RELATIVIDAD EN EL CONTINUO TETRA-DIMENSIONAL Andr´ es L. Granados M. Department of Mechanics SIMON BOLIVAR UNIVERSITY Valle de Sartenejas, Estado Miranda Apdo.89000, Caracas 1080A, Venezuela. e-mail:
[email protected] RESUMEN Este art´ıculo introduce el continuo material en cuatro dimensiones, una temporal y tres espaciales. Se plantean dos casos extremos. Bajas velocidades, pero las variaciones se observan desde la perspectiva del tiempo propio de un volumen que se desplaza en el espacio, observado siguiendo a las part´ıculas. Para la medici´on de la coordenada temporal se usa la velocidad de propagaci´ on de las ondas sonoras. Desde esta perspectiva entonces el problema se vuelve estacionario en el tiempo propio y en un espacio de cuatro dimensiones. Se aplica la Regla de Leibniz para integrales en este espacio derivadas respecto al tiempo propio. El otro caso extremo son para altas velocidades, comparada con la de la luz. Se utiliza una descripci´on de tipo espacio tri-dimensional, pero se usan conceptos de tetra-dimensiones t´ıpicos de la relatividad especial, como lo son las velocidades de Minkowski y sus respectivas aceleraciones, y las cantidades de movimientos de Minkowski. En ambos casos se obtienen resultados cl´ asicos bien conocidos. Finalmente, se hace un an´ alisis de la vorticidad y se define el equivalente en un espacio tetra-dimensional utilizando los cuaterniones. PRELIMINARES Introduciremos el concepto de tiempo propio, la f´ ormula de expansi´on de Euler y la Regla de Leibniz. Con ellos se encontrar´an las ecuaciones b´ asicas del movimiento, como la ecuaci´on de Continuidad y la ecuaci´ on de Cauchy, para un sistema continuo tetra-dimensional, pero estacionario en el tiempo propio. Tiempo Propio El tiempo propio τ se define como el que percibe una part´ıcula que se desplaza a una velocidad v v2 ±(c dτ )2 = (c dt)2 − (v dt)2 = (c dt)2 1 − 2 c
(1)
y es un invariante de la transformaci´ on de Galileo o Lorentz de las coordenadas. De aqu´ı tenemos que v 1/1 − β 2 (β < 1) dt = γ dτ γ= (β = |β|) β= 2 c 1/ β − 1 (β > 1)
(2)
donde c es la velocidad de propagaci´on de una se˜ nal en el medio continuo, llamadada sonido (variaci´ on de la presi´on con la densidad), y β representa un n´ umero de Mach vectorial. Existe una singularidad cuando β = 1. Si β < 1 se dice que el flujo es sub-s´ onico, si β > 1 se dice que el flujo es super-s´ onico. La velocidad del sonido en el medio continuo se calcula como ∂P c = K/ρ K=ρ = k/κ (gases) = 1/κ (l´ıquidos) = E/[3(1 − 2ν)] (s´ olidos) (3) ∂ρ S κ=
1 ∂ρ ρ ∂P T
k = Cp /Cv
κ = 1/(ρ R T ) ( gas ideal c =
√ kRT )
(4)
donde K es el m´odulo de el´ asticidad volum´etrica de los materiales, κ es el factor de compresibilidad de los fluidos y k es el exponente isoentr´ opico de los gases. Los m´odulos de Young y Poisson son E y ν, 1
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respectivamente, para los s´olidos el´ asticos. S´olo en el caso de los gases reales, la velocidad del sonido es funci´ on del estado termodin´amico de presi´ on y temperatura, y en los l´ıquidos y en los gases ideales, particularmente, es funci´ on exclusivamente de la temperatura, como indica (3.c) y (4.c), respectivamente. F´ ormula de Expansi´ on de Euler La f´ ormula de expansi´on de Euler se cumple para cualquier dimension y m´etrica d(ln J) = ∇.v dτ
dJ = J ∇.v dτ
(5)
donde J=
dV dVo
J=
dV ρo = dVo ρ
(6)
Los vol´ umenes V(τ ) y Vo est´an definidos en la configuraci´ on actual (τ, x) y otra configuraci´ on de referencia (τ, X) fija, respectivamente, tal que se conectan a trav´es de una funci´ on biyectiva continua χ: (τ, X) −→ (τ, x), umenes en espacios tetra-dimensionales, tal que x = χ(τ, X) y X = χ−1 (τ, x). Algo similar ocurre con los vol´ tri-dimensionales V(t) y Vo , inversamente proporcionales a sus densidades ρ y ρo diferenciales. Como la componentes dx0 y dX 0 son ambas iguales a c dt, por lo que se cancelan en (6.a), entonces J = J. La tetra-velocidad {v} = {γc, γv} se calcula con el diferencial dτ , mientras la velocidad v se calcula con el diferencial dt = γ dτ , cancel´andose γ en (5), a ambos miembros de la ecuaci´on. Por consiguiente, J y v tambi´en satisfacen la f´ormula de expansi´on de Euler dJ/dt = J ∇.v. Regla de Leibniz La Regla de Leibniz se formula de la siguiente manera para una funci´ on integral F=
V(τ )
f(τ, x) dV
(7)
de forma que su derivada temporal propia da [Granados,(1995/96)] df d dJ d dF χ = J+f f(τ, x) dV = f(τ, (τ, X)) J dVo = dVo dτ dτ V(τ ) dτ Vo dτ Vo dτ df df + f (∇ ∇.v) J dVo = + f (∇ ∇.v) dV = Vo dτ V dτ ∂f = + ∇.(vf) dV = G V ∂τ
(8)
donde en la u ´ltima parte se ha substituido la siguiente expresi´on y se han agrupados los u ´ltimos t´erminos. Esta expresi´on es df ∂f = + v.∇ ∇f (9) dτ ∂τ y contiene una parte transitoria (primer t´ermino) y otra parte convectiva (segundo t´ermino), que surgen de aplicar la regla de la cadena en la derivaci´ on. Cuando la primera se anula se dice que el problema es estacionario, cuando la segunda se anula se dice que el problema est´a desarrollado. La aplicaci´ on de la regla de Leibniz (8) a f = 1 es la forma integral de la f´ormula de expansi´on de Euler, que se reduce a (5) en su forma diferencial. Se usar´ a el tetra-vector de velocidad {v} = {c, v}, en lugar de que formalmente deber´ıa ser {v} = {γc, γv} (como la velocidad de Minkowski), diciendo que el problema es estacionario en el tiempo propio. Luego los resultados en v = {c, v} pueden ser operado con γ para corregirse. Tenga en cuenta que γ → ∞ en la medida que β → 1.
