Resolución de un circuito RLC
Jonathan Andrés Maldonado Flores#1, Luis Javier Rodríguez Cevallos#1, Juan Andrés Jiménez Sauca#1, Pablo David Benavides Pineda#1, Jorge Luis Jaramillo Pacheco#2
#1Profesional en formación, EET, Universidad Técnica Particular de Loja
#2Docente, EET, Universidad Técnica Particular de Loja
Loja, Ecuador
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Resumen— Resolución de un circuito RLC que consta de 1 resistor de 10 Ω, 2 capacitores de 10 pҒ, y una bobina de 10 mH, para esto tomamos en cuenta la resolución de fasores. De esta manera encontramos todas las caídas de tensión e intensidades de corriente de los elementos eléctricos.
Palabras claves— fasores, faradios, resistor, potencia, potencial eléctrico, intensidad.
Introducción
El presente trabajo tiene como objetivo principal la resolución de un circuito RLC con el uso de los conocimientos hasta la fecha obtenidos, con la finalidad de analizar y sintetizar un circuito de corriente alterna. Al momento de resolver un circuito se debe tener en cuenta que no todos los circuitos son iguales, para lo cual se emplean formulas, teoremas y principios de diferentes maneras. Las herramientas principales a utilizar en este circuito de corriente alterna son las leyes de Faraday que nos dice que el voltaje inducido en un circuito cerrado es directamente proporcional a la rapidez con que cambia en el tiempo el flujo magnético que atraviesa una superficie cualquiera con el circuito como borde y Lenz que esta relaciona cambios producidos en el campo eléctrico en un conductor con la variación de flujo magnético en dicho conductor, y afirma que las tensiones o voltajes inducidos sobre un conductor y los campos eléctricos asociados son de un sentido tal que se oponen a la variación del flujo magnético que las induce, tanto como la reducción de impedancias en serie y paralelo [1].
Para resolver este circuito lo primero que hacemos es observar los datos generales, lo que tenemos y lo que podemos encontrar en las variables. El voltaje de corriente alterna en este circuito es 110 v. Sin embargo, se debe convertir a voltaje pico para calcular la intensidad de corriente total que circula en el circuito.
Vp=Vca2
Vp=55 V
Figura 1. Circuito propuesto [Elaborado por autores]
Datos Generales
R
10 Ω
L
10 mH
Vp
55 V
F
60 Hz
C1=C2
(1*10^-12)pF
W
376,992 rad/s
Tabla 1. Datos Generales [Elaborado por Autores]
resolución en forma analítica
En este inciso vamos a resolver el circuito en el dominio de la frecuencia, gracias al uso de fasores para circuitos de corriente alterna. Primeramente pasar los condensadores y bobina al dominio de la frecuencia de la siguiente forma.
XL=3,769 Ω
XC1=2652576182 Ω
XC1=XC2
Por consiguiente, vamos a encontrar la Impedancia en paralelo entre el Resistor y la Bobina.
Z1=R(XL)R+XLZ1=10(3,768j)10+3,768jZ1=37,68j10+3,768j10-3,768j10-3,768jZ1=376,8j-j2141,9100-14,19j2Z1=141,9+376,8j114,19Z1=141,9114,19+376,8j114,19Z1=1,24+3,29j Z1=R(XL)R+XLZ1=10(3,768j)10+3,768jZ1=37,68j10+3,768j10-3,768j10-3,768jZ1=376,8j-j2141,9100-14,19j2Z1=141,9+376,8j114,19Z1=141,9114,19+376,8j114,19Z1=1,24+3,29j
Z1=R(XL)R+XL
Z1=10(3,768j)10+3,768j
Z1=37,68j10+3,768j10-3,768j10-3,768j
Z1=376,8j-j2141,9100-14,19j2
Z1=141,9+376,8j114,19
Z1=141,9114,19+376,8j114,19
Z1=1,24+3,29j
Z1=R(XL)R+XL
Z1=10(3,768j)10+3,768j
Z1=37,68j10+3,768j10-3,768j10-3,768j
Z1=376,8j-j2141,9100-14,19j2
Z1=141,9+376,8j114,19
Z1=141,9114,19+376,8j114,19
Z1=1,24+3,29j
Y tendríamos esto en el circuito una vez encontrada la impedancia en paralelo.
