Teoría de pesos y funciones de oscilación media acotada

Pub . Mat . UAB Vol . 26 N° 1 Marg 1982 TEORIA DE PESOS Y FUNCIONES DE OSCILACION MEDIA ACOTADA José García-Cuerva Abengoza Universidad de Salamanca Rebut el 18 de Setembre de 1981

ABSTRACT : This is a survey about certain aspects of the theory of weights, namely :

the relation between A p weights and functions of bounded mean

oscillation, and also the central role played by the class A 1 . 1 .- La condición de Nelson-Sze o y las condiciones de Muckenhoupt La transformada de Hilbert Hf de una función f en la recta

satis-

face la desigualdad de M . Riesz ([151) jHf(x)jpdx < M R If(X)¡pdx (1) JI P IIR

si

1 0,

h, no negativa, acotada lejos de 0 y de - , tales que

w(x) = h(x) ((Mf)(x)) Y

Demostración .-

La clave está en lo que es quizá el resultado más profundo

de la teoría de pesos de Muckenhoupt : Todo peso

w

satisface una desigualdad de Hólder al revés, es decir, existen

E > 0 y C > 0 tales que para todo cubo Q

(20)

(-ñ-

1Q

W(X)1+Edx)

1+E

Si aplicamos este resultado a

< C ~

wE

_1 1+E < ( TQ'T fQ.(X)'+Edx) C mQ (w)

de donde M(w1+E)1/1+E < (const)w

h

=

w M(W

1+E)

1

,

1

w(x)dx .

A 1 tendremos

<

(const)w(x), x (=- Q

y así, si llamamos

tendremos

1±E

Q

const

0, a

+ g

Demostración .- Desde luego toda función de la forma expresada en (21) está en B .L .0 . Recíprocamente, si ~ E B .L .O . será ip = B 1og w con

B>0 y

da lejos de 0 y de

w E A 1 . Pero w(x) = h(x) (Mf(x)) Y O 0 y acota>O . Entonces

a 109(Mf) + g

g = logh .

h = a, y,

4 .- Representación de B .M .O . y factorización de pesos Vamos a ser capaces de obtener una representación analítica de B .M .O . del mismo tipo que la obtenida para B .L .O . Esta representación va a ser obtenida a partir de (21) mirando más finamente a la relación entre B .M .O . y B .L .O . El instrumento fundamental para este análisis va a ser el siguiente resultado de L . Carleson (ver f2]) . TEOREMA 5

Sea ~ una función de Lipschitz no negativa con soporte en la bola

unidad de IRn

y con

1

~ = 1 . Existen constantes C 1 y C 2 tales que si s(y) es

una función medible y b l y b 2 son funciones acotadas, entonces

(22)

f(x) = b l (x) +

n

JR

1 n e(y)

~( el Y) ) b2(y)dy

está en B .M .O . y 1If11* < C 1 (11b 1 11 .+ 11b 2 11J . Recíprocamente, si f está en B .M .O ., entonces f puede escribirse en la forma (22) con IIb 1 Il . + IIb 2 11 m < <

C 2 11fIL . Coh la ayuda de este teorema obtenemos el siguiente resultado de-

bido a Coifman y Rochberg ([41) . TEOREMA 6

Si f E B .M .O ., existen g, hE B .L .0 . tales que f = g-h .

Demostración .- Utilizando (22) y escribiendo b 2 como diferencia entre sus partes positivas y negativa, todo se reduce a ver que, con e y ~ como arriba y 0 < b(x) < k, la función

(23)

g(x) =

1 n E(y)

J IR

- )b(Y)dy

~( e

está en B .L .0 . Sea Q un cubo . Escribimos b = b 1 + b 2 con b 1 = b . XQ . Llamando gi

i= 1,2 a la función obtenida en (23) poniendo b i en lugar de b, tendremos

g = g1 + g2

mQ(g1)

<

J Q (J~n

J~n

T70

E(Y)n

E(Y)n

fln

YT )b 1 (Y)dY)dx ~( ffl X

)dx b1(Y)dY =

0(_

k JIRn b l (Y)dY <

- -- 3nk

Sean x,x' E Q . Entonces

Ig2(x)

-

92(x')1

Para y EIR n \ Q, Y,

= I J IRn\ Q

E(Y)n

w ~) - v~(é-))b2(Y)dY

Ix-y1 ~ Ix' -y1 , de forma que las condiciones

Ix'-y I aix-y1 para alguna constante geométrica a. de Lipschitz para ~ y d es el diametro de Q se tendrá 126

Ix-y1 < E(Y),

Si L es la constante

92(x) - 9 2 (x')1 `_ L

1

l

1 n

E(Y)

(R n \ Q) n {e(Y)

<

La - n-1kd

b2(Y)dy _<

aIx-Y1}

>

(const)k .

<

I x-YIn+1

e -x1l

-m

x-y 1 > cd

donde (const) depende sólo de ~ y de la dimensión . Combinando las dos estimaciones obtenemos m Q (9) - inn f g < m Q (g1) +

1

IQ

+ MQ

(g2) - innf g2 < (const) k +

(g2 - innf g 2 )dx < (const)k .

COROLARIO 1

Existe una constante C que depende sólo de la dimensión tal

que si a y B son constantes > 0, g y h son funciones localmente integrables O y b es una función acotada, entonces

>

(24) f(x) =

alog Mg(x) -

0log Mh(x) + b(x) está en B .M .O . con

jifIj* < C(a +B+ ¡Ib1jj Reciprocamente cualquier f E B .M .O . puede escribirse en la forma (24) con a +B+ Ilbil m < C Ilfl~ Es esta una curiosa caracterización de B .M .O ., consecuencia de todo lo que antecede . En cuanto a la estructura de los pesos tenemos este otro COROLARIO 2 w

1>

w

2

E

Si

w E

A p con 1< p<

A 1 tales que

m

,

existen números a, B >_ 0 y pesos

w(x) = (w1(x))a(w2(x))-R

(25)

Demostración .- w E A p => log w E B .M .O . - log w = g-h con g,h E B .L .0 . Pero entonces g = a log w l y h =slog w2 con

a,s > 0 y w l , w2 E A 1 . Así

-h = -S . w -_ e g w a. w 1 2 Sería interesante encontrar una demostración elemental del teorema 6, que no se base en el resultado profundo de Carleson . Respecto al corolario 2, Coifman y Rochberg apuntan en su trabajo [4] a y w1 , w

el interés que tiene precisar

B . Muckenhoupt conjeturó que pueden tomarse a = 1 y s = p-1 . Que para 2

E A

1

. w2 P E A p , es elemental : - _1 m Q ( .)(mQ (w

p-1 )) p-1 = (

ICIT

fQ

wl(x)(w2(x))1-pdx)(

-~

Q

_1 (w 1 (x))p -l w 2 (x)dx)P_1

(w2)) 1-pM Q (w 1 )(C 1 m Q (w l )) -1 m Q (w 2 ) p-1 = C2 -p C 1 1

El recíproco es un resultado profundo y difícil obtenido finalmente por P . Jones en [121 TEOREMA 7

(26)

(ver-también [131) .

w E A

P

(1 < p