Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra
Recinto Santo Tomás de Aquino
Facultad de Ciencias Sociales y Administrativas
Departamento de Administración de Empresas
MG-617-T Modelos para la Toma de Decisiones
en honor a Carlos Dreyfus
PROGRAMA GENERAL
Ing. Rubén Darío Estrella Sánchez, MBA
Cavaliere dell'ordine al Merito della Repubblica Italiana
Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro
[email protected] ;
[email protected] ;
[email protected]
www.atalayadecristo.org
SEPTIEMBRE, 2008
Modelos de Programación Lineal.
Método Gráfico.
Método Simplex.
Método PERT.
Diagrama de Gantt.
Proyecto Final – Modelos de Programación Lineal.
Bibliografía de Programación Lineal.
ANDERSON David, SWEENEY Dennis and WILLIAMS Thomas. Métodos Cuantitativos
para los Negocios. International Thomson Editores: Novena Edición. 2004 -
Séptima Edición. 1999.
ARREOLA RISA Jesús S. And ARREOLA RISA Antonio. Programación Lineal – Una
introducción a la toma de decisiones cuantitativa. International Thomson
Editores: Primera Edición. 2003.
HILLIER Frederick S., HILLIER Mark S. Métodos Cuantitativos para
Administración. McGraw-Hill: Tercera Edición, 2008.
HAEUSLLER Ernest F. And PAUL Richard S. Matemáticas para Administración y
Economía. Pearson Educación – Prentice Hall: Décima edición 2003.
BONINI Charles, HASUMAN Warren and BIERMAN Harold. Análisis Cuantitativo
para Negocios. McGraw-Hill: Novena Edición, 2000.
BIERMAN Harold, BONINI Charles and HASUMAN Warren. Análisis Cuantitativo
para la Toma de Decisiones. McGraw-Hill: 1994.
LORA Ricardo and GRULLON Ramón. METODOS CUANTITATIVOS EN LA TOMA DE
DECISIONES. Departamento Editorial de la Pontificia Universidad Católica
Madre y Maestra. Santiago de los Caballeros, República Dominicana: Tercera
Edición, 1994.
HILLIER Frederick and LIEBERMAN Gerald. Introducción a la Investigación de
Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edición. 1997.
CHASE Richard and AQUILANO Nicholas. Dirección y Administración de la
Producción y de las Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edición. 1995.
EPPEN G.D., GOULD F.J., SCHMIDT C.D., MOORE Jeffrey and WEATHERFORD Larry.
Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. Pearson
Educación – Prentice Hall: Quinta edición 2000.
Modelos de Programación Lineal.
La Programación Lineal es una de la más vieja y aún una de las más
importantes herramientas de la investigación de operaciones, se utiliza
cuando un problema se puede describir utilizando ecuaciones y desigualdades
que son todas lineales.
La Programación Lineal (PL) es una técnica matemática de optimización. Por
técnica de optimización se entiende un método que trata de maximizar o
minimizar un objetivo; por ejemplo, maximizar las utilidades o minimizar
los costos. La programación lineal es un subconjunto de un área más
extensa de procedimientos de optimización matemática llamada Programación
Matemática.
La Programación Lineal trata la planeación de las actividades para obtener
un resultado optimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta
especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de
solución.
La Programación Lineal no da espacio para que haya incertidumbre en ninguna
de las relaciones; no incluye ninguna probabilidad o variable aleatoria.
Por consiguiente, el problema de maximizar la función objetivo, sujeta a
las distintas restricciones, es conceptualmente simple. Cuando hay sólo
unas pocas variables, el sentido común y algo de aritmética pueden dar una
solución, y es que así se han resuelto esos problemas por generaciones.
Sin embargo, como es frecuente, la intuición es poco valida cuando el
problema es más complejo; ya que cuando el número de variables de decisión
aumenta de tres o cuatro a cientos de miles, el problema desafía los
procedimientos empíricos. La programación lineal ha hecho posible manejar
de una manera ordenada, problemas con grandes cantidades de restricciones.
Esta técnica tiene excepcional poder y aplicación general. Es
aplicable a una gran variedad de problemas organizacionales de los negocios
modernos y puede manejarse como una rutina con la ayuda de los computadores
actuales. Es una de las técnicas cuantitativas que le ha dado a la
gerencia elementos eficaces para abordar un conjunto de problemas que
admitían sólo soluciones parciales hasta hace pocos años.
En todo problema de programación lineal hay que tomar ciertas decisiones.
Estas se representan con variables de decisión xj que se utilizan en el
modelo de programación lineal. La estructura básica de un problema de este
tipo es maximizar o minimizar la función objetivo, satisfaciendo al mismo
tiempo un grupo de condiciones restrictivas o restricciones (que limitan el
grado en que se puede perseguir algún objetivo).
La función objetivo.
En un problema de programación lineal, la función por maximizar o
minimizar se llama función objetivo. Aunque por lo regular existe un
numero infinito de soluciones para el sistema de restricciones (llamadas
soluciones factibles o puntos factibles), la meta es encontrar una que sea
una solución óptima (esto es, una que dé el valor máximo o mínimo de la
función objetivo).
Restricciones estructurales y restricciones de no negatividad.
Las restricciones son limitaciones impuestas al grupo de decisiones
permisibles. Algunos ejemplos específicos de tales restricciones son:
Un administrador de cartera tiene determinada cantidad de capital a su
disposición. Las decisiones están limitadas por la cantidad de capital
disponible y por las regulaciones gubernamentales.
Las decisiones del administrador de una planta están limitadas por la
capacidad de dicha planta y por la disponibilidad de recursos.
Los planes de una aerolínea para llevar a cabo la asignación del personal y
los vuelos están restringidos por las necesidades de mantenimiento de los
aviones y por la cantidad de empleados disponibles.
El Modelo de programación lineal se ocupa de maximizar o minimizar
una función objetivo lineal sujeta a dos tipos de restricciones:
Restricciones estructurales.
Restricciones de no negatividad.
Las restricciones estructurales reflejan factores como la limitación de
recursos y otras situaciones que impone la situación del problema.
Las restricciones de no negatividad garantizan que ninguna variable de
decisión sea negativa.
El Método Gráfico
Este método se fundamenta en la versión gráfica que presentemos de
todas las restricciones planteadas; las cuales se superpondrán una sobre
otra, hasta llegar a limitar un área, denominada área factible.
El procedimiento más funcional para la aplicación de este método es
introducir una pequeña modificación en las restricciones, las cuales
generalmente están planteadas como inecuaciones, transformándolas en
ecuaciones.
Ya convertidas las restricciones en ecuaciones para su grafica
aplicamos el método de los interceptos consistente en determinar los puntos
donde la recta intercepta los ejes (X e Y).
Graficada la recta se sombrea la parte superior o inferior de esta
dependiendo del tipo de inecuación.
Si la restricción tiene el signo ( se sombrea a la derecha y por
encima de la línea, pero si el signo es ( se subraya a la izquierda por
debajo del gráfico de la línea recta. La región que satisface de manera
simultanea las restricciones ya sombreada se llama área o región factible,
donde cada punto en esta región representa una solución factible. Aunque
existe un numero infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una
que maximice o minimice la función objetivo.
La condición de no negatividad hace que el grafico de la restricción
X1, X2 ( 0, sea todo en el primer cuadrante.
Caso I.
Un fabricante esta tratando de decidir sobre las cantidades de producción
para dos artículos x1 y x2. Se dispone de 96 unidades de material y 72
horas de mano de obra. Cada producto x1 requiere 12 unidades de
materiales y 6 horas de obra al máximo. Mientras que el producto x2 usaría
8 unidades de material y 12 horas de mano de obra. El margen de beneficio
es el mismo para ambos artículos US$5. El fabricante prometió construir
por lo menos dos artículos del producto x1 Determinar la cantidad a
producir y vender de cada artículo que garanticen mayores beneficios.
Función objetivo: Z = 5x1 + 5x2
Restricciones x1 y x2 ( 0 (condición de no negatividad)
12x1 + 8x2 ( 96
6x1 + 12x2 ( 72
x1 ( 2
Maximice: Z = 5x1 + 5x2
Convertimos las restricciones en ecuaciones.
12x1 + 8x2 = 96
6x1 + 12x2 = 72
x1 = 2
Utilizamos el método del intercepto determinamos los puntos que de las
respectivas líneas rectas interceptan los ejes.
