REDUCCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE GRADO 3 A 2 (*) Como caso base partimos de la ecuación diofántica de grado p igual a 3 : 3
3
[1] ñ = a +n [2] ñ =
3
√3 a3+ n3
Multiplicamos y dividimos dentro de la raíz por el factor (a+ n)3 : [3 ] ñ =
√ 3
3
3
a +n (a+n)3 (a+ n)3
Sacamos de la raíz el factor ( a+n) que multiplica :
√
[ 4] ñ = (a+ n) 3
3
3
a +n (a +n)3
Despejamos el factor (a+ n) que está fuera de la raíz : [5 ] (a+n) =
ñ
√ 3
a 3 + n3 3 (a+ n)
Obtenemos la ecuación equivalente a [ 1] que representa el volumen no común de ñ 3 con a3 y n3 con la 3 3 3 intersección de losde estos dos cubos a y n en esquinas opuestas de una diagonal del mayor ñ : 3
[6 ] 3(ñ−a)(ñ−n)(a+ n) = (a+n−ñ) Sustituimos[ 5] en[ 6] : [7 ] 3 (ñ−a)(ñ−n)
ñ
√
3
3
= ( a+n−ñ)
3
a +n ( a+n)3
3
Pasamos la raíz al otro lado de la ecuación : [ 8] 3 (ñ−a)(ñ−n) ñ =
√ 3
a3 + n3 ( a+n−ñ)3 (a+ n)3
Restamos [ 8] a[ 6] : [ 9] 3 (ñ−a)(ñ−n)(a+ n−ñ ) = (1−
√
a 3 + n3 3 )(a +n−ñ) 3 (a+ n)
3
Simplificamos el factor (a+ n−ñ )con lo cual la ecuación de grado 3 pasa a ser de grado 2 en ñ :
√
[10 ] 3( ñ−a)(ñ−n) = (1− 3
a3 +n3 )( a+n−ñ)2 ( a+n)3
Es una ecuación de segundo grado en ñ y como tal podemos resolverla siendo la solución positiva :
√
2
a+n+ 9 a2 +9 n2−6 a(n+2 n( [11 ] ñ =
2(1+
√ 3
(a 2−a n+n 2) 2
(a+n)
2
(a −a n+n ) )) (a+n)2 ) % &8
Jugando un poco con el resultado anterior se puede llegar a una fórmula que incluí en uno de los documentos word de la demostración de Pitágoras con trapecios para representar enteros de distintas formas tales como : 1 = 21/ 3+ 2−1 /3 −√ 3−3/ 22 /3 3 = 2(3
1 /3
+3
2 /3
)−√ 33−8∗3
2 /3
5 = 2∗35 1/3 (5+ 351/ 3)−3 √ 5( 45− 8∗35 1/ 3) −1 = 2(−37)1 /3 (1+371 /3 )−3 √ 33+16∗371 /3 −1 = 2(−7)1 /3 (1+71 /3 )−√ 57+24∗7 1/ 3 etc …
(*) del desarrollo que hice en el 2003 y comienzo de la demostración de la conjetura ÑAN (o ABC) que es el paso previo para demostrar el Último Teorema de Fermat. Fernando García Finat -
[email protected] - Enero de 2017
