solución de sistemas de ecuaciones no lineales por el método de Newton-Raphson
Descripción
ITERACION 3
24
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen.
Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1).
4
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
u(x, y)
v(x, y)
x
y
x1
y1
v(x, y1)
v(x1, y)
u(x, y1)
u(x1, y)
5
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen.
Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1).
Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1)
6
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
u(x, y)
v(x, y)
x
y
x1
y1
v(x, y1)
v(x1, y)
u(x, y1)
u(x1, y)
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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen.
Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1).
Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1)
El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una segunda aproximación (x2, y2) del punto de intersección de las dos funciones
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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
u(x, y)
v(x, y)
x
y
x1
y1
3
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen.
2
MÉTODOS NUMÉRICOS
Sistemas de ecuaciones no lineales por el método de newton raphson.
INTEGRANTES:NNNNKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
BAEZ JIMENEZ JOSE ARTURO
BELLO SANCHEZ ERICK
MARCIAL NOYOLA MIGUEL
1
ITERACION 3
28
ITERACION 2
27
Ejemplo 3:Calcule las raíces aproximadas con tres iteraciones
ITERACION 1
26
iteración
xi
Yi
ui
Vi
¶ui/¶x
¶ui/¶y
¶vi/¶x
¶vi/¶y
Jacobiano
1
1.4
1.4
.26
.36
2.8
-1
-1
2.8
6.84
2
1.2146
1.2409
.0343
.0252
2.4292
-1
-1
2.4818
5.0287
3
1.1927
1.2220
.0025
.0006
2.3854
-1
-1
2.4440
2.4289
4
1.1914
1.2212
-0.0017
-0.00007
29
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
u(x, y)
v(x, y)
x
y
x1
y1
x2
y2
9
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
u(x, y)
v(x, y)
x
y
x1
y1
x2
y2
11
Iteración 4
iteración
xi
yi
ui
vi
¶ui/¶x
¶ui/¶y
¶vi/¶x
¶vi/¶y
Jacobiano
1
2
3.5
0,25
-0,25
-4
-7
4
1
24
2
2,0625
3,5
--0,5039
--0,0039
-4,125
-7
3,875
1
23
3
2,0856
3,4144
-0,0079
-0,0079
-4,1712
-6,8288
3,8288
1,1712
21,2608
4
2,08857
3,4114
0,0002
0,0000
25
ITERACION 3
20
ITERACION 4
iteración
xi
yi
ui
vi
¶ui/¶x
¶ui/¶y
¶vi/¶x
¶vi/¶y
Jacobiano
1
1.5
3.5
-2.5
1.625
6.5
1.5
36.75
32.5
156.125
2
2.0360
2.8438
-0.0647
-4.7596
6.9158
2.0360
24.2616
35.7399
197.77
3
1.9987
3.0023
x2 + xy - 10 = 0
y + 3xy2 - 57 = 0
xi = 1.9987
yi = 3.0023
Tabla iteración 2
19
Ejemplo 2:Calcule las raíces de
ITERACION 1
22
Tabla de iteraciones y gráfica de la solucion
iteración
xi
yi
ui
vi
¶ui/¶x
¶ui/¶y
¶vi/¶x
¶vi/¶y
Jacobiano
1
1.5
3.5
-2.5
1.625
6.5
1.5
36.75
32.5
156.125
2
2.0360
2.8438
-0.0647
-4.7596
6.9158
2.0360
24.2616
35.7399
197.77
3
1.9987
3.0023
-0.0045
0.0499
6.9997
1.9987
27.0414
37.0042
204.9707
4
2.0000
3.0000
0
0
x2 + xy - 10 = 0
y + 3xy2 - 57 = 0
El proceso se para debido a que los valores de ui y de vi son cero, lo cual indica que se ha llegado a la raíz.
21
ITERACION 2
23
ITERACION 2
18
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Consiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximación del punto de intersección de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que éstas se anulen.
Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1).
Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1)
El punto de intersección de estas dos tangentes constituye una segunda aproximación (x2, y2) del punto de intersección de las dos funciones
El proceso se repite n veces hasta que las coordenadas del punto de intersección (xn, yn) coincida prácticamente con el valor exacto de la intersección entre las dos curvas.
10
Ejemplo 1:Calcule las raíces con xi=1.5,yi=3.5
ITERACION 1
16
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender el uso de la derivada, ahora para calcular la intersección entre dos funciones no lineales.
Al igual que para una sola ecuación, el cálculo se basa en la expansión de la serie de Taylor de primer orden, ahora de múltiples variables, para considerar la contribución de más de una variable independiente en la determinación de la raíz.
Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se escribe, para cada ecuación no lineal:
12
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Pero ui+1 = vi+1 = 0 :
Que reescribiendo en el orden conveniente:
13
Solucion del sistema por determinantes
14
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
La solución del sistema es:
Donde J es el determinante jacobiano del sistema
15
iteración
xi
yi
ui
vi
¶ui/¶x
¶ui/¶y
¶vi/¶x
¶vi/¶y
Jacobiano
1
1.5
3.5
-2.5
1.625
6.5
1.5
36.75
32.5
156.125
2
2.0360
2.8438
x2 + xy - 10 = 0
y + 3xy2 - 57 = 0
xi = 2.0360
yi = 2.8438
Tabla iteración 1
17
Haga clic para modificar el estilo de título del patrón
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón
Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
Nº
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
Nº
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Nº
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
Nº
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
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Nº
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Nº
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
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Cuarto nivel
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Cuarto nivel
Quinto nivel
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Tercer nivel
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7
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Nº
1
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4/29/2014
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