torsión 3-1. INTROD UCCIÓN E HIPÓTESIS FUN DAM ENTALES

torsión

3-1. INTROD UCCIÓN E HIPÓTESIS FUN DAM ENTALES

En esie capítulo se estudia el problem a de la torsión y sus aplicaciones, pero sólo en el caso de árboles de sección circular, o de tubos de pared delgada. La torsión de árboles* de sección arb itraria es un problem a complejo del que sólo se exponen las fórmulas de aplicación. Con la torsión se inicia, por otra parte, el estudio de los problemas en los que el esfuerzo no se distribuye uniformem ente dentro de una sección. Aunque la teoría general de este tipo de problemas es complicada, su aplicación es sencilla, y una vez deducidas las fórmulas, no hay más que sustituir en ellas los valores de los datos y nada más. El procedimiento general que se sigue en todos los casos de distribución no uniform e de esfuerzos se puede resumir en los siguientes puntos: 1. Del examen de las deformaciones elásticas que produce un determ inado tipo de carga, y la aplicación de la ley de Hooke, se determinan unas relaciones entre los esfuerzos en los distintos puntos de la sección, de m anera que sean compatibles con las deformaciones. Tales relaciones se denom inan ecuaciones de compatibilidad. 2; Aplicando las condiciones de equilibrio en el diagrama del cuerpo libre correspondiente a una porción del cuerpo, se obtienen otras relaciones entre los esfuerzos. Dichas relaciones, deducidas de la consideración del equilibrio entre las fuerzas exteriores aplicadas y las fuerzas resistentes interiores en una sección de exploración, se llaman ecuaciones de equilibrio. * N. del R. Se conoce como árbol a tod o elemento mecánico que tiene la form a.de un sólido de revolución y que se utiliza p ara trasmitir par. El árbol de sección circular suele llamarse “ eje” o “ flecha” (en inglés, shaft).

60

3 -2

D e d u cc ión de las fo rm u la s de to rs ió n

61

3. Com probación de que la solución del sistema de ecuaciones de los puntos 1 y 2 satisface las condiciones de carga en la superficie del cuerpo. Es decir, se han de verificar las condiciones de fro ntera impuestas. En la teoría de elasticidad se demuestra que si existe una solución que satisface estos tres grupos de ecuaciones, esta solución es única. P ara deducir las fórmulas de la torsión se debe establecer una serie de hipótesis que pueden dem ostrarse matem áticamente y algunas de ellas, comprobarse experimentalmente. Las dos primeras corresponden a secciones circulares. 1. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión. 2. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. 3. La proyección sobre u na sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. 4. El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. 5. Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad. 3-2. DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS D ET O R S IÓ N

En la figura 3-1 se m uestran dos proyecciones de un árbol circular macizo. Al aplicar un momento torsionante T a los extremos del árbol, una generatriz cualquiera, tal como A B , en

62

TO RSIÓN

la superficie del cilindro, inicialmente recta y paralela al eje, se tuerce form ando una hélice A C , al tiempo que la sección en B gira un cierto ángulo 6 respecto de la sección en A . Se puede adquirir una representación intuitiva de cómo se form a esta hélice de la m anera siguiente: Imaginemos que el árbol está form ado por innumerables «rebanadas» o porciones d iscoidales muy delgadas, todas ellas perfectamente rígidas y unidas m ediante fibras elásticas. La (2) sufrirá una rotación, resbalando sobre la (T) hasta que la fibras elásticas que las unen se deformen y produzcan, al estirarse, un par resistente que equilibre al par aplicado. En este momento, las “ rebanadas” o porciones discoidales (T) y (2) actuarán como un conjunto único y rígido, trasm itiendo el par torsionante a la (3 ); esta girará hasta que las fibras elásticas que la unen a (2) desarrollen como antes un p ar resistente igual al par aplicado, y así sucesivamente, propagándose la deform ación a lo largo de la longitud L del árbol. La hélice A C es la línea que une los puntos iniciales de referencia de todas las rebanadas infinitamente delgadas, puntos que antes de la deform ación estaban sobre A B . Esta descripción intuitiva de la deform ación por torsión en un árbol es puramente ideal, pero la hélice que resulta está perfectamente definida. En realidad, todas las rebanadas empiezan a girar al mismo tiempo sobre las anteriores, tan pronto como se aplica el momento torsionante, y el ángulo total de torsión 6 de uno a otro extremo aum enta si el m omento de torsión se incrementa. Consideremos ahora una fibra cualquiera a una distancia p del eje del árbol. Po r la hipótesis 3 de la sección 3-1, el radio de dicha fibra gira también el mismo ángulo 6, produciéndose una deformación tangencial el caso m ostrado en la figura 3-7. U sando la relación entre P x y P2, ecuación (3-5), determinar la capacidad torsional del acoplam iento.

