Rotaciones unitarias de arreglos de datos Cartesianos en 2, 3 y D-dimensiones

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MORELOS FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICA ROTACIONES UNITARIAS DE ARREGLOS DE DATOS CARTESIANOS EN 2, 3 Y D-DIMENSIONES

TESIS QUE PRESENTA:

ROBERTO KENAN URIOSTEGUI UMAÑA PARA OBTENER EL GRADO DE

LICENCIADO EN CIENCIAS (FÍSICA) DIRECTOR DE TESIS:

Dr. Kurt Bernardo Wolf Bogner Instituto de Ciencias Físicas, UNAM.

SINODALES: Dr. Luis Mochán Backal Instituto de Ciencias Físicas, UNAM.

Dr. Natig Atakishiyev Instituto de Matemáticas, UNAM.

CUERNAVACA, MORELOS. MÉXICO.

Dra. Messouma Atakishiyeva Facultad de Ciencias, UAEM.

Dr. J. Manuel Rendón Mancha Facultad de Ciencias, UAEM.

DICIEMBRE de 2014

i

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA Y COMPUTACIONAL INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

ii

La tesis presentada por R. Kenan Uriostegui Umaña ha sido revisada y aprobada por el siguiente comité tutorial:

Dr. W. Luis Mochán Backal

.

Dr. Kurt B. Wolf Bogner

.

Dra. Messuma Atakishiyeva

.

Dr. Natig Atakishiyev

.

Dr. J. Manuel Rendón

.

iii

AGRADECIMIENTOS A mi esposa y amiga Yuvia P. Trejo, por su gran apoyo, paciencia y comprensión durante estos años de estudio. Gracias por escucharme durante horas, ayudarme a tomar decisiones acertadas, por alentarme día a día a y ser mi fuente de felicidad. A mi madre Edith Umaña, por enseñarme que no hay imposibles. por su apoyo y confianza; a mi hermana Keren Uriostegui por impulsarme a iniciar este nuevo camino. A mis suegros por apoyarme. Agradezco a las siguientes personas su amistad y apoyo durante este proyecto, además de lo que se menciona a continuación. Al Dr. Kurt Bernardo Wolf por compartir su valioso conocimiento y ayudarme a perder el miedo a la teoría de grupos, así mismo, por su paciencia al enseñarme y compartir conmigo su espacio de trabajo. Al Quím. Guillermo Krötzsch por su ayuda y dirección académica dentro de este equipo de trabajo. De igual forma agradezco al mismo el diseño de las figuras 1.1, 4.1, 5.1 y 5.3 que aparecen en esta tesis. Al Ing. Alejandro R. Urzúa por los consejos proporcionados con gran empatía. Al Fís. Jared Figueroa por mostrarme la investigación del Dr. Wolf y encaminarme a ingresar a este maravilloso equipo. A la Universidad Autónoma del Estado de Morelos, especalmente a la Facultad de Ciencias, donde me formé como licenciado en ciencias en el área de física. Al Instituto de Ciencias Físicas UNAM, donde realizé el trabajo presentado en este documento. Su apoyo al permitirme el uso de sus insatalaciones como estudiante asociado, a sido invaluable. A CONACyT por apoyar este trabajo concediendome la beca de ayudante de investigador SNI III, sin la cual este trabajo resultaría imposible.

... A mi esposa e hijo.

iv

RESUMEN

Se desarrolla un método de rotación de arreglos Cartesianos de datos a partir de la estructura algebraica descrita por el modelo de oscilador armónico cuántico discreto y finito. Los arreglos de datos son representados en términos de funciones de onda en bases de modo y momento angular, importando la simetría de las funciones de LaguerreGauss hacia funciones de Laguerre-Kravchuk. Esta construcción constituye una representación unitaria del grupo SO(2), y permite rotar arreglos bidimensionales de tamaño

(N + 1) × (N + 1). Por medio de la parametrización del grupo SO(3) en ángulos de Euler se reduce la acción del grupo a rotaciones sobre planos, extendiendo la técnica de rotacion a arreglos Catesianos tridimensionales, cuyos lados tienen (N + 1) ‘pixeles’ cada uno. Este método es generalizado a rotaciones de arreglos D-dimensionales de datos, donde cada rotación es un elemento del grupo SO(D), factorizado en espacios de coclases, lo que permite reducir la transformación a rotaciones bidimensionales. Debido a que el método de rotación de arreglos Cartesianos de datos presentado en este trabajo, se basa en una representación de SO(2), la transformación resulta unitaria y real (es decir, ortogonal), por lo tanto, es invertible y sin pérdida información.

v

ÍNDICE GENERAL

AGRADECIMIENTOS

iii

RESUMEN

iv

ÍNDICE GENERAL

v

ÍNDICE DE FIGURAS

vii

1 INTRODUCCIÓN

1

2 SISTEMAS HAMILTONIANOS

5

2.1 Estructura Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2 Estados y Operadores en el Espacio de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO ESTÁNDAR

10

3.1 Solución directa de la ecuación diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.2 Solución algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

4 MODELO FINITO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

15

4.1 El álgebra dinámica u(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

4.2 Eigenbases de posición y de modo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4.3 Funciones de onda del oscilador finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

4.3.1

Polinomios y funciones de Kravchuk

. . . . . . . . . . . . . . . .

20

ÍNDICE GENERAL

vi

4.3.2 Identificación de las funciones de oscilador finito . . . . . . . . . .

22

4.3.3 Ecuación de Schrödinger en diferencias finitas . . . . . . . . . . .

24

4.3.4 Evolución del oscilador finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

4.4 Contracción del oscilador finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4.4.1 Contracción del álgebra u(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4.4.2 Contracción de las funciones de oscilador finito . . . . . . . . . . .

30

4.4.3 Contracción del kernel de la transformada fraccional de FourierKravchuk

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 OSCILADOR ARMÓNICO FINITO BIDIMENSIONAL

33

5.1 Eigenbases de posición y modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

5.1.1 Contracción de funciones de onda del oscilador finito en 2D . . . .

37

5.1.2 Simetría doméstica del oscilador finito en 2D . . . . . . . . . . . .

38

5.2 Estados de momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

5.2.1 Estados degenerados en energía

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

5.2.2 Multipletes de momento angular de su(2) . . . . . . . . . . . . . .

42

5.2.3 Operador cuántico de rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

5.2.4 Importación del grupo de rotaciones SO(2) y SU (2) . . . . . . . .

44

5.2.5 Estados finitos de momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

5.2.6 Contracción de las funciones de onda de momento angular . . . .

49

6 ROTACIÓN DE ARREGLOS DE DATOS CARTESIANOS

7

32

50

6.1 Rotaciones bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

6.2 Rotaciones tridimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

6.3 Rotaciones D-dimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

CONCLUSIONES

66

BIBLIOGRAFÍA

68

vii

ÍNDICE DE FIGURAS

1.1 Esquema del proceso de rotación de pixeles, donde se aprecia que al rotar un pixel sobre una malla, generalmente no corresponderá con el siguiente espacio cuadriculado, lo que provoca que su superficie sea compartida en distintos pixeles del arreglo.

. . . . . . .

2

1.2 Rotación de letra ‘R’ pixelada, a través de un algoritmo de interpolación tipo Bartlett. En el inciso (a) se muestra la imagen original formada por 25 × 25 pixeles, la cual es rotada 8 veces por un ángulo de 6◦ , el resultado es una figura difuminada de tamaño 53 × 53 mostrada en el inciso (b); este arreglo es rotado 7 veces más, sumando 15 rotaciones en total, la figura resultante se puede ver en el inciso (c), la cual es posee 102 × 102 pixeles y la letra ‘R’ es indistinguible.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

4.1 Esfera S2j(j+1) de los generadores del álgebra su(2) en el oscilador finito. Los valores propios de cada operador están indicados con puntos sobre los respectivos ejes.

. . .

18

4.2 Funciones de onda del oscilador finito para N + 1 = 65 puntos, calculados para los estados de más baja energía n = 0, 1, 2., el estado intermedio n = 32, y los de más alta energía n = 62, 63, 64. Los puntos xm están marcados con puntos •, las líneas que los conectan son rectas (no se muestra x continua). Las funciones de mayor energía son la versión con signos alternantes de las funciones de baja energía, simétricamente correspondientes con respecto al estado intermedio n = j .

. . . . . . . . . . . . . .

25

ÍNDICE DE FIGURAS

viii

5.1 Espacio de posiciones (a) y modos (b) del oscilador armónico finito Cartesiano en 2D, para N = 4, i. e., (N + 1) × (N + 1) = 25. Los estados con número total de modo n =

nx + ny se indican con líneas horizontales, aún cuando estos no constituyen multipletes de su(2).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

5.2 Gráficas de densidad de eigenestados de las funciones de onda del oscilador finito Carte1

(N )

N

2 para N = 16, por siano en 2D, Ψnx ,ny (qx , qy ), definidas en (5.13), de puntos qx , qy |− 1 N 2

lo tanto cada pantalla contiene 17 × 17 pixeles; las pantallas están arregladas por modos

(nx , ny ).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

5.3 Eingenestados de oscilador finito bidimensional ordenados según los valores (l, ν). Encerrados en rectangulos se muestran estados con el mismo valos de n = 2l, los cuales son multipletes de su(2), pero no lo son del álgebra doméstica de nuestro modelo.

. . . . .

41

5.4 Gráficas de densidad de eigenestados de momento angular del oscilador finito Carte(N )

siano en 2D, Λn,m (qx , qy ), definidas en (5.45), con N = 16. Las pantallas son de tamaño 17 × 17, además están ordenadas de acuerdo a los valores n y m. En m ≥ 0 se muestran la parte real de las funciones y en m < 0 la parte imaginaria.

. . . . . . . .

48

) 6.1 Modo angular Λ(N 4,2 (qx , qy ), con N + 1 = 17, bajo la acción del operador R(θ) con θ = 1 10 π ,

aplicado 5 veces de forma consecutiva. La secuencia de aplicación del operador de

rotación se sigue por filas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

6.2 Arreglos de datos Cartesianos de tamaño 25×25 que representan la imagen pixelada ‘R’, bajo la acción del operador R(6◦ ). El arreglo mostrado en la esquina superior izquierda no ha sido rotado, mientras que el arreglo de la esquina inferior derecha ha sido rotado

6◦ , 15 veces consecutivas. Del lado derecho de la imagen podemos ver la escala de grises utlizada en la representación de los valores.

. . . . . . . . . . . . . . . . .

56

ÍNDICE DE FIGURAS

ix

6.3 Imagen pixelada, con N = 24, bajo rotaciones de θ = 15◦ , consecutivas, Las rotaciones comienzan en la imagen superior derecha; en el centro se muestra la imagen a 45◦ de su posición original, y se reconstituye completamente al llegar a θ = 12 π , mostrado en la esquina inferior derecha.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

6.4 Arreglos de datos Cartesianos con N = 24. Comenzando en la imagen superior de la figura, se aplicaron rotaciones sucesivas de 15◦ , al llegar al arreglo de datos correspondiente a 45◦ de rotación, se aplicaron rotaciones consecutivas de −45◦ , recuperando la imagen original a través de la inversión de las transformaciones.

. . . . . . . . . . .

58

6.5 Arreglo tridimensional de datos Cartesianos, en el que se rota una "letra TL", en pasos de 8◦ , desde 0◦ a 120◦ , alrededor del eje n ˆ=

√1 (1, 1, 1). 3

Cada imagen tiene 17×17×17

pixeles cúbicos. La "TL" no está centrada en el cubo. Del lado derecho se muestran los colores y trasparencias usadas para representar los valores asociados a cada voxel.

. .

61

6.6 Arreglo tridimensional de datos Cartesianos, compuesto de 9 × 9 × 9 pixeles, rotando respecto al eje n ˆ=

√1 (1, −1, 0). 2

Las rotaciones se llevan a cabo en pasos de Θ = 18 π ,

de forma consecutiva, aplicando sucesivamente el kernel R3

1 1 1 4 π, 8 π, 4 π




.

. . . . . .

63

1

Capítulo 1 INTRODUCCIÓN Las rotaciones unitarias de arreglos Cartesianos de datos que representan imágenes pixeladas en dos y tres dimensiones tienen implicaciones importantes en el procesamiento de imágenes digitales y al mismo tiempo representan un problema teórico interesante sobre la conservación de la información. Actualmente existen muchos algoritmos de rotación de arreglos de datos a partir de técnicas de interpolación. Tan sólo el sistema de cómputo WOLFRAM MATHEMATICA 9.0 pone a disposición del usuario 23 algoritmos distintos, donde los criterios varían entre gaussianos, trigonométricos y polinomiales. Sin embargo todos estos pierden información per se, debido que al interpolar, cada dato del arreglo recibe los valores ponderados de sus “vecinos” (ver figura 1.1), los cuales a su vez son el resultado de la interpolación de sus propios vecinos. La principal diferencia entre los algoritmos de interpolación existentes, es el criterio para ponderar los datos del arreglo (pixeles). Además, los vértices de la imagen original determinan el tamaño de la imagen rotada, por lo que en cada rotación el arreglo debe incrementar su tamaño rellenando los espacios con pixeles negros (datos de valor cero). Por lo tanto la técnica de interpolación tampoco es concatenable. Por ejemplo, no es lo mismo aplicar 2 veces rotaciones de 15◦ , que aplicar únicamente una rotación de 30◦ , esto se debe a que al incrementar el número de rotaciones para llegar a

2

Figura 1.1: Esquema del proceso de rotación de pixeles, donde se aprecia que al rotar un pixel sobre una malla, generalmente no corresponderá con el siguiente espacio cuadriculado, lo que provoca que su superficie sea compartida en distintos pixeles del arreglo.

la posición deseada, también aumenta el número de pixeles interpolados. Con esta estrategia de rotación de arreglos de datos, resulta imposible regresar la imagen rotada a su posición original usando el mismo algoritmo, de hecho a pesar de llegar a posiciones donde el objeto rotado coincida con la malla cuadriculada, la imagen no se reconstituye de nuevo. Después de rotar algunas veces, la imagen acaba “difundiendose” como si fuera la temperatura en un medio conductor de calor, tal como se muestra en la figura 1.2. La pérdida de información varía entre los distíntos algoritmos, además de depender de factores como el tamaño del arreglo, la simetría del objeto y el ángulo de rotación aplicado, por ello para conocer dicha pérdida suelen usarse métodos comparativos, de correlaciones y entropía de la información, aún así las medidas obtenidas no son determinantes. En este trabajo se presenta una estrategia de rotación de arreglos de datos Cartesianos basado en la geometría y dinámica del modelo de oscilador armónico discreto y finito, derivado de la teoría de grupos. Tomando como base el oscilador armónico

3

(c) (b)

(a)

Figura 1.2: Rotación de letra ‘R’ pixelada, a través de un algoritmo de interpolación tipo Bartlett. En el inciso (a) se muestra la imagen original formada por 25 × 25 pixeles, la cual es rotada 8 veces por un ángulo de 6◦ , el resultado es una figura difuminada de tamaño 53 × 53 mostrada en el inciso (b); este arreglo es rotado 7 veces más, sumando 15 rotaciones en total, la figura resultante se puede ver en el inciso (c), la cual es posee 102 × 102 pixeles y la letra ‘R’ es indistinguible.

cuántico estandar, se construye una estructura algebraica para el modelo de oscilador finito. A partir de dicho modelo son construidas matrices Cartesianas de N + 1 = 2j + 1 elementos por lado, para la representación del álgebra de Lie u(2); desde esta perspectiva, los arreglos Cartesianos son representados como estados en el espacio vectorial D

complejo C N , donde D es la dimensión del arreglo de datos. En los capítulos 2 y 3 se desarrollan brevementen los temas base de este trabajo: El comportamiento de sistemas Hamiltonianos y el oscilador armónico cuántico; estos pueden ser pasados por alto por los lectores familiarizados con dichos temas. En el capítulo 4 se presenta la construcción del modelo de oscilador finito unidimensional usando los operadores de momento angular como generadores del algebra su(2), en la cual se desarrolla este sistema. En este mismo capítulo son introducidos los polinomios de Kravchuk, y definidas las funciones de onda y su evolución, además se muestra la contracción del modelo finito al caso contínuo. Posteriormente, en el capítulo 5, se extiende el modelo de oscilador finito a dos dimensiones, siendo necesario importar las rotaciones

4 en el plano fase del oscilador desde el modelo cuántico continuo, dichas rotaciones actuarán sobre estados de momento angular definidos a través de los modos de oscilación. Una vez construida la estructura algebraica, es utilizada para realizar rotaciones de arreglos de datos Cartesianos en el espacio fase del oscilador. Esto es posible gracias a la ortonormalidad de las funciones de momento angular del oscilador finito, las cuales forman base para el subespacio de Hilbert de dimensión (N + 1). Estas rotaciones se analizan en el capítulo 6, donde se muestra su aplicación en imagenes pixeladas en dos y tres dimensiones, así como la generalización a rotaciones D-dimensionales. Al finalizar se presentan concluciones y perspectivas.

