RESISTENCIA A LA FLEXION DE VIGAS ISOSTATICAS HORMIGON PRESFORZADO

Escuela Superior Politécnica del Litoral Facultad de Ingeniería en Ciencias de la Tierra Ingeniería Civil

RESISTENCIA A LA FLEXION DE VIGAS ISOSTATICAS HORMIGON PRESFORZADO Ing. Luis Villavicencio Cavero

CARACTERÍSTICAS DE LA SECCIÓN, SOLICITACIONES, ESFUERZOS G: y1: superior. y2: inferior. h: Ic: hormigón. Ac: i: P: interna). T: eo: q o: qd: qD: q L: M P: M0: Md : MD: ML: MT:

Baricentro. Distancia desde el baricentro de la fibra extrema Distancia desde el baricentro de la fibra extrema Altura de la sección. Momento de inercia baricéntrico de la sección de Área de la sección de hormigón. Radio de giro. i = Ic Ac Fuerza de presfuerzo (resultante de compresión Fuerza de tensado de cables de presfuerzo. Excentricidad de la fuerza de Presfuerzo P. Carga por peso propio. Carga muerta sobreimpuesta. Carga muerta total. qD = qo + qd Carga viva sobreimpuesta. Momento de presfuerzo. MP = P eo Momento por peso propio. Momento por carga muerta sobreimpuesta. Momento por carga muerta. MD = M0 + Md Momento por carga viva. Momento total. MT = MD + ML

Ecuaciones para determinar esfuerzos debido al presfuerzo: eo y P MP P P eo P fo1 = + y1 = + y1 = 1 + 2 1 Ec. 3.1a Ac Ic Ac Ic Ac i fo2 =

eo y P MP P P eo P + y2 = + y2 = 1 + 2 2 Ec. 3.1b Ac Ic Ac Ic Ac i

Los esfuerzos producidos por el momento por carga muerta se determinan por: MD y1 fD1 = Ec. 3.2a Ic MD y2 fD2 = Ec. 3.2b Ic Los esfuerzos producidos por el momento por carga viva se determinan por: ML y1 fL1 = Ec. 3.3a Ic ML y2 fL2 = Ec. 3.3b Ic La convención de signos fue definida en el capítulo 1: Esfuerzos de tracción + Esfuerzos de compresión Momento positivo si se produce tracciones en la fibra inferior En flexión positiva: Distancias bajo G + Distancias sobre G -

Si se tiene el caso de una sección rectangular, se tiene lo siguiente: Ac = b h y1 = y2 = h/2 Ic = b h3 / 12 i2 = Ic / Ac = (b h3/12) / (bh) = h2/12 MD h 2 6MD fD = ± 3 =± 2 bh bh 12 ML h 2 6ML fL = ± 3 =± 2 bh bh 12 fo =

P bh

1±

eo h 2 h2

12

=

P bh

1±

6 eo h

Esfuerzos de flexión. En una viga que está siendo sometida a cargas gravitacionales, debido al momento flector se generan esfuerzos internos de flexión. f1 C

compresión compresión

z tracción

tracción

T

f2 Figura 3.1. Diagrama de esfuerzos y fuerzas internas por flexión.

FUERZAS INTERNAS. RESISTENCIA A LA FLEXIÓN DE UNA VIGA DE HORMIGÓN PRESFORZADO. En el sistema autoequilibrado mostrado en la figura, de un elemento de hormigón presforzado con un cable curvo, el equilibrio se tiene según: El equilibro del cable se satisface por la acción de las fuerzas interna (PA y PB) en el tensado y por las suma de las fuerzas de desvío f. El equilibro en el hormigón se establece por las reacciones a las fuerzas del cable, P’A en el anclaje A, f’ en el cable, la fuerza P’B en las sección BB’, esta última que produce flexocompresión en la sección. En toda sección presforzada, la acción de cada cable equivale a una fuerza de compresión dirigida según la tangente al eje del cable en el sitio de cruce con la sección donde está aplicada y tiene una intensidad igual a la tensión del cable en ese punto.

Resistencia a la flexión.

