho. Muito rápido e empregado em operações de montagem e desmontagem que utilizam elementos de máquinas, com 3 graus de liberdade, que possui duas juntas rotacionais e uma prismática.

Figura 8 Manipulador SCARA. Vista lateral e vista superior. Extraído de (Craig, 2005).

Observa-se na figura 8 que o manipulador SCARA com 3 dof (degrees of freedom) ou 3 graus de liberdades possui duas juntas rotacionais e uma junta cilíndrica, que executa movimento vertical com o corpo de prova. Para a obtenção das equações de cinemática direta deste manipulador ocorre a multiplicação de três matrizes: uma matriz de rotação z,1  , uma matriz de rotação z, 2  e uma matriz de translação z, d 3  .

Referenciais usados na análise dinâmica do manipulador SCARA

Figura 9 Referenciais adotados na análise dinâmica do manipulador SCARA.

Na figura 9 onde são mostrados os referenciais das juntas do manipulador SCARA, o eixo z representa o plano superior, o eixo y representa o plano frontal e o eixo x representa o plano lateral.

Equações de cinemática direta As operações algébricas para obtenção das equações de x e y são mostradas na equação 27. Na equação 23, o termo a33  cos  , pois a junta executa um movimento de rotação com a restrição 0  1   , e o termo a 43  l A pela posição vertical da junta rotacional em relação a origem.

 cos(1 )  sen(1 ) cos(180) sen(1 ) sen(180) l B cos(1 )     sen(1 ) cos(1 ) cos(180)  cos(1 ) sen(180) l B sen(1 )  A1    0 sen(180) cos(180) lA    0  0 0 1  

(23)

0 l B cos(1 )   cos(1 ) sen(1 )    sen(1 )  cos(1 ) 0 l B sen(1 )  A1    0 0 1 lA    0  0 0 1  

(24)

 cos( 2 )  sen( 2 )   sen( 2 ) cos( 2 ) A2   0 0   0 0 

(25)

1  0 A3   0  0 

0 1 0 0

0 lC cos( 2 )   0 lC sen( 2 )   1 0   0 1 

0 0  0 0 1 d3   0 1 

T  A3 A2 A1

(26)

(27)

A equação de x é mostrada na equação 28, a equação de y é mostrada na equação 29, e a equação de z é mostrada na equação 30. x  l C cos(θ 2 )  l B cos(θ1 ) cos(θ 2 ) - l B sin(θ1 ) sin(θ 2 )

(28)

y  l C sin( 2 )  l B cos(1 )sin( 2 )  l B cos( 2 )sin(1 )

(29)

zl -d a 3

(30)

Gráficos obtidos Na figura 10 é mostrada a função que descreve os pontos Px , Py .

Figura 10 Função que descreve os pontos (Px, Py) no intervalo de tempo t.

Na figura 11 são mostrada as funções de

x, x, x .

Figura 11 Funções de x, dx, e ddx.

Conforme é mostrado na figura 10 e 11, o primeiro link do manipulador recua em x , por movimentar-se no intervalo 90° < 𝜃1 < 120° . Este movimento no sentido anti-horário ocorre por causa da configuração do espaço de trabalho livre para a junta rotacional 1 realizar rotação.

Na figura 12 é mostrada as funções de

y, y, y .

Figura 12 Funções de y, dy, e ddy.

Na figura 12, os valores dos pontos Py decrescem ao longo do intervalo t , logo os link 1 e 2 realizam uma trajetória no sentido horário do espaço de trabalho.

Na figura 13 é mostrada a função de tempo t .

Py

no intervalo de

Figura 13 Função de Py no intervalo de tempo t.

Tabela 3 Valores de Px, Py, dx, dy, ddx e ddy.