5

Capítulo 2 SISTEMAS HAMILTONIANOS 2.1

Estructura Geométrica

Todos los sistemas Hamiltonianos están obligados a moverse a través de trayectorias cuya tangente está bien definida [1], por ello propondremos el siguientes postulado.

ˆ y un opePostulado Geométrico: Dada la existencia de un operador de posición X ˆ , la evolución del sistema está generada por Tˆ(τ ) = eiτ Hˆ , τ ∈ R, rador Hamiltoniano H ˆ ) = Tˆ(τ )X ˆ Tˆ(−τ ). La tangente a la trayectoria es el operador momento Pˆ . donde X(τ El operador de evolución Tˆ (τ ), τ ∈ R, satisface las propiedades de grupo. La trayectoria del operador posición está dada a través de la operación de similaridad,

ˆ ) := eiτ Hˆ Xe ˆ −iτ Hˆ , X(τ

ˆ = X(0), ˆ donde X

(2.1)

por lo tanto su tangente está dada por

  d ˆ d iτ Hˆ ˆ −iτ Hˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X(τ ) = e Xe = i H X(τ ) − X(τ )H , (2.2) dτ dτ h i ˆ B ˆ := AˆB ˆ−B ˆ Aˆ, la ecuación (2.2) se escribe donde introduciendo el conmutador A, como

h i d ˆ ˆ X(τ ˆ ) X(τ ) =: i H, dτ

(2.3)

2.1. ESTRUCTURA GEOMÉTRICA

6

A lo largo de la trayectoria y en especial en τ = 0, esto define al operador momento

d ˆ Pˆ := X(τ )|τ =0 , dτ

h i ˆ ˆ H, X = −iPˆ

(2.4)

Teniendo en mente el teorema de Ehrenfest, se puede identificar a (2.4) como la primera ecuación de Hamilton en forma de conmutador. La dinámica de un sistema determina la evolución del momento; lo que indica cómo se curvan y giran las trayectorias, y si después de un cierto periodo de tiempo se convertirán en trayectorias cerradas o no. Esto nos lleva a proponer el segundo postulado.

ˆ del Postulado Dinámico. La evolución generada por el operador Hamiltoniano H sistema sobre el operador de momento Pˆ (τ ) = Tˆ (τ )Pˆ Tˆ (−τ ) es tal que su tangente

ˆ ). depende sólo de la posición X(τ La formulación algebraica de éste postulado se sigue como

  h i   d  iτ Hˆ ˆ −iτ Hˆ  d ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ P (τ ) = e Pe = i H P (τ ) − P (τ )H =: i H, P (τ ) =: −V X(τ ) dτ dτ (2.5) donde V 0 es una función del operador posición de la trayectoria. Esto conduce a la segunda ecuación de Hamilton en forma de conmutador,

ˆ = − d Pˆ (τ )|τ =0 , V 0 (X) dτ

h

i ˆ Pˆ = iV 0 (X) ˆ H,

(2.6)

La función V 0 (x) es el gradiente de una función escalar de la posición, V (x) =

Rx

dx0 V 0 (x0 ) que puede ser interpretado como el potencial de la mecánica clásica, o

bien, el indice de refracción en el modelo óptico. Este postulado excluye potenciales dependientes de la velocidad, pero asegura que el flujo en el plano (x(τ ), y(τ )) está

ˆ toma un valor constante. contenido en una distribución donde H ˆ , momento Hasta ahora se ha hablado de tres operadores: el operador posición X ˆ , a estos vamos a añadir el operador unidad Iˆ, el cual Pˆ y el operador Hamiltoniano H conmuta con los tres anteriores. Estos cuatro operadores participan en las ecuaciones de Hamilton (2.4) y (2.6), con ellos es posible escribir la relación de conmutación más

h

i

ˆ Pˆ , que es el tema del tercer postulado. importante X,

2.2. ESTADOS Y OPERADORES EN EL ESPACIO DE HILBERT

7

ˆ y momento Pˆ , Postulado Algebraico. El conmutador de los operadores posición X es de la forma

h i   ˆ Pˆ = iF H, ˆ Iˆ X,

(2.7)

donde la función F determina la naturaleza del sistema Hamiltoniano.

ˆ Pˆ y H ˆ satisfagan la identidad de Jacobi, Al exigir que los operadores X, h h ii h h ii h h ii ˆ Pˆ , H ˆ + Pˆ , H, ˆ X ˆ + H, ˆ X, ˆ Pˆ = 0, X,

(2.8)

donde por las definiciones de los postulados geométrico y dinámico, se tiene que el primer y segundo término del lado izquierdo de la ecuación se hacen identicamente

h

i

ˆ Pˆ dada por, cero, se obtiene la restricción para el conmutador X, h

h ii ˆ X, ˆ Pˆ = 0, H,

(2.9)

lo cual justifica el tercer postulado.

ˆ , Pˆ y H ˆ cierran en un algebra de Lie Además, esto implica que los operadores X ˆ , un múltiplo del operador tridimensional, con una extensión central suministrada por E identidad.

2.2

Estados y Operadores en el Espacio de Hilbert

Los tres postulados que cumplen los sistemas Hamiltonianos se escriben con conmutadores como:

h i ˆ ˆ H, X = iPˆ , h i ˆ ˆ ˆ H, P = −iV 0 (X), h i ˆ Pˆ = iF (H, ˆ I), ˆ X,

postulado geométrico, postulado dinámico,

(2.10)

postulado algebraico,

donde F es una función de los operadores del álgebra, la cual es lineal para álgebras

ˆ especifica la dinámica del sistema. Para de Lie, mientras que la función potencial V (X) ˆ I) ˆ = Iˆ se recupera el álgebra del oscilador armónico cuántico usual. F (H,

2.2. ESTADOS Y OPERADORES EN EL ESPACIO DE HILBERT

8

Estos operadores y sus exponenciales de Lie actúan sobre el espacio vectorial complejo C N de estados f que son de la forma



.. .

   fn−1   f =  fn    fn+1  .. .

      ,     

fn ≡ f (xn ) ∈ F,

xn ∈ R,

n ∈ N.

(2.11)

donde F es un campo de dimension numerable N .

ˆ , no es Para hablar de {xn }n∈N ⊂ R como el espectro del operador posición X ˆ sea una matriz diagonal; es necesario dotar al espacio vectorial suficiente pedir que X de estados C N con un producto interno convirtiendolo así en un espacio de Hilbert de dimension finita o infinita. Se introduce el producto interno,

(f , g) :=

X

∗ fm gm ∈ C

(2.12)

m∈N

donde N es discreta, en el caso de N continua la suma se convierte en una integral con alguna medida apropiada. Subsecuentemente la norma queda definida por |f | =

p

(f , f )N . En un sistema cuántico, para que los operadores correspondan con observables

físicos, deben ser operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert, o bien deben estar representados por matrices que sean hermitianas, las cuales en concordancia con el teorema espectral, tendrán espectros reales. Al exponenciar estos operadores, producen un grupo de transformaciones unitarias en C N .

ˆ define una En el espacio de Hilbert de estados f ∈ C N , el operador de posición X base ortonormal de Kronecker {δ(m) }m∈N de vectores columna con sólo números uno en la fila m y ceros en cualquier otra,

ˆ : δ(m) = xm δ(m) ; X

δ(m)


n

= δ(n) , δ(m)


N

= δm,n

(2.13)

2.2. ESTADOS Y OPERADORES EN EL ESPACIO DE HILBERT

X

f=

X fm = δ(m) , f

X δ(m) , fm


N

.

9 (2.14)

m∈N

ˆ es entonces representado por una maEn esta base de posición, el Hamiltoniano H triz H de elementos

Hm,n = δ(m) , H : δ(n)


N

.

m, n ∈ N

(2.15)

∗ , por lo tanto los eigenvalores Esta matriz debe ser hermitiana, esto es Hm,n = Hn,m

{hn }n∈N proporcionan el espectro de energías del sistema (hasta una constante aditiva ˆ ). Los eigenvectores de energía, ψ(n) , n ∈ NH , llamadas también atribuida al operador E eigenfunciones de modo n-ésimo, constituyen una segunda base ortonormal para los estados f ∈ C N ,

ˆ : ψ(n) = hn ψ(n) , H X

f=

ψ(n) H fm ψ(n) ,


m

= δ(m) , ψ(n)




fnH = ψ(n) , f

N

=: ψn (m)


N

(2.16) (2.17)

n∈NH X fm =

X

H fm ψ(n) (m),

fnH =

n∈NH

X

X fm ψ(n) (m)∗ .

(2.18)

m∈N

En sistemas discretos NH = N , aunque en general no se espera que xm 6= hm . Una tercera base puede ser obtenida por medio de una construcción similar, a partir del operador momento Pˆ , el cual es representado por una matriz hermitiana. El espectro de un operador es invariante bajo transformaciones unitarias. En parti-

ˆ es invariante bajo transformaciones de simicular el espectro del operador posición X laridad, tales como (2.1), debido a que los puntos {x(m) }m∈N donde están definidos los estados permanecen equiespaciados, ocurre lo mismo para el espectro de energía y momento. Además, bajo la acción de los grupos asociados a las álgebras que respetan los tres postulados, existen operadores invariantes de Casimir, construidos a partir de productos de los generadores del álgebra de Lie.

10

Capítulo 3 OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO ESTÁNDAR El oscilador armónico es uno de los sistemas Hamiltonianos más importantes de la física teórica. A través de este sistema es posible modelar y estudiar el comportamiento de sistemas físicos mucho más complejos. Los sistemas en interacción con campos de fuerzas, suelen ser modelados a partir de potenciales que resultan en expresiones matemáticas complicadas, sin embargo, frecuentemente pueden ser aproximados en la vecindad de un punto de equilibrio estable por el modelo de oscilador armónico. Incluso sistemas que parecen no tener relación con la física, como el nado de un espermatozoide de erizo de mar, pueden ser modelados a través del acoplamiento de osciladores. En su versión cuántica, la dinámica del oscilador armónico unidimensional está descrita por la ecuación de Schrödinger,

i~

~2 ∂ 2 ∂ ψ(x, t) = − ψ(x, t) + 21 mω 2 x2 ψ(x, t). ∂t 2m ∂x2

(3.1)

La simetría que presenta este sistema permite expresar su comportamiento por medio de un operador Hamiltoniano, cuyas soluciones poseen propiedades singulares y de especial flexibilidad para su manipulación matemática.

3.1. SOLUCIÓN DIRECTA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

3.1

11

Solución directa de la ecuación diferencial

Usando el método de separación de variables encontramos que la solución para la parte iε

temporal de (3.1) es f (t) = e− ~ t , el valor de ε es identificado en la ecuación (3.4); mientras que la parte espacial queda descrita por la ecuación,

−

~2 d2 φ(x) + 21 mω 2 x2 φ(x) = εφ(x). 2m dx2

(3.2)

La ecuación (3.2) tiene solución exacta dada en términos de polinomios de Hermite

Hn , cuya forma normalizada es ξ2 1  mω  41 (3.3) Hn (ξ)e− 2 , 2n n! π~ p donde se ha introducido la variable adimensional ξ = mω x. Los autovalores asociados ~

φn (ξ) = √

a estas funciones propias son,

εn = ~ω n +

1 2




n = 0, 1, 2, · · · .

,

(3.4)

Una forma sencilla de definir las polinomios de Hermite es mediante la fórmula de Rodrigues

Hn (ξ) = (−1)n eξ

2

dn −ξ2 e . dξ n

(3.5)

La ecuación diferencial que cumplen los polinomios Hn (ξ), es conocida como ecuación diferencial de Hermite, que en forma canonica es posible expresarla de la forma

d 2 −ξ e dξ 1



−ξ 2 dHn (ξ)

e

dξ

 + 2nHn (ξ) = 0,

(3.6)

la cual posee paridad definida por Hn (−ξ) = (−1)n Hn (ξ). Por lo tanto la solución a la ecuación de Schrödinger, es

Ψ(ξ, t) =

∞ X n=0

εn

cn Ψn (ξ, t),

ξ2 e−i ~ t  mω  41 siendo Ψn (ξ, t) = √ Hn (ξ)e− 2 , 2n n! π~

(3.7)

donde los coeficientes cn representan la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado n-ésimo. Al normalizar la probabilidad la suma de estos coeficientes es ∞ P n=0

|cn |2 = 1.

3.2. SOLUCIÓN ALGEBRAICA

3.2

12

Solución algebraica

Sin embargo, los estados del oscilador armónico cuántico también pueden ser encontrados a través de una construcción algebraica. Adecuando unidades, las constantes ~, m y ω serán iguales a 1. Se define el opera2

ˆ := − 1 d 2 + 1 x2 , a través del cual la ecuación (3.2) se puede escribir dor Hamiltoniano H 2 dx 2 ˆ como la ecuación espectral Hφ(x) = εφ(x). Al definir los operadores

d Pˆ := i , dx

ˆ := x, Q

y

(3.8)

ˆ el operador de posición, cuya relación de condonde Pˆ es el operador momento y Q h i ˆ ˆ mutación es Q, P = iIˆ, siendo Iˆ la identidad, el operador Hamiltoniano se puede expresar de la siguiente manera,

ˆ = H

1 2



ˆ2 Pˆ 2 + Q



donde

d2 Pˆ 2 = − 2 dx

ˆ 2 = x2 . y Q

(3.9)

ˆ y Pˆ , se definen un par más de operadores, Por medio de Q Aˆ :=

√1 2



 ˆ + iPˆ , Q

Aˆ† :=

√1 2



 ˆ − iPˆ , Q

(3.10)

ˆ √1 I. 2

(3.11)

de tal modo que

h i ˆ + i 1 Q, ˆ Pˆ = H ˆ− Aˆ† Aˆ = H 2

Las relaciones de conmutación de los operadores (3.10) con el operador Hamiltoniano son:

h i ˆ Aˆ = −A, ˆ H,

h

i ˆ Aˆ† = Aˆ† H,

y

h

i ˆ Aˆ† = I. ˆ A,

(3.12)

ˆ 0 (x) = 0, entonces φ0 (x) es un vector Al exigir que φ0 sea una función tal que Aφ ˆ , pues al mismo tiempo se ha obligado a que se cumpla propio de H ˆ 0 (x) = 1 φ0 (x), Hφ 2

(3.13)

3.2. SOLUCIÓN ALGEBRAICA

13

por lo que además el valor propio asociado al vector propio φ0 (x) es 12 . Por otra parte,

ˆ 0 (x) = 0, se tiene la ecuación, de Aφ d φ0 (x) = −xφ0 (x), dx

(3.14)

x2

cuya solución es de la forma φ0 (x) = ce− 2 , y pidiendo que φ0 (x) esté normalizada, es 1

encontrado el valor c = π − 4 , de tal forma que 1

x2

φ0 (x) = π − 4 e− 2 . h

(3.15)

i

ˆ Aˆ† = Aˆ† , permite saber qué pasa al aplicar conseLa relación de conmutación H, ˆ† sobre la función φ0 (x) y posteriormente aplicar el operador cutivamente el operador A Hamiltoniano sobre el sistema

  
 †n †n 1 ˆ ˆ ˆ H A φ0 (x) = n + 2 A φ0 (x)

(3.16)

ˆ†n φ0 (x) con n = 0, 1, 2, · · · , son vectores de donde se hace evidente que las funciones A ˆ y sus valores propios son εn = n + propios del operador H

1 2




.

