Simulación del Proceso de Ultrafiltración de Zumos de Fruta

SIMULACIÓN DEL PROCESO DE ULTRAFILTRACIÓN DE ZUMOS DE FRUTA.

Lozano, J. E.; Pelegrina; A.H. y Constenla, D. T.

PLAPIQUI (UNS -CONICET) 12 de Octubre 1842 (8000) Bahía Blanca - ARGENTINA
TEL: 54(91) 882541 FAX: 54 (91) 883764 e-mail: [email protected]

RESUMEN
Se construyó un simulador del proceso de ultrafiltración en los modos
de operación discontinuo y semicontinuo, a través de un programa de cálculo
basado en el balance de masa del proceso y de una ecuación semiempírica que
establece una relación lineal entre el flujo de permeado y el logaritmo de
la concentración.

INTRODUCCIÓN
Técnicamente hablando, la ultrafiltración es un proceso de filtración
con membrana, cuya fuerza impulsora es la diferencia de presión, usado
para la separación y/o concentración de partículas disueltas o suspendidas.
Junto con la ósmosis inversa, constituyen los primeros procesos continuos
de separación de moléculas que no involucran un cambio de fase.
Funcionalmente la ultrafiltración se asemeja a la filtración tradicional,
la diferencia mayor es la escala de la separación; pero esto es sólo
superficial, en la filtración el medio filtrante separa dos fases, y los
productos son un sólido o semisólido y un líquido. En la ultrafiltración la
membrana funciona como una barrera para solutos macromoleculares sin
impedir el paso del solvente y solutos de bajo peso molecular y los
productos son dos fases líquidas, una rica en macromoléculas, que es el
concentrado o retenido y otra rica en solvente, denominada permeado
(Cheryan, 1986).,

La ventaja principal de la ultrafiltración comparada con la
filtración convencional es que debido a la configuración de flujo cruzado
(Fig.1), se controla la acumulación de soluto sobre la membrana. La
eficiencia de la ultrafiltración depende de la velocidad de pasaje del
solvente a través de la membrana, cualquier acumulación de moléculas
retenidas sobre la misma (fenómeno conocido como polarización de la
concentración) reduce la velocidad efectiva de filtrado. Este fenómeno se
puede controlar a través del caudal de recirculación, permitiendo que el
proceso sea continuo. Existen muchas tecnologías para efectuar separaciones
y cada una se aplica de acuerdo a la naturaleza de las partículas que se
desean separar.


Fig.1: Esquema de la membrana de ultrafiltración
Hay tres clases de procesos en los cuales el medio filtrante es una
membrana y se diferencian por el tamaño de partículas que separan. La
microfiltración es la remoción de partículas micrométricas o
submicrométricas de una solución, generalmente recuperando el 100 % del
material. La ultrafiltración puede separar partículas entre 10 y 106 Å.
Dentro de este rango se encuentran las proteínas, pectinas, almidones,
bacterias, virus, sólidos coloidales, pigmentos, etc. Y por último la
ósmosis inversa que, separa partículas de diámetro comprendido entre 2 y 10
Å (lo que incluye sales, etc.).

Modos de operación.
Los modos de operación factibles en el equipo de
ultrafiltración (UF) disponible en el laboratorio son dos: batch o
discontinuo y semibatch o semicontinuo (Fig.2 a y b). El modo discontinuo
es el sistema actualmente más aplicado. La corriente alimentación de
volumen inicial Vo se bombea en forma continua a través de un cartucho de
UF donde se produce el permeado. El sistema opera hasta que el volumen de
jugo en el tanque alcanza a el volumen final Vf. El volumen de jugo
permeado se designa como Vp..




Fig.2: Modos de operación. (a) discontinuo, (b) semicontinuo.

En el sistema operado en forma semicontinua, a medida que el permeado
es recogido, un caudal de jugo fresco, igual al caudal de permeado, es
agregado al tanque de alimentación, por lo que el volumen inicial de jugo
permanece constante.

Variables principales del proceso.
Como se explicó anteriormente, la ultrafiltración es un proceso donde
el solvente y otras especies de bajo peso molecular pasan a través de la
membrana y dependiendo de su selectividad, las especies de elevado peso
molecular son retenidas. La fuerza impulsora del proceso es la diferencia
de presión transmembrana ((PTM) que se define como la semisuma de las
presiones de entrada (Po) y salida (Pi) del cartucho menos la presión
externa (Pext).



