Que es la matemática computaciona v11zk ?

¿Qué es la Matemática Computacional?
Ibarra-Martínez L.[1] ,
Medina- Rivera C.S.[2]

RESUMEN
En este artículo se precisa lo que es la Matemática computacional y su
diferencia de otros conceptos con los que se suele confundir. Se hace
también una revisión crítica de la Matemática Clásica y sus limitaciones.
Lo anterior con el objetivo de enfatizar la importancia de vincularse con
la ciencia de la computación y aprovechar sus logros, y promover que la
Matemática reasuma su carácter experimental a través de la computadora, a
fin de facilitar su aprendizaje y aplicación.

OBJETIVOS
(1) Enfatizar la importancia de vincularse con la ciencia de la computación
y aprovechar sus logros, y (2) Promover que la Matemática reasuma su
carácter experimental a través de la computadora, a fin de facilitar su
aprendizaje y aplicación. Pero al tomar con seriedad esta pretensión
llegamos al concepto de la llamada matemática computacional, y como no es
muy conocida debimos, (3) Precisar lo que es la Matemática computacional y
diferenciarla de otros conceptos con los que se suele confundir. Finalmente
esto nos llevó a (4) Hacer una revisión crítica de la Matemática Clásica y
sus limitaciones.


¿Es necesario que la Matemática reasuma su carácter experimental a través
de la computadora, a fin de facilitar su aprendizaje y aplicación ?.

Durante muchos años a pesar de conocer las críticas de Morris Klein,
presentadas en su libro sobre el fracaso de la Matemáticas Modernas en la
década de 1970, seguimos creyendo en el proceso lógico deductivo, en la
notación y formalización matemática: como valores supremos del intelecto
humano, y que muy probablemente no había otra mejor manera o más moderna
de enseñar y aprender matemáticas. Sin embargo al enfrentarnos al problema
de la enseñanza y aprendizaje de la Matemáticas y de la Física, conforme
pasaba el tiempo, cobraban más sentido las críticas formuladas por Morris
Klein al modo poco experimental y excesivamente formal de enseñar y
aprender matemáticas. La "gota que derramo el vaso", fue cuando al
acercarnos a las ciencias de la computación, nos percatamos del carácter
disfuncional de las matemáticas clásicas al pretender su implementación
computacional, este carácter disfuncional se evidenciaba, ya sea porque su
notación o formulación simbólica compacta es ajena a ese propósito o acaso
la mayoría de los lenguajes de programación estan desarrollados con
paradigmas ajenos al paradigma matemático, en cualquier caso: la matemática
clásica es una rama del conocimiento donde los problemas se resuelven sin
subrayar la importancia del uso del cómputo, pero sí enfatizando el uso de
la lógica, o se resuelven suponiendo disponemos de todos los recursos
computacionales que resulten necesarios, sin que importe el costo en
tiempo o pasos, se da por sentado que siempre tendremos suficiente tiempo o
que la cantidad de pasos u operaciones es algo que NO debe preocuparnos,
cometiendo además una omisión grave: la matemática clásica
tradicionalmente se enseña y aprende divorciada de los Lenguajes de
Programación y de la teoría de Algoritmos que son algunas de entre otras
disciplinas con las que guarda relación al pretender su implementación
computacional adecuada y óptima; o los que enseñan o aprenden matemáticas o
física, suponen que la implementación computacional de los modelos es una
tarea sencilla y obvia: luego ellos u otros fácilmente podrán lograr, lo
cual no siempre es cierto. La matemática clásica es una ciencia formal
si bien adecuada para formular modelos con variables estáticas, continuas
e infinitas, con los que es posible conseguir soluciones exactas y
determinísticas; este logro si bien parecía solo estaba respaldado por el
estricto apego y buen uso de la lógica, finalmente uno descubre, que el
exito reconocido a las matemáticas clásicas, también esta fundado en
aceptar, aún sin darnos cuenta, la siguiente suposición genérica: "el uso
concurrente y sincronizado de los recursos y tiempos computacionales
necesarios, es algo por lo NO que debamos preocuparnos". Lo anterior
resulta más claro al abordar problemas ya sea de decisión o de optimización
que mas bien requieran formular modelos dinámicos, discretos y finitos, así
es posible descubri que bajo estas nuevas condiciones no siempre es fácil
deducir lógicamente la tradicional solución exacta o determinística,
convirtiéndose en insostenible o cuestionable la suposición mencionada, que
ya mas a detalle, rezaría así: "el uso concurrente y sincronizado de los
recursos y tiempos computacionales necesarios, es algo por lo NO debamos
preocuparnos; o NO importa si el algoritmo disponible para el problema que
pretendemos resolver no tenga cota polinomial para los pasos o tiempos
necesarios; o si se requiere varios algoritmos en paralelo o en sincronía,
será muy facil formularnos e implementarlos", así finalmente se cae en
cuenta: la tarea de formular modelos e implementarlos, particularmente para
sistemas complejos, NO es una tarea obvia o muy fácil, existe además un
estado del arte. Y por lo tanto tuvimos que reconocer, muy a nuestro
pesar: "la matemática clásica (infinita y continua), es realmente
incompleta, por no decir, incompetente para abordar problemas dinámicos
complejos, o de tipo NPC, o NPH", los cuales ahora en lugar de ser
abordados por la matemática clásica, son ahora tratados preferencialmente
por la matemática finita o discreta que normalmente sí está estrechamente
vinculada con la ciencia de la computación.


Al aceptar y concebir una matemática sea clásica o no, pero vinculada
con la computación, se revive y revalora el carácter experimental que de
origen tenía las matemáticas, y también se presenta ante nuestros ojos como
una alternativa más para facilitar su proceso de enseñanza–aprendizaje el
cual usualmente se venía limitando solo al modo lógico formal, que Morris
Klein y otros habían criticado, ante muchos oídos sordos.

¿ Es importante de vincularse con la ciencia de la computación y aprovechar
sus logros ?.
La ciencia de la computación, muy eventualmente asume infinitud, y los
problemas que plantea su desarrollo requieren más bien de una matemática
discreta y finita.

La matemática continua y infinita, es la que tradicionalmente es
enseñada y aprendida en las aulas, la cual llamaremos matemática clásica;
alguien podría decir, que bueno!, así debe de ser… ya que lo finito es un
caso particular de lo infinito, y lo discreto es una variante particular de
lo continuo, por lo tanto, de nuevo, qué bueno!, …..se enseñe la matemática
continua o infinita, para que luego aparezca la matemática discreta o
finita como un caso particular o variante fácil de aquella; sin embargo eso
que suena lógico, ya en la práctica uno descubre lo siguiente:

Los modelos tradicionales de la matemática clásica debemos discretizarlos,
al pretender implementarlos computacionalmente, o sea la matemática
continua requiere de la ayuda o apoyo de la matemática numérica o discreta,
luego finalmente los modelos continuos se reformulan en términos discretos
y mucho menos frecuente ocurre al revés.

Puede uno empezar estudiar cualquier tópico de la matemática finita, sin
saber prácticamente nada de la matemática clásica infinita, así la
matemática clásica infinita, luego empieza a perder vigencia o al menos
justificación de que necesariamente ella debe ser estudiada primero, máxime
si el tipo de problemas que uno pretende resolver, se resuelven
prescindiendo de ella.

Por lo tanto, resulta cuestionable que la matemática clásica del infinito y
el continuo sea la más importante, o que deba ser estudiada primero; uno
debe estudiar lo necesario en función de los problemas que pretenda
resolver, no es el caso estudiar algo solo porque era lo que se estudiaba
hace mas de un siglo; es bueno tomar sugerencias y tomarlas como buenas si
en verdad resulta que en efecto estudiar lo sugerido es realmente
apasionante o guarda estrecha relación con nuestros intereses y problemas a
resolver.
Cuando uno llega a este punto, las afirmaciones de Morris Klein, de
Brouwer, Poincare, Imre Lakatos, Godel, Donald Knuth sobre las
limitaciones de la matemática clásica formal y sobre los modos incorrectos
de enseñarla, privilegiando la demostración formal del teorema por sobre
una demostración previa informal de él, olvidándose de un buen algoritmo
asociado, cobran sentido y vida. Por ejemplo, Donald Knuth, genio
matemático contemporáneo reconocido internacionálmente por su aportación
generosa del Látex, durante gran parte de su vida, intento de muchas
maneras comunicar: "la verdad lógica es incompleta sin la verdad
algorítmica". Sus libros Matemática Concreta y sus tres volúmenes sobre el
Arte de la Programación pretendieron llenar el hueco que usualmente deja la
matemática abstracta, también cada vez que se comunicaba con sus colegas
aprovechaba la oportunidad para agregar la siguiente nota a sus escritos:

«Cuidado con los errores en el código anterior; sólo he demostrado que es
correcto, no lo he probado».