Px

Py

2,830127 2,696079 2,562662 2,429997 2,298203 2,167397 2,037693 1,909202 1,782034 1,656295 1,532089 1,409516 1,288673 1,169656 1,052555 0,937458 0,824449 0,71361 0,605017 0,498744 0,39486 0,293432 0,194522 0,098188 0,004483 -0,08654 -0,17484 -0,26037 -0,3431 -0,42298

5,098076 5,119335 5,136709 5,150246 5,159997 5,166016 5,168361 5,167095 5,162282 5,153994 5,142301 5,12728 5,109009 5,087571 5,06305 5,035534 5,005114 4,971882 4,935934 4,897368 4,856283 4,812781 4,766966 4,718943 4,66882 4,616705 4,562707 4,506938 4,44951 4,390535

-0,5

x

-2,59808 -2,54414 -2,48711 -2,42705 -2,36403 -2,29813 -2,22943 -2,15802 -2,08398 -2,00739 -1,92836 -1,84698 -1,76336 -1,67758 -1,58976 -1,5 -1,40841 -1,31511 -1,22021 -1,12382 -1,02606 -0,92705 -0,82691 -0,72577 -0,62374 -0,52094 -0,41752 -0,31359 -0,20927 -0,1047 -1,11E4,330127 15

x

y

-1,5 -1,58976 -1,67758 -1,76336 -1,84698 -1,92836 -2,00739 -2,08398 -2,15802 -2,22943 -2,29813 -2,36403 -2,42705 -2,48711 -2,54414 -2,59808 -2,64884 -2,69638 -2,74064 -2,78155 -2,81908 -2,85317 -2,88379 -2,91089 -2,93444 -2,95442 -2,9708 -2,98357 -2,99269 -2,99817

1,5 1,589758 1,677579 1,763356 1,846984 1,928363 2,007392 2,083975 2,158019 2,229434 2,298133 2,364032 2,427051 2,487113 2,544144 2,598076 2,648843 2,696382 2,740636 2,781552 2,819078 2,85317 2,883785 2,910887 2,934443 2,954423 2,970804 2,983566 2,992692 2,998172

-3

3

-2,59808 -2,54414 -2,48711 -2,42705 -2,36403 -2,29813 -2,22943 -2,15802 -2,08398 -2,00739 -1,92836 -1,84698 -1,76336 -1,67758 -1,58976 -1,5 -1,40841 -1,31511 -1,22021 -1,12382 -1,02606 -0,92705 -0,82691 -0,72577 -0,62374 -0,52094 -0,41752 -0,31359 -0,20927 -0,1047 -1,11E15

y

Conforme os valores de Px e Py mostrados na tabela 3, o manipulador SCARA realiza a trajetória mostrada na figura 14.

Figura 14 Trajetória do manipulador SCARA no espaço de trabalho. Extraído e adaptado de Craig (2005).

Segundo a trajetória mostrada na figura 14, as funções de x e y estão corretas nos intervalos de 𝜃1 e 𝜃2 mostrados na equação 31. A trajetória ocorreu dentro do espaço de trabalho não apresentando nenhum desvio para fora. O manipulador SCARA apresenta limitações de movimento em seus três graus de liberdade, o que torna outros manipuladores como o cilíndrico e o esférico mais indicados para tarefas mais pesadas, embora em tarefas ligadas a indústria eletrônica seja amplamente usado.

teta1  teta2 

 2

 6

 1   2 

2 ; 3

 3

(31)

Teste realizado com o programa do manipulador SCARA Tabela 4 Valores de Px, Py, Teta1 e Teta2 do teste realizado com o manipulador SCARA

Px

Py

1

2

8 7,99878156125113 7,99512661615277 7,98903627803659 7,98051240207859 7,96955758473396 7,95617516294619 7,94036921313058 7,92214454993256 7,90150672476110 7,87846202409766 7,85301746758131 7,82518080587045 7,79496051828188 7,76236581020797 7,72740661031255 7,69009356750655 7,65043804770428 7,60845213036123 7,56414860479453 7,51754096628727 7,46864341197761 7,41747083653430 7,36403882761952 7,30836366114081 7,25046229629320 7,19035237039334 7,12805219350694 7,06358074287141 6,99695765711517 0

