Sobre las consecuencias de considerar a la circunferencia como un polígono regular
Descripción
SOBRE LAS CONSECUENCIAS DE CONSIDERAR A LA CIRCUNFERENCIA COMO UN POLÍGONO REGULAR de Alfredo Salvador Consuelo García · En la figura se muestra el esquema de un polígono de
n
lados, de longitud
L
cada uno, es
decir, es un polígono regular. Es posible dividir el polígono en n triángulos isósceles, y todos ellos tendrán un vértice común, el centro del polígono. La altura de cualquiera de los triángulos es el apotema de longitud a , y existe un ángulo formado tras dividir en n partes iguales el ángulo de
360° – 2 ·
radianes– en el centro del polígono.
φ
a
α
L/2
L/2
α
Esquema de un polígono regular de
n lados.
Aparte se deduce 1.
2 ·=180° , porque la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180° .
2.
=90°−
, el valor del ángulo . 2 sen
2
3.
sen = a
4.
sen 1 a= · L · 2 sen 2
5.
1 a= · L · 2
, ley de senos para los medios triángulos, separados por el apotema.
1 ·L 2
, la longitud del apotema.
sen 90°−
sen 2
2
, considerando el valor del ángulo
1
(mencionado en 2).
Sabiéndose que el perímetro de un polígono regular se calcula simbolizada
6.
2 ·n – entre éste y el apotema está dada por
2 ·n=
n·L , que a partir de la longitud del apotema (mencionado en 5) implica a
n · sen 7.
n=
n=
2
sen 90°−
n · sen 8.
n · L , la relación –en adelante
2
180° n
=
, sustituyendo valores como corresponda. Pero
180° sen 90°− n
n = sen − 2 n
360° ; luego n
n · sen
, o bien, en radianes,
n
.
Con la expresión obtenida es posible calcular el perímetro de un polígono regular únicamente
2 ·n ·a . Por ejemplo, para el cuadrado la longitud del apotema es igual a la mitad de uno de sus lados, es decir, a=L/2 y de 2 ·4=8 siendo, por supuesto, n=4 . Entonces el acuerdo con la expresión obtenida, perímetro de un cuadrado se calcula 2 ·4 · L /2=4 · L , quedando coherente con lo que es conociendo la longitud del apotema y efectuando el producto
sabido. A medida que el polígono tenga un mayor número de lados, tendrá mayor similitud con una circunferencia. Este hecho puede calcularse de la siguiente forma:
9.
lím lím n · sen n =1 1 →0 n →0 sen − n n 2 n
. Siendo
10.
lím n · sen 1 →0 n lím n = 1 →0 n lím n sen − 1 →0 2 n n
, porque el límite de cociente es el cociente de límites
n cada vez mayor,
1 n
es próximo a
0 .
[Véase Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013] De acuerdo con la serie de McLaurin correspondiente a la función seno [El teorema de Taylor, 28 de Marzo de 2015], se tiene 2
11.
sen
lím p =1 ∑ n → 0 i=0 p
2·i1
n
i −1 ·
, o bien,
2 · i1 ! 2·i1
13.
14.
lím lím lím p n · sen =1 1 1 ∑ n →0 → 0 →0 i =0 n n p
lím lím p n · sen = 1 1 ∑ →0 n →0 i =1 n p
2·i1
n 2 · i1 !
2·i
1 · p −1 · lím n 12. n · sen =1 ∑ n →0 i =0 2 · i1 ! p i
lím p sen =1 ∑ n → 0 i=0 p
i −1 ·2· i1 · 1
, queda multiplicando por
2·i
i −1 · 2·i1 · 1
n .
n
, representando el cálculo dado.
2 · i1 ! 2·i
lím 1 i −1 · 2·i1 · 1 →0 n n
,
2 · i1 !
separando sumandos y por los correspondientes teoremas de límites (sobre el límite de una constante, el límite de un límite y el límite de un producto). [Para el límite de un límite véase el teorema 3, en La derivada de la función exponencial del límite «e», 27 de Noviembre de 2014]
Pero
15.
lím 1 =0 –lo mismo que 1 →0 n n
lím x=0 –, por ello x →0
lím n · sen = se deduce. Cabe mencionarse que por los mismos argumentos 1 →0 n n
lím k n · sen =k 1 →0 n n
resulta válido, siendo límite obtenido,
k
una constante cualquiera. Retomando en 10, sustituyendo el
3
16.
lím n= 1 →0 lím n sen − 1 2 n →0 n
17. Se mencionó en 14 que
queda.
lím 1 =0 . Con los correspondientes teoremas de límites, 1 →0 n n
lím lím 1 sen − =sen −· 1 1 →0 2 n 2 →0 n n n
=1 , se tiene Porque sen 2
, y queda
lím sen − =sen 1 →0 2 n 2 n
.
lím = . 1 →0 n n
Resumiendo, se ha deducido que la relación entre el perímetro de una circunferencia y el apotema de la misma –el radio– es igual a , asumiendo que la circunferencia sea un polígono con una cantidad de lados cada vez mayor. Entonces, esto último resulta coherente como hecho, tal y como se manifestó anteriormente. Este cálculo, no obstante su exactitud, no permite conocer de manera inmediata el valor de Sin embargo, tal y como pudo conocerse que es, para
4
bastó con sustituir
.
4 , es posible aproximarse al número en cuestión. Lo n=4
en la expresión mencionada en 8; entonces para
calcular bastaría con sustituir n por una cantidad de lados considerablemente grande, según debería ser para una circunferencia. Si se intenta, por ejemplo,
n=1×1011 , queda
en cuenta, además, que es
1/n=1×10−11 , un valor muy próximo a cero –como se indica con el
1×10 =3.14159265358979... , teniendo 11
límite cuando 1/n →0 . Otros métodos de cálculo –el método de Newton–Raphson, por mencionar uno [El método de Newton-Raphson, 6 de Febrero de 2015]– confirman la cifras decimales expuestas. ∎ 1 de Enero de 2016
4
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