Dado que los vectores propios de un operador autoadjunto son ortogonales entre sí,

ˆ†n φ0 (x), donde α = se pueden definir φn (x) = αA

√1 n!

es la constante de normalización,

ˆ es el conjunto {εn : n ≥ 0}; y el conjunto de las concluyendo que: El espectro de H funciones {φn (x) =

ˆ†n φ0 (x) √1 A n!

: n ≥ 0} forman una base ortonormal para el espacio

L2 (R). ˆ, Aˆ† y AˆAˆ† , sobre las funciones φn (x) es: La acción de los operadores A √ n φn−1 (x) √ Aˆ† φn (x) = n + 1 φn+1 (x) ˆ n (x) = Aφ

ˆ n (x) = n φn (x). Aˆ† Aφ

(3.17) (3.18) (3.19)

por este motivo reciben el nombre de operador de descenso, operador de ascenso y operador de número respectivamente, mientras que φn (x) es denominado n-ésimo estado del sistema.

3.2. SOLUCIÓN ALGEBRAICA

14

ˆ Aˆ† A] ˆ = 0, es decir el operador H ˆ conmuta con el operador Aˆ† Aˆ, Puesto que [H, siempre es posible encontrar un conjunto de funciones propias comunes para ambos

ˆ basta resolver el operadores, por lo que para encontrar los estados estacionarios de H ˆ† Aˆ. problema de valores propios de A Utilizando la construcción algebraica que se ha desarrollado y de acuerdo al método de separación de variables, la solución a la ecuación de Schrödinger es de la forma

ψ(x, t) =

∞ X

cn e

−i(n+ 12 )t

φn (x),

donde

∞ X

|cn |2 = 1

(3.20)

n=0

n=0

La estructura algebraica construida para este sistema fue posible a través de la

h

i ˆ ˆ relación de conmutación Q, P = iIˆ, de acuerdo con (2.7). De (3.8) y (3.9) tenemos que se cumplen las relaciones de conmutación,

h

i ˆ Q ˆ = −iPˆ H,

y

h

i ˆ Pˆ = iQ, ˆ H,

(3.21)

las cuales son la primera y segunda ecuaciones de Hamilton, respectivamente. Los ope-

ˆ, Q ˆ y Pˆ cumplen con la identidad de Jacobi, por lo que añadiendo el operador radores H ˆ Q, ˆ Pˆ , E} ˆ del álgebra de Lie, conocida como Iˆ, tenemos el conjunto de generadores {H, álgebra de oscilador.

15

Capítulo 4 MODELO FINITO DEL OSCILADOR ARMÓNICO 4.1

El álgebra dinámica u(2)

Sean {Jˆi }3i=1 los generadores de su(2) en la realización de momento angular [2] . Las relaciones de conmutación entre ellos son

h i Jˆ3 , Jˆ1 = iJˆ2 ,

h

i Jˆ3 , −Jˆ2 = iJˆ1 ,

h i Jˆ1 , Jˆ2 = iJˆ3 .

(4.1)

ˆj := j Iˆ donde Iˆ es el Al tomar en cuenta una extensión generada por el operador E h i ˆ ˆ operador identidad, se debe añadir a (4.1) la relación de conmutación Jk , Ej = 0. El ˆJ genera por sí mismo el álgebra u(1) [3], por lo que se obtiene el álgebra de operador E Lie u(2) = u(1)

L

su(2).

Sea {|j, µi3 }µ=−j,−j+1,··· ,j−1,j la eigenbase abstracta en la cual Jˆ3 es diagonal, perteneciente a la representación irreducible j , la cual es ortogonal y completa en el espacio

4.1. EL ÁLGEBRA DINÁMICA U (2)

16

de dimensión 2j + 1; queda determinada por

Eˆj |j, µi3 = j|j, µi3 , Jˆ3 |j, µi3 = µ|j, µi3 ,

(4.2)

µ ∈ {−j, −j + 1, · · · , j + 1, 1},

Jˆ2 |j, µi3 = j(j + 1)|j, µi3 ,

(4.3) (4.4)

donde Jˆ2 es el operador de Casimir definido como Jˆ2 := Jˆ12 + Jˆ22 + Jˆ32 , cuyos eigenvalores sirven para etiquetar y distinguir los espacios (2j+1)-dimensionales de representaciones irreducibles del álgebra. Dentro de cada uno de estos espacios se cumple la siguiente definición [4]:

h i 
 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Q, P := iJ3 = i H − j + 2 I .

(4.5)

lo cual determina al modelo de oscilador finito. Cabe señalar que se ha escrito Jˆ3 =

ˆ − j+ H

1 2




ˆ tenga por espectro el conjunto { 1 , 3 , · · · , 2j + 1 }. Iˆ para que H 2 2 2

Para definir un modelo de oscilador armónico sobre su(2), es necesario que los generadores del álgebra reciban una nueva identificación física,

ˆ Jˆ1 = Q

←→

Posición

q ∈ {−j, −j + 1, · · · , j − 1, j},

−Jˆ2 = Pˆ

←→

Momento

p ∈ {−j, −j + 1, · · · , j − 1, j},

ˆ ←→ Jˆ3 + (j + 21 )Iˆ = H

Hamiltoniano

(4.6)

h ∈ { 12 , 23 , · · · , 2j + 12 },

Definimos el operador de número,

ˆ ˆ =H ˆ − 1 Iˆ = Jˆ3 + j I, N 2

(4.7)

cuyo espectro es n ∈ {0, 1, · · · , N := 2j}. En (4.1) los primeros dos conmutadores corresponden a las ecuaciones de Hamilton

h i h i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ de un oscilador, mientras que el geométrica H, Q = −iP , y dinámica H, P = iQ tercero (4.5) es el conmutador "deformado" entre posición y momento que distingue el modelo de oscilador discreto y finito del modelo de oscilador continuo. Siendo u(2) un espacio compacto, el modelo comprende una colección discreta y finita de valores para los observables de posición, momento y modos de oscilación.

4.2. EIGENBASES DE POSICIÓN Y DE MODO

4.2

17

Eigenbases de posición y de modo

De la Sección 2.2, se sabe que es posible escribir la base de posición como una base de Kronecker. Dentro de la representación con j = 21 N en que el oscilador finito consiste de N + 1 puntos equidistantes [4], hay N + 1 eigenestados de Kronecker, denotados de la forma 1

N ˆ Q|N, qi1 = q|N, qi1 , q|−2 1 N 2
 1 2 1 ˆ J |N, qi1 = 2 N 2 N + 1 |N, qi1 .

(4.8) (4.9)

La segunda eigenbase, llamada base de modo, se introduce como

ˆ H|N, niH = n +  Jˆ2 |N, niH = 12 N

1 2

|N, niH , n|N 0
 1 N + 1 |N, niH . 2


(4.10) (4.11)

ˆ := Jˆ3 + (j + 1 )Iˆ es claro que el oscilador De la definición (4.6) de Hamiltoniano H 2 finito tiene N + 1 eigenestados energéticos no degenerados. El número de modo n|N 0 está relacionado con los eigenvalores de Jˆ3 , µ|j−j a través de n = j + µ,

µ = n − 12 N

[4, 18], de manera que la relación entre la eigenbase abstracta de Jˆ3 y la eigenbase de modo es

|j, µi3 := |2j, j + µiH ,

|N, niH := | 21 N, n − ji3 .

(4.12)

Los generadores Jˆ1 , Jˆ2 y Jˆ3 de su(2), vistos como vectores en 3 dimensiones, pueden disponerse para formar un sistema de coordenadas ortogonal derecho, de modo que asociamos la representación irreducible etiquetada por j al espacio generado por este arreglo ,esto es, la variedad geométrica S2 de radio j(j + 1), como se muestra en la Figura 4.1. En este sentido la base propia de Jˆ1 está relacionada con la eigenbase de

Jˆ3 por medio de una rotación de la esfera S2 alrededor del eje Jˆ2 , de la forma 1 ˆ 1 ˆ Jˆ1 = e−i 2 πJ2 Jˆ3 ei 2 πJ2

⇒

1

ˆ

|N, qi1 = e−i 2 πJ2 |N, j + qi3 .

(4.13)

4.2. EIGENBASES DE POSICIÓN Y DE MODO

18

Figura 4.1: Esfera S2j(j+1) de los generadores del álgebra su(2) en el oscilador finito. Los valores propios de cada operador están indicados con puntos sobre los respectivos ejes.

En este modelo de oscilador finito están definidos los operadores de ascenso y descenso [5] , de la siguiente manera

Jˆ+ :=

√1 (Jˆ1 2

+ Jˆ2 ),

Jˆ− :=

√1 (Jˆ1 2

− Jˆ2 ).

(4.14)

La acción de estos operadores sobre los elementos de la base de modo es:

Jˆ+ |N, niH =

q

Jˆ− |N, niH =

1 (n 2

q

+ 1)(N − n)|N, n + 1iH ,

1 n(N 2

− n + 1)|N, n − 1iH ,

(4.15) (4.16)

cumpliendose para el estado base Jˆ− |N, 0iH = 0 y para el estado más alto Jˆ+ |N, N iH =

0. Es posible alcanzar cualquier estado propio de modo del oscilador finito, a través de la aplicación sucesiva de (4.15) sobre el estado base,

  − 21 N Jˆ+n |N, 0iH . |N, niH = 2n n

(4.17)

4.3. FUNCIONES DE ONDA DEL OSCILADOR FINITO

4.3

19

Funciones de onda del oscilador finito

Las funciones de onda del oscilador finito son superposiciones entre vectores de la base de posiciones y la base de modo,

ψn(N ) (q) := 1 hN, q|N, niH = ψq(N ) (n)


∗

,


j N = 2j, n|N 0 , q|−j .

(4.18)

Estas funciones forman un conjunto ortonormal en el espacio complejo de dimensión

2j + 1, N X

ψn(N ) (q)


∗ ψn(N ) (q 0 )

N X

= δq,q0 ,

n=0

 ∗ (N ) ψn(N ) (q) ψn0 (q) = δn,n0 .

(4.19)

n=0

De (4.13), las funciónes de onda están dadas por 1

ˆ

ψn(N ) (q) = H hN, j + q|ei 2 πJ2 |N, niH = djn−j,q

1 π 2




,

(4.20)

donde djm,m0 (β) es la función “d-pequeña” de Wigner [2], la cual se define de manera abstracta como ˆ

djµ,µ0 (β) := 3 hj, µ|e−iβ J2 |j, µ0 i3 = djµ0 ,n (−β).

(4.21)

De (4.20) las funciones de onda del oscilador heredan las propiedades (N )

ψn(N ) (q) = (−1)n ψn(N ) (−q) = (−1)q ψ2j−n (q).

(4.22)

Las funciones “d-pequeña” de Wigner proveen los coeficientes de una combinación lineal para los eigenestados de la base de modo bajo rotaciones generadas por J2 , a saber [6],

e

−iβ Jˆ2

|j, ni3 =

2j X

djn−j,n0 −j (β)|j, n0 i3 .

(4.23)

n0 =0

djµ,µ0 (β) =

p (j + µ)!(j − µ)!(j + µ0 )!(j − µ0 )! 0 0 X (cos 21 β)2j−2k+µ−µ (sin 12 β)2k−µ+µ × . 0 − k)!(µ0 − µ + k)! k!(j + µ − k)!(j − µ k

(4.24)

4.3. FUNCIONES DE ONDA DEL OSCILADOR FINITO

20

Las funciones d en (4.21) también pueden ser escritas en términos de funciones hipergeométricas Gaussianas [7], de la forma

djµ,µ0 (β)

4.3.1

1/2 0  (−1)µ−µ (j − µ)!(j + µ0 )! 0 0 (cos 21 β)2j+µ−µ (sin 21 β)µ−µ (4.25) = 0 0 (µ − µ)! (j + µ)!(j − µ )! (4.26) × 2 F1 (µ0 − j, −µ − j; µ0 − µ + 1; − tan2 12 β).

Polinomios y funciones de Kravchuk

A continuación, se introducen los Polinomios de Kravchuk de grado n en m, haciendo uso de su definición en términos de la función hipergeométrica [7],

Kn (m; p, N ) :=

2 F1 (−n, −m; −N ; p  n 

−1

),

p−1 1 = 2 F1 −n, m − N ; −N ; p 1−p  n p−1 Kn (N − m; 1 − p, N ), = p

 n ∈ {0, 1, · · · , N } (4.27)

donde 0 < p < 1 es un parámetro real, N ∈ Z0+ es un número entero no negativo, y m puede adquirir valores reales o complejos. Los polinomios de Kravchuk fueron originalmente introducidos como una generalización de los polinomios de Hermite, reemplazando su relación de ortogonalidad con 2

función de peso Gaussiana e−x sobre la linea real x, por una suma sobre N + 1 puntos con una distribución binomial como peso [8]. Dado que la función hipergeométrica es simétrica con respecto a su primer y segundo parámetro, se sigue que los polinomios de Kravchuk son auto-duales:

Kn (m; p, N ) = Km (n; p, N ),

m, n ∈ {0, 1, · · · , N }.

(4.28)

La relación discreta de ortogonalidad que cumplen estos polinomios, sobre el rango de su argumento es [7, 8]:

 n  −1 N   X 1 − p N N m N −m p (1 − p) Kn (m; 21 , N )Kn0 (m; 12 , N ) = δn,n0 , p n m m=0

(4.29)

4.3. FUNCIONES DE ONDA DEL OSCILADOR FINITO donde

N n




21

= Γ(N + 1)/Γ(n)Γ(N − n + 1) es el coeficiente binomial. Los polinomios de

Kravchuk poseen además una relación de recurrencia de tres términos,

[p(N − n) + n(1 − p) − m] Kn (m; p, N ) = p(N − n)Kn+1 (m; p, N ) + n(1 − p)Kn−1 (m; p, N ).

(4.30)

Para valores genéricos del parámetro p en (4.27) no exhiben propiedades especiales, únicamente para p =

1 2

poseen paridad definida, bajo reflecciones del argumento m a

través del punto medio del intervalo [m, N − m]

Kn (m; 12 , N ) = (−1)n Kn (N − m; 12 , N ).

(4.31)

Al definir xm := 21 N − m cambia el intervalo de ortogonalidad, conservando N + 1 puntos equidistantes, pero en el intervalo simétrico [− 21 N, 12 N ] 3 xm . Cuando N → ∞ el número de puntos crece indefindamente y la densidad de ellos crece proporcional a

√

N , de esta forma son recuperados los polinomios de Hermite, q   q n/2 1 1 1 N N − x ; 2 , N = Hn (x). lim (2N ) Kn 2 2 N →∞

(4.32)

A través de los polinomios de Kravchuk con paridad definida Kn (m; 12 , N ) y la relación de ortogonalidad (4.29), se definen las funciones simétricas de Kravchuk: 1 φn(2j) (xm ) := c(j) n,m Kn (xm + j; 2 , 2j).