NÚCLEO CENTRAL DE INERCIA. b f1 = 0

f1

Nucleo Central de Inercia P

Caso f2 = 0 k1 y2 P f2 = 1+ 2 =0 Ac i k1 =

i2 − y2

k1 k2

h

k1 k2

P

f2

f2 = 0

Figura 3.4. Esfuerzos y excentricidades del núcleo central de inercia, para una sección Caso f1 = 0 rectangular k2 y1 P f1 = 1+ 2 =0 Ac i i2 k2 = − y1 En el caso de la sección rectangular, los límites serían: Ac = bh Ic = bh3/12 i2 = h2/12 k1 = - h/6 k2 = h/6

La altura del núcleo está dado por: k1 + k2 =

i2 y2

+

i2 y1

= i2

1 y2

+

1 y1

= i2

y2 +y1 y1 y2

= i2

h y1 y2

Donde el rendimiento geométrico de la sección, que es una medida de la eficiencia a flexión de la viga, sería: i2 ρ= y1 y2 Altura del núcleo: ρ h En vigas de sección T, I o cajón, el valor del rendimiento geométrico es mayor que secciones rectangulares, es por su geometría.

k1

k1 k2

k2

(a)

(b)

Figura 3.5. Núcleos límites en secciones de vigas metálicas y de hormigón presforzado

CENTRO DE PRESIÓN. El centro de presión se define como el lugar geométrico del punto de aplicación de la resultante de compresión en la sección del elemento estructural. Las distancias que se desplaza la excentricidad inicial son: z1 = M0/P z2 = M0/P + Md/P = (M0 + Md)/P = MD/P z3 = M0/P + Md/P + ML/P = (M0 + Md + ML)/P = MT/P Dónde: M0: Momento por peso propio Md: Momento por carga muerta sobreimpuesta ML: Momento por carga viva MD: Momento por carga muerta MT: Momento total f1 = 0

f1

f1

P

P centroide viga

k1 k2

centroide cable

P P

eo

z3

P

P

z2

z1 T

f2 (a)

f2 (b)

(c)

Figura 3.6. Desplazamiento del centro de presión

f2 = 0 (d)

CENTRO DE PRESIÓN. Para el caso de que la viga esté sometida a la carga de servicio, el brazo de palanca entre la fuerza de tensión de T y la fuerza de compresión P, es igual a la suma de las excentricidades de cada una de estas fuerzas del centro de gravedad de la sección, así: z = eo + k1 = eo + i2/y2 Además, los momentos internos y externos deben ser iguales en magnitud y opuestos en cada sección de la viga. Por lo tanto, el momento externo total que la viga resiste en la sección considerada para esfuerzos f2 = 0, sería: MT = MD + ML = P z = P (eo + i2/y2) La sucesión de los centros de presión definen las líneas y huso de presiones, tal como se muestra en la Figura. Línea de presión para momento máximo

Huso de presión

Línea de presión para mínimo momento

Cable

Figura 3.7. Huso de presión

eo

eo

(a)

(b)

Figura 3.8. Cables resultantes en vigas pretensadas y postensadas CL

Ductos

Cable teórico

(a)

(b)

(c)

Figura 3.9. Cambio de posición del cable en vigas pretensadas y postensadas.

NÚCLEO LÍMITE EN UNA VIGA PRESFORZADA. R1i = f 1 = 0

R1s = f 1 = fc

P

Se debe cumplir: R1i ≤ f1 ≤ R1s R2i ≥ f2 ≥ R2s

P

R2i = f 2 = fc (a) f 1 = R1i

R2s = f 2 = 0 (b)

Figura 3.9. Límites de esfuerzos. ft

f 1 = R1s

P

P a1'

a1''

NÚCLEO LÍMITE EN UNA VIGA PRESFORZADA. Las ecuaciones 3.1 y 3.2, se las replantean en función del esfuerzo baricéntrico del presfuerzo fo1 =

P Ac P Ac

1+

eo y1 i

2

eo y2

= fcc 1 +

eo y1 i2 eo y2

fo2 = 1 + 2 = fcc 1 + 2 i i Siendo fcc el esfuerzo baricéntrico debido al presfuerzo. El núcleo límite estará determinado por las excentricidades límites a1 y a2, las mismas que controlan que los esfuerzos en las fibras extremas superior e inferior no excedan el rango admisible de trabajo, tanto en estado de vacío como en estado de servicio. Por tanto se tendría que verificar los máximos y mínimos esfuerzos permisibles, en cada estado, donde las excentricidades límites estarían dadas por:

NÚCLEO LÍMITE EN UNA VIGA PRESFORZADA. R = f = fc R =f =0 Para el estado de vacío: f1 = R1iR=1i f 1 = 0

2i

2

2s

(a)

2

(b)

f 1 = R1i f 1 = R1s R1s = f 1 = fc La excentricidad de la fuerza de presfuerzo que hace que el esfuerzo en la fibra extrema superior se igual al límite R1i (f1 = R1i), a2’ es:

R1i = fcc Pa2'

P

a2 ′ y1 1+ 2 i

R1i i2 a2'' a2 ′ = −1 fcc yP1

R2i = f 2 = fc (a) f 2

R2s = f 2 = 0 f2 = R2i (b)

P

P R1i a2 ′ y1 =1+ 2 a1' fcc i

P a1''

Ec. 3.4a

f2

f 2 = R2s

ft que hace que el esfuerzo f 1 = R1s La excentricidad de la fuerza de presfuerzo en la fibra extrema inferior se igual al límite R2i (f2 = R2i), a2’’ es:

f 1 = R1i

R 2i = fcc

a2'

a2'' P f2 = R2i

P a2 ′′ y2 1 + 2 a1' i

R 2i i2 a2 ′′ = −1 fcc y2 f2

R 2i aP2 ′′ y2 = 1 + a21'' fcc i Ec. 3.4b

f 2 = R2s

ft

R2s = f 2 = 0 (b)

NÚCLEO LÍMITE EN UNA VIGA PRESFORZADA.

= f 1 = fc

Para el estadoftde servicio:

f 1 = R1s

P

La excentricidad de la fuerza de presfuerzo que hace que el esfuerzo P superior se igual al límite R1s (f1 = R1s), a1’ es: en la fibra extrema

P a1'

R1s = fcc

a1'' a1 ′ y1 1+ 2 i

R1s i2 a1 ′ = −1 fcc y1

=0

f 2 = R2s

f2

La excentricidad de la fuerza de presfuerzo que hace que el esfuerzo en la fibra extrema inferior se igual al límite R2s (f2 = R2s), a1’’ es:

f1

P

1'

R 2s = fcc 1 + a1''

a1 ′′ y2 i2

R 2s i2 a1 ′′ = −1 fcc y2

f 2 = R2s

Ec. 3.5a

Ec. 3.5b

NÚCLEO LÍMITE EN UNA VIGA PRESFORZADA. a1 a1'

a1''

G a2'

a2''

a2

Las excentricidades a2’ y a2’’ definen los límites inferiores para el centro de presión, mientras que las a1’ y a1’’ son los límites superiores. Estas excentricidades varían en función de la fuerza de presfuerzo y de la geometría de la sección, por lo que pueden variar por cada caso.

Límite superior

a1 a1'

a1''

G a2'

Huso Límite a2

a2''

Límite inferior

Figura 3.10. Huso Límite.

DETERMINACIÓN DEL NÚCLEO DE PASO Y HUSO DE PASO. En el diseño de una viga presforzada, se debe procurar que el centro de presiones este siempre ubicado dentro del núcleo límite, así se garantiza que los esfuerzos producidos sean admisibles. La posición inferior en la que debe estar ubicado el cable de presfuerzo estaría determinado por: Mmin/P, mientras que la posición superior en la que debe estar ubicado el cable sería: Mmax/P (ver Figura), donde: Mmin = M0 Mmax = MD + ML

DETERMINACIÓN DEL NÚCLEO DE PASO Y HUSO DE PASO. La distancia inferior del cable desde el baricentro estaría determinado por: M0 a2 = e′o − a1 P M0 e′o = a2 + P M La distancia superior del cable P e''o desde el baricentro estaría e'o a2 M determinado por: nucleo de paso P MD +ML a1 = e′ o − P MD +ML e′′o = a1 + P ′

Figura 3.11. Núcleo de paso.

El núcleo de paso estaría definido por el intervalo: e’o – e’’o

DETERMINACIÓN DEL NÚCLEO DE PASO Y HUSO DE PASO. Huso límite

Huso de paso

Figura 3.12. Huso de paso.

