Resolución Ejercicios Taller Capitulo 1 Estadística Matemática

Resoluci´on Ejercicios Taller Capitulo 1 Estad´ıstica Matem´atica Cesar Augusto Guzm´an Septiembre de 2015

1.

Ejercicio 9

Cada una de tres bolas se colocan al azar en uno de tres tazones. Encuentre la distribuci´ on de probabilidad para Y, el n´ umero de tazones vac´ıos. Soluci´ on Dado que el numero de formas posibles de acomodar 3 bolas en 3 tazones es 33 = 27 y que el numero de formas de partir un conjunto de n objetos (bolas) en r celdas (tazones) con n1 elementos en la primera celda, n2 elementos en la segunda, y as´ı sucesivamente, es 

n n1 , n2 , ..., nr

 =

n! , n1 n2 · · · nr

donde n1 +n2 +...+nr = n. Entonces, sea la variable aleatoria Y el numero de tazones vac´ıos,tenemos que  

P (Y = 0) =

 



P (Y = 1) =  

3 2, 1, 0 3 3, 0, 0

2 , 9 

=

27 

P (Y = 2) =

3 1, 1, 1



+

  +

3 1, 2, 0 3 0, 3, 0

  +

  +

3 2, 0, 1 3 0, 0, 3

  +

3 1, 0, 2

  +

3 0, 1, 2

  +

3 0, 2, 1

27  

=

27

 

=

6 , y 9

1 ; 9

por tanto, la distribuci´ on de probabilidad de la variable aleatoria Y, esta dada por: y P (Y = y)

2.

0

1

2

2/9

6/9

1/9

.

Ejercicio 20

El n´ umero N de casas residenciales a las que una Compa˜ n´ıa de Bomberos da servicio depende de la distancia r (en manzanas) que una motobomba puede alcanzar en un tiempo especificado (fijo). Si suponemos que N es proporcional al ´area de un c´ırculo de R manzanas desde la estaci´on de bomberos, entonces N = CpR2 , donde C es una constante, p = 3,1416... , y R, la variable aleatoria, es el n´ umero de manzanas que una motobomba se puede trasladar en el tiempo especificado. Para una compa˜ n´ıa particular de bomberos, C = 8, la distribuci´on de probabilidad para R es como se muestra en la tabla 1

siguiente y p(r) = 0 para r 6 20 ´o r > 27. r p(r)

21 0,05

22 0,20

23 0,30

24 0,25

25 0,15

26 0,05

Encuentre el valor esperado de N, el n´ umero de casas a las que el departamento de bomberos puede atender. Soluci´ on Dado que para una variable aleatoria discreta X con distribuci´on de probabilidad f(x) y una variable aleatoria Y=u(X), de manera que la ecuaci´on y=u(x) se resuelva un´ıvocamente para x en terminos de y, digamos, x=w(y). Entonces la distribuci´on de probabilidad de Y es g(y) = f [w(y)] Por tanto, dado on N = CpR2 , podemos resolverla un´ıvocamente para r en t´erminos de q que la expresi´ n n, como r = Cp (tomamos solo la ra´ız positiva dado que la variable aleatoria R toma solo valores positivos), entonces la funci´ on de probabilidad de la variable aleatoria N esta dada por r np g(n) = p( n/Cp)

21 11084 0, 05

22 12164 0, 20

23 13295 0, 30

24 14476 0, 25

25 15708 0, 15

26 16990 , 0, 05

donde los valores de la variable aleatoria R corresponden a los valores de la variable aleatoria N evaluados en la expresi´ on N = CpR2 con C = 8 y p = 3, 1416.... La funci´on de probabilidad toma el valor g(n) = 0 para valores diferentes. El valor esperado de N , lo calculamos como E(N ) =

X

ng(n)

n

E(N ) = 11084 ∗ 0, 05 + 12164 ∗ 0, 20 + 13295 ∗ 0, 30 + 14476 ∗ 0, 25 + 15708 ∗ 0, 15 + 16990 ∗ 0, 05 donde E(N ) = 13800, 2; por tanto, el numero esperado de casas a los que la compa˜ n´ıa de Bomberos podr´ıa atender es de 13800.