0 0,139619251498268 0,279195973620008 0,418687649943551 0,558051789953002 0,697245941981265 0,836227706141228 0,974954747241180 1,11338480768052 1,25147572032185 1,38918542133544 1,52647196301236 1,66329352654207 1,79960843475092 1,93537516479734 2,07055236082017 2,20509884653599 2,33897363778189 2,47213595499958 2,60454523565725 2,73616114660535 2,86694359636240 2,99685274732730 3,12584902791419 3,25389314460640 3,38094609392560 3,50696917431262 3,63192399791638 3,75577250228713 3,87847696197070 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0,0174532925199433 0,0349065850398866 0,0523598775598299 0,0698131700797732 0,0872664625997165 0,104719755119660 0,122173047639603 0,139626340159546 0,157079632679490 0,174532925199433 0,191986217719376 0,209439510239320 0,226892802759263 0,244346095279206 0,261799387799149 0,279252680319093 0,296705972839036 0,314159265358979 0,331612557878923 0,349065850398866 0,366519142918809 0,383972435438753 0,401425727958696 0,418879020478639 0,436332312998583 0,453785605518526 0,471238898038469 0,488692190558413 0,506145483078356 0,523598775598299

Figura 15 Teste do programa SCARA3DOF.m

O teste do programa SCARA3DOF.m foram feitos variando o ângulo

2

no intervalo

0  2 

 6

e igualando

1  0 .

Segundo os

dados mostrados na tabela 4 e na figura 15, o programa executou corretamente as operações algébricas obtendo valores corretos de Px e Py . Na primeira linha da tabela 4, o manipulador encontra-se estendido sem nenhuma variação dos ângulos de suas articulações, segundo os dados mostrados. Na última linha da tabela 4, a segunda junta encontra-se variada 30  em relação ao eixo x no sentido antihorário conforme mostrado na figura 15.

Manipulador Cartesiano Na figura 15 é mostrada a geometria do manipulador cartesiano, que possui três juntas prismáticas, três graus de liberdade e três graus de movimento. Sua programação e controle em relação a outros manipuladores é simples. Sua restrição se baseia na configuração paralelepipédica do seu espaço de trabalho.

Figura 16 Manipulador cartesiano. Extraído de (Craig, 2005).

Equações de cinemática direta Para cada um dos três graus de liberdade, translação em x, translação em y , translação em z , são calculadas três matrizes mostradas nas equações 20, 21 e 22. 1  0 AX   0  0 

0 1 0 0

0 d1   0 0 1 0  0 1 

(20)

1  0 AY   0  0 

0 1 0 0

0 0  0 d2  1 0  0 1 

(21)

1  0 AZ   0  0 

0 1 0 0

0 0  0 0 1 d3   0 1 

(22)

A equação da matriz de transformação homogênea para o manipulador cartesiano com 3 graus de liberdade é mostrada na equação 23. T  AZ AY AX

(23)

Onde 1  0 T  0  0 

As equações de x ,

y

e

z

0 1 0 0

0 d1   0 d2  1 d3   0 1 

(24)

são mostradas nas equações 25, 26,

e 27. x  d1

(25)

y  d2

(26)

z  d3

(27)

Gráficos obtidos Na figura 16 é mostrado um gráfico com desenho de uma letra A inclinada feita pelo manipulador cartesiano com 3 graus de liberdade.

Figura 17 Letra A inclinada desenhada pelo manipulador cartesiano 3 dof.

Tabela 5 Valores de Px, Py e Pz.

Px

Py

Pz

1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6

1 2 3 4 3 2 1 2 2 2 2 2

1 2 3 4 3 2 1 2 2 2 2 2

Equações paramétricas do gráfico obtido Para o intervalo 1  x  4 , 1  y  4 e paramétrica é mostrada na equação 28. F (t , t , t )  (t , t , t )

Para o intervalo na equação 29.

