Regla de L\'Hôpital. Demostración

REGLA DE L'HÔPITAL. DEMOSTRACIÓN de Alfredo Salvador C. García

Johannes Bernoulli, demostrador de la regla de L'Hôpital · Teorema. Sean dos funciones f y g continuas en todos sus puntos, tales que f(a)=0 y g(a)=0. Entonces límx→a f(x)/g(x) = límx→a fx(x)/gx(x) se cumple (Regla de L'Hôpital) · Demostración: 1. fx(x)/gx(x) = {límh→0 [f(x+h)-f(x)]/h}/{límh→0 [g(x+h)-g(x)]/h}, por la definición de la derivada [El teorema fundamental del Análisis (o del Cálculo), 16 de Julio de 2014], 2. fx(x)/gx(x) = límh→0 {[f(x+h)-f(x)]/h}/{[g(x+h)-g(x)]/h}; porque el cociente de límites es igual al límite del cociente [Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013]. 3. fx(x)/gx(x) = límh→0 [f(x+h)-f(x)]/[g(x+h)-g(x)], efectuando el cociente, simplificando. 4. límx→a fx(x)/gx(x) = límx→a límh→0 [f(x+h)-f(x)]/[g(x+h)-g(x)], representando el cálculo del 1

límite cuando x→a. 5. límx→a fx(x)/gx(x) = límh→0 límx→a [f(x+h)-f(x)]/[g(x+h)-g(x)], porque se cumple la igualdad límx→a lím y→b f(x,y) = límy→b lím x→a f(x,y), [La derivada de la función exponencial del límite «e», 27 de Noviembre de 2014; Teorema 3] 6. límx→a fx(x)/gx(x) = límh→0 [f(a+h)-f(a)]/[g(a+h)-g(a)], siempre y cuando existan f(a) y f(a+h), lo mismo que g(a) y g(a+h), no importando el valor de h, situación que se garantiza cuando tanto f como g son continuas en todos sus puntos, de acuerdo a la definición de continuidad [Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013]. 7. límx→a fx(x)/gx(x) = límh→0 f(a+h)/g(a+h), si es que f(a)=0 y g(a)=0 (segunda parte de la condición en la regla de L'Hôpital). 8. límx→a fx(x)/gx(x) = límh→0 límx→a f(x+h)/g(x+h), que es posible porque tanto f como g son continuas en todos sus puntos. 9. límx→a fx(x)/gx(x) = límx→a límh→0 f(x+h)/g(x+h), por lo mencionado en 5. 10. límx→a fx(x)/gx(x) = límx→a f(x)/g(x), nuevamente porque f y g son continuas en todos sus puntos. O, 11. límx→a f(x)/g(x) = límx→a fx(x)/gx(x), que es la regla de L'Hôpital, sin olvidar las especificaciones necesarias dadas en 6 y 7. ∎ · Para finalizar, un ejemplo. Se calculará límx→2 (x2-4)/(x-2) de forma independiente a la regla de L'Hôpital y posteriormente haciendo uso de ella, obsérvandose que es realmente válida. 1. límx→2 (x2-4)/(x-2) = límx→2 (x+2)·(x-2)/(x-2), factorizando el numerador. 2. límx→2 (x2-4)/(x-2) = límx→2 (x+2), efectuando el cociente. 3. límx→2 (x2-4)/(x-2) = 4, porque la función x+2 es continua en todos sus puntos, puede solamente sustituirse x por 2; y queda calculado el límite, independientemente de la regla de L'Hôpital. Aparte, se calculará el mismo límite considerando la regla. Nótese que f(x) = x2-4, g(x) = x-2, siendo ambas continuas en todos sus puntos (pueden calcularse f, g, y los límites respectivos para cualquier valor de x, además de que los límites son iguales a los valores f y g). Asimismo, f(2) = 0, g(2) = 0, y con lo anterior indica que es posible emplear la regla de L'Hôpital. Entonces 1. límx→2 (x2-4)/(x-2) = límx→2 2·x/1, porque fx(x)=2·x y gx(x)=1, como lo requiere la regla. 2. límx→2 (x2-4)/(x-2) = límx→2 2·x, simplificando, y límx→2 (x2-4)/(x-2) = 2·2, sustituyendo x por 2 2

dado que 2·x es continua en todos sus puntos. Finalmente, 3. límx→2 (x2-4)/(x-2) = 4, que es idéntico al valor calculado previamente. 1 de Febrero de 2015, de las 12.51 a las 13.42

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