MOMENTO DE AGRIETAMIENTO. El momento de agrietamiento es aquel que produce las primeras grietas capilares en una viga presforzada, la misma que sería una medida de la suficiencia de la viga en cargas de servicio. fr =

P eo y2 y2 1 + 2 + Mcr Ac i Ic

Mcr = fr −

Mcr = fr

Mcr = fr

P eo y2 1+ 2 Ac i

b

Ic y2

f1

Ic P Ic P Ic y2 − − eo 2 y2 Ac y2 Ac y2 i Ic P Ic − − P eo y2 Ac y2

P

y1 h

y2 T

Ic Pi2 Mcr = fr − − P eo y2 y2

Ec. 3.7

f 2 = fr

Dónde: Mcr: fr Ic/y2: P i2/ y2: P eo:

Momento de agrietamiento. Momento resistente debido al módulo de ruptura. Momento resistente debido a la compresión directa del presfuerzo. Momento resistente debido a la excentricidad del presfuerzo.

MOMENTO DE AGRIETAMIENTO. En el caso de que el centro de presión esté en el borde superior del núcleo límite, el esfuerzo en la fibra inferior es nulo, donde el momento resistente sería: M1 = T eo + k1 = T eo +

i2 y2

Para que en la fibra inferior, que está con esfuerzos cero, se genere el esfuerzo fr, es necesario un momento adicional M2, el mismo que se define como: M2 = fr

Ic y2

i2 Ic Mcr = M1 + M2 = T eo + + fr y2 y2 i2 Ic Mcr = Teo + T + fr Ec. 3.8 y2 y2 La ecuaciones 3.7 y 3.8 son equivalentes

MOMENTO DE AGOTAMIENTO. Nivel de servicio. Agrietamiento. Fin del comportamiento elástico. Cedencia del acero y falla del hormigón. A grandes deformaciones el hormigón sufre aplastamiento al llegar a su deformación última εu en la fibra extrema a compresión.

MOMENTO DE AGOTAMIENTO. Tipos de falla en el agotamiento resistente a flexión: 1.- En vigas subreforzadas. 2.- En vigas sobrerreforzadas En las vigas de hormigón armado ordinario, que una viga sea subreforzadas o sobrerreforzadas depende de las propiedades de la curva esfuerzo-deformación (fp – εs) del acero y así como de la cuantía de refuerzo ρ = As/bd. Para los materiales de uso corriente en la actualidad, se puede considerar lo siguiente, para las secciones que son resistentemente rectangulares: Secciones subreforzadas: 0.3< ρp < 0.8% ; 0.15 < ωp < 0.4 Secciones sobrereforzadas: ρp > 1% ; ωp > 0.5 Rotura de hilos ó torones: ρp < 0.15% ; ωp< 0.08

MOMENTO DE AGOTAMIENTO. 3 f'c

cu

b

2 c u d

c˜ 0

C = 1 3 f'c bc

c

d Deformación en el hormigón debido al presfuerzo

T = Ap fps

ps Acero de presfuerzo (a) Condición de momento último en hormigón presforzado

3 f'c

cu

b

2 c u d

C = 1 3 f'c bc

c

d

T = As fy

s Acero de resfuerzo (b) Condición de momento último en hormigón armado ordinario

Figura 3.13. Condiciones de momento último para vigas de hormigón armado y presforzado. b

0.85 f'c cu = 0.003

T = As fy

s

Secciones rectangulares de hormigón Acero de resfuerzo Condición de momento último en hormigón armado ordinario presforzado(b)con falla a tracción. 0.85 f'c

cu = 0.003

b

a = 1 c

c = u d

2 c C

dp

T



ps

Acero de presfuerzo Ap

Figura 3.14. Hipótesis ACI-318, sobre la distribución de deformaciones y esfuerzos en la zona de compresión. b 0.85 f'c bw cu = 0.003 t