Por otro lado, si concebimos a la Matemática como un Lenguaje Formal,
entonces la Matemática sería tan solo un ejemplo entre varios posibles,
como lo son los Lenguajes de Programación que también son Lenguajes
Formales.
Se sabe que a los estudiosos de Lenguajes de Programación se les recomienda
sepan sobre Compiladores, entonces, ¿cual afirmación será análoga para los
estudiosos de la Matemática, acaso que sepan algo de Metamatemática o de
Algoritmos y Complejidad Computacional?; pero si no hubiera analogía
posible, entonces habría que ahondar en las diferencias entre Matemáticas y
los Lenguajes de programación, aun cuando coincidan en ser Lenguajes
Formales.

Al evaluar la tecnología computacional, desde el punto de vista de
Lenguaje formal o de herramienta intelectual o tecnológica, -si se nos
permite la siguiente afirmación sin entrar en detalles, ya que sería motivo
de otro artículo, acéptese por ahora nuestra apreciación a titulo de
opinión personal cómo Profesores de Matemáticas y Física,-: descubrimos en
los lenguajes de programación, sistemas y proyectos intelectuales cada
vez mas universales, integradores, poderosos, accesibles, y sobre todo
apasionantes, sin que importe son dificiles o no, tan sólo basta fijarse en
java, o en wolfram language[3]. Y si para muchos resulta evidente que las
matemáticas sea el lenguaje universal de la física, ahora para muchos más,
resultará evidente que los lenguajes de programación son cada día mas
necesarios en casi todos nuestros ámbitos de vida moderna, lo cual es un
hecho o apreciación por demás interesante, que no puede pasar
desapercibida.


Revisión crítica de la Matemática Clásica y sus limitaciones.

El que la matemática clásica haya tenido algunos aciertos, o éxitos
al modelar algunos fenómenos físicos, no significa que sea perfecta, por lo
tanto es posible cuestionar sirva tal cual para modelar fenómenos sociales
o biológicos con el mismo éxito o nivel de acierto.

Tradicionalmente durante muchos años resultaba inconcebible, siquiera
pensar que había algo superior a las concepciones matemáticas, todo mundo
estaba de acuerdo que era la obra intelectual maestra del hombre, sin
embargo hace 100 años, se planteó la necesidad si no de una nueva
Matemática, si de cambiar la jerarquía de valores intelectuales que la
Matemática venía promoviendo, este revisión crítica hizo que se hablara de
la Matemática constructivista o intuicionista, representada por Brouwer[4]
la cual, en una primera aproximación pareciera que sólo cuestionaba la
aplicación indiscriminada o excesiva de los principios lógicos
aristotélicos: de la negación, de la no contradicción, del tercero excluido
y de la razón suficiente, mediante los cuales es posible establecer las
siguientes reglas de deducción:
1. P es falso, si al asumir P podemos deducir K&noK, o sea una
contradicción o absurdo.
2. Si P es falso entonces noP debe ser verdadero.
Los lógicos y matemáticos saben es posible demostrar de modo indirecto, al
aplicar las dos reglas anteriores, que noP debe ser verdadero, pero Brouwer
notó:

al caer en un uso excesivo de este modo de demostración indirecto nos
hace olvidar que a lo mejor haya un método directo de demostración de la
misma afirmación. En todo caso, Brower propuso:

"es preferible demostrar noP es cierto por demostración directa y no porque
deba ser cierto por demostración indirecta."-- La demostración directa nos
obliga a tener que deducir noP, a partir de otros axiomas o teoremas,
debiendo generar y precisar la sucesión de enunciados consecutivos que nos
permiten concluir noP.-- La demostración indirecta, nos permite NO ser
explícito, ya que simplemente concluimos: noP debe ser cierto, pues al
suponer P dedujimos una contradicción o absurdo.

Algunos han interpretado la crítica de Brouwer, al solo remitirse a esta
primera aproximación, en el sentido que él NO está de acuerdo con el
principio del tercero excluido. Ya que es fácil fuera del ámbito de las
ciencias formales, dar ejemplos que al parecer lo contradicen o es
cuestionable su aceptación absoluta. Por ejemplo, si queremos demostrar
que alguien es hombre(mujer), al demostrarlo de modo indirecto suponemos
que es mujer(hombre), pero al caer luego en una contradicción concluimos
que la suposición de que sea mujer(hombre) es falsa, al aplicar la regla 2,
queda demostrada nuestra afirmación original, pero si con tal proceder no
estamos de acuerdo, es porque consideramos que probablemente haya una
tercera opción, además de que también es necesario confrontarlo de manera
directa, que en efecto es hombre(mujer).
Un ejemplo más, si defino que el odio es la negación del amor, y si me
lleva a una contradicción suponer que me odias (amas), eso demuestra en
todo caso que es falso que me odies (ames), pero no por eso queda
demostrado que me ames (odies) es verdadero.
Otro ejemplo: si al asumir culpabilidad resultaron incongruencias o
contradicciones, entonces concluiríamos simplemente que NO es culpable,
pero no por eso nos apresuraríamos a concluir que por lo tanto es inocente.


Nosotros interpretamos, en una segunda, interpretación, que Brouwer
sostenía:

"NO es sano para el desarrollo algorítmico de la Matemática apostarle
demasiado a las demostraciones indirectas".

En una tercera interpretación, la crítica de Brouwer da pie, podamos
afirmar:

"que bueno demostremos teoremas, que generalmente son afirmaciones sobre la
veracidad de lo que debe ser, pero si NO aclaramos cómo es posible
conseguir eso que debe ser, en realidad estamos a la mitad del camino, o
sea contamos con una verdad incompleta, que falta ser implementada. "

Básicamente Brouwer criticaba el uso excesivo de razonamientos indirectos o
por reducción al absurdo, si eso nos alejaba de la construcción de un
algoritmo útil, como alguien decía:

el principio, la norma, el debe ser, es importante, pero sin el
procedimiento, sin el cómo ser o hacerlo, simplemente, es una verdad
incompleta.

El mayor mérito de la Matemática constructivista o intuicionista,
representada por Brouwer, desde esta tercera interpretación, es que
cuestionó el excesivo valor dado al teorema por sobre el valor dado al
algoritmo, desafortunadamente creemos en su tiempo no se entendió bien su
crítica, ahora 100 años después (2012), podemos retomarla, reinterpretarla
y actualizarla, diciendo:

"con bastante frecuencia las matemáticas clásicas se atiborran de teoremas,
algunos por demás obvios que ni siquiera vale la pena perder el tiempo en
su demostración, y lo más grave es que al parecer eso sirve de pretexto
para NO preocuparse o NO asumir el compromiso de formular los posibles
algoritmos basados o derivados de los teoremas, para luego elegir o
reformular el algoritmo más adecuado a nuestro problema".
Así por nuestra parte, retomando el espíritu crítico de Morris Klein,
Brouwer, Poincare, Imre Lakatos, Godel, Donald Knuth, entre otros,
formulamos las siguientes críticas a la matemática clásica:

1). De ser necesario, la matemática clásica, supone dispone de todo el
tiempo del mundo, y que el uso concurrente y sincronizado de los recursos
computacionales NO es un problema, al formular sus modelos: le resulta muy
fácil postular axiomas o principios y demostrar teoremas olvidándose del
tiempo y del uso concurrente y sincronizado de los algoritmos y recursos, o
sea en muchos casos supone sin siquiera percatarse que en realidad resuelve
los problemas en teoría; por ejemplo demuestra que en algunos casos al
sumar una infinidad de términos el valor de la suma converge a un valor
definido, pero: NO le importa ni el número de pasos, ni el tiempo necesario
para lograr esa suma; otro ejemplo, si se propone un algoritmo mediante el
cual puede conseguir la n-ada de valores para los cuales una función al
ser evaluada en ellos asume un determinado valor, entonces supone el mismo
algoritmo seguirá funcionando, sin importar que tan grande sea n, ya que al
formular el algoritmo se dijo que n era un valor arbitrario, solo checa el
algoritmo funcione o termine en un tiemo razonable para algunos valores
pequeños de n. Sin embargo, si se checa el algoritmo para el caso en que la
función se defina y evalue para una n-ada cada vez mas grande, en muchos
casos se puede descubrir, el algoritmo ya NO termina en un tiempo
razonable, ya que si el No. de pasos o tiempo necesario para resolver el
problema era del orden de 2 a la n, entonces para n>=60, la cantidad de
pasos o tiempo simplemente sería excesivo, por NO decir imposible, a menos
que reformulemos el algoritmo, lo cual frecuentemente puede significar
renunciar a una solución exacta, por una solución aproximada pero factible
en tiempo o pasos. O sea tendremos varios algoritmos, que nos permitirán
encontrar la n-ada de valores, en la cual al ser evaluada la función de
interés se acerca al valor determinado, o varios algoritmos que nos
permitirán encontrar la n-ada de valores, en la cual al ser evaluada la
función de interés la función asume el valor determinado. La matemática
clásica se olvida generalmente del problema del uso concurrente y
sincronizado de recursos coputacionales, a menos que aborde problemas
complejos cuya solución requiera de ello. Bajo esta óptica, un mismo
problema da pie a varios problemas si tan sólo cambiamos el criterio de
paro o de optimización, lo mismo si definimos diferentes sincronias ante el
uso concurrente de los recursos computacionales necesarios. Asi el mejor
algoritmo es aquel que consiga la solución exacta en el menor No. de
pasos, o aquel que consiga la solución más aproximada y en el menor de
pasos o tiempo, con un uso sincronizado e inteligente de los recursos.

2). Tradicionalmente, la matemática clásica, se concentra más en formular
un modelo compacto, evitando quede en términos iterativos, tal proceso de
compactación implica la reducción de reglas o relaciones iterativas,
aplicación de simplificaciones y factorizaciones, algunas veces el proceso
es largo y tortuoso, provocando algunas veces nos olvidemos o perdamos el
rastro de los conceptos originales, para al final lograr presumir un modelo
o una fórmula si bien compacta y elegante a la vista, resulta de más
difícil implementación computacional que el modelo original no compacto,
sin simplificaciones, sin factorizaciones, con relaciones iterativas. Tal
modo tradicional de hacer las cosas estuvo justificado cuando todo el
cómputo era manual.

3). La matemática clásica con frecuencia sistemática privilegia la solución
de problemas de decisión, por sobre la solución de problemas de
optimización: demuestra lógicamente que en efecto debe existir la
solución, pero puede NO hacer nada para conseguirla realmente; recordemos
que un problema de decisión básicamente decide sobre la veracidad de:
¿Existe un x tal que P(x) es verdadera, o simplemente, para un xo
específico: P(xo) es verdadera ?, la respuesta de reduce a un sí o a un NO;
sin embargo un problema de optimización nos pide encontrar o caracterizar
las x que cumplen con P(x), la respuesta para un problema de optimización
es más complicada o difícil de obtener, requiere de la formulación de un
algoritmo de búsqueda adecuado para lograr la respuesta en un tiempo
razonable.


4). La matemática clásica cree que al generalizar, en el infinito, los
teoremas conocidos, es un gran avance, sin que eso realmente signifique
la solución de algún problema práctico, pongamos unos ejemplos:

primero demuestra que al contraer una circunferencia sobre una esfera de 3
dimensiones finalmente queda reducido a un punto lo cual es bastante claro
e intuitivo, y luego se plantea el reto de demostrar el mismo teorema pero
ahora suponiendo que partimos de una circunferencia sobre una esfera de
dimensión mayor que 3, claro primero se esfuerza por definir en abstracto
lo que es una esfera de dimensión 4 o más, lo mismo, el de una
circunferencia sobre su superficie, una vez hecho eso entonces se pone a
demostrar que al contraer la circunferencia sobre la esfera de dimensión 4
o más finalmente converge en un punto de la esfera.
Primero se percata que hay casos en que un triangulo rectángulo tiene área
en valor entero, luego trata de contar cuantos casos en total hay, como si
eso fuese muy importante.
Primero demuestra que la ecuación xn +yn =zn; NO tiene soluciones enteras
en x, y , z, para cuando n'3, luego demuestra que tampoco hay ninguna
solución entera dada por x, y, z para el caso en que n>3.

En resumidas cuentas, muchos de los teoremas matemáticos clásicos, o son
verdades lógicas, que resultaron asumiendo infinitud de pasos o tiempo,
cuando en la vida práctica, resulta imposible disponer de una infinidad de
pasos o tiempo; o son verdades formuladas de manera elegante o compacta,
pero que eso mismo dificultó su implementación computacional.

Así nuestra crítica, se reduce básicamente a una cuestión de jerarquía de
valores intelectuales:

Preferimos una matemática que busque el uso inteligente(o dinámico) de la
verdad algorítmica lograda en pasos o tiempos finitos con cota polinomial.
Creemos está sobrevaluada la matemática que se centra en el uso
determinístico(o estático) de la verdad puramente lógica ajena al costo de
su implementación computacional.
Preferimos una matemática que previlegia la solución de problemas de
optimización. Creemos está sobrevaluada la matemática que previlegia la
solución de problemas de decisión.

Obviamente el que prefiramos una matemática y no otra, NO depende de ella
en sí, sino de los que la estudian y desarrollan. Aunque es muy fácil que
los novatos no se percaten de ello, y simplemente se dejen llevar por la
tradición, dando preferencia previlegiada a una matemática y no a otra
como algo que así deba de ser.

Nuestra crítica, trasladada a las demás ciencias no formales, se puede
actualizar diciendo:
" si una verdad lógica o científica no tiene manera de interpretarse
algorítmica o computacionalmente debe aceptarse con reserva o que en
realidad todavía está incompleta, ya que aun cuando estemos de acuerdo en
el "que", pero si no sabemos el "como", vamos a la mitad del camino,
cabiendo la posibilidad que al precisar el "como", debamos luego corregir o
reformular el "que" original."

La matemática clásica hace un siglo, decidió aferrarse a lo formal, a lo
abstracto, al infinito, al énfasis en la demostración lógica más que a la
formulación algorítmica, unos dicen que fue porque Nicolás Bourbaki (que
en realidad era un equipo de matemáticos franceses) así lo decidió y USA
preocupado por ganarle a Rusia en su carrera espacial, adoptó para su
propio sistema educativo la propuesta de Bourbaki, otros dicen que más bien
fue por la gran influencia de Hilbert al plantearlo como un proyecto
histórico necesario, y los demás simplemente nos dejamos llevar, algunos
otros, que al parecer son la mayoría, simplemente creen que así debe de
ser, mas si han asimilado sin chistar los siguientes mitos:
---" las matemáticas clásicas son el lenguaje universal: de la naturaleza o
de la ciencia o al menos de la física clásica, y lo que en ella se
establezca, estudie o proponga debe estar bien y es lo mejor para todos; la
matemática clásica es lo mejor que tenemos y no nos puede mentir,"---
Actualmente es posible estar en desacuerdo con tales afirmaciones, cada día
es mas evidente sostener que la matemática clásica se formuló sin el ánimo
consciente de facilitar su implementación computacional, por lo tanto en
muchos casos es disfuncional computacional o algorítmicamente hablando, o
simplemente la mayoría de los lenguajes de programación son ajenos al
paradigma matemático, alguien podría decir: eso no es cierto, en efecto,
podemos estar de acuerdo con él si seguimos viendo a la matemática como una
herramienta para modelar problemas muy sencillos o muy simplificados, que
solo dependa su solución de unas cuantas fórmulas estáticas, pero resultará
más evidente su cáracter disfuncional, si recurrimos a ella para modelar
problemas de involucren al menos cinco variables y haya también al menos
cinco reglas que regulen sus valores siendo el tiempo una de esas
variables; buena parte de esa discapacidad computacional, e incompetencia
de modelaje de las matemáticas, mas que un error es consecuencia de que
tradicionalmente al desarrollarla se privilegió el logro de un buen
teorema por el logro de un buen algoritmo, pero para los que pretendemos
vincular la matemática con la computación NO nos basta solo los teoremas,
como tampoco nos basta o nos resulta convincente abordar sistemas
complejos con modelos matemáticos simplistas de a lo mas 4 variables,
sujetos a pocas relaciones y a pocas variaciones posibles; o para decirlo
en palabras llanas:
"en efecto la matemática clásica avanzó significativamente en saber
distinguir si algo es o no es, al lograr modelar o resolver problemas
sencillos para los cuales solo se requería o resultaba suficiente, pocas
variables, y en tales casos parecía natural o lógico asumir infinitud,
exactitud, continuidad, y no teniamos objeción en aceptar que las
relaciones entre las variables o el comportamiento de los propios
valores eran determinísticos",
pero actualmente, cada día, para más matemáticos es impostergable debamos
saber cómo conseguir que algo sea o no sea, así una matemática con enfasis
solo en la verdad lógica, sin atención a la verdad algorítmica, es una
matemática incompleta o inutil. O como dicen los emprendedores:
"una buena idea, por buena que sea, en realidad no es tan buena si no se
ejecuta o implementa". Asi aún cuando algunos les duela aceptarlo: la
matemática clásica es inoperante o inadecuada al pretender modelar o
resolver problemas para los cuales se requiere o resulta necesario la
consideración de al menos 5 variables, o aun siendo muchas variables sus
relaciones y valores NO son determinísticos; hay muchos problemas ante los
cuales NO es natural o lógico asumir infinitud, exactitud, continuidad, y
es más realista aceptar finitud, aproximación, discontinuidad, y que
inevitablemente hay relaciones no determinísticas entre las variables o que
algunas variables son NO-determinísticas.

