Propiedades ópticas de la materia

LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA Facultad Experimental Ciencias Departamento de Física

Propiedades ópticas de la materia

José R. Fermin /luz.academia.edu/JoseFermin 2015

Definiciones básicas Materia: arreglo de dipolos eléctricos y/o magnéticos

 1 P= V

 p ∑

polarización

 1 M= V

 m ∑

magnetización

Definiciones básicas Radiación: cantidad de energía que oscila en el espacio y el tiempo. Está constituida por la superposición de campos eléctricos y magnéticos oscilantes, que se propagan en una dirección bien definida.

K=2π /λ

Interacción radiación-materia

Radiación + materia → transformación de energía y materia ↓ transporte de cargas vibraciones dipolares eléctricas rotaciones dipolares eléctricas rotaciones dipolares magnéticas

Procesos macroscópicos

R

T n, β Luz transmitida

E0

Luz refractada

A R+T+A=1

La radiación está compuesta por paquetes de energía, llamados fotónes. La corriente fotoelectrónica es debida a la interacción de un fotón de energía E= hν, con un los átomos del material. Como consecuencia, se produce un electrón con energía cinética K= hν - W

Principales efectos

Absorción de fotónes

Dependiendo del rango de energía del fotón, la interacción es denominada ionizante o no-ionizante

Interacción radiación-materia Relaciones constitutivas  D = εE  D = E + 4π   P = χe E   B = µH     B = H + 4π M     M = χM H 

  P  

⇒

⇒

ε = 1 + 4π χ e

µ = 1 + 4π χ M

Descripción Macroscópica

Ecuaciones de Maxwell

Ecuación del campo EM

∇ ⋅ D = 4πρ ∇⋅B = 0 1 ∂B =0 c ∂t 1 ∂ D 4π = J ∇× H − c ∂t c ∇× E +

Si ∇⋅E=0 σ=0

D =εE B = µH

∇ E− 2

µε ∂ 2 c ∂t 2

2

E=0

Ecuación de ondas!!!

Solución de la ecuación del campo EM *

∇ 2 E − ∇(∇ ⋅ E ) =

µε ∂ 2 c ∂t 2

2

E

  i ( k ⋅r −ωt ) E (r , t ) = (E0 x xˆ + E0 y yˆ + E0 z zˆ )e

* En general (µ, ε) son tensores de 2do orden ** En teoría EM se conviene que ∇ ≡ K

Ecuación de un medio disipativo-dispersivo

 D =εE

∇ • D = 4πρ (r , t ) E 4πσµ ∂ 4π ∇ρ ψ =  ψ= ∇ ψ − 2 2ψ − 2 ε c ∂t c ∂t  H = ε / µ (kˆ × E ) 2

µε ∂ 2

n = µε

β=

4πσµ c2

indice de refracción coeficiente de disipación

Ejemplo 1: densidad de carga uniforme (ρ =const.) ∇ψ − 2

µε ∂ 2 c 2 ∂t

ψ− 2

4πσµ ∂ ψ =0 2 c ∂t

1D: ψ(x,t)=R(x)T(t) d2 R − K 2R = 0 dx

1 d2 4πσµ 1 d µε 1 d 2 R − T − T =0 2 2 2 2 R dx c T dt c T dt

c2 2 c2 d d2 T + 2 β T − 2 K T =0 n n dt dt 2

 exp(−Ωt ) ψ ( x, t ) = ψ 0 exp(iKx) cos(Ωt )  Ω=

Ec. de Helmholtz

c c β −K2 n n

c , β > K2 n c , β < K2 n

DHO

* Ejemplo

2: densidad de carga genérica (ρ(x))

n2 ∂ 2 ∂ 4π ∇ρ ψ= ∇ ψ − 2 2ψ −β c ∂t ε ∂t 2

1D: ψ(x,t)=R(x)T(t) d2 R − K ( x) 2 R = 0 dx

1 d2 4πσµ 1 d 4π µε 1 d 2 − − = ∇ρ ( x ) R T T ε R dx 2 c 2 T dt 2 c 2 T dt

c2 2 c2 d d2 T + 2 β T − 2 K T =0 n n dt dt 2

 exp(−Ωt ) ψ ( x, t ) = ψ 0G ( K ( x)) cos(Ωt ) 

c , β > K2 n c , β < K2 n

4π

c c β −K2 n n

K ( x) = K +

ε

∇ρ

Ec. de Helmholtz/coef. Var.

Ω=

DHO

Relaciones energéticas Energía del campo EM:

    1 (E ⋅ D + B ⋅ H )dV W= ∫ 8π 1     (E ⋅ D + B ⋅ H ) = 1 ε E 2 + µ H 2 (Energía/vol) w= 8π 8π

(

)

V

K

Relaciones energéticas Flujo de energía (vector de Poynting):

 c   (E × H ) S= 4π

(energía / area seg )

A

S

(Watt / area)

Relaciones energéticas Ley de conservación para el campo EM:

 ∂ w + ∇ ⋅ S = trabajo realizado ∂t Si existen cargas y corrientes volumétricas:

   ∂ w + ∇ ⋅ S = −J ⋅ E ∂t   ∂ J =0 ⇒ w+∇⋅S = 0 ∂t

Ecuación de continuidad para la energía

Flujo de energía Energía acumulada

Respuesta EM: permitividad/permeabilidad ε (ω ) = ε 1 (ω ) + iε 2 (ω ) µ (ω ) = µ1 (ω ) + iµ 2 (ω ) n 2 − κ 2 = ε1µ1 − ε 2 µ 2

índice de refracción complejo

~ = n + iκ = ε (ω ) µ (ω ) N n: índice de refracción κ: coeficiente de extinción α = 4π k/λ: coeficiente de absorción

2nκ = −ε1µ 2 + ε 2 µ1

ε 1 (ω ) = 1 +

2

π

∞

ω ′ε 2 (ω ′) dω ′ 2 2 ω′ − ω 0

P∫

∞

ε 1 (ω ′) − 1 P∫ 2 dω ′ ε 2 (ω ) = − 2 π 0 ω′ − ω 2ω

Relaciones de Kramers-Kronig

Origen físico de ε, µ

Propiedades tensoriales de la materia

LY

LZ

LX

LX = LY= LZ isotrópico

LX ≠ LY≠ LZ anisotrópico

Propiedades tensoriales de la materia Tensor de permeabilidad   χ xx Mx       M y  =  χ yx    M  z  χ  zx 

  µ xx  Bx       B y  =  µ yx     Bz   µ  zx 

χ xy χ yy χ zy

µ xy µ yy µ zy

  H x    χ yz  H y   H  χ zz  z  

χ xz 

  H x    µ yz  H y   H  µ zz  z  

µ xz 

µ = 1+ 4π χ M

Propiedades tensoriales de la materia Tensor dieléctrico

ε = 1+ 4π χ e

Propiedades tensoriales de la materia Tensor de conductividad óptica   σ xx  Jx       J y  =  σ yx     J z  σ  zx 

n = µε

β=

4πσµ c2

σ xy σ yy σ zy

  E x    σ yz  E y   E  σ zz  z  

σ xz 

¡¡ también son tensores!!

Propiedades tensoriales y simetria cristalina

Propiedades tensoriales y simetria cristalina

Propiedades tensoriales y simetria cristalina

Ejemplo: Tensor de conductividad óptica cúbico   i ( k ⋅r −ωt ) E (r , t ) = (E0 x xˆ + E0 y yˆ + E0 z zˆ )e

  σ xx    σ yx   σ zx 

SC, BCC, FCC

La conductividad es simétrica en un sólido cúbico

σ xy σ yy σ zy

(



σ xz 

   σ xx  σ yz  ⇒  0  0 σ zz   

0

σ xx 0

 0   0  σ xx  

)

  i ( k ⋅r −ωt ) J = σ xx E0 x xˆ + σ xx E0 y yˆ + σ xx E0 z zˆ e   i ( k ⋅r −ωt ) J = σ 0 E0 x xˆ + E0 y yˆ + E0 z zˆ e   i ( k⋅r −ωt ) J = σ 0E e

(

n0 = µ0ε 0

)

β=

4πσ 0 µ 0 c2

Ejemplo: Tensor de conductividad óptica tetragonal   i ( k ⋅r −ωt ) E (r , t ) = (E0 x xˆ + E0 y yˆ + E0 z zˆ )e

  σ xx    σ yx   σ zx 

Tetragonal- S La conductividad en un sólido tetragonal depende del plano cristalino

nxx = n yy = µ 0ε 0

β xx = β yy =

4πσ 0 µ 0 c2

nzz = µ1ε1

β zz =

4πσ 1µ1 c2

σ xy σ yy σ zy

( ( [ (



σ xz 

   σ xx  σ yz  ⇒  0  0 σ zz   

 0   0  σ zz  

0

σ xx 0

)

  i ( k ⋅r −ωt ) J = σ xx E0 x xˆ + σ xx E0 y yˆ + σ zz E0 z zˆ e   i ( k ⋅r −ωt ) J = σ 0 E0 x xˆ + σ 0 E0 y yˆ + σ 1E0 z zˆ e   i ( k ⋅r −ωt ) J = σ 0 E0 x xˆ + E0 y yˆ + σ 1E0 z zˆ e

)

]

)

Propagación de ondas EM en la materia

Los fenómenos ópticos en la materia pueden ser descritos macroscópicamente, a través de las Ecuaciones de Maxwell. En un material no conductor (σ=0), tenemos:   (µ • ε ) ∂ 2 E ∇ E − ∇(∇ ⋅ E ) = 2 2 c ∂t

(1)

2

(

)

  i ( k ⋅r −ωt ) E (r , t ) = E0 x xˆ + E0 y yˆ + E0 z zˆ e  k = (k x , k y , k z ) : autovalores de la matriz de propagación

  ε xx    ε =  ε yx   ε zx 

ε xy ε yy ε zy



ε xz 

 ε yz   ε zz  

  µ xx    µ =  µ yx   µ zx 

µ xy µ yy µ zy

(2)



µ xz 

 µ yz   µ zz  

(3)

Introduciendo (2)-(3) en la Ecuación (1), obtenemos el sistema de ecuaciones DP:  ∂2 ∂ 2 Ex ∂ 2 Ez ∂2   2 + 2 Ex − − α1Ex − α 2 Ey − α 3 Ez = 0 −   ∂y ∂x∂y ∂x∂z ∂z    ∂2 ∂ 2 Ex ∂ 2 Ez ∂2   2 + 2 E y − − β1Ex − β 2 Ey − β 3 Ez = 0 −   ∂x ∂y∂x ∂y∂z ∂z  

(4)

2  ∂2 ∂ 2 Ex ∂ E y ∂2   2 + 2 Ez − − − γ 1Ex − γ 2 Ey − γ 3 Ez = 0   ∂x ∂z∂x ∂z∂y ∂y  

donde: α1 =

α2 = α3 =

µ xx c

2

µ xx c

2

µ xx c

2

ε xx +

ε xy + ε xz +

µ xy c

2

µ xy c

2

µ xy c

2

ε yx +

ε yy + ε yz +

µ xz c

2

µ xz c

2

µ xz c

2

ε zx

β1 =

ε zy

β2 =

ε zz

β3 =

µ yx c

2

µ yx c

2

µ yx c2

ε xx +

ε xy +

ε xz +

µ yy c

2

µ yy c

2

µ yy c2

ε yx +

ε yy +

ε yz +

µ yz c

2

µ yz c

2

µ yz c2

ε zx

γ1 =

ε zy

γ2 =

ε zz

γ3 =

µ zx c2

µ zx c

2

µ zx c2

ε xx + ε xy +

ε xz +

µ zy c2

µ zy c

2

µ zy c2

ε yx + ε yy +

ε yz +

µ zz c2

µ zz c2

µ zz c2

ε zx ε zy

ε zz

Calculando las correspondientes derivadas del campo eléctrico, se obtiene el sistema algebraico: α1′Eox + α 2′ Eoy + α 3′ Eoz = 0 β1′Eox + β 2′ Eoy + β 3′ Eoz = 0 γ 1′Eox + γ 2′ Eoy + γ 3′ Eoz = 0

donde: α1′ = α1ω 2 − k y2 − k z2

α 2′ = α 2ω 2 + k x k y

α 3′ = α 3ω 2 + k x k z

β1′ = β1ω 2 + k y k x

β 2′ = β 2ω 2 − k x2 − k z2

β 3′ = β 3ω 2 + k y k z

γ 1′ = γ 1ω 2 + k z k x

γ 2′ = γ 2ω 2 + k z k y

γ 3′ = γ 3ω 2 − k x2 − k y2

(5)

Soluciones no triviales de (5) se obtienen cuando el determinante de la matriz

[ ]

2 det K

 α1′  = det  β1′ γ ′  1

α 2′ β 2′ γ 2′

α 3′   β 3′  = 0 γ 3′ 

(6)

En un material cúbico isotrópico no magnético: ε0   ε = 0 0 

0

ε0 0

 µ0  µ =  0 0 

0   0  ε 0 

0

µ0 0

0   0  µ 0 

(7)

la matriz de polarización [K] se representa como  ε 0 µ 0ω 2 − c 2 (k y2 + k z2 ) c 2 k x k y c 2 k x k z   2  2 2 2 2 2 2  K = c k y k x ε 0 µ 0 µ 0ω − c (k x + k z ) c k ykz    2 2 2 2   c2kz kx − ( + ) k k ε µ ω c k k z y x y 0 0  

[ ]

(8)

Si el vector de propagación está en la dirección Z,  ε 0 µ 0ω 2 − c 2 k z2 0   K 2 = 0 ε 0 µ 0ω 2 − c 2 k z2  0 0 

[ ]

   0  ε 0 µ 0ω 2  0

(9)

Matriz de propagación [K]   ε 0 µ 0ω 2 − c 2 k z2 0 0   2 2 2  = (ε 0 µ 0ω 2 − c 2 k z2 )(ε 0 µ 0ω 2 − c 2 k z2 )ε 0 µ 0ω 2 = 0 det 0 ε 0 µ 0ω − c k z 0   2  0 0 ε µ ω 0 0   ⇒ kz = n

ω c

;

n = ε 0 µ0

    n   E (r , t ) = E0 exp i z − t ω     c

En un material conductor (σ≠0), la ecuación de la onda EM es:   (µ • ε ) ∂ 2 4π   ∂ E ∇ E − ∇(∇ ⋅ E ) = (µ • σ ) E + 2 2 2 ∂t c c ∂t

(9)

2

(

)

  i ( k ⋅r −ωt ) E (r , t ) = E0 x xˆ + E0 y yˆ + E0 z zˆ e  k = (k x , k y , k z )

 ε xx    ε = ε yx   ε zx 

ε xy ε yy ε zy

ε xz   ε yz   ε zz 

 µ xx    µ = µ yx   µ zx 

µ xy µ yy µ zy

µ xz   µ yz   µ zz 

(10)  σ xx    σ = σ yx   σ zx 

σ xy σ yy σ zy

σ xz   σ yz   σ zz 

(11)

Introduciendo (10)-(11) en la Ecuación (9), obtenemos el sistema de ecuaciones DP:  ∂2 ∂ 2 Ex ∂ 2 Ez ∂2   2 + 2 Ex − − α1Ex − α 2 Ey − α 3 Ez − Ω1E x − Ω 2 E y − Ω3 E z = 0 −   ∂y x y x z ∂ ∂ ∂ ∂ z ∂    ∂2 ∂ 2 Ex ∂ 2 Ez ∂2   2 + 2 E y − − β1Ex − β 2 Ey − β 3 Ez − ∆1E x − ∆ 2 E y − ∆ 3 E z = 0 −   ∂x y x y z ∂ ∂ ∂ ∂ z ∂  

(12)

2  ∂2 ∂ 2 Ex ∂ E y ∂2   2 + 2 Ez − − − γ 1Ex − γ 2 Ey − γ 3 Ez − ϑ1E x − ϑ2 E y − ϑ3 E z = 0   ∂x ∂ ∂ ∂ ∂ z x z y y ∂  