3.

Ejercicio 31

El fabricante de una bebida l´actea de bajo contenido de calor´ıas desea comparar el atractivo del gusto de una nueva f´ ormula (f´ ormula B) con el de la f´ormula est´andar (f´ormula A). A cada uno de cuatro jueces se les dan tres vasos en orden aleatorio, dos de ellos con la f´ormula A y el otro con la f´ ormula B. A cada uno de los jueces se les pide indicar cu´al vaso fue el que disfrut´o m´as. Suponga que las dos f´ ormulas son igualmente atractivas. Sea Y el n´ umero de jueces que indican una preferencia por la nueva f´ ormula. a) Encuentre la funci´ on de probabilidad para Y . b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que al menos tres de los cuatro jueces indique una preferencia por la nueva f´ ormula? c) Encuentre el valor esperado de Y . d) Encuentre la varianza de Y . 2

Soluci´ on a) La variable aleatoria Y el n´ umero de jueces que indican preferencia por la f´ormula B es una variable aleatoria binomial con n = 4 y p = 1/3, entonces la funci´on de probabilidad de Y esta dada por

 P (Y = y) =

b(y; 4, 1/3)

=

4 y





1 y 2 4−y , 3 3

y = 0, 1, 2, 3, 4

De forma tabular podemos expresarla como

y P (Y = y)

0

1

2

3

4

16 81

32 81

24 81

8 81

1 81

b) La probabilidad de que al menos tres de los cuatro jueces indique una preferencia por la nueva f´ ormula esta dada por P (Y > 3) =

4 X

b(y; 4, 1/3) = P (Y = 3) + P (Y = 4) =

y=3

P (Y > 3) =

8 81

+

1 81

,

1 9

por tanto, la probabilidad de que al menos tres de los cuatro jueces indique preferencia por la f´ ormula B es 1/9. c) Dado que Y es una variable aleatoria binomial, su esperanza esta dada por E(Y ) = np, entonces el valor esperado de Y es np = 4/3. d) La varianza de Y esta dada por V ar(Y ) = npq, entonces esta tiene un valor de npq = 8/9.

4.

Ejercicio 42

Diez motores se empacan para su venta en cierto almac´en. Los motores se venden en $100 cada uno, pero una garant´ıa de devoluci´on del doble de su dinero es efectiva por cualquier unidad defectuosa que el comprador pueda recibir. Encuentre la ganancia neta esperada para el vendedor si la probabilidad de que cualquier motor sea defectuoso es 0, 08. (Suponga que la calidad de cualquier motor es independiente de la de los otros.) Soluci´ on Sea la variable aleatoria binomial X el n´ umero de motores defectuosos vendidos con n = 10 y p = 0, 08, entonces el numero esperado de motores vendidos es de E(X) = np = 0, 8 unidades. Por tanto, si se venden 10 motores a $100 cada uno, se esperan ingresos por un total de $1000; sin embargo, se espera que 0,8 motores se encuentren defectuosos, por tanto, se tienen egresos esperados de 0, 8 ∗ $200 = $160. Dado que Ganancia Neta = Ingresos - Egresos, entonces la Ganancia Neta Esperada es de $840. Por otra parte, si trabajamos haciendo E(X) = np = 0, 8 ≈ 1 unidades, entonces se tendr´an egresos esperados de $200, teniendo una Ganancia Neta Esperada de $800.

3

5.

