Red de exportaciones-importaciones mundial (datos de 2012)

An´alisis de la red de exportaciones/importaciones mundial (a˜no 2012). Alfonso de Miguel June 15, 2015

Abstract En esta tarea se propone un an´alisis b´asico de una red compleja. Tomamos como caso de estudio la red comercial mundial de importaciones/exportaciones. El software utilizado para llevar a cabo la tarea descrita tanto en su an´alisis como en la representaci´ on gr´ afica de la red es Gephi. Explicaremos y analizaremos algunas m´etricas b´ asicas de la red: distribuci´on de grado, longitud de camino medio, coeficiente de clustering, y estudiaremos su modularidad, entre otras cuestiones.

1 Introducci´on: el comercio internacional. En un mundo globalizado, interconectado, y capitalista, el comercio internacional es el motor econ´ omico que mueve la incesante necesidad de absatecimiento y crecimiento de las diferentes naciones del mundo que participan de ´el. Hablamos de comercio internacional como el intercambio de capital, bienes, y servicios a trav´es de las fronteras o territorios internacionales. Para la mayor´ıa de pa´ıses, este comercio representa una fracci´on importante del PIB. Y aunque es cierto que el comercio internacional no es algo propio de las econom´ıas capitalistas del u ´ltimo siglo, su importancia econ´omica, social, y pol´ıtica se ha visto disparada en estos u ´ltimos tiempos, gracias tambi´en al avance tecnol´ogico en transporte y telecomunicaciones. Comerciar globalmente da a los consumidores y a los pa´ıses la oportunidad de exponerse a nuevos mercados y productos, superando las limitaciones de distinto tipo que imponen las fronteras nacionales [1]. Casi cualquier tipo de producto puede encontrarse en el mercado internacional: comida, textil, recambios, petr´oleo, joyer´ıa, bebidas, acciones, divisas, agua, etc. Los servicios tambi´en pueden ser intercambiados: turismo, banca, consultor´ıa, transporte. Se define como exportaci´on al producto que se vende al mercado global, y como importaci´ on al producto que se compra en el mercado global. Las importaciones y exportaciones contribuyen a la balanza de pagos de un pa´ıs.

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Aspectos como la industrializaci´on, el avance tecnol´ogico, inclu´ıdo el transporte, la globalizaci´ on, las corporaciones multinacionales, y la externalizaci´on, todos tienen un fuerte impacto sobre el sistema de comercio internacional. Y el incremento del comercio internacional es clave para la continuidad de la globalizaci´on. Sin este tipo de comercio, las naciones estar´ıan limitadas a los productos y servicios producidos dentro de sus propias fronteras. En realidad, el comercio internacional no difiere en principios del comercio dom´estico. La diferencia principal es que el primero es m´as costoso que el segundo, ya que el atravesar fronteras supone costes adicionales en forma tarifas, aranceles, aparte de retrasos temporales y otro tipo de costes asociados con las diferencias entre pa´ıses, como el lenguaje, la cultural, o la legislaci´on. Otra diferencia entre el comercio internacional y el dom´estico es la de los factores de producci´ on, como el capital y el trabajo, que t´ıpicamente gozan de mayor movilidad dentro de un pa´ıs que al atravesar fronteras. El comercio internacional est´a restringido mayoritariamente al comercio de productos y servicios, y solo en una peque˜ na proporci´on al comercio de capital, trabajo y otros factores de producci´on. De hecho, el comercio de productos y servicios puede servir como un sustituto del comercio de factores de producci´ on. En vez de importar un determinado factor de producci´on, un pa´ıs puede importar productos que requieran un uso intensivo de tal factor de producci´on, y as´ı cubrir la deficiencia. Pero no todos son luces para el comercio internacional (sobretodo cuando se aboga por la mayor desregulaci´ on posible). Los problemas que plantea el comercio internacional es que no beneficia por igual a todos los pa´ıses implicados en ´el. Normalmente, los pa´ıses m´as avanzados econ´ omica y tecnol´ ogicamente, abusan de los pa´ıses con mayor ´ındice de desigualdad, pa´ıses no desarrollados.

2 Red de importaciones/exportaciones (a˜no 2012): construcci´on del grafo. La toma de datos se ha realizado exclusivamente de la base de datos [2]. Los datos m´as actualizados corresponden a 2012, y son por tanto a estos a los que nos tenemos que ce˜ nir. Proponemos la construcci´ on del grafo de importaciones/exportaciones de la siguiente manera. Se ha elaborado un grafo G ponderado y direccionado. Este est´a definido por un conjunto N (G) de N nodos, un conjunto E(G) de M enlaces, y una aplicaci´on ω : E → R, que da cuant´ıa del peso de cada enlace. El conjunto de nodos de la red est´a conformado por un total de N = 216 pa´ıses/territorios con autonom´ıa para el comercio internacional o territorios dependientes. La formaci´on de enlaces entre los distintos pa´ıses obedece al nivel de interacci´ on comercial que presentan. El n´ umero de enlaces o aristas contabilizados es de E = 4103. 2