2
RELATIVIDAD EN EL CONTINUO TETRA-DIMENSIONAL
Volume y Superficie El resultado de (8), G, tiene elementos de volumen y de superficie identificados como G=
V
ρg dV +
R
n.T dR =
V
(ρg + ∇.T) dV
(10)
donde n es la normal unitaria exterior a la superficie R = ∂V. Se ha aplicado el teorema de divergencia a la segunda integral de superficie. Agrupando todos los t´erminos en un s´ olo miembro de la ecuaci´on, queda ∂f dF −G= + ∇.(vf) − ρg − ∇.T dV = 0 dτ V ∂τ
(11)
Como el volumen V es arbitrario, entonces el integrando es nulo ∂f + ∇.(vf) = ρg + ∇.T ∂τ
(12)
y se muestra reorganizado nuevamente. Esta es la forma diferencial de la forma integral (11), o equivalentemente de (8) y (10). MOVIMIENTO Y TEMPERATURA En esta secci´on se particularizar´ an la ecuaci´ on tetra-dimensional (12), separando las variables y ecuaciones en una parte ‘componente temporal’ y otra parte ‘componentes espaciales’. As´ı se obtendr´ an las ecuaciones de movimiento y de temperatura. Ecuaciones del Movimiento Cuando separamos las componentes temporales de las espaciales, se tiene {x} =
x0 r
{v} =
c v
{g} =
g0 g
[T] =
T 00 T i0
T 0i T
(13)
Tambi´en para el operador diferencial en sus componentes covariantes y contravariantes [Jackson,1999] {∇ ∇∗ } = {∂ α } ≡ {∂/∂xα } = {∂/∂x0 , −∇}
{∇ ∇} = {∂α } ≡ {∂/∂xα } = {∂/∂x0 , ∇}
(14)
La forma cuadr´ atica diferencial resulta ser {dxα } = {dx0 , dr}
{dxα } = {dx0 , −dr}
ds2 = dxα dxα = gαβ dxα dxβ = g00 dx0 dx0 − gij dxi dxj
(15.a) (15.b)
donde ds2 = ±(c dτ )2 y dx0 = c dt. De aqu´ı fu´e que se obtuvo (1) en primera instancia para definir el tiempo propio. Se han reservado los ´ındices griegos para el espacio tetra-dimensional e ´ındices latinos para el espacio tri-dimensional. Entonces, escogiendo f = ρ y f = ρ v en (12), y suponiendo estacionario el problema respecto a la variable temporal τ ( ∂f/∂τ = 0 ), resultan las ecuaciones del movimiento de Continuidad y de Cauchy en su forma conservativa ∇.(ρv) = 0 ∇.(ρvv) = ρg + ∇.T (16) ∂ρ + ∇.(ρ v) = 0 ∂t
∂ρ v + ∇.(ρ vv) = ρ g + ∇.T ∂t 3
(17.a, b)
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bajo los supuestos de que c es constante localmente en el tiempo, g 0 = 0 y T 00 = T 0i = T i0 = 0 ∀ i = 1, 2, 3 en la ecuaci´on de Cauchy. Las ecuaciones (16) son las mismas ecuaciones que (17), pero tetra-dimensionales. Para el caso particular de un fluido newtoniano la relaci´ on constitutiva del tensor de esfuerzo viene determinada por T = (−P + λ ϑ) I + 2µ D
ϑ = ∇.v = trD
D=
1 (G + Gt ) 2
G = (∇v)t
(17.c)
donde D y G son los tensores velocidad de deformaci´on y gradiente de velocidad, y donde P es la presi´on termodin´ amica si el fluido es compresible (en caso contrario es la presi´on hidrodin´ amica), µ es la viscosidad 2 din´ amica del fluido, λ es la segunda viscosidad y µv = λ + 3 µ es la viscosidad volum´etrica con 2 P − P¯ = (λ + µ) ∇.v = µv ϑ 3
1 1 P¯ = − trT = − Tii 3 3
(17.d)
siendo P¯ = −Tii /3 la presi´on media ( equivalentemente trT = −3 P¯ ) y satisfaci´endose −P¯ I = T◦ (La viscosidad λ = − 32 µ, µv = 0, si se asume cierta la hip´otesis de Stokes, donde P¯ = P ). Para un fluido incompresible (ρ = cte, ∇.v = 0) resulta que P¯ = P de cualquier forma. Con la substituci´ on de (17.c), la relaci´on constitutiva para un fluido newtoniano, dentro de (17.b) se obtienen las ecuaciones de Navier-Stokes. Para el caso particular de un s´ olido el´ astico las ecuaciones son similares, s´ olo que no tiene t´ermino convectivo en la aceleraci´on (porque la descripci´on es de tipo materia y no espacial como los fluidos), y en lugar de v (ϑ, D, G, T), λ y µ, se convierten en el desplazamiento u = x − X ( , E, L, S), y los coeficientes de Lam´e λe = 2Gν/(1 − 2ν) y µe = G ( G m´odulo de corte ). No existe P , pero si P¯ = −µv . Entre par´entesis est´an las cantidades derivadas de... Con la mencionada conversi´ on, (17.c) se convierte en la relaci´on constitutiva para elasticity lineal, la cual dentro de (17.b) produce las ecuaciones de Cauchy-Navier, y µv = λe + 2µe /3 equivalente se convierte en K = E/[3(1 − 2ν)], el m´odulo de elasticidad volum´etrica. Ecuaci´ on de Temperatura En el caso de que c no sea constante, sino una funci´ on de la temperatura c = c(T ), entonces la componente correspondiente de (16.b), primera del tetra-vector y primera columna del tetra-tensor del problema f = ρ v (equivalente a hacer f = ρ c), ser´ıa 1 ∂ρ c2 1 ∂T 00 + ∇.(ρ c v) = ρ g 0 + − ∇.t c ∂t c ∂t
