TOPOARQUEOLOGÍA DECIMONÓNICA. Análisis epistemológico e histórico de las variedades en el escenario fronterizo entre la geometría no-euclídea y la topología (2015)

TOPOARQUEOLOGÍA DECIMONÓNICA Análisis epistemológico e histórico de las variedades en el escenario fronterizo entre la geometría no-euclídea y la topología Javier Anta Departamento de Filosofía y Lógica y Filosofía de la Ciencia. Universidad de Sevilla. Resumen

Abstract

El análisis del concepto de “variedad” supone un punto de articulación entre la geometría moderna de la que parte y la topología contemporánea a la que llega. Por ello tenemos que comprenderlo desde su origen en la labor de Riemann hasta su definición madura en el innovador trabajo de Poincaré pasando por el complejo desarrollo intermedio.

The development of modern non-Euclidean geometry and the creation of topology as a new field, emerged the complex idea of “manifold”. This concept overcame with the work of Riemann, still very dark and blurred, and it evolved along the 19th century to be reformulated by Poincaré in a view very close to the current topological geometry.

1. 2. 3. 4.

Introducción. La semilla de las variedades en el espacio clásico. Bernhard Riemann; Cimientos del espacio tras-geométrico Evolución del concepto de variedad en la segunda mitad del S.XIX Pensar topológicamente las variedades; Henri Poincaré.

p. 1 p. 2 p. 11 P. 18

1.-Introducción. La semilla de las variedades en el espacio clásico.

Se entiende por variedad aquel espacio de n-dimensiones en donde cada punto tiene una vecindad localmente homeomórfica a un subespacio euclídeo de ndimensiones. Pero ¿Qué interés epistemológico puede tener tal concepto? La compresión del espacio tiene su hegemonía dentro de la ciencia occidental en los tratados geométricos de Euclides durante más de dos milenios. No se puede hablar únicamente de una aprehensión formal y simbólica de dicha comprensión por parte de la comunidad geométrica, sino de un enraizamiento en la intuición común. Solo se puede pensar la espacialidad o levantar teorías científicas en términos euclídeos. Tal asunción se cuestiona a lo largo del S.XIX, donde el descubrimiento de nuevas formas de espacialidad completamente ajenas al sentido común e imposibles de ser imaginadas derrumban una racionalidad también basada en el proceder axiomático que figura en Los Elementos.

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Una respuesta general pero concisa a la pregunta planteada, sería entender dicho concepto como una piedra roseta entre el paradigma de la ciencia del espacio tradicional arraigado en el sentido común y las nuevas ciencias del espacio que se despliegan en la contemporaneidad. Entre casos concretos de variedades de ndimensiones nos encontraríamos con el propio espacio euclídeo (Rn) –donde aparece la línea y el plano real-, las esferas (Sn) –incluido el círculo- y el toro (Tn), además del espacio de proyección real y complejo (RPn) y (CPn). Obviamente gran cantidad de estos casos de variedades se han estudiado desde tiempos remotos en casi todas las cultural más allá de la occidental, salvo que no en términos de variedades sino de figuras geométricas en el sentido usual de la noción. A partir de la segunda mitad del S.XIX y coincidiendo con el paso de una producción científica tradicional-escolástica a una académico-universitaria institucionalizada a gran escala, la nueva Ciencia de las Variedades articulará el cambio entre la geometría concreta como disciplina paradigmática entre las disciplinas matemáticas del espacio y la topología abstracta ya en las últimas décadas. Nuestro objetivo en este trabajo es rastrear la construcción de dicha ciencia; desde su simbólico comienzo y nacimiento de la idea de variedad en la exposición de Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre la hipótesis que subyace a las bases de la geometría) llevada a cabo en 1954 por Riemann –esto nos ocupará el segundo capítulo- hasta la culminación de esta etapa de transición en el Analysis Situs de Poincaré en 1895, donde la idea de variedad toma cuerpo y permite al resto de matemáticos acercarse a un concepto tan complejo como este. Analizaremos ambos textos, así como la etapa de transición entre ambos con los autores y las temáticas más decisivas en lo que posteriormente se denominara como geometría topológica y que anteriormente hemos etiquetado como “Ciencia de variedades”.

2.-Bernhard Riemann; Cimientos del espacio tras-geométrico.

“Researches starting from general notions can only be useful in preventing this work from being hampered by too narrow views, and progress in knowledge of the interdependence of things from being checked by traditional prejudices” Bernhard Riemann

Bernhard Riemann constituye una de las figuras más decisivas para comprender la evolución decimonónica de las teorías matemáticas acerca del espacio. Tras la caída del espacio euclídeo durante un proceso silencioso de derrumbe que tiene 2

como culmen los trabajos de Nikolai Lovachevsky1 y Janos Bolyai2, se abre un paisaje de conformaciones espaciales diferentes y totalmente extrañas a lo que hasta entonces se había observado; esto queda totalmente reflejado en la confesión del este último a su padre “he creado un mundo nuevo y diferente de la nada”. Entendemos la primera mitad del S.XIX como el periodo de destrucción de los cimientos del Antiguo Régimen geométrico para dar paso a la hegemonía de lo no-euclídeo con fuertes connotaciones anti-euclídeas. La labor de Riemann aparecerá en primer lugar como una exploración de ese paisaje, y en segundo como una búsqueda un lenguaje matemático que otorgue inteligibilidad a tal situación; es aquí donde se entra en juego las variedades espaciales como aparato teórico fundamental para la comprensión de la enorme multitud de fenómenos topológicos. Tal noción tendrá un desarrollo complejo, no solo a lo largo de todo el proceso de construcción en la comunidad científica, sino también en el desarrollo intelectual del propio Riemann. El texto paradigmático en el que se expone por primera vez la intuición de lo que será los “Mannigfaltigkeit” será la lección inaugural de Göttingen traducida como Sobre la Hipótesis que subyace a las Bases de la Geometría3, llevada a cabo en 1854 y editada en la década posterior. Pasaremos a continuación a realizar un análisis exhaustivo de tal texto, desplegando las bases epistemológicas y las ideas fundamentales que conectarán con el desarrollo posterior. El texto comienza declarándose como un “plan de investigación”, es decir, como un proyecto de trabajo en el que enfocar el objetivo de una comunidad científica desorientada ante un nuevo escenario geométrico sin fundamentos, habiendo ya abandonado el paraíso geométrico euclídeo. En esta introducción Riemann toma conciencia de que no se encuentra de por si en una disciplina constituida, sino en la necesidad de constituirla; ello se muestra en la reflexión inicial: “it is known tha geometry assumes, as things given, both the notion of space and the first principles of constructions in space. She gives definition of them which are merely nominal, while the true determination appear in the form of axioms. The relation of these assumptioms remains consequently in darkness; we neither perceive whether and how far their connection is necessary, nor a priori, whether it possible”4 Lo que se cuestiona, en definitiva, es analizar aléticamente los cimientos axiológicos de la geometría tradicional y, si es el caso de su contingencia –como ha sido el caso tras la caída del postulado de las paralelas, ya presente desde el trabajo de Saccheri “Hipótesis del Ángulo Agudo”, que aunque no consigue alcanzar su objetivo de buscar contradicción en los postulados euclídeos como consecuencia de afirmar la ausencia de líneas asintóticas-, 1Lobachevski,

N. (1929) Geometrical Researches on the Theory of Parallels. Translated by George

Bruce Halsted. 2Bolyai, J. (1932) The Science of Absolute Space. Translated by George Bruce Halsted. 3 4

Recogido y traducido al inglés en (Nature, Vol. VIII. Nos. 183, 184, pp. 14-17, 36, 37). Ibid.

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demuestra derribarlos y levantar otros. Riemann es contundente al afirmar que las proposiciones de la geometría no pueden ser derivadas de las nociones generales de magnitud, cuya autoridad descansa en el omnipresente Euclides, sino en la experiencia como última instancia de legislación epistemológica. Este giro riemanniano hacia un empirismo geométrico tiene su correlato directo en una óptica convencionalista hacia las hipótesis de las mismas: es tarea de los geómetras comenzar a construir para dejar de depender del evangelio euclídeo.