La elaboraci´ on del grafo se ha hecho desde el punto de vista de la red de exportaciones. Es decir, los enlaces se han construido a partir de la informaci´on tomada sobre exportaciones de cada pa´ıs. Normalmente, por defecto, la base de datos consideraba para cada pa´ıs, los 20 pa´ıses m´ as importantes en tanto que cantidad de dinero movida en la exportaci´ on. Por tanto, se puede decir que desde el punto de vista de las exportaciones la red est´ a completamente caracterizada. La lista de pa´ıses destino de las exportaciones de un pa´ıs de origen puede ser notablemente alto, pero, existen muchas contribuciones marginales. Hay que tener en cuenta pues que la red de importaciones no estar´ıa completamente caracterizada, ya que, b´asicamente para los pa´ıses m´as peque˜ nos (poblaci´on/tama˜ no) las contribuciones absolutas son muy peque˜ nas y no figurar´an en el top 20 de las exportaciones de la mayor´ıa de los pa´ıses. Los enlaces que salen de un pa´ıs i y llegan a otros pa´ıses, hacen referencia a los destinos de las exportaciones que el pa´ıs i realiza. Seg´ un el volumen de dinero que se mueva en cada destino, el enlace tendr´a mayor o menor importancia. La ponderaci´on del enlace o conexi´ on se mide por el volumen o cantidad de dinero implicado en tal exportaci´on, medido en millones de d´ olares americanos US$. Para la red de importaciones, obviamente, la situaci´ on es a la inversa. Los enlaces que llegan a un pa´ıs j provinientes de un cierto conjunto de otros pa´ıses, hacen referencia a los destinos desde los cuales el pa´ıs j importa bienes/servicios. La cuenta de las importaciones/exportaciones se hace sobre todos los tipos de bienes/servicios registrados en la base de datos y no se particulariza para ning´ un producto o servicio en concreto.

2.1 Presentaci´on del grafo. El apartado gr´ afico y anal´ıtico se han llevado a cabo mediante el programa Gephi [3]. La visualizaci´ on del grafo de acuerdo a diferentes propiedades del mismo es una caracter´ıstica importante de este tipo de programas de an´alisis de redes complejas. Puede ayudar a comprender de manera r´ apida e intuitiva c´omo se organiza el sistema y c´omo se relacionan sus distintos componentes. Por desgracia, para la red con la que hemos trabajo en esta tarea, no ha sido posible obtener una buena visualizaci´on de la misma. Los diferentes algoritmos predeterminados de Gephi no terminaban de mostrar una imagen de la red lejos de un gran enmara˜ namiento. Quiz´as como signo de que el sistema est´a profundamente conectado y no tiene grandes componentes notablemente diferenciados entre s´ı. De todos modos, este peque˜ no inconveniente no afecta de ninguna manera al an´alisis de la red que presentamos a continuaci´on. No obstante, con el fin de dar una imagen de la red de comercios, decid´ı organizar los nodos de la misma con un orden geogr´afico; esto es, emulando el mapa terrestre. El tama˜ no de los nodos viene representado con una escala proporcional al grado total ponderado de cada uno. Esto significa que los nodos de mayor tama˜ no son los que 3

realizan exportaciones e importaciones de un mayor volumen econ´omico.

Figure 1: Red de exportaciones/importaciones (a˜ no 2012).

2.2 Distribuci´on de grado. El grado de un nodo de la red se define como el n´ umero de enlaces o conexiones que tiene con el resto de nodos de la red y puede designarse como k(ni ). As´ı, si un nodo i comparte enlace con otros dos nodos diferentes j y k, el grado del nodo i ser´ıa k(i) = 2. En este sentido uno puede hablar de la distribuci´on del grado si tiene en cuenta el n´ umero de conexiones de cada uno de los nodos de la red y n(k) designar´ıa el n´ umero de nodos de la red que tienen grado k. Uno puede normalizar esta medida dividiendo por el n´ umero de nodos que conforman la red, sea N , para dar lugar a la magnitud que definimos como la distribuci´ on de grado: n(k) p(k) = (1) N La fracci´ on entre el n´ umero de nodos con un grado k entre el n´ umero total de nodos de la red puede interpretarse tambi´en como la probabilidad de que un nodo elegido aleatoriamente tenga grado k. Mostramos los datos obtenidos para nuestra red de exportaciones/importaciones. En la figura 2 se puede observar la distribuci´on de grado total no ponderada de la red. El histograma para la distribuci´on de grado total para la red construida muestra que el grueso de los pa´ıses tiene un grado entre 20 y 40, con una tendencia descendente; y luego encontramos puntualmente pa´ıses con grados superiores. El m´aximo grado total se encuentra que es kmax = 191, correspondiente a Alemania. Podr´ıa haber sido tentador 4

Figure 2: Distribuci´ on de grado total sin considerar los pesos de las conexiones. decir que la distribuci´ on de grado podr´ıa asimilarse a una ley de potencias o distribuci´on libre de escala. Sin embargo, con los datos aqu´ı tomados, un ajuste lineal del logaritmo del n´ umero de nodos con grado k, log n(k) frente al logaritmo del grado log k, revela claramente un ajuste muy pobre, figura 3. Dado el peque˜ no n´ umero de nodos y enlaces implicados en la red, puede ser comprensible una gran desviaci´ on de un comportamiento ideal de una distribuci´on libre de escala. Ponemos un umbral de grado en torno a kthreshold = 45. Esto lo hacemos considerando que a partir de este valor la distribuci´on de grado presenta un comportamiento m´as irregular y plagado de n´ umeros de ocupaci´on nulos n(k) = 0. Entonces la distribuci´on de grado para k bajo es la mostrada en la figura 4 En fin, en t´erminos generales no podemos decir que la distribuci´on de grado total sea fiel a una distribuci´ on libre de escala, aunque para k bajo encontramos que el ajuste lineal es algo mejor, si bien sigue presentando demasiada dispersi´on. El grado medio computado es de hki = 18.995 . La contabilizaci´ on en el histograma de la distribuci´on de grado a partir de k = 20, as´ı como el valor del grado medio, se explican porque en los datos que ´ıbamos recopilando sobre las exportaciones de cada pa´ıs, figuraban en la mayor´ıa de los casos las 20 contribuciones m´ as importantes, si bien dentro de este top 20, exist´ıan grand´ısimas diferencias entre las mayores y menores contribuciones. Para algunos pa´ıses (muy pocos) estas contribuciones estaban por debajo de kout = 20. Por tanto, si se coge la distribuci´on de 5