Figura 2. Impedancia 1. [Elaborado por autores]
El circuito de la figura 2 se puede simplificar aún más, con la sumatoria de las impedancias en serie y encontrar la impedancia total.
ZT= Z1+XC1-XC2ZT= 1,24+3,29j+2653927813j-2653927813jZT= 1,24+3,29jZT= Z1+XC1-XC2ZT= 1,24+3,29j+2653927813j-2653927813jZT= 1,24+3,29jFigura 3. Impedancia Total. [Elaborado por autores]
ZT= Z1+XC1-XC2
ZT= 1,24+3,29j+2653927813j-2653927813j
ZT= 1,24+3,29j
ZT= Z1+XC1-XC2
ZT= 1,24+3,29j+2653927813j-2653927813j
ZT= 1,24+3,29j
En la figura 3 se tiene un circuito con una configuración simple, en donde se puede encontrar la intensidad de corriente total de forma sencilla. De la siguiente forma:
I= VZTModulo del fasor ZTZT= 1,242+3,292ZT=3,51θ= tan-13,291,24θ=77,02°I= VZTModulo del fasor ZTZT= 1,242+3,292ZT=3,51θ= tan-13,291,24θ=77,02°
I= VZT
Modulo del fasor ZT
ZT= 1,242+3,292
ZT=3,51
θ= tan-13,291,24
θ=77,02°
I= VZT
Modulo del fasor ZT
ZT= 1,242+3,292
ZT=3,51
θ= tan-13,291,24
θ=77,02°
I= VZTI=5545°3,5177,02°I=15,66-32,02°//I= VZTI=5545°3,5177,02°I=15,66-32,02°//
I= VZT
I=5545°3,5177,02°
I=15,66-32,02°//
I= VZT
I=5545°3,5177,02°
I=15,66-32,02°//
Intensidad de Corriente Total
I
15,66
α
-0,41 rad
Tabla 2. Intensidad de corriente total [Elaborado por Autores]
De esta manera obtenemos la intensidad de corriente total en el dominio de la frecuencia, pero la necesitamos volver al dominio del tiempo y de esa manera obtenemos su gráfica.
t
ωt
ωt + ψv
ωt + ψi
sen(ωt + ψv)
sen(ωt + ψi)
t
Vp*sen(ωt + ψv)
Ip*sen(ωt + ψi)
0
0
0,7854
-0,41
0,70710808
-0,398609328
0
38,89094439
-624,2222076
0,001
0,376992
1,162392
-0,033008
0,917755705
-0,033002006
0,001
50,47656379
-51,68114213
0,002
0,753984
1,539384
0,343984
0,999506673
0,33724037
0,002
54,97286704
528,1184197
0,003
1,130976
1,916376
0,720976
0,940879251
0,66011812
0,003
51,7483588
1033,744976
0,004
1,507968
2,293368
1,097968
0,750107523
0,890283813
0,004
41,25591377
1394,184452
0,005
1,88496
2,67036
1,47496
0,453984936
0,995411213
0,005
24,96917147
1558,81396
0,006
2,261952
3,047352
1,851952
0,094101219
0,96073542
0,006
5,175567041
1504,511667
0,007
2,638944
3,424344
2,228944
-0,278998796
0,791126568
0,007
-15,34493376
1238,904206
0,008
3,015936
3,801336
2,605936
-0,612914077
0,510405828
0,008
-33,71027426
799,2955266
0,009
3,392928
4,178328
2,982928
-0,860747001
0,157999775
0,009
-47,34108504
247,427647
0,01
3,76992
4,55532
3,35992
-0,987690007
-0,21659698
0,01
-54,32295038
-339,190871
0,011
4,146912
4,932312
3,736912
-0,975914246
-0,560773192
0,011
-53,67528352
-878,1708189
0,012
4,523904
5,309304
4,113904
-0,827073596
-0,826190112
0,012
-45,48904776
-1293,813715
0,013
4,900896
5,686296
4,490896
-0,56207238
-0,975570549
0,013
-30,91398091
-1527,74348
0,014
5,277888
6,063288
4,867888
-0,218129404
-0,987934369
0,014
-11,99711723
-1547,105222
0,015
5,65488
6,44028
5,24488
0,15644934
-0,861545101
0,015
8,604713686
-1349,179629
0,016
6,031872
6,817272
5,621872
0,509055137
-0,614153825
0,016
27,99803256
-961,7648906
0,017
6,408864
7,194264
5,998864
0,790165323