Ejercicio 53

Es frecuente que las semillas sean tratadas con fungicidas para protegerlas en ambientes h´ umedos y con desecaci´ on defectuosa. Un intento a peque˜ na escala, que comprende cinco semillas tratadas y cinco no tratadas, fue realizado antes de un experimento a gran escala para explorar cu´anto fungicida aplicar. Las semillas se plantaron en un suelo h´ umedo y se cont´o el n´ umero de plantas que brotaron. Si la soluci´ on no era efectiva y cuatro plantas brotaron en realidad, ¿cu´al es la probabilidad de que a) las cuatro plantas brotaran de semillas tratadas? b) tres o menos brotaran de semillas tratadas? c) al menos una brotara de semillas no tratadas? Soluci´ on Sea la variable aleatoria hipergeom´etrica X el n´ umero de plantas que brotaron de k = 5 semillas tratadas de un total de un total de N = 10 semillas sembradas donde n = 4 plantas brotaron, entonces la funci´ on de probabilidad de X esta dada por    5 5 x 4−x   , x = 0, 1, 2, 3, 4. P (X = x) = 10 4 a) La probabilidad de que las cuatro plantas brotaran de semillas tratadas es  P (X = 4) =

5 4 

 10 4

5 0 

 = 0, 0238

b) La probabilidad de que tres o menos plantas brotaran de semillas tratadas es



 5 3 X 4−x   P (X 6 3) = 10 x=0 4             5 5 5 5 5 5 5 5 0 4 1 3 2 2 3 1         P (X 6 3) = + + + = 0, 9762 10 10 10 10 4 4 4 4 5 x



c) Sea Y el numero de plantas brotadas de semillas no tratadas, entonces X + Y = 4, por tanto la probabilidad de que al menos una planta brotara de una semilla no tratada es igual a P (Y > 1), de donde P (Y > 1) = P (4 − X > 1) = P (−X > −3) = P (X 6 3) = 0, 9762.

4

6.

Ejercicio 64

Los tama˜ nos de poblaciones de animales se calculan en ocasiones con el m´etodo de capturar, marcar y recapturar. En este m´etodo se capturan k animales, se marcan y luego se sueltan en la poblaci´ on. Cierto tiempo despu´es se capturan n animales y se observa Y, el n´ umero de animales marcados de entre los n. Las probabilidades asociadas con Y son una funci´on de N, el n´ umero de animales de la poblaci´ on, de modo que el valor observado de Y contiene informaci´on sobre esta N desconocida. Suponga que k = 4 animales son marcados y luego soltados. Una muestra de n = 3 animales se selecciona entonces al azar de entre la misma poblaci´on. Encuentre P (Y = 1) como funci´ on de N . ¿Qu´e valor de N maximizar´ a P (Y = 1)? Soluci´ on Sea la variable aleatoria hipergeom´etrica Y el n´ umero de animales marcados de entre los n = 3 capturados aleatoriamente de una poblaci´on de tama˜ no N donde k = 4 animales se encuentran marcados. La probabilidad P (Y = 1) en funci´on de N , esta dada entonces por la expresi´on    4 N −4 1 2   , P (Y = 1) = N 3 donde necesariamente N − 4 > 2; por tanto, N > 6. La siguiente tabla muestra los valores de P (Y = 1) para diferentes valores de N N 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

P (Y = 1) 0, 2000 0, 3429 0, 4286 0, 4762 0, 5000 0, 5091 0, 5091 0, 5035 0, 4945 0, 4845

de donde podemos observar que los valores de N = 11 y N = 12 maximizan P (Y = 1).

7.

Ejercicio 75

El n´ umero de nudos en un tipo particular de madera tiene una distribuci´on de Poisson con un promedio de 1,5 nudos en 10 pies c´ ubicos de madera. Encuentre la probabilidad de que un bloque de 10 pies c´ ubicos de madera tenga a lo sumo 1 nudo. Soluci´ on Sea la variable aleatoria de Poisson X el n´ umero de nudos en un tipo particular de madera con µ = 1, 5 en 10 pies c´ ubicos de madera, entonces la probabilidad de que en un bloque de 10 pies c´ ubicos de madera tenga a lo sumo un nudo esta dada por P (X 6 1) =

1 X

p(x; 1, 5) =

x=0

1 X e−1,5 1, 5x x=0

5

x!

= 0, 5578,

entonces, la probabilidad de que un bloque de 10 pues c´ ubicos de madera tenga a lo sumo un nudo es de 0,5578.

6