Figure 3: Ajuste lineal para la distribuci´on de grado total. grado de salida P (kout se puede comprobar que tendr´a pr´acticamente la forma de una delta de Dirac en torno a kout = 20, esto es, δ(k − kout ). Esto habr´ıa ocurrido de igual modo si hubi´eramos utilizado los datos sobre importaciones de la base de datos [2] para la distribuci´ on de grado de entrada kin . El inconveniente de no haberla considerado, es que estamos despreciando las relaciones de importaci´on menos importantes, en el sentido meramente comercial de la cantidad de dinero que mueven. Evidentemente, aunque por defecto a la hora de tomar los datos, se introduzca que un pa´ıs dado tiene aproximadamente kin ≈ kout ≈ 20, no implica que el grado total k vaya a ser tal que k = 40 a la hora de culminar la construcci´on de la red, ya que no todos los pa´ıses tienen la misma presencia en las relaciones comerciales internacionales; como muestra la figura 2. Encontramos que n(k > 100) = 15, esto es, existen 15 nodos de la red con un grado superior a 100. Siendo N = 215 el n´ umero de nodos que componen la red, estos pa´ıses est´ an estableciendo relaciones comerciales con pr´acticamente la mitad de miembros del sistema. Si calculamos el grado medio teniendo en cuenta los pesos de los enlaces, tenemos que: hkweighted i = 59244.834 Los pesos han sido expresados en millones de d´olares (106 US$). Si observamos las distribuciones de grado de los enlaces ponderados, evidentemente veremos un histograma plano en el que ninguna de sus columnas supera la unidad. Esto es obvio, ya que en un rango de cantidades de millones de d´olares tan grande, es dif´ıcil que varios enlaces coincidan exactamente en su peso. Lo ideal ser´ıa definir una serie de intervalos a lo largo de todo el rango posible de las magnitudes de los enlaces, con el fin

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Figure 4: Ajuste lineal para la distribuci´on de grado total (regi´on de k bajo). de uniformar los resultados. A´ un as´ı, observando la distribuci´on de grado ponderada en crudo podemos obtener conclusiones similares importantes. Las figuras 5, 6, y 7, recogen respectivamente: la distribuci´on de grado total ponderada, la distribuci´ on de grado de entrada ponderada, y la distribuci´on de grado de salida ponderada. Lo que podremos observar en todas ellas es una alta acumulaci´on de puntos en torno a un rango bajo del eje X, que representa la cantidad de dinero movido en millones de d´ olares en la transacci´on comercial. Progresivamente los puntos se van dispersando hasta situarse altamente separados y con una progresiva desaparici´on de los mismos. Sin poder clasificarlo como un comportamiento de ley de potencias, observamos el t´ıpico comportamiento en econom´ıa (tipo Pareto) o en otros campos, donde solo unos pocos miembros del sistema mueven una enorme cantidad de dinero, frente a la gran mayor´ıa que mueve muy poco, en t´erminos absolutos.

2.3 Densidad del grafo. Se dice que un grafo es denso si el n´ umero de enlaces o conexiones entre los nodos del mismo est´ a pr´ oximo al m´ aximo n´ umero de enlaces posibles. Por contraria, hablar´ıamos de un grafo que es disperso si se trata con una red con un escaso n´ umero de enlaces. Esta distinci´ on entre un tipo u otro de grafo es realmente vaga y puede dejarse a la interpretaci´ on seg´ un el problema o contexto. Si calculamos la densidad de grafo como si estuvi´eramos una red no dirigida, obtenemos ρ = 0.158 , frente a la mitad aproximadamente, si calculamos la densidad de grafo considerando que 7

Figure 5: Distribuci´on de grado total ponderada. la red es dirigida ρ = 0.088 Esto es debido a que en un grafo dirigido la interacci´on entre dos nodos puede apuntar hacia uno y/o hacia el otro; por ello, el n´ umero de enlaces posibles se duplica. Podemos decir que no siempre existe reciprocidad en las relaciones comerciales, o no con la misma importancia. Teniendo en cuenta que el grafo es completo cuando ρ = 1 y se va dispersando si ρ → 0, los resultados muestran que la red est´a bastante lejos de ser completamente conexa, tendiendo a estar m´as bien dispersa. Si despreciaramos los nodos de los pa´ıses m´ as aislados comercialmente, evidentemente aumentar´ıa la densidad de la red, ya que solemos encontrar a un grupo habitual de pa´ıses protagonistas en las trasacciones comerciales internacionales, que generalmente son aquellos que gozan de un ´ındice de complejidad econ´ omica mayor. Dada la idiosincrasia de cada territorio y la diversificaci´ on de la producci´ on y distribuci´on, es normal encontrar que un pa´ıs con riqueza mantenga un n´ umero razonablemente alto de relaciones comerciales con diferentes pa´ıses, pero este grupo de privilegiados es m´as bien reducido.