NOCIÓN DE MAGNITUD N-EXTENDIDA. El problema que encabeza el programa de investigación de Riemann es postular una noción de magnitud n-extendida. El matemático alemán es consciente de que esta noción implica ciertas valoraciones filosóficas, de las que no siente capaz de encargarse, pero por otro lado reconoce que en la cuestión de replantear los principios matemático no solo entra la labor de geómetras –en su construcciónsino también de filósofos –y adentrarse en las nociones por ellas mismas-. Tal concepto se vierte en dos formas diferentes de especialización sobre la variedad –aquí aparecería la idea de “variedad” de una manera muy vaga, pero en este punto se plantea muy difícil expresión simbólica-; una se postula para configurar variedades continuas cuyos individuos se definirían como “puntos”, y la otra genera variedades discontinuas, en donde los individuos serían aquí “elementos”. No cabe ninguna duda que aquí aparecen tanto los cimientos de lo que después será la topología como disciplina, como para su aplicación a la geometría –topología geométrica- cuyo objeto de estudio corresponde, al igual que este trabajo, a las variedades topológicas. Seguidamente expondrá una teoría general de las magnitudes. Se establece que: una porción definida de una variable topológica junto con su límite configura lo que Riemann denominará “Quanta”por poco tiempo, ya que después se perfilará de múltiples maneras desde las disciplinas que constituirán la matemática moderna como la topología algebraica o la teoría de conjuntos- cuya dinámica entre magnitudes discretas aparecerá como “contable” y entre magnitudes continuas como “medible”. Todo ello apunta a los dos objetivos en este apartado del programa. Primero, definir un concepto de variedad múltiplemente extendida; y segundo, y decisivo, expresar formalmente un “lugar” dado dentro de una variedad espacial por medio de cantidades – basado en la vaga noción de quanta-. Cabría aquí hacer un breve inciso para aclarar ciertas cuestiones terminológicas. El concepto alemán de “Mannigfaltigkeit” que acuña Riemann, y del que hace una doble especificación como se ha comprobado en el apartado anterior en tanto que stetige Mannigfaltigkeit –variedad continua- y diskrete Mannigfaltigkeit,variedad discreta- tiene una traducción a las lenguas romances como varietés, en francés, o como variedad, en castellano y portugués. Sin embargo al ser traducido 4

al inglés como “manifold”, el cual se reconoce como el más prominente entre la comunidad científica, se referiría a las variedades desde el campo topológico; mientras que el término “variety” derivado del francés, apunta a las variedades algebraicas. Retomando el hilo del texto desde el segundo apartado, Riemann partirá desde el punto como elemento mínimo de una variedad, para componer variedades de mayor dimensión. El punto progresa continuamente “hacia atrás” y “hacia delante”, generando una curva, representando paradigmáticamente la variedad de una dimensión o 1-variedad. Todos los puntos de tal curva se extienden hacia otro punto externo, tal expansión genera una variedad doblemente extendida de dos dimensiones. Riemann reconoce la superficie como la variedad especializada en esta doble extensión. Así mismo todos los puntos de la 2-variedad se extienden de nuevo, y así n sucesivas veces. La construcción de una variedad consiste por tanto en componer a través de una variable de n + 1 dimensiones. Ahora se trata en el tercer punto, de definir las determinaciones cuantitativas de una variedad. Riemann afirma que cada sistema de puntos con una función de valor constante forma una variedad de menor dimensión a sí mismo. Esta es la clave. Se puede determinar la posición en una variedad al reducir las determinaciones cuantitativas a las determinaciones cuantitativas de una variedad de una dimensión menor – la variedad tiene n – 1 dimensiones cuando la variedad dada es n-extendida-. Por lo tanto, y mientras sea posible, el matemático alemán afirma que una variedad puede ser reducida a un número finito de determinación cuantitativas tantas veces como descensos dimensionales tenga dicha variedad.

SISTEMA DE MAGNITUDES EN VARIEDADES Una vez descrita la noción de variedad de n-dimensiones, el siguiente problema es el de definir las relaciones entre medidas, solo comprensible a través de nociones abstractas. Se asume que cada línea posee una longitud independiente a su posición, por tanto, cada línea puede ser medida en relación con otra línea. Para ello Riemann localizará las bases de esta cuestión en el tratado de Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, así como también reconocerá el tratamiento y evaluación de funciones analíticas en la teoría general de ecuaciones diferenciales desarrollada por Abel, Lagranfe, Pfaff y Jacobi. La cuestión se trata se formalizar matemáticamente la longitud de una línea y expresar x en términos de las unidades de tal línea. Dicha línea se fragmentaría en elementos cuantificables dx que se pueden postular como constantes en tal elemento-línea. Si ds es un elemento-punto perteneciente a dicho elemento-linea, además equivaldría a la raíz cuadrada de la función de segundo orden homogéneo entre los integrales positivos de las cantidades dx. Esta expresión diferencial expresa las coordenadas rectilíneas que identifican la posición de los 5

elementos en una línea: . Riemann aclara que el Espacio está incluido en esta expresión ¿A qué se refiere aquí con “Espacio”? Pues sencillamente a lo que con posterioridad será axiomatizado como R3 o el espacio euclídeo tridimensional. Es sintomático la congruencia con el espacio euclídeo, ya que la variedad lineal que ha expuesto en este punto –a la que denominará flat, en su traducción inglesa, o hiperplano- permite expresar un subconjunto del espacio euclídeo de menor dimensión. En definitiva, Riemann reconoce que lo que él llama flat –variedad planar, aunque después también definida cómo lineal- de dimensión 2, tiene como elementos puntos y líneas; por ello puede expresar simbólicamente los elementos lineales como la raíz cuadrada de la suma de diferenciales cuadráticos. En el segundo punto de este apartado se recoge: “This quantity retains the same value so long as the x and the dx are included in the same binary linear form, or so long as the two geodesics from 0 to x and from 0 to dx remain in the same surface-element; it depends only on place and direction (cursiva propia)”5 Por tanto, para la determinación de sus medidas relacionadas basta con contemplar la desviación desde su curvatura o flatness –relación con el hyperplano o flat- hasta cualquier punto dado en una dirección dentro de una superficie. Esto, desde nuestra posición histórica, nos sugiere dos cosas: La primera, que el espacio clásico euclídeo, basado en la distancia rígida entre sus elementos, ya no se presenta como el único marco espacial comprendido geométricamente. Un nuevo espacio basado en la localidad y la dirección fundamenta una espacialidad basada en variedades que establecen una lógica estructural interna: el espacio de las variedades se presenta con una cierta autonomía con respecto al espacio de la geometría tradicional. Por otro lado, el subrayar la dependencia del elemento a su localidad nos acerca desde la perspectiva riemanniana a una concepción topologizante del espacio; ello permite, tal como el autor del texto intuiría, aumentar la expresividad matemática de las teorías, así como su abstracción. El espacio se definiría con una mayor precisión formal –que aún no contemplamos en Sobre la hipótesis-, teniendo en cuenta que las funciones de los puntos

expresados en términos de coeficientes gij:

Esta ecuación define formalmente en que consiste un espacio riemanniano, sin embargo también puede expresar el espacio euclídeo, que se presenta contenido ya en el primero. La función de Riemann es la de integrar el espacio euclídeo, no

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Ibid.