(1)
El material que atraviesa la membrana se denomina "permeado" y la
velocidad a la cual fluye a través de la misma es el flujo de permeado (J)
medido en unidades de velocidad por área de membrana. El caudal de jugo
"retenido", que circula dentro del equipo se denomina caudal de
recirculación (Qr).

Otra variable que afecta la operación es la temperatura (T) de la
corriente de alimentación. También es importante el tipo de membrana que se
ha seleccionado para efectuar la separación y su poder de corte (PC) o peso
molecular (MWCO) que determinará el tamaño de las moléculas retenidas.

La operación comienza con un volumen inicial de jugo (V0), a medida
que el proceso se lleva a cabo y el permeado es recolectado, el jugo
retenido se va concentrando en especies macromoleculares. El sistema opera
hasta un volumen final de jugo Vf. Recordando que el volumen de permeado
para densidad constante resulta:

(2)

La concentración se mide a través de la relación de concentración
volumétrica (VCR) cuya definición depende del modo de operación usado:

(3)


(4)

El tiempo de operación se representa a través de la variable t.

BASE TEORICA DEL PROGRAMA
Modo de operación discontinuo.
El flujo de permeado se puede escribir como el diferencial del
volumen de permeado en el tiempo dividido por el área de transferencia de
masa (S), del balance de masa global del sistema, considerando que las
densidades de las corrientes son similares se obtiene que , entonces:


(5)

donde Vp es el volumen de permeado a tiempo t. Por otro lado, algunos
autores (Heatherbell y col., 1977; Kirk y col., 1983) encontraron que el
flujo instantáneo de permeado, sigue la siguiente ecuación semiempírica,
para presiones trans-membrana constantes:

J = Jo - ln (VCR) (6)
que en base a la Ec. (5) se puede volver a escribir de la siguiente forma:

(7)

donde Jo es el flujo inicial de permeado y B una constante característica
del sistema. Adimensionalizando el volumen y tomando V* = Vf / Vo resulta:

(8)

Integrando esta ecuación por partes y tomando como límites de
integración que para t = 0, V* = 1 se llega al siguiente resultado
(Constenla y Lozano, 1996):

(9)
donde:

(10)
y
(11)

Modo de operación semicontinuo.
En este caso la relación de concentración volumétrica está definida
por la Ec.(4) o su equivalente:

(12)

La Ec.(8) ahora se puede escribir de la siguiente forma:

(13)

adimencionalizando el volumen V'*= Vp/Vo, e introduciendo las constantes K'
y c' mencionadas en el párrafo anterior obtenemos la siguiente
ecuación diferencial:

(14)

(15)

cuya solución, tomando como condición inicial que V'* = 0 para t = 0 es:

(16)

J0 y B en función de las variables operacionales.
A partir de las experiencias que se realizaron en el equipo
de ultrafiltración a 50.°C, variando el caudal de recirculación (Qr) entre
10. y 20. L/min, la diferencia de presión transmembrana (PTM) entre 0.75
y 1.20 kg/cm2, el poder de corte de las fibras (PC) entre 30000. y 100000.
Ds; el volumen inicial de jugo a ultrafiltrar (Vo) entre 30.0 y 210. L, y
de los parámetros Jo y B obtenidos para cada conjunto de condiciones
operativas, se propuso un modelo lineal multiparamétrico de Jo y B en
función de todas las variables operativas. A través del análisis
estadístico (BMDP, 1983) y utilizando el método de retroceso (bakcward) con
tc = 1 se encontraron las siguientes expresiones de dichos parámetros en
L/h m2 :

Jo = 28.319 + 0.385 Qr
(17)

B = 8.388 - 0.206 Qr
(18)

También se encontró una ecuación para la concentración (VCRh) a
partir de la cuál se cumple la relación lineal expresada por la Ec.(6) :

VCRh = 1.406 - 0.0089 V0 + 2.464 10-5 PC
(19)

Como se observa en las Ecs.(17) y (18), el poder de corte de
las fibras (PC), el volumen inicial (Vo) y la diferencia de presión
transmembrana (PTM) no son variables que afecten significativamente las
variables Jo y B, éstas sólo dependen del caudal de recirculación Qr,
recordando que se trabaja en la región donde existe control por
transferencia de masa.