2.4 Medidas relacionadas con la distancia. Para grafos sin peso y no dirigidos, el n´ umero de enlaces en un camino que conecta los v´ertices i y j se denomina longitud del camino. Un camino geod´ esico o camino m´ as corto, entre los v´ertices i y j, es uno de los caminos que conecta tales v´ertices y tiene la longitud m´ınima; la longitud de los caminos geod´esicos se denomina distancia geod´ esica dij entre los v´ertices i y j. Si el grafo tiene pesos puede aplicarse la misma 8

Figure 6: Distribuci´on de grado de entrada ponderada. definici´on, aunque generalmente uno podr´ıa estar m´as interesado en considerar los pesos asociados a las conexiones entre nodos. Para grafos dirigidos, tambi´en puede aplicarse la misma definici´ on, pero en general dij 6= dji . La excentricidad es una medida asociada al nodo, y es la distancia geod´esica m´as grande entre un tal nodo i y cualquier otro nodo j. El di´ ametro de una red es la m´axima excentricidad de entre los nodos que la conforman. Con Gephi obtenemos que el valor del di´ ametro es max dij = 11. Esto significa que los nodos, conectados, m´as separados en la red, est´an unidos por un m´aximo de 11 conexiones. Hasta cinco pa´ıses presentan la m´axima excentricidad, v´ease la tabla 1. Territorio Yemen Eslovenia Croacia Bonaire Mongolia

Ranking econ´omico 124 11 23 128

Excentricidad 11 11 11 11 11

Table 1: M´axima excentricidad. Una visi´ on m´ as general de la excentricidad en la red se tiene en la figura 8. Vemos que e(10) = 130, es decir, hasta 130 pa´ıses de los 215 de la red presentan una 9

Figure 7: Distribuci´on de grado de salida ponderada. excentricidad 10, es el n´ umero de ocupaci´on m´as alto con notable diferencia respecto al resto. El radio de la red es la m´ınima excentricidad de cualquier nodo. Es decir, dentro de las distancias geod´esicas m´ as grandes que separan a dos nodos cualesquiera de la red, ser´ıa la menor de estas. Obtenemos que el radio de la red es r=0. Con e(0) = 5. La distancia geod´ esica media o longitud media de camino m´ as corto es la media sobre todas las parejas de nodos ij de sus distancias dij X 1 `= dij (2) N (N − 1) i6=j

Para nuestra red obtenemos que ` = 3.221 Es decir, de media, los nodos de esta red est´an separados por unos 3.2 enlaces. No es una magnitud considerablemente elevada (si bien tampoco lo es el n´ umero de nodos de la red, N = 215), dependiendo del valor del coeficiente de clustering que obtengamos, podr´ıamos estar ante una red con caracter´ısticas de red peque˜ no-mundo.

2.5 Transitividad. Se dice que una red transitiva es aquella en la cual, por cada 3 nodos i, j y k, si existe una conexi´ on entre i y j, y entre j y k, entonces existe una conexi´on entre i y k tambi´en. 10

Figure 8: Distribuci´on de excentricidad. Una forma de medir la transitividad es por medio del coeficiente de agrupamiento o coeficiente de clustering. El coeficiente de clustering para un v´ertice i se define como el cociente entre el n´ umero total de conexiones entre los vecinos de i y el n´ umero total de posibles conexiones entre sus vecinos. Esto es Ci = 

L , n 2

(3)

donde L es el n´ umero de conexiones reales entre los vecinos del nodo i y n es el n´ umero de vecinos de este nodo i. El coeficiente medio de clustering de toda la red es la medida de los coeficientes de clustering sobre todos los nodos, C=

N 1 X Ci N

(4)

i

Si analizamos el coeficiente medio de clustering de nuestra red sin considerar que es dirigida, tenemos que este es Cundirected = 0.564 . Siendo el valor m´ aximo de este coeficiente la unidad, que implicar´ıa el agrupamiento m´as fuerte posible, el valor obtenido nos deja una situaci´on intermedia entre un acoplamiento d´ebil y uno fuerte, que cierta inclinaci´on hacia este u ´ltimo. Esto es sin duda consecuencia del relativamente alto grado m´ınimo de pr´acticamente todos los nodos que conforman la red. 11

El n´ umero de tri´ angulos que existe en estas condiciones es #∆ = 23248 . La distribuci´ on del coeficiente de clustering individual tomando la red como no dirigida es la mostrada en la figura 9

Figure 9: Distribuci´ on del coeficiente de clustering individual. Ahora, considerando que estamos ante una red dirigida, el c´omputo del coeficiente medio de clustering es Cdirected = 0.370 . Como es natural, al considerar direccionalidad en el c´omputo del coeficiente de clustering medio, Cdirected < Cundirected , y el acoplamiento entre nodos se hace algo m´as d´ebil pero no extremadamente, sigue cerca de la zona intermedia. Lo m´ as importante de todo esto es que, con el dato del coeficiente de clustering (sea o no dirigida la red) C se encuentra en un valor m´as bien intermedio entre su rango 0 y 1, y la longitud de camino medio ` = 3.2, relativamente baja, podr´ıamos considerar que la red tienen propiedades de una red peque˜ no-mundo.

2.6 Hubs y autoridades. En el contexto de grafos dirigidos y del an´alisis de conexiones en la WWW, surgen los conceptos de hub y autoridad de la siguiente manera: Un (buen) hub se dice que es aquella p´ agina (o nodo, gen´ericamente) que apunta hacia muchas otras p´aginas; una (buena) autoridad representar´ıa a una p´agina que ha sido enlazada por muchos 12

hubs diferentes. Esta m´etrica asignar´ıa dos puntuaciones a cada p´agina. La autoridad estimar´ıa el valor del contenido de la p´agina, y su valor de hub estimar´ıa el valor de los enlaces a otras p´ aginas. Se ha computado con Gephi el grado de hub y autoridad de los distintos nodos. A continuaci´ on mostramos los valores m´as altos de cada m´etrica. V´ease la tabla 2 para los hubs. Territorio Germany USA China France UK Netherlands Italy Spain Be-Lux India Japan South Korea Turkey

Ranking Econ´omico 3 12 22 13 8 20 19 27 54 1 5 41

Hub 0.0402 0.0394 0.0388 0.0380 0.0364 0.0359 0.0353 0.0308 0.0305 0.0286 0.0286 0.0248 0.0235