Y sobre su atributo de universalidad de las matemáticas clásicas es
una presunción por demás egocéntrica, rápidamente cuestionable, ya que hay
otros lenguajes mas universales que ella, como el lenguaje por señas y el
de la música, por tan solo poner dos ejemplos de contrapeso.

Stephen Wolfram, físico y genio contemporaneo, muy reconocido
internacionalmente, por el desarrollo del software denominado
"Mathematica", en el año 2002, "despues de 10 años de de pensarlo mucho",
finalmente se atreve y publica su libro:
"La nueva clase de Ciencia", en el cual declara,- que interpretado con
nuestras palabras -:

"No es posible sigamos conformandonos sólo con verdades lógicas,
fórmulas o ecuaciones, que si bien ayudan a resolver problemas de decisión
sencillos, finalmente también requerimos de verdades algorítmicas que nos
permitan resolver problemas complejos de optimización, se requiere de una
nueva ciencia, que incluya no solo la demostración lógica de teoremas,
fórmulas o ecuaciones sino también la implementación computacional óptima
de nuevas verdades algoritmicas".
En ese entonces(2002), a Stephen Wolfram, lo jusgaron de atrevido, vanidoso
y arrogante, en efecto así pareció ya que le falto humildad o tiempo para
reconocer las aportaciones en esa linea de pensamiento de otros que le
predecieron, como: Morris Klein, Brouwer, Poincare, Imre Lakatos, Godel,
Donald Knuth, etc. Afortunadamente, nuestro escrito pretende llenar ese
hueco o corregir esa omisión. Una vez olvidado el incidente, eso no ha
impedido que ahora (2013) 11 años después se hayan ido sumando múltiples
seguidores de su tesis mencionada en su libro: La nueva clase de Ciencia.
Tan solo consultar este sitio:
http://www.wolframscience.com/reference/bibliography.html

Tanto Stephen Wolfram, como nosotros enfatizamos: "la matemática
clásica ha dominado durante los últimos 300 años, de un modo tal que nos
ha hecho olvidar la importancia de reasumir el carácter experimental de las
matemáticas", algunos lo justificaban alegando que una matematica lógica
era mejor que una matematica experimental, la cual podría incluso
engañarnos, además como era la obra máxima del intelecto humano, no podía
estar equivocada en su manera de hacer las cosas, además ya los físicos le
habían dado el visto bueno. De nuevo, eso es más un mito que una realidad,
ya que la historia nos enseña la importancia de la experimentación, y
también nos ha dado la oportunidad de conocer otras manifestaciones de la
grandeza del intelecto humano, como es el caso de la tecnología java, por
tan solo poner un ejemplo de contrapeso. Afortunadamente son los mismos
físicos, como Stephen Wolfram, entre otros, que ya no están completamente
de acuerdo que una matemática clasica, desvinculada de la computación, de
la teoría de algoritmos, sea una matemática realmente útil o completa.
También no faltan los que justifican, que gracias al estudio de la
mátematica clásica con el estricto y tradicional rigor lógico, aun cuando
no sirva para nada, es formativa, o sea contribuye significativamente a la
formación lógico-deductiva de quienes la estudian. No creemos en tal dogma,
quizá si no hubiera otra alternativa, pero a la fecha, bien podría ser
mejor remitirse a los lenguajes de programación, o otras propuestas no
matemáticas que le apuestan de manera más eficaz al logro del desarrollo
de habilidades motrices, cognitivas y afectivas; en nuestra experiencia
como docente de más de 30 años nos resulta evidente que aun cuando el
estudioso de la matemática o de la física, lo haga por gusto, finalmente
eso no es garantía de un buen desarrollo de su pensamiento crítico y
autocrítico. También sostenemos que es urgente ser selectivo en lo que los
jóvenes deben de estudiar de la matemática y de la física, ya que habiendo
tantas ramas: no debe ser obligatorio que todos estudien las mismas o en el
mismo orden; ya basta de seguir el estudio de las matemáticas o de la
física, según lo marca la tradición del siglo antepasado; ya basta de
obligar a estudiar a todos los jóvenes las mismas ramas de las matemáticas
clásicas infinitas continuas que no necesariamente son las más aplicadas,
ni las más interesantes. Ya Conrad Wolfram y Ken Robinson han explicado
esto último también en sus propias palabras.[5]

Por otro lado las geometrías NO euclidianas, o también llamadas No
planas, nos han demostrado que la verdad de los sistemas formales NO es
absoluta, es en todo caso convencional, una verdad relativa a cada sistema.
Por ejemplo la afirmación de que exista cero o solo una o más de una
rectas distintas a la recta original que pasa por un punto exterior y que
NO interseca a la original a dado pie según como se postule a las
diferentes Geometrías, cada una tiene una formulación distinta del llamado
quinto postulado de las paralelas. [6]

Hasta aquí debe quedar claro que ya no todo mundo está de acuerdo que un
teorema sea más valioso que un algoritmo, mas si el teorema se obtuvo por
demostración indirecta, como bien sostuvo Brouwer hace mas de 100 años,
además los teoremas matemáticos ya no son verdades absolutas o dictados de
Dios, ya lo ha dejado bien claro las Geometrías planas y no planas, cada
una con diferentes variantes del postulado de las paralelas, y por lo
consiguiente cada una con sus propias versiones de teoremas, con orígenes
hasta cierto punto contradictorios, pero igualmente válidos desde el punto
de vista lógico formal. En otras palabras, si P debe ser cierto, porque al
asumir noP nos lleva a una contradicción dentro de la rama matemática k1,
entonces eso no nos impide que dentro de la rama k2, suceda al revés, es
decir, que noP deba ser cierto, porque al asumir P nos lleva a
contradicción dentro de la rama k2.

Por lo tanto, queda al descubierto, que la verdad lógico formal es una
verdad convencional, por eso a largo plazo, como bien proponían Brouwer,
Donald Knuth:
"debemos invertir tiempo, no solo en demostrar teoremas, sino también en
desarrollar buenos algoritmos los cuales algunos pueden ser inspiradores de
otros algoritmos incluso de otras áreas." Por ejemplo, podemos definir lo
que es un número primo, o lo que es un máximo común divisor, y sin embargo
quizá para muchos finalmente sea más importante y útil contar con un buen
algoritmo explícito que nos permita decidir si un numero es primo o no, o
con un buen algoritmo explícito para decidir si un numero es máximo común
divisor o no, o más aún contar con un buen algoritmo explícito que nos
permita encontrar los números primos dentro de cierto rango, o contar con
un buen algoritmo explícito que nos permita encontrar el máximo común de
ciertos números dados.