3 -3

A c o p la m ie n to s po r m e d io de b ridas

73

Para tres o más círculos concéntricos de pernos se puede aplicar el mismo procedimiento. Como se verá en el Capítulo 12, esta form a de trab ajar de los pernos, pasadores o remaches también ocurre en las uniones de placas cuando, cargadas excéntricamente, se produce un m omento en el plano de la unión. PROBLEMAS 326. Un acoplamiento por medio de bridas tiene 8 pernos de 20 mm de diámetro, equidistantemente espaciados en un círculo de 300 mm de diámetro. Determinar el par torsor que puede trasmitir si el esfuerzo cortante admisible en los pernos es de 40 M N /m 2. Resp.

T = 15.1 kN • m

327. Un acoplamiento por medio de bridas conecta un árbol de 90 mm de diámetro y otro hueco de diámetros exterior e interior de 100 y 90 mm, respectivamente. Si el esfuerzo cortante admisible es de 60 M N /m 2, determinar el número de pernos de 10 mm que se necesitarían, dispuestos en una circunferencia de 200 mm de diámetro, para que el acoplamiento sea igualmente resistente que el más débil de los árboles. 328. Un acoplamiento por medio de bridas tiene 6 perno? de 10 mm situados en una circunferencia de 300 mm de diámetro y cuatro pernos del mismo diámetro, en otro círculo concéntrico de 200 mm de diámetro, como se indica en la figura 3-7. ¿Qué par torsor puede trasmitir sin que el esfuerzo cortante exceda de 60 MPa en los pernos?

de un remache, siendo J = "2A p2, donde A es el área de la sección recta de un remache situado a una distancia p del centroide del conjunto de remaches. 332. Una placa se sujeta a un elemento fijo y rígido mediante cuatro remaches de 20 mm de diámetro, como se indica en la figura P-332. Determinar el máximo y mínimo esfuerzos cortantes que aparecen en los remaches.

333. Seis remaches de 20 mm de diámetro sujetan la placa de la figura P-333 a una base rígida. Determinar el esfuerzo cortante medio en cada remache producido por las fuerzas de 40 kN aplicados como se indica. ¿Qué fuerzas adicionales P podrían aplicarse sin que el esfuerzo cortante sobrepase el valor de 60 M N /m 2 en remache alguno?

Resp. T = 5.50 kN • m 329. Determinar el número de pernos de acero de 10 mm de diámetro que se necesitarían en el círculo exterior del problema anterior para poder trasmitir un par torsor de 8 kN • m. Resp.

10 pernos

330. Resolver el problema 328 si en el círculo interior los pernos son de 20 mm de diámetro. 331. En un conjunto de remaches sometidos a la acción de un par torsor, demostrar que se puede aplicar la fórmula de la torsión r = Tp/J para determinar el esfuerzo cortante en el centro

Resp.

Tmáx = 45.9 M N /m 2; P = 55.4 kN

74

TORSIÓN

334. La placa de la figura P-334 se sujeta a Determinar el valor de las fuerzas P de manera que en ninguno de los remaches se sobrepase el una base rígida mediante 3 remaches de 10 mm. esfuerzo cortante admisible de 70 MPa. Resp.

P = 7.12 kN

335. Un acoplamiento por medio de bridas tiene seis pernos de acero de 10 mm de diámetro, espaciados uniformemente en una circunferencia de 300 mm de diámetro, y cuatro pernos de aluminio de 20 mm de diámetro en un círculo de 200 mm de diámetro. ¿Qué par torsor puede transmitir sin exceder el valor de 60 M N /m 2 en el acero o de 40 M N /m 2 en el aluminio? Para el acero Ga = 83 G N /m 2 y para el aluminio GAi- 28 G N /m 2. Figura P-334.

Resp.