c = u d dp

a = 1 c

2 c

C

Secciones rectangulares de hormigón presforzado con falla a tracción. Se ha demostrado mediante ensayos, que el elemento alcanza su resistencia a una deformación unitaria máxima útil del concreto en compresión igual a 0.003, con una distribución lineal de deformaciones unitarias. El coeficiente β1 es dependiente de la resistencia nominal f'c, de acuerdo con la ecuación 3.9. f′c 0.65 ≤ β1 = 1.05 − ≤ 0.85 Ec. 3.9 1400 El valor de β1 es constante e igual a 0.85 para f'c = 280 kg/cm2. Esta variación tiene por objeto tomar en cuenta el cambio en la forma de la curva esfuerzo-deformación del concreto al incrementar su resistencia, ya que el área del rectángulo equivalente debe ser aproximadamente igual al área bajo la curva esfuerzo-deformación. La hipótesis del bloque equivalente de esfuerzos es aplicable a secciones de cualquier forma. De la figura 3.14, se tiene que la fuerza del bloque de compresión estaría dada por: C = 0.85 f’c a b Mientras que la fuerza de tracción que se desarrolla en el acero de presfuerzo es: T = Ap fps Ap ρp = b dp T = ρp b dp fps El par interno formado por las fuerzas de compresión y de tracción, debido al equilibrio se igualan: C=T 0.85 f’c a b = ρp b dp fps ρp dp f ps a= 0.85 f′ c

Secciones rectangulares de hormigón presforzado con falla a tracción. Tomando momento respecto al acero de presfuerzo traccionado, se tiene: a a Mn = C dp − = 0.85 f′ c a b dp 1 − 2 2dp Reemplazando “a” en la ecuación y considerando que: fps ωp = ρp f′c Se tiene el momento nominal resistente, del mecanismo de falla de la viga: Mn = b dp 2 f′c ωp 1 − 0.59ωp Ec. 3.10 Considerando nuevamente el equilibrio del par interno, se puede determinar una ecuación alterna: C=T 0.85 f’c a b = ρp b dp fps Ap fps a= = β1 c Ec. 3.11 ′ 0.85 f c b Tomando momento respecto al acero de presfuerzo traccionado, se tiene: a Mn = Ap fps dp − Ec. 3.12 2

Secciones "T" presforzadas fallando en tracción con el eje neutro en el nervio. En el caso de elementos con patines como vigas I y T, su comportamiento dependerá de la profundidad del bloque de esfuerzos. Si esta profundidad es menor al espesor del patín, se considera como sección rectangular, con el ancho de la sección igual al ancho total del patín. Caso que la profundidad del bloque de esfuerzos sea mayor que el espesor del patín: f′ c Apf = 0.85 b − bw t fps t dp − 2 Apw = Ap – Apf Apw fps a= 0.85 f′ c bw a dp − 2 a t Mn = Apw fps dp − + Apf fps dp − Ec. 3.13 2 2 Dónde: Ap = Area del acero de presfuerzo. Apf = Porción del área del acero de presfuerzo de las alas del patín. Apw = Porción del área del acero de presfuerzo del alma. a = Profundidad del bloque de esfuerzos. b = Ancho total del patín a compresión. bw = Ancho del alma. t = Espesor del patín a compresión.

T

 Secciones "T" presforzadas fallando en tracción Acero de presfuerzo Ap con el eje neutro en el nervio. ps

b bw

0.85 f'c

cu = 0.003

t

c = u d

a = 1 c

2 c C

dp dp - t/2 dp - a/2

ps Acero de presfuerzo Ap

Figura 3.15. Momento resistente nominal de secciones T.

T

Secciones "T" presforzadas fallando en tracción con el eje neutro en el nervio. Área de acero que equilibra a las alas: Apf = 0.85 f'c (b – bw) t / fps Área de acero que equilibra al nervio: Apw = Ap – Apf Determinación del eje neutro usando el nervio: Tw = Cw Ap fpu = 0.85 f'c bw a Apw fps a= 0.85 f′ c bw fps Apw Considerando que:ρpw = ωpw = ρpw b dp

f′c

ρpw dp f

ps

Para incluir “dp” en la ecuación anterior, se tiene:a = 0.85 f′ c El momento resistente sería: a t Mn = Apw fps dp − + Apf fps dp − 2 2 Reemplazando “a” en la ecuación, se tiene el momento nominal resistente: t Mn = Apw fps dp 1 − 0.59ωpw + Apf fps dp − Ec. 3.14 2 Si, ωpw ≤ 0.4, la sección es seguramente subreforzada. De acuerdo al ACI-318, las ecuaciones 3.10 y 3.12, deberán ser afectadas por el factor reductor de resistencia Ø = 0.9. Al considerarse elementos subreforzados, se aplica la hipótesis de que el acero alcanza el estado de rotura, en la falla del elemento, por lo que el valor de fps deberá ser reemplazado por fpu.