Otra variable de importancia en el proceso de ultrafiltración es la
concentración máxima teórica (VCRmax), este valor se alcanza cuando el
flujo de permeado se hace cero. Relacionado con VCRmax está el flujo de
permeado máximo (Vpmax) que depende del modo de operación seleccionado.
Estas variables se pueden representar a través de las siguientes
ecuaciones:

VCRmax = exp(J0/B)
(20)

Vpmax(batch)= (VCRmax -1) V0/VCRmax
(21)

Vpmax(semibatch) = (VCRmax -1) V0
(22)

Hay que aclarar que en la práctica la concentración máxima
experimental está determinada por limitaciones físicas como taponamiento de
prefiltros y membranas, y es VCRmax 14.

En definitiva, se simuló el proceso de ultrafiltración en dos
configuraciones de operación, discontinuo y semicontinuo, utilizando la
ecuación semiempírica que relaciona el flujo de permeado con el logaritmo
de la concentración. Los parámetros Jo y B de dicha ecuación se deben
correlacionar en función de las variables operativas del sistema. Se
encontró que para la zona comprendida entre VCR 1 2 no ajusta bien los
datos experimentales debido a que la ecuación que se utilizó para simular
el proceso de ultrafiltración en esa región subestima los valores
experimentales.

Para el modo discontinuo el volumen permeado que se obtiene a un dado
tiempo, prácticamente no depende del volumen inicial de jugo a procesar, no
ocurre lo mismo para el modo semicontinuo. El caudal de recirculación es
la variable fundamental a tener en cuenta para la perfomance de la
operación.


OPTIMIZACIÓN DE LOS PARÁMETROS OPERACIONALES.

Planteo del problema de optimización.
Se realizó la optimización de los parámetros operacionales del
proceso de clarificación de jugo de manzana, en las dos configuraciones
técnicamente posibles. Para esto se utilizó el programa de optimización
GAMS que es capaz encontrar el óptimo de un problema representado por un
conjunto de ecuaciones lineales y no lineales, con restricciones de
igualdad y desigualdad.

Especificaciones del equipo experimental.
Los datos sobre especificaciones de los cartuchos de ultrafiltración
utilizados en esta sección son los siguientes:
Radio interior de las fibras rf = 0.055 cm
Longitud de las fibras Lf = 60.00 cm
Número de fibras por cartucho nf = 235
área total de filtrado S = 0.45 m2 .
Radio efectivo de las fibras Ref = 0.04574 cm

La longitud efectiva (Lef) depende del caudal de recirculación y de
las propiedades del fluido recirculante:

(23)
donde Qr es el caudal de recirculación en L/min, y la densidad y
viscosidad del fluido recirculante en (g/cm3) y en (mPa.seg)
respectivamente.

Límites operativos en las variables del proceso.
Presión: Las fibras de UF soportan una presión manométrica máxima de
2.0 kg/cm2 para una temperatura de operación de 50.°C. Esto fija el límite
superior de la presión de entrada al cartucho.
VCR: La relación de concentración volumétrica no debe superar un
valor de VCR = 14.0 porque se producen trastornos operacionales como
taponamiento de filtros y fibras.
Volumen inicial: El máximo volumen de jugo a procesar está
determinado por la capacidad del tanque de alimentación en modo discontinuo
y es de 300. litros. En modo semicontinuo Vo es el volumen muerto del
equipo más el tanque pulmón y se ingresa como parámetro fijo y no como
variable.

Volumen final: Vf = Vo - Vp. En modo de operación discontinuo está
determinado por el volumen muerto del equipo y es de 5. litros.
Caudal: El caudal máximo de recirculación para mantener el flujo en
régimen laminar es de 20. L/min.

Formulación del problema.
Objetivo: Se desea maximizar el flujo de permeado (J) y el volumen de
permeado (Vp), para ello se optimizará una única función objetivo Zob, que
es la suma de estas dos variables adimencionalizadas (Jad y Vpad) afectadas
por un factor de peso (w1).

(24)


(25)


(26)


(27)

donde Jmax y Vpmax son el flujo de permeado y el volumen de permeado
máximos. Se han tomado los siguientes valores: Jmax = 36.1 L/hm2
(corresponde a la membrana de 30000 ds con Qr = 20. L/min) y Vpmax = 300.
L.