(18)
donde −t es la parte temporal del tensor T, o sea T i0 = −ti , la primera columna del mencionado tensor (en su parte espacial). on (16.b), una vez asumido que ρg = ∇(ρ ) = Para obtener T 00 hacemos la contracci´on de la ecuaci´ ∇.[g ρ ], siendo = k − ϕ el lagrangeano espec´ıfico, proveniente de un campo potencial est´atico ϕ (energ´ıa potencial espec´ıfica) y la energ´ıa cin´etica espec´ıfica k (s´olo dependiente del tiempo), lo que significa que g 0 = k/c ˙ (ver ec.(32.c)) y ρg = −∇(ρϕ) (igual es decir que ρϕ es constante en el tiempo y s´olo depende del espacio). Aunque se sabe que no es del todo correcto incluir la densidad dentro de la definici´ on de un potencial. Estos procedimientos, aplicando la convenci´on (35) y la regla (38), como se ver´ a adelante, dan que αβ
ρ (c2 − v2 ) = −2ρ + T 00 − trT
(19.a)
T 00 = ρ c2 (1 − β 2 ) + 2ρ + trT
(19.b)
o lo que es lo mismo El −2 aparece por la m´etrica, que en la diagonal principal (coordenadas cartesianas) tiene los elementos {1, −1, −1, −1}, que sumados dan -2. Queda la duda si el 1 debe intervenir como primer elemento, aunque g 0 sea nulo. La respuesta es afirmativa, porque al sacar el gradiente de un escalar como la divergencia de 4
RELATIVIDAD EN EL CONTINUO TETRA-DIMENSIONAL
un tensor, ρ debe quedar en los cuatro elementos de la diagonal, para que todos los t´erminos de (16.b) sean sumables en uno s´ olo y poder integrar. Aunque ϕ sea s´olo funci´ on de las coordenadas espaciales. En la integraci´ on, la constante se incluye en la definici´ on de . Si ahora restamos la ecuaci´on de continuidad (16.a) × c a la ecuaci´on (18) y substitu´ımos T 00 , queda ρ
∂c + v.∇c ∂t
= −∇.t + ρ φ
ρφ =
1 ∂T 00 1∂ = [ ρ c2 (1 − β 2 ) + 2ρ + trT ] c ∂t c ∂t
(20)
F´ıjense que resto de ecuaci´on permanece igual porque la ecuaci´ on de continuidad en nula. Para t vamos a proponer una Ley de Fourier del tipo t = −α ˆ ∇c (ˆ α = constante), el flujo de c, por lo que, antes de incluir la dependencia funcional de c con la temperatura T , resulta en ∂c + v.∇c = α ∇2 c + φ ∂t
α=α ˆ /ρ
(21.a)
que es la misma (20.a). Operando el diferencial temporal de (20.a) y substituyendo el flujo t, se obtiene la siguiente ecuaci´ on ∂T + c v.∇T = α ( c ∇2 T + c ∇T.∇T ) + φ c (21.b) ∂t en donde c = dc/dT y c = d2 c/dT 2 , y se ha tenido en cuenta que ∇c = c ∇T , que ∇c = c ∇T y que ∇2 c = ∇.∇c = ∇c .∇T + c ∇2 T , por la regla de la cadena. Se ha cambiado α ˆ = ρ α, para que as´ı α sea un coeficiente de difusi´on t´ermica y se ha eliminado ρ de la ecuaci´on. Para un gas ideal se cumple (4.c, d), por lo que √ c = kRT
1 c = 2
c kR = T 2T
1 c =− 4
c 1 =− c 2T
kR c =− 2 3 T 4T
(22)
Finalmente, obtenemos ∂T + v.∇T = α [ ∇2 T − ∇T.∇T /(2T ) ] + φ/c ∂t
(23)
y no se identifica con ning´ un resultado conocido, excepto por la ecuaci´on diferencial de la temperatura [Granados,2015,pp.99-102] ρ Cp
dP dT = Tβ − ∇. q + Φ dt dt
dT ∂T = + v.∇T dt ∂t
q = −k ∇T
(23 )
donde, comparando ambas ecuaciones, se debe eliminar el t´ermino de segundo orden ∇T.∇T /T , que realmente es insignificante respecto al t´ermino principal, y hacer φ/c = Φ/(ρ Cp ) + T β/(ρ Cp )dP/dt , que dependen casi de los mismos tipos de elementos, para que sean equivalentes. En (23 ), β es el coeficiente de expansi´on volum´etrica y no un n´ umero de Mach, y Φ es el t´ermino de fuente generado por las reacciones qu´ımicas (+ exot´ermica, - endot´ermica) y/o radiaci´ on, m´ as la disipaci´on viscosa siempre positiva. El factor Cp es el calor espec´ıfico a presi´ on constante. El factor α = k/(ρ Cp ) coincide con el coeficiente de difusi´on t´ermica. Para otro tipo de dependencia funcional respecto a la temperatura, como por ejemplo c(T ) = A+B(T −Ta )C , se tiene que c = BC (T − Ta )C−1 , que c = BC (C − 1) (T − Ta )C−2 y que c /c = (C − 1) (T − Ta )−1 . Sin embargo, los resultados hasta (20) son v´ alidos a´ un para el caso donde c = c(t, x) es una funci´ on m´as general. Asumiendo que el tensor T deber´ıa ser sim´etrico por la estructura de la ecuaci´ on (16.b), primera columna y primera fila iguales a −t ( T i0 = T 0i = −ti ), entonces las ecuaciones (17, a.b) se deben modificar a apartir de las (16) en la forma 1 ∂ρc + ∇.(ρ v) = 0 c ∂t