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como aquel que fundamenta con sus principios toda la geometría –puesto que esa era ya una ilusión-, sino como una posibilidad geométrica más entre otras. Volvamos al texto. Si las relaciones entre elementos lineales podían ser expresadas como una variedad linear, las relaciones entre elementos planares vienen recogidas en la idea de 2-variedades o superficies. Tales superficies pueden deformarse dentro de un espacio ambiente de dimensión-3, y con ellas la curvatura de sus elementos-line contenidos desplazando la posición de los puntos. Esta deformación se acerca a la idea moderna de deformación topológica, en la que todo puede deformarse hasta cierto punto sin perder sus propiedades topológicas. Con ello Riemann afirma que cuerpos geométricos como son el cilindro y el cono pueden ser representados como planos y medidos planimétricamente. Concretamente y con un lenguaje matemático más actual, tales figuras pueden resultar de operaciones algebraicas entre superficies como 2-variedades; este es el caso del cilindro que se expresaría cómo S1 x R, el producto entre una variedad circular y una superficie. Por otra parte, la esfera, según Riemann no puede ser expresada en términos de superficies ya que una esfera no puede conformarse desde la unión o el doblamiento propio de una superficie. Con el desarrollo posterior de la geometría topológica se pudo llegar a definir una esfera –si es cierto que solo en términos de su superficie, no como si de un sólido se tratara- cómo una 2-variedad o superficie, S2. A continuación nos habla de 2-variedades “flat “en las que su curvatura total es cero en todo punto y en toda dirección, equivalentes –cómo veremos con más detenimiento- al plano euclídeo R2. Su uniforme dirección que sigue cada punto en tal curvatura nos permite entender por qué tal superficie es unida y doblada sin perder su intrínseca constitución topológica. La curvatura de una variedad determina completamente las relaciones de medida en dicha variedad; si el valor de tal curvatura Riemann lo expresa en , y sabiendo que cada punto en la curvatura is cero en ½ n (n – 1) la expresión formal atribuida sería:

Esta curvatura constante puede ser expresada a través de la superficie de una esfera, cuyo radio es la unidad dividida por la raíz cuadrada de la curvatura. Si la curvatura a superior a dicha esfera –es decir, si nos encontramos con un caso de geometría hiperbólica-, tal superficie será tangente a la superficie esférica desde dentro; si la curvatura es cero, como es el caso anterior, podrá ser representada como un cilindro permaneciendo en el ecuador de tal esfera. En el caso de una curvatura negativa, y por tanto en un escenario de geometría elíptica, dicha superficie será tangente al cilindro de manera externa. El denominado Espacio –recordemos que hace referencia a R3- puede ser considerado, dice Riemann, como el locus in quo en el que los cuerpos pueden moverse sin ser estos 7

deformados; así como la superficie será el locus in quo de las regiones superficiales. Cómo ya hemos visto, la expresión latina de locus in quo hace referencia al espacio ambiental en el que se encuentra contenido una variedad espacial. Esto otorga a dichas regiones superficiales una autonomía posicional, así como una independencia de la dirección respecto a la posición en el caso de las superficies de curvatura cero. Riemann cierra este apartado sentenciando que dicha autonomía no tiene remota existencia en los planos convencionales.

APLICACIÓN AL ESPACIO La última de las secciones se abrirá exponiendo las condiciones para determinar las propiedades métricas del espacio: primero, que la curvatura de un punto es cero en una superficie tri-direccional –esto sigue que la suma de los ángulos de un triángulo es siempre la suma de dos ángulos rectos, sin embargo cómo es más que obvio, la curvatura no siempre es cero, por lo que la suma de todos ángulos será mayor que la suma de dos ángulos rectos o menor, en función de que la curvatura sea positiva en el primer caso o negativa en el segundo-; segundo, y siguiendo a Euclides, de la existencia de líneas independientes, así como de cuerpos, se deriva que la curvatura sea constante en cualquier parte de la variedad; y tercero, la independencia de posición y dirección se asume también la independencia de la longitud entre estas dos magnitudes. Todo desplazamiento, por tanto, es expresado de manera compleja entre estas tres unidades. Sin embargo, al pasar al segundo punto de esta sección y penúltimo del texto, Riemann cambiará a un tono más filosófico6, retomando las cuestiones con las que abrió el discurso al inicio:

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Ibid.

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“(...) it remains to discuss the question how, in what degree, and to what extent hese assumptions are borne out by experience. In this respect there is a real distinction between mere extensive relations, and measure-relations; in so far as in the former, where the possible cases form a discrete manifoldness, the declarations of experience are indeed not quite certain, but still not inaccurate; while in the latter, where the possible cases form a continuous manifoldness, every determination from experience remains always inaccurate: be the probability ever so great that it is nearly exact. This consideration becomes important in the extensions of these empirical determinations beyond the limit of observation to the infinitely great and infinitely small; since the latter may clearly become more inaccurate beyond the limits of observation, but not he former (…) Researches starting from general notions, like the investigation we have just made, can only be useful in preventing this work from being hampered by too narrow views, and progress in knowledge of the interdependence of things from being checked by traditional prejudices”

Las determinaciones empíricas se escapan tanto desde lo mínimamente pequeño a máximamente grande, aquí es donde entra el potencial simbólico para expresar formalmente aquello que se escapa a la observación. Recordemos aquí miedo pascaliano hacia el silencio de los espacios infinitos. Es en este punto cuando Riemann levanta una de las distinciones más importantes en las teorías matemáticas contemporáneas del espacio: la extensión ilimitada y la extensión infinita –unboundedness-infinite extent-. Mientras que la primera representa una certeza empírica mayor que cualquier experiencia externa, de ella no se sigue, tal y como afirma Riemann, la extensión infinita. Ello nos indica el ímpetu para racionalizar matemáticamente los espacios que en el predominio euclídeo de la modernidad nos parecían inaccesibles; ya que el espacio que desde un sistema métrico-geometrizante basado en distancias-posicionales aparece como infinito, desde la óptica de las variedades topológicas se nos muestra como ilimitado, y por tanto accesible a la experiencia y capaz de acceder a él teóricamente por medio de sistemas métricos dependientes de la curvatura del mismo. Insistimos que la noción de extensión infinita que diferencia Riemann viene fuertemente vinculada a la idea moderna de espacio con curvatura 0, de lo que se sigue la independencia de los cuerpos con su posición. Si se supone lo opuesto, es decir, que los cuerpos dependen de su posición, entonces no se puede establecer una unión inmediata entre el sistema métrico a nivel macro y la medibilidad en el nivel micro. Por ello, las nociones de medición clásicas utilizadas en el estrato macro ya no tienen utilidad para los nuevos espacios descubiertos en los niveles mínimos, puesto que estos comportan una estructura topológica interna autónoma. La física relativista, que se basa curiosamente en las interacciones gravitatorias dentro de una superficie riemanniana denominada variedad de Lorentz, seguirá el presupuesto de que los cuerpos no son independientes sino que interaccionan con el espacio en el que se encuentran o locus in quo, confirmando epistemológicamente la segunda de las hipótesis. De la 9

imposibilidad de continuidad epistémica al acercarnos a las múltiples variedades espaciales, Riemann llega a la conclusión ontológica de que la realidad debe estar compuesta de variedades espaciales discretas, ya que si existiera una continuidad entre variedades la medibilidad en una sería aplicable de manera indiscreta a la otra. La realidad se compondría, dicho de una manera tosca e imprecisa, de fragmentos espaciales interconectados pero independientes. La física cuántica medio siglo más tarde, al establecer la discrecionalidad energética-electrónica de la materia, le dará la razón a Riemann. Nuestro texto termina, casi como si de una predicción se tratase, del siguiente modo: “This lead us into de domain of another Science, of physic, into which the object of this work does not allow us to go today”7. En este conocidísimo texto en la historia de la matemática, Riemann refleja por primera la idea de variedad, de un modo esquemático y poco desarrollado. Cómo bien sugiere Scholz8, la nueva región que abren las variedades entre las matemáticas, la física y la filosofía necesitará de un lenguaje teórico bien definido más allá de las nociones generales abiertas en Sobre las hipótesis. La génesis del concepto de variedad puede comprender como una generalización de las nociones pertenecientes a la geometría del momento de magnitud y cantidad extendida. Esto puede llegar a comprenderse desde el substrato idealistadialéctico extendido por las universidades alemanas del momento, que influye a la hora de articular los diferentes espaciales, así como para expresar la dinámica holo-meromórfica. Sobre el último punto, el texto de Riemann –aunque no focalice su atención en ello- postula una distinción entre la simplicidad local, por medio de sistemas de coordinadas locales -lo que anteriormente hemos sugerido como autonomía topológica de las variedades- y el comportamiento global de sistema. En el próximo apartado desarrollaremos más con más detalle este punto. Sobre la estratificación de todo el material teórico que se va originando a partir del programa planteado por Riemann, este diferenciará en escritos posteriores entre el denominado analysis situs, la prehistoria de lo que después será la topología algebraica de variedad y cuya obra homónima, cuya autoría responde a Henri Poincaré, analizaremos más adelante; y la geometría diferencial. Cabe recordar también, como ya hemos vimos, que Riemann al generalizar la subvariedad lineal de finitas dimensiones desde el trabajo de Gauss está asentando las bases del estudio de variedades continuamente diferenciables – donde cada punto cuenta con un vector de curvas tangentes-, del cual surgirá la variedad que llevará su nombre. Lo interesante de la variedad riemanniana es, dicho con las matemáticas actuales, que cada espacio tangente cuenta con un producto interno, lo que a grandes rasgos quiere decir que en cada espacio diferenciable se puede construir una ortogonalidad desde donde desplegar un 7 8

