Trabajo de investigacion

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10-7-2015
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Fernando Hernandez Villagomez
Grupo: 2cv10
Fernando Hernandez Villagomez
Grupo: 2cv10
Trabajo de investigación
Calculo vectorial
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Calculo vectorial


INDICE:

Teorema de Lagrange 2



Integrales de linea 16



Teorema de Green 19



Teorema de Stokes 20



Integrales de superficie 22



Bibliografía: 24

Teorema de Lagrange
En la teoría de grupos, el teorema de Lagrange es un resultado importante que relaciona el orden de un grupo finito con el orden de cualquiera de sus subgrupos. Más precisamente, afirma que si es un grupo finito y es un subgrupo de , entonces



donde y son el orden del grupo y el orden del subgrupo , en tanto que es el índice de en .

Si una función es:
Continua en [a, b] Derivable en (a, b)
Entonces, existe algún punto c (a, b) tal que:



La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.
El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange, en el que f(a) = f(b).
Ejemplo
¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = x3 en [ 1, 2]?
f(x) es continua en [ 1, 2] y derivable en ( 1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:



Resolución de un problema de optimización con restricciones de desigualdad

Los siguientes conceptos y teoremas proporcionan los distintos enfoques que conducirán a la resolución del problema.

Aplicación Convexidad. Teorema local-global
Aplicación Curvas de Nivel
Aplicación Teorema de Weierstrass
Aplicación Condiciones de Kuhn-Tucker
Interpretación económica de los multiplicadores de Kuhn-Tucker

i. Aplicación Convexidad. Teorema local-global.
Antes de proceder a la resolución de un problema es importante clasificarlo, estudiando:

a) La convexidad de la función objetivo.
b) La continuidad de la función objetivo.
c) La convexidad del dominio.
d) La compacidad del dominio.



Ejemplo:

a) La función objetivo es estrictamente convexa, pues la matriz hessiana de es:

que corresponde a una forma cuadrática definida positiva.
b) La función objetivo es continua.
c) El dominio es un conjunto convexo
d) El dominio es un conjunto compacto
Por tanto:
Será aplicable el Teorema de Weierstrass
El teorema local-global nos dirá que el mínimo local será global ( y único).
Las condiciones de Kuhn-Tucker serán necesarias y suficientes para mínimos(pero no para máximos).

ii. Aplicación Curvas de Nivel.
Ejemplo:


Observemos que la ecuación corresponde a una circunferencia centrada en (a,b) de radio .
Por tanto, se tratará de circunferencias concéntricas centradas en el punto (3,2).

Del dibujo de las curvas de nivel podemos deducir:
· (3,2) es mínimo global. 
· (0,7) es máximo global.
· (0,0) es máximo local. 
· (7,0) es máximo local. 
También se deduce que:
· (0,2) no es óptimo local. 

Notar que por la zona del dominio pintada en azul pasan curvas de niveles más bajos que las que pasan por el punto (0,2) y que por la zona del dominio pintada en amarillo pasan curvas de niveles más altos.
Por tanto, por el entorno del punto (0,2) que está dentro del dominio (representado por el semicírculo en línea continua) pasan curvas de niveles más altos y más bajos, por lo que no puede ser ni máximo ni mínimo local.

iii. Aplicación Teorema de Weierstrass.
Ejemplo:

Puesto que la función objetivo es una función continua y eldominio es un conjunto compacto:


 
podemos aplicar el teorema de Weirstrass y deducir que el problema tiene máximo global y mínimo global.
Para deducir cuáles son los óptimos, basta construir el conjunto formado por:
Los puntos que cumplen la condición necesaria de óptimos libres ().
Los puntos que cumplen la condición necesaria de óptimos restringidos sobre cada una de las restricciones que definen el dominio tomadas como restricciones de igualdad. Es decir, que satisfacen la condición necesaria de óptimo restringido sobre cada una de las fronteras del dominio ().
Los vértices del dominio ().
Una vez reunidos todos estos puntos, bastará calcular su imagen. El que tenga la imagen mayor será el máximo global y el que la tenga menor, el mínimo global.
Ejemplo:

1. Calculamos el gradiente de la función objetivo y lo igualamos a cero.
 = (0,0)
Por tanto:
Resultado:
2. Calculamos los puntos que cumplen la condición necesaria de óptimos restringidossobre cada una de las restricciones que definen el dominio tomadas como restricciones de igualdad






Resultado: 
3. El conjunto de vértices es 
Entonces el conjunto de todos los puntos candidatos a óptimo es:

Calculamos ahora sus imágenes:

Por tanto:
· (3,2) es el mínimo global y el valor mínimo es 0.
· (0,7) es el máximo global y el valor máximo es 34.

