El Teorema de Krein-Milman Alejandro S´anchez Peralta
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Dentro de la teor´ıa del an´ alisis funcional el Teorema de Krein-Milman nos permite relacionar a los conjuntos convexos compactos con el conjunto de sus puntos extremos en espacios vectoriales topol´ ogicos. En nuestro caso formulamos una versi´on del teorema en espacios vectoriales normados reales. Para establecer este resultado necesitamos las siguientes definiciones.
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Estableciendo el teorema
Definici´ on 1.1. Sea K un subconjunto de un espacio vectorial normado real X. Un conjunto no vac´ıo S ⊂ K es llamado conjunto extremos de K si ning´ un punto de S es un punto interno de un segmento de l´ınea cuyos puntos finales est´ an en K pero no en S. Esta condici´ on puede ser expresada de la siguiente manera: Si x, y ∈ K, 0 < t < 1, y tx + (1 − t)y ∈ S, entonces x, y ∈ S.
(1)
Definici´ on 1.2. Los puntos extremos de K son los conjuntos extremos que constan de un solo punto Recordemos adem´ as que si A ⊂ X, la envolvente convexa de A es la intersecci´on de todos los subconjuntos convexos que contienen a este A, i. e., es el conjunto m´as peque˜ no en X tal que contiene a A. Lema 1.1. Sea K un conjunto convexo compacto en X, y P la colecci´ on de todos los conjuntos extremos compactos de K. Entonces la intersecci´ on S de cualquier subcolecci´ on no vac´ıa de elementos de P pertenece a P, a menos de que S = ∅. Demostraci´ on. Como K es convexo compacto, K ∈ P, as´ı tenemos P 6= ∅. Sea S = ∩α∈I Pα , donde Pα ∈ P, para toda α ∈ I. Tomemos la sucesi´on (sn )n≥1 ∈ Pα , tal que sn → s. Dado que Pα es compacto, contiene a sus puntos de acumulaci´on, as´ı s ∈ Pα para toda α ∈ I. De aqu´ı se sigue que s ∈ S, es decir, S es cerrado. Dado que S ⊂ P, se sigue que S es compacto (por ser un subconjunto cerrado en un compacto). Para ver que en efecto S es un conjunto extremo y convexo. Tomemos x, y ∈ K,con 0 < t < 1. De esta manera tx + (1 − t)y ∈ S = ∩α∈I Pα ,
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y hay que probar que x, y ∈ S. Como Pα ∈ P, para toda α ∈ I, entonces tx + (1 − t)y ∈ Pα , ∀α ∈ I, los cuales son conjuntos convexos y compactos de K. Entonces se tiene que x, y ∈ Pα , ∀α ∈ I. Por lo tanto x, y ∈ ∩α∈I Pα = S. La convexidad se sigue f´acilmente del hecho que para toda α ∈ I, Pα es convexo. Lema 1.2. Sea K un conjunto convexo compacto en X, y P la colecci´ on de todos los ∗ conjuntos extremos compactos de K. Si S ∈ P, f ∈ X , µ es el m´ aximo de f sobre S, y Sf = {x ∈ S : f (x) = µ}, entonces Sα ∈ P. Demostraci´ on. Notemos primero que Sf = f −1 {µ}, donde {µ} es un conjunto cerrado. Como la imagen inversa de conjuntos cerrados es cerrada bajo funciones continuas se sigue que Sf es cerrado. Dado que S es compacto y Sf ⊂ S, tenemos que Sf tambi´en es compacto. Adem´as Sf 6= ∅ pues f es un funcional continuo sobre un conjunto compacto, es decir, alcanza su m´ aximo y su m´ınimo, por lo que µ es finito y as´ı Sf es no vac´ıo. Para ver que Sf es un conjunto extremo de K tomemos tx + (1 − t)y = z ∈ Sf , con x, y ∈ K, 0 < t < 1. Puesto que Sf ⊂ S, tenemos que z ∈ S conjunto extremo y por (1) x, y ∈ S. Entonces f (x) ≤ µ y f (y) ≤ µ. (2) Hay que probar que x, y ∈ Sf , es decir, f (x) = µ = f (y). Para esto consideramos µ = f (z) = f (tx + (1 − t)y) = tf (x) + (1 − t)f (y).