Table 2: Clasificaci´ on del grado de hub. Se muestran solo los nodos con grado de hub m´as alto. Y para las autoridades la tabla 3. Si lo traducimos al lenguaje del sistema que estamos estudiando, los hubs reflejar´ıan aquellos territorios/pa´ıses que est´ an realizando un mayor volumen de exportaciones, mientras que las autoridades ser´ıan aquellos territorios/pa´ıses que mayor volumen de importaciones presentan. A la vista de las tablas 2 y 3 vemos exactamente a los mismos nodos como protagonistas, tanto en el grado m´as alto de hub como en el de autoridades, manteniendo tambi´en pr´ acticamente las mismas posiciones. En ambos casos Alemania encabeza la lista de los hubs/autoridades. Esta posee un grado de k = 191, con kin = 171, lo que significa que sus importaciones proceden de 171 pa´ıses diferentes. Una lectura de los nodos que conforman la tabla muestra que los pa´ıses/territorios con mayor grado de hub/autoridad son potencias mundiales, pa´ıses del llamado primer mundo o pa´ıses en v´ıas de desarrollo. Concretamente, est´ an los pa´ıses del G7 (salvo Canad´a), pa´ıses importantes en Europa occidental, y gigantes asi´aticos como China, Jap´on, o Corea del Sur. Este resultado era perfectamente esperable, son las grandes potencias (econ´omicamente y/o demogr´aficamente) las que juegan el papel central en el comercio internacional. Se adjunta con mero car´ acter informativo un r´anking de naciones basado en un ´ındice de complejidad econ´ omica estipulado por la base de datos de la que nos hemos servido [4]. 13

Territorio Germany USA France China UK Netherlands Italy Spain Be-Lux Japan India South Korea Turkey

Ranking Econ´omico 3 12 13 22 8 20 19 27 1 54 5 41

Autoridad 0.0401 0.0394 0.0385 0.0376 0.0373 0.0355 0.0340 0.0315 0.0301 0.0289 0.0287 0.0245 0.0233

Table 3: Clasificaci´ on para el grado de autoridad. Se muestran solo los nodos con mayor nivel.

2.7 Centralidad. La centralidad es una medida de la importancia de un nodo en la red. Algunas de estas medidas involucran el manejo de m´etricas relativas a la distancia, que no se han incluido en la secci´ on pertinente, que inclu´ımos ahora. Existen diferentes aproximaciones para cuantificar la vaga definici´ on de centralidad. Con Gephi se han computado las siguientes medidas de centralidad: centralidad de autovector, centralidad de intermediaci´on, y centralidad de cercan´ıa. La centralidad de autovector funciona de la siguiente manera: Esta m´etrica asigna puntuaciones relativas a todos los nodos de la red bas´andose en el concepto de que las conexiones a nodos con puntuaciones m´as altas contribuyen m´as a la puntuaci´on del nodo en cuesti´ on que las conexiones a nodos con baja puntuaci´on. As´ı pues, no es suficiente con meramente calibrar la popularidad de un nodo bas´andonos en su grado, sino que debemos tambi´en considerar la popularidad de sus vecinos. Esta es la idea que subyace a la centralidad del autovector. La distribuci´ on de centralidad del autovector normalizada obtenida para la red se muestra en la figura 10. Se observa una cierta acumulaci´on de puntos en torno a valores muy bajos de la centralidad de autovector (pr´oximos al cero). Se contabilizan hasta 32 nodos con centralidad nula. A medida que tiende el valor de la centralidad de autovector a uno, la densidad de puntos se va dispersando, pero se pueden seguir contabilizando unos 20 nodos que superan el 0.5 del valor de la centralidad de autovector. En la tabla 4 se muestran los nodos que poseen una centralidad de autovector m´as

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Figure 10: Distribuci´ on de centralidad del autovector normalizada. elevada. Se puede observar que es Estados Unidos quien lidera la clasificaci´on de la m´etrica de la centralidad de autovector con el m´aximo valor de 1. A pesar de ser Alemania quien posee el mayor grado de hub y de autoridad, Estados Unidos desbanca a los germanos en esta medida de centralidad. Esto puede deberse a que, a pesar de contar ligeramente con una magnitud menor de estos valores, EEUU conecta pa´ıses m´as dispersos en la red. Los movimientos de EEUU mostrar´ıan un car´acter m´as internacional, en el sentido de que conectar´ıa pa´ıses de diferentes partes/niveles del globo. De todos modos, las diferencias entre los dos pa´ıses son nimias, pues en el segundo lugar de la centralidad de autovector se encuentra Alemania con 0.981, y inmediatamente China con 0.980. De nuevo, los pa´ıses que componen los puestos m´as altos de esta m´etrica son los mismos, con alg´ un orden alterado (y la irrupci´on de Rusia por Turqu´ıa), que los que compon´ıan las clasificaciones de hubs y autoridades. La centralidad de intermediaci´ on, o centralidad betweeness, surge como una alternativa a considerar el grado del nodo como la u ´nica medida de la importancia de tal nodo en la red. M´ as concretamente, los nodos que tienen una alta probabilidad de ocurrencia a la hora de elegir aleatoriamente el camino m´as corto entre dos nodos se dicen que tienen una alta centralidad betweenness o de intermediaci´on. Formalmente, la centralidad de un nodo i se define como la suma de los caminos geod´esicos entre dos nodos s y t v´ıa i, expresada como una fracci´on del n´ umero total de caminos geod´esicos entre s y t. La distribuci´ on de la centralidad de intermediaci´on obtenida es la dada en la figura 11. Siendo que los datos de la centralidad de intermediaci´on est´an normalizados, las magnitudes obtenidas son m´ as bien bajas, y ning´ un nodo destaca por un valor desor-