Ibid. The Concept of Manifold, 1850-1950 en History of Topology (1999)

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sistema de coordenadas n-dimensionales. La obra de Riemann representa, en definitiva, la colosal tarea, por una parte, de integrar la geometría euclídea junto con la de Lovachevsky-Bolyai y otras geometrías no-euclídeas en un sistema que las contenga a todas y pueda llegar a describir otras geometrías posibles: este es el objetivo de la nueva ciencia de variedades. En definitiva, esta labor consiste en dotar de instrumentos para habitar los nuevos espacios abiertos tras el derrumbe de los fundamentos euclídeos, pero también de abrir los caminos para que otros puedan hacerlo. ... La variedades representan un ámbito teórico entre la tradicional geometría concreta y la incipiente topología abstracta, de hecho su definición convencional es la de espacio topológico localmente homeomórfico a un espacio euclídeo R n. Esto quiere decir que toda variedad está conectada mediante una función continua, que conecta todos los puntos de dicha variedad, con un espacio euclídeo. Las dos caras de una misma moneda: en una variedad tomada localmente, es decir, como un espacio concreto, la geometría euclidea sigue funcionando de manera referencial; por otro lado si la variedad es tomada globalmente, esto es, como un espacio abstracto, el fantasma de Euclides desaparece para dar paso a los preceptos topológicos. Será a finales del S.XIX cuando la geometría topológica se constituya disciplinalmente en Europa; contemplando las variedades ya no como nociones vagas, sino como instrumentos para sistematizar tanto la geometría tradicional como la nueva flora geométrica, también como un componente fundamental para desarrollar la nueva física finisecular y como una nueva disciplina de cálculo también hacia una aplicación intrínsecamente técnica. Veamos cómo ha sido esto posible.

3.-Evolución del concepto de variedad en la segunda mitad del S.XIX.

Es imprescindible para captar la complejidad de este proceso acercarnos a The Concept of Manifold, 1850-19509, de Erhard Scholz. En este capítulo se lleva a cabo un exhaustivo análisis de la construcción social del concepto de variedad en el periodo que abarca desde el momento fundacional que representa Sobre la hipótes hasta las decisivas revisiones teoréticas y aplicadas de Henri Poincaré. Pasemos a recorrer este camino, por medio de las figuras y los conceptos más relevantes.

Chapter 2: The Concept of Manifold, 1850-1950 en History of Topology (1999), editado por I.M.James. 9

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Tras la trasmisión de las ideas riemanianas sobre las variedades, estas fueron comprendidas durante las décadas posteriores en términos principalmente aritméticos. El trabajo matemático realizado por Dedekind, Weierstrass, Cantor y Meray, impulsó una parcial asunción de la variedad en términos de variedad numérica, como las subvariedades de Rm o los espacios proyectivos PmR o PmC, o al menos ese era el modo más simple de comprender una variedad. Gracias a la obra de Beltrami, Helmholtz y del joven Klein, tales subvariedades fueron comprendiéndose como m-dimensionales subconjuntos, como iremos desarrollando más adelante. En el caso de Klein supo comprender la distinción riemanniana entre la simplicidad local y la complejidad global de la variedad al especificar entre propiedades relativas de una variedad numeral y sus propiedades absolutas, las primeras tienen que ver con concebir esta variedad como una instancia contenida en la instancia de otra estructura –lo que se conoce en matemáticas como “encaje”-. También ofreció un acercamiento a una combinatoria de variedades numéricas determinando subvariedades M en Rn, sin embargo es Dyck quién ofrece un modo de construir M desde una n-ball En por medio de cortar y pegar subvariedades del tipo Ek isomórficas a k-balls, aunque su objetivo fuera únicamente el de caracterizar tales subvariedades. Para comprender el desarrollo de variedades en el S.XIX es imprescindible tener en cuenta como la misma visión sobre la disciplina geométrica cambia drásticamente en este periodo. Tal y como Scholz nos sigue explicando, hubo un proceso de giro paradigmático, en cierto modo independiente –cómo sucede contemporáneamente con las leyes de conservación de la energía en el ámbito de la termodinámica- entre Gauss, Lobachevsky y J.Bolyai, culminando como ya vimos en la obra de Riemann, como contemplamos en el anterior apartado. Es el paso de una postura “anti-euclídea” que polemiza desde bases ilustradas contra la geometría tradicional10, a una posición no-euclidea, integradora y constructiva. Gauss reconoce que Riemann llegó a un punto, reduciendo el análisis de fundamentos Lovachevsky-Bolyano a un fragmento de su propia concepción de la espacialidad –a pesar que no existe conocimiento de que el propio Riemann tuviera contacto directo con las teorías del húngaro y el ruso-, que él con su teoría de superficies aplicando geometría diferencial busca conseguir. Una nueva etapa se abre a finales de los años 60, cuando las nuevas ideas geométricas se consolidan y se asumen nuevas direcciones que tomar. Entre las cabezas sobresalientes de este periodo se encuentran por un lado Klein, que parte de una corriente de pensamiento matemático que conecta directamente con el riemannismo, y por otro, Beltrami y Helmholtz siguieron avanzando cada uno 10

Ibid.

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de manera independiente hasta los años 70, aunque con consciencia del trabajo de Riemann.

BELTRAMI Y EL SUBSTRATO REAL DE LO NO-EUCLÍDEO En el caso de Beltrami, durante 1967 generaliza la superficie gaussiana para dar cuenta de la geometría del plano no-euclídeo ofreciendo un modelo propio del mismo. En su escrito Saggio di interpretazione della Geometria non Euclidea podemos encontrar consideraciones epistemológicas muy interesantes sobre la presente temática. Este ofrece una métrica formal no incrustada en un espacio 3-euclídeo:

Sin embargo en tal escrito Beltrami afirma la necesidad de buscar lo que él denomina “substrato real”, un tanto estrecho según la opinión de Cremona, el editor del texto que cuestionó y problematizo tal idea. Al comenzar a utilizar herramientas matemáticas de gran complejidad, la abstracción aumenta y con ello el realismo del aparato teórico se muestra más tenue. Como bien se refleja en Sobre la hipótesis, la geometría tradicional ofrecía una noción intuitiva de la estructura formal de la realidad, un isomorfismo local desde un plano noeuclídeo ofrecía una extensión de la visión realista de las nuevas construcciones espaciales. Es posible que Cremona transmitiese estas ideas a Beltrami, por ello el italiano escribe Teoria fondamentale degli spazii di curvatura constante. En este asume ciertos preceptos del riemannismo generalizando un modelo geométrico diferencial n-dimensional para la geometría no-euclídea; con ello pasa de la bidimensionalidad del Saggio a ofrecer una parametrización de M:

Scholz afirma que el paso de un artículo a otro representa el paso de una geometría estática clásica –aunque ciertamente complejizada por la teoría de superficies de Gauss- a una geometría moderna dinámica reforzada por el estudio de las variedades que otorga el contacto con las ideas de Riemann. Esto transforma también la concepción de un sustrato real intrínseco también presente en la estructura teórica de la geometría no-euclídea, ofreciendo de este modo un marco conceptual extendido desde el que asumir esta nueva métrica espacial no como un mero instrumento o aparato formal, sino como el referente de una realidad espacial más rica. 13

Desde otro frente teórico también en la década de los 60, un grupo de figuras entre las que destacan A. F. Möbius, Schläfi, C.Jordan y de nuevo Klein, se encargaron de tender puentes entre emergentes campos matemáticos como la geometría algebraica proyectiva, la teoría de funciones complejas, la combinatoria de poliedros; todas ellas entretejidas y en contacto con la más que vanguardista ciencia topológica de variedades. Estos avanzaron teóricamente en postular mecanismos para relacionar diferentes variedades, todos ellos desde la noción de relaciones de vecindad como correlato de las transformaciones entre “elementos mínimos”. Mientras que Jordan habla del “mapeo” entre variedades, Möbius por su lado se refiere a este mismo fenómeno como Elementarverwandtschaften –relación elemental-. En esta dirección aparece lo que en términos actuales se denomina “homeomorfismo”, que expresa la idea de una función entre dos espacios topológicos; pero con una mayor precisión se introducirá el producto entre estas dos funciones denominado “homotopía”. No podemos confundir los dos términos anteriores, que expresan relaciones a nivel topológico y topoalgebráico en su sentido general, con la idea que se plasman en los mecanismos de “cartas” entre variedades, y “atlas” como conjuntos de cartas; ya que estos expresan relaciones homeomórficas entre cualquier variedad y un subconjunto abierto del espacio euclídeo. Las cartas y los atlas espaciales tienen la utilidad de traer los conceptos topológicos a la sencillez de la intuición euclídea, por lo que el símil resulta altamente ilustrado. Tales constelaciones conceptuales derivan de la labor que dentro de la geometría topológica comienzan a realizar Jordan y Möbius, en principio de un modo independiente el uno del otro a partir de las teorías de superficies; y que en las últimas décadas del S.XIX tenderá hacia extensiones algebraicas.

