Problemario de fisica

OLIMPIADA DE FISICA Problemas de F´ısica 20 de Agosto de 2015 Problema 1. El problema de dos cuerpos que interaccionan gavitatoriamente y orbitan en torno a su centro de masas Consideremos dos cuerpos esf´ericos, de masas M1 y M2 que giran en torno a su centro de masas (C.M ) con velocidad angular ω. La separaci´on entre los centros de las esferas es R, y las distancias del C.M. a dichos centros son R1∗ y R2∗ , como se muestra en la figura 1.1. Estas distancias vienen dadas por M2 R1∗ = R M1 + M2 M1 R R2∗ = M1 + M2 Supuesto que los dos cuerpos esf´ericos interaccionan gravitatoriamente. a) Determine la expresi´on de la velocidad angular ω, con que giran los cuerpos en torno al C.M. en t´erminos de G, M1 , M2 y R. b) Si el cuerpo 1 es la Luna y el 2 es la Tierra, con los datos que figuran al final del enunciado, calcule el valor de ω. c) La Luna gira en torno a su eje, que es perpendicular al plano de la figura 1.1, de forma que, vista desde la Tierra, la Luna presenta siempre la misma cara. ¿Cu´al es el periodo de rotaci´on,TL , expresado en d´ıas? Datos: Masa de la Tierra y Luna MT = 5, 98 ∗ 1022 kg y ML = 7, 36 ∗ 1022 kg. Distancia Luna-Tierra, RLT = 3, 84 ∗ 108 m Radio de la Tierra, RT = 6, 37 ∗ 106 m Constante de Gravitaci´on Universal, G = 6, 67 ∗ 10−11 N m2 kg −2 Problema 2. El experimento de Cavendish Una balanza de torsi´on consiste en una ligera varilla con dos esferas de masa m en esus extremos, que se mantiene horizontal cuando est´a suspendida por su punto medio O mediante un hilo sujeto por su extremo superior P, como se muestra en perspectiva en la figura 2. Supondremos que la semilongitud de la varilla es L y que su masa es despreciable frente 1

1.png a las de las esferas. En estas condiciones, cuando se aparta la varilla del equilibrio manteni´endola siempre horizontal y gir´andola un pequeo ´angulo θ, las esferas tienden a describir un movimiento circular con velocidad angular ω = dθ y con radio L. dt a) Determine la expresi´on del m´odulo del momento angular L0 de las dos esferas respecto al centro O de la varilla. Al girar el sistema varilla-esferas el hilo del cual est´a suspendido se opone a que lo ”retuerzan” ejerciendo un momento de torsi´on, τ , sobre la varilla cuyo valor es proporcional al ´angulo tirado θ, siempre que este ´angulo sea muy pequeo. Es decir, τ = −kθ en donde k es la llamada constante de torsi´on del hilo y el signo tiene en cuenta la oposici´on del hilo al giro. En definitiva, si tras apartar al sistema un pequeo ´angulo θ respecto a la posici´on de equilibrio se deja libre, realizar´a oscilaciones arm´onicas. b) Demuestre que el periodo de dichas oscilaciones arm´onicas viene dado por: r 8π 2 mL2 T = k Si m = 730, 0g y L = 90, 0cm y se observa que el periodo de oscilaciones es T = 7, 00min c) Calcule el valor de la constante k de torsi´on del hilo. A continuaci´on, sobre cada esfera se aplican fuerzas F~ y F~ 0 = −F~ respectivamente, como se indica en la figura 3 en la que se muestra la balanza vista desde arriba. El sistema alcanzar´a un nuevo estado de equilibrio correspondiente a un pequeo a´ngulo θ0 , cuando el momento que ejercen dichas fuerzas se equilibre con el momento de torsi´on del hilo. 2

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4.jpg d) Determine la expresi´on del m´odulo de la fuerza F aplicada en cada extremo, en funci´on de L, k, θ0 . En el experimento de Cavendish, la fuerza F~ y F~ 0 = −F~ aplicadas en las bolas de masa m eran las correspondientes fuerzas de interacci´on gravitatorias, FG que ejerc´ıan otras bolas de masa M >> m colocadas a unas distancias b como se muestra en la figura 4. e) Obtenga la expresi´on de la masa de la Tierra, MT , en funci´on de M, m, L, b, θ0 , RT , g Con los datos adicionales siguientes: M = 158, 0 kg; θ0 = 9, 87 ∗ 10−4 rad; b = 23, 0 cm; RT = 6, 37 ∗ 106 m; g = 9, 81

m . s

f) Calcule la masa de la Tierra, MT , y el valor de la constante de la gravitaci´on universal G.

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