REGRESIÓN MULTILINEAl

REGRESIÓN MULTILINEAL Introducción El análisis de regresión lineal es una técnica en la que se utilizan diversas variables independientes para estimar el valor de una variable dependiente desconocida. La regresión múltiple, se aplica a la realidad empresarial y a la predicción /o planificación futura en casos de funciones multivariables. VARIABLES PREDICTORAS Y DE RESPUESTA Las variables de interés en un experimento (las que se miden u observan) se denominan variables dependientes o de respuesta. Otras variables en el experimento que afectan la respuesta y que el experimentador puede establecer o medir se denominan variables predictoras, explicativas o independientes. Por ejemplo, usted desea determinar el tiempo de horneado recomendado para una receta de galletas o dar instrucciones de cuidado para una nueva planta híbrida. Ejemplo 1 Asunto Receta de galletas

Posibles variables predictoras X Tiempo de horneado, temperatura del horno

Crecimiento de la planta

Cantidad de luz, pH del suelo, frecuencia de riego

Posibles variables de respuesta Y Humedad de la galleta, espesor de la galleta Tamaño de las hojas, altura de la planta

Una variable predictora continua a veces también se denomina covariable y una variable predictora categórica a veces es mencionada como un factor. En el experimento del brownie, una covariable podría ser varias temperaturas de horno y un factor podría ser diferentes hornos. Ejemplo 2 Podemos estar interesados en estudiar la inteligencia humana (IQ como variable respuesta),y es posible que consideremos que puede estar relacionado con otras variables como el tamaño del cerebro (explicativa).Es posible que el tamaño de la persona y su sexo también deben ser tomados en cuenta. Podríamos añadirlas al estudio como variable independiente .Un modelo de regresión podría ofrecer una respuesta como: IQ= 80 + 0.02Volúmen cerebro + 0.15Tamaño - 0.8sexo Donde la variable sexo es una variable nominal o indicadora, codificada como 0 para las mujeres y 1 ára los hombres. Para interpretar un modelo así hay que ser muy cautelosos. Los modelos de regresión nos informan de la presencia de relaciones, pero no del mecanismo causal. Ejemplo 3 Muchos conductores asocian que cuanta más policía local haya dirigiendo el tráfico, mayores son los atascos y concluyen erróneamente que es la policía la causa de embotellamientos. Olvidan terceras variables que no han sido tenidas en cuenta como las averías previas en los semáforos o la ocurrencia de accidentes. Usualmente, usted grafica variables predictoras en el eje x y variables de respuesta en el eje y. La técnica de regresión múltiple se usa frecuentemente en investigación. Se aplica al caso en que la variable respuesta es de tipo numérico. Cuando la respuesta es de tipo dicotómico (muere/vive, enfermo/no enfermo) usamos otra técnica denominada regresión logística. Suposiciones 1. 2. 3. 4.

La variable dependiente es una variable aleatoria La relación entre la variable dependiente y cada variable independiente debe ser lineal. Las varianzas de las distribuciones de la variable dependiente, para diversos valores de las variables independientes, son iguales. Las distribuciones para la variable dependiente son normales.

2. MODELO MATEMÁTICO DE LA REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE CON DOS VARIABLES INDEPENDIENTES El diagrama de dispersión se puede trazar en un sistema rectangular tridimensional .El modelo matemático de la regresión lineal múltiple es: Yi=

  1 X 1i   2 X 2i   i

 =intersección con el eje Y

donde

1

 1 =pendiente de Y respecto de X , cuando X  2 = pendiente de Y respecto de X , cuando X  i = error aleatorio en Y para la observación i 1

es constante

2

2

es constante

1

Una primera meta del análisis es el establecimiento de una ecuación de regresión lineal múltiple estimada, como: 

Y  b0  b1 X 2  b2 X 2 donde la terna a,b1,b2 son estimadores de los parámetros reales

 , 1 ,  2

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS El plano de regresión está colocado de modo que se reduzca al mínimo la suma del cuadrado de los errores

      Y  Y   

2 

Y

, donde

= valor estimado. Esta condición se cumple cuando se satisfacen las ecuaciones normales

siguientes:

Y  nb  b  X  b  X X y b X b X b X X  X Y  b  X b  X X b  X 0

1

1

0

2

1

1

0

2

2

2 1

1

2

1

1

2

1

2

2

2 2

2

Sistema de ecuaciones normales, de cuya solución se obtienen los coeficientes estimados de regresión:

 X Y  n X Y   X X  n X X  X Y  n X Y   X  n X  X  n X   X X  n X X   X  n X  X Y  n X Y   X X  n X X  X Y  n X Y    X  n X  X  n X   X X  n X X 

b1  b2

 X

2 2

 n X 22

1

2 1

2 1

1

2 1

2 1

2

2 1

1

2 2

2

2 1

2

1

1

1

2 2

2 2

2

2

2

2

2 2

2

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

b0  Y  b1 X 1  b2 X 2 Ejemplo 4 .Se desea estudiar el efecto de la temperatura ambiente promedio diario en °F, X 1 y la cantidad de aislamiento en el desván en pulgadas de grosor ,X2 sobre el consumo mensual de petróleo para calefacción en galones, Y, en casa. Para el efecto se ha tomado una muestra aleatoria de 15 casas cuyos datos medidos se reportan en las cuatro primeras columnas de la tabla. Determine la ecuación de regresión múltiple estimada

Obs. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 12 13 14 15

Y

X1

275.3 363.8 164.3 40.8 94.3 230.9 366.7 300.6 237.8 121.4 31.4 203.5 441.1 323.0 52.5 3247.4

40 27 40 73 64 34 9 8 23 63 65 41 21 38 58 604

Y= 216.49

40.27

X1 =

X2 3 3 10 6 6 6 6 10 1 03 10 6 3 3 10 95

X1 Y

X 2Y

11012.0 9822.6 6572.0 2978.4 6035.2 7850.6 3300.3 2404.8 5469.4 7648.2 2041.0 8343.5 9263.1 12274.0 3045.0 98060.1

825.9 1091.4 1643.0 244.8 565.8 1385.4 2200.2 30006.0 2378.0 364.2 314.0 1221.0 1323.3 969.0 525.0 18057

X2 = 6.33

2

X1 X 2 120 81 400 438 384 204 54 80 230 189 650 246 63 114 580 3833

X 12 1600 729 1600 5329 4096 1156 81 64 529 3969 4225 1681 441 1444 3364 30308

X 22 9 9 100 36 36 36 36 100 100 9 100 36 9 9 100 725

Y2 75790.09 132350.44 26994.49 1664064 8892.49 53314.81 134468.89 90360.36 36548.84 14737.96 985.96 41412.25 194569.21 104329.0 2756.25 939175.68

Solución Y: Consumo mensual de petróleo para calefacción (en galones). Variable dependiente Variables independientes X1: temperatura ambiente promedio X2: cantidad de aislamiento en el desván (grosor en pulgadas) Las tres ecuaciones normales son:

Y  nb  b  X  b  X X y b X b X b X X  X Y  b  X b  X X b  X 0

1

2

1

0

0

1

1

2

2

1

1

2

2 1

2

1

2

1

2

2 2

2

3247.4 = 15b0 + 604b1 + 95b2 98060.1 = 604 b0 + 30308 b1 +3833 b2 18057.0 = 95 b0 + 3833 b1 +725 b2 Y resolviendo el sistema de ecuaciones 

Y  b0  b1 X 1  b2 X 2

b0=562.15

b1=-5.44

b2=-20.01 Y la ecuación de regresión múltiple estimada es



Y  562.15  5.44 X 1  20.01X 2



El valor de la intercepción es 562.15. Esta es la ordenada del punto donde la gráfica de la ecuación de regresión cruza el eje Y. Los coeficientes de regresión para la temperatura exterior media y el grosor del aislamiento en el desván son negativos.

  

A medida que aumente la temperatura exterior, disminuirá el costo mensual de petróleo para calentar una casa. Por lo tanto se espera una relación inversa. Por cada grado que ascienda la temperatura media exterior, se cuenta con que el costo de la calefacción baje a 5.44 galones al mes. La variable aislamiento térmico del desván también muestra una relación inversa. Cuánto más aislamiento se ponga, tanto menor será el costo de calentar una casa, así que es correcto que el signo para esta variable sea negativo por cada pulgada adicional de aislamiento, se espera que el costo de calefacción de un inmueble disminuya a $20.01 al mes.