El problema de minimización equivalente sería el siguiente:

(28)

sujeto a las siguientes restricciones:

Modo de operación discontinuo.
Restricciones de igualdad
c1) 28.319 + 0.385 Qr - Jo = 0
c2) 8.388 + 0.206 Qr - B = 0
c3) J0 - B ln (VCR) - J = 0
c4) Ref4 (Po - Pl) 6.88 106 nf/(8 Lef) - Qr = 0
c5) 4 Qr 1000/( Ref3 nf 60) - = 0
c6) 0.7131 VCR1.721 -0.017(VCR-1) - = 0
c7) 60 + 46.42 Qr /( nf) - Lef=0
c8)


Las restricciones c1 y c2 representan la funcionalidad de Jo y B con
las variables operacionales (Ecs.(17) y (18)), c3 es equivalente a
la ec.(6), c4 es la ecuación de Hagen-Poiseuille para flujo laminar en un
tubo, c5 y c6 representan la funcionalidad de y con las variables
operativas (Constenla y Lozano, 1997), c7 es la ecuación de la longitud
efectiva y c8 la expresión para el tiempo en el modo de operación
discontinuo.

Restricciones de desigualdad
c9) VCR - 14.0 < 0
c10) Vo - Vp - 5.0 > 0
c11) t - 8 < 0

Estas tres restricciones representan las cotas de las variables VCR,
Vf y t.
Cotas
Po máxima = Po.up = 2.0 kg/cm2 (presión manométrica).
Pl máxima = Pl.up = 2.0 kg/cm2
V0 máximo = Vo.up = 300.L
Qr máximo = Qr.up = 20. L/min

Modo de operación semicontinuo.
Las ecuaciones son las mismas que en el caso anterior excepto que
desaparecen las restricciones c10 y c11, ya que Vo pasa a ser un parámetro
fijo e igual a 30. L y el tiempo de operación no tiene cota superior,
cambia la variable VCR (Ec. 12) y la restricción c8 de la siguiente forma:
c8)

CONCLUSIONES.
* Para todos los casos estudiados el optimizador halló con pocas
iteraciones (no más de 30) una solución óptima factible dentro de una
región cerrada.
* Del análisis de la variación del óptimo con el factor de peso,
se encontró que un valor de w1 = 0.5 proporciona una relación
adecuada entre los valores de J* y Vp* para el problema estudiado.
* El problema tiene convergencia global al óptimo.

ESTRUCTURA DEL PROGRAMA Y MÉTODOS NUMÉRICOS
El programa es muy lineal en su concepción, basado en las ecuaciones
descriptas en el punto anterior y no utiliza ninguna subrutina adicional.
Requiere del ingreso de las condiciones operativas del equipo, es decir:

caudal de recirculación (Qr);
área total de filtrado (S)
volumen inicial (Vo)

También requiere información sobre:
flujo máximo de permeado (Jmax);
factor de peso (w).


El rango de aplicación de cada una de estas variables de entrada es:

10 < Qr < 20
30 < Vo < 100
0 < w < 1


El programa se realizó en la herramienta de trabajo SIMULINK del
programa MATLAB (MATLAB 4.0, 1984-1993), la misma permite modificar los
pasos de integración, así como también los métodos de integración a
utilizar.


MANUAL DEL USUARIO

Este programa requiere de MATLAB para Windows se ejecuta el programa
directamente del diskette, o desde el disco rígido. Inicialmente, se
ejecuta el programa simultra: este ejecuta sucesivamente los siguientes
programas:

1. portada: permite la aparición del título del trabajo, autores y
filiación (SIMULACION);


2. ultrad: ejecuta la simulación del proceso para la forma de operación
discontínua.


3. ultrasc: ejecuta la simulación del proceso para la forma de operación
semicontinua.


4. portada1: permite la aparición del título del trabajo, autores y
filiación (OPTIMIZACION);


5. ultrad1: ejecuta la optimización del proceso para la forma de
operación discontínua.


6. ultrasc1: ejecuta la optimización del proceso para la forma de
operación semicontinua.


En la Figura 3 se muestra un esquema sobre los bloques de acceso al
ultrad.

En la misma se distinguen los siguientes bloques:


1. entrada: aqui se ingresan los valores citados en "Estructura del
programa": Qr, Vo y S.


2. simulación: calcula el flujo y el volumen de permeado, y el parámetro
VCR, de acuerdo a las ecuaciones propuestas para esta forma de
operación ;


3. límite VCR: este bloque obliga a detener la simulación si VCR es mayor
que 14.


4. tiempo: transforma el tiempo de horas a minutos.