(3)
Para analizar esta u ´ltima ecuaci´ on tenemos que considerar dos casos. I) En vista de que t ∈ (0, 1), tenemos de la ecuaci´on (3) que µ ≤ f (x) + (1 − t)f (y) i) Si (1 − t)f (y) ≤ 0, entonces µ ≤ f (x). ii) Si (1 − t)f (y) > 0, entonces µ ≤ f (x) + (1 − t)f (y). Como t ∈ (0, 1), si t → 1, tenemos µ ≤ f (x) + , ∀ > 0. As´ı, llegamos a que µ ≤ f (x). Esto prueba que µ = f (x) II) Como t ∈ (0, 1), de la ecuaci´on (3) tenemos µ ≤ tf (x) + f (y). i) Si tf (x) ≤ 0, entonces µ ≤ f (y).
(4)
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ii) Si tf (y) > 0, haciendo tender t hacia 0 tenemos µ ≤ f (x) + , ∀ > 0, esto implica que µ ≤ f (y). De lo anterior se sigue que µ ≤ f (y) Por lo tanto µ = f (y.)
(5)
Las ecuaciones (4) y (5) demuestran que x, y ∈ Sf . Por lo que Sf es un conjunto extremo de K. Teorema 1.1 (Krein-Milman). Supongamos que X es un espacio vectorial normado real sobre el cual X ∗ separa puntos. Si K es un conjunto convexo compacto en X, entonces K = conv(extK), donde ext(K) es el conjunto de los puntos extremos de K. Demostraci´ on. Igual que antes sea P la colecci´on de todos los conjuntos extremos de K. Tomemos alg´ un S ⊂ P y sea P 0 la colecci´on de todos los elementos de P que son subconjuntos de S. Como S ⊂ P y S es subconjunto de si mismo, entonces P 0 6= ∅. Usando el orden inducido por la inclusi´on de conjuntos tenemos que P 0 es un conjunto parcialmente ordenado. Por el principio de maximalidad de Hausdorff, existe una subcolecci´ on Ω ⊂ P 0 que es totalmente ordenada y maximal. Sea M = ∩ω∈Ω ω, como Ω ⊂ P 0 , tenemos que para cualquier ω ∈ Ω, se satisface ω ∈ S y M ∈ S. Adem´as de que M 6= ∅, por ser la intersecci´ on finita de conjuntos compactos. Por el lema 1.1 tenemos que dado M ∈ S, S ⊂ P, entonces M ⊂ P y entonces M ∈ P 0 . Por otra parte, usando el lema 1.2 tenemos que si M ∈ P y f ∈ X ∗ , µ es el m´aximo de f ∈S y Mf = {x ∈ M : f (x) = µ}, (6) entonces Mf ∈ P. Si M tiene un subconjunto propio que pertenezca a P, se contradice la maximalidad de Ω, por lo tanto Mf = M y as´ı f es constante en M y f|M ≡ µ. Afirmamos que M tiene un u ´nico punto, i. e., M es un punto extremo de K. Pues si m1 , m2 ∈ M y m1 6= m2 , entonces existe f ∈ X ∗ con la propiedad de que f (m1 ) 6= f (m2 ), lo cual es una contradicci´ on, ya que para cualquier f se tiene que Mf est´a definido como en (6). Vamos a probar ahora que cualquier conjunto compacto extremo de K contiene un punto extremo de K. Sea H = conv(ext(K)) y S ∈ P, entonces S es compacto y extremo. Lo que debemos verificar es que H ∩ S 6= ∅. Sea tx + (1 − t)y = z ∈ H, 0 < t < 1 y x1 , x2 ∈ ext(K). Como S es conjunto extremo de K, entonces x1 , x2 ∈ S y dado que S es convexo, z ∈ S, de donde se sigue que H ∩ S 6= ∅.
(7)
1. Estableciendo el teorema
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Por hip´ otesis K es convexo y compacto, esto implica que H ⊂ K, pues contiene a los l´ımites de combinaciones convexas por se compacto. De esta manera H es cerrado en un compacto, por lo que H es compacto. Si H K, es decir, existe x0 ∈ K \ H de tal manera que {x0 } es compacto. As´ı, usando resultados de separaci´ on del tipo Hanh-Banach con H y {x0 }, tenemos que existe un funcional f tal que sup f (x) < f (x0 ) ≤ µ = m´ax f (x). x∈K
x∈H
Sea Kf = f −1 {µ} ∈ P, de esta manera H ∩ Kf = ∅. Esto pues H ⊂ H ⊂ f −1 {(−∞, µ)}. Sin embargo, con esto llegamos a que H ∩ fK = ∅, lo que contradice (7). Entonces no queda otra opci´ on m´ as que H = K, con lo que queda demostrado el teorema.