1 ∂ρcv 1 ∂t + ∇.(ρ vv) = ρ g + ∇.T − c ∂t c ∂t 5
(17 )
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ρ
∂v + v.∇v ∂t
= ρ g + ∇.T −
1 ∂t c ∂t
(17 )
lo que agrega m´as c´alculo y t´erminos a las ecuaciones de movimiento convencionales cl´asicas (17). Con la nueva versi´on de la ecuaci´ on de continuidad (17 .a), igualmente se llega a la ecuaci´on (20) de manera similar. on de continuidad (17 .a) por v y restada de la de cantidad La ecuaci´on (17 ) es la combinaci´on de la ecuaci´ de movimiento (17 .b). Para cuando c depende exclusivamente de la temperatura, el nuevo t´ermino adicional de (17 .b) se transforma en 1 ∂t 1 ∂ 1 ∂ ˆ c ∇T ∇T 1∂ α =− (ˆ α∇c) = − (ˆ αc ∇T ) = − t = −α ˆ ∇c = −α ˆ c ∇T = −α ˆc (24) 2T c ∂t c ∂t c ∂t c ∂t 2 T donde se ha aplicado de nuevo la regla de la cadena. Se podr´ıa decir que, sin hacer intervenir a (24) hasta c, hasta la temperatura o hasta gas ideal, que la ecuaci´on (20) es la relaci´on constitutiva para t en (17 .b). De esta forma, no har´ıa falta incluir la definici´ on del flujo t en funci´ on del gradiente de c, gradiente de T o gas ideal. RELATIVIDAD ESPECIAL Se utilizar´ an las ecuaciones ya conocidas para la relatividad especial, y se aplicar´ an al caso de un medio continuo descrito en el espacio tri-dimensional, mediante el Teorema del Transporte de Reynolds, pero usando variables de cuatro dimensiones t´ıpicas como la velocidad y el momentum de Minkowski. Masa Relativista Definamos la masa mo como la masa en reposo (o movimiento relativamente lento respecto a la luz) de un sistema material con volumen Vm dmo =0 (25) mo = ρ dV dt Vm y que tiene un valor constante en el tiempo como lo indica (25.b). Para el mismo volumen material, de manera que sus dimensiones no se vean afectadas por las transformaciones de Lorentz, definamos la masa en movimiento r´apido, calcul´ andola con una densidad afectada por la velocidad m=
dV
= γu ρ
Vm
(26)
donde γu = (1 − βu2 )−1/2 , con βu = u/c ( β = |βu | ) y c es la velocidad de la luz en el vac´ıo. La velocidad u es la velocidad de las part´ıculas dentro del volumen material. Si la velocidad u es uniforme, entonces se obtiene la relaci´on cl´ asica para la masa relativista m = γu mo , pero realmente γu est´a distribuida de manera continua y variable en el dominio Vm . Cantidad de Movimiento La cantidad de movimiento para este sistema con un volumen material, incluyendo el efecto de la velocidad en la masa relativista, ser´a
u dV
p=
( = γu ρ )
Vm
(27)
Para la relatividad especial se sigue satisfaci´endo la ecuaci´on de la fuerza F= 6
dp dt
(28)
RELATIVIDAD EN EL CONTINUO TETRA-DIMENSIONAL
donde la fuerza tiene de nuevo sus componentes de volumen y de superficie
g dV + n.T dA = ( g + ∇.T ) dV F= Vm
Am
(29)
Vm
F´ıjese que se multiplic´ o g por la densidad modificada por la velocidad. La aplicaci´ on del Tercer Teorema del Transporte de Raynolds, v´ alido exclusivamente para vol´ umenes materiales (con masa constante) (25), da que la diferenciaci´on puede meterse dentro de la integral (27), dejando la densidad ρ del sistema material (25) (aunque sea variable) fuera de la diferenciaci´on [Granados,(1995/96)], como se indica a continuaci´ on F=
d dt
u dV =
ρ
Vm
Vm
d dt
dγu u dV dt
ρ b dV = Vm
ρ Vm
db dV dt
(b = γu u)
(30)
El tercer teorema del transporte se ha colocado en (30.b) como referencia. El problema se reduce a calcular la aceleraci´on de las velocidades de Minkowski γu u. Si no existiese γu ( γu = 1 ), el resultado de aplicar el primer Teorema del transporte (31) abajo a (28), junto con la definici´on (27), ser´ıa simplemente la ecuaci´on de Cauchy (17.b), que en su forma no conservativa queda rest´andole la ecuaci´on de continuidad (17.a). El primer teorema del transporte de Reynolds d dt