La misma estructura de bloques aparecen para el modo de simulación
semicontínuo (programa ultrasc); en la parte de simulación se utilizan las
expresiones correspondientes para esta forma de operación.

En la Figura 4 se muestra un esquema sobre los bloques de acceso para
ulrad1.



En la misma se distinguen los siguientes bloques:

1. entrada: aqui se ingresan los valores citados en "Estructura del
programa": Qr, Vo ,S, Jmax y w. el flujo y el volumen de permeado, y
el parámetro VCR ;

3. optimización: calcula la función objetivo propuesta para obtener los
puntos óptimos.


4. límite VCR: este bloque obliga a detener la simulación si VCR es mayor
que 14.


5. límite Vp: este bloque evita que el volumen de permeado sea inferior a
5 L.


6. tiempo: transforma el tiempo de horas a minutos.

Para el modo de simulación semicontínuo (programa ultrasc1) se
utilizan la misma estructura de bloques excepto el limitador de Vp ya que
para este modo de operación no es necesario. Los resultados de la operación
aparecen en forma de gráficas en la pantalla, y se almacenan los datos en
vectores que, desde MATLAB, pueden obtenerse por pantalla. En la Tabla 1 se
detallan los vectores (que el programa almacena) y sus significados.

Tabla 1

"Nombre vector "Significado "
"jd "flujo de permeado (discontinuo) "
"vpd "volumen de permeado (discontinuo) "
"vcrd "VCR discontinuo "
"td "tiempo operación discontiuno "
"jsc "flujo de permeado (semicontinuo) "
"vpsc "volumen de permeado (semicontinuo) "
"vcrsc "VCR semicontinuo "
"tsc "tiempo operación semicontiuno "
"zd "función objetivo (discontinuo) "
"zsc "función objetivo (semicontinuo) "
"tdop "tiempo de operación discontinuo para la "
" "optimización. "
"tscop "tiempo de operación semicontinuo para la "
" "optimización "

EJEMPLO DE APLICACION RESUELTO

Se analizó la simulación en un equipo de ultrafiltración, para jugo
de manzana considerando las siguientes condiciones operacionales:

S = 0.45 m2;
Vo = 10 L;
Qr = 10 L/min

Con estos valores, se puede determinar el efecto del modo de operación
sobre el comportamiento del flujo de permeado, del volumen de permeado y
del VCR. En las Figuras 5, 6 y 7 se observan las salidas por pantalla (de
la simulación ) del flujo de permeado, del volumen de permeado y de VCR
conforme avanza el tiempo de ultrafiltración.










.

Figura 5: Variación del flujo de permeado en el tiempo.




Figura 6: Variación del volumen de permeado en el tiempo.






Figura 7: Variación de la relación de concentración volumétrica en el
tiempo.

REFERENCIAS
BMDP Statistical software Univ of California, Press. Berkeley, C. A.
(1983).
CHERYAN, M. Ultrafiltration Handbook. Lancaster, P.A. Technomic Publishers
(1986)
CONSTENLA, D. T. AND LOZANO, J. E. Predicting stationary permeate flux in
the ultrafiltration of apple juice. Lebensmittel-Wissenschaft und-
Technologie, 29, 587-592 (1996)
CONSTENLA, D. T. AND LOZANO, J. E. Rheology of apple juice retentate
obtained by ultrafiltration. Lat. Am Appl. Res., 27 (1/2), 81-85 (1997)
HEATHERBELL, D., SHORT, J. AND STRIIBI, P. Apple juice clarification by
ultrafiltration. Confructa, 22, 157-169 (1977)
KIRK, D., MONTGOMERY, M. AND KORTEKAAS, M. Clarification of pear juice by
hollow fiber ultrafiltration. Journal of Food Science, 48 (6),1663-1666
(1983)
ANEXO

Programa de simulación del proceso de ultrafiltración en modo de operación
discontinuo.
10 REM PROGRAMA DE Simulación DEL PROCESO DE ULTRAFILTRACIóN
20 REM EN SISTEMA DISCONTINUO.
30 PRINT "Caudal de Recirculación"
40 INPUT Qr
50 PRINT "Diferencia de presión transmembrana"
60 INPUT PTM
70 REM Verificación Región donde se cumple la teoría del film.
80 IF QR>12.5 THEN GOTO 120
90 RECTA = -1.6+.24*QR
100 IF PTM12.5 THEN GOTO 120
90 RECTA = -1.6+.24*QR
100 IF PTM