(4.33)

(j)

donde cn.m son valores constantes, el argumento xm se extiende sobre el conjunto (j)

simétrico de puntos x = m − j , y se ha tomado N = 2j . Los coeficientes cn.m son escogidos de modo que las funciones de Kravchuk sean ortonormales, j X

(2j)

φ(2j) n (xm )φn0 (xm ) = δn,n0 ,

(4.34)

x−m=−j

A partir de K0 (m; 21 , N ) = 1 y

PN

N m=0 m




(2j)

= 2N se encuentra que φ0 (xm ) es, s s  1 2j 1 Γ(2j + 1) (2j) φ0 (xm ) = j = j . 2 j + xm 2 Γ(j + xm + 1)Γ(j − xm + 1)

(4.35)

4.3. FUNCIONES DE ONDA DEL OSCILADOR FINITO

22

Es posible que xm tome valores no enteros, porque la función gamma extiende analíticamente el binomial al plano complejo, donde los polos están ubicados sobre la línea real en xk = j + k, k ∈ {1, 2, · · · }, por ello manteniendo xm ∈ (−j − 1, j + 1) y expresando (j)

(j) (2j)

(j)

los coeficientes cn.m como dn φ0 (xm ), al reemplazarlos en (4.34) para encontrar dn , tenemos que

c(j) n.m

(−1)n = 2j

s   2j 2j n j + xm

(4.36)

por lo tanto, las funciones simétricas de Kravchuk (4.33) son

s   (−1) 2j 2j (2j) φn (xm ) = Kn (j + xm ; 21 , 2j), j n j + xm 2 n

(4.37)

con n ∈ {0, 1, · · · , 2j}. Estas funciones son base ortonormal para el espacio vectorial de dimensión 2j + 1.

4.3.2

Identificación de las funciones de oscilador finito

Las funciones simétricas de Kravchuk poseen una relación de recurrencia, que puede ser hallada usando la definición (4.27) y la siguiente relación de tres términos de la función hipergeométrica de Gauss [9]:

(c − a)2 F1 (a − 1, b; c; z) + (2a − c − az + bz)2 F1 (a, b; c; z) + a(z − 1)2 F1 (a + 1, b; c; z) = 0. (4.38) Al despejar la ecuación (4.37) para Kn , tenemos

Kn (j + xm ; 12 ; 2j) = =

2j (−1)n (2j)!

p n!(2j − n)!(j + xm )!(j − xm )!φ(2j) n (xm )

2 F1 (−n, −j

− xm ; −2j; 2),

(4.39) (4.40)

y usando la relación (4.38) para (4.40), encontramos

(n − 2j) 2 F1 (−n − 1, −j − xm ; −2j; 2) − 2xm 2 F1 (−n, −j − xm ; −2j; 2) − n 2 F1 (1 − n, −j − xm ; −2j; 2) = 0. (4.41)

4.3. FUNCIONES DE ONDA DEL OSCILADOR FINITO

23

Al substituir (4.39) en (4.41), y simplificar la ecuación, resulta

p p (2j) (2j − n) (n + 1)!(2j − n − 1)!φn+1 (xm ) − 2m n!(2j − n)!φ(2j) n (xm ) p (2j) +n (n − 1)!(2j − n + 1)!φn−1 (xm ) = 0, (4.42) (2j)

de donde despejando para φn (xm ), encontramos la relación de recurrencia de tres términos para las funciones simétricas de Kravchuk:

2xm φn(2j) (xm ) =

p

(2j)

(n + 1)(2j − n)φn+1 (xm ) +

p (2j) n(2j − n + 1)φn−1 (xm ).

(4.43)

Por otra parte, las funciones d de Wigner cumplen la siguiente relación de recurrencia [2]: (j)

p (j) (j + µ)(j − µ + 1)dµ−1,µ0 (β) p (j) + sin β (j − µ)(j + µ + 1)dµ+1,µ0 (β).

2(µ0 − µ cos β)dµ,µ0 (β) = sin β

(4.44)

En particular, para las funciones de oscilador finito dadas por la expresión (4.20), la (2j)

relación de recurrencia (4.44) implica que las funciones ψn (q) cumplen la relación

2qψn(2j) (q) =

p p (2j) (2j) (n + 1)(2j − n)ψn+1 (q) + n(2j − n + 1)ψn−1 (q).

(4.45)

Esta relación de tres términos también puede obtenerse directamente de la definición (4.18) de la función de onda, a través de los operadores de ascenso y descenso:

qψn(2j) (q) = Jˆ1 ψn(2j) (q) = 1 hN, q|Jˆ1 |N, niH =

1 ˆ 1 hN, q| √2 (J+

+ Jˆ− )|N, niH

=

√1 1 hN, q|Jˆ+ |N, niH 2

+

√1 1 hN, q|Jˆ− |N, niH 2

p p (n + 1)(N − n)1 hN, q|N, n + 1iH + 21 n(N − n + 1)1 hN, q|N, n − 1iH p p (2j) (2j) = 21 (n + 1)(N − n)ψn+1 (q) + 12 n(N − n + 1)ψn−1 (q), (4.46) =

1 2

4.3. FUNCIONES DE ONDA DEL OSCILADOR FINITO

24

donde basta multiplicar por 2 para obtener ecuación (4.45). Debido a que una relación de recurrencia define de manera unívoca una familia de polinomios ortogonales, al comparar las relaciones (4.43) y (4.46), concluimos que las funciones de onda del oscilador armónico finito son las funciones simétricas de Kravchuk, es decir:

(−1)n ψn(2j) (q) = 2j

s   2j 2j Kn (j + q; 21 , 2j), n j+q

(4.47)

donde hemos identificado la posición q con la variable xm . La figura 4.2 muestra algunas funciones de onda del oscilador armónico finito. Se observa que para valores pequeños de n estas funciones se asemejan a las funciones de onda del oscilador armónico cuántico usual, mientras que para valores de n cercanos a j la semejanza se desvanece. Los estados con número de modo grande, tienen la misma envolvente que los estados con valores n pequeños, pero con signos alternantes entre vecinos. Esto se debe a la paridad de las funciones de onda

ψn(2j) (q) = (−1)n ψn(2j) (−q),

(4.48)

lo cual puede entenderse como consecuencia directa de la paridad de los polinomios de Kravchuk (4.31), o bien por la simetría de las funciones d de Wigner (4.21).

4.3.3

Ecuación de Schrödinger en diferencias finitas

La función de oscilador finito ψn2j (q) cumple con la siguiente ecuación en diferencias finitas [8], que relaciona tres puntos vecinos y que reemplaza a la ecuación diferencial de segundo grado de Schrödinger:

2(j − n)ψn(2j) (q) =

p p (j + q + 1)(j − q)ψn(2j) (q + 1) + (j + q)(j − q + 1)ψn(2j) (q − 1), (4.49)

reconocida como una ecuación de Schrödinger en diferencias, que aquí define el modelo de oscilador armónico. Es posible escribir esta ecuación en forma espectral definiendo

4.3. FUNCIONES DE ONDA DEL OSCILADOR FINITO

25

Figura 4.2: Funciones de onda del oscilador finito para N + 1 = 65 puntos, calculados para los estados de más baja energía n = 0, 1, 2., el estado intermedio n = 32, y los de más alta energía n = 62, 63, 64. Los puntos xm están marcados con puntos •, las líneas que los conectan son rectas (no se muestra x continua). Las funciones de mayor energía son la versión con signos alternantes de las funciones de baja energía, simétricamente correspondientes con respecto al estado intermedio n = j .

4.3. FUNCIONES DE ONDA DEL OSCILADOR FINITO

26

el operador [10]

ˆ 2j (q) = − 1 H 2

i hp p (j + q + 1)(j − q)eδq − (2j + 1) + (j + x)(j − q + 1)e−δq , (4.50)

donde la acción del operador eωδq es el desplazamiento eωδq f (q) = f (q + ω), para alguna función f (q) a valores complejos; al hacer uso de estas definiciones se obtiene la ecuación espectral

ˆ 2j (q)ψn2j = (n + 1 )ψn2j (q), H 2

n ∈ {0, 1, . . . , 2j}.

(4.51)

No hay dificultad en construir un álgebra generadora de espectro para este Hamiltoniano, el resultado es el álgebra de Lie asociada al grupo SO(3), el cual es isomorfo a SU (2). De este modo las funciones de oscilador finito {ψn2j (q)}2j n=0 para cada

j ∈ { 12 , 1, 32 , · · · }, forman base para todas las representaciones irreducibles de SU (2). Por otra parte el doble conmutador del Hamiltoniano con la variable q es:

h

h ii ˆ 2j (q) H ˆ 2j (q), q = q. H

(4.52)

La importancia de esta relación de conmutación se hace evidente al establecer la analogía con el oscilador armónico cuántico usual. De las ecuaciones (2.4) y (3.9), se deriva que

h

h

ii

ˆ H, ˆ x para el oscilador armónico cuántico continuo H,

4.3.4

= x, donde tomamos ~, ω = 1.

Evolución del oscilador finito

De la misma manera en que la transformada fraccional de Fourier, mediante la rotación del plano fase con respecto a un eje perpendicular a él, representa la evolución temporal del oscilador continuo, la transformada fraccional de Fourier-Kravchuk representa la evolución temporal del oscilador finito. La transformada fraccional de Fourier-Kravchuk [11] se define como: 1

1

ˆ 2j (q)

Kα = ei 4 πα e−i 2 παH

,

(4.53)

4.3. FUNCIONES DE ONDA DEL OSCILADOR FINITO

27

cuya acción, en analogía con la tranformada fraccional de Fourier, es 1

Kα ψn2j (q) = e−i 2 πnα ψn2j (q),

(4.54)

donde n = 0, 1, · · · , N . Las matrices Kα satisfacen las siguientes propiedades:

• Son unitarias: (Kα )† = K−α . • Es una raíz cuarta de la unidad: K4 = 1. • Se componen de la forma: Kα1 Kα2 = Kα1 +α2 . Las matrices Kα ∈ U (1) representan un subgrupo de las matrices unitarias U (2). Para entender mejor cómo actúa la transformada fraccional de Fourier-Kravchuk considérese la función de onda arbitraria φ en la eigenbase de posiciones por medio del desarrollo

|φi =

j X

(N )

φ

(q)|N, qi1 . =

q=−j

j X

|N, qi1 1 hN, q|φi,

(4.55)

q=−j

la transformada de Fourier-Kravchuk actúa sobre los coeficientes φ(N ) (q) = 1 hN, q|φi a (N,α)

través del kernel unitario de rotación Kq,q0 (N,α)

Kq,q0

:= =

α

(N )

K :φ

alrededor del eje Jˆ3 , esto es

−i 1 π(Jˆ3 +j)α |N, q 0 i1 1 hN, q|e 2 N X −i 1 πnα 0 1 hN, q|N, niH e 2 H hN, n|N, q i1 . n=0

(N,α)

(q) 7→ φ

(q) =

j X

(N,α)

Kq,q0 φ(N ) (q 0 ),

(4.56)

(4.57)

q 0 =−j

donde φN (q) = φ(N,0) (q). Considerando que 1 hN, q|N, niH = djq,n−j (− 12 π) = djn−j,q ( 12 π), entonces (4.56) puede ser escrita como N,α Kq,q 0

=

N X


1 djq,n−j − 12 π e−i 2 πnα djn−j,q

1 π 2




(4.58)

n=0 0

1

= (−i)q−q e−i 2 πjα djq,q0

1 π 2




,

(4.59)

4.4. CONTRACCIÓN DEL OSCILADOR FINITO

28

donde la igualdad (4.59) ha sido conseguida a través de la composición de las fun(N,−α)

ciones “d-pequeña” de Wigner [12]. El kernel de la transformación es unitario, Kq,q0



(N,α)

Kq0 ,q

∗

=

, y representa el grupo SO(2) con α módulo 4.

La transformada fraccional de Fourier-Kravchuk puede escribirse como

Kα = ψFψ T , 1

1

1

(4.60)

ˆ

en donde F = e−i 2 παN = ei 4 πα e−i 2 παH es la transformada fraccional de Fourier y ψ es la matriz de Kravchuk, cuyos renglones ψn son vectores compuestos por los valores de las funciones de onda del oscilador finito ψn2j (q) = djn−j,q ( 21 π); por lo tanto se puede escribir


j

la “señal” como un vector de componentes ψn = djn−j,q ( 12 π)

4.4 4.4.1

q=−j

.

Contracción del oscilador finito Contracción del álgebra u(2)

Se presenta la contracción del álgebra de oscilador finito u(2) bajo j → ∞, al álge-

ˆ Q, ˆ Pˆ , I} ˆ donde por Iˆ se denota el operador unidad [3]. El bra de oscilador osc = {H, siguiente cambio de base se realiza para los cuatro generadores de u(2) dentro de la representación irreducible j :



ˆ (j)

Q

       





− 21

  j    Pˆ (j)    0 =  ˆ (j)  H   0   Iˆ 0

 0

0 1

j− 2 0



0 0

0

1 1 + 21 j −1

0

0

j −1

        =      



Jˆ1   Jˆ2   . Jˆ3    ˆ Ej

(4.61)

A través de las relaciones de conmutación (4.1) queda claro que las relaciones de

4.4. CONTRACCIÓN DEL OSCILADOR FINITO

29

conmutación para los nuevos generadores son:

h i (j) ˆ (j) ˆ H ,Q = iPˆ (j) , h i ˆ (j) , Pˆ (j) = −iQ ˆ (j) , H h i (j) ˆ (j) ˆ ˆ (j) , Q ,P = iIˆ + ij −1 H

(4.62) (4.63) (4.64)

en el límite cuando j → ∞, estas relaciones se convierten en las del álgebra de oscilador,

h i (∞) ˆ (∞) ˆ H ,Q = iPˆ (∞) , h i ˆ (∞) , Pˆ (∞) = −iQ ˆ (∞) , H h i (∞) ˆ (∞) ˆ ˆ Q ,P = iI,

(4.65) (4.66) (4.67)

ˆ (j) se encuentra a través de (4.6), (4.61) y del operador La contracción del operador H de Casimir Jˆ2 = Jˆ12 + Jˆ22 + Jˆ32 = j(j + 1)Iˆ,

h
i2 2 2 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J1 + J2 + J3 = j(Q(j) + P(j) ) + H(j) − j + 2 I ,

(4.68)

desarrollando el término cuadrático y reagrupando,


2 2 ˆ 2(j) + Pˆ(j) ˆ (j) + j −1 (H ˆ (j) ˆ (j) ). − 2H −H j −1 j(j + 1) − (j + 21 )2 Iˆ = Q

(4.69)

donde al tomar el límite cuando j → ∞ se recupera el Hamiltoniano cuadrático del oscilador cuántico [3],

ˆ (∞) = H

1 2



 2 2 ˆ ˆ Q(∞) + P(∞) .