ρ b dV = Vm
Vm
∂ρ b dV + ∂t
ρ b v.n dA =
Am
Vm
∂ρ b + ∇. (ρ b v) dV ∂t
(31)
no es nada m´ as que la misma Regla de Leibniz, la cual es general, particularizada para un volumen material tri-dimensional [Granados,(1995/96)]. La forma no conservativa, es el Tercer Teorema del transporte de Reynolds expresada de manera differencial. Minkowski Las cantidades de Minkowski, velocidad, cantidad de movimiento y fuerza, se definen de la siguiente forma [Granados,2015,Cap.XVI: Relatividad] [Goldstein,1963/66] {υ} =
γu c γu u
{℘} = {mo υ} =
E/c p
{F } =
˙ γu E/c γu F
(32)
En (32.b) la velocidad de Minkowski υ es la velocidad del centro de masa de mo y satisfacen ciertas identidades, donde la fuerza de Minkowski se obtiene como F=
d℘ dτ
E = m c2
K = E − Eo
E˙ = K˙ = F.u
(33)
siendo la derivada calculada con respecto al tiempo propio τ ( dt = γu dτ ), s´olo que en este caso c representa la velocidad de la luz en el vac´ıo. Como se observa en (32.b), las cantidades de Minkowski trasladan la variabilidad de la masa a la velocidad. Las cantidades de Minkowski satisfacen las siguientes identidades υ.υ = c2
℘.℘ = m2o c2 = p.p +
F .υ = 0
E2 c2
(34)
La identidad (34.b) se obtiene de aplicar (33.d), que es un resultado cl´asico que define la potencia de una fuerza y es equivalente a la potencia de energ´ıa mec´anica de dicha fuerza. La integraci´on de (33.d) genera las expresiones (33.b) y (33.c) [Sokolnikoff,1979], deducci´ on relativista un poco complicada, puesto que F depende de p, que a su vez depende de m, variable con la velocidad [Granados,2015,p.366]. En (34) se ha utilizado el siguiente an´ alisis. Cualquier tetra-vector A tiene componentes contravariantes y covariantes de la forma {Aα } = {A0 , A}
{Aα } = {A0 , −A} 7
Aα = gαβ Aβ
(35)
Andr´ es L. Granados M.
donde A corresponde a las componentes puramente espaciales en cualquiera de sus transformaciones geom´etricas posible. Sabiendo que las componentes de los tetra-vectores se transforman (eg. transformaci´on de Lorentz) de acuerdo a la regla del cociente como (se reserva el uso de los ´ındices griegos para los tetra-vectores y latinos para el espacio tri-dimensional) Aα =
∂xα β A ∂xβ
Aα =
∂xβ Aβ ∂xα
(36)
siendo el producto escalar de dos tetra-vectores un invariante bajo esta transformaci´ on, entonces A .B =
∂xβ ∂xα ∂xβ γ A B = Aβ B γ = δγβ Aβ B γ = Aα B α = A.B β ∂xα ∂xγ ∂xγ
(37)
Por lo que, de acuerdo a la convenci´ on establecida en (35), se tiene que A.B = Aα B α = Aα Bα = A0 B0 − A.B
(38)
Todo esto es m´as consistente que utilizar la i, base de los n´ umeros imaginarios, en la primera componente de las cantidades de Minkowski [Jackson,1999], como se hac´ıa antes tradicionalmente, puesto que est´a basado en el tensor m´etrico, como en (14) y en (15). Aceleraci´ on La aceleraci´on de la velocidad de Minkowski se calcula como [Granados,2016,p.368] dγu c dγu du =c = γu3 βu . dt dt dt
(39.a)
dγu u dγu du du du = γu +u = γu + γu3 βu βu . dt dt dt dt dt
(39.b)
En otras palabras, se puede decir, usando la aceleraci´ on a = du/dt del centro de masa, que F = mo γu3 a
(βu a)
(40)
Algunos autores [French,1974][Jammer,(1957)][Ganley,(1963)] justifican que la expresi´ on (40) es s´olamente v´ alida para la componente paralela a al movimiento cuando βu a , como lo indica los dos u ´ltimos factores del u ´ ltimo t´ermino. Pero para la componente transversal a⊥ , el segundo t´ermino del segundo y tercer miembro de (39.b) no deben intervenir (ver la operaci´ on producto escalar), porque se anulan al ser βu ⊥ a⊥ , lo que es equivalente a decir que la masa permanece inalterada (dγu /dt = 0) en un impulso transversal. Por lo tanto, bajo este argumento, tenemos que F = mo γu3 a
F⊥ = mo γu a⊥
(41)
