\"¿Puede considerarse completa la descripción de la realidad física de la mecánica cuántica?\", por Niels Bohr

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¿Puede considerarse completa la descripción de la realidad física de la mecánica cuántica?
(Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete?)
Publicada en Physical Review, Volumen 48 (15 de octubre de 1935)
Por Niels Bohr, Institute for Theoretical Physics, University, Copenhagen (recibido el 13 de Julio de 1935)
Traducido por Bernabé Ferreyra

Se muestra que un cierto "criterio de realidad física" formulado en un reciente artículo con el mismo título por A. Einstein, B. Podolsky y N. Rosen contiene una ambigüedad esencial cuando se aplica a los fenómenos cuánticos. En este sentido se explica un punto de vista denominado "complementariedad", a partir del cual la descripción de la mecánica cuántica de los fenómenos físicos parecería cumplir, dentro de su ámbito de aplicación, todas las demandas racionales de completitud.

En un reciente artículo, bajo el título que usamos arriba, A. Einstein, B. Podolsky y N. Rosen han presentado argumentos que llevan a responder negativamente la pregunta que tratada. La tendencia de su argumentación, sin embargo, no parece adecuada para plasmar la situación real con la que nos enfrentamos en la física atómica. Por lo tanto, estaré encantado de aprovechar esta oportunidad para explicar con algo más de detalle un punto de vista general, convenientemente llamado "complementariedad", que he indicado en varias ocasiones anteriores, y desde el cual la mecánica cuántica en su ámbito de aplicación aparecería como una descripción completamente racional de los fenómenos físicos, como la que encontramos en los procesos atómicos.
El punto en que un significado inequívoco se puede atribuir a una expresión como "realidad física" no puede, por supuesto, ser deducido de concepciones filosóficas a priori, pero –como los autores del artículo citado mismos enfatizan– debe estar fundado en una apelación directa a experimentos y mediciones. Para ello proponen un "criterio de realidad" formulado de la siguiente manera: "Si, sin alterar un sistema de ningún modo, podemos predecir con certeza el valor de una magnitud física, existe entonces un elemento de la realidad física correspondiente a esta magnitud física". Por medio de un ejemplo interesante, al que volveremos más adelante, ellos proceden a continuación a demostrar que en la mecánica cuántica, al igual que en la mecánica clásica, es posible en condiciones adecuadas predecir el valor de cualquier variable dada perteneciente a la descripción de un sistema mecánico a partir de mediciones realizadas enteramente en otros sistemas que han estado previamente en interacción con el sistema bajo investigación. Según su criterio, por tanto, los autores quieren atribuir un elemento de la realidad para cada una de las cantidades representadas por dichas variables. Puesto que, por otra parte, es una característica bien conocida del presente formalismo de la mecánica cuántica que nunca es posible, en la descripción del estado de un sistema mecánico, unir valores definidos de dos variables conjugadas canónicamente, ellos en consecuencia consideran este formalismo como incompleto, y expresan la creencia de que podría desarrollarse una teoría más satisfactoria.
Tal argumentación, sin embargo, difícilmente parece adecuada para afectar la solidez de la descripción de la mecánica cuántica, la cual se basa en un formalismo matemático coherente que abarca de forma automática cualquier procedimiento de medida como el indicado. La contradicción aparente de hecho sólo revela una inadecuación esencial del punto de vista tradicional de la filosofía natural para una explicación racional de los fenómenos físicos del tipo que nos preocupa en la mecánica cuántica. De hecho, la interacción finita entre el objeto y los instrumentos de medición condicionados por la existencia del cuanto de acción conlleva –por la imposibilidad de controlar la reacción del objeto en los instrumentos de medición, si estos están para servir a su propósito– la necesidad de una la renuncia definitiva del ideal clásico de la causalidad y de una revisión radical de nuestra actitud hacia el problema de la realidad física. De hecho, como veremos, un criterio de realidad como la propuesta por los autores mencionados contiene –no importa cuán cautelosa pueda parecer su formulación– una ambigüedad esencial cuando se aplica a los problemas reales con los que estamos aquí en cuestión. Con el fin de hacer que el argumento en este sentido sea lo más claro posible, voy a considerar en primer lugar con cierto detalle algunos ejemplos simples de los arreglos de medición.
Comencemos con el caso simple de una partícula que pasa a través de una abertura en el diafragma, que puede formar parte de un arreglo experimental más o menos complicado. Incluso si el momentum de esta partícula se conoce por completo antes de que incida sobre el diafragma, la difracción por la rendija de la onda plana que da la representación simbólica de su estado implicará una incertidumbre en el momentum de la partícula, después de haber pasado el diafragma, que es el mayor cuanto más estrecha la hendidura. Ahora la anchura de la hendidura, en cualquier caso, si todavía es grande en comparación con la longitud de onda, se puede tomar como la incertidumbre Δq de la posición de la partícula en relación con el diafragma, en una dirección perpendicular a la hendidura. Por otra parte, puede verse fácilmente desde de la relación de Broglie entre momentum y longitud de onda que la incertidumbre Δp del momentum de la partícula en esta dirección se correlaciona con Δq mediante el principio general de Heisenberg
Δp Δq ~ h,
que en el formalismo de la mecánica cuántica es una consecuencia directa de la relación de conmutación para cualquier par de variables conjugadas. Obviamente la incertidumbre Δp está inseparablemente conectada con la posibilidad de un intercambio de momentum entre la partícula y el diafragma; y la cuestión de principal interés para nuestra discusión ahora es en qué medida el momentum así intercambiado puede ser tomado en cuenta en la descripción del fenómeno a ser estudiado por la disposición experimental en cuestión, de la que el paso de la partícula a través de la rendija puede ser considerado como la etapa inicial.
Vamos a suponer que primero, correspondiendo a los experimentos habituales sobre los fenómenos notables de difracción de electrones, el diafragma, como las otras partes del aparato, –digamos un segundo diafragma con varias ranuras paralelas a la primera y una placa fotográfica,– se fija rígidamente a un soporte que define la marco espacial de referencia. A continuación, el momentum intercambiado entre la partícula y el diafragma, junto con la reacción de la partícula en los otros cuerpos, pasará a este soporte común, y por lo tanto nos hemos quitado voluntariamente cualquier posibilidad de tomar en cuenta estas reacciones por separado en las predicciones con respecto al resultado final del experimento –par ejemplo la posición de la mancha producida por la partícula en la placa fotográfica. La imposibilidad de un análisis más detallado de las reacciones entre la partícula y el instrumento de medición no es ciertamente una particularidad del procedimiento experimental descrito, sino que es una propiedad esencial de cualquier acuerdo adecuado para el estudio de los fenómenos del tipo en cuestión, en el que nos enfrentamos con una característica de la individualidad completamente ajena a la física clásica. De hecho, cualquier posibilidad de tener en cuenta el momentum intercambiado entre la partícula y las partes separadas del aparato nos permitiría de una vez extraer conclusiones sobre el "curso" de tales fenómenos –decir a través de cuál hendidura particular del segundo diafragma la partícula pasa en su camino a la placa fotográfica–, lo cual sería muy incompatible con el hecho de que la probabilidad de que la partícula llegue a un elemento dado de la superficie en esta placa no es determinado por la presencia de cualquier hendidura en particular, sino por las posiciones de todas las hendiduras del segundo diafragma dentro de alcance de la onda asociada difractada desde la rendija del primer diafragma.
Por otra disposición experimental, donde el primer diafragma no está conectado rígidamente con las otras partes del aparato, sería posible al menos en principio medir su momentum con cualquier precisión deseada antes y después del paso de la partícula, y por lo tanto predecir el momentum de este último después de que ha pasado a través de la rendija. De hecho, tales mediciones de momentum sólo requieren una aplicación inequívoca de la ley clásica de conservación del momentum, por ejemplo aplicado a un proceso de colisión entre el diafragma y un cuerpo de prueba, cuyo momentum se controla adecuadamente antes y después de la colisión. Es cierto que tal control dependerá esencialmente de un examen del curso espacio-temporal de algún proceso en que las ideas de la mecánica clásica se pueden aplicar; si, sin embargo, se toman todas las dimensiones espaciales e intervalos de tiempo lo suficientemente grandes, esto no implica claramente ninguna limitación en cuanto al control preciso de la momentum de los cuerpos de prueba, sino sólo una renuncia en cuanto a la exactitud del control de su coordinación espacio-temporal. Esta última circunstancia es de hecho bastante análoga a la renuncia al control del momentum del diafragma fijado en el dispositivo experimental discutido anteriormente, y depende en última instancia en la afirmación de una explicación puramente clásica del aparato de medición, lo que implica la necesidad de permitir una latitud correspondiente a las relaciones de incertidumbre de la mecánica cuántica en nuestra descripción de su comportamiento.
La diferencia principal entre los dos arreglos experimentales en consideración es, sin embargo, que en el arreglo adecuado para el control del momentum del primer diafragma, este cuerpo ya no puede ser utilizado como un instrumento de medición para el mismo propósito que en el caso anterior, sino que debe, en cuanto a su posición relativa con el resto del aparato, ser tratada, como la partícula que atraviesa la rendija, como objeto de investigación, en el sentido de que las relaciones de incertidumbre de la mecánica cuántica en cuanto a su posición y el momentum se deben tomar en cuenta explícitamente. De hecho, incluso si supiéramos la posición del diafragma con relación al marco espacial antes de la primera medición de su momentum, y a pesar de que su posición después de la última medición se puede fijar con precisión, perdemos, a causa del desplazamiento incontrolable del diafragma durante cada proceso de colisión con los cuerpos de prueba, el conocimiento de su posición cuando la partícula pasa a través de la rendija. Todo el arreglo es, por lo tanto, obviamente inadecuado para estudiar el mismo tipo de fenómenos como en el caso anterior. En particular, puede ser demostrado que, si el momentum del diafragma se mide con una precisión suficiente para permitir conclusiones definitivas sobre el paso de la partícula a través de alguna rendija seleccionada del segundo diafragma, entonces incluso la incertidumbre mínima de la posición del primer diafragma compatible con tal conocimiento implicará el borramiento total de cualquier efecto de interferencia –con respecto a las zonas de impacto permitido de la partícula en la placa fotográfica– que daría lugar la presencia de más de una ranura en el segundo diafragma en caso de que las posiciones de todos los aparatos estén fijados uno respecto al otro.
En un arreglo adecuado para mediciones del momentum del primer diafragma, es más claro que incluso si hemos medido este momentum antes del paso de la partícula a través de la rendija, aún nos quedamos después de este pasaje con una libre elección ya sea que deseemos conocer el momentum de la partícula o su posición inicial en relación con el resto del aparato. En la primera eventualidad sólo tenemos que hacer una segunda determinación del momentum del diafragma, dejando desconocido para siempre su posición exacta cuando la partícula pasaba. En la segunda eventualidad sólo necesitamos determinar su posición con relación al marco espacial con la inevitable pérdida de conocimiento del momentum intercambiado entre el diafragma y la partícula. Si el diafragma es suficientemente grande en comparación con la partícula, es posible que incluso organizar el procedimiento de las mediciones de tal forma que el diafragma después de la primera determinación de su momentum permanecerá en reposo en una posición desconocida en relación con las otras partes del aparato, y la posterior fijación de esta posición por lo tanto puede consistir simplemente en el establecimiento de una conexión rígida entre el diafragma y el apoyo común.
Mi objetivo principal en la repetición de estas sencillas, y sustancialmente bien conocidas consideraciones, es el de destacar que en los fenómenos en cuestión no estamos tratando con una descripción incompleta caracteriza por recoger lo arbitrario de diferentes elementos de la realidad física a costa de sacrificar otros elementos, pero con una discriminación racional entre arreglos experimentales esencialmente diferentes y procedimientos que son adecuados tanto para un uso inequívoco de la idea de ubicación espacial, o en cambio para una aplicación legítima del teorema de conservación del momento experimentales. Cualquier apariencia de arbitrariedad que quede concierne solamente a nuestra libertad de manejar los instrumentos de medición, característico de la idea misma de experimento. De hecho, la renuncia en cada disposición experimental de uno u otro de dos aspectos de la descripción de los fenómenos físicos –cuya combinación caracteriza el método de la física clásica, y que por tanto, en este sentido pueden ser considerados como complementarios el uno al otro–, depende esencialmente en la imposibilidad, en el campo de la teoría cuántica, del control preciso de la reacción del objeto en los instrumentos de medición, es decir, de la transferencia del momentum en el caso de mediciones de posición, y del desplazamiento en el caso de medida del momentum. Sólo en este último sentido cualquier comparación entre la mecánica cuántica y la mecánica estadística ordinaria –sin importar cuán útil pueda ser para la presentación formal de la teoría– es esencialmente irrelevante. De hecho, en cada arreglo experimental adecuado para el estudio de los fenómenos cuánticos tenemos que tratar no sólo con la ignorancia del valor de ciertas cantidades físicas, sino con la imposibilidad de definir estas cantidades de manera inequívoca.
Las últimas observaciones se aplican igualmente bien al problema especial tratado por Einstein, Podolsky y Rosen, que ha sido mencionado anteriormente, y que no implica en realidad ninguna complejidad mayor que los simples ejemplos discutidos anteriormente. El estado mecánico-cuántico particular de dos partículas libres, para las que dan una expresión matemática explícita, se puede reproducir, al menos en principio, por un arreglo experimental sencillo, que comprende un diafragma rígido con dos ranuras paralelas, que son muy estrechas en comparación con su separación, y a través de las cuales las partículas con un momentum inicial dado pasa independientemente de la otra. Si el momentum de este diafragma se mide con precisión tanto antes como después del paso de las partículas, sabríamos de hecho la suma de los componentes perpendiculares a las ranuras de los momenta de las dos partículas que escapan, así como la diferencia de sus coordenadas de posición inicial en la misma dirección; mientras que por supuesto las cantidades conjugadas (es decir, la diferencia de los componentes de sus momenta) y la suma de sus coordenadas de posición, son totalmente desconocidas. En este arreglo, por tanto, es claro que una sola medición posterior, ya sea de la posición o de la momentum de una de las partículas determinará automáticamente la posición o el momentum, respectivamente, de la otra partícula con cualquier precisión deseada; al menos si la longitud de onda correspondiente al movimiento libre de cada partícula es suficientemente corto en comparación con la anchura de las rendijas. Como señalan los autores mencionados, estamos, por tanto, enfrentamos en esta etapa con una elección totalmente libre si queremos determinar una u otra de estas últimas cantidades por un proceso que no interfiere directamente con la partícula en cuestión.
Al igual que el simple caso anterior de la elección entre los procedimientos experimentales adecuados para la predicción de la posición o el momentum de una partícula que ha pasado a través de una abertura en un diafragma, nos ocupamos, en la "elección libre" ofrecida por el último arreglo, solamente de una discriminación entre diferentes procedimientos experimentales que permiten el uso inequívoco de conceptos complementarios clásicos. De hecho, medir la posición de una de las partículas no puede significar otra cosa que establecer una correlación entre su comportamiento y algunos instrumentos rígidamente fijados al soporte que define la estructura espacial de referencia. En las condiciones experimentales descritas, tal medición también nos proporcionará por tanto el conocimiento de la ubicación, de otra manera completamente desconocida, del diafragma respecto a este marco espacial cuando las partículas pasan a través de las rendijas. En efecto, sólo de este modo se obtiene una base para las conclusiones acerca de la posición inicial de la otra partícula con respecto al resto del aparato. Al permitir el paso de un momentum esencialmente incontrolable desde la primera partícula al soporte mencionado, sin embargo, por este procedimiento nos hemos separado de cualquier posibilidad futura de la aplicación de la ley de conservación del momentum al sistema formado por el diafragma y las dos partículas y por lo tanto han perdido nuestra única base para una aplicación inequívoca de la idea de momentum en las predicciones sobre el comportamiento de la segunda partícula. En cambio, si elegimos medir el momentum de una de las partículas, perdemos a través del desplazamiento incontrolable, inevitable en tales mediciones, la posibilidad de deducir del comportamiento de esta partícula la posición del diafragma en relación con el resto del aparato, y carecemos por lo tanto de base alguna para las predicciones con respecto a la ubicación de la otra partícula.
Desde nuestro punto de vista ahora vemos que la redacción del criterio de la realidad física propuesto por Einstein, Podolsky y Rosen contiene una ambigüedad en cuanto al significado de la expresión "sin por ello perturbar un sistema". Por supuesto que no hay en un caso como el considerado ninguna cuestión de una perturbación mecánica del sistema bajo investigación durante la última etapa crítica del proceso de medición. Pero incluso en esta etapa existe esencialmente la cuestión de una influencia en las mismas condiciones que definen los posibles tipos de predicciones sobre el comportamiento futuro del sistema. Dado que estas condiciones constituyen un elemento inherente a la descripción de cualquier fenómeno al que el término "realidad física" puede ser adecuadamente adjunto, vemos que la argumentación de los autores mencionados no justifica su conclusión de que la descripción de la mecánica cuántica es esencialmente incompleta. Por el contrario esta descripción, como se desprende de la discusión anterior, se puede caracterizar como una utilización racional de todas las posibilidades de interpretación inequívoca de las mediciones, compatible con la interacción finita e incontrolable entre los objetos y los instrumentos de medición en el campo de la teoría cuántica. De hecho, es sólo la exclusión mutua de los dos procedimientos experimentales, permitiendo la definición inequívoca de cantidades físicas complementarias, lo que proporciona espacio para nuevas leyes físicas, cuya coexistencia podrían parecer a primera vista irreconciliable con los principios básicos de la ciencia. Es precisamente esta situación totalmente nueva en cuanto a la descripción de los fenómenos físicos, que la noción de complementariedad pretende caracterizar.
Los arreglos experimentales discutidos hasta el momento presentan una simplicidad especial a causa del papel secundario que la idea del tiempo juega en la descripción de los fenómenos en cuestión. Es cierto que hemos hecho libremente el uso de palabras tales como "antes" y "después" implicando relaciones temporales; pero en cada caso debe concederse una cierta inexactitud, que no es de importancia, sin embargo, siempre y cuando los intervalos de tiempo en cuestión sean suficientemente grandes en comparación con los períodos apropiados que entren en el detallado análisis del fenómeno bajo investigación. Tan pronto como se intenta una descripción temporal más precisa de los fenómenos cuánticos, nos encontramos con paradojas bien conocidas, para cuyo esclarecimiento deben ser tenidas en cuenta otras características de la interacción entre los objetos y los instrumentos de medición. De hecho, en tales fenómenos ya no tenemos que tratar con arreglos experimentales consistentes en aparatos esencialmente en reposo uno en relación con el otro, sino con arreglos que contienen partes móviles –como persianas antes de las rendijas de los diafragmas– controladas por mecanismos que sirven como relojes. Además de la transferencia de momentum, discutida anteriormente, entre el objeto y los cuerpos que definen la estructura espacial, por lo tanto, tendremos que considerar en esos arreglos un eventual intercambio de energía entre el objeto y estos mecanismos parecidos a relojes.
El punto decisivo en lo que respecta medidas de tiempo en la teoría cuántica ahora es completamente análogo al argumento relativo a las mediciones de las posiciones descritas anteriormente. Tal como la transferencia de momentum a las partes separadas del aparato –requiriéndose el conocimiento de sus posiciones relativas para la descripción del fenómeno– ha sido visto como totalmente incontrolable, el intercambio de energía entre el objeto y los distintos órganos, cuyo movimiento relativo debe ser conocido para el uso previsto del aparato, desafía cualquier análisis más detallado. En efecto, se excluye en principio controlar la energía que va a los relojes sin interferir esencialmente con su uso como indicadores tiempo. Este uso, de hecho, depende completamente de la posibilidad asumida de contar para el funcionamiento de cada reloj, así como para su eventual comparación con otros relojes en la base de los métodos de la física clásica. En esta cuenta, obviamente, por lo tanto, debemos permitir una latitud en el balance de energía, que corresponde a la relación de incertidumbre de la mecánica cuántica, por el tiempo conjugado y las variables de energía. Al igual que en la pregunta discutida anteriormente del carácter mutuamente excluyente de cualquier uso inequívoco en la teoría cuántica de los conceptos de posición y momentum, es en última instancia esta circunstancia que implica la relación complementaria entre cualquier cuenta el tiempo detallada de los fenómenos atómicos por una parte, y las características no clásicas de estabilidad intrínseca de los átomos, revelada por el estudio de las transferencias de energía en las reacciones atómicas por otra parte.
Puede decirse de hecho que esta necesidad de discriminar en cada arreglo experimental entre aquellas partes del sistema físico considerado que han de ser tratados como instrumentos de medida y aquellos que constituyen los objetos sometidos a investigación forman una distinción principal (primordial) entre una descripción clásica y una descripción mecánico-cuántica de los fenómenos físicos. Es verdad que el lugar dentro de cada procedimiento de medición en que se hace esta discriminación es en ambos casos en gran medida una cuestión de conveniencia. Mientras que, sin embargo, en la física clásica la distinción entre objeto e instrumentos de medición no supone ninguna diferencia en el carácter de la descripción de los fenómenos en cuestión, su importancia fundamental en la teoría cuántica, como hemos visto, tiene su raíz en el uso indispensable de conceptos clásicos en la interpretación de todas las medidas adecuadas, a pesar de que las teorías clásicas no son suficientes para dar cuenta de los nuevos tipos de regularidades que nos ocupan en la física atómica. De acuerdo con esta situación, no puede haber duda de ninguna interpretación inequívoca de los símbolos de la mecánica cuántica, excepto los incorporados en las normas conocidas que permiten predecir los resultados a obtener por un arreglo experimental dado descrito de una manera totalmente clásica, y que han encontrado su expresión general a través de los teoremas de transformación ya mencionados. Al asegurar su correspondencia adecuada con la teoría clásica, estos teoremas excluyen en particular cualquier inconsistencia imaginable en la descripción mecánico-cuántica, conectada con un cambio del lugar en donde se realiza la discriminación entre el objeto y los instrumentos de medición. De hecho es una consecuencia obvia de la argumentación anterior que en cada arreglo experimental y procedimiento de medición sólo tengamos una libre elección de este lugar dentro de una región donde la descripción mecánico-cuántica del proceso en cuestión es efectivamente equivalente con la descripción clásica.
Antes de concluir quisiera todavía hacer hincapié en el apoyo de la gran lección derivada de la teoría de la relatividad general sobre la cuestión de la realidad física en el campo de la teoría cuántica. De hecho, a pesar de todas las diferencias características, las situaciones de las que nos ocupamos con estas generalizaciones de la teoría clásica presentan sorprendentes analogías que a menudo se han observado. Sobre todo, la posición singular de instrumentos de medición en la discusión de los fenómenos cuánticos parece estrechamente análoga a la necesidad muy conocida en la teoría de la relatividad de mantener una descripción ordinaria de todos los procesos de medición, incluyendo una clara distinción entre las coordenadas de espacio y tiempo, aunque la verdadera esencia de esta teoría es el establecimiento de nuevas leyes físicas, en cuya comprensión debemos renunciar a la separación habitual de las ideas de espacio y tiempo. La dependencia en el sistema de referencia, en la teoría de la relatividad, de todas las lecturas de las escalas y relojes incluso puede ser comparada con el intercambio esencialmente incontrolable de momentum o energía entre los objetos de mediciones y todos los instrumentos que definan el sistema espacio-temporal de referencia, que en la teoría cuántica nos enfrenta a la situación que se caracteriza por la noción de complementariedad. De hecho, esta nueva característica de la filosofía natural representa una revisión radical de nuestra actitud en cuanto a la realidad física, que puede estar en paralelo con la modificación fundamental de todas las ideas sobre el carácter absoluto de los fenómenos físicos, provocado por la teoría general de la relatividad.




A. Einstein, B. Podolsky y N. Rosen, Phys. Rev. 47, 777 (1935).
Cf. N. Bohr, La teoría atómica y la descripción de la naturaleza, I (Cambridge, 1934).
Las deducciones contenidas en el artículo citado pueden considerarse a este respecto como una consecuencia inmediata de los teoremas de transformación de la mecánica cuántica, que quizás más que cualquier otra característica del formalismo contribuyen a asegurar su integridad matemática y su correspondencia racional con la mecánica clásica. De hecho, siempre es posible en la descripción de un sistema mecánico, que consta de dos sistemas parciales (1) y (2), interactuando o no, reemplazar cualquiera de los dos pares de variables canónicamente conjugadas (q1p1), (q2p2) perteneciente a los sistemas (1) y (2) respectivamente, y la satisfacción de la conmutación habitual reglas
[q1p1] = [q2p2]=ih/2π,
[q1q2]= [p1p2]= [q1p2]= [q2p1]=0
por dos pares de nuevas variables conjugadas (Q1P1), (Q2P2) relacionados con las primeras variables por una transformación ortogonal simple, que corresponde a una rotación del ángulo θ en los planos (q1p1), (q2p2)
q1 = Q1 cos θ – Q2 sin θ p1 = P1 cos θ – P2 sin θ
q2 = Q1 sin θ – Q2 cos θ p2 = P1 sin θ – P2 cos θ.
Como estas variables van a satisfaces reglas de conmutación análogas, en particular
[Q1P1] =ih/2π [Q1P2] = 0,
se deduce que, en la descripción del estado del sistema combinado, valores numéricos definidos no pueden ser asignados a Q1 y a P1, pero que podemos asignar claramente tales valores tanto a Q1 como a P2. En ese caso, resulta de las expresiones de estas variables en términos de (q1p1) y (q2p2), a saber
Q1 = q1 cos θ + q2 sin θ P2 = p1 sin θ + p2 cos θ,
que una medición posterior de q2 o p2 nos permitirá predecir el valor de q1 o p1 respectivamente.
Se optó por no traducir los términos momentum y momenta (cantidad de movimiento o momento lineal, definido en la mecánica clásica como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad en un instante determinado). [N. del T.]
La imposibilidad obvia de llevar a cabo, con la técnica experimental a nuestra disposición, tales procedimientos de medición como se discuten aquí y en el siguiente caso claramente no afectan el argumento teórico, ya que los procedimientos en cuestión son esencialmente equivalentes a los procesos atómicos, como el efecto Compton, donde una aplicación correspondiente del teorema de conservación del momentum está bien establecida.
Como podrá verse, esta descripción, diferente de un factor trivial de normalización, corresponde exactamente a la transformación de las variables descritas en la nota anterior si (q1p1), (q2p2) representan las coordenadas posicionales y los componentes de momenta de las dos partículas y si θ = –π/4. También se puede notar que la función de onda dada por la fórmula (9) del artículo citado corresponde a la elección especial de P2 = 0 y el caso límite de dos rendijas infinitamente estrechas.
Sólo esta circunstancia, junto con la invariancia relativista de las relaciones de incertidumbre de la mecánica cuántica, asegura la compatibilidad entre la argumentación indica en este artículo y todas las exigencias de la teoría de la relatividad. Esta cuestión se tratará con mayor detalle en un documento en preparación, en que el autor en particular discutirá una paradoja muy interesante sugerida por Einstein sobre la aplicación de la teoría de la gravitación de las mediciones de energía, y cuya solución ofrece un ejemplo especialmente instructivo de la generalidad del argumento de complementariedad. En la misma ocasión una discusión más a fondo de las mediciones del espacio-tiempo en la teoría cuántica se dará con todos los desarrollos matemáticos y diagramas de arreglos experimentales, los cuales tuvieron que ser dejados fuera de este artículo, en el que el acento principal se pone en el aspecto dialéctico de la pregunta en cuestión.