(4.70)

Esta no es la única forma de obtener la contracción del álgebra u(2). La convergencia de los operadores de creación y aniquilación (4.14), también puede verse como una contracción del álgebra, ya que en el límite cuando la dimensión N → ∞, (N = 2j) se convierten en los operadores bosónicos de creación y aniquilación (3.10) del oscilador armónico cuántico estándar, cuyos kets bosónicos son:

Aˆ† |niosc =

√ n + 1|n + 1iosc ,

(4.71)

4.4. CONTRACCIÓN DEL OSCILADOR FINITO

ˆ osc = A|ni

√

30

n|n − 1iosc

,

(4.72)

1 |niosc = √ (Aˆ† )n |0iosc . (4.73) n!
n Para n  N → ∞ se tiene que Nn ≈ Nn! y la contracción aproxima (4.15 - 4.17) a (4.71 - 4.73). Esta secuencia de operadores en el espacio (N+1)-dimensional, cuya convergencia a un operador en el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable sobre la recta real ha sido analizada en [14, 15, 16], de donde se sigue la convergencia

q

2 ˆ J N +

N →∞

/

q

Aˆ† ,

2 ˆ J N −

N →∞

/

ˆ A,

(4.74)

i h † ˆ ˆ ˆ ˆ y el conmutador entre J+ y J− se contrae a A, A = I . El límite para el Hamiltoniano ˆ −H ˆ 2 − 1, del oscilador se obtiene desde Jˆ12 + Jˆ22 = (N + 1)H 4 ˆ = Jˆ3 + 1 (N + 1)Iˆ H 2

N →∞

/

ˆ osc = Aˆ† Aˆ + 1 Iˆ = 1 (Pˆ + Q) ˆ H 2 2

(4.75)

ˆ osc es el operador Hamiltoniano del oscilador armónico cuántico estándar. en donde H En esta contracción, el espectro de los operadores de posición y momento de N + 1

√

puntos, crece en número, mientras la distancia entre los puntos decrece como 1/ N en

n q

el intervalo −

4.4.2

1 N, 2

q

1 N 2

o

que limita a la recta real.

Contracción de las funciones de oscilador finito

Debido a que las funciones de onda del oscilador finito son soluciones de la ecuación de Schrödinger en diferencias finitas (4.49), se sigue de la contracción del álgebra u(2) (j)

que en el límite cuando j −→ ∞ las funciones de Kravchuk φn (q) en (4.37) convergen a las funciones de onda de Hermite del oscilador cuántico ordinario, sin embargo, aquí se presenta la convergencia directa obtenida por los autores en [3]. Al tomar el límite

j −→ ∞, n = m + j se mantiene finito, esto es m −→ −∞; por otro lado, sustituíremos el uso de funciones 2 F1 para expresar las funciones “d-pequeña” de Wigner [13], por funciones hipergeometricas 3 F2 , lo cual es posible a través de la relación existente entre

4.4. CONTRACCIÓN DEL OSCILADOR FINITO

31

las funciones d de Wigner y los elementos de la matríz de rotación de Wigner: j Dm (α, β, γ) := e−im2 α djm2 ,m1 (β)e−im1 γ . 2 ,m1

(4.76)

En el caso particular cuando α = β = 21 π y γ = 0, estas funciones admiten la siguiente representación: 1

1 (−1) 2 (j+m2 −m1 ) √ := [(j + m2 )!(j − m2 )!] 2 πj!   1   1 1 2 Γ (j+m1 +1) Γ (j−m1 +1) 2  2  para (j − m1 ) par, 1 1

j Dm 2 ,m1

×

1 π, 12 π, 0 2




(4.77)

      Γ (j+m1 )+1 Γ (j−m1 )+1   2 2  
  ×3 F2 −m2 , m2 , 21 (j + m1 + 1); 12 , j + 1, 1 ,                 

2ij (j+1)



  1 1 1 2 (j+m1 )+1 Γ (j−m1 )+1 2  2  1 1 Γ (j+m1 +1) Γ (j−m1 +1) 2 2 Γ



para (j − m1 ) impar.


×3 F2 1 − m2 , 1 + m2 , 21 (j + m1 ) + 1; 32 , j + 2, 1 ,

al tomar m1 = n−j y m2 = q , las funciones de onda del oscilador armónico finito quedan descritas por n

1 (−1) 2 = √ [(j + q)!(j − q)!] 2 πj! h n+1 i1
Γ( 2 )Γ(j− n−1 ) 2 n+1 1 2 n 3 F2 −q, q, 2 ; 2 , j + 1, 1 , Γ( n +1)Γ(j− +1) 2 h n 2 i1
Γ( 2 +1)Γ(j− n +1) 2 2ij 3 n 2 F 1 − q, 1 + q, + 1; , j + 2, 1 , n+1 n−1 3 2 (j+1) Γ( 2 2 )Γ(j− )

ψn(2j) (q)

×

    

2

(4.78) para n par, para n impar.

2

Por otra parte, en el límite de contracción j −→ ∞, al mantener el número de modo

√ n = j + m fijo y finito, e introducir el cambio de variable q = jξ , de manera que los √ puntos ξ son números enteros divididos por j , las funciones de onda del oscilador finito se contraen del siguiente modo [3]: 1

lim (−1)q j 4 ψn(2j) (ξ) j−→∞   
Γ( n+1 )  n+1 1 2 2  n 2  F ; ; −ξ , 1 1 ξ 1 2 2 (−2) 2 e Γ( ) 2   = 1 1
Γ( n +1) n 3 2 (π) 4 (n!) 2  2  ,  2ij 1 F1 2 + 1); 2 ; −ξ 1 Γ( ) 2

(4.79) para n par, para n impar.

4.4. CONTRACCIÓN DEL OSCILADOR FINITO

32

Usando una relación entre funciones hipergeométricas confluentes para comparar con la expresión estándar para los polinomios de Hermite [17], 1 F1 (α; γ, z)

= ez 1 F1 (γ − α; γ, −z),

(4.80)

se obtiene 1

lim (−1)q j 4 ψn(2j) (ξ) =

j−→∞

1

lim (−1)n+j j 4 djn−j,q

j−→∞

1 π 2




(4.81)

ξ2

=

e− 2 1

n

1

(π) 4 2 2 (n!) 2

Hn (ξ) =: φn (ξ),

(4.82)

donde φn (ξ), |∞ 0 , ξ ∈ R, son las funciones de onda normalizadas del oscilador armónico cuántico unidimensional continuo. Estas funciones de onda tienen la siguiente relación de completez:

∞ X

1 0 in φn (ξ)φn (ξ 0 ) = √ eiξξ . 2π n=0

4.4.3

(4.83)

Contracción del kernel de la transformada fraccional de FourierKravchuk

Debido a la correspondencia que se ha encontrado hasta ahora entre el modelo de oscilador finto y el oscilador armónico cuántico continuo es de esperarse que cuando

j −→ ∞ el kernel de la transformada fraccional de Fourier-Kravchuk dado por (4.58) y (4.59), converja al kernel de la transformada integral de Fourier. Para verificar que este es realmente el caso, se hace uso del cambio de variable

q=

√

jξ , y se realiza la sustitución en (4.59) con α = 1, de donde se obtiene que lim

j−→∞

p N,1 p 1 0 jKξ,ξ0 = lim j(−i)ξ−ξ e−ji 2 πα djξ,ξ0 j−→∞

1 π 2




1 0 = √ eiξξ , 2π

(4.84)

el último término del lado derecho es el kernel integral de Fourier. Esta expresión se ha obtenido expresando la función djξ,ξ0

1 π 2




en términos de funciones hipergeométricas y

suponiendo que es convergente al menos de manera puntual [11].

33

Capítulo 5 OSCILADOR ARMÓNICO FINITO BIDIMENSIONAL La generalización del modelo de oscilador discreto y finito al caso bidimensional se realiza siguiendo el comportamiento y estructura del oscilador armónico cuántico continuo. Al extender el modelo de oscilador contínuo de una a dos dimensiones, adquiere nuevas características, una de ellas es el crecimiento del álgebra de simetría u(1) al álgebra no trivial u(2). Para distinguir entre álgebras de simetría externas al modelo de oscilador finito, y álgebras domésticas del modelo, se ha colocado una barra superior a las primeras. Esta distinción resulta necesaria debido a que u(2) tiene una interpretación física distinta de la interpretación del álgebra dinámica del modelo de oscilador finito

u(2). La notación, así como la construcción del modelo finito de oscilador armónico bidimensional ha sido tomada de [18]. El oscilador finito bidimensional no manifiesta la simetría completa de u(2), únicamente manifiesta la simetría del álgebra u(1)⊕u(1), llamada álgebra de simetría doméstica [19]. El grupo correspondiente consiste de transformadas fraccionales finitas de Fourier-Kravchuk a lo largo de los dos ejes Cartesianos. Una parte del grupo de transformaciones de simetría del oscilador cuántico bidimen-

5.1. EIGENBASES DE POSICIÓN Y MODO

34

sional contínuo, U (2), puede ser importado al modelo Cartesiano del oscilador finito bidimensional. Es posible importar el grupo de rotaciones SO(2) al especificar las transformaciones que actuarán sobre estados finitos de momento angular. Estrictamente hablando, esta no es una simetría de malla finita Cartesiana, es en realidad el grupo de transformaciones unitarias de las funciones de onda del oscilador finito sobre la malla, las cuales son diagonales en la base de modo y que en el límite cuando el tamaño y la densidad de la malla crece, convergen suavemente en la rotación del plano fase del oscilador continuo. Las transformadas fraccionales de Fourier-Kravchuk a lo largo de los dos ejes Cartesianos y las rotaciones, cierran en el análogo finito de la transformada fraccional de Fourier-Kravchuk en dos dimensiones [20].

5.1

Eigenbases de posición y modo

La generalización más simple del oscilador finito unidimensional es sobre una malla cuadrada de (N + 1) × (N + 1) puntos. Esta generalización se obtiene, en términos algebráicos, mediante la suma directa de dos copias independientes y mutuamente conmutantes del álgebra u(2) = u(1) ⊕ su(2), ambas con el mismo generador central

Eˆj = j ˆ1 = 12 N ˆ1 de la subálgebra u(1): u(1) ⊕ su(2)x ⊕ su(2)y = u(1) ⊕ so(4).

(5.1)

Se realiza una construcción análoga al caso unidimensional, desarrollado en el capítulo anterior, se obtienen las eigenbases de posición para un oscilador finito bidimensional arreglado sobre una malla cuadrada. Los estados de posición |N ; qx , qy i1 bidimensional, son el producto directo de dos estados de posición unidimensionales,

|N ; qx , qy i1 = |N, qx i1 ⊗ |N, qy i1 ,

(5.2)

éstos se muestran esquemáticamente en la figura 5.1a. Hay una eigenbase para cada

5.1. EIGENBASES DE POSICIÓN Y MODO

35

(a)

(b)

Figura 5.1: Espacio de posiciones (a) y modos (b) del oscilador armónico finito Cartesiano en 2D, para N = 4, i. e., (N + 1) × (N + 1) = 25. Los estados con número total de modo n = nx + ny se indican con líneas horizontales, aún cuando estos no constituyen multipletes de su(2).

una de las coordenadas Cartesianas x y y ,

ˆ x |N ; qx , qy i1 = qx |N ; qx , qy i1 , Q

1

N

qx |−2 1 N

(5.3)

2

ˆ y |N ; qx , qy i1 = qy |N ; qx , qy i1 , Q

1

N

qy |−2 1 N .

(5.4)

2



Los valores propios de los operadores de Casimir del álgebra, Jˆ(x)



Jˆ(x)

2

|N ; qx , qy i1 = 12 N

1 N 2

2



y Jˆ(y)

 2
+ 1 |N ; qx , qy i1 = Jˆ(y) |N ; qx , qy i1 .

2

, son (5.5)

Los modos Cartesianos |N ; nx , ny i del oscilador finito bidimensional están dados como el producto directo de modos unidimensionales, de la misma forma que en (5.2) para el caso de estados de posición,

|N, nx , ny iH = |N, nx iH ⊗ |N, ny iH ,

(5.6)

y tienen paridad definida como (−1)(nx +ny ) . Por lo tanto, los eigenvalores de los opera-

5.1. EIGENBASES DE POSICIÓN Y MODO

36

dores Hamiltonianos correspondientes a cada dirección Cartesiana son:

ˆ x |N ; nx , ny iH = (nx + 1 )|N ; nx , ny iH , H 2

nx |N 0 ,

(5.7)

ˆ y |N ; nx , ny iH = (ny + 1 )|N ; nx , ny iH , H 2

ny |N 0 .

(5.8)

(x)

(y)

A través de los operadores Jˆ+ y Jˆ+ definidos de forma análoga al operador de ascenso Jˆ+ en (4.14), es posible alcanzar el modo general |N ; nx , ny iH , semejante a (4.17),



(nx +ny )

|N ; nx , ny iH = 2



N nx



N ny

− 21 

(x) Jˆ+

nx 

(y) Jˆ+

ny

|N ; 0, 0iH ,

(5.9)

donde |N ; 0, 0iH es el estado base. La colección de estados |N ; nx , ny iH puede ordenarse en un rombo, cuyo eje vertical cuenta el número de modo total:

n := nx + ny ,

ˆ := H ˆx + H ˆy, H

ˆ ; nx , ny iH = (n + 1)|N ; nx , ny iH . H|N

(5.10)

En la figura 5.1b se muestra esquematizado el arreglo de rombo para los estados de modo. Para cada n ≤ N los niveles de modo, existen N + 1 estados

{|N ; 0, niH , |N ; 1, n − 1iH , . . . , |N ; n − 1, 1iH , |N ; n, 0iH , }

n|N 0 ,

(5.11)

mientras para n ≥ N hay 2N − n + 1 estados

{|N ; n − N, N iH , |N ; n − N + 1, N − 1iH , . . . . . . , |N ; N − 1, n − N + 1iH , |N ; N, n − N iH , }

n|2N N , (5.12)

ambos conjuntos se superponen en el nivel n = N .

5.1. EIGENBASES DE POSICIÓN Y MODO

37

Las funciones de onda Cartesianas, se obtienen por superposición entre la base de posición y la base de modo: ) Ψ(N nx ,ny (qx , qy ) :=

1 hN ; qx , qy |N ; nx , ny iH

(5.13)

=

1 hN, qx |1 hN, qy |N, nx iH |N, ny iH

=

1 hN, qx |N, nx iH 1 hN, qy |N, ny iH

= ψn(Nx ) (qx )ψn(Ny ) (qy ),

(5.14)

entonces, las funciones de onda Cartesianas del oscilador finito bidimensional están dadas por el producto de dos funciones de onda del oscilador finito unidimensional. La figura 5.2 muestra funciones de onda Cartesianas en base de modos, los cuales están en correspondencia con el esquema de la figura 5.1b; los estados en la parte inferior del rombo pueden reconocerse fácilmente como las funciones de onda de baja energía del oscilador armónico cuántico bidimensional, mientras que los estados de la parte superior tienen la misma forma que los primeros estados, pero con cambios de signo entre puntos vecinos, semejante a un tablero de ajedrez.

5.1.1 Contracción de funciones de onda del oscilador finito en 2D (N )

Las funciones de onda 2D Cartesianas Ψnx ,ny (qx , qy ) definidas en (5.13), se contraen cuando N = 2j −→ ∞, hacia las funciones de onda del oscilador armónico cuántico bidimensional continuo en coordenadas Cartesianas:

p (N ) lim jΨnx ,ny (qx , qy ) =

j−→∞

lim

j−→∞ 1



j

2

1 4



ψn(Nx ) (qx )

lim

j−→∞



j

1 4



ψn(Ny ) (qy )

(5.15)

2

e− 2 (qx +qy ) = p n Hnx (qx )Hny (qy ) 2 πnx !ny ! = Φnx ,ny (qx , qy ),

(5.16) (5.17)

en (5.15) ha sido utilizada la ecuación (5.14), por su parte (5.16) encuentra justificación en el resultado obtenido en (4.82). Así, al igual que las funciones de onda ψn2j (q) del

5.1. EIGENBASES DE POSICIÓN Y MODO

38

oscilador finito unidimensional convergen a las funciones de onda del oscilador armónico cuántico estándar, las funciones de oscilador finito en 2D convergen a su contraparte continua.