T = 5.94 kN - m

3-4. ESFUERZO CORTANTE LONGITUDINAL

En el estudio de los esfuerzos debidos a la torsión, se ha considerado hasta ah ora el esfuerzo cortante que se produce en las secciones transversales. Sin embargo, también aparece un esfuerzo cortante longitudinal, de dirección perpendicular al anterior, y del mismo módu-

Figura 3-8. Equivalencia de los esfuerzos cortantes longitudinal y transversal en la torsión.

3 5 T o rs ió n de tu bo s Je pared de lgada

75

lo. Es un ejemplo del principio general que veremos más adelante, en la sección 5-7, de que todo esfuerzo cortante que actúa sobre una cara de un elemento va acom pañado siempre de oiro de igual valor absoluto en otra cara perpendicular a la primera. P ara dem ostrar la existencia de este esfuerzo longitudinal, consideremos un elemento aislado por dos secciones transversales, dos planos axiales longitudinales y dos superficies cilindricas de distinto radio, como se observa en la figura 3-8a. Si en el diagram a de cuerpo libre de este elemento, muy ampliado en la figura 3-8b, se tom an momentos de las fuerzas aplicadas respecto al eje gh, se deduce que sólo es posible el equilibrio si además del esfuerzo cortante r ya estudiado actúa otro longitudinal r'. M ultiplicando los esfuerzos por las áreas de las caras sobre las que actúan para tom ar momentos de las fuerzas, resulta: 2 Mgh — 0]

(r dr r d9) dx — (V dr d x)r dd = 0

y dividiendo entre el factor común r dd dr dx, T

T

En la figura 3-8c se observa, en perspectiva, un corte de un árbol de sección circular, con la presentación, de los esfuerzos cortantes transversales y longitudinales. 3-5. TORSIÓN DE TUBOS DE PARED DELGADA; FLUJO DE CORTANTE

Aunque la torsión de ejes de sección distinta a la circular requiere métodos de cálculo más avanzados, en el caso de tubos de pared delgada es fácil obtener una solución sencilla y muy aproxim ada a la solución exacta. En la figura 3-9a se observa uno de estos tubos, de forma arbitraria y espesor de pared variable t, siempre pequeño com parado con las dimensiones de la sección. La figura 3-9b muestra, am pliado, un elemento cualquiera de este tubo a modo de cuerpo libre y con una longitud AL. El esfuerzo cortante transversal que existe en el punto de espesor t1 produce otro longitudinal igual, com o hemos visto en la sección anterior, y lo mismo ocurre con r 2 en la parte de espesor t2.

(a)

(b)

Figura 3-9. Flujo de cortante en un tubo de pared delgada.

76

TO RSIÓN

Figura 3-10.

Las resultantes de estos esfuerzos cortantes longitudinales son F, = q x AL

Y

F2 = q2 AL

(a)

en donde el símbolo q representa j tl 2t/2 7 dt. El término q se suele llam ar flu jo de cortante, y es un concepto muy interesante y conveniente cuando no se conoce, o no interesa mucho, la distribución exacta del esfuerzo en un espesor dado. C onsiderando el equilibrio longitudinal del elemento se tiene, q x AL = q2 AL o bien, q x = q2

ib)

La igualdad de los valores del flujo de cortante en dos lugares arbitrariam ente escogidos prueba que debe ser constante en todo el perímetro del tubo. De hecho, el nombre de flujo de cortante se debe a la analogía m atemática entre este flujo y el flujo evidentemente constante de un fluido incompresible que circulara a través de un conducto cerrado cuyos contornos fueran las paredes interior y exterior del tubo. P ara relacionar el flujo de cortante con el p ar torsor aplicado T , analicemos la figura 3-10. La fuerza tangencial q dL que actúa en u na longitud dL , contribuye al par resistente con un momento diferencial r(q dL) con respecto a un determ inado centro O. Puesto que el momento torsionante es independiente del centro de momentos que se considere, igualando T a la suma de los m omentos diferenciales, se tiene

En vez de efectuar la integración, observamos que r dL es el doble del área del triángulo rayado cuya base es d L y cuya altu ra es el radio r. P o r tanto, y puesto que q es constante, el valor de la integral es q veces el doble del área encerrada po r la línea media de la pared del tubo, es decir, T = 2 Aq

(3-7)

3 -5

T o rsión de tuDos de pared d elgada

77

Por último el esfuerzo cortante medio, en cualquier punto de espesor t, viene dado por:

PROBLEMA ILUSTRATIVO

336. U n tubo de pared delgada tiene la forma semicircular de la figura 3-11. Prescindiendo de la concentración de esfuerzos que se produce en las esquinas, calcular el momento rorsionante que producirá un esfuerzo cortante de 40 M N /m 2.