y las fuerzas y aceleraciones (globales) no poseen las mismas direcciones.“En contraste con la concepci´ on newtoniana, resulta f´acil demostrar que en relatividad la magnitud de fuerza no posee la misma direcci´on, en general, que la aceleraci´on que produce...” [Max Jammer,Concepts of Force,1957]. Lo que contradice (40) en el general de los casos, siendo v´alida s´ olamente cuando se satisface la condici´on del par´entesis. Es decir, la aceleraci´ on de la velocidad de Minkowski se obtiene multiplicando por γu3 a la aceleraci´on normal a, cuando ´esta es paralela al movimiento, y por γu , cuando es transversal. La aceleraci´on de γu c es siempre del primer tipo, pero el resultado es proporcional a la variaci´on de la energ´ıa cin´etica espec´ıfica convencional. La aceleraci´on a tiene una parte transitoria y otra convectiva a=
∂u du = + u.∇u dt ∂t
γ nu ρ a = g + ∇.T 8
(42)
RELATIVIDAD EN EL CONTINUO TETRA-DIMENSIONAL
y deben calcularse en el sistema de referencia inercial en reposo aparente junto a el cuerpo del sistema material. La selecci´on de n en (42.b) depende si a est´a alineado con βu n = 3, y si es tranversal n = 1, o la suma de ambas componentes. Escrito de una forma concisa, esto es el significado del miembro de la izquierda de (42.b) γ nu a = γu3 a + γu a⊥
ˆ a = a e
a = a.ˆ e
ˆ = u/|u| e
a⊥ = a − a
(43)
o equivalentemente (γu2 − 1 = γu2 βu2 ) ˆ.a + γu a = γu [ (γu2 − 1)ˆ ˆ + I ] . a = γu [ I + γu2 βu βu ] . a γ nu a = (γu3 − γu )a + γu a = γu (γu2 − 1)ˆ ee ee
(44)
donde se ha usado la notaci´ on di´ adica. La ecuaci´ on (42) es la soluci´on diferencial al introducir (27)-(29) en los Teoremas del Transporte de Reynolds [Granados,(1995/96)], con la particularidad de (41). De hecho en (43.a), lo que estamos es sumando fuerzas por unidad de masa, m´ as que aceleraciones. Cuando el flujo es subs´ onico β < 1, al igual que en la relatividad especial, se asume γu = 1/ 1 − βu2 , s´olo que c es la velocidad del sonido en el medio (aqu´ı considerada constante) en lugar que la velocidad de la luz en el vac´ıo. En este caso, para bajas velocidades β → 0 y γ → 1, por lo que entonces γ nu a → a, → ρ y la ecuaci´on (42) se convierte en el modelo cl´asico de Cauchy. Por el contrario, cuando el flujo es supers´ onico β > 1, entonces el valor apropiado para γu es γu = 1/ βu2 − 1 de (2.b). Con este cambio, el u ´ ltimo t´ermino de (39.b) resulta ser negativo, lo que implica que, bajo la acci´on de una fuerza paralela a la velocidad, el flujo se desacelera, comportamiento inverso t´ıpico del flujo supers´ onico. Este resultado cambia tambi´en la ecuaci´on (44) para γun a en la forma (γu2 + 1 = γu2 βu2 ) ˆ ] . a = γu [ I − γu2 βu βu ] . a γ nu a = γu [ I − (γu2 + 1)ˆ ee
(44 )
lo que vuelve a producir la misma singularidad que antes cuando βu → 1 y γ → ∞, en el caso que la velocidad del medio se aproxima a c, la velocidad del sonido en el medio. VORTICIDAD En esta parte se extiende el concepto de vorticidad para un espacio tetra-dimensional. Cuaterniones En un arrebato de genialidad Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) en octubre de 1843 cre´ o y formul´ o los cuterniones y el a´lgebra especial involucrada [Hamilton,1899], como una generalizaci´ on tetradimensional de los n´ umeros complejos bi-dimensionales. Sobre la base IB = {1, i, j, k}, considerada cartesiana 1.1 = i.i = j.j = k.k = 1 y 1.i = 1.j = 1.k = i.j = j.k = k.i = 0, pero con respecto al producto ‘∗’ entre elementos del conjunto de los cuaterniones H, se tiene (1 ∗ q = q ∗ 1 = q, ∀q ∈ H)
i ∗ i = j ∗ j = k ∗ k = i ∗ j ∗ k = −1
i ∗ j = −j ∗ i = k j ∗ k = −k ∗ j = i k ∗ i = −i ∗ k = j
(45)
De la formulaci´on original del lado izquierdo (esculpida en una placa de piedra conmemorativa en el puente de Brougham (Broom), Dubl´ın), puede extenderse las reglas de operaci´on del lado derecho. Visto de esta forma, el producto ‘∗’ entre cuaterniones puede concebirse como una extensi´on del producto vectorial ‘×’ del espacio tridimensional. El producto entre cuaterniones cumple con la propiedad asociativa, pero no es conmutativo. Con respecto a esta operaci´on, se define el conjugado de a como a∗ de acuerdo a a = a0 + a = a0 + a1 i + a2 j + a3 k
a∗ = a0 − a = a0 − a1 i − a2 j − a3 k 9
(46)
Andr´ es L. Granados M.