-0,280506071
0,017
43,45909279
-439,2725074
0,018
6,785856
7,571256
6,375856
0,960298625
0,092538109
0,018
52,81642438
144,9146792
0,019
7,162848
7,948248
6,752848
0,995560215
0,452585527
0,019
54,75581184
708,7489357
0,02
7,53984
8,32524
7,12984
0,890997686
0,749068359
0,02
49,00487272
1173,04105
0,021
7,916832
8,702232
7,506832
0,661296601
0,94034628
0,021
36,37131304
1472,582274
0,022
8,293824
9,079224
7,883824
0,338717944
0,99955475
0,022
18,62948693
1565,302738
0,023
8,670816
9,456216
8,260816
-0,031432861
0,918378077
0,023
-1,728807347
1438,180068
0,024
9,047808
9,833208
8,637808
-0,397168994
0,708217336
0,024
-21,84429465
1109,068348
0,025
9,4248
10,2102
9,0148
-0,707123664
0,398589115
0,025
-38,89180151
624,1905545
0,026
9,801792
10,587192
9,391792
-0,917764458
0,032979979
0,026
-50,47704518
51,64664748
0,027
10,178784
10,964184
9,768784
-0,999507365
-0,337261118
0,027
-54,9729051
-528,1509112
0,028
10,555776
11,341176
10,145776
-0,940871785
-0,660134675
0,028
-51,74794818
-1033,770901
0,029
10,932768
11,718168
10,522768
-0,750092948
-0,89029385
0,029
-41,25511214
-1394,200169
0,03
11,30976
12,09516
10,89976
-0,453965299
-0,995413322
0,03
-24,96809142
-1558,817262
0,031
11,686752
12,472152
11,276752
-0,094079277
-0,960729304
0,031
-5,174360261
-1504,502091
0,032
12,063744
12,849144
11,653744
0,27901996
-0,791113088
0,032
15,34609778
-1238,883095
0,033
12,440736
13,226136
12,030736
0,612931492
-0,510386876
0,033
33,71123204
-799,2658471
0,034
12,817728
13,603128
12,407728
0,860758219
-0,157978012
0,034
47,34170205
-247,393567
0,035
13,19472
13,98012
12,78472
0,987693454
0,216618496
0,035
54,32313998
339,224565
0,036
13,571712
14,357112
13,161712
0,975909438
0,56079144
0,036
53,67501907
878,1993948
0,037
13,948704
14,734104
13,538704
0,827061207
0,826202528
0,037
45,48836641
1293,833159
0,038
14,325696
15,111096
13,915696
0,562054152
0,975575391
0,038
30,91297834
1527,751062
0,039
14,702688
15,488088
14,292688
0,218107896
0,987930956
0,039
11,99593426
1547,099876
0,04
15,07968
15,86508
14,66968
-0,156471108
0,861533912
0,04
-8,605910915
1349,162107
0,041
15,456672
16,242072
15,046672
-0,509074107
0,614136432
0,041
-27,99907589
961,7376528
0,042
15,833664
16,619064
15,423664
-0,790178831
0,280484917
0,042
-43,4598357
439,2393795
0,043
16,210656
16,996056
15,800656
-0,960304773
-0,092560054
0,043
-52,81676252
-144,9490445
0,044
16,587648
17,373048
16,177648
-0,995558141
-0,45260518
0,044
-54,75569773
-708,7797118
0,045
16,96464
17,75004
16,55464
-0,89098768
-0,74908296
0,045
-49,00432237
-1173,063915
0,046
17,341632
18,127032
16,931632
-0,661280068
-0,940353778
0,046
-36,37040376
-1472,594016
0,047
17,718624
18,504024
17,308624
-0,338697208
-0,999554092
0,047
-18,62834642
-1565,301708
0,048
18,095616
18,881016
17,685616
0,031454889
-0,918369355
0,048
1,730018905
-1438,166411
0,049
18,472608
19,258008
18,062608
0,39718922
-0,708201776
0,049
21,8454071
-1109,043981
0,05
18,8496
19,635
18,4396
0,707139247
-0,398568902
0,05
38,8926586
-624,158901
0,051
19,226592
20,011992
18,816592