Primero Donald Knuth muy probablemente se percató, y luego Cook en 1972,
demostró que es posible clasificar los problemas por el tipo de algoritmo
que los resuelven, y que no todos los algoritmos son del mismo tipo, y que
hay problemas que pueden ser resueltos por diferentes tipos de algoritmos,
y finalmente demostró que hay problemas que al suponer ser resueltos con
cierto tipo de algoritmo ese mismo algoritmo podría ser usado para resolver
otros problemas, independientemente que esos problemas ya tuvieran un
algoritmo que también lo resuelve.
Brouwer hace 100 años, nos dijo: la verdad lógica conseguida por
demostración indirecta, es un mal hábito si eso nos hace descuidar u
olvidar la verdad algorítmica, pero tal afirmación quedo en el olvido,
hasta que Donald Knuth y Cook retomaron el tema. Por otro lado, Karl
Popper, insiste en 1934 y luego 1959 en su libro sobre la lógica de la
investigación científica, que ningún enunciado o hipótesis P será realmente
científica, si no se somete a refutación o prueba de falsación, o sea no
será científico P sólo porque se verifique o se verifiquen sus
consecuencias, lo será si además al suponer noP resulta una contradicción
o NO podemos explicar todo lo sí se podía con P. Pero agrega Popper, el que
P sea científico no significa que sea cierto, significa más bien que por
ahora lo preferiremos, en lugar de noP, ya que noP ha generado
contradicciones o no explica de modo más completo o satisfactorio la
realidad que P. Las posturas de Popper & Brouwer son una tanto
contradictorias, pero no lo son tanto, si se aclara que la crítica de
Popper aplica para las ciencias fácticas, y la de Brouwer para las ciencias
formales. Pero bien es posible hacer de las dos una: Popper diría:
" considérese o prefiérase a P, si antes ya se mostró que noP en al menos
un caso no explica claramente lo que sí explica de modo más completo y
satisfactorio P, digamos que aunque ambas P & noP sí se verifiquen, o
expliquen cada una a su manera muchos casos comunes, hemos encontrado al
menos un caso, en que noP no lo hace de modo satisfactorio o resulta
claramente contradictoria, ya que noP dice una cosa y la realidad o los
hechos nos dicen otra con relación a un caso al menos, así se dice que ese
caso nos ha permitido refutarla o falsearla, sin importar que hubiera
muchos casos en que ambas se verifiquen."
Brower diría:
"prefiérase a P si podemos verificarlo o deducirlo de modo directo, o
suponerlo nos pone en mejores condiciones para conseguir o derivar mejores
algoritmos para resolver los mismos problemas, sobre todo si son problemas
de optimización y no solo de decisión, a Brower no le importa que si al
suponer noP se deduce una contradicción, simplemente Brower, agregaría por
ahora es falso noP, pero ello NO debe obligar o apresurar a aceptar P como
cierto."
Un ejemplo más:
Si resulta ahora lógicamente contradictorio que se pueda viajar en un
tiempo corto a otro sistema solar, entonces es falso por ahora pueda viajar
en tiempo corto a otro sistema solar, pero eso NO debe apresurarme y
concluir que por lo tanto, he demostrado que es cierto es que NO podré
viajar en un tiempo corto a otro sistema solar.
Otro ejemplo:
Aun cuando por ahora resulta contradictorio asumir vida después de la
muerte, no por eso debemos apresurarnos a aceptar que hemos demostrado es
cierto que no hay vida después de la muerte.

A manera de parábola, desde el punto de vista del creyente: Popper diría,
prefiero creer en Dios, si se demuestra que ante la falta de él, nada tiene
sentido o hay muchas contradicciones sin él, y Brouwer agregaría, no sirve
de gran cosa saber que existe Dios si no hay un buen camino o algoritmo que
nos permita a vivir (felizmente) con él, y sería deseable verificar de
algún modo, digamos con algún milagro bondadoso de su existencia. Y desde
el punto de vista del ateo: Popper diría, prefiero NO creer en Dios, si se
demuestra que con él, nada tiene sentido o hay muchas contradicciones el
suponerlo, y Brouwer agregaría, no sirve de gran cosa saber que NO existe
Dios si no hay un buen camino o algoritmo que nos permita vivir
(felizmente) sin él, y sería deseable verificar de algún modo, digamos con
el incumplimiento de alguno de sus planes proféticos de su inexistencia.

En todas las ramas del conocimiento, incluida la propia Matemática es usual
suponer muchas simplificaciones, por ejemplo, que las variables son
independientes e idénticamente distribuidas, o alguna otra suposición,
propuesta no por adecuada, sino porque eso facilita la construcción del
modelo. Por ejemplo, los Físicos inventan el concepto de partícula, o que
NO existe la fricción, o que la aceleración de la gravedad es constante,
etc. Los Estadísticos suponen, y no siempre está justificado, que todas las
variables aleatorias son independientes y con distribución Normal. Los
estudiosos de inventarios suponen que la demanda de un artículo es siempre
es constante etc., por eso unos hasta llegan a concluir con sarcasmo
matemático: "que no es que el modelo matemático esté mal, lo que pasa es
que la realidad se resiste a adaptarse a él".

Las limitaciones de la matemática clásica son las que tienen todos los
sistemas lógicos formales, digamos que no había porque sorprendernos,
tampoco debe asustarnos que al implementar computacionalmente algunos
modelos o teoremas matemáticos, descubramos que su notación se planteó sin
el ánimo consciente de facilitar su traducción a la sintaxis de los
lenguajes de programación modernos, o acaso la mayoría de los lenguajes de
programación estan desarrollados con paradigmas ajenos al paradigma
matemático, en cualquier caso:
quienes siguen defendiendo a ultranza la notación matemática sólo porque se
ha aplicado el rigor lógico al desarrollarla, es porque no se han
involucrado directa y seriamente con el problema de la traducción
algorítmica de los teoremas, o solo les importa su belleza lógica, sin
importar si relamente la matemática ofrece los mejores modelos en todos los
casos. Cuando Bertrand Russell, llevó esa creencia al extremo, escribió
tres volúmenes con el título "Principia Mathematica", a la fecha 100 años
después, sólo se dice que es una gran obra matemática, basada casi
exclusivamente en el rigor lógico, pero que en la práctica a casi nadie le
interesa, o que muy pocos comprenden, de hecho sólo está disponible en
papel en muy pocas bibliotecas de escuelas de matemáticas; el mismo Russell
declaró que prácticamente nadie le compró su obra.[7]
Afortunadamente es gratis en línea, al menos el volumen uno, de parte de la
Universidad de Michigan.[8]
El mismo Russell cayó en la cuenta de que las Matemáticas clásicas modernas
son una rama del conocimiento en la finalmente no sabe uno de que está
hablando, ni si lo que dice es realmente cierto o útil.

A los que concebimos a las matemáticas como una herramienta de modelaje, y
que por lo tanto, no nos basta contemplar sólo su belleza teórica o lógica,
tarde que temprano concluimos, que lo que realmente importa: "es saber cuál
modelo predice, o reproduce, o transforma, mejor la realidad, y no cuál
modelo es más bello". También en la medida que uno pretenda modelar
problemas más complejos, se percata que estos al pretender resolverlos, muy
frecuentemente estos NO admiten una única solución posible, y regularmente
una parte de sus variables relevantes involucradas son No-determinísticas,
y es inevitable considerar nuevas reglas de inferencia, o sea, la
modelación de los problemas complejos no se restringen al uso de las reglas
de la lógica y de la propia Matemática, finalmente resulta necesario el
apoyo o uso de herramienta computacional, digamos un Lenguaje de
Programación orientado a objetos, el cual inevitablemente nos orilla a
adoptar nuevas reglas, a fin de que ellas se apliquen de modo automático o
semiautomático, digamos que son las reglas heredadas de la propia
computación, o las que son sugeridas por las Metaheurísticas, así
actualmente estamos ante un nuevo paradigma de la modelación matemática,
que no está restringido a la reglas de la matemática y lógica
determinística tradicional o clásica. [9]
Afortunadamente, ya surgieron los nuevos intelectuales que no
necesariamente son matemáticos, y curiosamente muchos de ellos son físicos,
pero siendo libre pensadores no ceñidos a las limitaciones del pensamiento
lógico matemático clásico; finalmente NO se han creído el cuento que todo
se puede modelar con la matemática clásica. No se requiere de ser demasiado
inteligente para percatarse de que los más gloriosos conceptos de las
matemáticas clásicas son realmente simplistas si se le compara con los
logrados por la programación orientada objetos. En seguida comentamos los
más conocidos:

El de conjunto, con elementos del mismo tipo que cumplen una solo
propiedad. Si bien Resulta particularmente útil para demostrar teoremas, ya
no lo es tanto al formular algoritmos. Por otro lado, basta conocer el
concepto de Clase desarrollado en Java para percatarse que el concepto de
Conjunto es demasiado simplista. Algunos pedagogos por otra parte, se han
opuesta sistemáticamente al enfoque conjuntista de enseñar las matemáticas,
alegando que es un enfoque dañino o innecesario. En efecto tienen razón si
pretendemos enfatizar que nuestro objetivo es conseguir y formular
algoritmos y no demostrar teoremas.
El de operación o función, casi siempre definida con parámetros o
argumentos: que son valores primitivos, o del mismo tipo o conjunto.
Resulta particularmente útil cuando estamos solo concentrados en conseguir
un valor de retorno derivado de reglas precisas, pero ya no tanto si la
operación o función es mucho más complicada, siendo una si se aplica a un
objeto y otra si se aplica a otro objeto, aún cuando persistan los mismos
valores para sus parámetros o argumentos; lo mismo si pretendemos un
argumento o dominio definido con buen numero de parámetros a evaluar pero
NO todos del mismo tipo, y si además las reglas que la definen aunque sean
precisas otras son No-determinísticas, y el colmo: !ya el énfasis no es
sólo en el valor de retorno si no también la realización de determinadas y
variadas tareas previas o intermedias, basta conocer el concepto de método
desarrollado en Java, o en algún otro lenguaje de programación orintado a
objetos para percatarse que en efecto el concepto de operación o función
matemática es demasiado simplista.