5.1.2

Simetría doméstica del oscilador finito en 2D

Un campo de ondas finito bidimensional puede ser sujeto a dos transformadas fraccionales de Fourier-Kravchuk independientes, representadas por las formas matriciales α

ˆ

1

1

ˆ

Kαx ,αy := Kα(x)x K(y)y = ei 4 π(αx +αy ) e−i 2 π(αx Hx +αy Hy ) ,

(5.18)

cuya acción, de acuerdo con (4.54) y (4.57), está dada por 1

Kαx ,αy |N ; nx , ny iH = e−i 2 π(αx nx +αy ny ) |N ; nx , ny iH ,

(5.19)

1 N 2

Kαx ,αy : f (N ) (qx , qy ) 7→ f (N,αx ,αy ) (qx , qy ) =

X

(N,α )

(N,α )

Kqx ,qx0 x Kqy ,qy0 y f (N ) (qx0 , qy0 ),

qx0 ,qy0 =− 12 N

(5.20) estas matrices de transformación son elementos del grupo de simetría doméstica Ux (1)⊗

Uy (1), del modelo Cartesiano del oscilador finito en 2D. Las rotaciones del plano de posiciones y momentos por ángulos múltiplo de 21 π también son transformaciones domésticas de este modelo, así como las inversiones respecto a los ejes X y Y . Este conjunto de transformaciones forman el grupo diédrico D4 de automorfismos del álgebra

sux (2) ⊕ suy (2). El grupo de simetría doméstica del modelo de oscilador Cartesiano finito bidimensional está constituído por el producto semidirecto del grupo diédrico D4 , y el grupo de transformaciones Kαx ,αy . En el oscilador armónico cuántico bidimensional continuo, la transformada fraccional de Fourier [20] es la contraparte de la transformada de Fourier-Kravchuk del modelo de oscilador finito. Además este modelo de oscilador continuo posee un grupo de

5.1. EIGENBASES DE POSICIÓN Y MODO

39

Figura 5.2: Gráficas de densidad de eigenestados de las funciones de onda del oscilador finito Carte(N )

1

N

2 siano en 2D, Ψnx ,ny (qx , qy ), definidas en (5.13), de puntos qx , qy |− para N = 16, por lo tanto cada 1 N 2

pantalla contiene 17 × 17 pixeles; las pantallas están arregladas por modos (nx , ny ).

5.2. ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR

40

simetría más extenso, el grupo U (2). Al centro Uc (1) ⊂ U (2) de este grupo de simetría, pertenecen las transformaciones integrales isotrópicas de Fourier, generadas por el operador de número total del oscilador continuo; a este subgrupo también pertenecen las transformadas de Fourier separables en las coordenadas x − y , las cuales están en correspondencia 1 : 1 con las transformadas de Fourier-Kravchuk del modelo de oscilador finito. Sin embargo, el modelo continuo también incluye rotaciones continuas en el plano del oscilador por ángulos sobre el círculo. Con éstas rotaciones y las transformaciones separables anteriores, es posible generar todas las transformadas de Fourier de U (2), el cual es el subgrupo maximal compacto del grupo simpléctico de dimensión 4 en los reales, Sp(4, R).

5.2

Estados de momento angular

A continuación son definidos estados de momento angular dentro del modelo de oscilador finito bidimensional, con el objetivo de importar el grupo de rotaciones SO(2) desde el modelo de oscilador cuántico bidimensional estándar.

5.2.1

Estados degenerados en energía

Los conjuntos de estados de modo |N ; nx , ny iH del oscilador finito dados por (5.11) y (5.12), comparten N + 1 estados con número total n = N , es decir, comparten la línea central del rombo de la figura 5.2. Para distinguir los diferentes estados en cada una de las colecciones, se usan dos índices (l, ν), definidos como

  1 n, 2 l :=  N − 1 n, 2

para n|N 0 ,

(5.21)

para n|2N N ,

ν := 21 (nx − ny ) ∈ {−l, −l + 1, . . . , l − 1, l},

(5.22)

En la figura 5.3 se muestran los estados de oscilador finito ordenados bajo estos

5.2. ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR

41

 Figura 5.3: Eingenestados de oscilador finito bidimensional ordenados según los valores (l, ν). Encerrados en rectangulos se muestran estados con el mismo valos de n = 2l, los cuales son multipletes de

su(2), pero no lo son del álgebra doméstica de nuestro modelo.

índices, en ella se han encerrado en recuadros dos conjuntos de estados correspondientes al mismo número total de modo n = nx + ny . Estos conjuntos de estados no son multipletes del álgebra doméstica, debido a que los operadores que nos permiten pasar (x) (y) (y) (x) de un estado (l, ν) al estado (l, ν ± 1), son productos bilineales Jˆ+ Jˆ− y Jˆ− Jˆ+ de los

operadores de ascenso y descenso definidos en analogía con (4.14 - 4.16), por lo tanto involucran al estado (l ± 21 , ν) como intermediario para hacer al “salto" entre estados con el mismo valor n, tal como se simboliza con flechas.

A pesar de que estos operadores aumentan o disminuyen al índice ν en 1, no cierran en un álgebra de Lie, pues su conmutador está dado por

   h i (x) (y) (x) (y) (x) (y) (x) (y) Jˆ+ Jˆ− , Jˆ− Jˆ+ = 12 Jˆ2 + Jˆ3 Jˆ3 Jˆ3 − Jˆ3 .

(5.23)

Por lo tanto los conjuntos de estados agrupados dentro de un recuadro en la figura 5.3 no son multipletes del álgebra sux (2) ⊕ suy (2).

5.2. ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR

5.2.2

42

Multipletes de momento angular de su(2)

El álgebra de simetría del oscilador cuántico en 2D estándar, su(2), se puede generar a

ˆ† Aˆx , Aˆ† Aˆy , partir de productos bilineales de los operadores de creación y aniquilación {A x x Aˆ†y Aˆx , Aˆ†y Aˆy }, definidos en (4.71) y (4.72). Usando el método presentado en [21], se definen los siguientes operadores:

  † ˆ † ˆ ˆ ˆ Ax Ax − Ay Ay   ˆ 3 := 1 Aˆ† Aˆx − Aˆ† Aˆy L y x 2 ˆ 1 := L



 † ˆ † ˆ ˆ ˆ Ay Ax + Ax Ay   EˆL := Aˆ†x Aˆx + Aˆ†y Aˆy . ˆ 2 := L

1 2

1 2

(5.24)

El operador de Casimir bajo esta realización es:

ˆ 2 = 1 EˆL L 2



1 ˆ E 2 L



+1 ,

donde

EˆL = lˆ1,

(5.25)

por lo tanto las representaciones irreducibles de su(2) quedan etiquetadas por l = 21 n, respecto del número de modo total n = nx + ny . En esta representación el número de modo n a pesar de ser finito, no está acotado, lo cual no ocurre en nuestro modelo finito, donde 0 ≤ n ≤ 2N .

ˆ 1 es diagonal con espectro En la base Cartesiana de modo {|nx , ny i1 }, el generador L µ = 12 (nx − ny ) ∈ {−l, −l + 1, . . . , l − 1, l} tal como ocurre en (5.22). Por otra parte, ˆ 3 es diagonal, su espectro es en la eigenbase abstracta {|l, µi3 }, donde el operador L ν ∈ {−l, −l + 1, · · · , l − 1, l}. En [21] los autores sugieren una descomposición en subálgebras, siguiendo tal descomposición se presentan las cadenas de subálgebras que definen las eigenbases para

L1 y L3 en su(2), u(2) Cartesiana

⊃

u(1) 1 ˆ E 2 L

ˆ1 +L

⊕

u(1) 1 ˆ E 2 L

ˆ1 −L

u(2)

⊃ uc (1) ⊕

so(2)

Polar

EˆL

ˆ M

|nx , ny i1

↓

↓

|l, µ3 i3

↓

↓

nx + ny = n

nx

ny

l = 12 n

n

m = 2µ

5.2. ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR

5.2.3

43

Operador cuántico de rotaciones

ˆ de moEl modelo estandar de oscilador cuántico bidimensional, posee el operador M mento angular orbital, definido como

ˆ := Q ˆ x Pˆy − Q ˆ y Pˆx = 2L ˆ 3, M

(5.26)

ˆ , el doble del generador que genera rotaciones en el plano XY . Al ser el operador M de su(2), L3 , su espectro consiste en números enteros espaciados por 2, dada por

m ∈ {−n, −n + 2, · · · , n − 2, n}. Debido a que pasar de los estados Cartesianos a los estados polares [22, 23, 24], es un procedimiento análogo al realizado en (4.18-4.20), vamos a substituir las siguientes cantidades con el fin de aplicar los resultados previos,

j = 21 N −→ l = 21 (nx + ny ) = 21 n, 1

1

N

n

q|−2 1 N −→ ν = 12 (nx − ny )|−2 1 n , 2

1

(5.27)

2

N

µ|−2 1 N −→ 2

1 m 2

1

n

= µ|−2 1 n .

(5.28)

2

Estos cambios nos permiten identificar el desarrollo del estado polar |l, µi en términos de estados Cartesianos, de la siguiente manera:

X

|l, µi3 =

|nx , ny i1 1 hnx , ny |l, µi3 ,

(5.29)

l= 12 (nx +ny )

donde

1 hnx , ny |l, µi3

= dl1 (nx +ny ), 1 (nx −ny ) ( 12 π). 2

(5.30)

2

El operador de rotaciones por ángulos θ ∈ [0, 2π) sobre el plano de la figura 5.1a del oscilador finito, se define como, ˆ

ˆ

R(θ) := e−iθM = e−i2θL3 ,

(5.31)

R(θ)|l, µi3 = e−i2θµ |l, µi3 ,

(5.32)

siendo (5.32) la acción del operador sobre los estados de la base polar.

5.2. ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR

44

La acción del operador de rotacion R(θ), sobre la eigenbase L1 , se encuentra siguiendo un procedimiento análogo al de la Sección 4.3.4 donde se obtuvo el kernel de la transformada fraccional de Fourier-Kravchuk en las ecuaciones (4.56 - 4.59), donde reemplazando N → n, y 12 πα → φ, se obtiene

X

R(θ)|nx , ny i1 =

(n)

|n0x , n0y i1 R 1 2

n0x +n0y =n

Rν 0 ,ν (θ) :=

(θ), 1 π(n0x −n0y ), π(nx −ny ) 2

ˆ3 0 −2iθL 0 |nx , ny i1 1 hnx , ny |e

= einθ K

) (n, 4θ π ν 0 ,ν

0

= (−i)ν −ν d

( 21 n) ν 0 ,ν

(5.33)

(5.34)

(2θ).

(5.35)

Debido a que la función generadora de rotaciones de momento angular estándar fue construida de forma que posea fase unidad en el estado correspondiente a ν = 0, mientras que la función bilineal de la transformada de Fourier-Kravchuk posee fase unidad en el estado base, existe una diferencia de fase entre sus kernels. Esto se hace evidente comparando las ecuaciones (4.54) y (5.32). Existe un operador de rotación R(θ) para cada valor de θ ∈ [0, 2π), estos constituyen una representación del grupo SO(2) por matrices unitarias, las cuales son diagonales para θ = 0, ±π , y para θ = ± 12 π son antidiagonales con signos alternantes.

5.2.4

Importación del grupo de rotaciones SO(2) y SU (2)

Definiendo la acción del operador R(θ) sobre los estados de la eigenbase de modo

|N ; nx , ny iH del oscilador finito, importamos el grupo de rotaciones SO(2) desde el oscilador cuántico bidimensional. La importación se realiza considerando los estados del modelo finito como si fueran los estados de la base abstracta |nx , ny i1 de su(2), entonces se define la acción del operador de rotación, analogamente a (5.33), esto es

R(θ)|N ; nx , ny iH :=

X n0x +n0y =n

(n)

|N ; n0x , n0y iH R 1

2

(θ), 1 (n0x +n0y ), (nx −ny ) 2

(5.36)

5.2. ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR

45

donde n = nx + ny cuando 0 ≤ nx + ny ≤ N , y n = 2N − (nx + ny ) cuando N ≤

nx + ny ≤ 2N . Las funciones de onda del oscilador finito en 2D, son esencialmente combinaciones lineales de la base {|N ; nx , ny iH }, por ello las matrices de rotación son diagonales por bloques con respecto a n. Por medio de la substitución φx =

1 παx 2

y φy =

1 παy 2

en la ecuación (5.19) se

encuentra la acción de la transformada fraccional de Fourier-Kravchuk bidimensional sobre los estados |N ; nx , ny iH , de la base de modo, 1

e−i 2 π(nx αx +ny αy ) = e−i(nx φx +ny φy ) ,

(5.37)

la cual consiste en la multiplicación por fases. Esta ecuación puede ser reescrita usando las definiciones n = nx + ny y ν = 21 (nx − ny ), 1

e−i(nx φx +ny φy ) = e−i 2 n(φx +φy ) e−iν(φx −φy ) ,

(5.38)

El primer factor en el miembro derecho de (5.38), corresponde al grupo central de transformaciones de Fourier Uc (1) ⊂ U (2), las cuales conmutan con las rotaciones, debido a que pertenecen al grupo de cobertura U (2). En las transformadas de Fourier-Kravchuk en 2D, para el caso especial Kα,−α , las 1

fases e±i 2 nα se cancelan mutuamente, por lo que al tomar φ := φx = −φy =

1 πα 2

y

% := %x = −%y = 12 πβ , en (5.18 - 5.20) y (5.36), es posible expresar para cada nivel 0 ≤ n ≤ 2N , 2

2

2

2

Kα,−α R(θ)Kβ,−β |N ; nx , ny iH = K π φ,− π φ R(θ)K π %,− π % |N ; nx , ny iH X 1 0 n = |N ; nx , ny iH e−i2ν φ dν20 ,ν (2θ)e−i2ν% n0x +n0y =n

=

1

X

n

|N ; nx , ny iH Dν20 ,ν (2φ, 2θ, 2%),

(5.39)

n0x +n0y =n

donde las funciónes D de Wigner, 0

j −im α j Dm dm0 ,m (β)e−imγ , 0 ,m (α, β, γ) = e

(5.40)

5.2. ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR

46

son elementos matriciales que constituyen una representación unitaria e irreducible de

SU (2) sobre los estados del oscilador finito.

5.2.5

Estados finitos de momento angular

La forma en que se realizó la importación de rotaciones al modelo de oscilador finito bidimensional en la sección anterior, permite la definición de estados de momento angular entero m = 2µ. Esta definición se puede hacer de la misma forma en que se hace en el modelo estándar, mostrado en la ecuación (5.29), pero es necesario hacer distinción entre los estados de momento ángular correspondientes al triángulo inferior del rombo de estados |N ; nx , ny iH , y los correspondientes al triángulo superior del mismo (ver figura (5.2), para ello se utiliza el símbolo (5) indicando los estados inferiores y el símbolo (4) para los estados superiores. Por lo tanto, se definen los estados de momento angular etiquetados por n ∈ {0, 1, · · · N } y m ∈ {±n, ±(n − 2), · · · ± 1 o 0}, como 1

|N ; n, mi5 := (−1) 2 (|m|−m)

X nx +ny =n

1

1

n

|N ; nx , ny iH e−i 2 πny d 21 (nx −ny ), 1 m 2

2

1 π 2




,

(5.41)

estos corresponden a la parte inferior del rombo, mientras que para la parte superior se tiene que 1

|N ; n, mi4 := (−1) 2 (|m|−m)

X

1

N− 1 n

|N ; N − nx , N − ny iH e−i 2 πny d 1 (nx2−ny ), 1 m 2

nx +ny =2N −n

1 π 2

2




,

(5.42) donde n ∈ {N, N + 1, · · · , 2N }, y m ∈ {±(2N − n), ±2N − n − 2, · · · , ±1 o 0}. Las funciones de onda de momento angular del oscilador Cartesiano finito son cons(N )

truidas de forma análoga a las funciones en base de modos Ψnx ,ny (qx , qy ), esto es )  Λ(N n,m (qx , qy ) := 1 hN ; qx , qy |N ; n, mi ,

(5.43)

donde se utiliza el supraíndice  para remarcar que se trata de una función de momento angular, sin hacer distinción entre los estados (5.41) y (5.42).