= 2 mm

F igura 3-11.

Solución: Aplicando (3-8) y teniendo en cuenta que A es el área encerrada por la línea media del tubo resulta: [T=2Atr]

T = = 2 |( 0 .0 2 5 )2 |(0.002)(40 x 106) Resp.

= 157 N -m PROBLEMAS

337. Se aplica un momento torsionante deHallar el momento torsionante que producirá en él un esfuerzo cortante de 60 M N/m2. 600 N • m a un tubo de sección rectangular, como el de la figura P-337. Determinar el espesor t de sus paredes de manera que el esfuerzo cortante no exceda de 60 MPa. Calcular el esfuerzo en los lados cortos. Despreciar la concentración de esfuerzos en las esquinas.

Resp.

T = 3.18 kN • m

339. Un tubo de 3 mm de espesor tiene la forma y dimensiones que se indican en la figura P-339. Calcular el esfuerzo cortante si se le aplica 338. Un tubo de 3 mm de espesor tiene una un momento torsionante de 700 N • m, y el valor forma elíptica, como se indica en la figura P-338. de a es 75 mm. Figura P-337.

78

TCR SiÓ N

340, Determinar la dimensión a del problema anterior de manera que pueda soportar un momento torsionante de 600 N • m con un esfuerzo cortante admisible de 70 M N /m 2. Resp.

a = 55.7 mm

341. Deducir la fórmula de la torsión r = Tp/J para una sección circular, partiendo de que ésta puede considerarse formada por una serie de tubos de paredes delgadas encajados unos dentro de otros, y suponiendo que el esfuerzo cortante en cada fibra es proporcional a su distancia al centro.

Figura P-339 y P-340.

3-6. RESORTES H ELICOIDALES

La figura 3-12 representa un resorte helicoidal de espiras cerradas, estirado bajo la acción de una fuerza axial P. El resorte está form ado por un alambre o varilla redonda de diámetro d enrollada en form a de hélice de radio medio R . La pendiente de esta hélice es pequeña, de manera que se puede considerar con bastante aproxim ación que cada espira está situada en un plano perpendicular al eje del resorte. P ara determinar los esfuerzos producidos por P seguiremos el procedimiento general de cortar el resorte por una sección de exploración m-n, y determinar las fuerzas resistentes que se necesitan para el equilibrio de una de las porciones separada por esta sección. Después se analiza la distribución de esfuerzos que originan estas fuerzas resistentes. La figura 3-13a representa el diagrama de cuerpo libre de la porción superior del resorte. P ara el equilibrio en dirección axial, la fuerza resistente P r, que representa la acción sobre es-

Figura 3-12. Resorte helicoidal.

3 -6

Resortes h e lic o id a le s

79

'2

(b) Sección m-n del resorte

Figura 3-13. Análisis de un resorte helicoidal.

ta sección de la porción suprimida, ha de ser igual a P. El equilibrio horizontal también se cumple, ya que ninguna de las dos, ni P ni P r, tienen componentes en esta dirección. Para el equilibrio de momentos, como P y P r, opuestas y paralelas, producen un par P R , en la sección debe existir otro par resistente P R igual y opuesto al anterior, originado por un esfuerzo cortante de torsión, distribuido en la sección de corte. Se representa por T = PR. La figura 3-13b representa la distribución de esfuerzos que producen estas fuerzas resistentes en la sección de corte. Observemos dos tipos de esfuerzo cortante: (1) un esfuerzo cortante t x uniform emente distribuido, producido por la fuerza resistente P r que pasa por su centro de gravedad, y (2) un esfuerzo cortante variable producido por el par torsor resistente T = PR. Este último varía tanto en magnitud, con la distancia al centro, como en dirección, ya que es perpendicular al radio en cada punto. El esfuerzo resultante en cada punto es el vector suma de los vectores t 1 y r2. En el punto B, por ejemplo, los esfuerzos cortantes son de signos distintos (sentidos contrarios) y el esfuerzo resultante es la diferencia entre sus valores absolutos, pero en las fibras más cercanas al eje del resorte, como C, los dos esfuerzos tienen la misma dirección y sentido por lo que se suman, y la suma da el máximo valor del esfuerzo cortante en la sección. ¿Existirá algún pun to en el diám etro B C en el que el esfuerzo cortante sea nulo? Si es asi, ¿cómo se podría situar? En resumen, el esfuerzo cortante máximo tiene lugar en el p unto de la sección más próximo al eje del resorte y viene dado por la suma del esfuerzo cortante directo, t x = P /A y el máximo valor del esfuerzo cortante producido por la torsión, t 2 = T r/J, es decir:

que puede escribirse en la forma

Í6PR 1Tí/3

(3-9)