0,91777321
-0,032957952
0,051
50,47752654
-51,61215281
0,052
19,603584
20,388984
19,193584
0,999508057
0,337281866
0,052
54,97294313
528,1834024
0,053
19,980576
20,765976
19,570576
0,940864319
0,66015123
0,053
51,74753753
1033,796826
0,054
20,357568
21,142968
19,947568
0,750078373
0,890303886
0,054
41,25431049
1394,215886
0,055
20,73456
21,51996
20,32456
0,453945661
0,99541543
0,055
24,96701136
1558,820563
0,056
21,111552
21,896952
20,701552
0,094057336
0,960723189
0,056
5,173153478
1504,492513
0,057
21,488544
22,273944
21,078544
-0,279041124
0,791099607
0,057
-15,3472618
1238,861984
Tabla 3. Tabla de voltaje e intensidad de corriente total del circuito [Elaborado por Autores]
Figura 4. Gráfica de la Tabla 3 [Elaborado por autores]
t
Ur * Sen (ωt + ψi)
Ir*sen(ωt + ψi)
0
-88,2783512
-219,2351304
0,001
-7,308817212
-18,15110356
0,002
74,68722317
185,4822036
0,003
146,1936165
363,0649661
0,004
197,167456
489,6560974
0,005
220,4495843
547,4761672
0,006
212,7700805
528,4044809
0,007
175,2075131
435,1196126
0,008
113,0374574
280,7232054
0,009
34,9915534
86,899876
0,01
-47,968833
-119,1283391
0,011
-124,1921082
-308,4252557
0,012
-182,9728903
-454,4045615
0,013
-216,0555549
-536,5638021
0,014
-218,7937187
-543,363903
0,015
-190,8028129
-473,8498058
0,016
-136,0140952
-337,784604
0,017
-62,12251375
-154,2783391
0,018
20,49403047
50,89596012
0,019
100,2322357
248,92204
0,02
165,8930563
411,9875975
0,021
208,2545824
517,1904539
0,022
221,3672361
549,7551123
0,023
203,3893757
505,1079421
0,024
156,8459499
389,5195347
0,025
88,27387477
219,2240134
0,026
7,303938932
18,13898858
0,027
-74,69181816
-185,493615
0,028
-146,1972829
-363,0740713
0,029
-197,1696788
-489,6616175
0,03
-220,4500513
-547,4773269
0,031
-212,7687261
-528,4011174
0,032
-175,2045276
-435,1121983
0,033
-113,0332601
-280,7127816
0,034
-34,98673377
-86,88790666
0,035
47,97359805
119,1401729
0,036
124,1961495
308,4352919
0,037
182,9756401
454,4113906
0,038
216,0566272
536,5664649
0,039
218,7929628
543,3620255
0,04
190,8003349
473,8436518
0,041
136,0102432
337,7750377
0,042
62,11782876
154,2667042
0,043
-20,49889046
-50,90802968
0,044
-100,2365881
-248,932849
0,045
-165,8962898
-411,9956279
0,046
-208,2562429
-517,1945777
0,047
-221,3670904
-549,7547505
0,048
-203,3874443
-505,1031455
0,049
-156,842504
-389,5109769
0,05
-88,26939829
-219,2128963
0,051
-7,299060649
-18,12687359
0,052
74,69641311
185,5050264
0,053
146,2009491
363,0831763
0,054
197,1719015
489,6671374
0,055
220,4505182
547,4784865
0,056
212,7673717
528,3977537
0,057
175,201542
435,1047838
Tabla 4. Voltaje e intensidad de corriente en el resistor [Elaborado por Autores]
Figura 5. Gráfica de la tabla 4 [Elaborado por Autores]
ωt + ψi+(3,1416/2)
Sen (ωt + ψi+(3,14/2))
UL * Sen (ωt + ψi+(3,14/2))
1,1608
0,917122287
76,57132059
1,537792
0,999455407
83,44538285
1,914784
0,941417336
78,59973491
2,291776
0,751159387
62,71493676
2,668768
0,455402847
38,02197142
3,04576
0,095686035
7,988908507
3,422752
-0,277469659
-23,16617805
3,799744
-0,611655383
-51,06762871
