Que es el factor K?

DETERMINACIÒ DEL FACTOR K EXPLICACIÓN DE LA FORMULA DE LA NORMA UNE 20-460-90

CARLES PAUL

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INTRODUCCIÓN

La norma UNE 25-460-90 especifica en las instalaciones eléctricas en edificios la elección e instalación de los materiales eléctricos en la puesta a tierra con los conductores de protección adecuados. El factor K surge en la norma como una formula que especifica la relación entre la intensidad y la sección del cable. Como se obtiene esta fórmula? Cuando se produce un cortocircuito la intensidad que circula por los conductores eléctricos es muy elevada, poniendo en peligro los sistemas de protección a tierra. La elección adecuada de los materiales y sus secciones son indispensables, tanto para evitar daños estructurales en las instalaciones eléctricas como para proteger correctamente a los usuarios. La norma UNE 20-460-90 explica el método para diseñar una correcta instalación de puesta a tierra mediante conductores de protección. El fundamento del método se encuentra en la transferencia de energía eléctrica en energía calorífica. TRANSFERENCIA DE ENERGÍA EN UN CONDUCTOR ELÉCTRICO

Cualquier material conductor tiene una determinada resistividad que nos indica si es un muy buen conductor, buen conductor o mal conductor. Pero por muy buen conductor que sea el material siempre existe una pequeña resistencia al paso de la corriente eléctrica. Esta resistencia provoca que el conductor se caliente por la intensidad de la corriente eléctrica. La energía en forma de calor que se genera en el conductor se denomina efecto Joule y viene descrita por la siguiente ecuación donde R es la resistencia eléctrica, i la intensidad y t el tiempo

E = R i 2t

(0.1)

Este calor se desprende al medio exterior en forma de energía calorífica Q según la variación de temperatura, la masa y el calor específico del material

Q = mCe ΔT dQ

3

(0.2)

Como podemos comprobar la energía disipada por efecto Joule depende linealmente de la resistencia del conductor. Pero la resistencia de un conductor aumenta linealmente con la temperatura, siguiendo la ecuación siguiente, donde se escoge la temperatura de 20 C como referencia.

(

(

R = R20 1 + α T − 20

))

(0.3)

Hay que tener en cuenta que al aumentar la intensidad, el efecto Joule provoca que en el conductor también aumente la temperatura, al aumentar la temperatura la resistencia aumenta provocando que disminuya la intensidad mediante la ley de Ohm I = V/R. De esta manera la resistencia, la temperatura y la intensidad se encuentran estrechamente relacionadas. Por este motivo las ecuaciones anteriores de la energía E y el calor Q no pueden utilizarse directamente. Mucha gente cree el proceso de igualar la energía creada por efecto Joule al calor cedido explica el comportamiento térmico del cable. Esto no es cierto por la relación anterior de la resistencia con la temperatura. El proceso que tenemos que seguir es diferenciar primero las ecuaciones de la energía E y el calor Q antes de establecer las condiciones de equilibrio térmico adiabático. Diferenciando obtenemos

dE = 2Rtidi

(0.4)

dQ = mCedT

(0.5)

EQUACIÓN DIFERENCIAL

Todo el calor generado por efecto Joule se disipa hacia el medio exterior a través de la cubierta dieléctrica del conductor. Si esta disipación se produce de forma rápida podemos considerar un proceso adiabático con la resistencia una función de la temperatura R = R(T). Entonces podemos establecer la igualdad siguiente

dE = dQ

(1.1)

Y utilizando la resistencia como función de la temperatura obtenemos

(

))

(

2R20 1 + α T − 20 tidi = mCedT

4

(1.2)

En todas las instalaciones eléctricas es indispensable conocer la longitud y la sección de los conductores. Esta condición la incluimos a partir de la relación entre la resistencia R y la resistividad ρ del material conductor.

R20 = ρ20

l S

(1.3)

Las dimensiones del conductor las encontramos incluidas en la masa m. Como la masa y el volumen se encuentran relacionados mediante la densidad D, obtenemos

m = DSl

(1.4)

Tenemos así configuradas todas las variables que intervienen en la trasferencia de energía de un conductor eléctrico en un régimen adiabático. Estas variables son las siguientes

VARIABLES

SIMBOLO

UNIDADES

Resistencia

R

Ohms (ΩΩ)

Resistivitad

ρ

ΩΩ·m/mm2

Intensitad

i

Amperes (A)

Masa

m

kg

Calor específico

Ce

J/kg·C

Temperatura

T

C

Coeficiente temperatura Longitud

α

C-1

L

Metros (m)

Superfície

S

m2

Teniendo en cuanta todas estas variables, la ecuación de la transferencia de energía se establece mediante la siguiente ecuación diferencial.

2tidi =

DS 2 dT Ce ρ20 1 + α T − 20

(

)

(1.5)

INTEGRACIÓN

Para determinar el factor K tenemos que integrar la ecuación diferencial anterior

5

(1.6) Donde i

∫ i di = 0

i2 2

Tf

⎡ T2 −T1 ⎤ dT = (β + 20)ln ⎢1 + ⎥ ∫ β +T1 ⎦ Ti 1 + α T − 20 ⎣

(

)

La solución

i t = S

⎡ T − Ti ⎤ Qc β + 20 ln ⎢1 + f ⎥ ρ20 β + Ti ⎦⎥ ⎢⎣

(

)

(1.7)

donde he simplificado

QC = DCe β=

1 − 20 α

MAGNITUD

DEFINICIÓ

UNITATS

Qc

Capacidad térmica volúmica del material conductor

J/ºC·mm3

β

ºC

ρ20

Inversa del coeficiente de temperatura del conductor normalizado a 0ºC Resistividad eléctrica del material conductor a 20ºC

ΩΩ·mm

Ti

Temperatura inicial del conductor

ºC

Tf

Temperatura final del conductor

ºC

FACTOR K

El factor k es pues

k=

⎡ T − Ti ⎤ Qc β + 20 ln ⎢1 + f ⎥ ρ20 β + Ti ⎦⎥ ⎢⎣

(

)

6

(2.1)