PREDICCIONES Predecir el consumo mensual de petróleo en calefacción en una casa X2 con 6 pulgadas de aislamiento en el desván , para una 

temperatura diaria X1 de 30 °F.

Y  562.15  5.44 X 1  20.01X 2  562.15  5.44(30)  20.01(6)  278.98galones

CORRELACIÓN MÚLTIPLE: MEDICIÓN DEL GRADO DE RELACIÓN

El coeficiente de determinación múltiple R

2

Ó

rY21 2

: tiene el efecto de crecer con el número de variables

independientes el modelo de regresión. Para corregir este sesgo se aplica el coeficiente de determinación múltiple ajustado (corregido) está dado por

rY212 

SS Re gresión MCE 1 SSt MCT

mide el porcentaje de la varianza de Y que queda explicada al conocer dos o más variables independientes. Cuanto mayor es el valor de R2 menor es la dispersión y mayor el ajuste del plano de regresión de los datos.

Para nuestro ejemplo rY212 

227717.94  0.9644 236135.23

Significa que el 96.44% de la variación en el consumo mensual de petróleo se explica por la variación en la temperatura ambiente promedio y por la variación en el grosor del aislamiento en el desván, quedando sólo el 3.56% para ser explicado por el azar.

El coeficiente de correlación múltiple

R

Ó

rY1 2 

independientes consideradas como grupo y la variable dependiente Y

3

rY21 2

Mide la relación ente las variables

Se trata de calcular un solo valor que describa la intensidad total de la relación entre una variable dependiente y dos o más variables independientes. Este valor es el coeficiente muestral de correlación múltiple, su signo se considera siempre es positivo:

rY1 2 

0.9644  0.9829

El error estándar de la estimación múltiple Mide la variabilidad de los residuales. Se define igual que en el modelo de regresión simple por 2

   Y  Y  s  n  k 1

SCE n  k 1

Y =valores observados de la muestra 

Y

=valores estimados a partir de la ecuación de regresión N=número de datos K=número de variables independientes. Es el segundo criterio para medir descriptivamente el ajuste del modelo de regresión estimado a los datos de la muestra, cuánto más pequeño sea el valor de S , mejor será el ajuste del modelo de regresión EJEMPLO. A un productor de comida para cerdos le gustaría determinar qué relación existe entre la edad de un cerdo cuando empieza a recibir un complemento alimenticio de reciente creación, el peso inicial del animal y la cantidad de peso que aumenta en un período de una semana con el complemento alimenticio.la siguiente información es resultado de un estudio hecho sobre 8 lechones:

Número de lechón 1 2 3 4 5 6 7 8

X 1 peso inicial (libras) 39 52 49 46 61 35 25 55

X2 Edad inicial(semanas) 8 6 7 12 9 6 7 4

Y Peso aumentado 7 6 8 10 9 5 3 4

a. Calcule la ecuación de mínimos cuadrados que mejor describa estas tres variables b. ¿Qué tanto debería esperar que un cerdo aumente de peso en una semana con el complemento alimenticio, si tenía nueve semanas de edad y pesaba 48 libras? Solución: Regression Analysis: y versus x1, x2

The regression equation is y = - 4.19 + 0.105 x1 + 0.807 x2 Predictor Constant x1 x2

Coef -4.192 0.10483 0.8065

S = 0.999073

Source x1 x2

DF 1 1

SE Coef 1.888 0.03229 0.1582

R-Sq = 88.1%

T -2.22 3.25 5.10

P 0.077 0.023 0.004

Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total

R-Sq(adj) = 83.4%

DF 2 5 7

SS 37.009 4.991 42.000

Seq SS 11.080 25.929

Responda a. ¿Cuál de las variables se puede quitar ya que no es muy significativa? En regresión múltiple se puede calcular pruebas de significancia para cada coeficiente de regresión

H 0 : 1  0 H1 : 1  0 H 0 :  2  0 H1 :  2  0

4

MS 18.505 0.998

F 18.54

P 0.005

Ambas variables se pueden quitar porque el valor p de la prueba asociadas con sus valores de t son menores a 0.05=alfa. En este ejemplo debido a que existen 2 variables pronosticadoras los grados de libertad son n-k-1=8-2-1=5 Con alfa=0.05 y y una prueba de dos colas, el valor de t crítico de la tabla es b.