POLIGONIZACIÓN FUNDAMENTAL DE SUPERFICIES TOPOLÓGICAS Sin embargo August Ferdinand Möbius no pasará a la historia de la geometría topológica por el impulso que proporcionó a la teoría de morfismos, sino por el enfoque paradigmático que otorga a las superficies dentro de las variedades espaciales. Este matemático ofreció un método de comprender las superficies o 2-variedades en términos de redes poligonales; su caso más famoso, el de la banda homónima, se utiliza para ilustrar un caso de superficie no orientable de una sola cara:

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Fig. 1. Banda de Möbius. Polígono y construcción Esta superficie se construye uniendo inversamente los extremos de un plano rectángulo, formando así una variedad homeomórfica a P2R; como se podrá suponer, las flechas en el diagrama poligonal indican la dirección. Esta representación de superficies en polígonos fundamentales su puede aplicar del mismo modo a la esfera, que como vemos en el caso de la izquierda (fig. 2), nos encontraríamos con una superficie orientable. Así mismo el toro representa también una superficie orientable –salvo que la flecha descendente “A” pasaría a ser “B”, y la inferior “B “en “A”-.

Fig. 2. Esfera

Fig. 3 Vaso de Klein

Si a partir de una cinta de Möbius, tomando su polígono fundamental – representado en la fig.3 únicamente con la flecha roja superior e inferior A- los dos vértices superiores se conectan mediante flechas B, obtenemos una superficie de dos caras no orientable denominada “vaso de Klein” en honor a su más que prolífico creador. A partir de estos análisis Möbius desarrolla el concepto de clase de superficie n. El índice n no solo coincide con los límites que componen dos caras F1 y F2, homeomórficas entre sí y a partir de las cuales se puede construir una superficie cerrada y diferenciable, también equivale a lo que, desde otro frente teorético aparentemente desconocido para este, Riemann denomina “género” simbolizado con p. La relación entre ambos se expresaría formalmente mediante p = n – 1, y 15

mediante la característica de Euler –adentrándonos en los terrenos prototopológicos de riemannismo- desde la constante möbiana tal que X (F) = 2(2 – n), y desde la riemanniana como X (F) = 2 – 2p.

JORDAN; TAXONOMÍA Y PROTO-ÁLGEBRA DE VARIEDADES

Mientras tanto en la Francia de finales de los 60s, Camille Jordan se encontraba realizando por su cuenta la misma tarea que en Alemania Möbius: imponer un orden clasificatorio a las superficies orientables, desde donde el francés aplicó la bien conocida por él teoría de funciones complejas recién desarrollada. Este relacionaba el número m de componentes limitantes y el número máximo de cortes k que no desconectasen en piezas a tal superficie. Es interesante aquí ver como Scholz pone en relación el proceso de análisis de Jordan a como las integrales de diferenciales holomórficas sirven de inspiración a Riemann para considerar la existencia de equivalencias homológicas –o morfismos que guardan la estructura entre cadenas de complejos- entre conexiones cerradas o anillos. En la topogeometría actual, la clasificación convencional de variedades parte inequívocamente de la labor conceptual de Riemann y Jordan. El grueso corresponde a la familia de variedades diferenciables o Ck-variedad, son aquellas que poseen diferenciabilidad constante, es decir, un vector de curvas en cada punto sin variar en toda la variedad. Dentro de esta familia nos encontramos con las “smooth manifolds”, en donde la diferenciabilidad no solo es constante sino infinitamente constante. Por otro lado las variedades analíticas y complejas, cada una basada en que sus mapas de transición se correspondan con funciones analíticas, en el primer caso, y holomórficas, en el segundo. De ahí la importancia de comprender como funcionan las teorías de análisis de funciones: comprender el tránsito desde una variedad espacial a otra mediante una función no solo nos habla del modo en el que estas se interrelacionan, sino de su propia constitución interna. Jordan nos proporciona una teoría bastante completa de homotopías –que como hemos visto era la relación invariante entre funciones, que soporta la idea algebraica de “grupo”- entre superficies limitadas orientables, relaciones y generadores de grupos de equivalencia; sin embargo el francés no da cuenta de la continuidad analítica que se da en tales anillos, aunque la intuición de conexiones cerradas y grupos subyace en su trabajo. Será un par de décadas después, en los años 80 de ese mismo siglo, cuando se comience a asentar las bases para una teoría de grupos que satisfaga conceptualmente las clases de deformación en conexiones cerradas de variedades. Tal será el comienzo de la topología algebraica de variedades. 16

VARIEDADES EN DIMENSIONES SUPERIORES

Como vimos en el apartado anterior la continuidad en las variedades, no solo en su capacidad de derivar espacios tangentes sino en el conjunto de sus propiedades, juega en papel decisivo visto desde la óptica de la teoría de funciones analíticas y complejas. Sin embargo tal continuidad tiene un correlato desde las herramientas topológicas de la época; estas ofrecen un marco para comprenderla como “conectividad” entre espacios. El trabajo de Enrico Betti en 1871 es acercarse y establecer un método para identificar la conectividad en spazi o variedades cerradas n-dimensionales Sn. De ahí que los números de conectividad tomen el nombre de “números Betti”, los cuales no pueden conformar el límite de una conectada (m + 1) dimensional parte del espacio. Cuatro años más tarde en el mismo país, Leonida Tonelli expone un sistema formal para expresar anillos y su relaciones homológicas que culmina las ideas expuestas por Betti, que utilizaba una substitución paso a paso de los anillos para afirmar la independencia de elección de los sistemas de subvariedades. Es Tonelli el creador de un método de semicontinuidad para el cálculo de variables, así como de un teorema que lleva su nombre. A pesar de que su método fue preparado para aplicarse a n-dimensiones solo llegó a utilizarse sobre casos tridimensionales triviales. Hay que señalar que ambos italianos confrontaron opiniones acerca de la conectividad de superficies algebraicas complejas, solo que ante las fuertes carencias conceptuales tendríamos que esperar a Èmile Picard en las últimas décadas del siglo para comprender en que consiste fenómenos espaciales cómo el engrosamiento de una 2-esfera o un toro en R3, o en la misma corriente a Poincaré, que cómo más adelante veremos ofrecerá un exhaustivo análisis topológico de tales objetos.