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Territorio USA Germany China Netherlands UK France Italy Be-Lux Japan South Korea Russia Spain India

Ranking Econ´omico 12 3 22 20 8 13 19 1 5 45 27 54

Eigenvector Centrality 1.000 0.981 0.980 0.966 0.952 0.910 0.806 0.790 0.790 0.691 0.691 0.691 0.625

Table 4: Clasificaci´on de centralidad de autovector. bitadamente alto frente al resto. Esta distribuci´on es mucho m´as mon´otona, con una acumulaci´ on de todos los nodos en el entorno de cero. A´ un asi hay una clara jerarqu´ıa que a continuaci´ on analizamos. En la tabla 5 se muestran los nodos que poseen una centralidad de intermediaci´on m´as elevada. Territorio Cameroon USA Senegal Chad French Polynesia Spain Gibraltar Wallis and Futuna Jamaica Colombia Fiji Russia South Africa

Ranking Econ´omico 107 12 90 105 27 75 50 45 59

Betweenness Centrality 0.0860 0.0810 0.0651 0.0639 0.0599 0.0599 0.0558 0.0534 0.0508 0.0395 0.0379 0.0363 0.0356

Table 5: Clasificaci´on de centralidad de intermediaci´on. Seg´ un lo explicado, los valores asociados a la centralidad de intermediaci´on de estos pa´ıses nos informan de la frecuencia con la que un nodo, un pa´ıs, aparece en el camino 16

Figure 11: Distribuci´ on de centralidad del autovector normalizada. m´as corto entre pa´ıses/territorios de la red. Los resultados de la tabla 5 sobre la centralidad de intermediaci´ on revelan un panorama muy diferente al de las anteriores m´etricas de la red, que mostraban aproximadamente el mismo papel de los nodos. Pr´acticamente todas las grandes potencias econ´ omicas y pa´ıses desarrollados han desaparecido de las primeras posiciones. Permanece Estados Unidos en la segunda posici´on, con un valor muy cercano al primero, mostr´ andose como un nodo omnipresente en la red y de gran importancia. Otro pa´ıs de cierta relevancia que permanece en puestos altos es Espa˜ na, en el sexto lugar. Tambi´en aparece Rusia como pa´ıs de renombre, aunque actualmente tenga estatus de potencia en v´ıas de desarrollo. ¿Pero qu´e pa´ıses y tipo de pa´ıses han entrado en los niveles altos de esta medida de la centralidad de intermediaci´on? Entre los cuatro primeros puestos encontramos cuatro naciones africanas: Camer´ un, la primera; Senegal, en tercer lugar; y el Chad, el cuarto. Otros territorios que aparecen son territorios dependientes o pa´ıses menores, como Gibraltar, o Wallis y Futuna, las Islas Fiji, y la Polinesia Francesa; siendo estos u ´ltimos islas menores del Pac´ıfico Sur. Otro pa´ıs africano que figura es Sud´africa, y por otro lado aparecen Jamaica y Colombia, en esta clasificaci´ on. En general, lo que encontramos aqu´ı, en los puestos m´as elevados, y si sigui´eramos descendiendo en la clasificaci´on, son pa´ıses con un r´anking econ´omico considerablemente bajo seg´ un [4], pa´ıses no desarrollados o tercermundistas. La cen´ tralidad de intermediaci´ on de estos pa´ıses puede ser muy entendible ya que Africa (as´ı como Am´erica Latina y el Sudeste Asi´atico) son una fuente de explotaci´on de recursos y de mano de obra barata para los pa´ıses desarrollados, y a su vez estos pa´ıses sumidos en la pobreza precisan importar recursos/servicios de otras partes del globo. Por tanto, aunque no sean los pa´ıses que mayores cantidades de dinero muevan en las transacciones comerciales, su papel es central para el motor de las econom´ıas m´as pr´osperas. Pero este tipo de pa´ıses no son los u ´nicos que copan los altos puestos de la centralidad de interme17

diaci´on. Curiosamente, encontramos tambi´en que en los puestos m´as elevados se hallan algunos de los territorios considerados como para´ısos fiscales por la UE [5]. A saber: la Polinesia francesa, Gibraltar, Wallis y Futuna, Jamaica, Fiji; y si seguimos bajando puestos en la tabla, inmediatamente se encuentran otros como Antigua y Barbuda, y Barbados. De todos modos, hay que coger con precauci´on los datos de la red, sobre todo si son relativos a los pa´ıses/territorios m´ as peque˜ nos, ya que no est´an contabilizadas completamente todas sus importaciones (dado su, en principio, peque˜ no volumen). Pero est´a claro que la aparici´ on de este tipo de territorios conocidos como para´ısos fiscales en los altos puestos de la centralidad de intermediaci´on es un dato a priori muy interesante. Por u ´ltimo, usamos la centralidad de cercan´ıa, que emplea no solo los vecinos de un nodo, para determinar la centralidad, sino los vecinos de los vecinos. Los nodos que no est´an directamente conectados con el nodo en cuesti´on reciben un peso menor debido a que la intensidad de su interacci´ on o influencia es claramente inferior. Formalmente, la centralidad de cercan´ıa es una medida de la distancia media desde un nodo dado i a todos los otros nodos. La distribuci´ on de la centralidad de cercan´ıa obtenida es la dada en la figura 12. Puede observarse un pico en el 0 de la centralidad de cercan´ıa, compartido por 6 territorios que son peque˜ nas islas del Pac´ıfico, principalmente. Y despu´es tenemos una distribuci´ on piramidal aproximadamente sim´etrica en torno al valor de 0.301695, com´ partido tambi´en por 6 pa´ıses, correspondiendo todos a distantas regiones de Africa, m´as un pa´ıs b´ altico, Estonia. La tabla ?? nos muestra los nodos que poseen una centralidad de cercan´ıa m´ as elevada.