4  x  5,

5  x  6,

(28)

(29)

a equação paramétrica é mostrada

F t , t , t   t , t  4, t  4

Para o intervalo equação 31.

a equação

a equação paramétrica é mostrada

F t , t , t   t , t  2, t  2

Para o intervalo na equação 30.

1 z  4

(30)

6  x  7 , a equação paramétrica é mostrada na

F t , t , t   t , t  6, t  6

(31)

Para o desenho do traço que une as duas linhas da letra A nos pontos x  2, y  2, z  2 , a equação paramétrica é mostrada na equação 32. F (t , t , t )  (t , t , t )

(32)

Para o desenho do traço que une as duas linhas da letra A nos pontos 3  x  6 , a equação paramétrica é mostrada na equação 33. F (t ,2,2)  (t ,2,2)

(13)

Teste realizado com o programa do manipulador cartesiano Para o manipulador cartesiano, foi realizado o teste com os pontos Px , Py , Pz  mostrados na tabela 5.

Tabela 6 Valores de Px, Py e Pz no teste de posição

PX

Py

Pz

0 1 2 3 6

0 1 2 3 6

0 1 2 3 6

Figura 18 Teste de posição realizado.

De acordo com os valores mostrados na tabela 5 e com a função mostrada na figura 17, o programa, que simula os pontos das equações de cinemática direta do manipulador cartesiano com 3 graus de liberdade, gerou corretamente os resultados.

Manipulador Cilíndrico O manipulador cilíndrico possui uma junta rotacional, duas juntas prismáticas, desta forma três graus de liberdade e dois graus de movimento. Na figura 18 é mostrado a geometria de um manipulador cilíndrico. Seu espaço de trabalho tem alcance limitado e é cilíndrico.

Figura 19 Manipulador cilíndrico 3 dof. Extraído de (Craig, 2005).

Equações de cinemática direta Na figura 19 são mostrados os eixos de cada parte do manipulador cilíndrico 3 dorf.

Figura 20 Eixos: junta rotacional 1, junta prismatica 2, e junta prismatica 3.

De acordo com os eixos mostrados na figura 19, as matrizes de rotação em z, translação em x, e translação em z são mostradas nas equações 28, 29 e 30.  cos(1 )  sen(1 )   sen(1 ) cos(1 ) 0 A1   0 0   0 0 

0 0  0 0 1 d1   0 1 

(28)

1  0 1 A2   0  0 

0 1 0 0

0 0 1 0

r  0 0  1 

(29)

1  0 2 A3   0  0 

0 1 0 0

0 0  0 0 1 d3   0 1 

(30)

Onde é a altura vertical onde a junta rotacional do referencial 1 se encontra, r é a distância de translação em x do referencial 2 que rotacional no eixo y , d 3 é a distância de translação em z do referencial 3. A equação da matriz de transformação homogênea é mostrada na equação 31. d1

T (translação x, rotação  z , translação z )  (T , z ) * ( Rot , z ) * (T , x)

(31)

Onde  cos(1 )  sin(1 )   sin(1 ) cos(1 ) T  0 0   0 0 

As equações de

x, y

e

z

0 r cos(1 )   0 rsen(1 )   1 1   0 1 

(32)

são mostradas nas equações 33, 34 e

35. x  r cos(1 )

(33)

y  rsen(1 )

(34)

z0

(35)

Gráficos obtidos Para os gráficos obtidos, os intervalos escolhidos foram os de 0º < 1 < 120º e de 240º < 1 < 360º . Na figura 20 são mostrados os pontos Px , Py .

Figura 21 Pontos (Px,Py).

Na figura 21 são mostradas as funções de

Figura 22 Funções de x, dx e ddx.

x, x, x .

Na figura 22 são mostradas as funções de

Figura 23 Funções de y, dy e ddy.

y, y e y .

Manipulador esférico O manipulador esférico foi desenvolvido para suportar tarefas que exigem deslocamentos de objetos pesados ou cargas elevadas. Sua montagem é feita em veículos ou robôs móveis para operações pick and place. Usado com frequência na construção civil. Sua geometria é mostrada na figura 23.

Figura 24 Manipulador esférico com 3 graus de liberdade.

Equações de cinemática direta Nas equações 36, 37, e 38 são mostradas as matrizes de rotação em relação a z da junta rotacional 2, de rotação em relação a y da junta rotacional 2, e de translação da junta prismática 3 em relação a z para o manipulador cilíndrico.

 cos(1 )  sen(1 ) 0   sen(1 ) cos(1 ) 0 0 A1   0 0 1   0 0 0   cos( 2 ) 0 sen( 2 )  0 1 0  1 A2    sen( 2 ) 0 cos( 2 )   0 0 0  1  0 2 A3   0  0 

0 1 0 0

0 0 1 0

0  0 d1   1  0  0 0  1 

0  0 r  1 

(36)

(37)

(38)

T3  0 A1 1 A2 2 A3

0

(39)

Para a correta obtenção da matriz de transformação homogênea, a equação da matriz de transformação homogênea é mostrada na equação 40. Tesf . (r,  ,  )  Rot ( z,  ) Rot ( y,  )Transl(0,0, r )  cos( )  sen( )   sen( ) cos( ) Rot ( z,  )   0 0   0 0   cos( )  0  Rot ( y,  )    sen(  )   0 

0 0  0 0 1 d1   0 1 

0 sen(  ) 1 0 0 cos( ) 0 0

0  0 0  1 

(40) (41)

(42)

1  0 Transl.(0,0, r )   0  0 

0 1 0 0

0 0 1 0

0  0 r  1 

(43)

x  rsen(  ) cos( )

(44)

y  rsen(  ) sen( )

(45)

z  d1  r cos( )

(46)

Gráficos obtidos Na figura 25 são mostrados os pontos Px , Py  .

Figura 25 Pontos (Px, Py).

Na figura 26 são mostradas as funções

Figura 26 Funções x, dx, e ddx.

x, x

e

x .

Na figura 27 são mostradas as funções de

y, y

e

y .

Figura 27 Funções y, dy, e ddy.

Ângulos de Euler Segundo (Niku, 2013), sistemas robotizados possuem atuadores e efetuadores (end effectors), que acoplados a estes desempenham as tarefas de acordo com a configuração da dinâmica programada aliada ao controle em malha fechada. Para o projeto da dinâmica que contenha todos os graus de liberdade, isto é, os graus de liberdade do manipulador, que são os desde a base na qual está apoiado até a conexão com o atuador ou efetuador, e os graus de liberdade do efetuador de acordo com a matriz de transformação homogênea do manipulador, a matriz de transformação homogênea total compreenderá todos estes graus de liberdade. Os ângulos de Euler são usados para calcularmos três matrizes de rotação: matriz

de rotação do ângulo phi ou  em z , matriz de rotação do ângulo teta ou  em y , e a matriz de rotação psi ou  em z . Os autores citados nas referências bibliográficas citam estas matrizes que são mostradas nas equações 47, 48 e 49.  cos( )  sen( )   sen( ) cos( ) Rot (a,  )   0 0   0 0   cos( )  0  Rot (o, )    sen( )   0 

0 0 1 0

0  0 0  1 

(47)

0 sen( ) 1 0 0 cos( ) 0 0

0  0 0  1 

(48)

0  0 0  1 

(49)

 cos( )  sen( )   sen( ) cos( ) Rot (a, )   0 0   0 0 

0 0 1 0

Na equação 50 é mostrada a equação da matriz de transformação homogênea para os ângulos de Euler. Euler( ,  , )  Rot (a,  ) Rot (o,  ) Rot (a, )

(50)

Multiplicando-se a matriz de transformação homogênea dos graus de liberdade do manipulador com a matriz de transformação dos ângulos de Euler obtém-se a matriz de transformação total do sistema manipulador e pulso. Na equação 51 é mostrada a equação da matriz de transformação total. T6  0T3 3T6

0

Onde

(51)

T6  Euler( , , )

3

(52)

No programa Euler.m foi implementado o algoritmo que realiza as operações algébricas necessárias.

