SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

REALIZADO POR: FECHA:

Aguirre Rosales Kevin Andrés

2 de agosto del 2014

COLSULTA: CASO II: VALORES PROPIOS REPETIDOS

En general, si m es un entero positivo y (λ − λ1 )m es un factor de la ecuación característica, entonces se dice que λ1 es un valor propio de multiplicidad m. i) Para algunas matrices A de orden n × n sería posible encontrar m vectores propios linealmente independientes K1 , K2 , ..., Km , correspondientes a un valor propio λ1 , de multiplicidad m ≤ n. En este cado la solución general del sistema contiene la combinación lineal.

c1 K1 eλ1 t + c2 K2 eλ1 t + ... + cm Km eλ1 t

ii) Si sólo hay un vector propio que corresponde al valor propio λ1 de multiplicidad m, entonces siempre se puede encontrar m soluciones lineaalmente independientes de la forma. X1 = K11 eλ1 t X2 = K21 teλ1 t + K22 eλ1 t . . .

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m−1

m−2

t t Xm = Km1 (m−1)! eλ1 t + Km2 (m−2)! eλ1 t + ... + Kmm eλ1 t

Así tenemos, que suponiendo que λ1 es un valor propio de multiplicidad dos y que sólo hay un vector propio asociado con este valor. Se puede encontrar una solución de la forma: X2 = Kteλ1 t + P eλ1 t     k1 p1  k2   p2     ,donde P =   ... y K =  ... . kn pn

y con el siguiente sistema es como podemos encontrar la solucion X2 . (A − λ1 I)K = 0 (A − λ1 I)P = K

donde K es un vector característico de A asociado a λ1 .

CASO III: VALORES PROPIOS COMPLEJOS

Si λ1 = α + βi y λ2 = α + βi, son valores propios complejos de la matriz coecientes A, entonces se puede esperar de hecho que sis vectores propios correspondientes tambien tengan entradas complejas. Sea A una matriz de coecientes que tienen entradas reales del sistema homogéneo y sea K1 un vector propio correspondiente al valor propio complejo λ1 = α + βi. Entonces: TEOREMA:

¯ K1 eλ1 t y K¯1 eλ1 t son soluciones.

Además se puede reescribir la solución en términos de funciones reales, esto se logra utilizando la fórmula de Euler.

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