Figure 12: Distribuci´on de centralidad de cercan´ıa.

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Los resultados de mayor valor de esta m´etrica de centralidad vuelve a mostrarnos a pa´ıses muy alejados de la ´elite mundial de potencias que encontr´abamos al principio, se parecen algo m´ as a los valores de centralidad de intermediaci´on, pero vamos tambi´en cambios y, sobretodo, una uniformidad generada. Si se conoce la geograf´ıa de todos estos territorios, podr´ a observarse que casi todos son territorios insulares. Peque˜ nas islas en el Pac´ıfico, como Niue, Samoa, la Samoa Americana, Wallis y Futuna, y Vanuatu. Y en la vertiente Atl´ antica, tenemos a Belize y Cura¸cao como zonas costeras, pr´oximas a las islas de San Crist´ obal y las Nieves (St. Kitts and Nevis), San Vicente y las Granadinas, Antigua y Barbuda. En el otro extremo del Atl´antico, como territorio insular en el golfo de Guinea, est´ a Santo Tom´e y Princip´e. Tambi´en figura el territorio de la Ant´artida, relativamente pr´ oximo a las islas del Pac´ıfico. Territorio Niue Antarctica Belize Tuvalu American Samoa Wallis and Futuna Vanuatu Antigua and Barbuda Sao Tome and Principe Samoa Cura¸cao Saint Kitts and Nevis Saint Vincent and the Grenadines

Ranking Econ´omico -

Closeness Centrality 0.389 0.384 0.377 0.375 0.373 0.372 0.369 0.369 0.365 0.364 0.361 0.360 0.360

Table 6: Clasificaci´on de centralidad de proximidad. Aunque pudiera parecer extra˜ no, hay que saber que, t´ıpicamente, los nodos con mayores valores de centralidad de cercan´ıa no tienen porqu´e ser nodos importantes o cr´ıticos en un sentido global, sino que pueden tener su relevancia restringida a una comunidad local. El elevado n´ umero de territorios insulares pr´oximos en el Oc´eano Pac´ıfico por un lado, y en el Atl´ antico, por otro, en Am´erica Central, sugiere que la aparici´on de estos nodos en los puestos m´ as altos de la medida de centralidad de proximidad es debido a que en la red forman un comunidades muy robustas entre s´ı, lo cual no es geogr´aficamente descabellado y razonable, dado que son terriotorios humildes aislados (sobre todo los del Pac´ıfico) en el vasto oc´eano. Pero ha de notarse que estos resultados son un artificio de la direccionalidad en la topolog´ıa de la red. Es decir, estos territorios que punt´ uan como los de mayor centralidad de cercan´ıa, lo hacen as´ı como consecuencia del agrupamiento y, sobre todo, de la direccionalidad de las conexiones en la red. Computando esta misma medida de centralidad como si la red no estuviera dirigida, encontramos que las potencias mundiales que 19

figuraban antes en las posiciones cabeceras de las clasificaciones de hub, autoridad, y centralidad de autovector (como consecuencia, de sus elevados grados respecto al resto) vuelven a ocupar los puestos de liderazgo en la centralidad de cercan´ıa.

2.8 Modularidad. La modularidad es una medida de las estructura del propio grafo. El objetivo de esta medida es ver c´ omo de dividida est´a la red en m´odulos (tambi´en denominados grupos, clusters o comunidades). Las redes con alta modularidad tienen conexiones densas entre los nodos dentro de un mismo m´ odulo, pero dispersas entre nodos hallados en diferentes m´odulos. Gephi proporciona un algoritmo para la detecci´on de comunidades en la red. Tiene un modo aleatorio que a expensas de coste computcional logra permite una mejor descomposici´on. Permite utilizar tambi´en los pesos de las conexiones en el proceso de detecci´on. Por u ´ltimo, posee una opci´ on de resoluci´on cuyo valor por defecto es 1.0. Proceder con una resoluci´ on inferior a 1.0 permite obtener m´as comunidades (m´as peque˜ nas) en la red, y proceder con resoluci´ on superior a 1.0 da lugar a un menor n´ umero de comunidades (m´as grandes). Activando siempre el modo aleatorio y la contabilizaci´on de la ponderaci´on, ejecutamos el algoritmo de detecci´ on con la resoluci´on por defecto. Obtenemos la siguiente distribuci´ on de tama˜ no de comunidades, reflejada en la figura 13

Figure 13: Distribuci´on de tama˜ no de comunidades. Como puede verse esto da lugar a 5 clases de modularidad o cl´ usteres en la red. Yendo 20