Ângulos de RPY (RAG) Segundo os autores citados nas referências bibliográficas deste trabalho, uma outra solução algébrica para se modelar atuadores ou pulso é a de ângulos de RPY ou RAG (revolução, arfagem e guinada). Popular entre os profissionais de controle e automação que trabalham com sistemas embarcados que usem esta nomenclatura. Como exemplo, pode-se citar sistemas navais, sistemas aéreos, sistemas robóticos, entre outros. As matrizes de ângulos de RPY compreende três matrizes mostradas nas equações 54, 55 e 56. RPY ( a , o ,  n )  Rot (a,  a ) Rot (o, o ) Rot (n,  n )

 cos( a )  sen( a )   sen( a ) cos( a ) Rot (a,  a )   0 0   0 0 

(53)

0 0 1 0

0  0 0  1 

(14)

0 sen( o ) 1 0 0 cos( o ) 0 0

0  0 0  1 

(15)

0 0 1   0 cos( n )  sen( n ) Rot (n,  n )   0 sen( n ) cos( n )  0 0 0 

0  0 0  1 

(16)

 cos( o )  0  Rot (o,  o )    sen( o )   0 

Na equação é mostrada a equação da matriz de transformação total. T6  0T3 3T6

(17)

T6  RPY ( A , O ,  N )

(18)

0

Onde 3

No programa RPY.m foi implementado o algoritmo que realiza as operações algébricas necessárias.

Conclusão Conclui-se que as equações de cinemática direta são de grande importância para a análise dinâmica relativa a posição, velocidade e aceleração do end efector na tarefa descrita na matriz de tarefa ou transformação homogênea. Através destas equações são feitas a cinemática inversa do manipulador e outras análises. No projeto de controle e automação de um manipulador robótico, a escrita das equações de cinemática direta com análise dinâmica e algébrica do problema em questão deve constituir a primeira etapa. Os ângulos de Euler são importantes para a modelagem dinâmica, pois através destes calcula-se a matriz de transformação para efetuadores ou atuadores que serão acoplados ao manipulador para determinada tarefa que venha a desenvolver. O estudo e análise permite resolver algebricamente, matrizes de transformação para sistemas que necessitem na sua demanda de graus de liberdade adicionais. Outra opção de cinemática inversa para orientação são os ângulos de RPY. É importante citar neste trabalho, que os ângulos de Euler e de RPY (RAG) são implementados em soluções algébricas para a a cinemática inversa da orientação do efetuador ou atuador que será conectado ao manipulador. Portanto, para se obter os ângulos do manipulador somente implementa-se em outras soluções algébricas

outras abordagens de cinemática inversa. Este trabalho foi um estudo importante para definição de cinemática inversa, ângulos de Euler, ângulos de RPY, e distinção entre diferentes abordagens de cinemáticas inversas e suas aplicações. Através dos resultados encontrados neste trabalho, pode-se perceber as restrições que os manipuladores têm em relação a espaço de trabalho, aplicações em tarefas e como implementar algoritmos para resolução de equações de cinemática direta. A bibliografia foi importante no desenvolvimento de soluções algébricas para resoluções das equações de cinemática direta. Pode-se aprimorar e desenvolver os estudos de robóticas com as diferentes interpretações e notações algébricas de cada autor. Com os conhecimentos adquiridos na disciplina, pode-se aprimorar os conhecimentos de dinâmica aplicada a robótica e álgebra linear.

Bibliografia Craig, J. J. (2005). Introduction to robotics mechanics and control. Saddle River, NJ, United States of America: Pearson Education International. Niku, S. B. (2013). Introdução a robótica. Rio de Janeiro: LTC.