LA FÍSICA DE LAS VARIEDADES Cómo bien vimos al final del texto fundacional de Riemann, la geometría moderna no se desarrolla únicamente con pretensiones formalistas sino como vía – gracias al fuerte carácter empirista que el riemannismo le otorga al proceder geométrico- para acceder al espacio físico real, y por tanto con un importante componente semántico. Esta conciencia fisicomatemática continúa a lo largo del desarrollo intelectual del matemático alemán. Afirma que la estructura interna de la materia podría ser explicada por medio de geometría diferencial, ya que el alemán asume que los fenómenos micrológicos que la ciencia de su momento centra su atención –electromagnetismo, química moderna, etc.- solo puede ser 17

explicada con la matemática de vanguardia. Lo pequeño solo puede ser explicado a partir de la matemática de lo pequeño, o en general, de lo que va más allá de la intuición común. Dos décadas después de Sobre la hipótesis Riemann aplica una métrica homónima tridimensional para crear una estructura de geometría diferencial como modelo para solucionar un problema de termodinámica en una región homogénea de la materia. A finales del S.XIX el giro epistémico que acontece dentro de los fundamentos axiológicos de la geometría se asienta entre la comunidad matemática para dotar las teorías de un realismo que va más allá de la matemática realista clásica. La reformulación de las bases conceptuales de la fisicomatemática puede observarse al utilizar subvariedades de dimensiones superiores para comprender la dinámica de estados energéticos, que poco después se expandirá a la termodinámica general. Para ello se postulará una métrica del espacio coordinado, con antedentes en la labor de Jacobi –de hecho este será una de las figuras que más promoverá el entrelazamiento entre la matemática moderna y la nueva física por medio de una nueva revisión decimonónica de la mecánica clásica newtoniana denominada mecánica jacobihamiltoniana en honor a sus impulsores- formulada como

En los 70s, la mecánica estadística que comienza a partir de los nuevos frentes abiertos en la física por Boltzmann y Maxwell comienza a ser geometrizada desde los términos planteados varias décadas antes por Jacobi. Será Boltzmann quien explicite abiertamente la necesidad de recurrir a dimensiones superiores para explicar nuevas nociones termodinámicas, como la idea de “entropía” entre las fases de un sistema, que de otro modo perderían claridad intuitiva. La relación entre la matemática y la física de finales del S.XIX solo puede entenderse de manera sinérgica entre ambos frentes. Cabe destacar el papel fundamental que juega el lagrangiano –postulado por Joseph Louis Lagrange a finales del S.XVIII-, comprendido como una función que sintetiza la dinámica de un sistema por medio de un sistema de ecuaciones homónimas. Del trasfondo epistemológico que conlleva el lagrangiano puede derivar, no solo las leyes de conservación de la energía en la física termodinámica, sino también la idea matemática de una función que recorre un sistema de manera continua. No hace falta señalar la mínima distancia entre esta idea y las de homeomorfismo o difeomorfismo. E incluso la labor en geometría diferencial de los padres de la disciplina en la que se centra este trabajo, Riemann y en menor medida Gauss, se entiende que nace del substrato fisicomatemático lagrangiano, tal y como afirma Klein en sus apuntes históricos.

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LIE: GRUPOS COMO VARIEDADES No podemos acabar este apartado sin detenernos antes frente a la importante contribución del matemático noruego Sophus Lie. Este propone en su revolucionaria tesis On a class of geometric transformations en 1971 refleja lo que será conocido como teoría de transformación continua de grupos, aunque la formulación concreta se reconocerá estar fechada durante el invierno entre 1973 y 1974. Su alumno Friedrich Engel recogerá toda su trabajo en la colosal obra en tres volúmenes Theorie der Transformationsgruppen. En líneas generales, Lie comprende ciertas estructuras geométricas como objetos de operaciones algebraicas concretas. Esto es lo que se reconoce como grupos, específicamente como grupos Lie, llamados así por Tresse –“groupes de Lie”- en los años 90 de ese siglo. Es curioso señalar que cada grupo Lie tiene un aparato algebraico correspondiente llamado a su vez algebra Lie; a partir de la generalización de dichas operación se podrá extender una teoría decisiva de la simetría continua. Las ideas de los geómetras vistos anteriormente –Riemann, Gauss, etc.- sirven de sustrato para las formulaciones de Lie, el cual se mantiene en especial cercanía con la labor de Klein, considerando a este como un colaborador. Pero ¿De dónde proviene nuestro interés hacia los grupos Lie? Pues precisamente en que estos grupos además de estructuras algebraicas, son en sí mismos variedades topológicas compatibles con componentes diferenciales. Entre los más destacados podemos encontrarnos el espacio euclídeo n-dimensional con un vector ordinario de adición, así como S1 y S2 con estructura diferenciable y los grupos de Lorentz, Heisenberg, Poincaré y Gauge, algunos de ellos con un rol decisivo en la física posterior.

4.-Pensar topológicamente las variedades; Henri Poincaré. “We are certain in advance of obtaining the same results as in ordinary geometry, and we need not undertake a long voyage to view a spectacle like the one we encounter at home.” Henri Poincaré

En la inigualable figura de Jules Henri Poincaré (1854-1912) encontramos un punto de no retorno al hablar del desarrollo de las variedades, incluso podríamos hablar de revolucionario. En él confluyen un gran abanico de las teorías matemáticas del momento, la física teórica finisecular y su aplicación en el campo de la ingeniería; todo ello bajo un fuerte interés y dedicación al campo filosófico –cosa que la gran parte de geómetras y en especial Riemann, la otra personalidad a la que nos hemos dedicado en este trabajo, profesaban desinterés o 19

simplemente no se veían capacitados-. Entre sus méritos, entre los que cuentan la conjetura, la dualidad y varios teoremas bautizados en su nombre así como en la formulación de la teoría de la relatividad específica; pero en cuanto a lo que a nosotros nos interesa, Poincaré es uno de los creadores de la disciplina topológica como tal, ofreciendo nuevas y potentes herramientas de análisis matemático del espacio a las constelaciones conceptuales que giran en torno a la idea misma de variedad espacial. A pesar de que el término de “topología” es atribuido a Listing ya a mediados del S.XIX, no se extenderá y regularizará en la comunidad científica hasta el S.XX. Hasta entonces, la idea de topología está reflejada en la locución latina de Analysis Situs hasta que se generalice el nombre actual –lo mismo ocurrirá en el caso de la geometría topológica, que hasta entonces sería denominada de diferentes maneras entre la que encontramos “hipergeometría” en el caso del matemático francés- , este será el título que Poincaré pondrá a su obra fundacional en 1895; 44 años después de la publicación de Sobre la hipótesis que subyace a las Bases de las Geometría, culminando el proceso de gestación de la geometría topológica que comenzó Riemann y solidificando la disciplina topológica. Nos dedicaremos a continuación a analizar con detenimiento el famosísimo texto, del cual se escribirán ríos de tinta entre la comunidad matemática de comienzos de S.XX e incluso el propio Poincaré publicará varias revisiones del textos, alzándose como uno de los hitos de la matemática contemporánea.

INTRODUCCIÓN A ANALYSIS SITUS En la introducción que inaugura Analysis Situs, el científico y filósofo francés dará una sofisticada descripción epistemológica de una topología ya en su etapa de maduración. Este parte de una cuestión candente e implícita en las décadas anteriores ¿Es real el objeto de la geometría n-dimensional? Poincaré mantiene una postura clara: el objeto, a pesar de no poder ser representado al modo tradicional, este puede ser concebido y estudiado, como de hecho lo ha sido. Hay que tener en cuenta ciertas tendencias epistemológicas de la época que influyen al francés para comprender su posición. Este, próximo a ciertas ideas neokantianas heterodoxas, asume la intuición como el aparato por el que se captan las estructuras matemáticas reconociendo así de condición apriorística y sintética en el caso de la aritmética –a diferencia del carácter analítico que les confería el propio Kant- y analítica, en el caso de la geometría no-euclídea. Para Poincaré un objeto matemático goza de plena dignidad ontológica, separándose de posturas logicistas como las de Frege y Russell y oponiéndose a la Cantor y a su teoría de conjuntos. Desde la cosmovisión poincareana el objetivo de la geometría es captar intuitivamente la estructura matemática subyacente a la realidad más allá de los sentidos. La geometría, en oposición a la aritmética, 20