T

alfa/2;5

H 0 : 1   2  0

0

H1: al menos uno de los coeficientes de regresión es

El valor F es 18.54 como p =0.005 el valor de F es significativo en alfa=0.05.La hipótesis nula se rechaza y existe al menos un pronosticador significativo. Residual Plots for y Residual Plots for y Normal Probability Plot

Versus Fits

99 1 Residual

Percent

90 50

0

10 1

-1 -2

-1

0 Residual

1

2

4

6

Histogram

8 Fitted Value

10

Versus Order 1

1.5

Residual

Frequency

2.0

1.0

0

0.5 0.0

-1 -1.0

-0.5

0.0 0.5 Residual

1.0

1.5

1

2

3 4 5 6 Observation Order

7

8

Ejemplo En una investigación acerca del número de usuarios sobre el monto recaudado en las cabinas de Internet por semana se recopilaron datos de cinco cabinas ( con 4PC c/u) en diferentes puntos de la ciudad cabina Número de usuarios por máquina Monto recaudado semanalmente ($) Los resultados fueron los siguientes Estadísticas de la regresión

1 20 300

2 25 310

3 28 320

4 36 350

5 40 420

Interprete los resultados:

Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R2 Error típico Observaciones

0.9190 0.8447 22.06 5

Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R2 Error típico

,

EJERCICIOS : REGRESIÓN MULTIPLE 1. Dado el siguiente conjunto de datos, utilice el paquete de cómputo que tenga disponible para encontrar la ecuación de regresión de mejor ajuste y responda a lo siguiente a. ¿Cuál es la ecuación de regresión? b. ¿Cuál es el error estándar de la estimación? c. ¿Cuál es R2 para esta regresión? d. ¿Cuál es el valor predicho para Y cuando X1=5.8 X2=4.2 X3=5.1? Y 64.7 80.9 24.6 43.9 77.7 20.6 66.9 34.3

X1 3.5 7.4 2.5 3.7 5.5 8.3 6.7 1.2

X2 5.3 1.6 6.3 9.4 1.4 9.2 2.5 2.2

X3 8.5 2.6 4.5 8.8 3.6 2.5 2.7 1.3

5

2. A un productor de comida para cerdos le gustaría determinar qué relación existe entre la edad de un cerdo cuando empieza a recibir un complemento alimenticio de reciente creación, el peso inicial del animal y la cantidad de peso que aumenta en un período de una semana con el complemento alimenticio.la siguiente información es resultado de un estudio hecho sobre 8 lechones:

Número de lechón 1 2 3 4 5 6 7 8

X 1 peso inicial (libras) 39 52 49 46 61 35 25 55

X2 Edad inicial(semanas) 8 6 7 12 9 6 7 4

Y Peso aumentado 7 6 8 10 9 5 3 4

a. Calcule la ecuación de mínimos cuadrados que mejor describa estas tres variables b. ¿Qué tanto debería esperar que un cerdo aumente de peso en una semana con el complemento alimenticio, si tenía nueve semanas de edad y pesaba 48 libras?

3. La siguiente información ha sido recabada de una muestra aleatoria de inquilinos de departamentos de una ciudad. Estamos tratando de predecir el monto de la renta (en dólares por mes) basado en el tamaño del departamento (número de cuartos9 y en la distancia al centro de la ciudad (en millas) Renta ($) Número de cuartos Distancia al centro 360 2 1 1000 6 1 450 3 2 525 4 3 350 2 10 300 1 4 a. Calcule la ecuación de mínimos cuadrados que mejor relaciona estas tres variables b. Si alguien está buscando un departamento de dos recámaras que esté a dos millas del centro de la ciudad ¿Qué alquiler esperaría pagar? 4. Pam Norton es dueña y administradora de un despacho de contabilidad en Ithaca, New York .Ella piensa que sería útil ser capaz de predecir el número de solicitudes de rembolso de impuestos durante los días hábiles del período que va del 1 de marzo al 15 de abril, de modo que pueda planear mejor sus necesidades de personal durante dicho período. Ha hecho la hipótesis de que varios factores pueden ser útiles en su predicción los datos correspondientes y el número de solicitudes de reembolso de años anteriores son: X 1 índice económico 99 106 100 129 179 a. b. c.