80

TO RSIÓN

T, A

T (a)

(b)

Figura 3-14. To rsión de b arras rectas y curvas.

Observando (3-9) se deduce que si la relación d /4 R es pequeña, lo cual ocurre si el resorte es de un alambre de diám etro pequeño enrollado según una hélice de radio grande, el esfuerzo máximo se debe principalmente a la torsión del alam bre y, en realidad, se puede despreciar el efecto del esfuerzo cortante directo. Si se trata, en cambio, de resortes pesados, como los que se emplean en los ferrocarriles, hechos con varillas de gran diámetro d con relación al radio medio de las espiras R , el efecto del esfuerzo cortante directo P /A puede llegar a ser im portante, del orden de un 14% o más, y no se puede despreciar. Debemos hacer no tar que en el estudio realizado se ha prescindido de otro efecto que hace aum entar el esfuerzo cortante máximo. Esto se debe a que la fórm ula de la torsión aplicada se dedujo para barras rectas, y en el resorte helicoidal la barra que se somete a torsión es curva. Este efecto tiene im portancia únicam ente en resortes pesados, en los que la curvatura de la b arra es grande. En la b arra recta de la figura 3-14a, la torsión produce la misma deformación 8S en las fibras A B y CD y, por tanto, la distorsión y = o /L es la misma en B que en D puesto que los elementos A B y CD tienen la misma longitud inicial. En cambio, en la barra curva de la figura 3-14b la situación es distinta, ya que aunque las fibras A B y CD tienen la misma deformación 8S, como la longitud inicial de A B es menor que la de CD, la distorsión en B es mayor que en D , p or lo que el esfuerzo cortante por torsión en las fibras internas A B es mayor que en las externas CD. La im portancia de este efecto depende de la magnitud de la diferencia de longitud inicial entre A B y CD. Evidentemente esta diferencia depende del grado de curvatura del alambre o barra, es decir, de la relación d /R . El investigador A. M. Wahl ha desarrollado la siguiente fórmula que tiene en cuenta este efecto adicional*: T máx —

16PR ( 4m — 1 ~ I A----------T Trd V4 m — 4

(

H

0.615 m

)

(3-10)

en donde m = 2R / d = D /d es la relación del diámetro medio de las espiras al diámetro del alambre. P ara resortes ligeros, en los que la relación m es muy grande, el valor del primer sum ando del paréntesis es próximo a la unidad, y para com parar esta expresión con (3-9) se puede escribir esta últim a en la siguiente forma:

•¡td*

(3-9a)

* Véase A. M. W ahl, «Stresses in Heavy Closely Coiled Helical Springs», Trans. A .S .M .E ., Vol. 51, No. APM-51-17.

3 -6

Resortes he licoida le s

81

Para resortes pesados en los que la curvatura del alambre es grande y m es más pequeño, la o p resió n (3-10) corrige el error de (3-9). La diferencia de los factores 0.5 y 0.615 en las expresiones (3-9a) y (3-10) tiene también *u razón de ser, ya que el esfuerzo cortante directo no se distribuye uniform emenie en una ección del alambre, sino que, como veremos en la sección 5-7, el esfuerzo cortante en una íccción circular varía desde un máximo de 1.33 de su valor medio en el centro hasta cero en 35 extremos del diám etro vertical, y vale 1.23 de dicho valor medio en los extremos del i:ámetro horizontal, supuesta la fuerza cortante vertical. El factor 0.615 de la expresión ?-10) resulta de multiplicar 0.5 por 1.23. Por último, obsérvese también que los resortes se fabrican en general de aceros y b ro nces especiales en los que el esfuerzo cortante admisible alcanza valores del orden de 200 a 800 MPa. Distensión de un resorte

Prácticam ente toda la elongación de un resorte según el eje se debe a la torsión del alambre. Si en la figura 3-15 se supone por un momento que todo el resorte, excepto la pequeña longitud dL, es rígido, el extremo A girará hacia D un pequeño ángulo dd. Como este ángulo es muy pequeño, el arco A D = A B ■dd puede considerarse como una recta perpendicular a A B , de donde, por la semejanza de los triángulos A D E y B A C se tiene, A E = BC AD ~ AB o sea dS AB-d9 de donde

R AB

d8 = R dO

Figura 3“15. D eformación de un resorte helicoidal.