5.2. ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR

47

Estas funciones de onda Cartesianas de momento angular poseen las siguientes propiedades de simetría: (N )

) ∗ Λ(N n,m (qx , qy ) = Λn,−m (qx , qy ) ) = (−1)n Λ(N n,m (−qx , −qy )

(5.44)

(N )

= (−1)qx +qy Λ4j−n,m (qx , qy ). Debido a que los estados de momento angular |N ; n, mi están construidos a partir de los estados de modo Cartesianos, es posible encontrar una expresión que relaciona las funciones de onda entre ambas bases [25, 26]. Por medio de las ecuaciones (5.41) y (5.42), se encuentra la fórmula 1

(|m|−m) ) 2 Λ(N n,m (qx , qy ) = (−1)

X nx +ny =n

1

e−i 2 πny dλ1 (nx −ny ), 1 m 2

2

1 π 2




) Ψ(N nx ,ny (qx , qy ),

(5.45)

donde λ = 21 n cuando 0 ≤ n ≤ N , y λ = N − 12 n cuando N ≤ n ≤ 2N . En este sen(N )

tido las funciones Cartesianas de onda en base de modo Ψnx ,ny (qx , qy ) y las funciones (N )

de onda Cartesianas de momento angular Λn,m (qx , qy ), son los análogos finitos de los modos de Hermite-Gauss y Laguerre-Gauss, respectivamente, por lo que son llamados modos de Kravchuk y modos de Laguerre-Kravchuk. En la figura 5.4 se muestran varias gráficas de funciones de onda de momento angular del oscilador finito cartesiano, en un arreglo similar al mostrado en la figura 5.2 para los estados Cartesianos de modo del oscilador finito, pero en este caso el eje horizontal es el número de momento angular m. La parte real de las funciones de momento angular (N )

Λn,m (qx , qy ), está del lado donde m ≥ 0 y del lado donde m ≤ 0 está la parte imaginaria de cada función. En este arreglo, se aprecia que únicamente los estados base y tope, pertenecen a ambas bases de las funciones de onda, y son singuletes. Las partes real e imaginaria son distintas sólo por una fase de rotación igual a π/2|m|. Para valores altos de n el modelo no puede ser interpretado de la forma usual para el oscilador cuántico estándar, pues este no tiene los cambios de signo tipo tablero de ajedrez que nuestro modelo finito presenta.

5.2. ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR

48

Figura 5.4: Gráficas de densidad de eigenestados de momento angular del oscilador finito Cartesiano (N )

en 2D, Λn,m (qx , qy ), definidas en (5.45), con N = 16. Las pantallas son de tamaño 17 × 17, además están ordenadas de acuerdo a los valores n y m. En m ≥ 0 se muestran la parte real de las funciones y en m < 0 la parte imaginaria.

5.2. ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR

5.2.6

49

Contracción de las funciones de onda de momento angular

En el límite cuando N −→ ∞, las funciones de onda Cartesianas de momento angular (N )

Λn,m tienen un comportamiento que se deriva del comportamiento de las funciones de onda en base de modo, debido a la construcción de los estados. La porción superior del rombo (ver figura 5.4) se desplaza hacia el infinito, mientras que las funciones de la parte inferior convergen a las funciones de Laguerre del oscilador armónico cuantico en 2D [18]:

lim

N →∞

q

) 1 N Λ5,(N n,m, (qx 2

q

1 N , qy 2

q

1 N) 2

s

  m2 ( 12 (n − |m|))! 1 q + iq 2 x y = e− 2 k(qx ,qy )k k (qx , qy ) k|m| 1 qx − iqy π( 2 (n + |m|))!
|m| ×L 1 (n−|m|) k (qx , qy ) k2 =: Φn,m (qx , qy ), (5.46) 2

donde q es la posición en el modelo finito, y q es el valor del operador de posición en el modelo contínuo. En este límite el grupo U (2), que rige la evolución del oscilador en sus componentes ortogonales x y y , se convierte en el grupo de simetrías doméstico.

50

Capítulo 6 ROTACIÓN DE ARREGLOS DE DATOS CARTESIANOS Las funciones de onda del oscilador armónico cuántico constituyen una base ortonormal para el espacio de Hilbert de las funciones de cuadrado integrable, por lo tanto, cualquier función que pertenezca a este espacio se puede representar como una combinación lineal de las funciones de onda. Sea |f i alguna función de cuadrado integrable, entonces

|f i =

∞ X n=0

Z∞ cn |ψn i,

cn = hψn |f i =

f (x)ψn∗ (x)dx,

(6.1)

−∞

donde {|ψn i} es el conjunto de funciones de oscilador armónico cuántico, base del espacio de Hilbert. Esta es la idea principal para la representación de arreglos finitos de datos Cartesianos. Una función |f i, únicamente conocida sobre un conjuntos de 2j +1 datos xk = k ,

k ∈ {−j, −j + 1, · · · , j − 1, j}, puede ser representada en la base de funciones de onda del oscilado armónico finito, gracias a que requiere únicamente el mismo número de

6.1. ROTACIONES BIDIMENSIONALES

51

modos que puntos de observación, El desarrollo de esta función es:

|fk i = j

1 4

2j X

(2j)

c(2j) n |ψn,k i,

k ∈ {0, 1, · · · , 2j},

(6.2)

n=0

c(2j) = n √

(2j)

(2j)

2j 1 X (2j) hψn,k |fk i. 1 j 4 k=0

(6.3)

√

donde fk = f ( jxk ), y ψn,k = ψn ( jxk ). Los coeficientes (6.3), se obtienen aprovechando la ortonormalidad de las funciones de onda del oscilador finito. Los términos con valores de j , permiten que en el límite j → ∞, la densidad de puntos aumente y la función fk sea muestreada sobre toda la recta real, recuperando así el caso contínuo (6.1).

6.1

Rotaciones bidimensionales

Los dos conjuntos de funciones discretas mostrados en las figuras 5.2 y 5.4, son bases 2

ortogonales y completas para el espacio vectorial complejo C (N +1) . Además, (5.45) es un kernel unitario de transformación entre la base (qx , qy ) de posición y la base de momento angular (n, m). A través de la acción del operador de rotaciones sobre los estados angulares del oscilador armónico contínuo mostrado en (5.32) y de la definición (5.43), es claro que la acción de las transformaciones importadas de SO(2) sobre las funciones de momento angular del oscilador finito, es solamente la adquisición de una fase, ) R(θ) : Λ(N n,m (qx , qy ) :=

 1 hN ; qx , qy |R(θ)|j; n, mi

(N ) = e−imθ Λn,m (qx , qy ).

(6.4)

En la figura 6.1 se muestra uno de estos estados de momento angular bajo la acción de R(θ) para algunos valores de θ.

6.1. ROTACIONES BIDIMENSIONALES

) Figura 6.1: Modo angular Λ(N 4,2 (qx , qy ), con N + 1 = 17, bajo la acción del operador R(θ) con θ =

52

1 10 π ,

aplicado 5 veces de forma consecutiva. La secuencia de aplicación del operador de rotación se sigue por filas.

6.1. ROTACIONES BIDIMENSIONALES

53

La acción del operador R(θ) sobre las funciones de onda Cartesianas de momento angular, sugiere una forma de rotar cualquier arreglo Cartesiano bidimensional de datos (N )

a través de su proyección sobre las funciones {Λn,m (qx , qy )} base de un subespacio de Hilbert de dimensión finita (N + 1), cada componente proyectada puede ser transformada por el operador de rotación, para posteriormente reconstruir la señal a partir de las componentes “rotadas". (N )

Las funciones de momento angular Λn,m (qx , qy ), que pueden ser interpretadas como elementos de una matriz unitaria de filas (qx , qy ) y columnas (n, m), cumplen con las siguientes relaciones de ortogonalidad y completez,

X

(N )

(N ) Λn0 ,m0 (qx , qy )Λn,m (qx , qy )∗ = δn0 ,n δm0 ,m ,

(6.5)

) (N ) 0 0 ∗ Λ(N n,m (qx , qy )Λn,m (qx , qy ) = δqx0 ,qx δqy0 ,qy ,

(6.6)

qx ,qy

X n,m

esto se sigue de las relaciones de ortonormalidad de las funciones de Kravchuk y de las funciones d de Wigner. Por otra parte, de (6.4) se tiene que el operador R(θ) es diagonal y unitario, por lo tanto la acción del operador de rotación sobre un arreglo de datos Cartesianos considerado como un estado f ≡ |f i con componentes fqx ,qy = 1 hN ; qx , qy |Fi

2

∈ C (N +1) donde qx , qy ∈ {− N2 = −j, −j + 1, · · · , j − 1, j =

N }, 2

por

ejemplo los pixeles que componen una imagen discreta y finita bidimensional, puede ser representada a través de un kernel matricial tetradimensional, donde cada dimensión es de tamaño (N + 1), cuyos elementos están dados por,

R(θ) : f

(θ)

(qx , qy ) =

j j X X

(N )

fqx0 ,qy0 Rqx0 ,qy0 ;qx ,qy (θ),

(6.7)

qx =−j qy =−j

(N ) Rqx0 ,qy0 ;qx ,qy (θ)

:=

4j n X X

) 0 0 −imθ (N ) Λ(N Λn,m (qx , qy )∗ n,m (qx , qy )e

n=0 m=−n

donde la suma sobre el índice m se realiza en pasos de longitud 2.

(6.8)

6.1. ROTACIONES BIDIMENSIONALES

54

De la propiedad mostrada en (5.44) de la función Λjn,m (qx , qy ), en la que la conjugación compleja no es mas que el intercambio m ↔ −m, se sigue que el kernel (6.8) es real además de unitario. Por lo tanto bajo rotación, arreglos Cartesianos reales siguen siendo reales. En las ecuaciones (6.4), (6.7) y (6.8), se hace evidente que cada nuevo dato en el arreglo rotado, depende de la información de todos y cada uno de los datos del arreglo original. Por lo tanto, bajo rotación, la información es “redistribuida" dentro de la malla del arreglo original, sin deformar la red en sí misma. Este procedimiento de rotación de arreglos de datos Cartesianos, es unitario debido a la ortonormalidad de las funciones de onda de momento angular del oscilador finito Cartesiano, las cuales constituyen el kernel de transformación de la rotación. De modo que,

hfqx0 ,qy0 |gqx0 ,qy0 i = hfq(θ) |gq(θ) i, x ,qy x ,qy

(6.9)

es decir, R(θ) es una transformación unitaria. La ortonormalidad de las funciones de momento angular también dota a las rotaciones con la propiedad de composición, es decir, R(θ1 )R(θ2 ) = R(θ1 + θ2 ), esto procede de la composición de los kernels asociados a cada transformación,

X

(N )

(N )

Rqx ,qy ;qx0 ,qy0 (θ1 )Rqx0 ,qy0 ;qx00 ,qy00 (θ2 )

qx0 ,qy0

" =

#

X

X

qx0 ,qy0

n1 ,m1

) −im1 θ1 (N ) Λ(N Λn1 ,m1 (qx0 , qy0 )∗ n1 ,m1 (qx , qy )e

X

) 0 0 −im2 θ2 (N ) Λ(N Λn2 ,m2 (qx00 , qy00 )∗ n2 ,m2 (qx , qy )e

n2 ,m2

 =

X X n1 ,m1 n2 ,m2

=

X X

) −i(m1 θ1 +m2 θ2 )  Λ(N n1 ,m1 (qx , qy )e

 X

) ) 0 0  (N ) 00 00 ∗ Λn(N (qx0 , qy0 )∗ Λ(N n2 ,m2 (qx , qy ) Λn2 ,m2 (qx , qy ) 1 ,m1

qx0 ,qy0 ) −i(m1 θ1 +m2 θ2 ) (N ) Λ(N Λn2 ,m2 (qx00 , qy00 )∗ δn1 ,n2 δm1 ,m2 n1 ,m1 (qx , qy )e

n1 ,m1 n2 ,m2

=

X

(N )

) −im(θ1 +θ2 ) (N ) 00 00 ∗ Λ(N Λn,m (qx , qy ) = Rqx ,qy ;qx00 ,qy00 (θ1 + θ2 ) n,m (qx , qy )e

n,m

donde usamos la ecuación (6.5) para introducir las deltas de Kronecker.

(6.10)

6.1. ROTACIONES BIDIMENSIONALES

55

De (6.10), haciendo θ2 = −θ1 , se tiene que la rotación nula es la matriz diagonal, (N )

Rqx ,qy ;qx0 ,qy0 (0) = δqx ,qx0 δqy ,qy0 ,

(6.11)

mientras que la rotación inversa está dada por la matríz transpuesta,

Rqx ,qy ;qx0 ,qy0 (−θ) =

X

=

X

=

X

=

X

(N )

(N ) ) 0 0 ∗ Λn,m (qx , qy )e−im(−θ) Λ(N n,m (qx , qy )

n,m


∗ 0 ) 0 (N ) (qx , qy ) e−imθ Λ(N Λn,m n,m (qx , qy )

n,m


∗ ) (N ) 0 (qx , qy0 ) Λ(N e−imθ Λn,m n,m (qx , qy )

n,m (N ) 0 ) ∗ Λn,m (qx , qy0 )e−imθ Λ(N n,m (qx , qy )

n,m (N )

= Rqx0 ,qy0 ;qx ,qy (θ).

(6.12)

Las propiedades que hemos verificado de los kernels matriciales de rotación (6.8), demuestran que son una representación unitaria (reducible) del grupo SO(2) de rotaciones en 2D. Este algoritmo de rotación de arreglos de datos Cartesianos se implementó por medio de programación simbólica, utilizando el prográma WOLFRAM MATHEMATICA 9.0. La figura 6.2 muestra rotaciones de un arreglo Cartesiano de valores 0 y 1, con

N = 24 = 2j . Cada dato del arreglo es interpretado como un pixel dentro de una imagen digital bidimensional, de forma que simboliza la letra ‘R’. Las rotaciones en cada arreglo mostrado, están hechas en pasos de θ = 6◦ , de modo que el arreglo en la esquina superior izquierda no ha sido rotado, mientras que el arreglo en la esquina inferior derecha posee 90◦ de rotación. Gracias a que las rotaciones R(θ) son representación del grupo SO(2), únicamente fue necesario el cálculo del kernel de rotación para θ = 6◦ , logrando las rotaciones entre 0◦ a 90◦ a través de su aplicación sucesiva. Debido a la unitariedad de la transformación, en los datos del arreglo correspondiente a cada imagen, se encuentra toda la información que en el arreglo original, es decir, la información se conserva.

6.1. ROTACIONES BIDIMENSIONALES

56

Figura 6.2: Arreglos de datos Cartesianos de tamaño 25 × 25 que representan la imagen pixelada ‘R’, bajo la acción del operador R(6◦ ). El arreglo mostrado en la esquina superior izquierda no ha sido rotado, mientras que el arreglo de la esquina inferior derecha ha sido rotado 6◦ , 15 veces consecutivas. Del lado derecho de la imagen podemos ver la escala de grises utlizada en la representación de los valores.