donde: α1 =

α2 = α3 =

µ xx c

2

µ xx c2

µ xx c2

ε xx +

ε xy + ε xz +

µ xy c

2

µ xy c2

µ xy c2

ε yx +

ε yy + ε yz +

µ xz c

2

µ xz c2

µ xz c2

ε zx

β1 =

ε zy

β2 =

ε zz

β3 =

µ yx c

2

µ yx c

2

µ yx c

2

ε xx +

ε xy +

ε xz +

µ yy c

2

µ yy c

2

µ yy c

2

µ yz

ε yx +

ε yy +

ε yz +

c

2

µ yz c

2

µ yz c

2

ε zx

γ1 =

ε zy

γ2 =

ε zz

γ3 =

µ zx c

2

µ zx c2

µ zx c

2

ε xx + ε xy +

ε xz +

µ zy c

2

µ zy c2

µ zy c

2

ε yx + ε yy +

ε yz +

µ zz c2

µ zz c2

µ zz c2

ε zx ε zy

ε zz

Ω1 =

4π 4π 4π µ xxσ xx + 2 µ xyσ yx + 2 µ xzσ zx 2 c c c

∆1 =

4π 4π 4π µ yxσ xx + 2 µ yyσ yx + 2 µ yzσ zx 2 c c c

ϑ1 =

Ω2 =

4π 4π 4π µ xxσ xy + 2 µ xxσ yy + 2 µ xxσ zy 2 c c c

∆2 =

4π 4π 4π µ yxσ xy + 2 µ yyσ yy + 2 µ yzσ zy 2 c c c

ϑ2 =

4π 4π 4π µ zxσ xy + 2 µ zyσ yy + 2 µ zzσ zy 2 c c c

Ω3 =

4π 4π 4π µ xxσ xz + 2 µ xxσ yz + 2 µ xxσ zz 2 c c c

∆3 =

4π 4π 4π µ yxσ xz + 2 µ yyσ yz + 2 µ yzσ zz 2 c c c

ϑ3 =

4π 4π 4π µ zxσ xz + 2 µ zyσ yz + 2 µ zzσ zz 2 c c c

4π 4π 4π µ zxσ xx + 2 µ zyσ yx + 2 µ zzσ zx 2 c c c

Resolviendo (12), encontramos el sistema (α1′ + iΩ1ω ) Eox + (α 2′ + iΩ 2ω ) Eoy + (α 3′ + iΩ 3ω ) Eoz = 0 ( β1′ + i∆1ω ) Eox + ( β 2′ + i∆ 2ω ) Eoy + ( β 3′ + i∆ 3ω ) Eoz = 0 (γ 1′ + iϑ1ω ) Eox + (γ 2′ + iϑ2ω ) Eoy + (γ 3′ + +iϑ3ω ) Eoz = 0

(13)

cuya matriz de propagación tiene la forma general,

[ ] 2 K

 α1′ + iΩ1ω  =  β1′ + i∆1ω   γ 1′ + iϑ1ω

α 2′ + iΩ 2ω β 2′ + i∆ 2 ω γ 2′ + iϑ2ω

α 3′ + iΩ3ω   β 3′ + i∆ 3ω   γ 3′ + iϑ3ω 

En el caso de un material cúbico isotrópico, magnético, con conductividad σ 0  [σ ] =  0 0 

0

σ0 0

0   0  σ 0 

Con matriz de propagación  ε 0 µ 0ω 2 − c 2 (k y2 + k z2 ) + iΩ1ω c 2 k x k y  c2kxkz  2  2 2 2 2 2 2  K =  c k ykx ε 0 µ 0ω − c (k x + k z ) + i∆ 2ω c k y k z   2 2 2 2 2  c kzkx kzk y ε 0 µ 0ω − c (k x + k y ) + iϑ3ω  

[ ]

Si el vector de propagación está en la dirección Z,  ε 0 µ 0ω 2 − c 2 (k y2 + k z2 ) + iΩ1ω 0  0   2 2 2 2 2  K = 0 ε 0 µ 0ω − c (k x + k z ) + i∆ 2ω 0   2 2 2 2 0 0 ε 0 µ 0ω − c (k x + k y ) + iϑ3ω  

[ ]

Las soluciones no triviales son dadas por:   ε 0 µ 0ω 2 − c 2 k z2 + iΩ1ω 0 0   2 2 2  = (ε 0 µ 0ω 2 − c 2 k z2 + iΩ1ω )(ε 0 µ 0ω 2 − c 2 k z2 + i∆ 2ω )(ε 0 µ 0ω 2 + iϑ3ω ) = 0  det 0 ε 0 µ 0ω − c k z + i∆ 2ω 0   2  0 0 i ε µ ω ϑ ω + 0 0 3   ⇒k =k =n 2 z1

2 z2

⇒

2

ω2 c

2

+i

4πσ 0 ω c2

 n      4π E (r , t ) = E0 exp i z 1 + i 2 σ 0 − t ω  nω   c  

Casos de interés: 1) Conductividad débil: alta frecuencia (VIS-UV)

⇒

4π

ω

σ 0