El concepto de vecindad tradicionalmente asociado a una medida, muy
socorrida y útil si estamos ante una topología continua y estática, pero si
la topología es discreta y estocástica, entonces el enfoque de vecindad
como lo propone la topología clásica resulta inoperante, No necesariamente
se necesita una medida para hablar de lo que es vecino o cercano.

La matemática clásica como muchos modelos también es simplista, sin embargo
cuando lo es menos, acepta tratar con variables o funciones no
determinísticas pero que sean las menos, independientes y con la misma
distribución de probabilidad, si NO, entonces con distribuciones de
probabilidad conocidas.

Estos nuevos pensadores han dejado de creer en el monopolio intelectual de
las matemáticas clásicas, eso quizá fue cierto hace algunos años, ahora es
fácil percatarse que existen nuevos conceptos propuestos por otras
disciplinas, incluso más elaborados e interesantes que rebasan o compiten
con los de la matemática clásica. Basta contemplar el desarrollo de las
ciencias de la computación, o tan sólo el de la programación orientada a
objetos, o el de la tecnología java, para quedarse perplejo, y dejar de
creer que la matemática clásica tiene el monopolio de la modelación
abstracta, y que sea la única que ofrezca una buena alternativa práctica de
modelaje o de desarrollo intelectual.

Muchos de los modelos de la física se empezaron a complicar, al tratar de
reformularlos cuando no se dan todas las condiciones que habíamos supuesto,
o cuando muchas de esas suposiciones en realidad eran artificiales,
motivadas por lograr deducir fácilmente el modelo. Sin embargo, rehacer
lógicamente los modelos matemáticos aplicables a la física sin suponer todo
lo artificialmente convenido a fin de facilitarnos la labor de deducción,
es casi como volver a empezar: de modo experimental, como al principio de
los tiempos, pero ahora se tiene la ventaja del uso de la computadora como
un medio de apoyo para simular algunos experimentos. Probablemente la
física computacional apareció en los inicios de la creación de la Bomba
atómica.
Ahora, es posible argumentar que la nueva física no necesariamente es
determinística, en algunos caso se requiera sea computacional, y que se
apoye en modelos probabilísticos, discretos, aproximados y finitos, tan
solo por esto el paradigma de la modelación física, apegándose de modo
estricto a la matemática clásica esta ya trastocado o cuestionado.[10]
La incompletitud de los sistemas lógico formales, se evidenció gracias al
Teorema de Gödel, el cual establece que "siempre habrá al menos un teorema
o enunciado que, aunque probablemente cierto, será indemostrable, a menos
que agreguemos un nuevo axioma a la rama de la matemática o sistema formal
correspondiente".[11] De hecho los axiomas deben ser enunciados
indemostrables o independientes de los otros axiomas, en otras palabras,
lo que dice el Teorema de Godel, es que siempre habrá un nuevo axioma que
no habíamos considerado. Por eso la pretensión de Bertrand Russell de
fundar y derivar toda la Matemática de un número fijo de axiomas fracasó,
con Godel quedaba claro que eso no iba ser posible. Por otro lado, si
suponemos existe un sistema completo, Godel demostró que tal sistema
axiomático formal será inconsistente, es decir, que tarde que temprano
derivaremos una contradicción. Asi si las matematicás son consistentes,
de acuerdo con Godel deben ser incompletas. Por lo tanto, la pretensión de
consistencia o completez dentro de las ciencias formales es posible de
manera excluyente, y fuera de las ciencias formales, cualquiera de ellas es
un sueño. La historia del desarrollo de la ciencia esta llena de ejemplos:
recodemos la teoría Geocéntrica, o cuando pretendíamos resolver con la
física clásica o Newtoniana algunos problemas fuera de cierto rango de masa
o velocidad.
Las pruebas de Independencia y de Consistencia para los sistemas
matemáticos lógico-formales son problemas, además de no-obvios, que rebasan
a la propia matemática y son, en todo caso, problemas de la Metamatemática,
pero paradójicamente, normalmente, ni los mismos matemáticos estudian; ya
que antes se asumía que si algo estaba formulado en términos de la
 Matemática, no había de nada de qué preocuparse, pero ahora desde el punto
de vista de la Metamatemática, la Matemática es sólo un ejemplo de un
sistema lógico formal a estudiar, de entre varios posibles, como lo son los
lenguajes de Programación. Históricamente para la matemática no le ha sido
facil decidir si algo es indemostrable, cuando finalmente lo acepta
entonces deberá agregarse como axioma sea el o su negación, tal ha sido el
caso con: del quinto postulado de la paralelas, la hipótesis del continuo,
el axioma de elección.

En resumidas cuentas, la matemática clásica, aun NO siendo autocrítica y
creyéndose que su paradigma de desarrollo es mejor que cualquier otro
paradigma de cualquier Lenguaje de programación, y asumiendo de buena fé:
sus axiomas son independientes, es consistente y NO nos moleste o incomode
sea incompleta, sin embargo lo que ya NO puede pasar desapercibido o
minimizado es que en su presunción exacta, determinística, continua e
infinita, ha quedado rebasada o completada por una nueva matemática
aproximada, no determinística, discreta y finita, la cual de manera más
natural acepta aliarse con la ciencia de la computación a fin de lograr sus
objetivos. Y ya cada dia es mas evidente: los lenguajes de programación no
se conforman con sólo enunciar la verdad lógica o implementarla modesta o
idealmente, sino que han estado luchado por lograr una implementación cada
vez mas ambiciosa pero posible.

Bajo esta perspectiva, la matemática clásica debe ser en todo caso una
materia optativa más que obligada, para los que estamos abiertos al uso de
la ciencia de la computación. Y cada vez aparecen mejores heramientas
computacionales y lenguajes de programación que dentro del mundo moderno
su elección y uso se esta tornando cada vez mas necesaria.

Durante más de un siglo ha habido demasiado talento matemático estudiando a
los "ángeles en el infinito y mas allá" y olvidándose de los "humanos en el
finito y más acá", por decirlo de alguna otra manera, sin caer en la
afirmación mas fuerte hasta grosera de Poincare al respecto.[12] Y vaya
que Henri Poincare era reconocido por el propio Bertrand Russell como el
más grande Matemático los tiempos modernos de entonces.[13]

En la matemática clásica es fácil perder años y años en la
demostración de afirmaciones que de lograrlas o no, NO es clara la
diferencia o trascendencia, o lo que es peor hay demasiado tiempo
invertido en demostración de miles de teoremas por demás evidentes, solo
que no se habían demostrado, quien lo logra demostrar se asombra de su
logro, pero alguien de la calle puede decir: "!eso, …yo ya lo sabía!, ¿de
qué sirvió haberlo demostrado?". Claro que también hay teoremas que no son
evidentes, y realmente interesantes pero paradójicamente: o casi nadie
conoce al detalle su demostración o si hay alguna demostración conocida
solo unos cuantos lógicos o matemáticos la comprenden. Por ejemplo el
teorema de Cook, el teorema de Godel, el último teorema de Fermat, etc..