6.1. ROTACIONES BIDIMENSIONALES

57

Al rotar una imagen pixelada los bordes rectos de objetos representados dentro de ella, presentan un patrón llamado “diente de sierra”, este comportamiento es intrínseco de la representación pixelada, sin embargo, al incrementar el número de pixeles que componen la imágen dicho efecto tiende a volverse imperceptible. Otro fenómeno que pierde relevancia al crecer el número de pixeles de la imagen, son las oscilaciones de tipo Gibbs presentes en torno al borde del objeto rotado, las cuales se generan por las discontinuidades del arreglo Cartesiano, de forma similar a lo que sucede en el análisis de Fourier, esto provoca un efecto de apodización. Cuando las rotaciones son multiplos enteros de

1 π, 2

los efectos desaparecen en su totalidad y la imagen es reconstituída

perfectamente.

Figura 6.3: Imagen pixelada, con N = 24, bajo rotaciones de θ = 15◦ , consecutivas, Las rotaciones comienzan en la imagen superior derecha; en el centro se muestra la imagen a 45◦ de su posición original, y se reconstituye completamente al llegar a θ = 21 π , mostrado en la esquina inferior derecha.

6.1. ROTACIONES BIDIMENSIONALES

58

Figura 6.4: Arreglos de datos Cartesianos con N = 24. Comenzando en la imagen superior de la figura, se aplicaron rotaciones sucesivas de 15◦ , al llegar al arreglo de datos correspondiente a 45◦ de rotación, se aplicaron rotaciones consecutivas de −45◦ , recuperando la imagen original a través de la inversión de las transformaciones.

La figura 6.3 presenta la rotación de una imagen pixelada de tamaño 25 × 25, que permite observar dos efectos importantes; debido a que la transformación no pierde información, lo pixeles de los bordes se “reordenan” de modo que nunca salen del arreglo, sin embargo, existe una zona central en la cual los efectos de los bordes no alteran la forma de la imagen, permitiendo que su apariencia se conserve aceptablemente bajo rotaciones. La figura 6.4 ilustra la reversibilidad de la transformación R(θ); muestra una 15◦

30◦

45◦

imagen bajo rotaciones  −−→  −−→  −−→ , una vez obtenido el arreglo de datos rotado 12 π respecto de su posición original, se parte de esta imagen para aplicar las rotaciones  −−−→  −−−→  −−−→ , obteniendo las imágenes previas a cada rotación, ◦ ◦ ◦ −15

−30

−45

hasta llegar al arreglo original..

6.2. ROTACIONES TRIDIMENSIONALES

6.2

59

Rotaciones tridimensionales

El algoritmo de rotación presentado en la sección anterior, permite realizar rotaciones de imágenes pixeladas tridimensionales, a partir del kernel de la transformación R(θ). Es posible representar el grupo SO(3) de rotaciones en tres dimensiones, a través de la parametrización en ángulos de Euler,

R3 (θ, φ, ψ) = Rx,y (θ)Rz,x (φ)Rx,y (ψ),

(6.13)

donde Rx,y (θ) es la rotación del plano XY , respecto al eje Z , analogamente Rz,x (φ) y Rx,y (ψ) son rotaciones en 2D, sobre los planos y ejes respectivos. Realizando las rotaciones planas a través de la transfromación R(θ), la rotación tridimensional queda dada por

R3 (θ, φ, ψ) = Rx,y (θ)Rz,x (φ)Rx,y (ψ),

(6.14)

la cual actúa mediante el kernel [6], (N ) Rqx0 ,qy0 ,qz0 ;qx ,qy ,qz (θ, φ, ψ)

j X

:=

(N )

(N )

(N )

Rqx0 ,qy0 ;qx00 ,qy00 (θ)Rqz0 ,qx00 ;qz ,qx000 (φ)Rqx000 ,qy00 ;qx ,qy (ψ). (6.15)

qx00 ,qx000 ,qy00 =−j

definido a través de la composición de kernels bidimensionales definidos en (6.8). Los arreglos de datos Cartesianos tridimensionales, son representados como vectores f ≡ |f i, de N 3 componentes, dadas en términos de una base de kronecker, 3

fqx ,qy ,qz = 1 hN ; qx , qy , qz |f i ∈ C (N +1) ; de modo que la acción del operador de rotación sobre el arreglo de datos Cartesianos, será

R3 (θ, φ, ψ) : fqx ,qy ,qz =

j X

(N )

fqx0 ,qy0 ,qz0 Rqx0 ,qy0 ,qz0 ;qx ,qy ,qz (θ, φ, ψ),

(6.16)

qx0 ,qy0 ,qz0 =−j

la cual actúa sobre el arreglo tridimensional de datos como si se tratara de planos sucesivos. Debido a que el kernel (6.15) es construido a partir tres transformaciones reales y (N )

unitarias, el kernel Rqx0 ,qy0 ,qz0 ;qx ,qy ,qz (θ, φ, ψ) de rotación en 3D, es un mapeo real y unitario, 3

es decir, ortogonal de C (N +1) , por lo tanto la transformción es reversible y no pierde información.

6.2. ROTACIONES TRIDIMENSIONALES

60

Cuando se trata de arreglos Cartesianos de más de dos dimensiones, tenemos la libertad de escoger el eje respecto al cual realizamos la rotacion, para ello existen parametrizaciones que resultan más convenientes que la realizada en ángulos de Euler, por ejemplo la parametrización polar, donde n ˆ = (nx , ny , nz ) es el eje unitario respecto al cual se lleva a cabo la rotación por un ángulo Θ. La relación entre estas coordenadas es:

cos2 21 φ = cos2 12 ψ + n2z sin2 21 Θ, cos 12 Θ cos 12 (ψ + θ) = , cos 21 φ ny tan 12 (ψ − θ) = , nx

(6.17) (6.18) (6.19)

De esta relación entre parámetros, se puede ver que para los ángulos de Euler (0, 21 π, 12 π), el kernel (6.15) se reduce a la permutación cíclica de los índices qx → qy → qz que 3

señalan las componentes de fqx ,qy ,qz ∈ C (N +1) . La figura 6.5 muestra rotaciones sucesivas de un arreglo en 3D que representa una letra a la que llamaremos "TL"; son rotaciones alrrededor del eje que une dos vértices opuestos del cubo, en pasos de 8◦ , yendo de 0◦ a 120◦ . Al igual que en el caso bidimensional, en la imagen aparecen oscilaciones de tipo Gibbs, pero esta se reconstituye completamente al llegar a su posición simétrica a 120◦ de rotación. Un problema común con las pantallas en 3D, es la visualización de los arreglos, en este trabajo se han usado cubos pequeños para representar la unidad básica del arreglo a modo de ‘pixeles cúbicos,’ asociándole un grado de trasparencia para representar su valor, además de distinguir con color azul los valores positivos y con color rojo los valores negativos. (N )

Las bases Λn,m (qa , qb ) donde a, b ∈ {x, y, z}, importadas del modelo bidimensional y definidas en (5.43), no conmutan con rotaciones fuera de sus planos, esto hace que la aplicación sucesiva de dos transformaciones (6.16) tridimensional, generalmente no corresponda con la aplicación directa de una sóla transformación con los parámetros correspondientes esperados. Por lo tanto, la transformación R3 (θ, φ, ψ) no es una repre-

6.2. ROTACIONES TRIDIMENSIONALES

61

Figura 6.5: Arreglo tridimensional de datos Cartesianos, en el que se rota una "letra TL", en pasos de 8◦ , desde 0◦ a 120◦ , alrededor del eje n ˆ=

√1 (1, 1, 1). 3

Cada imagen tiene 17 × 17 × 17 pixeles cúbicos.

La "TL" no está centrada en el cubo. Del lado derecho se muestran los colores y trasparencias usadas para representar los valores asociados a cada voxel.

6.3. ROTACIONES D-DIMENSIONALES

62

sentación fiel del grupo SO(3), como lo es (6.4) del grupo SO(2) de rotaciones en 2D. De ahí que en la figura 6.5 se haya tenido que calcular el kernel para cada paso de la rotación. Sin embargo, existen ejes sobre los cuales las rotaciones forman subgrupos uniparamétricos bajo composición, estos son:

• Rotaciones alrrededor de los ejes Z , Y o X , parametrizadas por un ángulo θ ∈ [0, 2π], es decir, rotaciones de la forma R3 (θ, 0, 0) con θ ∈ S1 (el circulo). • Rotaciones cuyo eje n ˆ pertenezca al plano XY ; estas rotaciónes estarán parametrizadas por φ ∈ S1 , mientras que el ángulo ψ determinará el eje de rotación

n ˆ = (− sin ψ, cos ψ, 0), por lo tanto la transformación es R3 (−ψ, φ, ψ), con ψ fijo. Los subgrupos uniparamétricos se forman en planos dentro de la transformación (N )

tridimensional, siendo así, las bases Λn,m (qa , qb ) asociadas a cada plano, no necesitan conmutar con las de planos contiguos, por lo que dentro de cada plano tenemos una (N )

representación del grupo SO(2). En estos casos, las matrices Rqx0 ,qy0 ,qz0 ;qx ,qy ,qz (θ, φ, ψ) pueden ser calculadas una sóla vez y aplicadas sucesivamente para llegar a cualquiera de sus multiplos, es decir, las rotaciones son concatenables. La figura 6.6 presenta un arreglo de datos Cartesianos bajo rotación respecto al eje √1 (1, −1, 0), 2

n ˆ= R3

1 π, 18 π, 14 π 4

donde se han concatenado rotaciones de Θ = 81 π , a partir del kernel




, el cual ha sido necesario calcularlo sólamente en una ocasión. Se

incluyen únicamente los valores positivos del arreglo de datos, con la finalidad de facilitar la visualización. La escala de transparencias es la misma utilizada en la figura 6.5.

6.3

Rotaciones D-dimensionales

Por medio de la parametrización del grupo SO(D) en ángulos de Euler, podemos generalizar nuestra técnica de rotación a un espacio D-dimensional [6], donde serán nece-

6.3. ROTACIONES D-DIMENSIONALES

63

Figura 6.6: Arreglo tridimensional de datos Cartesianos, compuesto de 9×9×9 pixeles, rotando respecto al eje n ˆ =

√1 (1, −1, 0). 2

Las rotaciones se llevan a cabo en pasos de Θ =

aplicando sucesivamente el kernel R3

1 1 1 4 π, 8 π, 4 π




.

1 8 π,

de forma consecutiva,

6.3. ROTACIONES D-DIMENSIONALES

64

sarios 12 D(D − 1) ángulos de Euler θi,i0 , que representan rotaciones en el plano (i, i0 ). Se utiliza la factorización presentada en [27] de la variedad del grupo SO(D),

SO(D) = SO(D − 1) ⊗ SD−1 ,

(6.20)

donde Sd es la variedad de la d-esfera, cuyos ángulos coordenados son (d)

(d)

(d)

(d)

{θ(d) } := {θ1,2 , θ2,3 , · · · , θd−1,d , θd,d+1 }, (d)

0 ≤ θ1,2 ≤ 2π,

(d)

0 ≤ θi,i+1 ≤ π,

(6.21)

2 ≤ i ≤ d.

(6.22)

El supraíndice 1 ≤ d ≤ D − 1 sirve para distinguir las rotaciones en los mismos planos pero provenientes de la factorización de distintos subgrupos SO(d). De este modo se puede definir una colección de ángulos de Euler, que encierra a la variables necesarias para factorizar SO(D), a partir de hiperesferas, (1)

{θ}(d) := {θ1,2 , {θ(2) }, · · · , {θ(d) }}.

(6.23)




Por lo tanto, una rotación genérica Rd {θ}(d−1) ∈ SO(D) se puede descomponer recursivamente en rotaciones R(θ) en 2D,

Rd+1 {θ}(d) Sd



= Rd {θ}(d−1) Sd {θ(d) } ,        
(d) (d) (d) (d) (d) {θ } := R θd,d+1 R θd−1,d · · · R θ2,3 R θ1,2 .


(6.24) (6.25)

donde Sd es un representante del espacio de coclases SO(d − 1)/SO(d), y es isomorfo a la hiperesfera Sd . Con esta factorización la rotación en 3D queda parametrizada de la forma R3 (θ, φ, ψ) = (1)

(2)

(2)

R(θ1,2 )R(θ2,3 )R(θ1,2 ), es decir, la secuencia de rotación es sobre los ejes Z − X − Z , lo cual es diferente de la secuencia común en SO(3), Z − Y − Z , utilizada en la sección anterior. Esto no trae complicaciones [26], debido a que las funciones “d-pequeña” de Wigner, djm,m0 (θ) que representan rotaciones alrrededor del eje Y son reales por convención, mientras que las rotaciones alrededor del eje X están dadas a través de la

6.3. ROTACIONES D-DIMENSIONALES

65

multiplicación por fases exp i 12 π(m − m0 ) ; equivalentemente se pueden usar funciones





d de Wigner para rotaciones en el plano Y Z , y las fases exp i 12 π(m − m0 ) usarse para rotaciones en el plano ZX . Los arreglos de datos Cartesianos D-dimensionales, dados por las componentes D

fq1 ,q2 ,··· ,qD ≡ fq ∈ C (N +1)

con qi |j−j , en un hipercubo cuyos lados son de tamaño

N = 2j + 1, son transformados por rotaciones pertenecientes a SO(D), donde cada (d)

factor R(θi,i+1 ) actúa en el plano (i, i + 1), y afecta únicamente los índices qi y qi+1 como en (6.7), en consecuencia estas transformaciones son reales y unitarias, es decir ortogonales, por lo tanto conservan la información.

66

Capítulo 7 CONCLUSIONES Usando el modelo de oscilador armónico discreto y finito se desarrolló un algoritmo de rotación de arreglos de datos cuya transformación es ortogonal en el espacio vectorial D

complejo C (N +1) , por lo tanto conserva la información y es invertible. En el caso de arreglos bidimensionales, la transformación R2 (θ) es una representación unitaria del grupo

SO(2), lo que permite que el algoritmo sea concatenable. Para D ≥ 3 la transformación no representa fielmente el grupo SO(D) correspondiente, sin embargo siempre se forman grupos uniparamétricos; en el caso de rotaciones tridimensionales, estos se forman alrrededor del eje Z y de ejes contenidos en el plano XY . Debido a que la transformación de cada pixel depende de todos los valores del arreglo Cartesiano, el numero de cálculos que se deben efectuar en cada transformación crece como (N + 1)2D , por lo que el método requiere gran poder de cómputo para ser utilizado como estándar. Pese a ello, provee un marco de referencia para la optimización de algoritmos “ligeros”, así como para cuantificar la pérdida de información. La ecuación (6.4) muestra que al importar las rotaciones del modelo continuo, en el caso D = 2, los estado n|2N 0 no se mezclan entre sí, por lo que podemos aproximar una imagen {fqx ,qy } utilizando únicamente los estados de momento angular |N ; n, mi5 , a los (N )

cuales corresponden las funciones Λn,m (qx , qy ) presentadas en el triángulo inferior del

67 rombo de gráficas de la figura 5.4. El resultado será una imagen que se transforma de la misma forma bajo rotaciones R2 (θ), pero visualmente suavizada [25]. La estrategia usada para generalizar las rotaciones a D dimensiones, puede extenderse directamente al grupo de Fourier UF (D) ⊃ SO(D), el cual incluye la transformada antisimétrica de Fourier y giraciones. El grupo UF (D) tiene D2 parametros, los cuales pueden ser construidos como los análogos de la descomposición en ángulos de fases y rotaciones planas de Euler. Para el caso D = 2 estas transformaciones siguen la ley del producto [26]. El grupo de Fourier es un subgrupo del grupo de transformaciones unitarias U (N D ) D

sobre arreglos de datos fq1 ,··· ,qD ∈ C N , este grupo de transformaciones unitarias es el “grupo de aberraciones” descrito en [28]. A pesar de que actualmente este grupo no tiene aplicaciones de peso más allá del caso bidimensional, resulta de gran interés comprender la estructura de todas las transformaciones que conservan la información.

68

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