iv. Aplicación Condiciones de Kuhn-Tucker.
En los casos en que no sea factible el método gráfico, habrá que resolver el problema analíticamente aplicando las condiciones de Kuhn-Tucker.
Nota: No obstante, la fuerza del método gráfico de las curvas de nivel no la tienen las condiciones de K-T.
Ejemplo:
En

El punto (4,3) satisface K-T para máximo, ya que los multiplicadores son todos mayores o iguales a cero, de lo que se deduce(*) que es un posible máximo. Sin embargo, las curvas de nivel ponen de manifiesto que (4,3) NO es óptimo local.
(*) Las condiciones de K-T son sólo necesarias en este ejemplo porque la función objetivo no es cóncava.

v. Interpretación económica de los multiplicadores de Kuhn-Tucker.
Ejemplo:

Supongamos que la función objetivo es una función de producción. Podríamos preguntarnos: ¿Se conseguiría mejorar la producción si la restricción pasase a ser ?

Se observa que el incremento en el valor del término independiente de una restricción con signo , representa incrementar el dominio y, por tanto, ofrece la posibilidad de hallar nuevos puntos que mejoren los óptimos ya obtenidos: podríamos encontrar unmáximo "más alto" o un mínimo "más bajo".
Ejemplo:
En nuestro ejemplo, el mínimo permanece igual, pero el máximo sí mejora.
La fórmula coincide con la ya obtenida para la interpretación de los multiplicadores de Lagrange en problemas con restricciones de igualdad:

Podemos comprobar que esta fórmula concuerda con lo que acabamos de explicar, puesto que si se trata de máximos, los multiplicadores serán positivos o nulos y obtendremos:
(pues y ) 
es decir, el valor máximo será mayor
En cambio, en el caso de mínimos, los multiplicadores serán negativos o nulos y obtendremos:
(pues y ) 
es decir, el valor mínimo será menor
Ejemplo:
Repetimos en nuestro ejemplo el razonamiento para el caso en que nos propusiéramos pasar de a .
Un decremento en el valor del término independiente de una restricción con signo representa disminuir el dominio y sólo ofrece la oportunidad de "perder" óptimos y, por tanto, podríamos encontrarnos máximos "más bajos" y mínimos "más altos".

Condiciónes de Kuhn-Tucker(K-T)
Sea (P) un problema con restricciones de desigualdad:

(f, gi funciones diferenciables)
Condiciones necesarias de primer orden de optimalidad local
Enunciado de las condiciones
Deducción geométrica
Suficiencia y convexidad

i. Condiciones necesarias de primer orden de optimalidad local
Las condiciones de K-T son necesarias de optimalidad local, es decir:
 máximo local satisface K-T para máximo 
 mínimo local satisface K-T para mínimo
 
Los dibujos aclaran el hecho de que estas implicaciones sean iguales a:
NO satisface K-T para máximo NO es máximo local 
NO satisface K-T para mínimo NO es mínimo local
En definitiva, si un punto satisface las condiciones de K-T para máximo, sólo podemos decir que es un "posible" máximo local; si en cambio, no las satisface, sí podremos asegurar que NO es máximo local.




ii. Enunciado de las condiciones
Las condiciones de K-T son:

(Los reciben el nombre de multiplicadores de K-T)

 (si se trata de máximo)
(si se trata de mínimo)

Geométricamente, indican que en un punto de posible máximo, el gradiente de la función objetivo es combinaci n lineal positiva de los gradientes de las restricciones saturadas en . De igual forma, indican que en un punto de posible mínimo, el gradiente de la función objetivo es combinación lineal negativa de los gradientes de las restricciones que se saturan en .
Nomenclatura:
Diremos que un punto satisface K-T para máximo cuando satisface las condiciones de K-T con 
Diremos que un punto satisface K-T para mínimo cuando satisface las condiciones de K-T con 
Explicación:
Condición 1: Obliga a que el gradiente de la función objetivo en x0 sea combinación lineal de los gradientes de las restricciones en x0 .
Condición 2: Obliga a que los multiplicadores de K-T asociados a restricciones NO saturadasen x0 sean nulos. Veámoslo:
Si la restricción gi está saturada en x0: ( gi(x0) = 0) entonces: λi gi(x0) = 0 para cualquier valor de λi
Si la restricción gi NO está saturada en x0: ( gi(x0) < 0) entonces la única posibilidad para que λi gi(x0) = 0 es que λi = 0
Condición 3: Cuando el punto satisface K-T para máximo, todos los multiplicadores deben ser positivos. Cuando el punto satisface K-T para mínimo, todos los multiplicadores deben ser negativos.
Condición 4: El punto x0 debe satisfacer todas las restricciones del problema, es decir, debe pertenecer al conjunto de soluciones factibles del problema.
iii. Deducción geométrica
Sea el problema:

Debemos considerar todas las restricciones en el sentido ; para ello multiplicaremos las que estén en sentido contrario por –1. Es decir:

La función objetivo es cuyo gradiente es: .
Dibujemos el dominio del problema y las curvas de nivel de la función objetivo:

Fácilmente se comprueba que (1,1) es mínimo local y (3,2) es máximo global .
Las restricciones son:

Dibujando en cada vértice el gradiente de las restricciones que se saturan en él y el de la función objetivo obtenemos:

Se observa que únicamente en el máximo, el gradiente de la función objetivo queda dentro del cono convexo generado por los gradientes de las restricciones saturadas; es decir, únicamente en el máximo, el gradiente de la función objetivo se puede obtener como combinación lineal positiva de los gradientes de las restricciones saturadas.
Se aprecia también que en el mínimo, el gradiente de la función objetivo se obtiene como combinación lineal negativa de los gradientes de las restricciones saturadas.
iv. Suficiencia y convexidad
Las condiciones de K-T, que son sólo necesarias en general, son también suficientes cuando hay convexidad: 
1. ƒ:D n D conjunto convexo, ƒ convexa
x0 satisface K-T para mínimo x0 es mínimo local
2. ƒ:D n D conjunto convexo, ƒ cóncava
x0 satisface K-T para máximo x0 es máximo local
Observación:
Notemos que teniendo en cuenta el teorema local-global, aún podremos decir más:
1. ƒ:D n D conjunto convexo, ƒ convexa
x0 satisface K-T para mínimo x0 mínimo local x0 mínimo global
2. ƒ:D n D conjunto convexo, ƒ cóncava
x0 satisface K-T para máximo x0 máximo local x0 máximo global

Integrales de linea

La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar.
En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también INTEGRAL DE CONTORNO.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
El cálculo de la longitud de una curva en el espacio;
El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;
Ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

 una función vectorial definida en

, diferenciable y acotada en ;
 la parametrización de una trayectoria en . Se llama integral de línea de F sobre a la integral:



Una forma mas utilizada para expresar la integral de línea teniendo en cuenta que el vector diferencial de curva también se pude expresar así:

Entonces después de resolver el producto punto obtenemos:


 
A la hora de trabajar integrales de línea debemos, considerar los siguientes pasos, para realizar con éxito nuestro cálculo:
Primero debemos parametrizar la curva sobre la cual estamos trabajando:

Luego trabajamos la función a evaluar, sustituyendo el resultado de la parametrización en dicha función. E integramos:

Luego sustituimos dS por: 
teniendo así lo siguiente:

Ejemplo # 1
Evaluar la integral de línea del campo vectorial sobre la trayectoria de una hélice 

Solución: Se resuelve la integral de acuerdo a la definición






Ejemplo#2


Teorema de Green

El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo de teoremas resulta muy útil porque, dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad más simple entre integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que delimita la curva. Por otro lado, la relación así establecida entre la integral de línea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior a ésta permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un recinto a partir del comportamiento de la función sobre la frontera de dicho recinto.

Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente orientada, en el plano R 2, y sea D la unión de la región interior a C con la propia curva C. Sea F = (P, Q) : D R 2 un campo vectorial de clase C 1 . Entonces se tiene que c Pdx + Qdy= D Q x - P y dxdy

Demostración del teorema de Green
Tenemos que probar la siguiente igualdad

A tal fin, observemos que la validez de ( ) para todos los campos F = (P, Q) de clase C 1 sobre D equivale a la de las dos fórmulas siguientes

También para todos los campos F = (P, Q) de clase C 1 en D. En efecto, si estas fórmulas son válidas, obtenemos ( ) sin más que sumarlas. Recíprocamente, si ( ) es cierta podemos obtener 11.1 tomando Q = 0 en ( ), y análogamente 11.2, tomando P = 0 en ( ).
Teorema de Stokes

El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes .Sea S una superficie orientada y suave a segmentos, está acotada por una curva frontera C suave a segmentos cerrada y simple cuya orientación es positiva.
El Teorema de Stokes establece que el cálculo de la integral de línea del campo vectorial F en la dirección tangencial de la curva C, es igual a la integral sobre la superficie S de la circulación del campo F alrededor de la frontera, en la dirección de la componente normal unitaria a la superficie, siendo la curva C es una curva orientada positivamente, de tal manera que es la frontera de la superficie orientada positivamente S,
En pocas palabras el teorema de Stokes en una definición física se utiliza para convertir una integral de curva a una integral de superficie.