al detalle de los nodos miembros de las comunidades detectadas, observamos lo siguiente. La clase de modularidad 0 acoge solo a 4 nodos o territorios, y estos son la Micronesia, las Islas Marianas del Norte, Guam, y Palau; todos ellos territorios insulares en el Pacifico Norte, cercados por Jap´ on al norte, Filipinas al Oeste, y Papua Nueva Guinea al sur. La clase de modularidad 4 es otra con un nimio grupo de componentes: Etiop´ıa, Djibouti, y Somalia; de hecho, los tres pa´ıses son norafricanos colindantes. La clase de modularidad 3 tambi´en presenta un reducido n´ umero de componentes, 7, y tambi´en los pa´ıses que la componen son todos africanos (a notar Bahr´ein, si acaso, como el m´as discordante de los que la componen, hallado en la pen´ınsula ar´abiga). Para las clases 0, 3 y 4 vemos claramente como hay una base geogr´afica subyaciente en su fuerte agrupamiento. De hecho el continente africano se presenta como un grupo fuertemente conexo. Las clases de modularidad 1 y 2 est´ an formadas por un alto n´ umero de componentes, sobre 120 y 80, respectivamente, en consecuencia no vamos entrar en el detalle de los pa´ıses que las componen. A grandes rasgos s´ı podemos decir que la clase 2 integra a grandes rasgos a toda Europa y parte de Eurasia, por su parte, la clase 1 integra a toda Am´erica, Asia, ´ y partes de Africa. Son comunidades muy heterog´eneas. Reduciendo la resoluci´ on a la mitad y en modo aleatorio, realizamos algunas pruebas m´as. Encontramos entre 7 y 9 comunidades normalmente. Se logra obtener alg´ un cl´ uster que permite diferenciaci´ on de algunos pa´ıses latinoamericanos, y alg´ un otro cl´ uster que recoge solo pa´ıses europeos. Por supuesto, la agrupaciones africanas y de algunas islas del Pac´ıfico se siguen mostrando como comunidades fuertemente conexas. Donde encontramos una muy alta variabilidad es en los pa´ıses asi´aticos, algunos africanos y de Oriente Medio, y algunas potencias europeas y americanas, que se ordenan siempre en dos o tres grandes cl´ usteres muy heterog´eneos. Esto es un claro signo de globalizaci´ on, de comercio de largo alcance y transcontinental. Evidentemente, si proseguimos reduciendo la resoluci´on del algoritmo, este nos detectar´a cada vez un mayor n´ umero de comunidades de tama˜ no min´ usculo. Probando, por ejemplo, una resoluci´ on de 0.25, podemos encontrar hasta 40 clases de modularidad, 40 comunidades. El n´ umero de componentes que las conforman es claramente muy peque˜ no. Siendo la comunidad m´as grande de unos 18 componentes, y estando la mayor´ıa formadas por menos de 5 miembros. A este nivel de detalle se ve efectivamente una clara conexi´ on geogr´ afica de proximidad en casi todas las comunidades, pero perdemos visi´ on global.

3 Resumen y conclusiones. En esta tarea hemos construido una red compleja y hemos hecho un an´alisis de la misma a partir de las m´etricas b´ asicas que nos aporta la teor´ıa de redes complejas. Con el fin de aportar un trabajo original, la red ha sido de elaboraci´on propia. He decidido centrarme en un asunto de inter´es pr´ actico como es el de las relaciones de comercio internacionales. 21

La red aqu´ı construida refleja los principales movimientos comerciales de exportaciones e importaciones entre las naciones del mundo en el a˜ no 2012. El grafo resultante de reflejar estas transacciones comerciales es el de una red ponderada dirigida con N = 215 nodos y E = 4103 enlaces. El an´ alisis ha sido llevado a cabo mediante el programa Gephi. Algunas medidas obtenidas caracter´ısticas de la red han sido: Red: Distribuci´ on de grado p(k) Grado medio hki = Grado medio ponderado hkweighted i = Longitud de camino medio ` = Coeficiente de clustering dirigido Cundirected = Coeficiente de clustering dirigido Cdirected =

Exportaciones/Importaciones (2012) pseudo-ley de potencias 18.995 59245 3.221 0.564 0.370

No he encontrado y por tanto desconozco la existencia de estudios similares por lo que no es posible realizar compartivas expl´ıcitas. Los resultados muestran que la red de exportaciones/importaciones tiene una distribuci´on de grado que podr´ıa asimilarse cualitativamente a una ley de potencias pero el ajuste lineal realizado verdaderamente no es bueno. Desde luego tampoco estamos ante un grafo aleatorio. Lo que si que podemos decir, dadas las medidas de la longitud de camino medio, y del coeficiente de clustering, es que esta red presenta propiedades de una red tipo peque˜ no-mundo. Como era de esperar, muchas de las potencias econ´omicas mundiales son las que presentan un grado m´ as elevado y, en consecuencia, punt´ uan con superioridad frente al resto de pa´ıses en las medidas de hub, autoridad, y centralidad de autovector. La centralidad de intermediaci´ on revela tambi´en el papel importante que juegan los pa´ıses subdesarrollados en el abastecimiento de las potencias mundiales. En esta medida tambi´en punt´ uan alto un gran n´ umero de territorios considerados cono para´ısos fiscales. Un an´ alisis de modularidad revela algunos conjuntos de nodos que forman cl´ usteres robustos, pero son los menos. Suelen corresponderse a pa´ıses lim´ıtrofes o pr´oximos y fuera de la ´elite econ´ omica mundial. A una resoluci´on est´andar, los an´alisis revelan vastas comunidades muy heterog´eneas de car´acter transcontinental, consecuencia clara de la globalizaci´ on del mercado. El objetivo del estudio era el de realizar un an´alisis b´asico de la red desde el punto de vista de la teor´ıa de redes complejas, y por tanto cualquier discusi´on econ´omica profunda queda fuera del alcance de este trabajo. Pero, desde luego, puede ser un buen punto de partida para futuras elaboraciones m´as detalladas.

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References [1] http://en.wikipedia.org/wiki/International_trade [2] https://atlas.media.mit.edu/en/ [3] https://gephi.github.io/ [4] https://atlas.media.mit.edu/en/rankings/country/ [5] https://www.strongabogados.com/tax-haven.php [6] R´eka Albert, Albert-L´ aszlo Barab´asi, Statistical Mechanics of Complex Networks [7] L. da F. Costa, F.A. Rodrigues, G. Travieso, P.R. Villas Boas, Characterization of Complex Networks: A survey of measurements [8] Rishabh Poddar, Mayank Shrivastava, Complex Network Theory. Lecture notes

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