De maneras que si las componentes de un cuaterni´on son contravariantes, la de su conjugado son covariantes y viceversa. El producto interior de dos cuaterniones, uno el conjugado del otro, se define como 0 a a0 {a} = (47) {a∗ } = a.a∗ = a0 a0 − a.a a −a pero en general
{a} =
a0 a
{b} =
b0 b
a.b = a0 b0 + a.b
(48)
Esta manera de denotar los cuaterniones se denomina forma agregada (base de la parte real 1, suprimida aqu´ı, se sobreentiende). El conjunto de los cuaterniones H ⊂ C2 ⊂ R4 puede tambi´en formularse como un espacio bidimensional on en C , un espacio matricial en el mismo espacio C2 o un espacio matricial en R4 como se indica a continuaci´ 2
v = (a + bi) + (c + di) ∗ j = a + bi + cj + dk
(v) =
a + bi −c + di
c + di a − bi
−b −c −d a −d c (49) d a −b −c b a
a b = c d
En los dos casos matriciales el conjugado es el transpuesto de la matriz. El conjunto de todos los cuarterniones conjugados H∗ es el espacio dual de H (junto con las reglas (35)). El producto entre cuaterniones queda formulado para matrices en R4 como
a0 a1 {a ∗ b} = {Q(a).b} = 2 a a3
−a1 a0 a3 −a2
−a3 b0 a2 b 1 −a1 b2 a0 b3
−a2 −a3 a0 a1
(50)
En cualquier caso, el cuadrado de la norma de un cuarternion, definida como sigue, es siempre el determinante de la matriz correspondiente en C2 y en R4 (en este u ´ ltimo caso debe decir det(v) en (51.a))
v ∗ v∗ = v.v = v2 = a2 + b2 + c2 + d2 = det(v)
{v ∗ v} =
a2 − v.v 2 av
=
v.v∗ 2 av
(51)
lo que permite decir que el espacio de cuaterniones es un espacio de Banach o normado. De manera general el producto de dos cuaterniones se puede expresar como 0 a b0 a0 b0 − a.b {a ∗ b} = ∗ = (52) a0 b + b 0 a + a × b a b lo que permite separar para los cuaterniones y sus productos en una parte temporal super/sub indicado con ‘0’ y una parte espacial indicada con notaci´ on vectorial convencional (en negrillas), al igual que las operaciones convencionales entre vectores en R3 . Se podr´ıa decir que el tiempo es real y las dimensiones espaciales son imaginarias, al contrario que la descripci´ on de Minkowski. Esta formulaci´ on permite definir el equivalente del rotacional en R3 , pero para cuaterniones en R4 , de la forma 0 v ∂0 v 0 − ∇.v ∂0 ∗ = (53) {∇ ∇ ∗ v} = ∇ v ∂0 v + ∇v 0 + ∇ × v y el equivalente del laplaciano [Jackson,1999] = ∇.∇ ∇∗ = ∂02 − ∇2 = ∂02 − ∆
{∇ ∇} = 10
∂0 ∇
{∇ ∇∗ } =
∂0 −∇
(54)
RELATIVIDAD EN EL CONTINUO TETRA-DIMENSIONAL
conocido como el d’Alembertiano [Mould,1994]. La divisi´ on entre cuaterniones se define de forma similar que para n´ umeros complejos usando la multiplicaci´ on con el conjugado y la norma a ∗ b∗ a = b b2
a−1 =
a∗ a2
(55)
donde el inverso se obtiene a trav´es de esta operaci´on. La traza de un tensor cuaterni´ on se define como tr(T) =
T00
T00 [T] = t
− tr(T)
t T
(56)
cuyo resultado es el equivalente de aplicar el producto interior a una di´ adica del cuaterni´ on y su transpuesto conjugado. La exponenciaci´ on de n´ umeros cuaterni´ onicos, al igual que sucede con los n´ umeros complejos, est´a relacionada con funciones trigonom´etricas, utilizando la f´ ormula de Euler. Dado un cuaterni´ on escrito en forma can´onica q = a + bi + cj + dk = a + v, su exponenciaci´on resulta ser θ I = bi + cj + dk = v θ = b2 + c2 + d2 = v
exp(q) = ea+bi+cj+dk = ea+θ I = ea (cos θ + I sen θ)
(57)
una f´ ormula muy similar al caso complejo. Definiremos a continuaci´ on la transformada de Fourier en los cuaterniones. Las definiciones expresadas en las ecuaciones tradicionales se pueden combinar para obtener
f (t) =
ck e−iωk t
f (x) =
k
f(x) =
ck eiκk .x
k
ck exp(−iKk .x∗ )
(58)
k
donde los par´ ametros son κk = 2πk/L (cada componente α = 1,2,3 en R3 )
ωk = 2πk/∆t
κk,α ∈ 2πZ/Lα
(59)
siendo los cuaterniones definidos como (c es una constante para hacer las unidades de ct y x iguales) {ck } =
ck ck
{f(x)} =
f (t) f (x)
{x} =
ct x
{Kk } =
ωk /c κk
(60)
La transformadas de Fourier fˆ(ωk ), ˆf (κk ) y ˆf(Kk ) se formulan de forma integral como 1 ck = fˆ(ωk ) = ∆t
∆t
f (t) e
iωk t
1 ck = ˆf (κk ) = VL
dt
0
1 f(x) exp(iKk .x∗ ) dV ck = ˆf(Kk ) = V L VL
f (x) e−iκk .x dV VL
(61)
siendo VL denominada la caja de periodicidad VL = Π3α=1 Lα
VL = ∆t × VL
(62)
ubica donde se supone que las funciones f (t) y f (x) son peri´ odicas en cada uno de los intervalos ∆t y VL (c´ tridimensional para las componentes α = 1, 2, 3). Aunque, en principio, la expresi´ on (61.c) se ha formulado 11
Andr´ es L. Granados M.