conforma un lenguaje analítico basado en una dinámica teórica de inferencias entre los grupos análogos pero con tendencia a la generalización. Estos son los argumentos que Poincaré utiliza, no ya para afirmar rotunda e incondicionalmente el realismo de los objetos de la geometría no-euclídea, sino para dar pie a que puedan llegar a ser considerados como tales. Sin embargo Poincaré reconoce la utilidad de la geometría no-euclídea solo en tanto que esta enfoca su potencial epistémico hacia los asuntos que verdaderamente interesan. Pero todo este desarrollo instrumental gana virtuosidad cuando el lenguaje analítico, esto es la formulación matemática, se queda corto ante la intuición que nos ofrece la figuración hipergeométrica. La posibilidad de ofrecer representatividad figurativa nos indica que el poincarenismo no pretende minusvalorar la esfera sensitiva humana en la creación matemática, sino que esta sirve para reforzar intuitivamente el acceso hacia la esencia inteligible de los objetos hipergeométricos. Esta disciplina, es por ello mismo considerada por Poincaré como un proceso de razonamiento correcto a partir de figuras. Esta nos ayuda a comprender las relaciones entre puntos y líneas sobre planos –este será el nombre de un tratado en 1926 escrito por Kandinsky, que desde la esfera artística trata las inquietudes que los geómetras se acercan por sus propios medios- sin tener en cuenta las magnitudes: este es el fundamento representativo del Analysis Situs, que no tiene en cuenta el número de dimensiones. No solo Poincaré hace un gran esfuerzo de creación teórica, sino también es consciente de cómo y quién ha formado los aparatos geométricos que él está analizando; ello lo vemos al reconocer a Riemann y Betti como los que posibilitaron una hipergeometría de dimensiones superiores. Ahora nos ofrece tres ejemplos para dar muestra de ello. Señala al ya visto Picard, con su discurso en la Academia de las Ciencias como uno de los pioneros de la clasificación de curvas y superficies algebraicas y las relaciones birracionales de transformación entre estas. Poincaré afirma que la ciencia que él ha desarrollado caracteriza las propiedades hipergeométricas de las ecuaciones diferenciales en dimensiones superiores, tal y como W. Dyck buscaba; así como Jordan determina analíticamente un grupo lineal de n-variables tal y cómo Klein consigue con dos variables. El científico francés se plantea ¿Puede este método extender a nvariables en la hipergeometría? La respuesta, según Poincaré, se encuentra tanto en sus planteamientos topológicos esbozados en Analysis Situs como en la profundidad de la característica de Euler, o como se denomina en su época “teorema de los poliedros”. La introducción al texto se cierra justificando la extensión del mismo en la necesidad de no caer en oscuros formalismos. Comencemos a adentrarnos en su desarrollo.

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DEFINICIONES DE VARIEDAD En el primer punto de Analysis Situs, Poincaré tratará de ofrecer una primera definición precisa de lo que supone una variable dentro de esta ciencia. Además expondrá la relación existente entre las propiedades más importantes de este: finitud, conectividad, límite y cierre.

(1) Primero asume como coordenadas de un punto un numero n de variables reales (x1, x2,…, xn), representando cada secuencia a un punto, además las funciones F y  las consideraremos uniformes, continuas y continuamente derivables. Nos encontraríamos con una variedad de n – p dimensiones si el conjunto de puntos satisface la condición (1). Si es posible variar x1, x2,…, xn desde 1, 2,…, n hasta 1, 2,…, n, sin violar la condición (1) entonces dicha variedad está conectada. Las variedades no conectadas no serán consideradas en el texto, afirma Poincaré, ya que estas se pueden dividir en un número finito o infinito de variedades conectadas. Estas serán consideradas como finitas si son menores de una constante K dada. Una variedad es un dominio, si es nada más que una porción un espacio n-dimensional al no encontrar ecuación en p = 0

(2) Se nos da un sistema de relaciones (2) consistente en p + 1 ecuaciones y q – 1 desigualdades. Una variedad tiene menos de n – p dimensiones si es constituida por puntos que no satisfacen (2)

(3)

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Así mismo un límite de la variedad definida por las condiciones (1) se compondría por un conjunto de puntos que satisface uno de los sistemas de relaciones q (3); si no lo hace, tal variedad la consideraremos ilimitada. Una variedad será cerrada si es esta es a su vez finita, conectada y limitada. Poincaré propondrá una segunda definición de variedad, en la que una variedad de m dimensiones a partir de sistemas de ecuaciones:

Además se añade un conjunto de desigualdades entre las variables que representen el límite de dicha variable. Llamamos continuidad analítica a la capacidad de substituir las variables y en la ecuación por m variables de una ecuación analítica. De este modo se podrán formar cadenas de variedades V1, V2,…, Vn conectadas entre sí, compartiendo una parte entre dos variables consecutivas. Nos encontramos con una red de variedades si se da la siguiente ecuación V1 = Vn, y por tanto se cierra dicha cadena. Poincaré afirma que de una variedad V puede construirse siempre una variedad parcial de la que se puede dar un conjunto auxiliar de variables auxiliares desde donde definir ecuaciones y desigualdades que lo refleje. En esta definición subyace la idea que ya hemos atendido de “atlas”, en tal que conjunto de parametrizaciones M sobre V, en donde la noción de continuidad analítica señala cambios de cartas –parametrizaciones- en las regiones yuxtapuestas. Estos cambios de parametrización mediante determinaciones funcionales ofrece la idea de orientabilidad de M, a la que dedica un profundo análisis a lo largo de todo un apartado.

HOMEOMORFISMOS, GEOMETRIZACIÓN Y OTRAS DEFINICIONES Se pueden buscar más definiciones de la idea de variedad dentro de Analysis Situs. Y es que para Poincaré dar una definición de variedad, consiste propiamente en establecer los procedimientos de construcción de tal variedad. Esto puede comprenderse al colocar al matemático francés en posiciones cercanas al “convencionalismo”, donde la labor científica –y más concretamente matemática- se basa crear o construir aparatos simbólicos analíticos. Establece procedimientos definitorios de homeomorfismos, aunque cómo Scholz nos señala, el propio Poincaré no es capaz de distinguir entre estructuras de topología diferencial y de topología general. De hecho aún no se ha establecido la 23

separación algebraica clara entre un grupoide –a lo que relaciona con su difeomorfismo u homeomorfismo entre variedades infinitamente diferenciablesy un grupo. Asumirá la primera definición-plano constructivo –que Poincaré reconoce como una condición- como la que partirán otros procedimientos diferentes. De hecho satisface esta condición básica mediante la construcción de un complejo geométrico poliédrico como representación de una variedad M aumentando la fuerza intuitiva del mismo. De hecho es constante en la labor de Poincaré el representar geométricamente las variedades espaciales; por esta tendencia va el procedimiento de triangulación de variedades, desde la base homotópica se establecen puentes homeomórficos que estructuran el espacio por medio de elementos geométricos simples interconectados de n-dimensiones. Nos encontramos con el primer indicio de la plena madurez de la topología en las ideas de Analysis Situs. Las construcciones geométricas no buscan abstraerse para alcanzar cotas epistémicas más amplias y generales como había sido el saso desde el desarrollo de la hipergeometría a partir de Sobre la hipótesis, una vez alcanzado tal punto de madurez se busca el camino inverso entendido como una cristalización geométrica de los ingredientes difusos obtenidos topológicamente. Uno de los hitos teóricos en esta corriente de la topología algebraica por el que Poincaré pasará a la historia será el más que famoso espacio dodecaedral de Poincaré, también conocido como esfera homológica. Este consiste esencialmente en una variedad conectada 3-esfera –con un número Betti mayor que cero- junto con un grupo fundamental finito denominado grupo icosaedral-dodecaedral binario. Téngase en cuenta que la dualidad poliédrica existente entre el icosaedro y el dodecaedro posee una cierta continuidad aun en ámbitos como la topología algebraica.

HOMOLOGIAS, GRUPOS Y NÚMERO DE BETTY No cabe ninguna duda que si Analysis Situs revoluciona la matemática espacial, una gran parte del mérito recae en la metodología proporcionada por Poincaré que nos permite acercarnos a las homologías. Esta idea da un vuelco por completo a los modos de relacionarse disciplinas como el álgebra, la topología y la geometría topológica de variedades; esta última sirve como material por el que se accede a la segunda. Recordemos que una homología es un procedimiento para incrustar un grupo –un algebra aplicada a un conjunto- a un objeto matemático, que en nuestro caso sería un espacio topológico; la esfera homológica es una instancia de este procedimiento. Esta idea supone la culminación de un proceso socioepistémico, que como correlato de la evolución