Afortunadamente las ciencias de la computación han hecho posible, se
universalice realmente la comunicación, la información, el conocimiento y
hasta el arte de la programación, tarea que los matemáticos clásicos quizá
soñaron pero que al parecer no les dio tiempo, o quizá ni siquiera se
atrevieron. Es impresionante la cantidad de autodidactas que hay en las
ciencias de la computación, tan solo en Java hay del orden de más de 9
millones de desarrolladores,[14] siendo un porcentaje importante de ellos
programadores certificados de Java, sea que cuenten con una carrera
universitaria o no. Y hay toda una infraestructura de muchas empresas para
apoyar el logro de tal certificación: manteniendo buenos niveles de
calidad, y de validez mundial; fenómeno que no se da en otras disciplinas
con ese monto de participantes entusiastas. Sin embargo hay que reconocer
que hay algunas olimpiadas o concursos con estímulos importantes del orden
de millón de dólares que otorga el Instituto de Matemáticas Clay a quien
resuelva cada uno de siete problemas matemáticos pendientes,[15] que
recientemente resuelve uno de esos problemas pendientes un matemático ruso
pero rechaza el premio. También el Instituto Clay otorga un millón de
dólares, para quien resuelva si P =NP o NO, a la fecha para tal problema
existen reportadas casi 100 demostraciones, donde la casi mitad dice que si
es igual, la otra casi mitad dice que no es igual y una pequeña parte dice
que no se puede demostrar ni una ni otra cosa[16]. Que está pasando?, o hay
mucho charlatán que hace lo imposible por conseguir el millón de dólares, o
no se ha entendido bien el problema, por lo cual cada quien lo resuelve
según su interpretación que hace de él, o es justamente uno de esos
teoremas que son indemostrables. ?

¿Qué es la Matemática Computacional y cuáles son sus similitudes y
diferencias con otros conceptos con los que se suele confundir?
El Cómputo Matemático (CM) pretende implementar computacionalmente solo
algoritmos determinísticos que la matemática ha propuesto para resolver
determinados problemas matemáticos.
Los algoritmos si funcionaron bien para los primeros casos sencillos,
entonces el CM supone que estos mismos algoritmos serán pertinentes o
funcionaran bien para los casos complicados.
Los casos complicados se presentan cuando el tamaño de la entrada del
algoritmo crece, o cuando el criterio de optimización del algoritmo
original se reformula, haciéndolo más complejo, es decir, las condiciones
de paro son mas o es más complicado el proceso de su verificación.
La implementación computacional de algoritmos matemáticos supone
reformularlos o adecuarlos a la sintaxis de algún Lenguaje de programación.
La necesidad e importancia de implementación computacional de un algoritmo
se evidencia más cuando estamos ante un algoritmo que involucra un proceso
reiterativo prolongado, o simplemente, cuando la cantidad de los cálculos
por realizar son demasiados como para que la solución manual sea una opción
práctica. Pese a las bondades del CM, generalmente en este ambiente NO se
asume una actitud crítica ya que simplemente se traduce a algún lenguaje de
programación lo ya previsto teóricamente por algún algoritmo matemático,
entonces normalmente no se reporta novedades o descubrimientos importantes.
Por eso muchos teóricos de la Matemática, cuando alguien les reporta un
programa, que resuelve algún problema según lo indicó la teoría, dicen que
eso NO es investigación científica, concluyen que no hay ninguna novedad
científica en simplemente traducir a las instrucciones del programa lo
previsto por la teoría. Más adelante en otro artículo veremos eso es solo
cierto si estamos ante un problema de tipo P, y que no sería el caso cuando
estamos ante un problema de tipo NP, NPC o NPH.

El Cómputo Numérico (CN) no es más que el CM que además incluye el interés
de llevar a la computadora versiones finitas de algoritmos matemáticos
formulados teóricamente en términos de un número infinito de pasos,
tolerando que la versión finita del algoritmo nos dé una solución no
exacta, pero que su grado de aproximación sea aceptable.
Estos algoritmos aproximados se dan de modo inevitable, bien sea porque la
versión exacta corresponde a un algoritmo infinito en un número dado de
pasos, o porque son una alternativa práctica que se considera cuando no se
dan todas las condiciones que hacen posible la obtención de la solución
exacta.
Así, tanto el CM como el CN requieren de lo que lo que la matemática
plantea teóricamente, digamos que es la matemática finita o aproximada de
una matemática infinita o exacta.
Es así que el CM y el CN se encuentran presentes en casi todas las áreas de
la matemática, así se refiera a cuestiones puramente académicas, es decir,
abordando problemas si bien interesantes, a veces no resuelven
necesariamente problemas prácticos explícitos. Por ejemplo, el CM o el CN
puede plantearse los siguientes problemas: conseguir una muy buena
aproximación para el número pi, o para el número e, digamos que involucre
hasta la cifra decimal ubicada en la posición mil, o generar el No. Primo
número mil o los primeros diez mil números Primos consecutivos mayores
que 1, etc..

La Ingeniería matemática (IM) pretende rescatar o descubrir el carácter
aplicado de la matemática, enfatizando el aprovechamiento de los teoremas y
despreocupándose de su demostración, consciente que alguien ya los demostró
con todo el rigor y la formalidad requerida.
La aplicación matemática que más le interesa a la IM es la relativa a
problemas que surgen del desarrollo y aplicación de la Ingeniería misma.
Esto conduce a tratar de descubrir o inferir de la Matemática o de sus
teoremas lo que se supone es útil o podría ser útil a los Ingenieros, al
pretender resolver algunos de sus problemas.
Así entonces, se puede decir que la IM es la parte pragmática de la
matemática, por lo tanto la IM asume el cómputo matemático y numérico, pero
enfatizando cuestiones de tipo o interés ingenieril.
La IM sí puede llegar a proponer un nuevo algoritmo si no derivado de la
 teoría matemática, sí derivado de alguna heurística que resuelve un
problema ingenieril, y que normalmente no se plantean los teóricos de la
matemática. Por dar un ejemplo, mientras que los teóricos de la matemática,
resuelven solo problemas de volúmenes de figuras geométricas muy bien
definidas, los ingenieros matemáticos abordan problemas de volúmenes
irregulares, tal y como el volumen de agua contenido en una presa.

El Computo-No determinístico (CND), es Ingeniería matemática que además
pretende implementar computacionalmente tanto los algoritmos
determinísticos que la matemática clásica ha propuesto para resolver
determinados problemas, como los algoritmos no determinísticos que las
Metaheurísticas han sugerido como idóneos. Algunos de manera pretenciosa se
refieren al CND, como computo inteligente.
El CND no asume a priori que todos los algoritmos sean con cota
polinomial, por lo que se impone la tarea de revisarlos críticamente en sus
casos extremos, a saber: cuando el tamaño de la entrada crece o el criterio
de paro del problema se complica.
En este sentido, el CND generalmente sí reporta novedades o
descubrimientos, al ofrecer una mejor solución sea en tiempo o en grado de
aproximación con algún algoritmo, sea determinístico o no, pero que haya
sido probado tenga cota polinomial. 

La matemática computacional (MC), es más que la suma de las anteriores:
CM+CN+IM+CND, es una postura más abierta, flexible y de clara vinculación
de la Matemática con la Computación. La Matemática Computacional a
diferencia de cualquiera de las anteriores asume realmente una revisión
autocrítica de la Matemática clásica y sus limitaciones como la mencionada
en el apartado anterior. La Matemática computacional pretende ser una
matemática más concreta, que rescata el valor de la experimentación y de
la simulación matemática, revalora el papel del algoritmo, considera
importante la demostración del teorema, pero finalmente prefiere un buen
algoritmo basado o no en un buen teorema, que solo contar con un buen
teorema. La matemática computacional no se le olvida que ha pasado por
varias etapas, algunas son comunes a todas las matemáticas: la primera,
cuando solamente era una ciencia basada en la experiencia o en algunos
descubrimientos aislados, sin axiomas, sin definiciones y teoremas muy
precisos o muy formales; la segunda, cuando cada rama de la matemática tuvo
sus propios axiomas, sus propias definiciones y teoremas, siendo los
teoremas derivaciones lógicas de los axiomas, definiciones y de otros
teoremas previamente demostrados o deducidos generalmente solo de la propia
rama en cuestión. Por otro lado, a la par que la matemática se
desarrollaba, lo hacía también la Física, y lo hacía apoyándose en ella; y
es que la matemática fue particularmente útil para la física, pues la
representación de las leyes en forma matemática pudo clarificar los
cálculos, facilitar la explicación de los fenómenos, y organizar el corpus
teórico en cada una de las diversas áreas bajo estudio; es innegable que la
física durante un buen tiempo fue el mejor ejemplo de lo que se puede
lograr apoyándose tan sólo en la matemática clásica. La veracidad de tal
afirmación prevaleció en tanto los fenómenos físicos se asumían
determinísticos y no se involucraban demasiadas variables, digamos, no más
de cuatro variables; por curiosidad revise las formulas y ecuaciones
importantes de la Física y cuente las variables que involucran en su
formulación. Básicamente lo que se quiere decir, es que el éxito de la
Física fue un éxito también para la matemática, y así se creyó durante un
buen tiempo que el desarrollo de uno era motivado o apoyado por el de la
otra.
También se llegó afirmar que la clave del éxito de ambas era la lógica y la
formalidad, así a partir del siglo antepasado, la matemática por un lado se
convirtió en un ejemplo de cómo apegándose a la lógica era posible
construir un conjunto de modelos matemáticos abstractos dignos de presumir,
los cuales involucraban preferente o principalmente variables o funciones
continuas, exactas, determinísticas e infinitas. Esta es la llamada
Matemática Clásica. [17]
También por otro lado a partir de entonces, todos estaban felices de que se
dijera, o al menos no molestaba, que la física era lo que es gracias a la
matemática clásica, y la matemática clásica era lo que es gracias a la
lógica; sin embargo ese romanticismo color de rosa, empezó a cuestionarse,
de muchas maneras, como la vimos en el punto anterior.

La matemática computacional es la matemática de este siglo, que además de
rescatar el carácter experimental de la matemática de antaño, se apoya no
solo de la Lógica, sino también de la computación y de las Metaheurísticas,
lo cual nos lleva inevitablemente a los lenguajes de Programación, -y los
hay de tan diversos tipos como paradigmas en los que se basan,- a fin de
poder formular o construir los nuevos modelos matemáticos abstractos, los
cuales parecen privilegiar el uso de probabilidad por sobre el de lógica
determinística. Las variables o funciones de estos nuevos modelos son
preferente o
inevitablemente discretas, aproximadas, No-determinísticas y finitas. Para
así poder abordar los nuevos problemas NP, NPC y NPH, que se habían estado
postergando por la matemática clásica. Esto es lo que ahora también se
llama Matemática No-clásica, o Matemática Discreta.

La matemática computacional reconoce en la ciencia de la computación un
aliado poderoso, a fin de lograr avanzar en casi cualquier campo del
conocimiento. Si del matrimonio de la matemática antigua con la lógica nace
la llamada matemática moderna o formal, del matrimonio de la matemática
moderna con la computación nace la matemática computacional, la cual
reasume el carácter experimental de la matemática, sin perder el carácter
de ciencia formal. Así los nuevos teoremas de la matemática computacional,
no serán solo aquellos que se puedan demostrar, si no también todos
aquellos algoritmos computables con cota polinomial.
A la fecha ya también se habla de computación científica, como una
herramienta más para abordar el problema de la cientificidad de alguna
afirmación en cualquier ciencia. En el fondo es finalmente aceptar que una
verdad lógica está incompleta si no nos lleva a formular e implementar una
verdad algorítmica factible o polinomial.


CONCLUSIONES
De todo lo anterior, creemos ya podemos concluir que:
Cada día se hace más evidente las limitaciones del pensamiento matemático
clásico, y del fracaso de su propuesta pedagógica tradicional. Ya es hora
de romper paradigmas en la educación matemática, y de retomar el estudio de
la Matemática finita o discreta, no dando la primacía al estudio de la
Matemática continua e infinita.
De no haber cambios, por ejemplo, manteniendo la matemática alejada de la
computación, será más evidente su sesgo o retraso con respecto a lo logrado
por las ciencias de la computación. Stephen Wolfram, creador del Lenguaje
de programación "Mathematica", y del buscador "Wolfram Alpha", etc., (
http://www.stephenwolfram.com/interviews/ ) en su libro "Una nueva clase de
Ciencias", propone una nueva clase de ciencias, una de esas, creemos sería
la Matemática Computacional.

Stephen Wolfram en múltiples ocasiones ha afirmado:
"La idea principal de un nuevo tipo de ciencia fue introducir una nueva
forma de modelar cosas en el mundo. Hace trescientos años, hubo una gran
transformación en la ciencia cuando se dieron cuenta de que se podía usar
las matemáticas y la estructura formal de las matemáticas, para hablar
sobre el mundo natural. Usando las matemáticas, uno podría calcular lo que
debe suceder en el mundo, cómo los planetas se mueven, cómo deben moverse
los cometas, y todo ese tipo de cosas.

Ese ha sido el paradigma dominante de los últimos 300 años por las ciencias
exactas. En esencia, el paradigma dice: vamos a encontrar una ecuación
matemática que representa lo que estamos hablando, y vamos a usar esa
ecuación matemática para predecir lo que un sistema va a hacer. Ese
paradigma ha sido también la base para la mayoría de nuestra ingeniería:
Vamos a ver cómo este puente debería trabajar con ecuaciones de cálculo,
etc. O bien, vamos a resolver este circuito eléctrico con algún otro tipo
de ecuación diferencial, o una ecuación algebraica o lo que sea.

Pero si miramos con más cuidado, descubrimos que la ciencia (aquí debió
decir, por ejemplo, la Matemática clásica) no siempre ha tenido mucho que
decir, si los sistemas son más complejos. Por ejemplo, cuando nos fijamos
en la naturaleza, nos preguntamos qué tipo de algoritmos la naturaleza está
usando para hacer lo que hace.
Yo, -Stephen Wolfram- he descubierto que hay programas o algoritmos muy
simples pueden servir como modelos muy precisos para un montón de cosas que
ocurren en la naturaleza. Ellos nos dicen algo acerca de cómo la naturaleza
le resulta tan fácil poder hacer todo y que sería muy difícil para nosotros
hacer si nos imaginamos que la naturaleza trabaja de acuerdo a las
matemáticas."

La ciencia de la computación, no se ciñe a la implementación de un solo
paradigma, ya que los hay: imperativos, orientados a objetos, declarativos,
funcionales,[18] etc., desde esta óptica la matemática clásica se puede ver
solo como una implementación del paradigma declarativo o lógico, pero dicho
paradigma solo es uno entre varios posibles, o sea la matemática clásica No
es ya como antes algunos lo creían la propuesta máxima del modelaje, en
realidad es solo una propuesta entre varias posibles, como dicen los
hermenéuticos, la realidad siempre es mucho más compleja y ningún modelo
por superior que se presente, finalmente es una de muchas interpretaciones
posibles de ella.
-----------------------
[1] Universidad Autónoma de Aguascalientes. [email protected]
[2] Universidad Autónoma de Aguascalientes. [email protected]
[3] http://www.oracle.com/technetwork/java/javase/virtual-dev-day-java7-
keynote-1641807.pdf
http://www.oracle.com/lad/technologies/java/index.html
http://openjdk.java.net/faq/


[4] http://vanina-
ue.academia.edu/JorgeRoetti/Papers/586375/CENTENARIO_DE_LA_TESIS_DOCTORAL_DE
_LEJ_BROUWER_100_anos_de_intuicionismo_matematico
[5] http://www.youtube.com/watch?v=60OVlfAUPJg
http://www.youtube.com/watch?v=TmTrRnNxOaY&feature=fvwrel

[6] http://cidcie.ubiobio.cl/wordpress/geometrianew/?page_id=138

[7] http://www.cristina-ambrosini.com.ar/textos/rusell.htm
[8] http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/AAT3201.0001.001?view=toc

[9] Hacia un modelo integrado de los algoritmos metaheurísticos
Modelamiento y simulación de sistemas complejos
Red HEUR
[10] http://laboratorios.fi.uba.ar/lmm/nuevo_paradigma.html

http://mmc.geofisica.unam.mx/acl/Archivos/Conferencias/091107/Presentacion.p
df
http://www.conicit.go.cr/boletin/boletin85/e_ciencia_CENAT.html

[11] http://www.dgdc.unam.mx/Hipercuadernos/Godel/Intro.html
http://www.sinewton.org/numeros/numeros/64/historia_03.pdf

[12] http://claesjohnsonmathscience.wordpress.com/article/cantor-s-
paradise-lost-yvfu3xg7d7wt-37/
Poincaré se refiere a las ideas de Cantor como una "enfermedad grave"
infección de la disciplina de las matemáticas.
[13] http://www.librosmaravillosos.com/grandesmatematicos/capitulo28.html

[14] http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780071633604.html

[15] http://www.claymath.org/millennium/

[16] http://www.win.tue.nl/~gwoegi/P-versus-NP.htm
[17] Cfr. Modelos y Variables del mismo autor, esta disponible en :
http://www.cns.gatech.edu/~luzvela/epigrafe/variables.pdf

[18] http://www.scribd.com/doc/9174723/Paradigmas-de-Programacion