bajo la hip´ otesis de que las variables t y x est´an desacopladas en (60.b), la definici´on de la transformada de Fourier (61.c) para cuaterniones se puede extender para funciones acopladas de la forma {f(x)} =
f (t, x) f (t, x)
=
f (x) f (x)
(63)
sabiendo que en los casos desacoplados las integrales mixtas (e.g. con integrandos del tipo f (x) eiωk t ) resultantes son nulas y en los casos acoplados no. Ecuaci´ on de Vorticidad La ecuaci´on de la cantidad de movimiento de Navier-Stokes-Duhem para un gas con viscosidad µ constante es ∂v µ ρ + v.∇v = ρg − ∇P + ∇ϑ + µ ∇2 v ϑ = ∇.v (64) ∂t 3 Obteniendo el rotacional de esta ecuaci´on y, considerando algunas identidades vectoriales y w = ∇ × v, resulta la siguiente expresi´on dw ∂w ∇ρ = + v.∇w = w.∇v − w∇.v + ∇ × g + 2 × ∇P + ν ∇2 w dt ∂t ρ
(65)
que se concoce como la ecuaci´on de Fridman [Kochin, Kibel & Roze,1964] [Saffman,1995]. Teniendo en cuenta que la ecuaci´on de cantidad de movimiento (17 ) tiene un t´ermino adicional surgido del an´alisis tetra-dimensional, el rotacional de este t´ermino divido entre ρ hay que agregarlo a la ecuaci´on (65). Este resultado adicional es −∇ ×
1 ∂t ρc ∂t
=
1 ∂t ∂t 1 − ∇× ∇(ρc) × 2 (ρc) ∂t ρc ∂t
(66)
donde el u ´ltimo t´ermino se anula si se asume que t = −α ˆ ∇c, la ley de Fourier. Para completar la idea del rotacional en R4 , expresi´on (53), habr´ıa tambi´en que incorporar los t´erminos que se origina de incluir los t´erminos ∂0 v + ∇v 0 (parte espacial del rotacional en R4 ), donde ∂0 es ∂/c∂t, v se asume como toda la ecuaci´on (64) entre ρ, y v 0 se asume como toda la ecuaci´on (18) (expresada convenientemente rest´andole c por (17 .a)) entre ρ. Esto es, ρ
∂c + v.∇c ∂t
= ρ g0 +
1 ∂T 00 − ∇.t c ∂t
(18 )
que es la ecuaci´on (18) modificada a la que nos refer´ıamos arriba, expresada convenientemente. REFERENCIAS [1] French, A. P. Relatividad Especial. Editorial Revert´e (Barcelona), 1974. [2] Ganley, W.P. Am. J. Phys., Vol.31, pp.510-516, (1963). [3] Goldstein, H. Mec´ anica Cl´ asica. Aguilar S. A. de Ediciones, 1963/1966. [4] Granados M., A.L. Reynolds Transport Theorems as a Special Application of Leibniz Rule. Proceedings of: “THE THIRD CARIBBEAN CONGRESS ON FLUID DYNAMICS” and “THE THIRD LATIN-AMERICAN SYMPOSIUM ON FLUID MECHANICS”. Universidad Sim´on Bol´ıvar, 5-9 de Febrero de (1995). Caracas, Venezuela. 12
RELATIVIDAD EN EL CONTINUO TETRA-DIMENSIONAL
[5] Granados M., A. L. Aplicaciones de la Regla de Leibniz: Teoremas del Transporte de Reynolds y Principios de Conservaci´ on. Bolet´ın T´ ecnico IMME (Instituto de Materiales y Modelos Estructurales Universidad Central de Venezuela), Vol.34, No.3, Octubre de (1996), pp.1-31. [6] Granados M., A.L. Mec´ anica y Termodin´ amica de Sistemas Materiales Continuos: Fundamentos, Aplicaciones y Fen´omenos. Universidad Sim´ on Bol´ıvar, Departamento de Mec´anica. Junio 2016. [7] Hamilton, W. R. Elements of Quaternions, Vols.I & II, Second Edition. Longmans, Green & Co. (London), 1899. [8] Jackson, J. D. Classical Electrodynamics, Third Edition. John Wiley & Sons (New York), 1999. [9] Jammer, M. Concepts of Force: A Study in the Foundations of Dynamics. Harvard University Press (Cambridge), 1957. Harper (New York), 1962. Dover Publications (New York), 1999. [10] Kochin, N. E.; Kibel I. A.; Roze, N. V. Theoretical Hydrodynamics. Interscience, 1964. [11] Mould, R. A. Basic Relativity. Springer-Verlag (New York), 1994. [12] Saffman, P. G. Vortex Dynamics. Cambridge University Press, 1992. Reprint with corrections, 1995 [13] Sokolnikoff, I. S. An´ alisis Tensorial, 2da Edici´ on. John Wiley & Sons, 1979.
13