X2 Población dentro de una milla a la redonda de la oficina 10,188 8,566 10,557 10,219 9,662

X3 ingreso Promedio para Ithaca 21,465 22,228 27,665 25,200 26,300

Y número de solicitudes de reembolso 2,306 1,266 1,422 1,721 2,544

Utilice el paquete de cómputo que tenga disponible para encontrar la ecuación de regresión de mejor ajuste para estos datos ¿Qué porcentaje del total de variación en el número de solicitudes de reembolso se explica mediante esta ecuación? Para 1993el índice económico es de 169, la población dentro del área de una milla alrededor de la oficina es de 10,212 y el ingreso promedio en Ithaca es de $26,925 ¿Cuántas solicitudes de rembolso deberá esperar Pam que dé trámite entre el 1 de marzo y el 15 de abril?

5. Rick está pensando en vender su casa. Con el fin de decidir que precio pedir por ella, ha recogido datos de 12 ventas recientes. Registró el precio de las ventas (en miles de $) el número de pies cuadraos de construcción (en cientos de pies) el número de pisos, el número de baños y la antigüedad de la casa (en años) Precio de venta 49.65 67.95 81.15 81.60 91.50 95.25 100.35

Pies cuadrados 8.9 9.5 12.6 12.9 19.0 17.6 20.0

pisos 1 1 2 2 2 1 2

baños 1 1 1.5 1.5 1 1. 1.5

6

antiguedad 2 6 11 8 22 17 12

104.25 112.65 149.70 160.65 232.50

20.6 20.5 25.1 22.7 40.8

2 1 2 2 3

1.5 2 2 2 4

11 9 8 18 12

a .Utilice el paquete de cómputo que tenga disponible para encontrar la ecuación de regresión de mejor ajuste para estos datos b ¿Cuál es el valor de R2 para esta ecuación? C .Si la casa tiene 1,800 pies cuadrados (=18.0 cientos de pies cuadrados), un piso, 1.5 baños y seis años de antigüedad ¿Qué precio de venta podría esperar? 6. Estamos intentando predecir la demanda anual de un cierto producto (DEMAND) utilizando las siguientes variables independientes PRECIO: precio del producto en $ INGRESO: ingreso del consumidor en $ SUB: precio de un bien sustituto en $ (Nota un bien sustituto es aquel que puede suplir a otro bien. Por ejemplo la margarina es un bien sustituto de la mantequilla) Se han registrado datos correspondientes al período 1998-2002 año demanda Precio$ Ingreso$ Sub $ 1987 40 9 400 10 1988 45 8 500 14 1989 50 9 600 12 1990 55 8 700 13 1991 60 7 800 11 1992 70 6 900 15 1993 65 6 100 16 1994 65 8 1100 17 1996 75 5 1200 22 1997 75 5 1300 19 1998 80 5 1400 20 1999 100 3 1500 23 2000 90 4 1600 18 2001 95 3 1700 24 2002 85 4 1800 21 a .Utilice el paquete de cómputo que tenga disponible para encontrar la ecuación de regresión de mejor ajuste para estos datos b .¿Son los signos (+ o -) de los coeficientes de regresión de las variables independientes como cabe esperar? Explique brevemente a respuesta. (Nota: esta no es una pregunta estadística, solamente necesita pensar acerca de lo que significan los coeficientes de regresión) c. Establezca e interprete el coeficiente de determinación múltiple del problema d. Establezca e interprete el error estándar de la estimación para el problema. e .Utilizando la ecuación de regresión obtenida ¿qué valor de DEMAND predeciría si el precio de los productos fue de $6 , si el ingreso del consumidor de 41200 y el precio del bien sustituto fue de $17? 7. Un estadista tiene interés en los factores que afectan el desempeño de los estudiantes en los exámenes. El examen trimestral del semestre anterior tuvo una amplia distribución de calificaciones pero el estadista tiene la certeza de que varios factores explican dicha distribución: permite a sus estudiantes que estudien en tantos libros como les plazca; el coeficiente de inteligencia de los estudiantes; la diferencia de edades y el tiempo variable de estudio para los exámenes. Con el propósito de desarrollar una fórmula de predicción para las calificaciones de examen, el estadista le pidió a cada estudiante que respondiera, al final del mismo, preguntas referentes al tiempo de estudio y al número de libros utilizados.los registros que tenía ya incluían el coeficiente de inteligencia y la edad de los estudiantes, de modo que reunió los datos correspondientes al grupo y corrió el procedimiento de regresión múltiple en un paquete estadístico ,el resultado fue el siguiente. RAIZ MSE 11.657308 VARIABLE