Ejemplo 1
Evalue el donde donde C es la curva de la intersección del plano con el cilindro orientado en sentido contrario a las manecillas del reloj cuando se ve desde arriba.

Solución
Primero se calcula el rot F

rot = 
A pesar de que son muchas las superficies que tiene a como frontera, lo más cómodo es considerar la región elíptica del plano que está limitado por . Si orientamos hacia arriba, entonces inducimos en una orientación positiva. La proyección de sobre el plano es el disco .
 = 
= 
=



Ejemplo 2
Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral donde y S es la parte de la esfera que se encuentra dentro del cilindro y arriba del plano.

Solución Para hallar la curva frontera C resolvemos las ecuaciones y . Restando, obtenemos y por tanto . Así C es el círculo dado por las ecuaciones. La ecuación vectorial de C es: por lo cual: Del mismo modo, tenemos: En consecuencia, por el teorema de Stokes: 
=
=

Integrales de superficie

La integral de superficie es una extensión del concepto de integral doble, de igual modo en que la integral de línea es una extensión del concepto de integral de Riemann clásica. Como el nombre lo dice, es aquella integral cuya función es evaluada sobre una superficie.
Se define la integral de superficie de una función escalar en el espacio tridimensional R3 respecto a una superficie S representada por la función vectorial continua
.
Si la superficie S es la imagen de la región T en el plano uv, entonces establecemos la equivalencia:

en que , son las derivadas parciales de la función vectorial que define a S, respecto a las variables u y v.
La razón de esta definición proviene del hecho de que una integral doble "clásica" de una función puede definirse subdividiendo la región de integración en pequeños rectángulos cuyos lados fueran de medidas y y efectuando la sumatoria de los productos en que el punto (x,y) se halla en el interior del rectángulo correspondiente.
Como puede observarse, es el área de cada uno de esos rectángulos, por lo que habitualmente este producto se denota por .
Al extender este proceso a una superficie tridimensional, ésta se divide en pequeños sectores de área en los cuales se escoge un punto (x,y,z) y se evalúa la sumatoria de los productos .
El área de estos sectores es aproximadamente igual al área del paralelógramo formado por sus vectores tangentes de longitud infinitesimal, y, por la definición de producto cruz, el vector es un vector perpendicular a ambos vectores cuya área es la de dicho paralelogramo, por lo tanto,. Al valor lo llamamos elemento escalar de área.
g (x, y, z)dS = lim g (xk, yk, zk) T k
"" "" 0 k
Si S es la unión de varias superficies del tipo adecuado, entonces la integral de superficie se define como la suma de las integrales de superficie individuales. Si g (x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) y la integral de superficie es igual al área de la superficie de S. Definición: Sea F un campo vectorial definido en S, imagen de una superficie parametrizada Φ. La integral de superficie de F sobre Φ, denotada por: F*dS, se define por F*dS= F*(TuxTv)du dv. Ejemplo: Sea D el rectαngulo en el plano θΦ definido por 0 θ 2Π, 0 Φ Π, Y sea la superficie S definida por la parametrizacion Φ: D R³ dada por x=cos θ sen Ø, y=sen θ sen Ø, z=cos Ø. (Así, θ y Ø son los ángulos de coordenadas esféricas, y S es la esfera unitaria parametrizada por Φ.) Sea r el vector de posición r(x, y, z)=xi+yj+zk. Calcular r*dS.
Solución: Primero hallamos Tθ= (-sen Ψ sen θ) i+ (sen Ψ cos θ) j TΨ= (cos θ cos Ψ) i+ (sen θ cos Ψ) j-(sen Ø) k Y por lo tanto Tθx TΨ= (-sen² Ψ cos θ) i-(sen² Ψ senθ) j-(senθ) k
Después evaluamos R*( TθxTΨ)=xi+yj+zk)* ( TθxTΨ) =[( cos θ sen Ψ)i+( sen θ sen Ψ)j+( sen Ψ)k]*( -sen Ø)[( sen Ø cos θ)i+( sen Ø sen θ)j+(cos Ø)k] =( -sen Ø)(sen² Ø cos² θ+ sen² Ø sen² θ+cos ² Ø)=-sen Ø.
Asi, r*dS= -sen Ø dΦd θ= (-2)d θ=-4Π. Se puede esbozar una analogía entre la integral de superficie F*dS y la integral de línea F*dS. Recordemos que la integral de línea es una integral orientada.


Bibliografía:

http://www.vitutor.com/fun/6/teorema_lagrange.html
http://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/condicion-de-khun-tucker
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integrales_de_l%C3%ADnea
http://www.mat.ucm.es/~dazagrar/docencia/cap11.pdf
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Teorema_de_Stokes
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integrales_de_superficie