82

TO RSIÓN

Aplicando la expresión (3-1) se puede sustituir dd por su valor en función del m omento torsionante, d8 = R

( PR ) dL JG

(b )

e, integrando a lo largo de toda la longitud del alambre, se obtiene la distensión o elongación total:

Sustituyendo L por h rR n , que es la longitud de n espiras de radio R , y / por 7rtf4/3 2, resulta: 8 =

64 P R 3n

(3-1 1)

Gd4

Esta expresión de la distensión del resorte desprecia el efecto de la fuerza cortante directa, como se había indicado anteriorm ente. Este efecto adicional viene dado por: nRn) = SPRn AG

vd*

Gd2

(3-12)

y es casi siempre despreciable frente al valor de 5 dado por (3-11), por lo que no se suele tener en cuenta. La fórm ula (3-11) también se utiliza para determinar la deformación axial de un resorte helicoidal sometido a compresión siempre que las espiras no estén tan poco espaciadas que lleguen a juntarse al aplicar la carga. PROBLEMA ILUSTRATIVO

342. Dos resortes de acero dispuestos en serie soportan una carga P, como se indica en la figura 3-16. El resorte superior tiene 20 espiras de alambre de 20 mm, y un diám etro medio de 150 mm. El resorte inferior tiene 15 espiras de alambre de 10 mm y un radio medio de 130 mm. C alcular el máximo esfuerzo cortante en cada resorte si la deform ación total, alargamiento en este caso, es de 80 mm y G = 83 G N /m 2.

rp Figura 3-16.

3 -6

Resortes he lico idales

83

Solución: La defo rm ació n to tal es la sum a de las deform aciones de am bos resortes, ya que están som etidos a la tracción P, Teniendo en cuenta (3-11) se obtiene p a ra P el valor 64 PR n

64 P

(0.075) (20)

(0.065)3(15)

Gd4

83 x 109

( 0 .020 )

(o.o io r

P = 233 N C onocida P se pueden determ inar los esfuerzos. P ar a el reso rte sup erior, m - 2 R / d = 2(0.075)70.020 = 7.5 y 4 m = 30, po r lo que aplicando la fórm u la de W ahl (3-10) resulta:

—

16PR i 4 m - 1 0.615 I— "----- — — *4“ ------\ 4m — 4 m 16(223)(0.075) [ 30 - 1 t t (0.020)3

V30 - 4

0.615 7.5

= 12.7 M N /m 2

Resp.

A nálo gam ente, para el resorte inferio r en el que m = 2(0.0ó5)/0.010 = 13 y 4 m = 52, se tiene = 16(223)(0.065) / 52 - 1 0.615 7 7 ( 0 .0 10)3

152-4 +

13 Resp.

= 81.9 M N /m 2 Si se h ubiera ap licado la expresión tes, los resultados h ubieran sido 11.4 y tivam ente. Se deduce que en este caso 10.2 y 6.35°7o po r ab ajo de los valores

(3-9) para obtener los valores de los esfuerzos co rtan 76.7 M N /m 2 en el resorte superior e inferior, respecla fó rm u la aprox im ada da unos errores relativos de más exactos de la fórm u la de W ahl.

PRO BLE M A S 343. Determinar el esfuerzo cortante máxi-

mo y el alargamiento en un resorte helicoidal de 20 espiras de alambre de 20 mm con un radio medio de 80 mm, cuando el resorte soporta una carga de 2 kN. Aplicar la expresión (3-10) con G = 83 G N /m 2. Resp.