DF

ESTIMACION

RC UADRADA 0.7672 ERROR ESTÁNDAR

DE PARÁMETRO INTERSECC HORAS CI LIBROS EDAD

1 1 1 1 1

-49.947647 1.069316 1.364595 2.039817 -1.798903

t PARA H0: PARÁMETRO =0

41.549391 0.981632 0.376270 1.507990 0.673319

-1.202 1.089 3.627 1.353 -2.672

PROB>

T

0.2684 0.3121 0.008 0.2182 0.0319

a. ¿Cuál es la ecuación de regresión de mejor ajuste para estos datos? b. ¿Qué porcentaje de la variación de calificaciones se explica con esta ecuación? c. ¿Qué calificación esperaría usted para un estudiante de 21 años de edad con un coeficiente de inteligencia de 113, que estudió cinco horas y utilizó tres libros diferentes? 8. La corporación Steel ha estado buscando los factores que influyen en la cantidad de hacer (en millones de toneladas) que es capaz de vender cada año. La administración sospecha que los siguientes son los factores principales: la tasa anual de inflación del país, el precio promedio por tonelada mediante el cual el acero importado acota los precios (en $) por la competencia y el número de

7

automóviles (en millones) que los fabricantes de Estados Unidos están planeando producir en ese año. Se han recogido los datos correspondientes a los últimos siete años:

Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Y millones de Tons vendidas 4.2 3.1 4.0 4.7 4.3 3.7 3.5

X1 tasa de inflación 3.1 3.9 7.5 10.7 15.5 13.0 11.0

X2 limitación de importación 3.1 5.00 2.20 4.50 4.35 2.60 3.05

X3 número de automóviles 6.2 5.1 5.7 7.1 6.5 6.1 5.9

a. Utilizando cualquier paquete de computadora que tenga disponible (Minitab) determine la ecuación de regresión de mejor ajuste para los datos b. ¿Qué porcentaje de la variación total de la cantidad de acero vendido (en millones de toneladas) por la competencia y cada año es explicado por esta ecuación? c. ¿Cuántas toneladas de acero deberá esperar la competencia y vender en un año en el que la tasa de inflación sea de 7.1, los fabricantes de automóviles norteamericanos estén planeando producir 6.0 millones de autos y el promedio de limitación impuesto por el acero importado por tonelada sea de $3.50? 9. Una línea aérea cuya base está en nueva Inglaterra ha efectuado una investigación sobre sus 15 terminales y ha obtenido los siguientes datos correspondientes al mes de febrero, en los que Ventas: recuperación total basada en el número de boletos vendidos (en miles de dólares) Promoc: cantidad gastada en promover la línea aérea en la zona (en miles de dólares) Compet: número de aerolíneas competidoras en ese aeropuerto Gratis: porcentaje de pasajeros que vuelan gratis (por alguna razón) ventas 79.3 200.1 163.2 200.1 146.0 177.7 30.9 291.9 160.0 339.4 159.6 86.3 237.5 107.2 155.0 a. b. c. d.

promoc 2.5 5.5 6.0 7.9 5.2 7.6 2.0 9.0 4.0 9.6 5.5 3.0 6.0 5.0 3.5

compet 10 8 12 7 8 12 12 5 8 5 11 12 6 10 10

gratis 3 6 9 6 15 9 8 10 4 16 7 6 10 4 4

Utilizando cualquier paquete de computadora que tenga disponible (Minitab) determine la ecuación de regresión de mejor ajuste para la aerolínea ¿Los pasajeros que vuelan gratis ocasionan que la s ventas bajen significativamente? Establezca y pruebe las hipótesis apropiadas. Use alfa igual a 0.05 ¿Un aumento en las promociones de $1000 cambia las ventas en $28000,o es el cambio significativamente diferente a $28000? Establezca y pruebe las hipótesis apropiadas. Use alfa igual a 0.01 Dé un intervalo de confianza de 905 para el coeficiente de la pendiente de compet.

8