4,176736
-0,85993553
-71,79674953
4,553728
-0,987439728
-82,44218365
4,93072
-0,976260311
-81,50880456
5,307712
-0,8279674
-69,12770319
5,684704
-0,563388391
-47,03777648
6,061696
-0,219682792
-18,34150331
6,438688
0,154876746
12,93079139
6,81568
0,507684204
42,38698648
7,192672
0,789188596
65,89002777
7,569664
0,959853282
80,1389677
7,946656
0,995708804
83,13257576
8,323648
0,891719337
74,45040665
8,70064
0,66248996
55,31185085
9,077632
0,340215408
28,40487408
9,454624
-0,029841608
-2,491501289
9,831616
-0,39570744
-33,03795108
10,208608
-0,705997081
-58,94429739
10,5856
-0,917131072
-76,57205403
10,962592
-0,999456134
-83,44544355
11,339584
-0,941409903
-78,59911433
11,716576
-0,751144838
-62,71372208
12,093568
-0,455383226
-38,02033322
12,47056
-0,095664097
-7,987076874
12,847552
0,277490833
23,16794587
13,224544
0,611672819
51,06908443
13,601536
0,859946778
71,79768869
13,978528
0,98744321
82,44247435
14,35552
0,976255537
81,50840598
14,732512
0,827955041
69,12667131
15,109504
0,563370183
47,03625621
15,486496
0,219661291
18,33970818
15,863488
-0,154898519
-12,93260926
16,24048
-0,507703192
-42,38857177
16,617472
-0,789202131
-65,89115784
16,994464
-0,959859463
-80,13948383
17,371456
-0,995706764
-83,13240546
17,748448
-0,891709362
-74,44957384
18,12544
-0,662473451
-55,31047249
18,502432
-0,340194683
-28,40314376
18,879424
0,029863638
2,493340543
19,256416
0,39572768
33,03964096
19,633408
0,706012689
58,94560054
20,0104
0,917139856
76,57278744
20,387392
0,99945686
83,44550421
20,764384
0,94140247
78,59849372
21,141376
0,751130289
62,71250736
21,518368
0,455363604
38,018695
21,89536
0,095642158
7,985245237
22,272352
-0,277512006
-23,16971367
22,649344
-0,611690254
-51,07054012
Tabla 5. Voltaje de la bobina [Elaborado por autores]
t
UB * Sen (ωt + ψi+(3,14/2))
IB*sen(ωt + ψi)
0
76,57132059
-581,1724002
0,001
83,44538285
-48,11692543
0,002
78,59973491
491,6964598
0,003
62,71493676
962,4522192
0,004
38,02197142
1298,0338
0,005
7,988908507
1451,309549
0,006
-23,16617805
1400,752242
0,007
-51,06762871
1153,462537
0,008
-71,79674953
744,1716972
0,009
-82,44218365
230,3636713
0,01
-81,50880456
-315,7983971
0,011
-69,12770319
-817,6073142
0,012
-47,03777648
-1204,585183
0,013
-18,34150331
-1422,381861
0,014
12,93079139
-1440,40831
0,015
42,38698648
-1256,132758
0,016
65,89002777
-895,4362774
0,017
80,1389677
-408,9778517
0,018
83,13257576
134,9205634
0,019
74,45040665
659,8696987
0,02
55,31185085
1092,141668
0,021
28,40487408
1371,024876
0,022
-2,491501289
1457,350825
0,023
-33,03795108
1338,995236
0,024
-58,94429739
1032,580876
0,025
-76,57205403
581,14293
0,026
-83,44544355
48,08480973
0,027
-78,59911433
-491,7267104
0,028
-62,71372208
-962,4763562
0,029
-38,02033322
-1298,048433
0,03
-7,987076874
-1451,312623
0,031
23,16794587
-1400,743326
0,032
51,06908443
-1153,442882
0,033
71,79768869
-744,1440646
0,034
82,44247435
-230,3319417
0,035
81,50840598
315,8297674
0,036
69,12667131
817,6339193
0,037
47,03625621
1204,603286
0,038
18,33970818
1422,38892
0,039
-12,93260926
1440,403333