7máx = 121 M N /m 2; 5 = 98.7 mm

344. Calcular el máximo alargamiento del

resorte del problema anterior sí está hecho de bronce fosforado para el que G = 42 G N /m 2 y el esfuerzo máximo puede ser de 140 M N /m 2. Aplicar (3-10). 345. Se construye un resorte helicoidal enrollando una varilla de 20 mm de diámetro sobre un cilindro de 150 mm de diámetro. Deter-

minar el número de espiras necesarias para permitir un alargamiento de 100 mm sin que el esfuerzo cortante exceda de 140 MPa. Aplicar (3-9) con G = 83 GPa. Resp.

n = 17.9 espiras

346. Determinar el esfuerzo cortante máximo en un resorte de bronce fosforado de diámetro medio de 200 mm y formado por 24 vueltas de varilla de 20 mm de diámetro cuando se estira una longitud de 100 mm. Aplicar (3-10) con G - 42 G N /m 2. 347. Un embrague está accionado por seis resortes helicoidales dispuestos simétricamente. Cada resorte tiene doce espiras de alambre de acero de 10 mm de diámetro y un diámetro exte-

84

TORSIÓN

rior de 50 mm. Determinar la fuerza que hay que ejercer contra la placa del embrague para comprimir los resortes una longitud de 40 mm. ¿Cuál será el esfuerzo cortante máximo en ellos? Aplicar (3-9) con G = 83 G N /m 2. 348. Dos resortes de acero colocados en serie, como indica la figura P-348, soportan una carga P. El resorte superior tiene 12 espiras de varilla de 25 mm de diámetro con un radio medio de 100 mm. El inferior tiene 10 espiras de varilla de 20 mm de diámetro con radio medio de 75 mm. Si el esfuerzo cortante no debe exceder en ninguno de ellos de 200 M N /m 2, determinar P y el alargacalcular el esfuerzo cortante máximo en cada remiento total del conjunto. Aplicar (3-10) con G sorte con P = 5 kN. Aplicar (3-10). = 83 G N /m 2. Calcular la constante del resorte equivalente dividiendo ta carga entre el alarga351. Una placa rígida se apoya en el resorte miento. central, figura P-351, que es 20 mm más largo que los dos resortes laterales, simétricamente colocados. Cada uno de estos laterales tiene 18 espiras de alambre de 10 mm sobre un diámetro medio de 100 mm. El resorte central tiene 24 espiras de alambre de 20 mm y diámetro medio de 150 mm. Si se aplica una carga P - 5 kN en la placa, determinar el esfuerzo cortante máximo en cada resorte. Aplicar (3-9) con G - 83 G N /m 2.

Figura P-348.

349. Una carga P está soportada por dos resortes helicoidales colocados concéntricamente uno dentro de otro, como se observa en la figura P-349. El interior tiene 30 espiras de alambre de 20 mm de diámetro sobre un radio medio de 150 mm y el exterior, 20 espiras de alambre de 30 mm con un radio medio de 200 mm. Determinar la carga máxima P que pueden soportar de manera que no se sobrepase el esfuerzo cortante admisible de 140 MPa en cada resorte. Aplicar (3-9) con G = 83 GPa. Inicialmente los dos resortes tienen sus extremos superiores al mismo nivel. Resp. P = 9.05 kN 350. Si el resorte interior del problema anterior es de bronce fosforado con G - 42 G N /m 2,

Resp.

Resorte central: rmáx = 170 M N /m 2

352. Resolver el problema 351 si los resortes laterales son de bronce fosforado para el que G = 42 G N /m 2. ¿Se puede predecir el efecto, cualitativo, de este cambio en los esfuerzos? 353. Una barra rígida articulada en un extremo pende de dos resortes idénticos, como se observa en la figura P-353. Cada uno de ellos tiene 20 espiras de alambre de 10 mm con diámetro medio de 150 mm. Determinar el es-

3 -6

Resortes h e lico id ales

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355. Como se indica en la figura P-355, un bloque rígido de 50 kg pende de tres resortes cuyos extremos inferiores, inicialmente, están al mismo nivel. Cada resorte de acero tiene 24 espiResp, rmáx - 46.5 M N/m2 ras de alambre de 10 mm de diámetro sobre un diámetro medio de 100 mm y G = 83 GN/m2. El 354. Si cada resorte del problema anterior resorte de bronce tiene 48 espiras de alambre de 20 mm y diámetro medio de 150 mm, con G = 42 tiene 16 espiras de alambre de 10 mm sobre 160 GN/m2. Determinar el esfuerzo cortante máximo ■nm de diámetro medio, determinar la carga máen cada resorte aplicando (3-9). üma P para que el esfuerzo no exceda de 140 MN/m2 en ningún resorte. Use la ecuación (3-9). fuerzo cortante máximo en los resortes aplicando 3-9). Desprecie la masa de la barra rígida.

