Solución de Ecuacion Diferencial Lineal de primer 1er orden

Pasos para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Elaboró: Azahel Hernández Navarrete. Ingeniería Financiera. UPQROO. Junio 25, 2015. 201100050

Proceso de solución. 0. Definir la Ecuación Diferencial (ED). 1. Configurar ED en forma general ([𝑦´(𝑥)][𝑎(𝑥)] = 𝑏(𝑥)). a. Dejar 𝑦’ sola al dividir toda la ecuación entre un factor común. b. Identificar el valor de 𝑎(𝑥). 2. Integrar el valor 𝑎(𝑥). 3. Multiplicar la ED en su forma general, por un factor integrante (𝑒 𝑎(𝑥) ) a. Sustituir el resultado de la integral de a(x) en el factor integrante. b. Expresar producto de la ED con el factor integrante. c. Multiplicar la ED con el nuevo valor del factor integrante. 4. Simplificar la ED, en una derivada. 𝑑𝑦 𝑑𝑥

a. Reflejar la derivada ( ) de (𝑢(𝑣)), donde: i. 𝑢 = 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑎 𝑦’, y ii. 𝑣 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑎 𝑎(𝑥). iii. Expresar resumen de la simplificación. 𝑑𝑦

b. Expresar la derivada (𝑑𝑥) resultante de la transformación de la ED. 𝑑𝑦 𝑑𝑥

5. Integrar la nueva ( ) de la ED. 6. Expresar solución obtenida.

Ejemplo de solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden. Proceso de solución. 0. Definición de la Ecuación Diferencial (ED)

𝑑𝑦 𝑥 − 4𝑦 = 𝑥 6 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 1. Configurar ED en forma general ([𝑦´(𝑥)][𝑎(𝑥)] = 𝑏(𝑥)). a. Dejar 𝑦’ sola al dividir toda la ecuación entre un factor común.

Factor común de la ED, en este caso es 𝑥 𝑥

𝑑𝑦 6𝑒 𝑥 4𝑦 𝑥 𝑑𝑥 − = 𝑥 𝑥 𝑥

Se separará 𝑦 de su multiplicador En la función

𝑥6𝑒 𝑥 , 𝑥

se aplicará su

simplificación. 𝑑𝑦 4 1 ( ) − 𝑦 = 𝑥 6−1 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 4 ( ) − 𝑦 = 𝑥5𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑥

4 ( ). 𝑥

b. Identificar el valor de 𝑎(𝑥), 𝑦(𝑥) 𝑦 𝑏(𝑥).

4 𝑎(𝑥) = − 𝑥 𝑦(𝑥) = 𝑦 𝑏(𝑥) = 𝑥 5 𝑒 𝑥 2. Integrar el valor 𝑎(𝑥).

−4 𝑎(𝑥) = ∫ 𝑑𝑥 𝑥 En la integral

−4 ∫ 𝑥 𝑑𝑥,

se aplicará la regla

de separación de constante. 1𝑑𝑥 𝑎(𝑥) = −4 ∫ 𝑥 En la integral

1𝑑𝑥 −4 ∫ , 𝑥

se aplicará la regla

de la integral de una variable 𝑥. 𝑎(𝑥) = −4(ln|𝑥|)

𝑎(𝑥) = −4 ln|𝑥| 3. Multiplicar la ED en su forma general, por un factor integrante (𝑒 𝑎(𝑥) )

𝑑𝑦 4 (( ) − 𝑦 = 𝑥 5 𝑒 𝑥 ) 𝑒 𝑎(𝑥) 𝑑𝑥 𝑥 a. Sustituir el resultado de la integral de a(x) en el factor integrante.

𝑒 𝑎(𝑥) = 𝑒 −4 ln|𝑥| En la función 𝑒 −4 ln|𝑥| , la operación de éstos implica un producto de exponentes (𝑒

(ln|𝑥|) −4

) . 𝑒 𝑎 (𝑥 )

En la función (𝑒

= (𝑒

(ln|𝑥|) −4

)

(ln|𝑥|) −4

) , la operación de

éstos implica una eliminación de 𝑒 y 𝑙𝑛, dejando libre a (𝑥)−4 . 𝑒 𝑎 (𝑥 )

= (𝑒

(ln|𝑥|) −4

)

𝑒 𝑎(𝑥) = (𝑥)−4 𝑒 𝑎(𝑥) = 𝑥 −4 b. Expresar producto de la ED con el factor integrante.

𝑑𝑦 4 (( ) − 𝑦 = 𝑥 5 𝑒 𝑥 ) (𝑥 −4 ) 𝑑𝑥 𝑥 c. Multiplicar la ED con el nuevo valor del factor integrante.