Para 12x1 + 8x2 = 96
a) Si x2 = 0 implica 12x1 + 8(0) = 96
12x1 = 96
x1 = 96/12
x1 = 8
(8,0)
b) Si x1= 0 implica 12(0) + 8x2 = 96
8x2 = 96
x2 = 96/8
x2 = 12
(0,12)
Para 6x1 + 12x2 = 72
a) Si x2 = 0 implica 6x1 + 12(0) = 72
6x1 = 72
x1 = 72/6
x1 = 12
(12,0)
b) Si x1= 0 implica 6(0) + 12x2 = 72
12x2 = 72
x2 = 72/12
x2 = 6
(0,6)
Para x2 = 2
(2,0)
Graficamos.
Si la restricción tiene el signo ( se sombrea a la derecha y por
encima de la línea, pero si el signo es ( se subraya a la izquierda por
debajo del gráfico de la línea recta. La región que satisface de manera
simultanea las restricciones ya sombreada se llama área o región factible,
donde cada punto en esta región representa una solución factible. Aunque
existe un numero infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una
que maximice o minimice la función objetivo.
Para 12x1 + 8x2 = 96
(8,0)
(0,12)
Para 6x1 + 12x2 = 72
(12,0)
(0,6)
Para x2 = 2
(2,0)
Esta área factible tiene los siguientes vértices (8,0), (6,3), (2,0) y
(2,5). Es preciso aclarar que cualquier punto que caiga dentro del área
factible garantiza beneficios, pero son los puntos extremos o vértices de
la figura lo que garantizarían máximos beneficios.
Maximice: Z = 5x1 + 5x2
En el punto (8,0) implica Z = 5(8) + 5(0) = $40
En el punto (6,3) implica Z = 5(6) + 5(3) = $45
En el punto (2,0) implica Z = 5(2) + 5(0) = $10
En el punto (2,5) implica Z = 5(2) + 5(5) = $35
El mayor valor es $45 lo que implica que habrá que vender 6 unidades del
producto x1 y 3 producto x2. Si pretendemos obtener los mayores
beneficios.
Caso II.
Un comprador está tratando de seleccionar la combinación más barata de dos
alimentos, que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas.
Los requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 unidades de vitaminas W,
50 unidades de vitamina X y 49 de unidades vitaminas Y, cada onza de
alimento A proporciona 4 unidades de vitamina W, 10 unidades de vitamina X
y unidades de vitamina Y, cada onza de alimento B proporciona 10 unidades
de W, 5 unidades de X y 7 unidades de unidades Y. El alimento A cuesta 5
centavos/onza y el alimento B 8 centavos/onza.
" " " "Requerimien"
" " " "to "
" "Alimento"Alimento"Vitamínico "
" "A "B "Mín. "
"Vitamina W "4unids/o"10unids/"40 "
" "nza "onza " "
"Vitamina X "10unids/"5unids/o"50 "
" "onza "nza " "
"Vitamina Y "7unids/o"7unids/o"49 "
" "nza "nza " "
"Costo "5cents/o"8cents/o" "
" "nza "nza " "
Determinar la combinación que disminuirá los costos:
Función Objetivo: Minimizar C = 5A + 8B
Restricciones:
A, B ( 0
4A + 10B ( 40
10A + 5B ( 50
7A + 7B ( 49
Convertimos las restricciones en ecuaciones.
4A + 10B = 40
10A + 5B = 50
7A + 7B = 49
Utilizamos el método del intercepto determinamos los puntos que de las
respectivas líneas rectas interceptan los ejes.
Para 4A + 10B = 40
a) Si B = 0 implica 4A + 10(0) = 40
4A = 40
A = 40/4
A = 10
(10,0)
b) Si A = 0 implica 4(0) + 10B = 40
10B = 40
B = 40/10
B = 4
(0,4)
Para 10A + 5B = 50
a) Si B = 0 implica 10A + 5(0) = 50
10A = 50
A = 50/10
A = 5
(5,0)
b) Si A = 0 implica 10(0) + 5B = 50
5B = 50
B = 50/5
B = 10
(0,10)
Para 7A + 7B = 49
a) Si B = 0 implica 7A + 7(0) = 49
7A = 49
A = 49/7
A = 7
(7,0)
b) Si A = 0 implica 7(0) + 7B = 49
7B = 49
B = 49/7
B = 7
(0,7)
Graficamos.
Si la restricción tiene el signo ( se sombrea a la derecha y por
encima de la línea, pero si el signo es ( se subraya a la izquierda por
debajo del gráfico de la línea recta. La región que satisface de manera
simultanea las restricciones ya sombreada se llama área o región factible,
donde cada punto en esta región representa una solución factible. Aunque
existe un numero infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una
que maximice o minimice la función objetivo.
Para 4A + 10B = 40
(10,0)
(0,4)
Para 10A + 5B = 50
(5,0)
(0,10)
Para 7A + 7B = 49
(7,0)
(0,7)
Minimizar C = 5A + 8B
a) En el punto (10,0) implica C = 5(10) + 8(0) = $50
b) En el punto (4.2,2.5) implica C = 5(4.2) + 8(2.5) = $41
a) En el punto (2.2,5) implica C = 5(2.2) + 8(5) = $51
a) En el punto (0,10) implica C = 5(0) + 8(10) = $80
El menor costo a que se podría comprar es a $41, pero esto implicaría 4.2
onzas del producto A y 2.5 onzas del producto B y se mantendría el nivel
vitamínico.
Caso III.
Una empresa fabrica dos productos, los cuales deben procesarse en los
departamentos 1 y 2. En la tabla se resumen las necesidades de horas de
trabajo por unidad de cada producto en uno y otro departamento. También se
incluyen las capacidades de horas de trabajo semanales en ambos
departamento y los márgenes respectivos de utilidad que se obtienen con los
dos productos. El problema consiste en determinar el número de unidades
que hay que fabricar de cada producto, con el objeto de maximizar la
aportación total a los costos fijos y a las utilidades.
" " " "Capacidad "
" " " "de "
" "Producto"Producto"Trabajo "
" "A "B "semanal "
"Departamento"3h/unida"3h/unida"120h "
"1 "d "d " "
"Departamento"4h/unida"6h/unida"260h "
"2 "d "d " "
"Margen de "$5/unida"$6/unida" "
"utilidad "d "d " "
Si se supone que x1 y x2 son el número de unidades fabricadas y vendidas,
respectivamente, de los productos A y B, entonces puede calcularse la
aportación a las utilidades totales sumando las contribuciones de ambos
productos. La que hace cada uno se obtiene al multiplicar el margen de
utilidad por unidad por el número de unidades producidas y vendidas. Si z
se define como la aportación a los costos y utilidades totales, se tendrá:
Z = 5x1 + 6x2
Las restricciones vienen dada de la siguiente forma:
3x1 + 2x2 ( 120 departamento 1
4x1 + 6x2 ( 260 departamento 2
El modelo de programación lineal que representa el problema se formula así:
Maximice Z = 5x1 + 6x2
Sujeta a 3x1 + 2x2 ( 120
4x1 + 6x2 ( 260
x1 ( 0
x2 ( 0
Convertimos las restricciones en ecuaciones.
Inecuaciones o Desigualdades lineales
3x1 + 2x2 ( 120 departamento 1
4x1 + 6x2 ( 260 departamento 2
Ecuaciones o Igualdades lineales
3x1 + 2x2 = 120 departamento 1
4x1 + 6x2 = 260 departamento 2
Utilizamos el método del intercepto determinamos los puntos que de las
respectivas líneas rectas interceptan los ejes.
Para 3x1 + 2x2 = 120
a) Si x2 = 0 implica 3x1 + 2(0) = 120
3x1 = 120
x1 = 120/3
x1 = 40
(40,0)
b) Si x1= 0 implica 3(0) + 2x2 = 120
2x2 = 120
x2 = 120/2
x2 = 60
(0,60)
Para 4x1 + 6x2 = 260
a) Si x2 = 0 implica 4x1 + 6(0) = 260
4x1 = 260
x1 = 260/4
x1 = 65
(65,0)
b) Si x1= 0 implica 4(0) + 6x2 = 260
6x2 = 260
x2 = 260/6
x2 = 43.33
(0,43.33)
Graficamos.
Si la restricción tiene el signo ( se sombrea a la derecha y por
encima de la línea, pero si el signo es ( se subraya a la izquierda por
debajo del gráfico de la línea recta. La región que satisface de manera
simultanea las restricciones ya sombreada se llama área o región factible,
donde cada punto en esta región representa una solución factible. Aunque
existe un numero infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una
que maximice o minimice la función objetivo.
Para 3x1 + 2x2 = 120
(40,0)
(0,60)
Para 4x1 + 6x2 = 260
(65,0)
(0,43.33)
Ya que la función objetivo Z = 5x1 + 6x2, es equivalente a:
6/6x2 = -5/6 x1 + Z/6
x2 = -5/6 x1 + Z/6
Define una familia de rectas paralelas, cada una con pendiente de
–5/6 e intersección de y (0, Z/6).
La pendiente de la función objetivo es –5/6, y no recibe el influjo
del valor de Z. Se determina exclusivamente por los coeficientes de las
dos variables de la función objetivo.
La intersección con el eje x2 está definida por (0,Z/6). Desde ella
se advierte que, al cambiar el valor de z, lo mismo sucede con la
intersección con el eje x2. Si Z aumenta el valor, también lo hace la
intersección con el eje x2, lo cual significa que la línea de utilidades
iguales se desplaza hacia arriba y hacia la derecha. Si quisiéramos
maximizar las utilidades, tendríamos que desplazar la línea de utilidades
lo más afuera posible, sin dejar de tocar un punto dentro del área de las
soluciones factibles.
Una vez definida el área factible usted puede tratar de encontrar la
solución óptima, identificando combinaciones de los dos productos que
generen un nivel de utilidad previamente establecido, por ejemplo:
5x1 + 6x2 = $120
5x1 + 6x2 = $180
5x1 + 6x2 = $240
A partir de la figura anterior vemos que el punto o vértice A del área
factible pertenece a las rectas:
3x1 + 2x2 = 120 departamento 1
4x1 + 6x2 = 260 departamento 2
Sus coordenadas pueden hallarse resolviendo el sistema anterior.
Por igualación:
x1 = 120 - 2x2
3
x1 = 260 - 6x2
4
120 - 2x2 = 260 - 6x2
3 4
480 - 8x2 = 780 - 18x2
- 8x2 = 300 - 18x2
10x2 = 300
x2 = 30
3x1 + 2(30) = 120
3x1 = 60
x1 = 60/3
x1 = 20
Por eliminación:
3x1 + 2x2 = 120 (-4)
4x1 + 6x2 = 260 (3)
-12x1 - 8x2 = -480 departamento 1
12x1 +18x2 = 780 departamento 2
10x2 = 300
x2 = 30
3x1 + 2(30) = 120
3x1 = 60
x1 = 60/3
x1 = 20
Al deslizarse hacia fuera, el último punto que debe tocarse es A. Este
punto se encuentra en la línea de utilidades de $280 cuando se fabrican 20
y 30 unidades, respectivamente, de los productos A y B.
Ejercicios Propuestos. Optimice cada situación basado en el modelo gráfico
e interprete los resultados.
Caso I.
Una compañía produce dos tipos de artículos, manuales y eléctricos. Cada
uno requiere para su fabricación del uso de tres maquinas, A, B y C. La
tabla siguiente da la información relacionada con la fabricación de estos
artículos. Cada artículo manual requiere del uso de la maquina A durante 2
horas, de la maquina B por 1 hora y de la maquina C otra hora. Un articulo
eléctrico requiere 1 hora de la maquina A, 2 horas de la maquina B y 1 hora
de la maquina C. Además, supongamos que el numero máximo de horas
disponibles por mes para el uso de las maquinas A, B y C es de 180, 160 y
100, respectivamente. La utilidad por cada artículo manual es de $4 y por
cada artículo eléctrico es de $6. Si la compañía vende todos los artículos
que puede producir, ¿cuántos artículos de cada tipo debe producir con el
fin de maximizar la utilidad mensual?
" "Artículo"Artículo"Horas "
" "Manual "Eléctric"Disponibles"
" " "o " "
"Máquina A "2 "1 "180 "
"Máquina B "1 "2 "160 "
"Máquina C "1 "1 "100 "
"Utilidad/uni"$4 "$6 " "
"dad " " " "
Caso II.
Un agricultor va a comprar fertilizante que contienen tres nutrientes: A, B
y C. Los mínimos necesarios son 160 unidades de A, 200 unidades de B y 80
unidades de C. Existen dos marcas muy aceptadas de fertilizantes en el
mercado. Crece Rápido cuesta $8 una bolsa, contiene 3 unidades de A, 5
unidades de B y 1 unidad de C. Crece Fácil cuesta $6 cada bolsa, y
contiene 2 unidades de cada nutriente. Si el cultivador desea minimizar el
costo mientras se satisfacen los requerimientos de nutrimentos, ¿cuántas
bolsas de cada marca debe comprar? La información se resume como sigue:
" "Crece "Crece "Unidades "
" "Rápido "Fácil "Requeridas "
"Nutriente A "3 "2 "160 "
" "unidades"unidades" "
"Nutriente B "5 "2 "200 "
" "unidades"unidades" "
"Nutriente C "1 unidad"2 "80 "
" " "unidades" "
"Costo/bolsa "$8 "$6 " "
Caso III.
Resuelva por el Método Gráfico:
Maximizar 5000E + 4000F (Máxima contribución a las
ganancias)
E + F ( 5 (Requisito de Producción Mínima)
10E + 15F ( 150 (Capacidad en el Departamento A)
20E + 10F ( 160 (Capacidad en el Departamento B)
30E + 10F ( 135 (Horas de trabajo empleadas en las
pruebas)
E, F ( 0 (Condición de no negatividad)
Caso IV.
Construye el diagrama de red para el siguiente listado de actividades que
permitiría el traslado de una oficina del sector financiero.
" " "Predeceso"
" " "res "
"Activida"Descripción "Inmediato"
"d " "s "
"A "Seleccionar sitio de oficinas "- "
"B "Crear plan organizacional y "- "
" "financiero " "
"C "Determinar requerimiento de "B "
" "personal " "
"D "Diseñar la instalación "A,B "
"E "Construir el interior "D "
"F "Seleccionar al personal que se "C "
" "va a transferir " "
"G "Contratar nuevos empleados "F "
"H "Trasladar registros, personal "F "
" "clave, etc. " "
"I "Hacer arreglos financieros con "B "
" "instituciones " "
"J "Capacitar nuevo personal "H,E,G "
MODELOS LINEALES
Ejercicios Propuestos. Construya los modelos, represente gráficamente cada
situación e interprete los resultados.
Caso I.
El costo de preparación de una línea de producción es de US$3,000, en el
que se incurre independientemente del número de unidades que finalmente se
produzcan. Además, los costos de mano de obra y material variables son de
US$2 por cada unidad producida.
Representa Gráficamente.
CT = 3000 + 2x
Caso II.
Eastman Publishing Company está considerando la publicación de un libro de
texto, de tipo de bolsillo, sobre la aplicación, sobre la aplicación de
hojas de cálculos en los negocios. El costo fijo de preparación del
manuscrito, el diseño del libro y la puesta en marcha de la producción se
estima en US$80,000 dólares. Los costos variables de producción y
materiales se estiman igual a US$3 dólares por libro. La demanda durante
la vigencia del libro se estima en 4,000 ejemplares. El editor planea
vender el libro a las librerías de colegios y universidades a US$20 dólares
cada uno.
¿Cuál es el punto de equilibrio?
CF = 80,000
Cu=3
Pu=20
B = I – CT = 0
20x = 80,000 + 3x
17x = 80,000
x = 80,000/17 = 4,706
¿Qué utilidad o pérdida se puede prever, con una demanda de 4,000
ejemplares?
B = I – CT
B = 20x – (80,000 + 3x)
B = 17(4,000) – 80,000
B = 68,000 – 80,000
B = -12,000
Con una demanda de 4,000 ejemplares, ¿cuál es el precio mínimo por ejemplar
que debe cobrar el editor para llegar a punto de equilibrio?
Q = CF / (Pu – Cu)
4000 = 80,000 / (Pu – 3)
4000 (Pu – 3) = 80,000
4000Pu – 12,000 = 80,000
4000Pu = 80,000 + 12,000
Pu = 92,000/4000 = 23
Si el editor piensa que el precio por ejemplar pudiera incrementar hasta
US$25.95 dólares sin afectar la demanda prevista de 4,000 ejemplares, ¿qué
acción recomendaría usted? ¿Qué utilidad o pérdida se podría prever?
B = 25.95x – (80,000 + 3x)
B = 22.95x – 80,000
B = 22.95(4,000) – 80,000
B = 11,800
Represente gráficamente.
Caso III.
Están en marcha planes preliminares para la construcción de un nuevo
estadio de béisbol. Los funcionarios de la ciudad han cuestionado el
número y rentabilidad de los palcos corporativos de lujo planeados para el
piso superior del estadio. Los palcos pueden ser adquiridos por empresas e
individuos seleccionados, a US$100,000 dólares cada uno. El costo fijo de
construcción del área en el piso superior se estima en US$1,500,000
dólares, con un costo variable de US$50,000 dólares por cada palco
construido.
¿Cuál será el punto de equilibrio para los palcos de lujo del nuevo
estadio?
Pu = 100,000
CF = 1,500,000
Cu = 50,000
I = CT
100,000x = 1,500,000 + 50,000x
50,000x = 1,500,000
x = 1,500,000/50,000 = 30 palcos
Dibujos preliminares del estadio muestran que hay espacio disponible para
la construcción de hasta 50 palcos de lujo. Los promotores indican que hay
compradores detectados y que si se construyen, se venderían los 50. ¿Cuál
es su recomendación respecto a la Construcción de los palcos de lujo? ¿Qué
utilidad se puede esperar?
B = I – CT
B = 100,000(50) – (1,500,000 + 50,000(50))
B = 5,000,000 – 4,000,000 = 1,000,000
Caso IV.
Un grupo de ingenieros quiere formar una compañía para producir detectores
de humo. Han ideado un diseño y estiman que los costos variables por
unidad, incluyendo material, mano de obra y costos de mercadotecnia, son de
US$22.50 dólares. Los costos fijos relacionados con la formación,
operación y dirección de la compañía y la compra de equipo y maquinaria dan
en total US$250,000 dólares. Estiman que el precio de venta será de US$30
dólares por detector.
Determine el número de detectores de humo que han de venderse para que la
empresa alcance el equilibrio en el negocio.
Cu = 22.5
CF = 250,000
Pu = 30
Q = CF / (Pu – Cu)
Q = 250,000 / (30 –22.5)
Q = 250,000 / 7.5
Q = 33,333.33
Los datos preliminares de mercadotecnia indican que la empresa venderá
aproximadamente 30,000 detectores de humo a lo largo de la vida del
proyecto, si le pone un precio de US$30 cada uno. Determine las utilidades
esperadas en este nivel de producción.
B = I – CT
B = 30x – (250,000 – 22.5x)
B = 30(30,000) – (250,000 – 22.5(30,000)
B = 900,000 – 925,000
B = - 25,000
Caso V.
Una empresa agrícola tiene tres granjas que se utilizarán el año entrante.
Cada una está dotada de características especiales que la hacen adecuada
sólo para un tipo de cultivo. La siguiente tabla contiene el cultivo
seleccionado para cada granja, el costo anual de plantar 1 acre, el ingreso
que es espera obtener por acre y los costos fijos de la administración de
las granjas. Además de esos costos fijos, la corporación en conjunto tiene
costo fijos anuales de US$75,000. Determine la función de utilidad para la
operación de las tres granjas.
"Granja "Cultivo "Costo/acre"Ingreso/ac"Costo Fijo "
" " " "re " "
"1 "Soya "900 "1,300 "150,000 "
"2 "Maíz "1,100 "1,650 "175,000 "
"3 "Papas "750 "1,200 "125,000 "
I (x1,x2,x3) = 1,300x1 + 1,650x2 + 1,200x3
CT (x1,x2,x3) = (900x1 + 150,000 + 1,100x2 + 175,000 + 750x3 + 125,000) +
75,000
U = I – CT = 1,300x1 + 1,650x2 + 1,200x3 – (900x1 + 150,000 + 1,100x2 +
175,000 + 750x3 + 125,000 + 75,000)
U = 400x1 + 550x2 + 450x3 – 525,000
Caso VI.
Una empresa vende un solo producto a US$65 dólares por unidad. Los costos
variables por unidad son de US$20 dólares por concepto de materiales y de
US$27.50 por concepto de mano de obra. Los costos fijos anuales ascienden
a US$100,000. Formule la función de utilidad expresada en término de
unidades producidas y vendidas. ¿Qué utilidad se gana si las ventas
anuales son de 20,000 unidades?
Pu = 65
Cu = 20 + 27.5 = 47.5
CF = 100,000
U = I – CT
U = 65x – (100,000 – 47.5x)
U = 17.5x – 100,000
U = 17.5(20,000) – 100,000
U = 350,000 – 100,000
U = 250,000
Caso VII.
Dos puntos sobre una función lineal de demanda son (US$20 dólares, 60,000
unidades) y ($30 dólares, 47,500 unidades).
Determine la función de la demanda.
m = tg ( = y2 – y1 = 20 - 30 = -10/12,500
x2 – x1 60,000 – 47,500
m = -1/1250
m (x – x1) = (y – y1)
-1/1,250 (x – 60,000) = (y – 20)
-1 (x – 60,000) = 1,250 (y – 20)
-x + 60,000 = 1,250y – 25,000
(-1) -x – 1,250y + 85,000 = 0
x + 1,250y – 85,000 = 0
Determine que precio originará una demanda de 65,000 unidades.
x + 1,250y – 85,000 = 0
65,000 + 1,250y – 85,000 = 0
1,250y – 20,000 = 0
1,250y = 20,000
y = 20,000 / 1,250
y = 16
Interprete la pendiente de la función.
Grafique la función.
Caso VIII.
Dos puntos sobre la función lineal de la oferta son (US$6 dólares, 28,000
unidades) y (US$7.5 dólares, 37,000).
Determine la función de la oferta.
m = tg ( = y2 – y1 = 6 - 7.5 = -1.5/-9,000
x2 – x1 28,000 – 37,000
m = 1.5/9,000 = 1/6,000
m (x – x1) = (y – y1)
1/6,000 (x – 28,000) = (y – 6)
x – 28,000 = 6,000 (y - 6)
x – 28,000 = 6,000y – 36,000
x - 6,000y + 8,000 = 0
¿Qué precio hará que los proveedores ofrezcan 135,000 unidades a la venta?
x - 6,000y + 8,000 = 0
135,000 – 6,000y + 8,000 = 0
143,000 – 6,000y = 0
-6,000y = -143,000
y = -143,000/-6,000
y = 23.83
Interprete la pendiente de la función.
Interprete la intersección con el eje x.
Grafique la función.
Caso IX.
Una compañía ha analizado sus ventas y ha determinado que sus clientes
compran 20% más de sus productos por cada US$2 de reducción en el precio
unitario. Cuando el precio es US$12 la compañía vende 500 unidades.
Formule el modelo de demanda.
Y ( X
Pu=12 ( D=500 unidades
Pu=12 - 2 = 10
20% más de D=500+(0.20*500) = 600
Pu=10 ( D=600
m = tg ( = y2 – y1 = 12 - 10 = 2/-100
x2 – x1 500 – 600
m = -2/100 = -1/50
m (x – x1) = (y – y1)
-1/50 (x – 500) = (y – 12)
-1(x – 500) = 50 (y – 12)
-x + 500 = 50y – 600
-x –50y + 1,100 = 0
x + 50y – 1,100 = 0
¿Cuál sería la mayor cantidad a demandar?
x + 50y – 1,100 = 0
x + 50(0) – 1,100 = 0
x = 1,100
¿Cuál sería el mayor precio a pagar por el artículo?
x + 50y – 1,100 = 0
(0)+ 50y – 1,100 = 0
50y – 1,100 = 0
y = 1,100/50 = 22
¿Cuál sería el precio si la cantidad demandada asciende a 600 unidades?
x + 50y – 1,100 = 0
600 + 50y – 1,100 = 0
50y – 500 = 0
50y = 500
y = 10
¿Cuál será la demanda si el precio del producto es US$8?
x + 50y – 1,100 = 0
x + 50(8) – 1,100 = 0
x + 400 – 1,100 = 0
x – 700 = 0
x = 700
Caso X.
Una compañía pretende entregar 5,000 artículos mensualmente a un precio de
US$5 por unidad. Si el precio tiene una disminución de un 30%, la compañía
sólo se compromete a entregar un 40% de la oferta anterior.
Formule el modelo de la oferta.
Y ( X
Pu=5 ( D=5,000 unidades
Pu= 5 – (5 * 0.30) = 3.5
D = 5,000 * 0.4 = 2,000
Pu=3.5 ( D=2,000
m = tg ( = y2 – y1 = 5 - 3.5 = 1.5/3,000
x2 – x1 5,000 – 2,000
m = 1/2000
m (x – x1) = (y – y1)
1/2000 (x – 5,000) = (y – 5)
x – 5,000 = 2,000 (y – 5)
x – 5,000 = 2,000y – 10,000
x – 5,000 – 2,000y + 10,000 = 0
x – 2000y + 5,000 = 0
¿Cuál sería la menor oferta?
x – 2000y + 5,000 = 0
x – 2000(0) + 5,000 = 0
x = -5,000
¿Cuál sería la oferta si el precio es US$7?
x – 2000y + 5,000 = 0
x – 2,000(7) + 5,000 = 0
x – 14,000 + 5,000 = 0
x – 9,000 = 0
x = 9,000
¿Cuál será el precio si se solicitan 6,000 unidades del producto?
x – 2000y + 5,000 = 0
6000 – 2,000y + 5,000 = 0
11,000 – 2,000y = 0
-2,000y = - 11,000
y = -11,000/-2,000 = 5.5
Caso XI.
Los siguientes modelos representan la oferta y la demanda de un determinado
producto. Determine gráfica y analíticamente el mercado de equilibrio.
O ( x + y = 5
D ( 2x – y = 5.5
y = 5 – x
- y = 5.5 – 2x
y = 2x – 5.5
5 – x = 2x – 5.5
- x – 2x = - 5.5 – 5
-3x = -10.5
x = 3.5
3.5 + y = 5
y = 5 – 3.5
y = 1.5
Caso XII.
Una compañía fabrica dos productos diferentes. Para la semana entrante
dispone de 120 horas de trabajo destinadas a la elaboración de ambos
productos. Puede asignar horas de trabajo a la fabricación de ambos
productos. Además, como los dos tipos de producción aportan buenas
ganancias, a la dirección le interesa utilizar las 120 horas durante la
semana. Cada unidad del producto A requiere 3 horas de trabajo de
elaboración, y cada unidad del producto B requiere 2.5 horas.
Defínase una ecuación que establezca que las horas totales de trabajo
dedicadas a la producción "x" unidades del producto A y "y" unidades del
producto B son 120.
3x + 2.5y = 120
¿Cuántas unidades del producto A pueden fabricarse si se elaboran 30
unidades del producto B?
3x + 2.5y = 120
3x + 2.5(30) = 120
3x + 75 = 120
3x = 120 – 75
3x = 45
x = 15 unidades del producto A
Si la gerencia decide producir sólo un artículo, ¿cuál será la cantidad
máxima que puede fabricarse del producto A? ¿Y cuál será la cantidad máxima
que puede fabricarse del producto B?
3x + 2.5y = 120
3x + 2.5(0) = 120
3x = 120
x = 40 unidades del producto A
3(0) + 2.5y = 120
2.5y = 120
y = 120/2.5
y = 48 unidades del producto B
Caso XIII.
La Cruz Roja Internacional está haciendo planes para transportar por avión
alimentos y suministros médicos a Iraq. En la tabla adjunta se incluyen
los cuatro suministros que urgen y sus respectivos volúmenes por caja o
recipiente. El primer avión que se enviará a la zona tiene una capacidad
de volumen de 6000 pies cúbicos. Determine la ecuación cuyo conjunto
solución contenga todas las posibles combinaciones de los cuatro
suministros que llenarán el avión en toda su capacidad.
Suministro Volumen/Caja, ft3
Sangre 20
Equipo médico 30
Alimentos 8
Agua 6
Volumen de sangre + Volumen de Equipo Medico + Volumen de Alimentos +
Volumen de agua = 6,000 pies cúbicos
Cajas
X1 = Numero de recipientes de sangre
X2 = Numero de contenedores de equipo medico
X3 = Numero de cajas de alimentos
X4 = Numero de recipientes de agua
20x1 + 30x2 + 8x3 + 6x4 = 6,000
" " " " "Total "
" " "pies3 "cajas "Volumen"
"Sangre "x1 "20 "40 "800 "
"Equipo "x2 "30 "65 "1950 "
"M. " " " " "
"Aliment"x3 "5 "350 "1750 "
"os " " " " "
"Agua "x4 "6 "250 "1500 "
" " " " "6000 "
Caso XIV.
Una compañía nacional está iniciando una campaña publicitaria por medio de
la televisión, la radio y la prensa. El objetivo es lograr que 10
millones de personas vean los anuncios. La experiencia revela que, por
cada 1000 dólares asignados a la publicidad por televisión, radio y prensa,
la publicidad llegará a 25,000, 18,000 y 15,000 personas, respectivamente.
Las decisiones que han de adoptarse se refieren a cuánto dinero se asignará
a cada forma de publicidad, a fin de llegar a 10 millones de personas.
Determine el modelo (ecuación) cuyo conjunto solución especifique todas las
asignaciones de publicidad que den por resultado la obtención de esta meta.
25,000x1 + 18,000x2 + 15,000x3 = 10,000,000
" " " "Inversi" "
" " " "on " "
" " "Alcance "Publici"Alcance "
" " "por "dad "en "
" " "USD 1000"en "Personas"
" " " "miles " "
"TV "x1 "25,000 "250 "6,250,00"
" " " " "0 "
"RADIO "x2 "18,000 "150 "2,700,00"
" " " " "0 "
"PRENSA "x3 "15,000 "70 "1,050,00"
" " " " "0 "
" " " "Persona"10,000,0"
" " " "s "00 "
Caso XV.
Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar la función que
expresa el costo total anual y en función de la cantidad de unidades
producidas. Los contadores indican que los gastos cada año son de
US$50,000 dólares. También han estimado que los costos de materias primas
por cada unidad producida ascienden a UD$5.50 y que los costos de mano de
obra son de US$1.50 en el departamento de montaje, $0.75 en el cuarto de
acabado y US$1.25 en el departamento de empaque y embarque.
CF = 50,000
Cu1 = 5.50 materia prima
Cu2 = 1.50 mano de obra de montaje
Cu3 = 0.75 mano de obra de acabado
Cu4 = 1.25 de empaque y embarque
Cu = 9
CT = 50,000 + (5.50x + 1.50x +0.75x + 1.25x)
CT = 50,000 + 9x
Caso XVI.
Una agencia de alquiler de automóviles compra nuevas unidades cada año para
rentarlas. Los automóviles nuevos cuestan US$12,000 dólares. Se emplean
tres años y luego se venden en US$2,500 dólares. El dueño de la agencia
estima que los costos variables de operación de los automóviles, sin contar
la gasolina, son de US$0.25 por milla. Los automóviles se alquilan en
US$0.40 por milla (sin incluir gasolina).
Formule la función de ingreso total relacionada con el alquiler de los
automóviles por millas.
Pu = 0.40/milla
I = 0.40x
Formule el modelo de costo total asociada al alquiler de un automóvil por
millas.
Cu = 0.25/milla
CT = 12,000 + 0.25x
Formule la ecuación de utilidad.
U = I – CT
U = 0.40x – (12,000 + 0.25x)
U = 0.15x – 12,000
Punto de Equilibrio:
0.40x = 12,000 + 0.25x
0.40x – 0.25 x = 12,000
0.15x = 12,000
x = 80,000
¿Cuál será la utilidad si el vehículo se renta por 60,000 millas durante el
período de los tres años?
U = 0.15x – 12,000
U = 0.15(60,000) – 12,000 = - 3,000
Si los contadores aplican la depreciación en línea recta, determine la
función que describa el valor en libros de V en función de la edad del
automóvil t.
Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C - R
Vida útil n
Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C – R = 12,000-2,500
Vida útil n 3
D = 3,166.67
Valor en libros V(t) = Valor depreciable – Depreciación(tiempo) = C – D(t)
Valor en libros V(t) = 12,000 – 3,166.67(t)
"Calendario de Depreciación en línea recta " " "
" " " " " " "
"Automovil (al costo original "12,000.00 "12,000.00 "12,000.00"
"de adquisición) " " " "
" " " " " " "
"Menos: Depreciación acumulada " " " "
"(la parte del " " " "
"costo original que ya se ha "3,166.67 "6,333.33 "9,500.00 "
"cargado en forma " " " "
"de un gasto) " " " " " "
" " " " " " "
"Valor neto en libros " "8,833.33 "5,666.67 "2,500.00 "
Caso XVII.
Una gasolinera vende gasolina regular y de primera calidad sin plomo. El
precio por galón es de US$1.80 para la gasolina regular y de US$2.00 para
la de primera calidad sin plomo. El costo por galón que cobra el proveedor
es de US$1.66 y US$1.88, respectivamente.
Formule la función de ingreso obtenido para cada tipo de gasolina y para
ambas.
I = Pu * x
I1 = 1.80x1
I2 = 2.00x2
IT = 1.80x1 + 2x2
Formule la función de costo para cada tipo de gasolina y para ambas.
CV = Cu * x
C1 = 1.66x1
C2 = 1.88x2
CT = 1.66x1 + 1.88x2
Formule la función de utilidad total.
U = I – CT
U = 1.80x1 + 2x2 – (1.66x1 + 1.88x2)
U = 0.14x1 + 0.12x2
¿Cuál es la utilidad esperada si la estación vende 200,000 galones de
gasolina regular y 80,000 galones de gasolina de primera calidad sin plomo?
U = 0.14x1 + 0.12x2
U = 0.14(200,000) + 0.12(80,000)
U = 28,000 + 9,600
U = 37,600
Caso XVIII.
Decisión sobre la renta de computadora o la contratación de una empresa de
servicio computacionales.
Un numero grupo médico se compone de 20 médicos de tiempo completo. En el
momento actual, los empleados preparan manualmente las facturas de los
pacientes. Debido al enorme volumen de facturas, el gerente administrativo
piensa que ha llegado el momento de hacer la transición de la facturación
manual a la computarizada. Están estudiándose dos opciones:
el grupo médico puede alquilar la computadora y los programas y hacer él
mismo la facturación (la opción de hacer) o
puede contratar a una empresa de servicios computacionales que se encargue
de efectuar la facturación (contratar).
Los costos de una y alternativas depende de la cantidad de facturas. La
oferta más baja presentada por una empresa de servicios computacionales
originará una cuota de US$3,000 dólares anuales más US$0.95 por factura
procesada. Con ayuda de un experto en computación, el gerente
administrativo estimó que el grupo puede rentar un pequeño sistema de
cómputo para negocios, junto con los programas necesarios, a un costo de
US$15,000 por año. Se estima en US$0.65 por factura los costos variables
de realizar la facturación de este modo.
Servicios de Facturación = S(x) = 3,000 + 0.95x
Alquilar y Facturar = A(x) = 15,000 + 0.65x
3,000 + 0.95x = 15,000 + 0.65x
0.30x = 12,000
x = 12,000/0.3
x = 40,000
Si el número esperado de facturas de pacientes por año rebasa las 40,000,
la opción de alquilar es más barata. Si se espera que el número de
facturas sea menor que 40,000, la opción de contratar los servicios cuesta
menos.
Caso XIX.
Una firma está diseñando una campaña publicitaria por televisión. Los
costos de desarrollo (costos fijos) son US$150,000 dólares y la firma
pagará US$15,000 dólares por minutos en cada spot de televisión. La firma
estima que, por cada minuto de publicidad, se obtendrá un aumento de
US$70,000 en las ventas. De esta cifra, US$47,500 se absorben para cubrir
el costo variable de producir los artículos y US$15,000 sirven para pagar
el minuto de publicidad. El resto es la contribución al costo fijo y a la
utilidad.
¿Cuántos minutos de publicidad se necesitan para recuperar los costos de
desarrollo de la campaña publicitaria?
Costos de Desarrollo
CF = 150,000
CV= Cu * x = 15,000x
CT = 150,000 + 15,000x
Aumento de Venta en: I = Pu * x = (70,000-47,500)x = 22,500x
Q = CF / (Pu – Cu)
Q = 150,000 / (22,500 – 15,000)
Q = 150,000 / 7,500
Q = 20 minutos
Si la compañía se sirve de 15 spots de 1 minuto de duración, determine el
ingreso total, los costos totales (producción y publicidad) y la utilidad (
o pérdida) total que resultan de la campaña.
I = 22,500x
I = 22,500 * 15 = 337,500
CT = 150,000 + 15,000(15) = 375,000
U = I – CT = 337,500 – 375,000 = -37,500
Caso XX.
La maquinaria que compra un fabricante por US$20,000 dólares se deprecia
linealmente de manera que su valor comercial al cabo de 10 años es US$1,000
dólares.
Exprese el valor de la maquinaria como una función de su antigüedad y
dibuje la gráfica.
Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C – R = 20,000 – 1,000
Vida útil n 10
D = 1,900
Valor en libros V(t) = Valor depreciable – Depreciación(tiempo) = C – D(t)
Valor en libros V(t) = 20,000 – 1,900(t)
Calcule el valor de la maquinaria al cabo de 4 años.
Valor en libros V(t) = 20,000 – 1,900(t)
Valor en libros V(t) = 20,000 – 1,900(4) = 20,000 – 7,600 = 12,400
¿Cuánto se despreciará por completo la maquinaria? El fabricante puede no
esperar tanto tiempo para disponer de la maquinaria. Analice los aspectos
que el fabricante puede considerar para decidir cuándo venderla.
Caso XXI.
Encuentre las incógnitas para cada uno de los siguientes casos
independientes:
" "PRECIO "COSTO "TOTAL DE"MARGEN DE"COSTOS " "
" "DE " " " " " "
" "VENTA "VARIABLE"UNIDADES"CONTRIBUC"FIJOS "UTILIDAD"
" "POR " " "ION " " "
"CASO "UNIDAD "POR "VENDIDAS"TOTAL "TOTALES "NETA "
" " "UNIDAD " " " " "
"1 "10 "6 "100,000 "
"Producto"Unitario"Unitario"ventas "
" " " "($) "
"Mesas "70 "50 "40 "
"Lámparas"50 "40 "25 "
"Sillas "40 "30 "35 "
Capacidad de ventas $1,800,000. Costo fijos $250,000.
A la empresa le interesa conocer el punto de equilibrio y los beneficios a
un nivel de producción del 75% de su capacidad.
% de contribución de cada producto será igual a:
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
RMC * (% participación en ventas)
P.E.($) = CF/( del % de contribución de cada producto
En este caso la contribución está expresada en porcentaje, por lo tanto,
podemos usar la fórmula del punto de equilibrio con la contribución en %.
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
% Mesas = [(70-50)/70)] * 0.40 = 0.1143
% Lámparas = [(50-40)/50)] * 0.25 = 0.0500
% Sillas = [(40-30)/40)] * 0.35 = 0.0875
( del % de contribución de cada producto = 0.1143+0.0500+0.0875 = 0.2518
P.E.($) = 250,000/0.2518 = $992,851.47
Beneficios a un nivel de producción del 75% de su capacidad.
I = 0.75 * $1,800,000 = $1,350,000
B = I * RMC – CF
B = 1,350,000 * 0.2518 – 250,000 = $89,930
Caso XXVI.
Una empresa produce bicicletas y velocípedos. Los costos fijos de la
empresa son de $60,000 al año, la capacidad total anual es de $250,000 en
ventas. La participación de cada producto es la siguiente:
" "Precio "Costo "% Valor "
"Producto"Unitario"Unitario"ventas "
" " " "($) "
"Biciclet"120 "70 "60 "
"a " " " "
"Velocípe"50 "25 "40 "
"do " " " "
A la empresa le interesa conocer el punto de equilibrio y el beneficio
cuando esté trabajando a un 70% de su capacidad.
% de contribución de cada producto será igual a:
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
RMC * (% participación en ventas)
P.E.($) = CF/( del % de contribución de cada producto
En este caso la contribución está expresada en porcentaje, por lo tanto,
podemos usar la fórmula del punto de equilibrio con la contribución en %.
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
% Bicicleta = [(120-70)/120)] * 0.60 = 0.25
% Velocípedo = [(50-25)/50)] * 0.40 = 0.20
( del % de contribución de cada producto = 0.25+0.20 = 0.45
P.E.($) = CF/( del % de contribución de cada producto
P.E.($) = 60,000/0.45 = $133,333.33
Beneficios a un nivel de producción del 70% de su capacidad.
I = 0.70 * $250,000 = $175,000
B = I * RMC – CF
B = (175,000 * 0.45) – 60,000 = $18,750
Caso XXVII.
La compañía TERDAS presenta el siguiente Estado de Ingreso Presupuestado:
Estado de Ingresos
Ventas 100,000
Menos Costos y Gastos Variables 65,000
Margen de Contribución 35,000
Menos: Costos Fijos 20,000
Ingresos Netos 15,000
Se desea conocer el punto de equilibrio, los beneficios para unas ventas de
$120,000 y el nivel de ventas necesario para lograr el beneficio proyectado
de $25,000.
RMC = [(Pu – Cu) /Pu] = (Pu/Pu) – (Cu/Pu)
RMC = 1 - (Cu/Pu)
RMC = 1 - (Costos Variables/Valor de Ventas)
Ventas para un nivel de beneficio = (CF + B)/RMC
B = RMC * Ventas - CF
a)
RMC = 1 - (65,000/100,000) = 0.35
P.E.($) = CF/RMC = 20,000/0.35 = $ 57,142.86
b)
B = RMC * Ventas - CF
B = 0.35 * 120,000 – 20,000 = $22,000
c)
Ventas para un nivel de beneficio = (CF + B)/RMC
Ventas para un nivel de beneficio = (20,000 + 25,000) / 0.35 = $128,571.42
La exactitud de esos resultados se puede comprobar con un estado de ingreso
para ese nivel de ventas. Suponemos que los costos variables mantienen una
proporción constante de las ventas.
Estado de Ingresos
Ventas 128,571.42
Menos Costos y Gastos Variables 83,571.42
Margen de Contribución 45,000.00
Menos: Costos Fijos 20,000.00
Ingresos Netos 25,000.00
Caso XXVIII.
Una fabrica de alimentos para animales presenta las siguientes
informaciones:
"Alimento "Preci"Costo"% ventas "
"para "o " "($) "
"Gallinas "30 "15 "40 "
"Vacas "40 "16 "20 "
"Puercos "36 "16 "25 "
"Perros "32 "12 "15 "
Costos fijos de $80,000 al año y capacidad de $200,000 de ventas al año.
Hallar el punto de equilibrio en dinero y en % de capacidad de la fábrica.
Determinar cual es el ingreso total cuanto se están vendiendo 1,200
unidades de alimentos.
% de contribución de cada producto será igual a:
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
RMC * (% participación en ventas)
P.E.($) = CF/( del % de contribución de cada producto
En este caso la contribución está expresada en porcentaje, por lo tanto,
podemos usar la fórmula del punto de equilibrio con la contribución en %.
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
% Gallinas = [(30-15)/30)] * 0.40 = 0.2000
% Vacas = [(40-16)/40)] * 0.20 = 0.1200
% Puercos = [(36-16)/36)] * 0.25 = 0.1389
% Perros = [(32-12)/32)] * 0.15 = 0.0938
( del % de contribución de c/producto = 0.20+0.12+0.1389+0.0938= 0.5527
P.E.( $) = CF/( del % de contribución de cada producto
P.E.($) = 80,000/0.5527 = $144,743.98
P.E. (%) = 144,743.98/200,000 =0.7237 = 72.37%
"Alimento "P.E($) "% ventas"Ventas "Precio "Unidades"
"para " "($) " " " "
"Gallinas "144,743.98"40 "57,897.59"30 "1,930 "
"Vacas "144,743.98"20 "28,948.80"40 "724 "
"Puercos "144,743.98"25 "36,186.00"36 "1,005 "
"Perros "144,743.98"15 "21,711.60"32 "678 "
" " "100 "144,743.9" "4,337 "
" " " "8 " " "
"Alimento "Preci"Costo"% ventas "
"para "o " "($) "
"Gallinas "30 "15 "40 "
"Vacas "40 "16 "20 "
"Puercos "36 "16 "25 "
"Perros "32 "12 "15 "
Costos fijos de $80,000 al año y capacidad de $200,000 de ventas al año.
En este caso debemos determinar la contribución promedio por unidad.
( (Pu – Cu) * (% participación en ventas)
Contribución Unitaria de Gallina = (30-15) * 0.40 = $6/unidad
Contribución Unitaria de Vaca = (40-16) * 0.20 = $4.8/unidad
Contribución Unitaria de Puerco = (36-16) * 0.25 = $5/unidad
Contribución Unitaria de Perro = (32-12) * 0.15 = $3/unidad
( (Pu – Cu) * (% participación en ventas) = 6+4.8+5+3= $18.8/unidad
En función de unidades el punto de equilibrio viene dado:
P.E.(q) = CF/Contribución promedio por unidad
P.E.(q) = 80,000/18.8=4,256 unidades
P.E.($) = P.E.(q) * pu
P.E.(q) = P.E.($)/pu = $144,743.98/33.8 = 4,283 unidades
b. Determinar cual es el ingreso total cuanto se están vendiendo 1,200
unidades de alimentos.
Precio de Gallina = 30 * 0.40 = $12/unidad
Precio de Vaca = 40 * 0.20 = $8/unidad
Precio de Puerco = 36 * 0.25 = $9/unidad
Precio de Perro = 32 * 0.15 = $4.8/unidad
I = 1,200 * 33.8 = $40,560
"Alimento" " " " " "
"para " " " " " "
"Gallinas"1200 "0.4 "480 "30 "14400 "
"Vacas "1200 "0.2 "240 "40 "9600 "
"Puercos "1200 "0.25 "300 "36 "10800 "
"Perros "1200 "0.15 "180 "32 "5760 "
" " " " " "40560 "
Ejercicios Propuestos. Construya los modelos, represente gráficamente cada
situación e interprete los resultados.
Caso I.
La función de demanda de un producto particular es:
q = f(p) = 500,000 – 3,000 p
donde q se expresa en unidades y p en dólares. Determine la función del
ingreso total, I es una función de p o sea R = g(p).
¿Cuál es la concavidad de la función?
¿Cuál es la intersección con el eje x?
¿Cuál es el ingreso total con un precio de $20?
¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio?
¿A qué precio se maximizará el ingreso total?
A.
I = p * q
I = p * (500,000 – 3,000 p)
I = 500,000p - 3,000p²
C.
I = 500,000(20) - 3,000(20)²
I = 10,000,000 – 1,200,000
I = 8,800,000
D.
q = f(p) = 500,000 – 3,000 p
q = f(20) = 500,000 – 3,000 (20)
q = f(20) = 500,000 – 60,000
q = f(20) = 440,000
E.
I = 500,000p - 3,000p²
x = -B = -500,000 = US$83.33
2A 2(-3,000)
Caso II.
La función de oferta qs = f(p) para un producto es cuadrática. Tres puntos
que se encuentran en ella son (60, 2750), (70, 6000) y (80, 9750).
Determine el modelo de la oferta.
( p, q)
(60, 2,750)
(70, 6,000)
(80, 9,750)
q = f(p)
q = ap² + bp + c
Al sustituir las tres combinaciones de precio-cantidad en la ecuación
general cuadrática se obtiene el sistema resultante de ecuaciones:
2,750 = a(60)² + b(60) + c o 3,600a + 60b + c = 2,750
6,000 = a(70)² + b(70) + c o 4,900a + 70b + c = 6,000
9,750 = a(80)² + b(80) + c o 6,400a + 80b + c = 9,750
" " " " " " " "
" "A "B "c "y " " "
" "A "B "c " " " " "
" "CF = "2,500,000" " " " " "
" " ".00 " " " " " "
" "p1 "100.00 "q1 "26,000.00" " " "
" "p2 "500.00 "q2 "10,000.00" " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" "M "-40.00 " " " " " "
" "-40 (x-100) = y - " " " " " "
" "26,000 " " " " " "
" "-40x + 4,000 - y + 26,000 = 0" " " " "
" "-40x - y + 30,000 =" " " " " "
" "0 " " " " " "
" "40x + y - 30,000 = " " " " " "
" "0 " " " " " "
" "40p + q - 30,000 = " " " " " "
" "0 " " " " " "
" "q = 30,000 - 40p " " " " " "
" "p = (30,000 - q)/40" " " " " "
" "p = 750 - q/40 " " " " " "
" " " " " " " " "
" "I = p * q" " " " " " "
" "I = (750 - q/40) * " " " " " "
" "q " " " " " "
" " " " " " " " "
" "CT = 2,500,000 + " " " " " "
" "100q " " " " " "
" " " " " " " " "
" "I = CT " " " " " " "
" " " " " " " " "
" "U = (750q - qq/40) - " " " " "
" "(2,500,000 + 100q) " " " " "
" "U = 650q – qq/40 - 2,500,000 " " " " "
" " " " " " " " "
"Q "P "cu "CF "CT "I "U " "
"4,693.38 "632.67 "100.00 "2,500,000"2,969,337"2,969,337"0.00 " "
" " " ".00 ".61 ".61 " " "
"5,000.00 "625.00 "100.00 "2,500,000"3,000,000"3,125,000"125,000.00" "
" " " ".00 ".00 ".00 " " "
"6,000.00 "600.00 "100.00 "2,500,000"3,100,000"3,600,000"500,000.00" "
" " " ".00 ".00 ".00 " " "
"7,000.00 "575.00 "100.00 "2,500,000"3,200,000"4,025,000"825,000.00" "
" " " ".00 ".00 ".00 " " "
"8,000.00 "550.00 "100.00 "2,500,000"3,300,000"4,400,000"1,100,000." "
" " " ".00 ".00 ".00 "00 " "
"9,000.00 "525.00 "100.00 "2,500,000"3,400,000"4,725,000"1,325,000." "
" " " ".00 ".00 ".00 "00 " "
"10,000.00"500.00 "100.00 "2,500,000"3,500,000"5,000,000"1,500,000." "
" " " ".00 ".00 ".00 "00 " "
"11,000.00"475.00 "100.00 "2,500,000"3,600,000"5,225,000"1,625,000." "
" " " ".00 ".00 ".00 "00 " "
"12,000.00"450.00 "100.00 "2,500,000"3,700,000"5,400,000"1,700,000." "
" " " ".00 ".00 ".00 "00 " "
"13,000.00"425.00 "100.00 "2,500,000"3,800,000"5,525,000"1,725,000."1,725,000"
" " " ".00 ".00 ".00 "00 ".00 "
"15,000.00"375.00 "100.00 "2,500,000"4,000,000"5,625,000"1,625,000." "
" " " ".00 ".00 ".00 "00 " "
"16,000.00"350.00 "100.00 "2,500,000"4,100,000"5,600,000"1,500,000." "
" " " ".00 ".00 ".00 "00 " "
"17,000.00"325.00 "100.00 "2,500,000"4,200,000"5,525,000"1,325,000." "
" " " ".00 ".00 ".00 "00 " "
"18,000.00"300.00 "100.00 "2,500,000"4,300,000"5,400,000"1,100,000." "
" " " ".00 ".00 ".00 "00 " "
"19,000.00"275.00 "100.00 "2,500,000"4,400,000"5,225,000"825,000.00" "
" " " ".00 ".00 ".00 " " "
"20,000.00"250.00 "100.00 "2,500,000"4,500,000"5,000,000"500,000.00" "
" " " ".00 ".00 ".00 " " "
"21,000.00"225.00 "100.00 "2,500,000"4,600,000"4,725,000"125,000.00" "
" " " ".00 ".00 ".00 " " "
"22,000.00"200.00 "100.00 "2,500,000"4,700,000"4,400,000"-300,000.0" "
" " " ".00 ".00 ".00 "0 " "
"21,306.62"217.33 "100.00 "2,500,000"4,630,662"4,630,662"0.00 " "
" " " ".00 ".39 ".39 " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
" " " " " " " " "
Caso XXVI.
Una firma vende cada unidad de un producto en $400. La función de costo
que describe el costo total en términos del número de unidades producidas y
vendidas x es: C(x) = 40x + 0.25x² + 250
Formule la función de utilidad U = f(x). Represente gráficamente.
U = I – CT
= 400x – 40x - 025x² - 250
= 360x - 025x² - 250
X = - 360 ± (360²-4(-0.25)(-250) ( Fórmula Cuadrática
2(-0.25)
X = - 360 ± 359.65 ( Fórmula Cuadrática
- 0.50
x1 = 0.7
x2 = 1,439.30
Max = 720
¿Cuántas unidades deberían producirse y venderse a fin de maximizar la
utilidad total?
¿Cuál es el ingreso total en este nivel de producción?
I = 400 * 720 = 288,000
¿Cuál es el costo total en este nivel de producción?
CT = 40(720) + 0.25 (720) ² + 250
CT = 158,650
Caso XXVII.
La función de demanda para el fabricante de un producto es p = f(q) = 1,200
– 3q, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q
unidades (por semana). Encuentre el nivel de producción que maximiza el
ingreso total del fabricante y determine este ingreso.
p = f(q) = 1,200 – 3q
I = p * q = 1,200q – 3q²
q = -b/2a = - 1,200/2(-3) = 200
Caso XXVIII.
Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades
ofrecidas y demandadas si la función de oferta por cierto artículo es S(p)
= p² + 3p – 70 y la función de demanda es D(p) = 410 – p. Represente
gráficamente.
p² + 3p – 70 = 410 – p
p² + 4p – 480 = 0
X = - 4 ± (4²-4(1)(-480) ( Fórmula Cuadrática
2(1)
X = - 4 ± 44 ( Fórmula Cuadrática
2
x1 = 20
x2 = 24
-b/2a = -4/2a = -4/2 = -2
Caso XXIX.
Cuando se venden licuadoras a p dólares la unidad, los fabricante ofrecerán
p²/10 licuadoras a los minoristas locales, mientras que la demanda local
será 60 – p licuadoras. ¿a qué precio en el mercado será igual a la
demanda de los consumidores, y la oferta de licuadoras de los fabricantes.
¿Cuántas licuadoras se venderán a este precio?
p²/10 = 60 – p
p² = 600 – 10p
p² - 600 + 10p = 0
Caso XXX.
Producción Agrícola.
Un cultivador de frutas cítricas de Bonao estima que si planta 60 naranjos,
la producción media por árbol será 400 naranjas. La producción media
disminuirá en 4 naranjas por árbol adicional plantado. Exprese la
producción total como una función del número de árboles adicionales
plantados, dibuje la gráfica y calcule el número total de árboles que el
cultivador debe plantar para maximizar la producción.
Producción = (60 + n) (400 – 4n)
Caso XXXI.
Las funciones de la oferta y demanda de cierto artículo son:
S(p) = 4p + 200
D(p) = 5,600/p
Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades
ofrecidas y demandadas.
5,600/p = 4p + 200
5,600 = 4p² + 200p
5,600 - 4p² - 200p = 0
Dibuje la curva de oferta y de demanda en el mismo conjunto de ejes.
Caso XXXII.
Determinar la cantidad de equilibrio de Fabricaciones XYZ dada la
información siguiente: costo fijo total, $1200; costo variable por unidad,
$2; ingreso total por la venta de q unidades, 100(q.
Determine el punto o puntos de equilibrios y Represente gráficamente las
funciones anteriores.
100(q = 1,200 + 2q
(100(q)/2 = (1,200 + 2q)/2
(50(q)² = (600 + q)²
2,500q = q² + 1,200q + 360,000
q² - 1,300q + 360,000 = 0
CT = 1,200 + 2q
I = 100(q
q =400
q = 900
Caso XXXIII.
Una compañía de autobuses alquilará un autobús con capacidad para 50
personas a grupos de 35 personas o más. Si un grupo tiene exactamente 35
personas, cada persona paga US$60. En grupos grandes, la tarifa se reduce
en US$1 por cada persona adicional a las 35. Determine el tamaño del grupo
para el cual el ingreso de la compañía de buses será máximo. Represente
gráficamente.
P = 35 + x
Tarifa = 60 – x
I = (35 + x) (60 – x)
I = 2,100 + 25x - x²
I max. = 2,256
Caso XXXIV.
Una compañía de bienes raíces es propietaria del conjunto de departamentos
Torre Alegro, el cual consiste en 96 departamentos, cada uno de los cuales
puede ser rentado en $550 mensuales. Sin embargo, por cada $25 mensuales
de aumento en la renta, se tendrán tres departamentos desocupados sin
posibilidad de que se renten. La Compañía quiere recibir $54,600 mensuales
de rentas. ¿Cuál debe ser la menta mensual de cada departamento?
Apartamentos = 96
Renta = $550/mensuales
Renta + 25 ( 3 apartamentos menos
550 + 25x
96 – 3x
Solución 1:
54,600 = (550+25x) (96-3x)
550 + 25x
96 – 3x
52,800 + 2,400x
1,650x – 75x²
====================
52,800 + 750x – 75x²
54,600 = 52,800 + 750x – 75x²
75x² + 750x – 1,800 = 0
- x² + 10x – 24 = 0
(x – 6) (x-4) = 0
x = 6
x = 4
Solución 2:
q = 96 – [3 (r – 550)/25]
54,600 = [96 – 3(r – 550)/25] r
54,600 = r [(2,400 – 3r + 1,650)/25]
3/-25 (x-550) = y – 96
3x – 1,640 = -25y + 2,400
3x – 4,050 + 25y = 0
25y = 4,050 – 3x
y = (4,050 – 3x)/25
y = q = 162 – 0.12 p
I = (162 – 0.12 p) * p
I = 162p – 0.12 p²
54,600 = 162p – 0.12 p²
p² - 1,350p + 455,000 = 0
X = - 1,350 ± (1,350² - 4 (1)(455,000) ( Fórmula Cuadrática
2(1)
p = 750
p = 650
Caso XXXV.
Un fabricante quiere introducir la tecnología de la robótica en uno de sus
procesos de producción. El proceso creará un "ambiente hostil" para los
hombres.
En concreto, requiere exponerse a temperaturas muy altas y a emanaciones
potencialmente tóxicas. Se han identificado dos robots que parecen tener
la capacidad para ejecutar las funciones del proceso de producción. Al
parecer no hay importantes diferencias en la velocidad a que ambos
trabajan. Un robot cuesta $180,000 y tiene costos estimados de
mantenimiento de $100 por hora de operación. El segundo modelo cuesta
$250,000 con costos de mantenimiento estimados en $80 por hora de
operación.
¿a qué nivel de operación (horas totales de producción) costarán lo mismo
los dos robots?
Defina los niveles de operación en que cada robot será el menos caro?
CT = 180,000 + 100h
CT = 250,000 + 80h
180,000 + 100h = 250,000 + 80h
h = 3,500
-----------------------
4x1+6x2(260
3x1+2x2(120
Región
Factible