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de la geometría topológica vista en este trabajo, tiene su raíz en el estudio riemanniano de subvariedades orientadas. Riemann y Poincaré supone, más allá de las diferencias históricas entre ambos, poseían dos modos diferentes de proceder teóricamente. Mientras que el primero se guía por la solidez de sus aparatos conceptuales así como toma preferencia por la expresión verbal de estas –como comprobamos en Sobre la hipótesisprobablemente por los débiles mecanismos simbólicos; sin embargo posee una noción de variedad carente casi por completo de intuición alguna. El francés, por el contrario, utiliza un aparato simbólico potente para expresar sus ideas, pero con una fuerte intuición para representar lo que supone una variedad aunque con una idea vaga de que son realmente. Esto ocurre también en el desarrollo conceptual de las homologías, donde Poincaré mantiene la suposición de la equivalencia entre las variedades de misma dirección, lo que le hará recorrer senderos teóricos sin una dirección clara –como si la tenía el matemático alemánsolamente solubles mediante teorías posteriores. Este vagar sin rumbo no será ni mucho menos improductivo, sino que lo adentrará en las profundidades del fenómeno homológico. Por un lado, al crear un método para calcular números de Betty sobre variedades cerradas orientables –probado en Analysis Situs mediante un mecanismo de intersección topológicaeste llega a expresar una dualidad que llevará su nombre. Poincaré bautizará en este texto por primera vez a los “números de Betty” en honor al matemático italiano que vimos en el anterior apartado. La dualidad de Poincaré tendrá mayor claridad cuando se desarrolle la idea de cohomología en los años 30 del siglo siguiente –añadiendo constantes algebraicas de una forma más sofisticada que mediante la homología-; este expresa que el grupo cohomológico de una variedad M es isomórfico al grupo homológico de M. Por otro lado en continuidad con sus investigaciones sobre los números de Betty, Poincaré dará un vuelco al campo de la combinatoria poliédrica y la topología algebraica al generalizar el teorema o característica de Euler, al interpretar esta como un algebra homológica entre estructuras espaciales. Tal teorema fue altamente criticado por la comunidad matemática de su tiempo. El los sucesivos artículos sobre Analysis Situs11, Poincaré lo perfeccionará inclinándose por una comprensión combinatoria del teorema, interpretando una variedad M como complejos geométricos de celdas estructurados por medio de matrices: de ahí se desarrollará lo que se denominará “coeficiente de torsión”. Además señala la ambivalencia que en vocabulario actual podríamos señalar entre una homología de cuasigrupos –esto es, estructuras algebraicas que poseen la propiedad de la divisibilidad- y una homología de semigrupos –sin propiedad de divisibilidad-.

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Desde este punto, el francés podrá distinguir estructuralmente entre variedades con torsión o sin ella, a partir de la diagonalización de sus matrices compositivas. En la siguiente tabla vemos reflejada la relación entre la orientación, los números Betti y el coeficiente de torsión de algunas de las variedades más recurrentes: Números Betti b0

b1

b2

Coeficiente de torsión (1-dimensional)

Orientable

1

0

1

Ninguno

Toro

Orientable

1

2

1

Ninguno

Doble toro

Orientable

1

4

1

Ninguno

Toro de g huecos

Orientable

1

2g

1

Ninguno

Vaso de Klein

No orientable

1

1

0

2

Plano de Proyección

No orientable

1

0

0

2

Esfera con c capas

No orientable

1

c−1 0

2

Variedad

Orientación

Esfera

Simbolizado este nuevo marco, Poincaré dará cuenta de que la constantes homológicas de división de variedades en celdas de su nueva metodología equivale a las antiguas constantes de los números de Betti. Una vez más su trabajo logra no solo un gran avance en la teoría de homologías, sino una mayor sencillez y más facilidad de intuición a la hora de manejar estos conceptos algebraicos sobre las variedades. Tal y como se adelantaba en la introducción, la visión de la ciencia de Poincaré comprendía la ciencia no solo como un proceso para alcanzar fenómenos más complejos, sino principalmente para simplificar este acceso y habituarnos a ello. Esta es la utilidad de un aparato simbólico. Por ello el francés traerá viejos procedimientos, como es el caso de la triangulación, para darle un uso geométrico-topológico como nunca antes se había hecho; así como pone en contacto ámbitos de la matemática contemporánea que no tenían mucho interés dentro de este ámbito, como es el caso de las múltiples aplicaciones que se le da a la teoría de grupos. Tales soluciones fervientes de ingenio y originalidad posicionan a Poincaré en la frontera de una nueva concepción de la topología hacia horizontes más amplios de aplicación en variedades recién descubiertas y posibilitando el análisis de espacios de gran complejidad. ...

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Para dar por concluido este trabajo, lo más interesante sería ir más allá de la labor matemática que expresan los dos textos a los que nos hemos adentrado en profundidad para acercarnos al carácter de los dos autores. En Sobre la hipótesis que Subyace a las Bases de la Geometría, Riemann no solo pone la piedra angular para un lanzamiento de las teorías matemáticas del espacio desde las bases de una geometría moderna ya despegada de los preceptos euclídeos clásicos. En medio de un ambiente de agitaciones políticas en Europa y drásticos cambios en la forma de producción académica de conocimiento –liderados por las reformas universitarias alemanas-; la labor de Riemann encabeza no solo las líneas de la nueva geometría, sino que aglutina a la comunidad matemática alemana y después europea señalando con claridad las líneas de investigación que tienen que seguir en torno al concepto recién inaugurado de “variedad espacial”. Sin embargo a pesar de la corta vida de Riemann, este tendrá una fructífera producción científica levantándose como una de las figuras más destacadas de la ciencia de su tiempo; varias personalidades le sucederán, pero ninguna llegará a tener el carisma matemático de Bernhard. En el complejo proceso que se ha intentado seguir durante el tercer capítulo, el eje académico de la tras-geometría –entendida esta como las disciplinas de matemáticas espaciales que emergen entre la geometría topológica y la topología general de variedades- se traslada desde una Alemania en plena revolución nacionalista, hasta otros territorios europeos fundamentalmente hacia Francia, Italia y Reino Unido. Ya en los límites del S.XIX y tras un largo e intenso periodo de maduración de la geometría de variedades, en 1895 aparece un tratado que revolucionará la comunidad de matemáticos espaciales proyectada por las ideas riemannianas. Analysis Situs, del filósofo y matemático Henry Poincaré, iniciará una nueva etapa en la historia de la matemática espacial contemporánea planteando la disciplina topológica tal y como hoy en día la conocemos; tal nombre se refiere a la prototopología decimonónica, de la que el propio Riemann también escribirá un tratado homónimo. En una encrucijada de transformaciones radicales en todos los ámbitos científicos, Poincaré supone un alarde de creatividad finisecular para un gran número de problemas internos a dichos ámbitos; lejos de poseer una gran capacidad de proyección y liderazgo científico como Riemann, su fuerza epistemológica reside en conjeturar desde una rica intuición de la problemática de las variedades. Riemann y Poincaré: concisión conceptual y claridad aprehensiva contra intensidad intuitiva sin límites y creatividad individual; ambos se acercan cada uno en las antípodas del otro, al concepto de variedad que tanto hemos pretendido delimitar a partir de su creación en este trabajo. Tal y como concluye Scholz: “Although he [Poincaré] did note even attempt to give a formal analysis and unified delimitation of the concept, Poincare’s work was thus highly effective and gave a tremendous push towards a more refined understanding of the 27

general concept outlined by Riemann and so difficult to understand in the second half of the 19th century”.12

Referencias básicas POINCARÉ, H; Analysis Situs (1895) Journal de l'École Polytechnique. In Papers on Topology, Translated by John Stillwell, 2009. RIEMANN, B; On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry (1851) Translated by William Kingdon Clifford. SCHOLZ, E; The concept of Manifold, 1850-1950. In Chapter 2 of History of Topology, 1999.

Referencias complementarias AULL, C.E. and LOWEN, R. (1997), Handbook of the History of General Topology, Vol. 1, Kluwer, Dordrecht. BOLYAI, J. (1932) The Science of Absolute Space. Translated by Dr. George Bruce Halsted. BONOLA, R. (1955) Non-Euclidean geometry. Dover, New York. GRAY, J.J. (1986), Linear Differential Equations and Group Theory from Riemann to Poincare, Birkhauser, Basel. HIRSCH, M, (1997) Differential Topology. JOHNSON, D. (1979/1981) The problem of the invariance of dimension in the growth of modern topology, I, II, Archive for History of Exact Sciences 20 (1979), 97-188; 25 (1981), 85-167. LOVACHEVSKY, N. (1929) Geometrical Researches on the Theory of Parallels. Translated by Dr. George Bruce Halsted. PONT, J.-C. (1974), La Topologie Algebrique des Origines a Poincare, Presses Universitaires de France, Paris. ROSENFELD, B.A. (1988) A History of Non-Euclidean Geometry. Springer-verlag, New York. VANDEN EYDEN, R. (1992), Historical evolution of the concept of homotopic paths, Archive for History of Exact Sciences 29, 127-188.

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The Concept of Manifold, 1850-1950 en History of Topology (1999)

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