𝑑𝑦 4 −4 ( ) (𝑥 ) − 𝑦(𝑥 −4 ) = (𝑥 5 𝑒 𝑥 )𝑥 −4 𝑑𝑥 𝑥 Se acomodan los productos resultantes. En la función (𝑥 5 𝑒 𝑥 )𝑥 −4 , se aplica la regla de multiplicación de variables con exponentes (𝑥 5−4 𝑒 𝑥 ). En la función

−4 𝑦(𝑥 −4 ), 𝑥

se aplica la división

de variables con exponentes

−4 𝑥 1+(4)

.

𝑥 −4

𝑑𝑦 4 ( ) − 1+4 𝑦 = (𝑥 5−4 𝑒 𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑥

𝑥 −4

𝑑𝑦 4 ( ) − 5 𝑦 = (𝑥 1 𝑒 𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑥

4. Simplificar la ED, en una derivada. 𝑑𝑦 𝑑𝑥

a. Reflejar la derivada ( ) de (𝑢(𝑣)), donde:

𝑑𝑦 (𝑢𝑣 ) = 𝑢𝑣 ′ − 𝑢′ 𝑣 𝑑𝑥 i. 𝑢 = 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑎 𝑦’,

𝑢 = 𝑥 −4 Se aplica derivada

𝑑𝑦 𝑑𝑥

a la función 𝑥 −4 .

𝑑𝑦 −4 (𝑥 ) 𝑢 = 𝑑𝑥 ′

𝑢′ = −4(𝑥 −4−1 ) 𝑢′ = −4𝑥 −5 En la función 𝑥 −5 , se organizan los elementos. −4 𝑢 = 5 𝑥 ′

ii. 𝑣 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑎 𝑎(𝑥).

𝑣=𝑦 La

𝑑𝑦 𝑑𝑥

de una variable 𝑦, con respecto de 𝑦, es 𝑦’. 𝑑𝑦 𝑣 = 𝑦 𝑑𝑥 ′

𝑣 ′ = 𝑦′ iii. Expresar resumen de la simplificación.

𝑑𝑦 (𝑢𝑣 ) = 𝑢𝑣 ′ − 𝑢′ 𝑣 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑥 −4

𝑣=𝑦

𝑢’ =

−4 𝑥5

𝑣’ =

𝑑𝑦 𝑜 𝑦′ 𝑑𝑥

𝑑𝑦 (𝑢𝑣 ) = 𝑢𝑣 ′ − 𝑢′ 𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑦 −4 (𝑢𝑣 ) = 𝑥 −4 𝑦 ′ − 5 𝑦 𝑑𝑥 𝑥 Se compara la ecuación resultante de una derivada de productos, con la ED en su forma general.

𝑥

−4

𝑑𝑦 4 ( ) − 5 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑥

𝑑𝑦

b. Expresar la derivada (𝑑𝑥) resultante de la transformación de la ED.

𝑑𝑦 (𝑢𝑣 ) = 𝑒 𝑎(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 −4 (𝑥 𝑦) = 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦

5. Integrar la nueva (𝑑𝑥) de la ED.

𝑑𝑦 −4 ∫ (𝑥 𝑦) = ∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 En la integral ∫

𝑑𝑦 𝑑𝑥

(𝑥 −4 𝑦), se aplicará el producto de

una integral por una derivada (∫∗

𝑑𝑦 𝑑𝑥

), lo que

implica una anulación de ambas operaciones. En la integral ∫ 𝑥𝑒 𝑥 , se aplicará la regla ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢, donde 𝑢 = 𝑥 y 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥 . ∫

𝑑𝑦 −4 (𝑥 𝑦) = ∫ 𝑢𝑑𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑥 −4 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

En la integral ∫ 𝑣𝑑𝑢, la variable 𝑣 resultará de la integral de 𝑑𝑣, que es igual a 𝑒 𝑥 . Es decir si 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥 , entonces la ∫ 𝑑𝑣 es 𝑣, por tanto si ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 , entonces ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 . 𝑥 −4 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑢 𝑥 −4 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 ∫ 𝑑𝑢 En la integral ∫ 𝑑𝑢, 𝑑𝑢 es lo mismo que 𝑢′ , por lo que la derivada de 𝑢, expresado como

𝑑 𝑑𝑥

(𝑢), es

igual a 𝑑𝑢 o 𝑢’. Por tanto si 𝑢 = 𝑥, entonces 𝑢’ = 𝑑𝑥. La integral de 𝑑𝑥 es igual a una constante +𝑐, por tanto la ∫ 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥 = +𝑐. 𝑥 −4 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝑐 6. Expresar solución obtenida.

𝑥 −4 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝑐