(
Velocidad en el movimiento plano
Método de las proyecciones
Lenin Claudio*; Bryan García**; Iván Molina***; Johny Pizango****
*Escuela Politécnica Nacional, Facultad de Ingeniería Mecánica
Quito, Ecuador (Tel: 593-2-2507-144; e-mail:
[email protected])
** Escuela Politécnica Nacional, Facultad de Ingeniería Mecánica
Quito, Ecuador (Tel: 593-988557681; e-mail:
[email protected])
*** Escuela Politécnica Nacional, Facultad de Ingeniería Mecánica
Quito, Ecuador (Tel: 593-984848272; e-mail:
[email protected])
**** Escuela Politécnica Nacional, Facultad de Ingeniería Mecánica
Quito, Ecuador (Tel: 593-2-2507-144; e-mail:
[email protected])
Resumen: En el presente trabajo se expone el método de proyecciones.
Método que permite determinar las velocidades de los puntos dentro de
un cuerpo rígido y del mecanismo al que pertenece. Se analiza el
concepto del método. Seguido del planteamiento teórico, se utiliza el
método de proyecciones en la resolución de ejercicios, los mismos que
tendrán un cierto carácter didáctico. Para finalizar se presentan
ciertas conclusiones y consejos referentes al método de proyecciones.
Palabras clave: Método de proyecciones, velocidades, mecanismos,
concepto, ejercicios.
Abstract: In the present document it's exposed the projections
method. This method allows to determinate the velocities of the
points in a rigid body and in the mechanism which it concern. In this
document is analyzed the concept after that, is applied the method in
exercise with the object to ease the learning. At the end of this
document are present conclusions and idees references with the
projections method.
Keywords: the projections method, velocities, mechanism, concept,
exercise.
1. INTRODUCCION
Primero se comenzará definiendo que la velocidad desde el punto de vista de
la física se aprecia cómo una fuerza actúa sobre una masa, cuantificándose
dicho trabajo en el tiempo que tarda recorrer dicha masa un trecho
determinado.
Para el estudio determinaremos las velocidades que se generan en los
mecanismos utilizados en el estudio de la materia de teoría de máquinas
por lo cual debemos conocer los métodos para la determinación de
velocidades en los mecanismos, los cuales son cuatro:
1. Método de las velocidades giradas
2. Cinema de velocidades
3. Método de las velocidades relativas
4. Método de proyección o componente axial.
En el cual nos enfocaremos en el método de proyección o componente axial.
El método de proyección o componente axial se basa en la condición de un
sólido rígido, en el cual se proyecta las velocidades, por lo cual se
necesita conocer la velocidad de alguno de los eslabones que compone al
mecanismo (se necesita conocer la magnitud y dirección de la velocidad de
al menos un eslabón).
Las proyecciones de las velocidades se deben encontrar en la misma línea de
acción y con una velocidad constante.
Por consiguiente se debe conocer la dirección de la velocidad en el punto
que se va a obtener, en el cual se une los puntos (Del dato de velocidad
conocido y el que necesitamos calcular) y se proyectan las velocidades en
la línea que los une, llevando la proyección al otro punto dado en cual se
levanta una perpendicular, obteniendo la magnitud de la velocidad del punto
buscado.
2. MARCO TEÓRICO
El método de las proyecciones, es parte del estudio de análisis grafico de
velocidades. Previo al desarrollo de ordenadores, la utilización de métodos
gráficos era la manera de resolver todo tipo de problemas dinámicos, sin
embargo su uso no ha cesado debido a que producen una mayor facilidad en
la visualización del problema y facilita una comprobación rápida de los
resultados obtenidos por el ordenador. (Norton, 2009).
El método de proyecciones permite identificar la velocidad de cualquier
punto dentro de un eslabón perteneciente a un mecanismo. Para ello se basa
en la condición de sólido rígido, la que indica que en un sólido rígido no
puede existir velocidad relativa en la dirección de la línea que une a 2
puntos que se encuentren dentro del sólido como tal, pues estos no pueden
variar su posición con respecto al otro. (García, 2007).
El método grafico planteado necesita cierta información para poder
conseguir la rapidez de cualquier punto dentro del mecanismo. Se requiere
la información previa de una velocidad de entrada o velocidad conocida en
el mecanismo, además debe ser factible determinar la dirección de la
velocidad que se desea encontrar. (García, 2007)
El método consiste:
Sea el mecanismo representado en la figura 1. Determine la velocidad del
punto P, sabiendo que la velocidad del punto a es conocida.
Figura 1. Mecanismo que se desea analizar
Conocida una velocidad de un punto dentro de un eslabón se puede determinar
la velocidad del punto donde se conecta dicho eslabón con otro. Esto
mediante la ecuación:
Vb= Va + Vb/a
Siendo:
Vb = La velocidad absoluta del punto de conexión
Va = La velocidad absoluta conocida
Vb/a = La velocidad relativa del punto a con respecto al punto a.
Debido a la condición de cuerpo rígido la velocidad relativa (Va/b) es
perpendicular a la línea que una a los 2 puntos.
Para despejar esta Va/b se utiliza la ecuación:
Va/b = AB *ω
Donde:
ω = velocidad angular del eslabón.
AB= línea recta entre los puntos a y b.
Determinada la velocidad del punto de conexión b, se sabe que en la
dirección de la línea que une al punto de conexión b y c, la velocidad
proyectada de b en dicha dirección es la misma para c en la misma dirección
por la condición de cuerpo rígido. (Ver Figura 2). Esta velocidad
proyectada de c, será una componente de la velocidad absoluta. Si se conoce
la dirección de la velocidad absoluta de c (Vc), se puede determinar la
rapidez de c.
Figura 2. Mecanismo a analizar junto con las velocidades necesarias
Determinada la velocidad de c y b se puede proyectar estas sobre las
líneas cp y bp respectivamente. Estas 2 velocidades proyectadas serán las
componentes de la velocidad del punto P. Obteniendo finalmente la
velocidad deseada. ( Mecapedia, 2006)
3. METODOLOGÍA
Ejercicio de aplicación 1.
En el mecanismo de la figura 2 determinar la velocidad de B, dado la
velocidad de A.
Figura 3. Mecanismo 1 y representación de velocidades
Resolución.
Para la resolución de ejercicio de velocidades en el movimiento plano, es
necesario conocer y distinguir cada uno de los eslabones del mecanismo, así
como los pares cinemáticos que unes los eslabones entre sí.
Luego se debe determinar, previamente las dos condiciones necesarias,
para poder resolver por este método, la velocidad de VA es un dato, por
tanto se necesita la dirección de B, el cual puedes hallarse al trazar un
perpendicular al eslabón 4, ya que se tiene el centro de rotación en R.
Después se traza una línea entre A y B, llamada línea de proyección, se
proyecta la velocidad VA en AB, se transporta la proyección obtenida al
punto B, y finalmente se levanta una perpendicular, desde el extremo del
vector transportado, hacia la dirección del vector VB obteniéndose así, la
velocidad de B buscada.
Ejercicio de aplicación 2.
En el siguiente mecanismo (figura 4) se tiene la velocidad de A y dirección
de C, por lo que se pide hallar la velocidad de C.
Figura 4 . Mecanismo 2 y representación de velocidades
4. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Al comparar los resultados provistos en la metodología, notaremos que el
Método de las Proyecciones, es muy limitado, ya que este trabaja solo con
puntos que se encuentren en un mismo plano. Aunque también tiene sus
ventajas, como por ejemplo al tener tres vectores velocidad en el plano,
conoceremos todos los parámetros de estos (modulo, dirección, sentido), con
tan solo poseer el modulo y dirección de uno, y la dirección del otro.
Al comparar lo antes dicho con el grafico ## notamos que los datos
provistos por el ejercicio, son suficientes para poder resolverlo.
Vemos que al comparar este método con otros similares (Velocidades
ortogonales, Centros instantáneos de rotación, de la imagen), este posee
ciertas ventajas y desventajas. La utilización de este método dependerá, de
los datos que poseemos, y lo que estamos orientados a encontrar. Sin dunda
uno de los métodos más utilizados es el de Centros Instantáneos, ya que es
muy didáctico y fácilmente entendible. Sin embargo, al aplicar el método de
las proyecciones a escala, de manera que al graficarlo de manera adecuada,
el resultado obtenido en dicho gráfico, serán los deseados por el problema
planteado. Evitando así los tediosos cálculos que fácilmente pueden
ocasionar errores en el momento de aplicar las operaciones algebraicas.
El método es muy sencillo de aplicar pero puede causar confusión, con otros
métodos, es por eso que identificar los parámetros de trabajo es sumamente
importante a la hora de plantearnos el problema. Una complicación de este
método es que los eslabones de un mecanismo se encuentran conectados entre
sí, y al momento de realizar las proyecciones de las velocidades sobre las
líneas que unen los orígenes de dichas velocidades, están podrían causar
mucha confusión ya que se localizarían unas sobre otras, y estas
proyecciones no se distinguirían entre sí, es por eso que para ayudarnos en
el entendimiento y evitar confusión en el gráfico las proyecciones de cada
velocidad se las realizara con colores diferentes, los cuales identificaran
a cada velocidad. Si bien con este método el resultado se obtiene de una
manera directa del gráfico, es de criterio propio realizar un pequeño
análisis de estos resultados, y ver si los valores concuerdan y tiene
sentido, para la naturaleza del ejercicio y así tomar la respuesta como
aceptable. Los resultados que podríamos obtener de un ejercicio realizado
en una hoja de papel, podrían fácilmente ser superados con gran exactitud
por gráficos elaborados en programas (AutoCad, Inventor, etc), los cuales
nos darían una dimensión exacta de estos gráficos.
5. CONCLUSIONES
Este método gráfico para la determinación de velocidades, presenta pequeñas
errores con respecto a los métodos analíticos, ya que la velocidad
proyectada se transporta a otro punto, con la intsrumentación debida, q
puede ocacionar variaciones en la longitud.
El método de las proyecciones es un alternativa que puede facilitarse si se
tiene un software como autocad u otro paquete de dibujo, que ayude en
trazo de líneas de proyección , pérpendiculares, etc
Aunque el Método de los Centros Instantáneos es ampliamente utilizado para
resolver ejercicios de esta índole, el método de las Proyecciones es muy
fácil de utilizarlo cuando encontramos pocos eslabones en un mecanismo, y
sus resultados pueden ser fácilmente obtenidos cuando se ha realizado los
gráficos a escala y no existe confusión en los mismos.
Al conocer una velocidad y la dirección del siguiente punto, fácilmente
obtendremos la velocidad de este último, y así sucesivamente lograríamos
encontrar las velocidades de cada eslabón presente en el mecanismo, ya que
fácilmente se puede asumir la dirección del siguiente punto del eslabón al
saber cómo se mueve el anterior.
REFERENCIAS
Robert, Norton (2009). Diseño de máquinas. Editorial McGraw-Hill, México.
Prada, J.C.G. (2014). Problemas resueltos de teoría de máquinas y
mecanismos. Ediciones Paraninfo, SA.
S. Carrasco, Mecanismo Velocidad. Recuperado de:
http://aulavirtual.ing.uc.edu.ve/file.php/422/2.2._Velocidad_Proy_Orto.pdf
Mecapedia (2006, junio). Método de las proyecciones. Recuperado de:
http://www.mecapedia.uji.es/metodo_de_ las_proyecciones.htm