Figura P-353

Resp.

y P-354.

Para el bronce, rmáx = 9.93 MN/m2

RESUMEN

El estudio de la torsión hecho en este capítulo se limita a secciones circulares, llenas o huecas. El esfuerzo cortante es directamente proporcional a la distancia al centro de la sección y viene dado por: r - S í

(3_ 2)

El esfuerzo co rtante máximo en un árbol macizo de diám etro d vale: 16T r =—

•ttd

(3-2b)

En árboles huecos de diám etro exterior D e interior d, se tiene: M TD T = ------ :----- t ir(D4- d 4)

(3-2c)

La deform ación angular en una longitud L , expresada en radianes, viene dada por: Tí

»- ^

(3 -1 )

que se convierte en grados sexagesimales multiplicando por 180/ ít = 57.3. La expresión (3-1) se utiliza no sólo para determ inar ángulos de torsión, sino tam bién p ara resolver problemas de torsión estáticamente indeterm inados.

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TO RSIÓ N

La relación entre el par, T, y la potencia trasmitida, 6? , por un árbol que gira a una frecuencia / e s T - w /



El estudio de los acoplamientos por bridas (sección 3-3) es prácticamente la aplicación de la fórmula de la torsión a un núm ero finito de elementos de área sometidos a cortante. La existencia de un esfuerzo cortante longitudinal, como consecuencia del transversal, sirve para dem ostrar que el flujo de cortante q es constante a lo largo del contorno de un tu bo de pared delgada (sección 3-5). Su valor, en función del área A encerrada por la linea media de la pared del tubo, es: 0 = ~

(3 -7 )

de la que se obtiene el valor medio del esfuerzo cortante en un punto de espesor t, que es: T = f = Ta í



En los resortes helicoidales de espiras cerradas (sección 3-6) el esfuerzo cortante máximo viene dado, con mucha aproximación, por: T =

16 PR

--------—

Ttd

( • + ^ )

(3 -9 )

y más exactamente por: 16PR / 4m - 1 ^¿3 \4 m 4

0.615 ) m

(3-10)

en donde m = 2R /d . En la deform ación axial (distensión) de un resorte se suele despreciar el efecto de la fuerza cortante directa, atendiéndose solamente a la torsión. Esta deformación axial viene dada (3-iD Gd*

4

fuerza cortante y momento flexionante en vigas

4-1. INTRODUC CIÓN

El problema fundam ental de la resistencia de materiales es la determinación de las relaciones entre los esfuerzos y las deformaciones producidas por las fuerzas que se aplican a un elemento o a una estructura. En el estudio realizado de las fuerzas axiales, y de la torsión, no se ha tenido dificultad alguna en la aplicación de las relaciones entre esfuerzos y deform aciones, ya que en la mayoría de los casos las fuerzas y sus efectos, los esfuerzos internos, o bien eran constantes en el conjunto de la estructura o su distribución entre las partes componentes se conocía perfectamente. Sin embargo, el estudio de la flexión es más complejo debido a que los efectos de las fuerzas aplicadas son variables de una a otra sección de la viga. Estos efectos son de dos tipos claramente diferenciados, la fuerza cortante y el momento flexionante, al que a menudo se llama simplemente m om ento, y que se define en la sección siguiente. En el C apítulo 5 se verá como estos dos efectos producen dos tipos distintos de esfuerzos en las secciones transversales de las vigas: (1) un esfuerzo normal, directamente proporcional al mom ento flexionante, y (2) un esfuerzo cortante que depende de la fuerza cortante. En este capítulo, y como paso previo a la determinación de los esfuerzos, se estudia la distribución y el cálculo de la fuerza cortante y del momento flexionante en vigas sometidas a distintas combinaciones de cargas en diferentes condiciones de sujeción o apoyo y, concretamente, la determinación de sus valores máximos. En el Capítulo 6 se tratará de la deform ación de las vigas. En la figura 4-1 se m uestran varios tipos de vigas con distintas condiciones de sujeción. U na viga simplemente apoyada en sus extremos, o viga simple, tiene una articulación en un extremo y un apoyo móvil sobre rodillos en el otro. Una viga en voladizo, o ménsula, se sujeta en un solo extremo, en un em potramiento que impide el giro en dicho extremo. Una viga 87