0,04
-42,38857177
1256,116444
0,041
-65,89115784
895,4109181
0,042
-80,13948383
408,9470085
0,043
-83,13240546
-134,9525587
0,044
-74,44957384
-659,8983524
0,045
-55,31047249
-1092,162955
0,046
-28,40314376
-1371,035808
0,047
2,493340543
-1457,349866
0,048
33,03964096
-1338,98252
0,049
58,94560054
-1032,55819
0,05
76,57278744
-581,1134596
0,051
83,44550421
-48,052694
0,052
78,59849372
491,7569609
0,053
62,71250736
962,5004928
0,054
38,018695
1298,063066
0,055
7,985245237
1451,315697
0,056
-23,16971367
1400,734409
0,057
-51,07054012
1153,423227
Tabla 6. Voltaje e intensidad de corriente de la bobina [Elaborado por Autores]
Figura 6. Gráfica de la tabla 6 [Elaborado por Autores]
t
Vp*raiz(2) sen(ωt + ψv)
Ic*cos(ωt + ψv+3,1416/2)
0
55,00010101
-2,06384E-08
0,001
71,38464109
-2,67866E-08
0,002
77,74337413
-2,91726E-08
0,003
73,18323085
-2,74614E-08
0,004
58,34467278
-2,18933E-08
0,005
35,31174094
-1,32504E-08
0,006
7,319357102
-2,74643E-09
0,007
-21,70101344
8,14324E-09
0,008
-47,67352705
1,78892E-08
0,009
-66,95040452
2,51227E-08
0,01
-76,82425318
2,88277E-08
0,011
-75,90831392
2,8484E-08
0,012
-64,33122829
2,41397E-08
0,013
-43,71897106
1,64051E-08
0,014
-16,9664859
6,36644E-09
0,015
12,1689028
-4,56639E-09
0,016
39,59519736
-1,48579E-08
0,017
61,46043843
-2,30626E-08
0,018
74,69370367
-2,80283E-08
0,019
77,43641172
-2,90574E-08
0,02
69,30335562
-2,60055E-08
0,021
51,43680418
-1,93012E-08
0,022
26,34607308
-9,88606E-09
0,023
-2,444902797
9,17538E-10
0,024
-30,89249775
1,15923E-08
0,025
-55,00131316
2,06389E-08
0,026
-71,38532188
2,67868E-08
0,027
-77,74342795
2,91726E-08
0,028
-73,18265014
2,74612E-08
0,029
-58,34353911
2,18929E-08
0,03
-35,31021352
1,32498E-08
0,031
-7,317650457
2,74579E-09
0,032
21,70265961
-8,14386E-09
0,033
47,67488155
-1,78897E-08
0,034
66,95127711
-2,5123E-08
0,035
76,82452131
-2,88278E-08
0,036
75,90793993
-2,84838E-08
0,037
64,3302647
-2,41394E-08
0,038
43,71755322
-1,64046E-08
0,039
16,96481293
-6,36581E-09
0,04
-12,17059593
4,56703E-09
0,041
-39,59667286
1,48584E-08
0,042
-61,46148906
2,3063E-08
0,043
-74,69418188
2,80284E-08
0,044
-77,43625035
2,90573E-08
0,045
-69,30257732
2,60052E-08
0,046
-51,43551827
1,93007E-08
0,047
-26,34446016
9,88545E-09
0,048
2,446616199
-9,18181E-10
0,049
30,89407099
-1,15929E-08
0,05
55,00252527
-2,06393E-08
0,051
71,38600263
-2,67871E-08
0,052
77,74348173
-2,91726E-08
0,053
73,1820694
-2,7461E-08
0,054
58,3424054
-2,18925E-08
0,055
35,30868608
-1,32492E-08
0,056
7,315943809
-2,74514E-09
0,057
-21,70430578
8,14448E-09
Tabla 7. Voltaje e intensidad del capacitor [Elaborado por autores]
Figura 7. Gráfica tabla 7 [Elaborado por autores]
conclusiones
al realizar este tipo de ejercicios estamos afianzando los conocimientos adquiridos en el curso de teoría de circuitos por ende tenemos las herramientas necesarias para poder utilizar de una buena forma las leyes y teoremas aplicados en los diferentes tipos de ejercicios dentro de nuestra vida estudiantil.
Bibliografía
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