Secciones "T" presforzadas fallando en tracción con el eje neutro en el nervio. En una viga de sección sobrerreforzada, el Eje Neutro se encuentra profundo y la falla de compresión en el hormigón ocurrirá antes de que se desarrolle en el acero el esfuerzo a la rotura y para aplicar las ecuaciones de resistencia, se deberá determinar el esfuerzo en el acero a la falla de la sección fps. Se requiere conocer la deformación del acero εpe, por el presfuerzo efectivo fpe, es decir luego de ocurridas todas las pérdidas. εpe = fpe/Ep fpe = Pe/Ap Se requiere además tener las relaciones de deformación de la sección y la curva fp – εs del acero. Se puede seguir un procedimiento iterativo, como un método por compatibilidad de deformaciones y equilibrio, para hallar la solución, se acuerdo a los siguientes pasos: 1.- Estimando un valor razonable del esfuerzo en el acero fps en el estado de sobrecarga (falla). 2.- Se calcula la profundidad real del eje neutro, considerando el esfuerzo antes estimado, empleando la ecuación 3.11, obteniendo la ecuación 3.15: Ap fps c= Ec. 3.15 β1 0.85 f′ c b 3.- Por compatibilidad de deformación, de acuerdo a la figura 3.14, con el valor de “c” se determina la deformación en el acero, con la ecuación 3.16: dp −c

εp = εcu c Ec. 3.16 Donde εcu = 0.003 (deformación última del hormigón) 4.- Se determina la deformación del acero a la falla, mediante la ecuación 3.17: εpe =

fpe Ep

Ec. 3.17

5.- Se determina la deformación total en el acero: εpt = εp + εpe 6.- Con la deformación total εpt se determina en el correspondiente diagrama esfuerzo–deformación el valor del esfuerzo del acero de presfuerzo fps. Si el valor calculado del esfuerzo del acero de presfuerzo fps es cercano al esfuerzo de rotura fpu, la sección no es sobrerreforzada y podrá emplearse en los cálculos fps = fpu. Sin embargo, si fps es apreciablemente menor que fpu, el valor real de fps se establece repitiendo el proceso descrito hasta que los valores de fps concuerden. El reglamento del ACI-318, proporciona ecuaciones alternativas para determinar el valor del esfuerzo del acero de presfuerzo fps, el mismo que se estudia en el Capítulo 5. Se puede emplear la curva de esfuerzo-deformación para diseño de torones de 7 alambres de bajo relajamiento Del PCI Desing Handbook Precast and prestressed concrete, 7th edition, para determinar la deformación en el acero de presfuerzo. El manual proporciona ecuaciones, dadas a continuación, que definen aproximadamente las curvas esfuerzo-deformación, así se tiene: Para torones de esfuerzos 250 ksi: 0.04 εps ≤ 0.0076: fps = 28800 εps ksi εps > 0.0076: fps = 250 − (ksi) εps − 0.0064 Para torones de esfuerzos 270 ksi: εps ≤ 0.0085:

fps = 28800 εps ksi

εps > 0.0085:

fps = 270 − ε

0.04

ps −0.007

(ksi)

270

Minimo esfuerzo de fluencia al 1% de elongación Para 270 ksi (ASTM A 416)

250 243

230 Minimo esfuerzo de fluencia al 1% de elongación Para 250 ksi (ASTM A 416)

Esfuerzo,f ps ksi

225

210

190 ASTM A 416 Minimo esfuerzo de fluencia al 1% de elongación Para 270 ksi: 243 ksi Para 250 ksi: 225 ksi 170

150 0

0.005

0.010

0.015 0.020 Deformación,ps pulg/pulg

0.025

0.030

Nota: El esfuerzo de rotura se da a una deformación aproximada de 0.05 a 0.07 pulg/pulg. La resistencia última se da a una deformación mínima 3.5%.

Figura 3.16. Curva típica esfuerzo – deformación para diseño, torones de 7 alambres de acero de bajo relajamiento para presfuerzo.